Analyse deel I. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde

Transcriptie

1 Analyse deel I Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde en Wetenschappen-Wiskunde

2 2

3 Hoofdstuk 1 Reële getallen 1.1 Het geordend veld van de reële getallen In dit deel over de reële getallen zullen we de verzameling R van de reële getallen nader bestuderen. De verzameling van de reële getallen heeft een aantal specifieke eigenschappen die bij andere verzamelingen niet voorkomen. Het is hier geenszins de bedoeling om alles streng wiskundig te bewijzen, echter wel om een goede notie te krijgen van het begrip reëel getal. Om reële getallen in te voeren bestaan er verschillende ingewikkelde methodes, bvb. de methode van de sneden van Dedekind en de methode van de rationale Cauchy-rijen. De verzameling van de natuurlijke getallen N vormt een commutatieve semigroep voor de optelling (commutativiteit, inwendigheid en associativiteit) met neutraal element. Als we aan elk natuurlijk getal n een symmetrisch element n voor de optelling hechten en deze elementen toevoegen aan N dan verkrijgen we een nieuwe verzameling, nl. de verzameling van de gehele getallen Z die een commutatieve groep vormt voor de optelling (semigroep en symmetrisch element). In Z wordt er vervolgens een vermenigvuldiging gedefinieerd, maar voor deze bewerking vormt Z maar een commutatieve semigroep met eenheidselement. De structuur Z, +,. wordt een ring met eenheidselement genoemd (Z, + is een commutatieve groep, Z,. is een commutatieve semigroep en de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling is geldig). We breiden de verzameling Z uit zodat elk element een invert element heeft voor de vermenigvuldiging en zorgen er tevens voor dat de eigenschap van de inwendigheid voor de vermenigvuldiging geldig is in de nieuwe verzameling. Deze nieuwe verzameling noemen we dan de verzameling van de rationale getallen Q. De structuur Q, +,. is een veld (Q, + en Q 0,. zijn commutatieve groepen en de distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling is geldig). We definiëren vervolgens in het veld van de rationale getallen 3

4 4 HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN het quotiënt. Elk rationaal getal is te schrijven als het quotiënt van een geheel getal en een natuurlijk getal. q Q, z Z, n N 0 q = z n. STELLING 1.1 De structuur Q, +,. is een veld dat de ring van de gehele getallen omvat. Elk rationaal getal heeft een decimale voorstelling die ofwel afbrekend is ofwel oneindig doorlopend maar repeterend. Deze schrijfwijze bekomen we door de euclidische deling uit te voeren van de teller door de noemer van de breuk. Heeft een getal een decimale voorstelling met een slotreeks van allemaal 9es dan is dit het getal met een afbrekende decimale voorstelling, die we bekomen door de 9es te laten vallen en het cijfers juist vóór de 9es met 1 te verhogen. Dit zullen we later verklaren met de theorie van de limieten. Voorbeeld: 0, =0,59 Sluiten we de decimale voorstellingen met een slotreeks van allemaal 9es uit en maken we de afbrekende decimale voorstellingen oneindig doorlopend door slotreeks van oneindig veel nullen aan toe te voegen dan kunnen we zeggen dat elk rationaal getal juist één oneindig doorlopende repeterende decimale voorstelling heeft. De irrationale getallen zijn de getallen waarvan de decimale voorstelling oneindig doorlopend is maar niet repeterend is. Het irrationale getal dat het eerst ontdekt werd was 2, en de ontdekking dat het irrationaal was, leidde tot iets wat men een crisis zou kunnen noemen in de vroeg-griekse wiskunde. Voorbeelden: 2 = 1, ; 3 = 1, ; π = 3, ; het getal e = 2, , het gulden getal 1, , het getal van Liouville 0, met een gelijkmatig toenemend aantal nullen tussen de enen, het getal getal 0, met achter elkaar alle natuurlijke getallen. De irrationale getallen kunnen niet geschreven worden in de vorm van een breuk, waarvan teller en noemer gehele getallen zijn. De verzameling van de reële getallen is de unie van de verzameling van de rationale getallen en de verzameling van de irrationale getallen. Elk reëel getal heeft een oneindig doorlopende decimale voorstelling.

5 1.1. HET GEORDEND VELD VAN DE REËLE GETALLEN 5 STELLING 1.2 De structuur R, +,. is een veld dat het veld van de rationale getallen Q, +,. omvat. D.m.v. de decimale voorstelling van de reële getallen kunnen we nu gemakkelijk de verzameling van de reële getallen ordenen volgens de relatie is kleiner dan of gelijk aan. Om te ordenen vergelijken we de gelijkstandige decimalen in de relatie. Elke twee reële getallen zijn op die manier met elkaar te vergelijken in de relatie. De velden R, +,. en Q, +,. worden totaal geordende velden genoemd. De volgende stellingen zijn in de meeste axiomastelsels voor reële getallen onmiddellijke gevolgen van de axioma s of zijn soms zelf axioma s: STELLING Elk reëel getal ligt tussen twee opeenvolgende gehele getallen. 2. Tussen twee verschillende reële getallen ligt steeds een ander reëel getal (R is een dichte verzameling). GEVOLG 1.1 getal. 1. Bij elk strikt positief getal bestaat er steeds een kleiner strikt positief 2. Als een positief getal kleiner is dan elk strikt positief getal dan is het gelijk aan Tussen twee verschillende reële getallen ligt steeds een ander rationaal getal alsook een ander irrationaal getal. Het geheel gedeelte van een reëel getal is het grootste geheel getal dat niet groter is dan het reëel getal zelf. We noteren r Voorbeeld: 2, = 2; 3, = 4. De meeste getallen waarmee men in het dagelijks leven te maken heeft zijn rationaal. Toch drijven rationale getallen, net zoals het leven zelf, in een zee van irrationaliteit rond, en in een belangrijke en goed gedefinieerde betekenis van deze woorden, te danken aan de wiskundige Georg Cantor, zijn er meer irrationale getallen dan rationale getallen. OPGAVEN 1 Bepaal n als n = 2n. Oplossing: n = 95

6 6 HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN 1.2 Absolute waarde in R Eigenschappen van de absolute waarde * x > 0 x = x en x < 0 x = x; * De bestaansvoorwaarde van een vergelijking is de voorwaarde opdat de vergelijking minstens één oplossing zou hebben. De bestaansvoorwaarde van x = r is r 0. * r R + : x = r x = r x = r; r R + : x < r r < x < r; r R + : x > r x < r x > r; * a b a ± b a + b ; * a.b = a. b ; * a b = a b. Voorbeelden: x 2 3x 2 4 = 0 3x 2 4 = x 2 3x 2 4 = x 2 3x 2 4 = x 2 2x 2 4 = 0 4x 2 4 = 0 x 2 = 1 x 2 = 2 x = ±1 x = ± 2 Deze oplossingen stemmen overeen met de nulpunten van de functie y = x 2 3x 2 4. x 2 3x + 4 = x = x 2 3x + 4 = x x2 3x + 4 = x 5 4 x 2 + 4x 11 4 = 0 x2 + 2x 21 4 = 0 x = 2 ± x = 3 2 x = 7 2 x = 0, 598 x = 4, 598 x = 1, 5 x = 3, 5 Enkel de oplossingen x = 1, 5 en x = 0, 598 stemmen overeen met de nulpunten van de functie y = x 2 3x + 4 x 5 4

