verschil vervanging = (A A ) (A B ) distributie = U (A B ) inverse = A B identiteit

Transcriptie

1 e. A (A B ) = A (A B ) verschil vervanging = (A A ) (A B ) distributie = U (A B ) inverse = A B identiteit = B A = B A = B A = B A Conclusie: de stelling is juist. = B A commutativiteit dubbel complement de Morgan dubbel complement vervanging verschil Algemene methode: m.b.v. een Venn-diagram eerst uitknobbelen of de stelling waar is of niet; daarna bewijzen/tegenvoorbeeld zoeken (dit laatste kan heel handig m.b.v. het Venn-diagram: men bedenke echter dat een Venn-diagram NOOIT een tegenvoorbeeld is maar slechts een hulpmiddel!!) a. A ( B C ) A B C ( A B ) ( A C ) A B C Uit de Venn-diagrammen blijkt: de stelling is onjuist en we kunnen het tegenvoorbeeld het beste zoeken door A drie verschillende elementen (zie: stippen in Venn-diagram) te laten bevatten. Dus b.v.: kies A = {a, b, c } met B = {b }enc = {c }. Dan geldt: A (B C ) = {a } terwijl A B = {a, c }ena C = {a, b } zodat (A B ) (A C ) = {a, b, c } Conclusie: daar {a } {a, b, c } is de onjuistheid van de stelling bewezen. -2-

2 b. Kies U = {a, b, c, d, e } met A = {a, b, c, d } en dus A = {e } en B = {b, c, d, e } dus B = {a }. P (A ) = {, {e }} en P (B ) = {, {a }} dus: P (A ) P (B ) = {, {e },{a }} Ook geldt: A B = {b, c, d } dus: A B = {a, e }. terwijl: P (A B ) = {,{a },{e},{a, e }}. Conclusie: de bewering is onjuist c. Afleiding leidt tot: A A B = A (A B ) verschil vervanging; = (A A ) (A B ) distributie; = U (A B ) inverse; = A B identiteit; Dit laatste is doorgaans ongelijk aan A B : de stelling lijkt onjuist: Kies U = {a, b, c, d, e } met A = {a }enb = {b } zodat: A B = {a, b } dus A B = {c, d, e } Dan geldt: A (A B ) = {a, c, d, e } terwijl: A B = {a, b }! Conclusie: de bewering is onjuist d. Afleiding leidt tot: A (B A ) = A (B A ) verschil vervanging; = A (B A ) dubbel complement; = A (A B ) commutativiteit; = (A A ) B associativiteit; = A B gelijkwaardigheid; Conclusie: de stelling is juist. e. Afleiding leidt tot: A (B A ) = A (B A ) verschil vervanging; = A (A B ) commutativiteit; = (A A ) B associativiteit; = B inverse; = dominantie; Dit laatste is meestal ongelijk aan A B! -22-

3 Kies: U = {a, b, c, d, e } met A = {a }enb = {b }. Dan geldt: B = {a, c, d, e } dus B A = {c, d, e } en dus: A (B A ) = (zie afleiding hierboven: dit moet er altijd uitkomen) terwijl: A B = {a }. Conclusie: de bewering is onjuist a. A 2 A = {2} b. c. A i = {,2,,4} i = A i = {2} i = a. A 2 = {, 2 } b. A 2 A = {, 2 } {, } = { } c. d. A i = {,, 2, } i = 4 A i = { } i = a. A 2 = < 2, ] b. A 2 A = <, ] c. d. A i = <, ] i = 4 A i = < 0, ] i = a. A 4 = [4,6] b. B = <, 6 ] c. A 2 B 4 = d. e. f. 5 A i = [,25] i = 4 B i = i = 2 4 i = 2 ( A i B i ) = -2-

4 2.6. Z inductief gedefinieerd:. basis Z 2. inductie ( x Z ) ((x ) Z ). uitsluiting Alléén elementen die door toepassing van stap en een (eventueel herhaald aantal malen) toepassen van stap 2 verkregen kunnen worden, behoren tot Z De verzameling (O ) gehele, positieve, oneven getallen inductief gedefinieerd:. basis O 2. inductie ( x O ) ((x + 2) O ). uitsluiting Alléén elementen die door toepassing van stap en een (eventueel herhaald aantal malen) toepassen van stap 2 verkregen kunnen worden, behoren tot O a. V = { 0,, 0,, 00, 0, 0,,... } (N.B.: binaire getallen als 00, 0 enzovoorts, die dus beginnen met een 0 en uit twee of meer cijfers bestaan, behoren NIET tot V. Dit komt doordat 0*0=0, dus 0*0 + 0 =0, enzovoorts. b. De meest linkse uit dit element zit er vanwege de basis in. Dan: 0* + 0 = 0 (eerste maal inductie-stap) Dan: 0*0 + = 0 (tweede maal inductie-stap) Dan: 0*0 + = 00 + = 0 (derde maal inductie-stap) 2.7. Neen! Elk alfabet mag alléén elementen van lengte bevatten. (*N.B.:als we begin als één karakter of symbool van lengte mogen beschouwen, dan wel*) a. w mag wel: bevat slechts het symbool uit het alfabet a. b. w 2 mag ook: bevat de symbolen 4, + en x uit het alfabet. c. w mag ook: bevat de symbolen, 4, x, y, +, = uit het alfabet. d. w 4 mag NIET: bevat het symbool - en dit is géén element van Σ. e. r mag NIET: bevat het symbool - en dit is géén element van Σ. f. r 2 mag NIET: bevat de symbolen { en } en dit zijn géén elementen van Σ.. w w 2 = abc w 2 w = 2abc. -24-

