INLEIDING GROEPENTHEORIE

Transcriptie

1 INLEIDING GROEPENTHEORIE webstek: efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit Wetenschappen

2 ii

3 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 2 Een beetje brugcursus Logica Verzamelingen Kwantoren en negaties Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen Bewerkingen met verzamelingen Cartesisch product Relaties en Functies Geïnduceerde functies, restrictie en corestrictie Injecties en surjecties De samenstelling van functies en Inverse functies Enkele welbekende resultaten uit getaltheorie Groepen Definitie Voorbeelden Ringen en meer voorbeelden iii

4 iv INHOUDSOPGAVE 3.4 Vermenigvuldigingstabel Elementaire Eigenschappen De orde van een element Vergelijkingen in Groepen Directe producten Deelgroepen Definitie Speciale Deelgroepen Voortbrengers Nevenklassen Definitie Stelling van Lagrange Toepassingen Normale deelgroepen Definitie Elementaire eigenschappen Quotiëntgroepen Definitie Deelgroepen van quotiëntgroepen Homomorfismen Definitie Isomorfismen Homomorfismestellingen

5 INHOUDSOPGAVE v 9 Permutatiegroepen Stelling van Cayley Eindige Permutatiegroepen Eindige Abelse Groepen Directe Producten Fundamentele Stelling Acties Definitie Orbiet-Stabilisator Stelling Sylowstellingen Semidirecte producten van groepen Oefeningen 115 Bibliografie 131 Index 132

6 vi INHOUDSOPGAVE

7 Hoofdstuk 1 Inleiding Het concept groep is één van de meest fundamentele in recente wiskunde. De oorsprong van dit concept kan men reeds impliciet terug vinden in de studie van congruente meetkundige figuren en afstandbewarende functies (bewegingen) in de ruimte. Het is pas sedert de eerste helft van de 19-de eeuw dat het idee duidelijk werd gedefiniëerd en erkend als een belangrijke wiskundige gedachte. In die tijd was het begrip groep reeds prominent aanwezig in het werk van Abel en Galois, en dit dan via de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen van graad groter dan 4. Later werd het begrip beweging veralgemeend en dit verduidelijkte een belangrijk verband tussen de verschillende meetkunden en de transformatiegroepen van hun meetkundige objecten. Het werk van Lie ( ) Abel ( ) 1

8 2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Galois ( ) omtrent continue groepen versterkte het belang van het groep concept. Rond het einde van de 19-de eeuw werd het fundamentele belang van groepen bijzonder duidelijk. Rond deze tijd werden transformatiegroepen en permutatiegroepen veralgemeend en kwam de abstracte theorie van groepen tot stand. Een eerste belangrijk boek met een overzicht van de stand van zaken in het begin van de 20-ste eeuw is dat van Burnside Theory of Groups of Finite Order, Lie ( ) gepubliceerd in Tot in 1955 evolueerde groepentheorie gestadig, maar vanaf 1955 kwam er een explosie in het onderzoek. Dit vanwege de publicatie van enkele fundamentele ontdekkingen. In deze cursus geven wij een inleiding in de groepentheorie. Een ander belangrijk aspect is om de studenten de kunst van abstracte bewijzen maken te leren appreciëren en aan te leren. Burnside ( ) De studiebenadering in deze cursus verschilt misschien van wat je tot nut toe gewoon bent in andere wiskunde cursussen. Tot op heden heb je waarschijnlijk veel oefeningen/problemen kunnen oplossen door naar gelijkaardige

9 problemen te zoeken in de tekst en dan wat de oplossingsmethode aan te passen. In deze cursus zal deze methode slechts eventueel doenbaar zijn voor een zeer beperkt aantal opgaven/problemen, maar het zal voor de meeste problemen niet werken. Het is van belang dat je de materie zeer goed verstaat, en dat je dus problemen pas aanpakt na een eerste grondige studie van de relevante theorie. De cursus staat vol van definities, stellingen, eigenschappen en voorbeelden. De definities zijn van uiterst belang omdat wij moeten overeenkomen wat er precies (en dus eenduidig) bedoeld wordt me de gebruikte terminologie. Dikwijls wordt een definitie gevolgd door voorbeelden die een concept illustreren. Voorbeelden zijn het belangrijkste hulpmiddel in de tekst: geef er dus veel aandacht aan. Een nuttige hint voor de studie van deze cursus is om stellingen eerst grondig te lezen. Sla in eerste instantie het bewijs over, maar tracht te verstaan wat de stelling precies zegt. Dit kan je o.a. doen door na te gaan wat de inhoud van een stelling betekent voor een concreet voorbeeld. Na een goed begrip van de stelling lees je grondig een bewijs en probeer elke stap te verstaan. Bewijzen in algebra zijn dikwijls moeilijker dan b.v. in analyse en meetkunde omdat je meestal geen suggestieve tekening kan maken. Een bewijs is meestal echter gemakkelijkäls je het juiste vertrekpunt/benadring vindt. 3

10 4 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

11 Hoofdstuk 2 Een beetje brugcursus Dit hoofdstuk is gebaseerd op de brugcursus Wiskunde I (VUB uitgaven), Discrete Wiskunde en Lineaire algebra: stelsels, matrices en afbeeldingen. 2.1 Logica De wiskunde is opgebouwd uit logische redeneringen. Deze redeneringen worden in het algemeen bestudeerd in de wiskundige discipline die logica heet. Logica komt uitgebreid aan bod in de cursus Grondslagen van de informatica I (Prof. De Troyer). Wij zullen de taal en notatie van de zogenaamde predikatenlogica gebruiken om redeneringen neer te schrijven. We herhalen hier enkele notaties en begrippen: de implicatie: p q ( Als p dan q ). Voorbeeld x is deelbaar door 10 x is even. de negatie: p. Voorbeeld De negatie van Het regent is Het regent niet. 5

12 6 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS de contrapositie van de implicatie: p q is equivalent met q p. Dit is zeer belangrijk! p q is ook equivalent met p q (het symbool lees je als of ). Voorbeeld Om te bewijzen dat n 2 even n even is het gemakkelijker te bewijzen dat n oneven n 2 oneven. de equivalentie: p q (p is equivalent met q ). p q is equivalent met (p q) (q p). Het is ook equivalent met (p q) ( p q) (het symbool lees je als en ). Voorbeeld n 2 even n even. negatie van de implicatie: (p q) is equivalent met p q. Opmerking De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie! 2.2 Verzamelingen Een fundamenteel begrip in de wiskunde is verzameling. Het is echter moeilijk dit begrip precies te definiëren. Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of te verzamelen. Voorbeeld De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee verschillende delers bezitten. Een object uit een gegeven verzameling heet een element. We noteren verzamelingen meestal met Latijnse hoofdletters: A, B, C,..., X, Y, Z. Sommige verzamelingen verdienen een speciaal symbool: N = {0, 1, 2,...}: de natuurlijke getallen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2,...}: de gehele getallen Q = { a a, b Z, b 0}: de rationale getallen b

13 2.2. VERZAMELINGEN 7 R: de reële getallen C = {a + bi a, b R}: de complexe getallen Een verzameling kan gedefinieerd worden door haar elementen op te sommen tussen accolades. We kunnen ook een algemene beschrijving geven van haar elementen zoals in het voorbeeld van Q. Hierbij moet je het verticale streepje lezen als waarvoor geldt. Soms schrijft men : in plaats van. Het symbool betekent is element van of behoort tot. Meer voorbeelden: R 0 = {x R x 0} R + = {x R x 0} R + 0 = {x R x > 0} M n (R): de verzameling van de n n-matrices over R.. Zo n matrix noteren wij dikwijls als volgt a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n... a n1 a n2 a nn of kortweg als (a ij ). M n (C): de verzameling van de n n-matrices over C.. De lege verzameling bevat geen elementen. Een verzameling met minstens 1 element wordt een niet-lege verzameling genoemd. (x A) korten we af tot x A, x behoort niet tot A.