7 1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R 7 Figuur 1.1: de grafiek van y = x 2 3x 2 4. Opgave: Teken hier de grafieken van y = 3x 2 4 en y = x 2. Wat merk je op? Twee oplossingen werden door de berekeningen ingevoerd. Het eerste lid van de gegeven vergelijking is positief dus moet het tweede lid eveneens positief zijn. Dit geeft aanleiding tot de zogenaamde bestaansvoorwaarde van de vergelijking. We kunnen enkel oplossingen toelaten waarvoor x x 1, 25 4 Figuur 1.2: de grafiek van y = x 2 3x + 4 (x + 5 ). Opgave: Teken hier de grafieken 4 van y = x 2 3x + 4 en y = x + 5. Wat is de betekenis van de snijpunten? 4

8 8 HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN x +x+ x 1 3 (1.1) Omdat we hier verschillende uitdrukkingen hebben met een absolute waarde gaan we best in een tabel het tekenverloop maken van de verschillende uitdrukkingen binnen de absolute waardetekens. x 0 1 x x We onderscheiden voor de x-waarden drie gevallen: 1. x 0 dan volgt uit 13 dat x + x (x 1) 3 x 2. In dit geval is de oplossingenverzameling: [ 2, 0] x 1 dan volgt uit 13 dat x + x (x 1) 3 x 2. In dit geval is de oplossingenverzameling: [0, 1] 3. x 1 dan volgt uit 13 dat x + x + (x 1) 3 x 4 3. In dit geval is de oplossingenverzameling: [1, 4 3 ] Besluit: We voegen de 3 oplossingengverzamelingen samen. De ongelijkheid heeft als oplossingenverzameling [ 2, 4 3 ]. We controleren deze oplossingen grafisch. We tekenen met de computer de grafiek van de functie y = x +x+ x 1 en van de constante functie y = 3. Figuur 1.3: x +x+ x x 4 3

9 1.2. ABSOLUTE WAARDE IN R Afstand in R De gewone afstand van twee reële getallen a en b is gelijk aan a b Basisomgeving van een reëel getal De basisomgeving van een punt a R met straal ɛ is de verzameling van alle reële getallen die op een afstand liggen van a kleiner dan ɛ. {x R : x a < ɛ} = {x R : ɛ < x a < ɛ} = {x R : a ɛ < x < a + ɛ} =]a ɛ, a + ɛ[. Een basisomgeving van een reëel getal is een open interval. Een gereduceerde basisomgeving van een getal a is een basisomgeving van dat getal waaruit we dat getal weglaten. ]a ɛ, a + ɛ[\{a}. AN I HUISTAAK 1 1. Los op in R en controleer je oplossingen aan de hand van een grafische voorstelling met de computer: a. ( x 1) < 1; b. x 2 + 2x x = 0. c. x 2 + x 3 = Bepaal x + y als x +x + y = 10 en x+ y y = 12. Stel de twee vergelijkingen voor in het vlak t.o.v. een coördinatenstelsel en duid de oplossing(en) aan. (Tip: Maak onderscheid tussen de verschillende kwadranten: I: x > 0 en y > 0, II: x < 0 en y > 0,.III: x < 0 en <> 0, II: >< 0 en y < 0.)

10 10 HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN 1.3 Machten in R Gehele machten We herhalen de definitie van een gehele macht van een reëel getal. n N, a R 0 : a n = 1 a n Rationale machten Definitie Opmerking: LET OP: z Z, n N 0, a R + 0 : a z n = n a z. Elk positief reëel getal verschillend van nul heeft twee verschillende reële evenmachtswortels. x 2 = a x = ± a = a 1 2 met a R + In de notatie a 1 2 en a beschouwen we dus enkel de positieve wortel uit het positief getal a. We kennen dan ook de andere wortel die gewoon het tegengestelde getal is, nl. a 1 2 en a Elk reëel getal heeft slechts één onevenmachtswortel die positief is als het getal positief is en negatief is als het getal negatief is. x 3 = a x = 3 a = a 1 3 Als we met Derive 3 x willen invoeren, moeten we schrijven x 1/3. Derive beschouwt x als positief, niettegenstaande hier x ook negatieve waarden mag aannemen. Willen we de grafiek van de functie y = 3 x tekenen dan moeten we twee voorschriften invoeren, nl. y = x 1/3 en y = ( x) 1/3. Het eerste voorschrift geeft de tak waarvoor x > 0, het tweede voor x < 0.

11 1.3. MACHTEN IN R Rekenregels met evenmachtsswortels Deze eigenschappen van de vierkantswortel zijn eveneens geldig voor elke andere evenmachtswortel. STELLING 1.4 a, b R + : a.b = a. b; a, b R : a.b = a. b; a R +, b R + 0 : a b = a b ; a R, b R 0 : a b = a b ; Deze vier formules kunnen we in twee formules samenvatten. a, b R : a.b = a. b ; a R, b R 0 : a b = a b ; Rekenregels met onevenmachtsswortels Deze eigenschappen van de derdemachtswortel zijn eveneens geldig voor elke andere onevenmachtswortel. STELLING 1.5 a, b R : 3 a.b = 3 a. 3 b; a R, b R 0 : 3 a b = 3 a 3 b ;

12 12 HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN Rekenregels met rationale machten De vorige eigenschappen kunnen samengevat worden als we gebruik maken van rationale machten. a R + 0, p, q Q : a p.a q = a p+q a R + 0, p, q Q : ap a q = ap q a, b R + 0, p Q : a p.b p = (a.b) p a, b R + 0, p Q : ap b p = (a b )p a R + 0, p, q Q : (a p ) q = a pq 1.4 Logaritmen Definitie De logaritmische functie met grondtal 10 beeldt elk positief getal af op zijn exponent als je dat getal schrijft als een macht van 10. Notatie: log 10 = log Voorbeelden: log 10 = 1 log 100 = log 10 2 = 2 log 0, 1 = log 10 1 = 1 log 10 = log = 1 2 log = = Algemeen: x R + 0 : log x = r x = 10 r De logaritmische functie met grondtal 2 beeldt elk positief getal af op zijn exponent als je dat getal schrijft als een macht van 2. Notatie: log 2 Voorbeelden: log 2 2 = 1

