KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen

Transcriptie

1 KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015

2 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen Basisbegrippen De algebra van verzamelingen Unie Doorsnede Complement Verschil Machtsverzameling Koppels en het carthesisch product Relaties Samenstelling van relaties Equivalentierelaties Equivalentieklassen Orderelaties Functies en afbeeldingen Jecties Speciale afbeeldingen Permutaties Kardinaliteit 28 5 Deelbaarheid 29 6 Samenstellingswetten Inwendige bewerking Uitwendige bewerking Algebras Morfismen Groepen Basisbegrippen De groep Deelgroep Morfismen Orde Nevenklassen Directe som Permutatiegroepen

3 INHOUDSOPGAVE Conjugatie Normaaldelers en Quotientgroepen Quotientgroepen Enkelvoudige en oplosbare groepen De isomorfismestellingen Eerste isomorfismestelling Voortbrengers van een groep Tweede isomorfismestelling Derde isomorfismestelling Commutatordeelgroep Ringen Abstracte ringen Ring Ring met eenheidselement Commutatieve ring Lichaam Integriteitsdomeinen Velden Direct product Deelringen Ringmorfismen Breukenveld van een integriteitsdomein Idealen Voortgebrachte idealen Quotientringen Isomorfismestellingen Priemidealen en Maximale idealen deelbaarheid binnen integriteitsdomeinen Veeltermen over ringen Veeltermfuncties Veeltermen over velden Irreducibiliteit Veeltermen in meerdere veranderlijken HID en UFD Hoofdideaaldomein Unieke factorisatiedomeinen Codetheorie Velden Karakteristiek van een ring Deelvelden Priemdeelring en Priemdeelveld Veldmorfismen Velduitbreidingen: basisbegrippen Algebraische en transcendente elementen Enkelvoudige uitbreidingen Minimale veelterm Algebraïsche uitbreidingen en ontbindingsvelden Algebraïsche uitbreidingen

4 INHOUDSOPGAVE Ontbindingsvelden Cyclotome uitbreidingen en Cyclotome veeltermen Meervoudige wortels Algebraïsch gesloten velden Eindige velden Bestaan en uniciteit Onderlinge inclusies Lineaire Algebra Herhaling Conventies Herhaling Triagulatie Cayley-Hamilton K-algebra s Cayley-Hamilton Minimale veeltermen Decompositie via minimale veelterm Diagonaliseren Nilpotente transformaties en Jordanvorm Nilpotente transformaties Jordanvorm Normale transformaties Inproducten De adjunct van een lineaire transformatien Normale transformaties Booleaanse algebra Atomen Netwerken en Schakelalgebra Synthese van netwerken Codetheorie Probleemstelling Begrippen Foutdetectie Foutverbetering Lineaire blokcodes Matrixbeschrijving van een lineaire blokcode Decodering van lineaire blokcodes Hamming codes Perfecte codes Cyclische codes wut Voorbeelden Groepen Monoiden Groepen Deelgroepen Groepsmorfisme

5 INHOUDSOPGAVE Orde Nevenklassen Directe som Permutatiegroepen Conjugatie Normaaldelers Quotientgroepen Enkelvoudige groepen Oplosbare groepen Isomorfismestellingen Commutatordeelgroep Ringen Eenhedengroepen Deelringen Ringmorfismen Breukenvelden Idealen Quotiëntringen Isomorfismestellingen Priemidealenn Maximale idealen Irreducibiliteit HID en UFD Velden Karakteristiek van een ring Priemdeelring en priemdeelveld Veldmorfisme Velduitbreidingen Algebraïsche en transcendente elementent Enkelvoudige uitbreidingen Ontbindingsvelden Algebraïsche sluitingen Eindige velden Onderlinge inclusies Booleaanse algebra Codetheorie Foutdetectie Algebra I: Oefenzittingen Oefenzitting 1: Herhalingen en Aanvullingen Oefenzitting 2: Permutatiegroepen Oefenzitting 3: Conjugatie en klasvergelijking Oefenzitting 4: Normaaldelers Oefenzitting 5: Quotiënten en isomorfismestellingen Oefenzitting 6: Basisbegrippen Oefenzitting 6: Idealen Oefenzitting 7: Quotientringen Oefenzitting 8: Veeltermringen, HID s en UFD s Oefenzitting 9: Velden