14 8 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS 2.3 Kwantoren en negaties Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor voor alle :. Voorbeeld x R : x 2 0. Het dubbelpunt : betekent in een logische uitspraak geldt. Er is ook een kwantor er bestaat indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor minstens één element in een gegeven verzameling. Voorbeeld x R : x 2 = x. Soms wil men benadrukken dat er slechts één element bestaat met de gegeven eigenschap. Voorbeeld 2.3.3! x R + 0 : x 2 = x. De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld x R y R + : x 2 = y is waar, terwijl onwaar is. y R + x R : x 2 = y Opmerking De letters die we gebruiken als variabelen hebben uiteraard geen belang: β R b R + : β 2 = b is dezelfde uitspraak als de eerste, maar anders geschreven.

15 2.4. DEELVERZAMELINGEN EN GELIJKE VERZAMELINGEN 9 Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door contrapositie. De negatie van x X : p(x) is x X : p(x) en de negatie van x X : p(x) is x X : p(x). Voorbeeld De negatie van is x X ε R + 0 δ R + 0 : ( x a < δ) ( f(x) f(a) < ε) x X ε R + 0 δ R + 0 : ( x a < δ) ( f(x) f(a) ε) 2.4 Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we dat A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat. Symbolisch: A B a A : a B Voor A B schrijven we ook B A. We hebben steeds B B en B. Alle andere deelverzamelingen heten echte deelverzamelingen van B. Voorbeelden {1, 2, 3} N Z Q R C. Z R + Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben. Dit is het geval als en slechts als (A B) (B A).

16 10 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS We noteren dit als A = B. Er volgt dat A B indien (A B) (B A), d.w.z. ( a A : a B) ( b B : b A). Dus, in vele bewijzen van de gelijkheid van twee verzamelingen wordt een bewijs gegeven in twee gedeelten. Wij bewijzen nu de volgende gelijkheid van verzamelingen: {r R r 1 0} = {a a R} Inderdaad, stel A = {r R r 1 0} and B = {a a R}. Wij tonen eerst aan dat A B. Zij daarom r A. Dus r 1 0. Bijgevolg r 1 = a 2 voor een a R. Er volgt dat r = a and dus r B. Bijgevolg hebben wij aangetoond dat als r A dan r B, m.a.w. A B. Voor de omgekeerde inclusie, zij b B. Dus b = a voor een a R. Dan b 1 = a 2 0. Bijgevolg b A. Wij hebben dus aangetoond dat als b B dan b A, m.a.w. B A. De inclusies A B en B A tonen aan dat A = B. Het is ook evident dat {r R r 2 < 0} = en {r R r 2 3r +2 = 0} = {1, 2}. De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we P(X). Er geldt dus P(X) = {S verzameling S X} 2.5 Bewerkingen met verzamelingen De doorsnede van A en B is de verzameling A B = {x A x B}. Twee verzamelingen A en B heten disjunct indien A B =, d.w.z. ze hebben geen elementen gemeenschappelijk. De unie van A en B is A B = {x (x A) (x B)}.

17 2.5. BEWERKINGEN MET VERZAMELINGEN 11 Het verschil van A en B is de verzameling A \ B = {x (x A) (x B)}. Voorbeeld Stel A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 4, 5}. Dan geldt: A B = {2, 3}, A B = {1, 2, 3, 4, 5}, A \ B = {1} en B \ A = {4, 5} Als A B, dan heet B \ A het complement van A t.o.v. B. Soms speelt een wiskundige theorie zich volledig af in een gegeven verzameling U. In dat geval worden alle complementen berekend t.o.v. U (tenzij anders vermeld natuurlijk). Voor A U noteert men dan kort A c, Ā of A voor het complement U \ A. De verzameling U noemt men het universum van de theorie. Zij I een verzameling. Onderstel dat voor elke i I een verzameling A i gegeven is. Zo bekomen we een verzameling A = {A i i I} van verzamelingen geïndexeerd door I. Voorbeeld Stel I = {3, 4, 5, 6, 7} en A i = {1, 2, 3,..., i}. Dan is A 3 = {1, 2, 3}, A 4 = {1, 2, 3, 4}, enz. Stel J = N 0, B j = [0, 1 ], een j gesloten interval in R. Dan is B 1 = [0, 1], B 2 = [0, 1 ], enz. 2 De doorsnede van alle verzamelingen geïndexeerd door I definiëren we als A = A i = {x i I : x A i } i I en analoog definiëren we de unie A = A i = {x i I : x A i }. i I Voorbeeld We keren terug naar de vorige voorbeelden. Er geldt: A i = A 7, A i = A 3 i I B j = [0, 1], j J i I B j = {0}. j J

18 12 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS 2.6 Cartesisch product Zijn A, B twee verzamelingen. Het cartesisch product van A en B is de verzameling {(a, b) a A, b B}. Wij noteren deze als A B De elementen van A B heten koppels. Als (a, b), (c, d) A B dan geldt (a, b) = (c, d) (a = c) (b = d). Als a b geldt (a, b) (b, a). In het algemeen zijn dus A B en B A verschillend. Als A, B U dan geldt A B U U en niet A B U! Als A eindig is (d.w.z. A bevat een eindig aantal elementen) noteren we het aantal elementen in A met A of #A. Als A en B eindig zijn geldt A B = A B. Voorbeelden Stel A = {2, 3} en B = {4, 5, 6}. Dan A B = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} en B A = {(4, 2), (4, 3), (5, 2), (5, 3), (6, 2), (63, )}. Stel A = [1, 3] en B = [1, 2]. Dan geldt A B R R = R 2. Het Cartesisch product A A noteren we kort A 2. Op een evidente manier definieert men algemener het Cartesisch product van n verzamelingen A 1,..., A n als volgt A 1 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a 1 A 1 a n A n } Het Cartesisch product A A A van n keer dezelfde verzameling schrijven we A n.

19 2.7. RELATIES EN FUNCTIES Relaties en Functies Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is per definitie een deelverzameling R van het cartesisch product A B. Als (a, b) R, schrijven we arb. Voorbeeld Beschouw de verzameling A = {1, 2, 3, 4} en de relatie is kleiner dan of gelijk aan op A. Dan is: R = {(a, b) A A a b} = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)} De inverse relatie R 1 van R is per definitie Dit is een relatie van B naar A. R 1 = {(b, a) (a, b) R}. Voorbeeld Terugkerend naar het vorige voorbeeld geldt: R 1 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4)}. Zijn A, B verzamelingen. Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A precies één keer voorkomt als eerste component van een koppel in de relatie. De verzameling A heet het domein van de functie en B is het codomein. Meestal noteren we functies met kleine letters en vermelden we duidelijk domein en codomein. Als f A B een functie is, noteren we f : A B Dus f A B is een functie als aan de volgende eigenschap voldaan is: als (a, b) en (a, b ) f dan b = b. M.a.w., f S T en a A!b B : (a, b) f.