13 1.4. LOGARITMEN 13 log 2 4 = log 2 2 = 2 log 2 64 = log = 6 log 2 0, 125 = log = 3 log , ,322 Algemeen: x R + 0 : log 2 x = s x = 2 s Rekenregels met logaritmen a R + 0 \ {1}, x, y R + 0 : log a x.y = log a x + log a y a R + 0 \ {1}, x, y R + x 0 : log a y = log a x log a y a R + 0 \ {1}, x, y R 0 : log a x.y = log a ( x) + log a ( y) a R + 0 \ {1}, x, y R x 0 : log a y = log a( x) log a ( y) a R + 0 \ {1}, x R + 0, r R : log a x r = r log a x a R + 0 \ {1}, x R 0, r R : log a x r = r log a ( x) (De laatste regel geldt voor alle x-waarde waarvoor x r bestaat.) We kunnen bovenstaande regels nog als volgt samenvatten. Zij zijn analoog met de rekenregels voor evenmachtswortels. a R + 0 \ {1}, x, y R 0 : log a x.y = log a x + log a y a R + 0 \ {1}, x, y R 0 : log a x y = log a x log a y a R + 0 \ {1}, x R 0, r R : log a x r = r log a x Deze rekenregels volgen onmiddellijk uit de rekenregels met reële exponenten. We geven een bewijs van bvb. de rekenregel: a R + 0 \ {1}, x R + 0, r R : log a x r = r log a x Bewijs: Stel s = log a x, hieruit volgt x = a s. Uit de rekenregel volgt dat (a s ) r = a rs log a x r = log a (a s ) r = log a a rs = rs = r. log a x. Bewijs zelf op analoge wijze de andere rekenregels. Voorbeeld: log = log , 301 = 65049, 6

14 14 HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN Verband tussen twee verschillende logaritmen en We combineren deze twee betrekkingen: log x = r x = 10 r log 2 x = s x = 2 s log x = log 2 s = s. log 2 = log 2 x log 2 Op de rekenmachine vinden we de logaritme met grondtal 10. We kunnen de logaritme met grondtal 2 berekenen met de volgende formule: log 2 x = log x log 2 (1.2) Aantal cijfers van een natuurlijk getal in de decimale en binaire schrijfwijze Het getal kunnen we schrijven als 2, Dit getal heeft in de decimale schrijfwijze 7 cijfers. log = 6, = 10 6,37069 Het getal 2 10 = 1024 heeft 4 cijfers want log 2 10 = 10 log 2 = 10 0, 301 = 3, 01 Besluit: Het aantal cijfers van een getal in de decimale schrijfwijze is gelijk aan log x. Het getal 73 kunnen we schrijven als 1, Het getal 73 is in de binaire schrijfwijze gelijk aan en heeft dus 7 cijfers in de binaire schrijfwijze. 73 = 2 6,18982 log 2 73 = 6, Besluit: Het aantal cijfers van een getal in de binaire schrijfwijze is gelijk aan log 2 x. Opmerking: In de voorbeelden hebben we bijvoorbeeld 2 geschreven als een rationale macht van 10. Maar eigenlijk is 2 een reële macht van 10. Reële machten van een getal worden echter pas volgend schooljaar gedefinieerd. De bedoeling van deze beschouwingen omtrent logaritmen heeft enkel als doel deze functie op de rekenmachine vanaf nu te kunnen gebruiken. OPGAVEN 2 Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine als je weet dat log 2 = 0, 301: 1. log log 0, 5 5. log log log log log log Bepaal het aantal cijfers van

15 1.5. WISKUNDE-CULTUUR Wiskunde-Cultuur Over getallen en Oneindigheid In de zesde eeuw voor Christus, de tijd van PYTHAGORAS, werden de getallen beschouwd als het wezen van alle dingen. Getallen belichaamden zekere specifieke abstracte begrippen zoals de geest (1), het oordeel (2), de volledigheid (3), de gerechtigheid (4), het huwelijk (5=2+3 met 2 als even en vrouwelijk en 3 als oneven en mannelijk). In een later stelsel werden 1, 2, 3 en 4 vereenzelvigd met punt, lijn, vlak en lichaam. Het getal 10 werd een specifieke waarde toegekend en zou de volmaaktheid symboliseren. De mens heeft 10 vingers en 10 = De pythagoreeërs erkenden geen andere verhoudingen dan die tussen natuurlijke getallen. De verhouding van de lengte van de diagonaal en de zijde van een vierkant werd dan ook alogos genoemd, dat onuitdrukbaar betekent en kon dus niet in een getal worden uitgedrukt. Hoe kunnen we zeker zijn dat de kunstmatig gevormde decimale ontwikkelingen zoals het getal van LIOUVILLE ( ) en het getal getal echte getallen zijn. Een eeuw geleden werd dit probleem opgelost door CANTOR ( ) en DEDEKIND ( ). Cantor definieerde een reëel getal als een reeks of een oneindige som zoals 0, = 1/10 + 2/ / / Met behulp van definities kan men deze reeksen dan bij elkaar optellen en met elkaar vermenigvuldigen. Dedekind definieerde de reële getallen ook als oneindige verzamelingen. Hij karakteriseerde een reëel getal als een snede [L, M], een partitie van R d.w.z. dat ieder rationaal getal ofwel in L ofwel in M voorkomt en ieder element van L kleiner is dan ieder element van M. Zo wordt 2 weergegeven door de snede [{a/b a 2 /b 2 < 2}, {a/b a 2 /b 2 > 2}]. Dedekind beschouwde de feitelijk oneindige verzamelingen van de snede als fundamenteel en het doet er niet toe of men beschikt over een bepaalde truc voor het construeren van een lengte waarmee je een punt kunt plaatsen in het gat van de snede. Toen men eenmaal inzag dat reële getallen kunnen worden uitgedrukt in termen van oneindige verzamelingen was het tien jaar na de dood van Cantor al vanzelfsprekend dat ieder wiskundig object kan worden weergegeven als een verzameling. Liouville maakte het verschil tussen algebraïsche en transcendente getallen duidelijk en bewees in 1844 dat e noch e 2 wortels kunnen zijn van een vierkantsvergelijking met rationale coëfficiënten. Dit was een eerste stap vooruit in een reeks van onderzoekingen over de natuur van e en π, die in 1761 tot LAMBERT s bewijs gevoerd hadden dat π irrationaal is, en later voerde tot het bewijs van HERMITE (1873) dat e en dat van LINDEMANN (1882) dat π transcendent is.