5 . w w 2 w = abc 2abc. 4. w εw = abcabc. 5. w w ε = abcabc. b. Neen: zie antwoord op a en a 2 hierboven. c. Ja: zie antwoord op a 4 en a 5 hierboven Neen! Het bewijs hiervan leveren we met een (geschikt gekozen) tegenvoorbeeld: Neem Σ = {a } dan geldt: Σ + = { a, aa, aaa,... } en Σ = { ε, a, aa, aaa,... } terwijl Σ + = { a, aa, aaa,... }. Dus geldt (voor dit tegenvoorbeeld) dat Σ Σ +. terwijl Σ een Neen! Een machtsverzameling is een verzameling van verzamelingen verzameling van strings is. Bovendien heeft elke Σ een oneindig aantal elementen (hoe Σ er ook uitziet), terwijl de machtsverzameling van een eindige verzameling altijd een eindig aantal elementen bevat a. Ja: T is een taal over Σ: hij bevat slechts één string (4x ) en die ene string bevat alléén symbolen die beide elementen uit Σ zijn. b. Ja: T 2 is een taal over Σ: hij bevat twee strings (44 en x +4) en die twee strings bevatten alléén symbolen die alle elementen uit Σ zijn. c. Neen: T bevat onder andere x =4 als element en deze string bevat onder meer = als symbool, terwijl dit géén element van Σ is. d. Ja: A is een taal over Σ: hij bevat drie strings en die drie strings bevatten alléén symbolen die alle elementen uit Σ zijn. e. Neen: B is geen verzameling, dus ook geen taal. a. T T 2 = { dd, cdcccd }. b. T 2 T = { dd, cdcccd } (eigenschap verzamelingen). c. T T 2 = { c, dd, ccdd, cdcccd, cdef, a, cdcd, ccef }. d. T T 2 = { c, ccdd, cdef }. e. T T 2 = { dd, cdcccd } (zie antwoord op vraag a), dus ( T T 2 ) T 2 = { dda, dddd, ddcdcd, N.B.: we gaan er bij deze opgave van uit dat beide talen T en T 2 over hetzelfde alfabet Σ gedefinieerd zijn (anders hebben de gevraagde uitdrukkingen geen betekenis). -25-

6 ddcdcccd, ddccef, cdcccda, cdcccddd, cdcccdcdcd, cdcccdcdcccd, cdcccdccef } f. T T 2 = { dd, cdcccd } (zie antwoord op vraag a), dus T 2 ( T T 2 ) = { add, acdcccd, dddd, ddcdcccd, cdcddd, cdcdcdcccd, cdcccddd, cdcccdcdcccd, ccefdd, ccefcdcccd } Merk op dat de antwoorden op vraag e en f niet gelijk zijn a. Ja. b. Ja. c. Ja. d. Ja a. A : e. Neen! Want ε Σ(zie: uitsluitingsstap). b. B + : a b 2 c. B : 2 d. A + B + : b a 2-26-

7 e. A B: f. A + B B A: 2 b a a b 2 a b a. ( A B + ) ( B A ) : b. Bijvoorbeeld 0, 0, 0 00 enzovoorts, zijn géén elementen van bovengenoemde taal ( A B + ) ( B A ). -27-

8 -28-

9 Relaties.2. a. A B = {(a, ), (a, 4), (b, ), (b, 4), (c, ), (c,4)} merk op: A B = A. B =.2 = 6. b. A B = {(a, a ), (a, b ), (a, c ), (b, a ), (b, b ), (b, c )(c, a ), (c, b ), (c, c )} merk op: A A = A. A =. = 9. c. A B = IR IN = {(x, y ) x IR y IN } -29-

10 .2.2 te bewijzen: (A B ) (A C ) = A (B C ) Bewijs: Neem x, y U willekeurig, dan geldt: (x, y ) ( (A B ) (A C ) ) (x, y ) (A B ) (x, y ) (A C ) (y C ) ) (y C ) )) ( x A y B ) (x A y C ) ( x A y B ) ((x A ) definitie definitie (2*) de Morgan x A ( y B ((x A ) associativiteit van x A (((x A ) (y C ) ) y B ) commutativiteit van ( x A ((x A ) (y C ) )) y B associativiteit van ( x A (x A ) ) ( x A (y C ) ) y B distributie van over ( F ) ( x A (y C ) ) y B inverse ( x A (y C ) ) y B identiteit x A ((y C ) y B ) ) x A ((y B ) (y C ) x A ( y (B C )) (x, y ) ( A (B C )) definitie Conclusie: (A B ) (A C ) = A (B C ) is bewezen. associativiteit van de commutativiteit van de definitie.. a. binaire relatie (= een verzameling geordende paren). mogelijke Cartesische producten zijn: IN IN, IN IR, IR IN, IR IR, b. geen binaire relatie (het is een verzameling gewone getallen, dus géén geordende paren). c. binaire relatie (= een verzameling geordende paren). mogelijke Cartesische producten zijn: IR IR en IR IN. d. binaire relatie (= een verzameling geordende paren). het enig mogelijke Cartesische product is: IR IR. e. binaire relatie (= een verzameling geordende paren). mogelijke Cartesische producten zijn: IN IN, IN IR, IR IN, IR IR. f. binaire relatie (= een verzameling geordende paren). mogelijke Cartesische producten zijn: IN IN, IN IR, IR IN, IR IR,(uitleg: een -0-