20 14 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Voorbeeld Als A = {1, 2, 3} en B = {a, b, c, d}, dan is f = {(1, a), (2, b), (3, b)} een functie en R = {(1, a), (2, b), (2, a), (3, d)} is een relatie maar geen functie. Het woord afbeelding is een synoniem voor functie. Zij f : A B een functie. Indien (a, b) f noteren we f(a) = b. Het element b B heet beeld van a door f en a heet een origineel van b voor f. We zeggen ook dat f het element a op het element b stuurt, notatie: a b. Merk op dat niet alle elementen van het codomein een origineel hebben, maar elk element van het domein heeft wel een beeld. Voor vele functies bestaat er een formule om het beeld van een willekeurig element van het domein te berekenen. Dit heet het functievoorschrift. De volledige notatie voor een functie wordt dan: f : A B : a f(a) waarbij f(a) het functievoorschrift is. Voorbeelden f : R R : x x { 5x als x 0 g : R R : x 2x als x < 0 Een functie wordt dus gedefinieerd door drie gegevens: domein, codomein en functievoorschrift. Deze gegevens zijn alle even belangrijk! Voor een functie f : A B en S A definiëren we het beeld van S door f als f(s) = {f(s) s S} = {b B s S, f(s) = b}

21 2.7. RELATIES EN FUNCTIES 15 Dus geldt zeker f(s) B. f(a), het beeld van het hele domein van f, noemen we het beeld van f. We noteren dit soms ook Im f. Im f is dus een deel van het codomein. Voorbeeld Zij f : R R : x x 2. Dan is f([ 1, 2]) = [0, 4] en Im f = R +. Uit dit voorbeeld leren we dat Im f dus in het algemeen niet gelijk is aan het codomein van f. Verwar dus niet beeld en codomein! Nog steeds voor f : A B maar nu T B, definiëren we het invers beeld f 1 (T ) van T onder f als f 1 (T ) = {a A f(a) T }. Merk op dat f 1 (T ) een notatie is en niet impliceert dat er voor f een inverse functie bestaat. Als T een singleton {b} is, schrijven we f 1 (b) i.p.v. f 1 ({b}). Voorbeeld Met f zoals in het vorige voorbeeld hebben we: f 1 (4) = { 2, 2}, f 1 ( 1) = en f 1 (f([0, 1])) = f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1]. In het algemeen geldt: S A : f 1 (f(s)) S en, zoals het voorbeeld toont, niet f 1 (f(s)) = S. We bewijzen dit even. Zij dus f : A B een functie en S A. We moeten bewijzen: Maar dit is equivalent met wat duidelijk voldaan is. s S : s f 1 (f(s)). s S : f(s) f(s) = {f(t) t S},

22 16 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS 2.8 Geïnduceerde functies, restrictie en corestrictie Als een functie f : A B gegeven is, kan je gemakkelijk een functie van A A naar B B definiëren. We beelden (a, a ) gewoon af op (f(a), f(a )). Algemeen kan je functies A n B n maken voor alle machten n. Je kan ook een functie maken op de delenverzameling P(A) van A. Door P(A) P(B): S f(s). We noteren al deze functies afgeleid uit f meestal nog altijd met f en noemen ze de functies door f geïnduceerd op A A (of op A n of op P(A)). We kunnen ook beslissen om de functie f : A B te bekijken op een deelverzameling X van A. Dan spreken we van de restrictie of beperking van f tot X. We noteren deze functie met f X. Er geldt dus f X : X B : x f(x) We kunnen ook het codomein van de functie f beperken. Zij Y B zo dat a A: f(a) Y. Dan is de corestrictie van f tot Y de functie f Y : A Y : x f(x) We kunnen natuurlijk ook domein en codomein tegelijk beperken zodat we een functie f Y X : X Y bekomen met voor elke x X : f Y X (x) = f(x). 2.9 Injecties en surjecties Definitie Een functie f : A B heet injectief indien elk element van B hoogstens één keer voorkomt als tweede component van een koppel in f. Anders gezegd: elk element van B heeft hoogstens n origineel. Nog anders gezegd: indien twee elementen van A hetzelfde beeld hebben,

23 2.9. INJECTIES EN SURJECTIES 17 moeten ze gelijk zijn. In symbolen: f : A B is injectief als en slechts als a, b A : (f(a) = f(b)) (a = b). Voorbeeld f : R R : x x 2 is niet injectief. Immers 1 2 = ( 1) 2 maar 1 1. Anderzijds is g : R + R : x x 2 wel injectief want a 2 = b 2 a = ±b, maar aangezien a, b R + geldt a = b. We zien dat we een functie injectief kunnen maken door punten uit het domein weg te laten. De functie g uit het voorbeeld is gewoon de restrictie van f tot R +, of f R +. Definitie Een functie f : A B is surjectief indien Im f = B. Anders gezegd: elk element van het codomein heeft minstens één origineel. Symbolisch: b B : a A : f(a) = b. Voorbeeld g : R + R : x x 2 is niet surjectief. De corestrictie g R+ is dat wel. Door het codomein te beperken kan je een functie dus surjectief maken. Een functie die tegelijk surjectief en injectief is, heet bijectief. Een functie is bijectief als en slechts als b B :! a A : f(a) = b. Voorbeeld h : R + R + : x x 2 is bijectief.

24 18 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Een bijectie van een verzameling naar zichzelf heet een permutatie. Een zeer belangrijke permutatie is de identieke permutatie of de identiteit. Deze beeldt elk element af op zichzelf. We noteren de identieke permutatie van een verzameling X als 1 X. Er geldt dus x X : 1 X (x) = x of 1 X : X X : x x Andere notaties voor de identieke permutatie op X zijn i X, Id X of id X De samenstelling van functies en Inverse functies Beschouw twee functies f : A B en g : B C, waarbij het domein van g het codomein van f is. Dan kunnen we op elk beeld f(a) de functie g toepassen. Zo definiëren we een nieuwe functie van A naar C die we g f noteren (lees g na f omdat we eerst f toepassen en dan g). Dus: g f : A C : a g(f(a)). Voorbeeld. Stel f : R R : x x 1 en g : R R : x x 2. Dan zijn: g f : R R : x g(x 1) = (x 1) 2 f g : R R : x x 2 1 f f : R R : x x 2 g g : R R : x x 4 We merken op dat f g g f, dus de volgorde heeft belang. Eigenschap De samenstelling van functies is associatief: voor elke drie functies A f B g C h D geldt h (g f) = (h g) f