16 16 HOOFDSTUK 1. REËLE GETALLEN Het onbenoembare Voor het benoemen van grote getallen gebruiken wij het vernuftig systeem gebaseerd op de machten van 10. In principe is er voor elk getal een naam. De naam voor het getal dat we schrijven als een 1 met 3(n + 1) nullen is in het Amerikaans een - illion. Een 1 met twaalf nullen heet dus trillion. Het getal dat bestaat uit een 1 met 100 nullen wordt vaak googol genoemd, maar zou evengoed duotrentillion kunnen worden genoemd, want 100 = 1 + 3(32 + 1). De hogere -illion namen worden eigenlijk zelden gebruikt en getallen met meer dan dertig cijfers worden gelezen als een opsomming van de cijfers, met dien verstande dat deze cijfers worden geïnterpreteerd in termen van het getalstelsel van de machten van 10. Voor grote getallen is de notatie met exponenten handiger. Googol wordt dan geschreven als en het is gemakkelijk over te gaan naar googolplex, gedefinieerd als 10 googol = Merk op dat een googolplex niet benoembaar is in minder dan een miljard woorden, tenminste als we de gebruikelijke - illion -notatie toepassen. Er zijn natuurlijk getallen dicht bij googolplex die zo onregelmatig zijn dat er geen kortere manier bestaat om ze te benoemen als door de cijfers ervan op te noemen. Deze getallen zijn voor een mens echt onbenoembaar, want een getal met googol cijfers zou, uitgeschreven op vellen papier, met gemak de hele ruimte tot de verst afgelegen zichtbare ster vullen: als we tien miljard kubieke lichtjaren zouden vullen met boeken die de cijfers bevatten, zou daarin, slechts ruimte zijn voor ongeveer cijfers. Volgens ARCHIMEDES ( v.c.) zijn er minder dan zandkorrels nodig om een bol te vullen met straal gelijk aan de afstand van de aarde tot de zon. Wat is het grootst mogelijke natuurlijk getal dat ik kan bedenken of het natuurlijk getal dat ikzelf kan beschrijven? Misshien kan ik een keer een getal G beschrijven, maar ga ik dood voordat ik zover ben G + 1 te noemen; dus is het toch niet waar dat je, als je over G kunt spreken, ook altijd over G + 1 kunt spreken. Hoe kunnen we over dingen spreken waarover we niet kunnen spreken? Deze vraag geeft aanleiding tot de paradox van Berry: Het kleinste natuurlijk getal niet benoembaar in minder dan vijfentwintig lettergrepen is zelf een naam bestaande uit vierentwintig lettergrepen, dus het kleinste natuurlijk getal niet benoembaar in vijfentwintig lettergrepen kan in vierentwintig lettergrepen worden benoemd, wat een contradictie is. Een wereld zonder paradoxen is niet denkbaar, aangezien een paradox eigen is aan het rationele denken zelf. In plaats van te stellen dat de paradoxen aangeven dat de wereld onwaar is, kunnen we beter stellen dat ze aangeven dat de wereld onvolledig is of dat de werkelijkheid meer is dan wat je op het eerste gezicht zou zeggen.

17 Hoofdstuk 2 Functies 2.1 Relaties Inleiding: Het begrip functie is bijzonder belangrijk in de wiskunde omdat het idee dat er een verband tussen twee bepaalde grootheden bestaat er op een formele wijze door vastgelegd wordt. De wereld is vol zaken die afhankelijk zijn van, een functie zijn van, of een bepaalde relatie hebben met andere zaken. Men zou zelfs kunnen stellen dat de wereld eenvoudigweg geheel uit zulke verbanden is opgebouwd. We zijn genoodzaakt afhankelijkheid te formaliseren. Door het in een wiskundig bruikbare vorm te gieten, zullen we deze fenomenen beter kunnen beschrijven, en vooral begrijpen. Op die manier ontwikkelen we wiskundige modellen voor natuurlijke (en ook door de mens in het leven geroepene) fenomenen. Dit stelt ons in staat niet alleen dingen te begrijpen, maar soms zelfs voorspellingen te doen, vb: het weer, economie, enz... Wij worden geconfronteerd met het probleem een bruikbare schrijfwijze voor wiskundige afhankelijkheid te ontwerpen. De schrijfwijze om functionele afhankelijkheid weer te geven is onmisbaar. Het stelt ons in staat verbanden in een notedop weer te geven. Zonder een schrijfwijze zou het bijzonder moeilijk zijn de flexibiliteit en de kracht van de wiskundige analyse toegankelijk te maken. In de loop van de geschiedenis van de wiskunde is het heel duidelijk dat het vinden van schrijfwijzen en notaties het wiskundig denken grote sprongen vooruit helpt Definitie Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van koppels (x, y) waarbij x een element is van A en y een element is van B. Uit de definitie volgt onmiddellijk: Elke relatie van A naar B is een deelverzameling van de productverzameling A B. We zeggen y staat in relatie met x? of y correspondeert met x in de relatie. 17

18 18 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Triviale relaties * De groots mogelijke relatie. De productverzameling A B is een relatie van A naar B, die alle koppels (x, y) bevat waarbij x een element is van A en y een element is van B. * De kleinst mogelijke relatie De ledige relatie bevat geen enkel koppel Analytisch voorstelling van een relatie Zijn x en y reële getallen dan kan het verband tussen x en y meestal voorgesteld worden door een vergelijking (eventueel ongelijkheid) die we algemeen noteren door R(x, y) = 0. Alle koppels (x, y) van de relatie zijn oplossing van R(x, y) = 0. in dit geval is de relatie een deelverzameling van R R Voorstelling van een relatie 1. Op Venn-diagram: Als y in relatie staat met x dan trekken we een pijl van x A naar y B. 2. Grafisch d.i. in een (x, y)-vlak als x en y reële getallen zijn. Alle koppels van de relatie vormen dan een figuur in het (x, y)-vlak. Het (x, y)-vlak zelf is de grafische voorstelling van R R Voorbeelden De relatie y is ouder van x in een familie is een relatie van de familie naar de familie. Stel deze relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.1). Het tekenen van die relatie in het Venn-diagram geeft juist de stamboom weer van de familie. De relatie y is een deelverzameling van x in de verzameling D(A) van de deelverzamelingen van A = {1, 2, 3} is een relatie van D(A) naar D(A). Stel deze relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.2).

19 2.1. RELATIES 19 Figuur 2.1: de relatie y is ouder van x Figuur 2.2: de relatie y is deelverzameling van x

20 20 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Figuur 2.3: de relatie y is het dubbel van x in Z Figuur 2.4: de relatie y is kleiner dan x in N De relatie y is het dubbel van x in de verzameling van de gehele getallen is een relatie van Z naar Z. R(x, y) = 0 y = 2x y 2x = 0 2x y = 0 Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.3). De relatie y is kleiner dan x in de verzameling van de natuurlijke getallen is een relatie van N naar N. y < x y x < 0 x y > 0 Stel deze relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.4).