6 INHOUDSOPGAVE 5 16 Toepassingen van Algebra: Oefenzittingen Oefenzitting 1: Bewerkingen en Groepen Oefenzitting 2: Groepen Algoritmes Jordanmatrix berekenen Examenvragen: Algebra I Snelheidsvraagjes Groepen Ringen Velden Lineaire algebra Examenvragen: Toepassingen van Algebra Benoem deze algebra Abstract Voorbeeld Ontbind in priemfatoren BM algoritme Convolutionele codes

7 Hoofdstuk 1 Verzamelingen 1.1 Basisbegrippen Definitie 1.1. Een verzameling is een geheel van onderling verschillende, ongeordende objecten. Deze objecten noemt men de elementen van de verzameling. de Definitie 1.2. Een formele beschrijving van een verzameling met behulp van een predikaat p ziet er als volgt uit. {x p(x)} Dit is de verzameling van all elementen die aan het predikaat p voldoen. Definitie 1.3. Twee verzamelingen A en B zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde elementen bevatten. A = B x : x A x B Stelling 1.4. De transitiviteit van = : Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. Bewijs. (A = B) (B = C) A = C A = B B = C ( x : x A x B) ( x : x B x C) x : ((x A x B) (x B x C)) x : (x A x C) A = C Definitie 1.5. Een verzameling A is een deelverzameling van een verzameling B als en slechts als B alle elementen van A bevat. A B x : x A x B 6

8 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 7 Stelling 1.6. De anti-symmetrie van : Gegeven twee willekeurige verzamelingen A en B. Bewijs. A B B A A = B A B B A ( x : x A x B) ( x : x B x A) x : ((x A x B) (x B x A)) x : x A x B A = B Stelling 1.7. De transitiviteit van : Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. Bewijs. A B B C A C A B B C ( x : x A x B) ( x : x B x C) x : ((x A x B) (x B x C)) x : x A x C A C Definitie 1.8. Een verzameling A is een strikte deelverzameling van een verzameling B als en slechts als A een deelverzameling is van B en niet gelijk is aan B. A B A B a B Definitie 1.9. De universele verzameling U is de verzameling van alle mogelijke elementen waarvan sprake is. U = {x true} Stelling Elke verzameling A is een deelverzameling van het universum U. A U Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van A zit ook in U. x : x A x U Definitie De lege verzameling is de verzameling die geen enkel element bevat. Stelling De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling. Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van (geen enkel element) zit ook in A. x : x x A

9 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 8 Definitie Een singleton is een verzameling met precies één element. 1.2 De algebra van verzamelingen Unie Definitie De unie A B van twee verzamelingen A en B is de verzameling die zowel de elementen van A als de elementen van B bevat. Eigenschap De unie is commutatief. A B = {x x A x B} A B = B A Bewijs. A B = {x x A x B} = {x x B x A} = B A Eigenschap De unie is idempotent A A = A Bewijs. A A = {x x A x A} = {x x A} = A Stelling Elke verzameling A is een deelverzameling van elke unie A B van die verzameling met een andere verzameling B. A A B Bewijs. x : x A x A x B Stelling A B A B = B Bewijs. {x x A x B} = B a A : a B Stelling De unie is associatief A (B C) = (A B) C Bewijs. A {x x B x C} = {x x A x B x C} = {x x A x B} C Stelling De identiteitswet voor de unie A = A Bewijs. A = {x x A x } = A Stelling De nulwet voor de unie A U = U Bewijs. A U = {x x A x U } = {x x A true} = U

10 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN Doorsnede Definitie De doorsnede A B van twee verzamelingen A en B is de verzamling die enkel de elementen bevat die zowel in A als in B zitten. A B = {x x A x B} Eigenschap De doorsnede is commutatief. A B = B A Bewijs. A B = {x x A x B} = {x x B x A} = B A Eigenschap De doorsnede is idempotent A A = A Bewijs. A A = {x x A x A} = {x x A} = A Stelling De doorsnede A B is een deelverzameling van A. A B A Bewijs. A B = {x x A x B} {x x A} = A Stelling A B A B = A Bewijs. x : (x A x B) {x x A x B} = A Stelling De identiteitswet voor de doorsnede A U = A Bewijs. A U = {x x A x U } = {x x A true} = A Stelling De nulwet voor de doorsnede A = Bewijs. A = {x x A x } = {x x A f alse} = Definitie Twee verzamelingen A en B zijn disjunct als en slechts als ze geen gemeenschappelijke elementen hebben. A B = Stelling De eerste absorptiewet. A (A B) = A