25 2.10. DE SAMENSTELLING VAN FUNCTIES EN INVERSE FUNCTIES19 Bewijs. Domeinen en codomeinen zijn duidelijk gelijk. Zij a A, dan (h (g f))(a) = h((g f)(a)) = h(g(f(a))) = (h g)(f(a)) = ((h g) f)(a). Als gevolg van vorige eigenschap noteren wij h (g f) eenvoudig als h g f. Definitie: Zij f : A B een functie. Indien een functie g : B A voldoet aan f g = 1 B en g f = 1 A dan heet g een invers voor f. We zeggen dan ook dat f inverteerbaar is. Niet alle functies hebben een invers. Een inverse g van f : A B moet een functie zijn van B naar A. Dus moet voor elke b B precies één beeld g(b) A voorzien worden. Bovendien moet gelden (f g)(b) = 1 B (b) = b. Bijgevolg moet g(b) f 1 (b). Opdat g : B A een functie zou zijn is dus nodig dat b B : f 1 (b). Dit komt erop neer dat f surjectief moet zijn. Als f : A B surjectief is, zouden we als volgt een inverse g : B A kunnen construeren: voor elke b B kiezen we een beeld g(b) in f 1 (b). Maar is zulke g dan een invers van f? De voorwaarde g f = 1 A dwingt de injectiviteit van f. Inderdaad: als f niet injectief is, bestaan er a a A met f(a) = f(a ). Stel b = f(a), dan geldt a, a f 1 (b). Kiezen we dan als beeld van b door g het element a, dan hebben we g(b) = g(f(a)) = (g f)(a) = 1 A (a) = a, maar ook g(b) = g(f(a )) = (g f)(a ) = 1 A (a ) = a. Dus a = a, wat in tegenspraak is met a a. Als f een bijectie is, is b B : f 1 (b) een singleton. Er is dus geen keuze voor het construeren van de inverse g. De functie g : B A is dan wel degelijk een inverse van f. We hebben bewezen:

26 20 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Stelling Enkel bijectieve functies hebben een invers. Eigenschap Een functie heeft hoogstens één invers. Bewijs. Zij f : A B en zijn g : B A en g : B A twee inversen. Dan geldt, b B: g(b) = g(1 B (b)) = g((f g )(b)) = (g f g )(b) = (g f)(g (b)) = 1 A (g (b)) = g (b). Vermits de domeinen en codomeinen van g en g gelijk zijn, hebben we g = g. Nu we weten dat elke inverteerbare functie juist één invers heeft, kunnen we spreken over het invers van een functie f in plaats van over een invers. We noteren de inverse functie f 1 Verwar dit niet met inverse beelden die voor alle functies gedefinieerd zijn, niet enkel voor bijecties. Voorbeeld h : R + R + : x x 2 is een bijectie. Haar inverse kennen we goed. Het is h 1 : R + R + : x x. Zij X een verzameling en Sym(X) de verzameling van alle bijecties f van X naar X (men noemt f ook een permutatie op X). Eigenschap Zij X een verzameling. De volgende eigenschappen zijn voldaan: 1. voor alle f, g Sym(X): f g Sym(X).

27 2.11. ENKELE WELBEKENDE RESULTATEN UIT GETALTHEORIE21 2. Sym(X) Sym(X) SymX : (f, g) f g is een functie. 3. voor alle f, g, h Sym(X): f (g h) = (f g) h X Sym(X) en voor alle f Sym(X): f 1 X = f = 1 X f. 5. voor alle f Sym(X) bestaat g Sym(X) zodat f g = 1 X = g f. Er volgt dat g = f 1. Dan is (Sym(X), ) een groep (zie volgend hoofdstuk voor de definitie) met als neutraal element 1 X. Men noemt dit de symmetrische groep op de verzameling X (of de permutatiegroep op X) 2.11 Enkele welbekende resultaten uit getaltheorie Vooreerst is het welbekend dat elke niet-lege verzameling van natuurlijke getallen een kleinste natuurlijk getal bevat. Dus Als X N dan x X y X : x y. Als a, b Z dan noteren wij met a b het feit dat er een c Z bestaat zodat ac = b. Men zegt a is een deler van b, of b is een veelvoud van a. Een priemgetal p is een geheel getal p 2 zodat als a p met a Z en a 0 dan a = 1 of a = p. Een belangrijke stelling zegt dat elk geheel getal a 2 het product is van priemgetallen en dit op een unieke manier, in de volgende zin. Veronderstel dat a = p 1 p n en a = q 1 q m, waarbij alle p i s en q j s priemgetallen zijn. Dan n = m en de q j s kunnen geherindexeerd worden zodat q i = p i voor alle i met 1 i n.

28 22 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS Als toepassing kan men dan bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Een andere belangrijke eigenschap is het delingsalgoritme. Zij a en b gehele getallen met a > 0. Dan bestaan er unieke gehele getallen q en r zodat b = qa + r met 0 r < a. Wij vermelden ook een formulering van wiskundige inductie. S(n) een verklaring voor elke n N 0. Veronderstel dat Zij 1. S(1) waar is en 2. als S(n) waar is dan is S(n + 1) waar. Er volgt dat S(n) waar is voor elke n N 0. Wiskundige inductie is dikwijls een handige manier om allerlei resultaten te bewijzen. Zo kan men bijvoorbeeld de binomiaalontbinding op deze manier bewijzen. Voor alle complexe getallen a en b en voor alle niet-nul natuurlijke getallen geldt dat (a + b) n = n i=0 Het getal n! i! (n i)! noteert men als ( n i n! i! (n i)! ai b n i. en men leest dit als n kies i en men noemt dit een binimiaalcoëfficiënt. Dus n ( ) n (a + b) n = a i b n i. i i=0 ), Het is welbekend dat (n ) = 1 en 0 ( ) n = 1 n en, voor i 1, ( ) ( ) n + 1 n = + i i 1 ( ) n. i

29 Hoofdstuk 3 Groepen 3.1 Definitie In de volgende definitie geven wij de essentie van wat wij een product noemen. In voorbeelden kan zo n product een optelling zijn, soms een vermenigvuldiging, soms een samenstelling van functies, er zijn vele mogelijkheden. Definitie Zij S een niet-lege verzameling en : S S S een functie (wij noemen dit ook een binaire bewerking op S, of eenvoudig een bewerking op S ). Voor s, t S noteren wij het beeld (s, t) door s t. Als voldoet aan de volgende eigenschap: voor alle s 1, s 2, s 3 S : s 1 (s 2 s 3 ) = (s 1 s 2 ) s 3 (associativiteit) dan noemen wij (S, ) een semigroep (als de bewerking duidelijk is uit de context dan noteren wij deze semigroep eenvoudig door S). Wij noteren s 1 (s 2 s 3 ) dan eenvoudig als s 1 s 2 s 3. Als er bovendien een element e S bestaat zodat voor alle s S : e s = s e = s 23