21 2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES Functies - reële functies Definities Een functie van A in B is een relatie van A naar B, waarbij elk element x van A overeenkomt met hoogstens één element y van B. We zeggen: y is functie van x. We zeggen: y is het beeld van x. We noemen x de onafhankelijk veranderlijke en y de afhankelijk veranderlijke en Een functie van A in B is een reële functie als en slechts als de verzamelingen A en B twee deelverzamelingen zijn van R. We schrijven: (x, f(x)) is een koppel van de functie. f : A B, x f(x) We zeggen: f(x) is de functiewaarde van f voor x. Er geldt R(x, y) = 0 y = f(x) y = f(x) wordt het voorschrift van de reële functie genoemd. De grafische voorstelling van een relatie die een functie is, wordt de grafiek van de functie f genoemd. Belangrijke opmerking: Een functie is volledig bepaald door zijn voorschrift en door de verzamelingen A en B. Enkel het voorschrift geven is onvoldoende. Twee reële functies met hetzelfde voorschrift kunnen gedefinieerd zijn in verschillende deelverzamelingen van R. In het vervolg vermelden we enkel het voorschrift van de functie als A = B = R. Zijn A of B echte deelverzamelingen van R dan vermelden we dat er expliciet bij. Voorbeeld: De relatie y is het kwadraat van x is een functie omdat elk getal x maar één kwadraat heeft. y = x 2 Tegenvoorbeeld: De relatie y is een vierkantswortel uit x is geen functie omdat elk strikt positief getal x twee vierkantswortels heeft. y 2 = x y = ± x

22 22 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Figuur 2.5: Venn-diagram Figuur 2.6: Grafische voorstelling OPGAVEN 4 Welke van alle voorgaande relaties zijn functies en welke niet? Praktische voorbeelden : De oppervlakte van een cirkel is functie van de straal: Opp. = πr 2. De grafiek is een halve parabool. De afgelegde weg bij de valbeweging is functie van de tijd : x = 1 2 gt2 (g = 9, 81...m/sec 2 ).

23 2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES 23 De grafiek is een halve parabool. Ook snelheid en versnelling zijn functies van de tijd. De kinetische energie is een functie van de snelheid. De potentiële energie is een functie van de afstand. De barometerdruk is een functie in van de hoogte. In de economie: Het aantal eenheden dat de consument bereid is te kopen is afhankelijk van de prijs (vraagfunctie, vraagkurve, collectieve vraagkurve). Het aantal eenheden dat de producent bereid is te verkopen wordt bepaald door de prijs dat hij er kan voor krijgen (aanbodfunctie, aanbodkurve). Het aantal verkochte eenheden van een product is een functie van de eenheidsprijs (omzetkurve, prijsafzetfunctie). De totale kosten zijn functie van het geproduceerde en verkochte eenheden. In de scheikunde: De snelheid van een chemische reactie is een functie van de tijd en de radioaktiviteit is een functie van de tijd. In de geneeskunde: De hoeveelheid bacteriën is een functie van de tijd, evenals het aantal geboorten en sterften Verdere begrippen en zegswijzen De verzameling A wordt de bron van de functie genoemd. De verzameling B wordt het doel van de functie genoemd. De verzameling van alle x van A die een beeld hebben wordt het domein van de functie of het definitiegebied van de functie genoemd. We noteren domf. domf A. De verzameling van alle beelden wordt de beeldverzameling f(a) genoemd. We noteren f(x). f(a) B. Stel al deze begrippen voor op Venn-diagram en op grafiek (zie figuur 2.7).

24 24 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Bijzondere functies Figuur 2.7: voorbeeld: y is het omgekeerde van x Afbeelding Een functie van A in B is een afbeelding van A in B als elk element van A juist één beeld heeft in B (zie figuur 2.8). domf = A Figuur 2.8: voorbeeld van afbeelding: y is het kwadraat van x Injectie Een injectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van hoogstens één element van A (zie figuur 2.9). Met symbolen: x 1, x 2 A : f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 x 1, x 2 A : x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ). Surjectie Een surjectie van een verzameling A op een verzameling B is een afbeelding van

25 2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES 25 Figuur 2.9: voorbeeld van injectie: y is een reële macht van 10 Figuur 2.10: voorbeeld van surjectie: y is de som van de derde macht van x en het kwadraat van x A in B waarbij elk element van B het beeld is van ten minste één element van A, m.a.w. f(a) = B (zie figuur 2.10). Bijectie Een bijectie van een verzameling A in een verzameling B is een afbeelding van A in B waarbij elk element van B het beeld is van juist één element van A. Een bijectie is een afbeelding die t.z.t. een injectie en een surjectie is (zie figuur 2.11). Figuur 2.11: voorbeeld van bijectie: y is de derdemachtswortel uit x

26 26 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Restrictie en uitbreiding van een functie De restrictie van een functie f : A B tot een deelverzameling D van A en een deelverzameling E van B is de functie g : D E waarvoor x D : g(x) = f(x). Belangrijke opmerkingen : * Het verschil tussen het begrip functie en het begrip afbeelding hangt enkel af van hoe de bron gedefinieerd is. Als we van een functie de restrictie nemen tot zijn domein dan verkrijgen we een afbeelding. Zo kunnen we van elke functie een afbeelding maken. Voorbeeld: f : R R : x 1 x is geen afbeelding omdat 0 R geen beeld heeft. Maar f 1 : R 0 R : x 1 x is een afbeelding omdat elk element van R 0 een beeld heeft. Figuur 2.12: functie en afbeelding * Het verschil tussen het begrip injectie en het begrip bijectie hangt enkel af van hoe het doel gekozen werd. Beperken we het doel B van een injectie tot de beeldverzameling dan wordt de injectie een bijectie. Zo kunnen we van elke injectie een bijectie

27 2.2. FUNCTIES - REËLE FUNCTIES 27 maken. Voorbeeld: De afbeelding f 1 : R 0 R : x 1 x is een injectie maar geen surjectie. Maar de injectie is een surjectie en dus een bijectie. f 2 : R 0 R 0 : x 1 x Figuur 2.13: injectie en bijectie Een uitbreiding van een functie f : A B in een punt d A met d domf is een functie f : A B waarvoor x A \ {d} : f(x) = f(x) Voorbeeld: De functie f : y = x2 1 is een functie die geen beeld heeft in x = 1 omdat x+1 voor deze waarde de noemer dan nul is. De functie f : y = x 1 is een uitbreiding van f in 1 omdat x R \ { 1} : x2 1 x + 1 = x 1

28 28 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Figuur 2.14: uitbreiding van een functie OPGAVEN 5 Gegeven is de relatie xy x + 3 = 0 1. Toon aan dat de gegeven relatie een functie? 2. Geef het voorschrift van de functie; 3. Ga na of de functie een afbeelding is; 4. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functie verloren gaan. Bepaal deze restrictie; 5. Teken de grafiek met de computer en verifieer alles op grafiek. 6 Gegeven is de relatie x 2 + y 2 = Is de gegeven relatie een functie? Leg uit; 2. Teken de grafische voorstelling. 7 Gegeven is de relatie ux + vy + w = 0. met (u, v, w) R 3. In welk geval is de gegeven relatie 1. geen functie? Hoe ziet de grafische voorstelling eruit? 2. een functie? Hoe ziet de grafiek eruit? 3. een functie die geen injectie is? Hoe ziet de grafiek eruit? 8 Gegeven is de functie y = x. 1. Geef het domein van de gegeven functie; 2. Is de gegeven functie een afbeelding? 3. Bestaat er een restrictie van deze functie die een bijectie is zodat er geen koppels van de functie verloren gaan. Bepaal deze restrictie; 4. Teken de grafiek van de functie. 9 Gegeven is de kwadratische functie y = (x 1)(x 5). 1. Is de functie een afbeelding? 2. Is deze functie een injectie? Leg uit; 3. Is deze functie een surjectie? Leg uit; 10 Is de volgende vergelijking het voorschrift van een functie. 1) x 2 + 2y = 0 2) 4x 2 9y 2 = 36 3) y 3 = x

