Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING

Transcriptie

1 Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding

2 Onderwerpen Elementaire getaltheorie: deelbaarheid, priemgetallen, ggd, gv. Elementaire verzamelingenleer: verzameling-notatie, doorsnede, vereniging, complement, verband met propositionele connectieven, cartesisch product, eindige ardinaliteit, paradox van Russell, relaties, functies (injectief, surjectief, bijectief). Oneindigheid: definitie van gelijmachtigheid en aftelbaarheid, aftelbaarheid van de verzameling der rationale getallen, diagonaalmethode van Cantor. Relaties: eigenschappen (reflexief, symmetrisch, transitief, antisymmetrisch, lineair, functioneel), equivalentierelaties, equivalentielassen, partities, partiële ordeningen, grootste / leinste / maximaal / minimaal element, leinste / grootste benedengrens. Wisundige bewijzen: rol van logische redeneerprincipes, bewijzen uit het ongerijmde (irrationaliteit van wortel 2, oneindigheid van het aantal priemgetallen), bewijzen met volledige inductie,lineair geannoteerde bewijzen. Recurrente betreingen: oplossen van lineaire recurrenties van diepte 2. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 1

3 Grafen: nopen en anten, gericht en ongericht, paden, samenhang, graad, ingraad, uitgraad, isomorfie, Eulerpaden, bomen, opspannende bomen. Boole-algebra s: atomen, Boole se expressies, logische netweren. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 2

4 Agenda Stof per wee: 1. Hoofdstu 1, 2 (par 3-6) 2. Hoofdstu 2, 3 3. Hoofdstu 4 4. Hoofdstu 6 5. Deeltoets Hoofdstu 1 t/m 4 6. Hoofdstu 8, Hoofdstu Hoofdstu 13 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 3

5 Agenda Onderwerpen deze wee: 1. Redeneren 2. Factoren en veelvouden 3. Verzamelingen 4. Functies Discrete Structuren Wee1: Inleiding 4

6 Inleiding 1. Hoeveel getallen liggen er tussen 1 en n? 2. Hoeveel getallen liggen er tussen m en n? 3. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen 1 en n? 4. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n? Discrete Structuren Wee1: Inleiding 5

7 4. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n? Go: (n m+1) Niet slecht maar het antwoord is: n In het algemeen: m 1 x x < x +1 dus: n 1 < n n x 1 < x x (*) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 6

8 x < x x +1 dus: n n 1 < n x 1 < x x (*) Evenzo voor m 1 : Vermenigvuldigen met 1: m 1 m 1 1 < m 1 m 1 < m 1 m 1 +1 (**) Optellen * en **: n 1 m 1 < n m 1 < n m 1 +1 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 7

9 5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Discrete Structuren Wee1: Inleiding 8

10 5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Truc: tel bij m en n een voldoende groot getal t op! n +t m 1+t = = = n m 1 +t ( n m 1 +t n m 1 +t ) +t Discrete Structuren Wee1: Inleiding 9

11 5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Truc: tel bij m en n een voldoende groot getal t op! n +t m 1+t = = = n m 1 +t ( n m 1 +t n m 1 +t ) +t 6. Hoeveel priemgetallen liggen er tussen m en n? Discrete Structuren Wee1: Inleiding 10

12 5. Hoeveel veelvouden van liggen er tussen m en n als m en n oo negatief unnen zijn? Truc: tel bij m en n een voldoende groot getal t op! n +t m 1+t = = = n m 1 +t ( n m 1 +t n m 1 +t ) +t 6. Hoeveel priemgetallen liggen er tussen m en n? ongeveer n ln n m 1 ln(m 1) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 11

13 Redeneerpatronen Verwijder ambiguïteit Abstraheer van speciale gevallen Gebrui specifiee voorbeelden Los speciale gevallen eerst op Verander hypothesen Gebrui geschite notatie Tel een verzameling zonder alle elementen te produceren Tel een verzameling door een verzameling van een te grote verzameling af te treen (3 anedotes: oneven=priem, heet water, tent) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 12

14 Factoren en producten We beschouwen alleen de natuurlije getallen (N). veelvoud deelbaarheid, factor of deler m n beteent m is een deler van n is transitief: (m n n o) = m o Theorem 1. Een natuurlij getal n groter dan 1 is priem desda 1 en n zelf de enige delers van n zijn. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 13

15 Factoren en producten Theorem 2. [Priemfactorontbinding] Ele natuurlij getal n groter dan 1 an op maar één manier geschreven worden als het product van priemgetallen. 168 = = = = Discrete Structuren Wee1: Inleiding 14

16 Ggd en Kgv grootste gemene deler ggd(x,y) of gcd(x,y) ggd(168,192) = ggd( ,2 6 3) = 2 min(3,6) 3 min(1,1) 7 min(1,0) = = 24 leinste gemene veelvoud gv(x,y) gv(168,192) = gv( ,2 6 3) = 2 max(3,6) 3 max(1,1) 7 max(1,0) = = 1344 Discrete Structuren Wee1: Inleiding 15

17 relatief priem Theorem 3. Voor positieve natuurlije getallen m en n geldt: ggd(m,n) gv(m,n) = mn Discrete Structuren Wee1: Inleiding 16

18 Delingsalgoritme Stel m is een positief natuurlij getal. Voor ele natuurlij getal n zijn er uniee natuurlije getallen q en r, zodat: n = m q+r en 0 r < m Delen door m geeft: q - quotiënt r - rest n m = q + r m en 0 r m < 1 Theorem 4. Voor positieve natuurlije getallen m en n geldt: 1. ele gemeenschappelije deler van m en n is oo een deler van ggd(m,n) 2. ele gemeenschappelije veelvoud van m en n is oo een veelvoud van gv(m,n) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 17

