Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.

Transcriptie

1 Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven. 1. Rekenen met gehele getallen: Los in gehele getallen x en y (en z) op: (a) 38x + 43y = 1; (b) 24x + 33y = 3; (c) 15x + 35y = 25; (d) 14x + 8y = 37; (e) 12x + 20y + 4z = 23; (f) 45x + 60y + 21z = 24. Oplossing: (a) (17, 15): Draai 38 en 43 door Euclides. (b) ( 4, 3): Draai 24 en 33 door Euclides, ze hebben ggd 3. (c) ( 10, 5): Draai 15 en 35 door Euclides, vind 5 = -2*15 + 1*35, en vermenigvuldig met 5. (d) Geen oplossing want 14 en 8 zijn even, elke lineaire combinatie van 8 en 14 dus ook. (e) Er is geen oplossing, want 12, 20 en 4 zijn even. (f) ( 24, 24, 16): Begin met de eerste twee getallen en vind (met Euclides): 15 = -1*45 + 1*60. Ga verder met 15 en 21 en vind 3 = 3*15-2*21. Vervang 15 door -1*45 + 1*60 en vind 3 = -3*45 + 3*60-2*21. Vermenigvuldig met 8: ( 24, 24, 16). Er zijn overigens oneindig veel oplossingen, (8,0,-16) is er ook een. Beoordeling/Toelichting: 0.5 per goed antwoord, uitleg niet vereist. 2. Multiplicatieve inversen: (a) Wat is, voor een integer n, de definitie van Z n en φ(n)? (b) Bewijs dat Z n gesloten is onder vermenigvuldiging. (c) Wat is de waarde van φ(n) als n het product is van drie priemgetallen p, q en r? Oplossing: (a) Z n = {a Z n b : b a = 1} en φ(n) = #Z n. (b) Stel a 1 Z n met inverse b 1 en a 2 Z n met inverse b 2. Dan zit a 1 a 2 in Z n omdat dit element inverse b 1 b 2 heeft, immers b 1 b 2 a 1 a 2 = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) = 1 1 = 1. (c) Als de getallen verschillend zijn: (p 1)(q 1)(r 1). Beoordeling/Toelichting: Voor (a) twee punten, (b) en (c) allebei 1pt. G = Redeneer met de Ggd en karakterisering van Z n: als gcd(m, a) = 1 en gcd(m, b) = 1, dan ook gcd(m, ab) = 1. Dit bewijs mag uiteraard ook, maar dan moet deze implicatie ook wel echt bewezen worden, alleen noemen is niet genoeg.

2 3. Lineaire Vergelijkingen: Bepaal met behulp van het algoritme van Euclides de verzameling van alle oplossingen van de volgende vergelijkingen: (a) 38x + 43y = 1 (b) 43x + 5y = 3 (c) 34x + 46y = 4 (d) 112x + 60y + 32z = 33 (e) 45x + 60y + 21z = 24 Oplossing: Bepaal steeds de GGD van de coefficiënten, bij (a) is dit 1 en krijg je uit Extended Euclides dus gelijk de oplossingsverzameling. Bij (b) is de GCD ook 1, dus EE geeft oplossingen voor 43x + 5y = 1, namelijk als eerste 1 = De verdere oplossingen vind je door de eerste term met veelvouden van 5 43 te verhogen en de andere te verlagen, als in x = 2 + 5n, y = 17 43n. Doe die oplossingen keer 3 om de oplossingen van 43x + 5y = 3 te krijgen: x = n, y = n. Met bv n = 0 vind je x = 6 en y = 51 en inderdaad is = 3. Met n = 7 vind je x = 99 en y = 852 en inderdaad is 43 ( 99) = 3. (c) gaat analoog, bij (d) en (e) moet je twee keer Euclides toepassen: bepaal eerst de GGD van één paar getallen, en neem dan de GGD van die GGD en de overgebleven coefficiënt. Voor n Z zijn de oplossingen: (a) 43n+17, y = 38n 15, (b) x = 6+15n, y = 51 43n, (c) x = 23n+15, y = 17n 11, (d) is onoplosbaar want alle getallen links zijn even, rhs is oneven en (e) heeft voor iedere x oneindig veel oplossingen, namelijk y = 7n+x+6, z = 20n 5x 16. Beoordeling/Toelichting: 0.5pt per vergelijking. Aan het antwoord moet te zien zijn dat het algoritme van Euclides is gebruikt. Als er één oplossing wordt gegeven ipv de verzameling, worden de punten ook al toegekend. Totaal 2.5pt. 4. Foute Euclides: Koen moet een Excelformule maken om Grootste Gemene Deler uit te rekenen voor getallen tot 10 cijfers en zijn oplossing staat hier: Als je in de gele vakjes twee getallen typt, verschijnt ernaast in groen de GGD. Maar dit blad is niet goed (en de antwoorden dus niet betrouwbaar!)! Er is helaas een paar (A,B) van tien cijfers elk, waarvoor het blad niet werkt. Welk paar is dat? Leg uit hoe je eraan komt. Oplossing: Koen heeft zijn formule net niet lang genoeg doorgetrokken. De laatste staat in cel B49. Het is bekend dat je bij Euclides een langst mogelijke staart krijgt als je begint met twee opeenvolgende Fibonacci getallen. (Iets preciezer gezegd: de kleinste getallen die een staart van k delingen geven zijn F k en F k+1.) De Fibonacci s F49 en F48, en , hebben nog net tien cijfers en worden pas goed uitgerekend als de deelformule ook nog in cel B50 staat. Beoordeling/Toelichting: Totaal 2pt voor een kloppend (dwz, dus eigenlijk niet-kloppend) paar en uitleg over hoe het gevonden is. 5. Euclides: Bereken met het algoritme van Euclides de waarde van d = ggd(1230, 504). Laat alle tussenresultaten zien. Bereken x en y waarvoor geldt dat d = 1230x + 504y. Oplossing: De achtereenvolgende resten bij deling zijn 222, 60, 42, 18, 6 en 0. Resultaat 6 is ( 61). Beoordeling/Toelichting: Te halen 2pt, 1 voor de ggd en tussenresultaten en 1 voor de x en y. X = Geen x en y berekend.