29 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES Lineaire afbeeldingen Een afbeelding f : A B is een lineaire afbeelding of een homomorfisme als en slechts als het beeld van een lineaire combinatie van elementen van A gelijk is aan de lineaire combinatie van de beelden. De verzamelingen A en B zijn reële vectorruimten. In het geval van reële functies is A = B = R. De verzameling van de reële getallen vormt eveneens een reële vectorruimte. x 1, x 2 A, r, s R : f(r.x 1 + s.x 2 ) = r.f(x 1 ) + s.f(x 2 ). We zien gemakkelijk in dat bij een lineaire afbeelding de nulvector van A afgebeeld wordt op de nulvector van B. Voor lineaire reële functies wordt 0 op zichzelf afgebeeld. De enige reële functies die lineair zijn, zijn de functies f : x ax met a R. Deze functies zijn eerstegraadsfuncties waarvoor de grafiek een rechte is door de oorsprong (verschillend van de y-as). 2.3 Bewerkingen met functies Bewerkingen zoals som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotiënt van functies kunnen voor functies van A naar B enkel gedefinieerd worden als deze bewerkingen ook gedefinieerd zijn in de verzamelingen A en B. Deze bewerkingen zijn gedefinieerd in R, dus kunnen ze gedefinieerd worden voor reële functies. In een reële vectorruimte is de som en de scalaire vermenigvuldiging van vectoren gedefinieerd, maar het product en het quotiënt van twee vectoren definiëren wij daar niet. Voor homomorfismen zullen we dus enkel de som, het verschil en de scalaire vermenigvuldiging beschouwen. De definities van som, verschil, scalaire vermenigvuldiging, product en quotiënt van functies zijn enkel geldig waar de gelijknamige bewerkingen in het doel gedefinieerd zijn Samenstelling van twee relaties De samenstelling van de relatie R 1 (x, y) van A naar B en de relatie R 2 (y, z) van B naar C is een relatie van A naar C. We illustreren met voorbeelden. De samenstelling van de relatie y is moeder van x gevolgd door de relatie z is zus van y is de relatie z is een tante van x. Stel deze samenstelling voor op Venn-diagram (zie figuur 2.15) } y is moeder van x z is zus van de moeder van x z is tante van x z is zus van y

30 30 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES De samenstelling van de relatie y is een vierkantswortel uit x gevolgd door de relatie z is de derdemachtswortel uit y is de relatie z is een zesdemachtswortel uit x. y = ± x z = 3 y } y2 = x z 3 = y } (z 3 ) 2 = y 2 = x z 6 = x z = ± 6 x Stel deze samenstelling voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.15). Figuur 2.15: de samenstelling van relaties - Venndiagrammen Samenstelling van twee functies De samenstelling van twee functies f : A B, x y en g : B C, y z is de relatie g f : A C, x z (We lezen g na f of f wordt gevolgd door g). Er geldt (g f)(x) = g(f(x)). Voorbeeld: We beschouwen de functies f : y = x 2 en g : y = x + 1. In de samenstelling g f werkt de functie g in op de beelden y van f. Daarom is y de onafhankelijk veranderlijke van g en schrijven we g : z = y + 1 voor het voorschrift van g. f : y = x 2 g : z = y + 1 = g f : z = x2 + 1

31 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 31 In de samenstelling f g werkt de functie f in op de beelden y van g. Daarom is y de onafhankelijk veranderlijke van f en schrijven we f : z = y 2 voor het voorschrift van f. g : y = x + 1 f : z = y 2 = f g : z = (x + 1) 2 We zien dat de samenstelling van twee functies niet commutatief is. Dit komt overeen met het product van matrices dat eveneens niet commutatief is. Teken enkele punten van de twee samenstellingen g f en f g aan de hand van de grafieken van f en g in de figuur Figuur 2.16: g f : y = x en f g : y = (x + 1) Inverse relatie De inverse relatie van een relatie R(x, y) = 0 van A naar B is de relatie R(y, x) = 0 van B naar A die de verzameling is van alle koppels (y, x) waarvoor (x, y) een koppel is van de relatie R(x, y) = 0. Zijn x en y van een relatie reële getallen dan liggen de grafische voorstellingen van relatie en haar inverse relatie symmetrisch t.o.v. de rechte x = y.

32 32 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Voorbeelden: De inverse relatie van de relatie y is ouder van x is de relatie x is ouder van y wat hetzelfde is als y is kind van x. Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.17). Figuur 2.17: y is ouder van x en y is kind van x zijn inverse relaties De inverse relatie van de relatie y is strikt kleiner dan x is de relatie y is strikt groter dan x. y < x x < y y > x Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.18). Figuur 2.18: y is kleiner dan x en y is groter dan x zijn inverse relaties De inverse relatie van y is het kwadraat van x is de relatie y is een vierkantwortel van x. y = x 2 x = y 2 y = ± x y 2 = x Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram (zie figuur 2.19).

33 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 33 Figuur 2.19: y is kwadraat van x en y is een vierkantswortel van x zijn inverse relaties Inverse functie In voorgaande voorbeelden zagen we dat de inverse relatie van een functie niet altijd een functie is. De volgende stelling geeft de voorwaarden opdat de inverse relatie van een functie een functie zou zijn. STELLING 2.1 De inverse relatie van een functie is een functie op voorwaarde dat de restrictie tot het domein van de functie een injectie is. Beperken we het doel van een injectie tot zijn beeldverzameling dan wordt deze injectie een bijectie. De inverse functie van een bijectie is weer een bijectie. Bewijs: Wat in de definitie van functie gezegd wordt over de bron, wordt in de definitie van injectie gezegd over het doel. We noteren: f 1 is de inverse functie van f. Restrictie tot het domein is een injectie. Voorbeelden: De inverse relatie van y is het dubbel van x is de relatie y is de helft van x. f : y = 2x is een bijectie daaruit volgt dat f 1 : y = x een functie en tevens een 2 bijectie is. y = 2x x = 2y y = x 2 Stel de inverse relatie voor op Venn-diagram en geef ook een grafische voorstelling (zie figuur 2.20). De functie y = ax + b met a 0 is een bijectie. De inverse functie is x = ay + b y = 1 (x b). a Merk op dat de richtingscoëfficiënten van de rechten elkaars omgekeerden zijn.