30 24 HOOFDSTUK 3. GROEPEN dan noemen wij (S, ) een monoïde. Men noemt e het éénheidselement (of neutraal element). Soms noteren wij deze informatie ook als (S,, e). Indien (S, ) een monoïde is met éénheidselement e dan noemen wij dit een groep als bovendien voldaan is aan de volgende voorwaarde: voor alle s S bestaat een h S zodat s h = h s = e. Een abelse semigroep (respectievelijk, monoïde of groep) is een semigroep (S, ) (respectievelijk, monoïde of groep) zodat s t = t s voor alle s, t S. (Dikwijls gebruikt men het woord commutatief in plaats van abels.) Net zoals voor de vermenigvuldiging van getallen zullen wij dikwijls de bewerking niet schrijven (vooral als de bewerking duidelijk is uit de context). Dus a b schrijft men dan eenvoudig als ab. Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Hendrik Abel ( ). Hij was o.a. geinteresseerd in de oplosbaarheid van polynoomvergelijkingen. In 1928 bewijs hij het volgende. Als de wortels van zo n vergelijking kunnen uitgedrukt worden als rationale functies f, g,..., h in een van de wortels, zeg x, en als voor elke twee wortels, f(x) and g(x), geldt dat f(g(x)) = g(f(x)), dan is de vergelijking oplosbaar door radikalen. Abel toonde aan dat deze functies een permutatie geven van de wortels van de vergelijking; dus deze functies zijn elementen van de groep van permutaties van de wortels. Het was die commutativiteitseigenschap in deze permutatiegroep die geleid heeft tot de terminologie abelse groep. Later kan je dit alles in detail bestuderen in de cursus Galois Theorie. 3.2 Voorbeelden (1) De verzameling van de natuurlijke getallen N voorzien van de optelling is een commutatieve monoïde met neutraal element 0. Het is echter geen groep. Abel ( )

31 3.2. VOORBEELDEN 25 (2) Zij Q 0 de verzameling van niet-nul elementen van Q, d.w.z. de niet-nul rationale getallen. Als de gewone vermenigvuldiging is, dan is (Q 0, ) een abelse groep met neutraal element 1. (3) Zij C = {a + bi a, b R} de verzameling van de complexe getallen. Dan is (C, +) een abelse groep met als bewerking de optelling: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, waarbij a, b, c, d R. Dus (C, +) is een abelse groep. (4) Het vlak R 2 is abelse groep voor de optelling van vectoren, d.w.z. (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ). Meer algemeen is een vectorruimte V een abelse groep voor de optelling van vectoren. (5) Ook is de verzameling C 0 van alle niet-nul complexe getallen, voorzien van de gewone vermenigvuldiging als bewerking, een abelse groep. Herinner dat, voor a, b, c, d R, (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i, en als 0 a + bi C dan is ( ) a (a + bi) a 2 + b b 2 a 2 + b i = 1, 2 dus in de groep (C 0, ), (a + bi) 1 = a a 2 + b b 2 a 2 + b i. 2 De complex toegevoegde van z = a + bi (met a, b R) is en de modulus van z is z = a bi z = a + bi = a 2 + b 2.

32 26 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Dus als z 0 (of equivalent z 0) dan z 1 = z 2 z. (6) De verzameling {1, 1} voorzien van de vermenigvuldiging is een abelse groep, ({1, 1}, ). (7) Zij Afb(X) de verzameling van alle functies met domein en doel de verzameling X. Dus Afb(X) = {f f : X X}. Dan is (de samenstelling van functies) een binaire bewerking op Afb(X): Afb(X) Afb(X) Afb(X) : (f, g) f g. Bovendien is (Afb(X), ) een monoïde met als neutraal element 1 X, de identieke functie op X (dus 1 X (x) = x voor alle x X). Als X meer dan één element bevat dan is (Afb(X), ) geen groep. In dit geval zij x, y X met x y. Zij dan c x : X X : a x, de constante functie op x. Dan is c x geen bijectie en er bestaat dus geen functie g Afb(X) zodat c x g = 1 X = g c x. (8) Zij X een verzameling. Wegens Eigenschap is (Sym(X), ) een groep. Men noemt dit de symmetrische groep op de verzameling X (of de permutatiegroep op X). Het neutraal element is 1 X. (9) Zij s een spiegeling van het vlak R 2 dan is ({1, s}, ) een abelse groep. (10) Beschouw een rotatie R om de oorsprong in het reële vlak R 2. Dan is ({R n n Z}, ) een abelse groep. (11) Zij X een verzameling. De Boolse groep

33 3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 27 (P(X), +) bestaat uit de verzameling P(X) waarvan de elementen alle deelverzamelingen van X zijn dus P(X) = {Y Y is een deelverzameling van X}, en de bewerking het symmetrisch verschil, genoteerd +. Voor A, B P(X) is per definitie: A + B = (A \ B) (B \ A). Boole Het neutraal element is de lege verzameling. Merk op dat A + A =. Dus A 1 = A. 3.3 Ringen en meer voorbeelden Om nog meer voorbeelden van groepen te behandelen, geven wij nu de definitie van een ring. Definitie Zij R een verzameling met twee bewerkingen + en die voldoen aan de volgende eigenschappen: 1. (R, +) is een abelse groep (het neutraal element noteert men meestal 0 en men noemt dit het nulelement van R), 2. (R, ) is een monoïde, 3. voor alle a, b, c R: en (de distributiviteitswetten). a (b + c) = (a b) + (a c) (b + c) a = (b a) + (c a) Dan noemt men (R, +, ) een ring. Indien bovendien (R \ {0}, ) een abelse groep is, dan noemt men R een lichaam (of een veld). Het neutraal element van (R, ) noemt men het éénheidselement van de ring en noteert men meestal als 1.

34 28 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Wij geven enkele voorbeelden. (1) Duidelijk zijn (Q, +, ), (R, +, ) en (C, +, ) lichamen, en is (Z, +, ) een commutatieve ring (d.w.z. een ring met (Z, ) een abelse monoïde) die geen lichaam is. (2) Als R een ring is dan noteren wij met M n (R) de verzameling van alle n n-matrices over R. Een n n-matrix met op de (i, j)-de plaats het element r ij noteren wij meestal als volgt (r ij ) De som en product van matrices werd in lineaire algebra als volgt gedefiniëerd: (a ij ) + (b ij ) = (a ij + b ij ) en met (a ij ) (b ij ) = (c ij ) c ij = n a ik b kj. k=1 Er volgt dat (M n (R), +, ) een ring is met als éénheidselement I n, de identiteitsmatrix. Zij F een lichaam. De determinant van een matrix A M n (F ) noteren wij met det(a). De verzameling van alle matrices A M n (F ) met det(a) 0 noteert men als GL n (F ). Met SL n (F ) noteert men de verzameling van alle A M n (F ) met det(a) = 1. Er volgt dat (M n (F ), ) een monoïde is en dat beide en (GL n (F ), ) (SL n (F ), ) groepen zijn (men noemt deze, respectievelijk, de lineaire groep van graad n over F en de speciaal lineaire groep van graad n over F ). Beiden hebben als neutraal element I n. (3) Als R een ring is dan noteren wij U(R) = {a R er bestaat b R zodat ab = ba = 1}

35 3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 29 Er volgt dat (U(R), ) een groep is. Men noemt dit de groep van de inverteerbare elementen van R. Zo is bijvoorbeeld voor een lichaam F. U(M n (F )) = GL n (F ), (4) Men noemt een inverteerbare matrix A M n (R) stochastisch als elk van zijn kolomsommen gelijk is aan 1. D.w.z., als A = (a ij ), dan n a ij = 1, voor elke j met 1 j n. i=1 De verzameling van alle zulke stochastische matrices noteren wij als (n, R). Deze verzameling voorzien van de vermenigvuldiging van matrices is een groep. Men noemt dit de stochastische groep van graad n. (5) Zij a, b R met a 0 en zij f a,b : R R de functie gedefiniëerd als volgt: f(x) = ax + b. De affiene groep GA(1, R) is de verzameling van alle zulke functies, dus GA(1, R) = {f a,b a, b R, a 0}. De bewerking is de samenstelling van functies. Merk op dat f a,b f c,d = f ac,ad+b. (6) Ook is de verzameling {[ ] a b A = 0 1 } a, b R, a 0