3 6. Extended Euclides: Schrijf 3 als som van een 93-voud en een 129-voud. Laat de stappen van Euclides Algoritme zien. Oplossing: 129 is 1 keer 129 en 93 is 93. Deling geeft rest 36 is 129 min 93. Deling geeft rest 21 is min 258 plus 279. Deling geeft rest 15 is 387 min 372. Deling geeft rest 6 is min 645 plus 651. Deling geeft rest 3 is 1677 min 1674 (ofwel 13x129 min 18x93). Beoordeling/Toelichting: Goed antwoord inclusief deelresultaten, 2pt. R = De Recursieve variant van ExEuc is misschien wel makkelijker om te programmeren, maar voor humane executie (hiermee bedoel ik niet het mensvriendelijk doodmaken van mensen, maar het door een mens uitrekenen van een uitkomst) werkt de iteratieve versie wat mensvriendelijker (humaner). 7. Extended Euclides: Schrijf 3 als 129-voud plus 51-voud. Gebruik Extended Euclides en laat de stappen zien. Oplossing: 3 is tweemaal 129 min vijfmaal 51. Beoordeling/Toelichting: 2pt voor dit antwoord met berekening. 8. Z 21 : Hoeveel is φ(21) en welke getallen zitten in Z 21? Oplossing: Omdat 21 = 3x7, is φ(21) = 2 6 = 12. De gevraagde getallen zijn de getallen tot 21, waar drievouden en zevenvouden worden weggelaten: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20. Beoordeling/Toelichting: Max 1 voor het ophoesten van dit redelijk elementaire feitje. A = Voor een Ander getal gedaan, max 1/2pt. P = De Priemregel φ(p) = p 1 geldt niet voor p = 21; 0pt. 9. Eulers φ: Wat is de waarde van φ(3 k )? Oplossing: 2.3 k 1, want van de 3 k getallen hebben er 3 k 1 een factor 3, en deze zijn niet inverteerbaar. Beoordeling/Toelichting: 2 pt voor een goede waarde. Beoordelingscodes: E = Afwijking van Een (als 3 k 3 k 1 + 1), -1/2. T = Antwoord is fout, bv 2 k. 10. Eulers φ: Wat is de waarde van φ(4 k )? Oplossing: Modulus 4 is niet priem, en elk even getal (deelbaar door 2) heeft geen inverse. Dus 2.4 k 1, want van de 4 k getallen is de helft even. Beoordeling/Toelichting: 2 pt voor een goede waarde en uitleg. Beoordelingscodes: E = Afwijking van Een. F = Antwoord is Fout, bv 3 k. V = 3.4 k 1 werd meermaals beweerd. Mogelijk geïnspireerd door de regel φ(p k ) = (p 1).p k 1, voor priem p. Dit klopt alleen als 4 priem is, wat nog niet is aangetoond.