34 34 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Figuur 2.20: y is dubbel van x en y is de helft van x zijn inverse relaties Gegeven zijn de functies f : y = 3x + 5 en h : y = 6x Bepaal de functie g zodat g f = h. Oplossing: Aangezien f een eerstegraadsfunctie is bestaat de inverse functie f 1 : y = 1 (x 5). We gaan beide leden van de gelijkheid g f = h rechts samenstellen 3 met f 1. (g f) f 1 = h f 1 (g (f f 1 ) = h f 1 g = h f 1 f 1 : y = 1 (x 5) 3 h : y = 6x + 15 De gevraagde functie is g : y = 2x + 5. = g : z = 6( 1 (x 5)) + 15 g : z = 2x De restrictie van de functie f : y = 1 x f : R 0 R 0 : x 1 x is een bijectie. Bijgevolg is de inverse relatie van deze restrictie een bijectie. y = 1 x x = 1 y y = 1 x De inverse functie is de functie zelf. De grafiek van deze functie moet dus noodzakelijk symmetrisch liggen t.o.v. de rechte y = x.

35 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 35 De restrictie tot het domein is geen injectie Voorbeeld: De restrictie van de functie y = x 2 tot zijn domein is geen injectie. Bijgevolg is de inverse relatie y 2 = x geen functie. De grafische voorstelling van deze relatie bestaat echter wel uit de unie van de grafieken van de twee functies y = x en y = x. Duid deze functies aan op de grafische voorstelling van y 2 = x in de figuur We kunnen twee restricties van f beschouwen die injecties zijn, nl. f 1 : R + R : x x 2 en f 2 : R R : x x 2 Beperken we de doelen van f 1 en f 2 tot hun beeldverzamelingen dan verkrijgen we de bijecties: g 1 : R + R + : x x 2 en g 2 : R R + : x x 2 De inverse functies van g 1 en g 2 zijn resp.: g 1 1 : R + R + : x x en g 1 2 : R + R : x x Praktisch kunnen we kort schrijven: y = x 2 met x 0 en y > 0 x = y 2 met y 0 en x > 0 y = + x met y 0 en x > 0 y = x 2 met x 0 en y > 0 x = y 2 met y 0 en x > 0 y = x met y 0 en x > 0 Figuur 2.21: de inverse relatie y 2 = x is geen functie

36 36 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Som van twee functies De som van twee functies f en g van A in B is de functie f + g van A in B die elke x waarvoor de beelden f(x) en g(x) bestaan, afbeeldt op de som van de beelden nl. f(x) + g(x). Met symbolen: x domf domg : (f + g)(x) = f(x) + g(x). Voorbeelden: In de economie is de collectieve vraagfunctie de som van de individuele vraagfuncties. De som van de functies f : y = 1 x en g : y = x is de functie f + g : y = 1 x + x. Het domein van deze som is de doorsnede van het domein R 0 van f en het domein R + van g, nl. R + 0. Teken enkele punten van f + g in figuur 2.22 aan de hand van de grafieken van f en g. Figuur 2.22: y = 1 x + x

37 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 37 STELLING 2.2 De som van functies van A naar B is commutatief in de verzameling van de functies van A naar B. Bewijs: Deze eigenschap is geldig voor reële functies omdat de som van reële getallen commutatief is. De eigenschap is ook geldig voor lineaire afbeeldingen omdat de som van vectoren in een vectorruimte commutatief is. De tegengestelde functie van de functie f : A B is de functie f, die elke x-waarde van domf A afbeeldt op f(x). Voor reële functies is f(x) het tegengesteld reëel getal van f(x). De grafieken liggen symmetrisch t.o.v. de x-as. Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is f(x) de tegengestelde vector van de vector f(x). Voorbeeld: De tegengestelde functie van de functie f : y = 2x is de functie f : 2x 2 1. Teken enkele punten van de grafiek van f in figuur 2.23 aan de hand van de grafiek van f. Figuur 2.23: y = 2x en y = 2x 2 1

38 38 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Het verschil van twee functies Elke functie heeft een tegengestelde functie. We kunnen nu het verschil van twee functies definiëren. Het verschil van twee functies f en g is de functie f g die we bekomen door bij f de tegengestelde functie van g op te tellen. Het komt er op neer de beelden van de twee functies van elkaar af te trekken. Voor reële functies is dit volgens de definitie van verschil van twee reële getallen. Voor lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten is dit volgens de definitie van verschil van vectoren. (f g)(x) = (f + ( g))(x) = f(x) + ( g(x)) = f(x) g(x). Voorbeeld: In de economie is de winst of het verlies (positief en negatief resultaat) het verschil van de omzetfunctie en de totale kostenfunctie De scalaire vermenigvuldiging van functies Het product van de functies f en het reëel getal r is de functie r.f die elke x domf afbeeldt op het product van r en het beeld f(x) nl. rf(x). Met symbolen: r R, x domf : (r.f)(x) = rf(x). Voor reële functies steunt deze definitie op het product van reële getallen. Voor lineaire afbeeldingen steunt ze op de scalaire vermenigvuldiging van vectoren. Voorbeelden: Het product van de functie f : y = x en het reëel getal 3 is de functie 3f : y = x. Het product van de functie y = x met het reëel getal 1 is de functie y = 1 x. 2 2

39 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 39 Figuur 2.24: scalaire vermenigvuldiging van functies op grafiek Figuur 2.25: y = 3 2 x

40 40 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Figuur 2.26: grafiek van y = x en y = 1 2 x Het product van twee functies Het product van twee functies f en g is de reële functie f.g die elke x-waarde waarvoor de beelden f(x) en g(x) bestaan, afbeeldt op het product van de beelden nl. f(x)g(x). Met symbolen: x domf domg : (f.g)(x) = f(x)g(x). Voorbeeld: Het product van de functies f : y = x en g : y = x is de functie f g : y = x x. Het domein van dit product is de doorsnede van het domein R van f en het domein R + van g, nl. R +. Teken enkele punten van f g in de figuur aan de hand van de grafieken van f en g.

41 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 41 De omgekeerde functie van een functie f is de functie 1, die elke x-waarde waarvoor f het beeld f(x) bestaat en verschillend is van nul, afbeeldt op 1. f(x) De omgekeerde functie 1 heeft hetzelfde domein als f op de nulpunten van f na. f 1 Het product van y = f(x) en haar omgekeerde is gelijk aan de constante functie f(x) y = 1. Voorbeeld: De omgekeerde functies van de functie f : y = x + 1 is de functie 1 : y = 1. f x+1 Het domein van de omgekeerde is R \ { 1}. Teken enkele punten van 1 in de figuur aan de hand van de grafiek van f. f

42 42 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Quotiënt van twee functies De omgekeerde functie van de nulfunctie, dit is de functie die elke x op 0 afbeeldt, is de ledige functie. Voor elke andere functie bestaat de omgekeerde functie. Het quotiënt van twee functies f en g is het product van de eerste functie f met de omgekeerde functie van de tweede functie g op voorwaarde dat g niet de nulfunctie is. Het quotiënt van twee functies f en g beeldt elke x-waarde van domf domg en waarvoor g(x) 0, af op het quotiënt van de beelden. Met symbolen: x domf domg g(x) 0 : f f(x) (x) = g g(x). Het quotiënt van twee functies is niet commutatief in de verzameling van de functies van A in B. Voorbeeld: Het quotiënt van de functies f : y = x en g : y = x + 2 en is de functie f : y = x. Het domein van dit quotënt is de doorsnede van het domein g x+2 R+ van f en het domein R van g en waar we x = 2 moeten uitsluiten omdat het een nulpunt is van g, nl. R + \ { 2}. Teken enkele punten van f in de figuur aan de hand van de grafieken g van f en g.