36 30 HOOFDSTUK 3. GROEPEN een groep voor de matrixvermenigvuldiging. Bovendien is de functie [ ] a b ψ : GA(1, R) A : f a,b 0 1 een bijectie zodat ψ(f a,b f c,d ) = ψ(f a,b )ψ(f c,d ). (7) Zij Q = [ ]. Definiëer dan Dit is een bijectie die voldoet aan ϕ : (2, R) A : A QAQ 1. ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b). (8) Herinner dat elk complex getal z = a + bi (met a, b R) kan geschreven worden als z = r (cos θ + i sin θ), met θ R en θ [0, 2π) en r = z. Men noemt θ het argument van z. De getallen r en θ noemt men de poolcoördinaten van z. Merk op dat cos θ = a a2 + b 2 en sin θ = b a2 + b 2. Wij gebruiken ook dikwijls de volgende notatie: e iθ = cos θ + i sin θ. Indien r > 0 dan bestaat er een getal y R zodat r = e y. Dus schrijft men ook e y+iθ = e y (cos θ + i sin θ).

37 3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 31 Met deze notatie verkrijgt men de volgende welbekende formules eenvoudig herschrijven (α, β R): als sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β e i(α+β) = e iα e iβ. Een bewijs door inductie geeft dan, voor n N en α R: of dus e inα = ( e iα) n, cos nα + i sin nα = (cos α + i sin α) n, de formule van De Moivre ( ). Zij n een niet-nul natuurlijk getal en zij ξ n = e 2πi/n = cos (2π/n) + i sin (2π/n). Merk op dat e 2kπi/n e 2lπi/n = e 2(k+l)πi/n, voor alle k, l Z, en (ξ n ) n = 1, men zegt dat ξ n een n-de (complexe) éénheidswortel is. Zij E n = {e 2kπi/n k N, 1 k n} = {ξn k k N, 1 k n}, de verzameling van alle complexe n-de éénheidswortels. Dan E n = {e 2kπi/n k N, 1 k n} = {e 2kπi/n k Z} Er volgt dat (E n, ) een abelse groep is. (10) Nemen wij nu in het vorige n = 5 en zij { [ ] k ξ5 0 A = 0 ξ5 1 k Z}.

38 32 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Dan is (A, ) een abelse groep met vijf elementen. Zij [ ] [ ξ a = 0 ξ5 1 en b = 1 0 ] Zij B = {1, b}. Dan is (B, ) een abelse groep met twee elementen en B = {b k k Z}. Zij D 10 = {a k, a k b 1 k 5} Dan is (D 10, ) een groep met 10 elementen en a 5 = 1, b 2 = 1 en ba = a 1 b. Uiteraard kunnen wij voor elke n een analoge groep (van matrices) construëren. Wij krijgen dus met D 2n = {a k, a k b k N, 1 k n} GL 2 (C) a n = 1, b 2 = 1, ba = a 1 b. Men noemt dit de diëdergroep van orde 2n. (11) Beschouw de Euclidische ruimte R 2. Zij I(R 2 ) de aftandsbewarende bijecties (isometrieën), d.w.z. f : R 2 R 2 behoort tot I(R 2 ) als f(a, b) f(c, d) = (a, b) (c, d). Herinner dat (a, b) = a 2 + b 2. Zulke functies behoren uiteraard tot Sym(R 2 ). Dus: (I(R 2 ), ) is een groep bevat in Sym(R 2 ). Voorbeelden van functies die tot deze groep behoren zijn de rotaties, reflecties en translaties. Zij nu een Ω een figuur in het reële vlak (bijvoorbeeld een driehoek of een vierkant). Dan noteert men met Σ(Ω) de symmetriegroep in het reële vlak van de figuur Ω, d.w.z Σ(Ω) is de verzameling van alle f I(R 2 ) zodat f(ω) = Ω.

39 3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 33 Duidelijk is Σ(Ω) een groep bevat in I(R 2 ). Nemen wij nu voor Ω een vierkant (met zijden van lengte 1, en met de oorsprong als doorsnede van de diagonalen), dan permuteert elk element van Σ(Ω) de hoekpunten {v 1, v 2, v 3, v 4 } van Ω en bovendien is een element van Σ(Ω) bepaald door de beelden van de hoekpunten. Dus zijn er ten hoogste 24 mogelijkheden voor elementen van Σ(Ω). Doch niet elke permutatie van de hoekpunten is afkomstig van een element in Σ(Ω). Inderdaad als v i v j = 1 dan moeten ook de beeldpunten van v i en v j op een afstand 1 van elkaar liggen. Dit levert dan nog 8 mogelijkheden en Σ(Ω) = {1, R, R 2, R 3, s 1, s 2, s 3, s 4 } met R een rotatie over 90 graden en elke s i een reflectie. reflectie over één van de diagonalen is dan volgt er Als s 1 de Σ(Ω) = {1, R, R 2, R 3, s 1, Rs 1, R 2 s 1, R 3 s 1 } en deze elementen voldoen aan de volgende relaties: R 4 = 1, s 2 1 = 1, s 1 R = R 3 s 1. Dus (op benaming van de elementen na) is deze groep precies de diëdergroep D 8 van orde 8. Algemener is D 2n de symmetriegroep van een reguliere n-gon met centrum in de oorsprong. Om het volgende voorbeeld van een abelse groep te construëren herhalen wij even het begrip relatie. Definitie Zij R een relatie op een verzameling X (dus R is een deelverzameling van X X). Voor x, y X, noteren wij (x, y) R ook als xry. Men noemt R een equivalentierelatie als de volgende voorwaarden voldaan zijn, voor alle x, y, z X: 1. xrx (reflexiviteit), 2. als xry dan yrx (symmetrie),

40 34 HOOFDSTUK 3. GROEPEN 3. als xry en yrz dan xrz (transitiviteit). Voor x X noteren wij [x] R = {y X xry}, de equivalentieklasse van x. (In de cursus lineaire algebra noteert men [x] R als E x.) De verzameling van alle equivalentieklassen noteren wij X/R. Dus X/R = {[x] R x X}. Merk op dat de equivalentieklassen van R (op een niet-lege verzameling X) een partitie vormen van X, d.w.z., 1. elke [x] R, 2. x X [x] R = X, 3. als [x] R [y] R dan [x] R = [y] R. Zij n een geheel getal groter dan 1. Op de verzameling Z definiëren wij een equivalentierelatie n, de congruentierelatie modulo n. Wij doen dit als volgt: x n y als en slechts als n (x y). De notatie n (x y) wil zeggen dat n een deler is (in Z) van x y. D.w.z., er bestaat een m Z zodat nm = x y. De equivalentieklasse van x noteren wij als [x] n, of ook als [x]. De verzameling van de equivalentieklassen Z/ n noteren wij als Z n. Wij willen nu op deze verzameling twee bewerkingen + en definiëren. Maar om na te gaan dat deze bewerkingen inderdaad functies zijn (men zegt dikwijls goed gedefinieerd zijn) moet men eerst het volgende lemma bewijzen. Lemma Zij a 1, a 2, b 1, b 2 Z. Als dan en [a 1 ] n = [a 2 ] n en [b 1 ] n = [b 2 ] n [a 1 + b 1 ] n = [a 2 + b 2 ] n [a 1 b 1 ] n = [a 2 b 2 ] n.