19 Verzamelingen N = {0,1,2,3,...} P = {1,2,3,...} { : } Deelverzameling: S is een deelverzameling van T, (notatie: S T) als: x(x S = x T) Echte deelverzameling: S is een echte deelverzameling van T, (notatie: S T) als: S T en S = T Russell-paradox: V = {x : x / x} P N Z Q R Discrete Structuren Wee1: Inleiding 18

20 Intervallen van R.: [a,b] = {x R : a x b} (a,b) = {x R : a < x < b} [a,b) = {x R : a x < b} (a,b] = {x R : a < x b} (,a] = {x R : x a}... Discrete Structuren Wee1: Inleiding 19

21 De machtsverzameling P(S) van S is: Voorbeeld: Als S = {a,b,c} dan is: P(S) = {T : T S} P(S) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,c}, {a,b,c} } De grootte van een verzameling S noteren we met S De grootte van de machtsverzameling P(S) is een exponentiële functie van S : P(S) = 2 S Discrete Structuren Wee1: Inleiding 20

22 Talen Alfabet - niet-lege eindige verzameling (letters of symbolen): Σ. Woord - een eindige string letters van Σ. Σ - de verzameling van alle woorden van Σ Iedere deelverzameling van Σ is een taal. Lege-woord, null-woord, null string, notatie λ Voorbeeld: Als Σ = {a} dan is: Σ = {λ,a,aa,aaa,aaaa,...} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 21

23 Verzamelingenoperaties Vereninging: A B = {x : x A of x B of beide} Doorsnede: A B = {x : x A en x B } Complement: A c = {x : x / A } Relatief complement: A \B = {x : x A en x / B } Discrete Structuren Wee1: Inleiding 22

24 Verzamelingenoperaties Symmetrisch verschil: A B = {x : x A of x B maar niet in beide} Universum - U. Absoluut complement: A c = {x U : x / A} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 23

25 Verzamelingen-wetten Commutativiteit Associativiteit Distributiviteit Idempotentie Identiteit Complement Dubbel Complement Relatie Universum - Lege Verzameling De Morgan Discrete Structuren Wee1: Inleiding 24

26 Verzamelingen-wetten-2 Commutativiteit A B = B A (idem ) Associativiteit (A B) C = A (B C) (idem ) Distributiviteit A (B C) = (A B) (A C) (idem van over ) Idempotentie A A = A (idem ) Identiteit A = A (4 stus) Complement Dubbel Complement A A c = U en A A c = (A c ) c = A Relatie Universum - Lege Verzameling U c = en c = U De Morgan (A B) c = A c B c (+ duale variant) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 25

27 Cartesisch Product Geordend paar: (s, t) (s 1,t 1 ) = (s 2,t 2 ) desda s 1 = s 2 en t 1 = t 2 Product: Geordend n-tupel: (s 1,s 2,...s n ) S T = {(s,t) : s S en t T} Productverzameling: S 1 S 2...S n = {(s 1,s 2,...s n ) : s S voor [1,n]} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 26

28 Functies Definition 1. [Functie] Een functie f : S T ent aan el element x in in de verzameling S een uniee waarde in de verzameling T toe. f : S T S - domein T - codomein Discrete Structuren Wee1: Inleiding 27

29 Functies Beeld: Im(f) = {f(x) : x Dom(f)} De graaf van een functie f : S T is een deelverzameling van S T: Graaf(f) = {(x,y) S T : y = f(x)} Karateristiee functie: χ A (x) = { 1 indien x A, 0 indien x S \ A. (1) Discrete Structuren Wee1: Inleiding 28

30 Functiecompositie Compositie: (g f)(x) = g(f(x)) voor alle x S Twee functies commuteren als: f g = g f Discrete Structuren Wee1: Inleiding 29

31 Stel de functies f, g en h beelden R op R af: f(x) = x 4, g(y) = y 2 +1, h(z) = z (h (g f))(x) = h(g f(x)) = h(g(f(x))) = h(g(x 4 )) = h( x 8 +1) = ( x 8 +1) = x Discrete Structuren Wee1: Inleiding 30

32 En oo: ((h g) f)(x) = (h g)(f(x)) = h(g(f(x))) = x Compositie is associatief. Stel f : S T,g : T U en h : U V dan: h (g f) = (h g) f Discrete Structuren Wee1: Inleiding 31

33 Injectie (one-to-one function). a,b A : f(a) = f(b) = a = b Surjectie (onto function). b B a A : f(a) = b Discrete Structuren Wee1: Inleiding 32

34 Bijectie (One-to-one correspondence). is zowel injectief als surjectief Discrete Structuren Wee1: Inleiding 33

35 Inverse Definition 2. [Inverse] De inverse van een functie f : S T is een functie f 1 : T S zo dat: f 1 (f(x)) = x voor alle x S f(f 1 (y)) = y voor alle y T Theorem 5. De functie f : S T is inverteerbaar desda f is een bijectie van S naar T. Discrete Structuren Wee1: Inleiding 34

36 Beelden Definition 3. [Beeld] Gegeven de functie f : S T. Stel A S Dan is het beeld van A onder f: f(a) = {f(x) : x A} Definition 4. [Inverse Beeld] Gegeven de functie f : S T. Stel B T Dan is het inverse beeld van B onder f (pre-image): f (B) = {x S : f(x) B} f (B) = {f 1 (y) : y B) = f 1 (B) Voor y T schrijven we f (y) voor f ({y}) f (y) = {x S : f(x) = y} Discrete Structuren Wee1: Inleiding 35