43 2.3. BEWERKINGEN MET FUNCTIES 43 AN I groepswerk 1 1. Gegeven de functies f : y = 3x + 5 en h : y = 3x 2 + 3x + 2. Bepaal de functie g zodat f g = h. 2. Gegeven is de functie f : y = 2x (a) Teken de grafiek van f met de computer; (b) Is f een injectie, een bijectie? Bekijk dit op het voorschrift en op grafiek van f; (c) Bepaal de inverse relatie van f en teken de grafiek a.h.v. de grafiek van f. 3. Gegeven zijn de functies f : y = 2x 2 7x + 4 en g : y = 1 2x. (a) Teken t.o.v. eenzelfde coördinatenstelsel de grafiek van f in potlood en de grafiek van g in groen; (b) Bepaal de nulpunten x 1 en x 2 van f; (c) Leid uit de waarden van x 1 en x 2 de x-waarde x t af van de top van de parabool y = f(x); (d) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 1 2 f voor x = 0, x 1, x 2 en x t schets in groen de grafiek van 1 2 f; (e) Bepaal het voorschrift van 1 2 f. (f) Bepaal grafisch de punten van de grafiek van 1 2 f + g voor x = 0, x 1, x 2 en x t ; (g) Welk nulpunt van 1 f + g is eenvoudig grafisch te bepalen; 2 (h) Schat de x-waarde van de top van 1 f + g. Leid hieruit de waarde af van het 2 ander nulpunt van 1f + g; 2 (i) Schets de grafiek van 1 f + g aan de hand van de gevonden punten; 2 (j) Bepaal het voorschrift van 1 2 f + g; (k) Maak een andere tekening met de grafieken van f en g. Bepaal indien mogelijk grafisch de punten van de grafiek van f voor x = 0, x g 1, x 2 en x t. Je merkt op dat deze punten op eenzelfde rechte liggen. Wat moet de vergelijking zijn van die rechte? Duid ook het punt aan waar f niet bestaat; g (l) Als je de grafiek van f tekent met de computer dan zie je dat de grafiek g inderdaad een rechte is die een gaatje vertoont. (m) Kan je dat verklaren a.d.v. de voorschriften van f en g en het voorschrift van f g. Oplossingen: 1:g : y = x 2 + x 1, 1: f 1 : y = 3 x 2 + 8

44 44 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES 2.4 Transformaties van krommen In deze paragraaf zullen we de invloed onderzoeken van een transformatie op de vergelijking R(x, y) = 0 van een kromme Verschuivingen Het beeld van een punt onder een verschuiving We beschouwen in het vlak de verschuiving met vector v(x 0, y 0 ). Elk punt P (x, y) van het vlak wordt door de verschuiving met vector v(x 0, y 0 ) afgebeeld op een punt P (x, y ) en de transformatieformules zijn op = op + v (x, y ) = (x, y) + (x 0, y 0 ) (x, y) = (x, y ) (x 0, y 0 ) De formule in de vorm van een stelsel is { x = x + x 0 y = y + y 0 { x = x x 0 y = y y 0 Het is handig deze stelsels schematisch voor te stellen met matrices. ( ) ( ) ( ) x x x0 y = + y y 0 ( x y ) ( ) x = y ( x0 De matixvoorstelling van de transformatieformules in verkorte gedaante is y 0 ) (2.1) X = X + X 0 X = X X 0.

45 2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN Het beeld van een kromme onder een verschuiving Is R(x, y) = 0 de vergelijking van de kromme K dan zoeken we de vergelijking van het beeld K van K onder de verschuiving met vector v(x 0, y 0 ). Daartoe zoeken we het verband waaraan de coördinaat (x 1, y 1) van het beeld P van het punt P (x 1, y 1 ) K moet voldoen opdat het op K zou gelegen zijn. Voor elk beeldpunt P (x 1, y 1) van een punt P (x 1, y 1 ) K geldt volgens de transformatieformules 2.1 R(x 1 x 0, y y o ) = 0. De coördinaat (x 1, y 1) van elk beeldpunt P voldoet aan de vergelijking R(x x 0, y y o ) = 0. De kromme K met vergelijking R(x x 0, y y 0 ) = 0 is het beeld onder de verschuiving met vector v(x 0, y 0 ) van de kromme K met vergelijking R(x, y) = 0. Bijzondere geval: verschuiving van de grafiek van een functie De grafiek G : y y 0 = f(x x 0 ) is het beeld van de grafiek G : y = f(x) onder een verschuiving over de vector (x 0, y 0 ). De functie De grafiek G : y = f(x x 0 ) is het beeld van de grafiek G : y = f(x) onder de verschuiving langs de x-as over de vector (x 0, 0). De grafiek G : y y 0 = f(x) y = f(x) + y 0 is het beeld van de grafiek G : y = f(x) onder de verschuiving langs de y-as over de vector (0, y 0 ). y y 0 = f(x) y = f(x) + y 0 bekomt men ook door de som te maken van de functie y = f(x) en de constante functie y = y 0 (zie bladzijde 36).

46 46 HOOFDSTUK 2. FUNCTIES Figuur 2.27: verschuiving van een grafiek langs de x-as en langs de y-as Voorbeelden: Elke parabool y = ax 2 + bx + c is de verschuiving van een parabool met vergelijking y = ax 2. We herhalen de berekening die we kunnen maken om de vector van verschuiving te bepalen. De vergelijking y = ax 2 + bx + c van de parabool kunnen we als volgt in een andere gedaante brengen. De parabool met vergelijking y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + b a x + b2 4a ) + c b2 2 4a = a(x + b 2a )2 + 4ac b2 4a y + b2 4ac 4a = a(x + b 2a )2 is het beeld van de parabool met vergelijking y = ax 2

47 2.4. TRANSFORMATIES VAN KROMMEN 47 onder de verschuiving met vector v( b 2a, 4ac b2 ) = v( b 4a 2a, D ) met D de discriminant 4a dit is de plaatsvector van de top van de parabool (t.o.v. een orthonormale basis). Figuur 2.28: bepaal de vector van verschuiving die y = 1 2 x2 afbeeldt op y = 1 2 x2 + 2x + 5 De cirkel met vergelijking C : (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2 is de verschuiving met vector v(x 0, y 0 ) van de cirkel met vergelijking C : x 2 + y 2 = R 2. De vector van de verschuiving is de plaatsvector van het middelpunt van de cirkel C. Figuur 2.29: bepaal de vector van verschuiving die x 2 + y 2 = 1 afbeeldt op 4x 2 + 4y 2 + 4x + 16y + 13 = 0