4 11. Eulers φ: Wat is de waarde van φ(5 k )? Oplossing: 4.5 k 1, want van de 5 k getallen hebben er eenvijfde, dus 5 k 1 een factor 5, en deze zijn niet inverteerbaar. Beoordeling/Toelichting: 2 pt voor een goede waarde. Beoordelingscodes: E = Afwijking van Een (als 5 k 5 k 1 + 1), -1/2. F = Antwoord is Fout, bv 2 k of 4 k. 12. Gegeven fractie als φ: Noem vijf getallen m waarvoor geldt φ(m) = 1 2 m. Noem vijf getallen m waarvoor geldt φ(m) = 1 3 m. Oplossing: Als m een tweemacht is, bevat Z m precies de oneven getallen en dit is (in een eindige verzameling) precies de helft. Dus 2, 4, 8, 16, 1024 en zijn mogelijke antwoorden. De fractie 1 3 is precies , dus φ(m) = 1 3 m = m geldt wanneer m de priemfactoren 2 en 3 heeft (en geen andere). Dan zijn bv. 6, 12, 36, 48, 144 mogelijke antwoorden. Beoordeling/Toelichting: Per deelvraag 1 pt, totaal 2 te halen. Omdat er alleen naar voorbeelden werd gevraagd, kon je hier met onvolledig begrip nog lekker scoren. Bv als je dacht dat voor de eerste vraag alleen 4-machten, of voor de tweede alleen 6-machten zouden kunnen, dan zou je hier nog volledige punten halen. D = Een Driemacht m heeft φ(m) = 2 3m, dus niet goed. E = Eén voorbeeld is niet genoeg, het moesten er vijf zijn. Z = Niet alle Zesvouden zijn goed, bv m = 30 is fout. 13. φ(p 3 ): In deze vraag is p een oneven priemgetal. Hoeveel is φ(p 3 )? Oplossing: Van de p 3 getallen in Z p 3 zijn er p 2 een veelvoud van p en daarmee nietinverteerbaar. Er zijn dus p 3 p 2 inverteerbare getallen zodat φ(p 3 ) = p 2 (p 1). Beoordeling/Toelichting: Voor goed beredeneerd antwoord 2pt. 14. Eulers phi: Bewijs dat voor een priemgetal p geldt: φ(p 2 ) = p(p 1). Oplossing: De verzameling Z p 2 bevat p 2 getallen en φ(p 2 ) is het aantal inverteerbare getallen daarvan. Een getal is niet inverteerbaar als het een factor gemeen heeft met de modulus, dus in dit geval: deelbaar is door p. Onder de getallen 0 t/m p 2 1 zijn precies p veelvouden van p, die dus niet in Z p 2 zitten. Daarom is φ(p 2 ) = p 2 p = p(p 1). Beoordeling/Toelichting: Voor goede redenering 2pt. Deelantwoorden: Als je weet wat φ is 1/2 pt. Als je weet wanneer een getal inverteerbaar is ook 1/2 pt. Verdere codes: K = Verwijs naar de stelling over φ(p k ) plus toepassen, 1pt. R = Regel φ(a.p) = A.φ(p) hier niet toepassen, omdat die regel niet bestaat, 0pt. V = Geef alleen enkele Voorbeelden, 1/2pt. 15. Eindejaarsvraag: Vooruit, nu het nog net kan: hoeveel is φ(2015)? Oplossing: Omdat 2015 = , is φ(2015) = φ(31) φ(13) φ(5) = = Beoordeling/Toelichting: 1 punt voor goed antwoord. P = 1608 is niet goed want 403 is niet priem.

5 16. φ: (a) Geef de definitie van φ(m). (b) Hoeveel is φ(2017)? Oplossing: (a) Voor een modulus m is φ(m) het aantal elementen van Z m dat een multiplicatieve inverse heeft. (b) 2017 is een priemgetal en voor priem m geldt φ(m) = m 1, dus φ(2017) = Beoordeling/Toelichting: Tot 2pt, per deelvrag De orde van 5: Wat is ord(5) in Z 256? Laat zien hoe je aan je antwoord komt (de efficiëntie van je aanpak telt mee). Oplossing: De orde is de kleinste macht k waarvoor 5 k gelijk is aan 1. Volgens de Stelling van Lagrange en de opmerking na Def 5.11, moet deze k een deler zijn van φ(256), dus van 128, en dat betekent dat k een macht van 2 is. Je hoeft dus alleen maar herhaald te kwadrateren en zo check je achtereenvolgens 5 1, 5 2, 5 4, 5 8, etc. Daar gaan we. 5 1 is gewoon 5 en dat is niet is 25 en dat is ook niet is 25 2 dus 625 ofwel 113 en dat is niet is dus ofwel 225 en dat is niet is dus ofwel 193 en dat is niet is dus ofwel 129 en dat is niet is dus ofwel 1. Hm, 1. Conclusie: de gevraagde orde is 64. Beoordeling/Toelichting: Totaal 2pt. Een punt voor de uitkomst 64 als er genoeg bij staat om te geloven dat men dit echt zelf heeft uitgerekend (uiteraard kan het op verschillende manieren). Een tweede punt als de oplosmethode ook in enige helderheid is beschreven. E = Je berekening volgt een Exponentiële werkwijze (zoals 5 i berekenen voor elke waarde i tot 64) en hiervoor trekken we 1/2 af. 18. Multiplicatieve inverse en machten: Zij m een geheel getal groter dan 2. (a) Wat is de definitie van Z m? (b) Bewijs dat Z m gesloten is onder het nemen van machten; dwz., als a Z m en k is een positief geheel getal, dan a k Z m. Oplossing: (a) Z m is een deelverzameling van Z m, namelijk de getallen met een multiplicatieve inverse: a Z m wanneer a : a a = 1. (b) Omdat a Z m, bestaat a zdd a a = 1. Maar dan geldt (a k ) (a k ) = (a a ) k = 1 k = 1 (eerste vanwege associativiteit en commutativiteit van vermenigvuldiging). Dus a k is een inverse voor a k. Beoordeling/Toelichting: Deel (a) is niet echt een vraag maar alleen een opstapje voor (b), je krijgt daarom niks voor (a) en 2pt voor een kloppend bewijs.