41 3.4. VERMENIGVULDIGINGSTABEL 35 Bewijs. Omdat [a 1 ] n = [a 2 ] n en [b 1 ] n = [b 2 ] n bestaan er r, s Z zodat a 1 a 2 = rn en b 1 b 2 = sn. Dus (a 1 + b 1 ) (a 2 + b 2 ) = (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 ) = (r + s)n. Bijgevolg n ((a 1 + b 1 ) (a 2 + b 2 )) en daarom [a 1 + b 1 ] n = [a 2 + b 2 ] n. Analoog bewijst men het tweede gedeelte. Men definiëert nu als volgt twee bewerkingen op Z n : + : Z n Z n Z n : ([a] n, [b] n ) [a] n + [b] n = [a + b] n en : Z n Z n Z n : ([a] n, [b] n ) [a] n [b] n = [ab] n. Eigenschap Zij n een geheel getal groter dan 1. Dan is (Z n, +, ) een commutatieve ring met nulement [0] n en éénheidselement [1] n. 3.4 Vermenigvuldigingstabel Men noemt een groep G eindig als de verzameling G eindig veel elementen bevat. Het aantal elementen in de verzameling G noteert men als G (men noemt dit ook de orde van de groep). Voor eindige groepen stelt men de bewerking dikwijls voor in een tabel, die men de Cayleytabel (of vermenigvuldigingstabel) noemt. Zij (G, ) een eindige groep en zij g 1,..., g n een lijst (zonder herhalingen) van al de elementen van G. Een vermenigvuldigingstabel van G is een tabel als volgt Cayley ( )

42 36 HOOFDSTUK 3. GROEPEN g 1 g 2 g j g n g 1 g 1 g 1 g 1 g 2 g 1 g j g 1 g n g 2 g 2 g 1 g 2 g 2 g 2 g j g 2 g n..... g i g i g 1 g i g 2 g i g j g i g n..... g n g n g 1 g n g 2 g n g j g n g n De Cayleytabel van (Z 3, +) is + [0] 3 [1] 3 [2] 3 [0] 3 [0] 3 [1] 3 [2] 3 [1] 3 [1] 3 [2] 3 [0] 3 [2] 3 [2] 3 [0] 3 [1] 3 De viergroep van Klein is de groep G = {e, a, b, c} met de bewerking gedefiniëerd via de volgende Cayleytabel. e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Vervolgens geven wij de Cayleytabel van de diëdergroep D 6 van orde 6 e a a 2 b ab a 2 b e e a a 2 b ab a 2 b a a a 2 e ab a 2 b b a 2 a 2 e a a 2 b b ab b b a 2 b ab e a 2 a ab ab b a 2 b a e a 2 a 2 b a 2 b ab b a 2 a e Klein ( )

43 3.5. ELEMENTAIRE EIGENSCHAPPEN Elementaire Eigenschappen In deze sectie bewijzen wij enkele belangrijke eigenschappen van groepen. Eigenschap Zij G een groep. Dan gelden de volgende eigenschappen: 1. G bevat slechts één neutraal element. Wij noteren dit element meestal e of e G. 2. Voor een element g G bestaat slechts één element h G zodat gh = hg = e. Men noemt h het inverse element van g en noteert dit element g als g, h G dan (gh) 1 = h 1 g als g G dan (g 1 ) 1 = g. 5. Voor g 1, g 2, h G: als g 1 h = g 2 h of hg 1 = hg 2 dan g 1 = g 2, de vereenvoudigingswetten. Bewijs. Bewijs van (1). Veronderstel dat e en f twee neutrale elementen zijn. Dus voor alle g G, eg = g = ge en fg = g = gf. Bijgevolg, als wij de eerste vergelijking toepassen met g = f dan ef = f en uit de tweede vergelijking (met g = e) volgt ef = e. Dus e = f. Bewijs van (2). Zij g G en zij h 1, h 2 G zodat gh 1 = gh 2 = e en h 1 g = h 2 g = e. Dan en Dus h 1 = h 2. h 2 (gh 1 ) = h 2 e = h 2 h 2 (gh 1 ) = (h 2 g)h 1 = eh 1 = h 1.

44 38 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Bewijs van (3). (gh)(h 1 g 1 ) = = g ( h(h 1 g 1 ) ) g ( (hh 1 )g 1) = g(eg 1 ) = gg 1 = e Analoog bewijst men (h 1 g 1 )(gh) = e. Dus (gh) 1 = h 1 g 1. Bewijs van (4). Omdat (g 1 ) ((g 1 )) 1 = e = ((g 1 )) 1 (g 1 ) en g 1 g = e = gg 1 volgt er wegens (2) dat (g 1 ) 1 = g. Bewijs van (5). Veronderstel g 1 h = g 2 h, dan (g 1 h)h 1 = (g 2 h)h 1. Wegens de associativiteit volgt er dan g 1 = g 1 e G = g 1 (hh 1 ) = (g 1 h)h 1 = (g 2 h)h 1 = g 2 (hh 1 ) = g 2 e G = g 2. Eigenschap (Veralgemeende associativiteit) Zij S een semigroep. Als s 1,..., s n S dan is het element s 1 s 2 s n uniek bepaald in S (d.w.z. dit element is onafhankelijk van de plaatsing van de haakjes). Bewijs. Wij bewijzen dit door inductie. De basisstap is n = 3, en deze geldt wegens de associativiteit. Veronderstel nu dat het resultaat geldt voor producten van minder dan n factoren. Beschouw nu het product s 1 s 2 s n op twee verschillende manieren (s 1 s i )(s i+1 s n ) en (s 1 s j )(s j+1 s n ) (wij mogen veronderstellen dat i j). Elk van de vermelde producten tussen haakjes kan zelf veel haakjes bevatten, maar wegens de inductiehypothese zijn deze haakjes niet nodig. Als i = j dan zijn beide

45 3.5. ELEMENTAIRE EIGENSCHAPPEN 39 producten dezelfde. Veronderstel dus dat i < j. Weer wegens de inductiehypothese mogen wij de eerste uitdrukking herschrijven als en de tweede uitdrukking als (s 1 s i )([s i+1 s j ][s j+1 s n ]) ([s 1 s i ][s i+1 s j ])(s j+1 s n ). Elk van de uitdrukkingen x = s 1 s i, y = s i+1 s j en z = s j+1 s n is onafhankelijk van haakjes. De eerste uitdrukking is nu van de vorm x(yz) en de tweede (xy)z. Wegens de associativiteit zijn deze dezelfde. Wegens de veralgemeende associativiteit kunnen wij nu machten definiëren in een semigroep. Definitie Zij S een semigroep. Als s S en 0 n N, dan definiëert men de n-de macht van s inductief als volgt: s 1 = s en s n+1 = s n s. Indien S een monoïde is met neutraal element e, dan is s 0 = e. Weer wegens de veralgemeende associativiteit is de volgende eigenschap duidelijk. Eigenschap Zij S een semigroep. Als s S en m, n N 0 dan s n+m = s n s m en (s n ) m = s nm. In een groep kunnen wij ook negatieve machten definiëren. Definitie Zij G een groep. Als g G en n N, dan g n = (g 1 ) n.

46 40 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Eigenschap Zij G een groep en g G. Als n, m Z dan g n+m = g n g m, (g n ) m = g nm en (g 1 ) n = (g n ) 1. Als g en h twee commuterende elementen zijn van G (d.w.z. gh = hg) dan (gh) n = g n h n. Bewijs. Veronderstel eerst dat g en h commuteren. Voor n N, bewijs door inductie dat hg n = g n h en ook (gh) n = g n h n. Merk op dat ook g 1 en h 1 commuteren. Als n negatief is, dan is n 0 en dus (gh) n = ( (gh) 1) n = ( h 1 g 1) n = ( g 1 h 1) n = ( g 1) n ( h 1 ) n = g n h n Dus is het laatste gedeelte van de eigenschap bewezen. Het eerste gedeelte van de eigenschap is reeds gekend voor n, m 0. De andere gevallen laten wij als oefening. De notatie s n, met n positief, ontstaat door de bewerking s t multiplicatief st te schrijven, inderdaad s n = ss s (er zijn n factoren). Wanneer de bewerking de optelling + is dan betekent dit s + s + + s, en dan zou dit beter geschreven worden als sn. Deze notatie gaan we slechts gebruiken wanneer wij met abelse (semi)groepen werken. Eigenschap wordt dan (n + m)g = ng + mg, m(ng) = (mn)g en n(g + h) = ng + nh. 3.6 De orde van een element Definitie Zij G een groep en g G. De orde van het element g is het kleinste niet-nul natuurlijk getal n zodat g n = e. Als er zo geen natuurlijk getal bestaat dan zegt men dat g oneindige orde heeft. De orde van g noteert men als o(g).

47 3.6. DE ORDE VAN EEN ELEMENT 41 Merk op dat als g G eindige orde n heeft dan g 1 = g n 1. Eigenschap In een eindige groep heeft elk element eindige orde. Bewijs. Zij g G en beschouw de deelverzameling {e, g, g 2,..., g n, } = {g n n N}. Omdat G een eindige verzameling is moet er herhaling in de lijst voorkomen. Dus bestaan m > n zodat g m = g n. Bijgevolg g m n = g m g n = e. Er bestaat dus een niet nul natuurlijk getal k zodat g k = e, bijgevolg heeft g eindige orde. Duidelijk heeft het neutraal element van een groep steeds orde 1. In een oneindige groep kunnen ( er) elementen bestaan van eindige orde. 0 1 Bijvoorbeeld het element GL (R) heeft orde 2 en duidelijk is GL 2 (R) een oneindige groep. n, m Z. Veron- Eigenschap Zij G een groep en g G. Zij derstel dat g eindige orde k heeft. Dan 1. g n = g m als en slechts als k (n m). 2. g n = e als en slechts als k n. Bewijs. Veronderstel o(g) = k <. Zij n Z en schrijf n = qk + r met q, r Z en 0 r < k. Dan g n = e als en slechts als g n = g qk g r = (g k ) q g r = e, of equivalent, g r = e. Omdat r < k, verkrijgen wij aldus g n = e als en slechts als r = 0, d.w.z. k n. Dit bewijst (2). (1) volgt nu eenvoudig omdat g n = g m als en slechts als g n m = g n (g m ) 1 = e. Definitie Een groep G is cyclisch als er een g G bestaat zodat G = {g n n Z}. Men noemt g een voortbrenger van G.

48 42 HOOFDSTUK 3. GROEPEN Merk op dat een cyclische groep abels is. De groep (Z, +) is cyclisch met voortbrenger 1. Merk op dat ook 1 een voortbrenger is. De groep E n bestaande uit de complexe n-de éénheidswortels is cyclisch met voortbrenger e 2πi/n. Er zijn echter nog andere mogelijke voortbrengers, namelijk alle elementen van de vorm e 2πki/n, met 1 < k < n en (k, n) = 1. Eigenschap Zij G een groep. Dan: 1. Zij G een eindige groep van orde n. Dan, G is cyclisch als en slechts als G een element g van orde n bevat. (In dit geval G = {1, g,..., g n 1 }.) 2. G is cyclisch van oneindige orde als en slechts G een element g van oneindige orde bevat zodat G = {g n n Z}. In dit geval is g n g m als n m. Bewijs. Bewijs van (1). Veronderstel dat G een eindige cyclische groep is van orde n. Dan, bestaat er een g G zodat G = {g k k Z}. Omdat G eindig is weten wij dat g eindige orde heeft, zeg o(g) = m. Dus volgt er {g k k Z} = {1, g,..., g m 1 }, met g i g j voor 0 i, j m 1 en i j. Bijgevolg G = {1, g,..., g m 1 } en dus o(g) = m = G = n. Omgekeerd, als G = n en g G met o(g) = n dan is {e, g, g 2,..., g n 1 } G. Al de machten e, g, g 2,, g n 1 zijn verschillend. Omdat G = n volgt er dus dat {e, g, g 2,..., g n 1 } = G. Bewijs van (2). Dit laten wij als oefening. 3.7 Vergelijkingen in Groepen Omdat in een groep elk element een invers element heeft, kunnen wij vergelijkingen in één veranderlijke oplossen. Dit gaat als volgt.

49 3.7. VERGELIJKINGEN IN GROEPEN 43 Eigenschap Zij G een groep. Als g, h G dan bestaat er een unieke x G zodat gx = h, en er bestaat een unieke y G zodat yg = h. Bewijs. Zij x = g 1 h dan is gx = h en dus bestaat er minstens één oplossing voor de vergelijking. Dat er precies één oplossing bestaat volgt uit het volgende: als gx 1 = gx 2 dan x 1 = x 2. Analoog bewijst men de uniciteit van de oplossingen voor de vergelijking yg = h. Als dus G een eindige groep is dan is elke rij en elke kolom van de Cayleytabel een permutatie van de elementen van G. Een tabel die aan deze laatste voorwaarde voldoet noemt men een Latijns vierkant. Dus de Cayleytabel van een eindige groep is een Latijns vierkant. Doch het omgekeerde is niet waar. Door gebruik te maken van deze eigenschap kan men groepen van orde twee, drie en vier eenvoudig bepalen. Bijvoorbeeld zij G een groep van orde drie. Wij noteren het neutraal element e en de twee andere elementen a en b. Dan zien wij dat er slechts één mogelijkheid voor de Cayley tabel is, namelijk e a b e e a b a a b e b b e a Er bestaat dus ten hoogste één groep met drie elementen (op benaming van de elementen na). Doch (Z 3, +) is een groep met drie elementen. Bijgevolg is er precies één groep met drie elementen. Zij nu G = {e, a, b, c} een groep met vier elementen. Dan bevat G een element van orde twee. Inderdaad, veronderstel dat dit niet zo is. Dan heeft a ofwel orde drie ofwel orde vier (ga dit na). Dit laatste geval is echter onmogelijk want dan is a 2 van orde twee. In het andere geval is het element van G dat niet behoort tot {e, a, a 2 } een element dat gelijk is aan zijn inverse (ga dit na) en dus een element van orde twee. Dus steeds verkrijgen wij een contradictie.