11 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 10 Bewijs. A (A B) = A {x x A x B} = {x x A (x A x B)} = {x x A} = A Stelling De tweede absorptiewet. A (A B) = A Bewijs. A (A B) = A {x x A x B} = {x x A (x A x B)} = {x x A} = A Stelling De doorsnede is distributief ten opzichte van de unie. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = A {x x B x C} = {x x A (x B x C)} = {x (x A x B) (x A x C)} = (A B) (A C) Stelling De unie is distributief ten opzichte van de doorsnede. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = A {x x B x C} = {x x A (x B x C)} = {x (x A x B) (x A x C)} = (A B) (A C) Complement Definitie Het complement van een verzameling A ten opzichte van de universele verzameling U is de verzameling van alle elementen die niet in A zitten, maar wel in U. A c = {x x A} Andere notaties voor het complement zijn A, A. Stelling Het complement van het complement van een verzameling is opnieuw de originele verzameling. (A c ) c = A Bewijs. A cc = {x x A c } = {x x A} = A Stelling De complementaire wet voor de unie. De unie van een verzameling en haar complement is het universum. A A c = U

12 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 11 Bewijs. A A c = {x x A x A c } = {x true} = U Stelling De complementaire wet voor de doorsnede. De doorsnede van een verzameling en haar complement is leeg.. A A c = Bewijs. A A c = {x x A x A c } = {x f alse} = Stelling De eerste wet van De Morgan. (A B) c = A c B c Bewijs. (A B) c = {x x (A B)} = {x (x A x B)} = {x (x A) (x B)} = A c B c Stelling De tweede wet van De Morgan. (A B) c = A c B c Bewijs. (A B) c = {x x (A B)} = {x (x A x B)} = {x (x A) (x B)} = A c B c Verschil Definitie Het verschil van een verzameling A met een andere verzameling B is de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten. A \ B = {x x A x B} Propositie Voor twee verzamelingen A en B geldt dat zowel de doorsnede als de verschillen onderling disjunct zijn. (1) (A B) (A \ B) = Bewijs. Bewijs elk deel afzonderlijk: (2) (A \ B) (B \ A) = (3) (B \ A) (A B) =

13 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 12 (A B) (A \ B) = {x x A x B} {x x A x B} = {x (x A x B) (x A x B)} = {x (x B) (x B)} = {x f alse} = (A \ B) (B \ A) = {x x A x B} {x x B x A} = {x (x A x B) (x B x A)} = {x f alse} = (B \ A) (A B) = {x x B x A} {x x A x B} = {x (x B x A) (x A x B)} = {x (x A) (x A)} = {x f alse} = Stelling Het verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de doorsnede met het complement. A \ B = A B c Bewijs. A \ B = {x x A x B} = {x x A} {x x B} = A B c Definitie Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen die in precies één van de twee verzamelingen zit. A B = {x (x A x B) (x B x A)} Stelling Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de unie van de twee verschillen Machtsverzameling A B = A B = A B = A B = (A \ B) (B \ A) Definitie De machtsverzameling P(A) is de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling A. P(A) = {S S A} Definitie Een partitie P van een verzameling X is een deelverzameling van de machtsverzameling P(x) van X met de volgende eigenschappen: De verzamelingen zijn niet leeg. A P : A

14 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 13 De verzamelingen zijn onderling disjunct. A, B P : A B A B = De verzamelingen samen vormen X. x X : A P : x A 1.3 Koppels en het carthesisch product Definitie Een geordend paar of een koppel zijn twee elementen die in een bepaalde volgorde samen horen. (a,b) Definitie De gelijkheid tussen koppels is zo gedifineerd dat de overeenkomstige elementen gelijk zijn. (a,b) = (c,d) (a = c b = c) Definitie Het carthesisch product A B van twee verzamelingen A en B is de verzameling der koppels (x,y) met x A en y B A B = {(x,y) x A y B} Stelling Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de unie. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = {(x,y) x A y (B C)} = {(x,y) x A (y B y C)} = {(x,y) (x A y B) (x A y C)} = {(x,y) (x A y B)} {(x,y) (x A y C)} = (A B) (A C) Stelling Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de doorsnede. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = {(x,y) x A y (B C)} = {(x,y) x A (y B y C)} = {(x,y) (x A y B) (x A y C)} = {(x,y) (x A y B)} {(x,y) (x A y C)} = (A B) (A C)

15 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 14 Stelling Zij A, B, C en D verzamelingen, dan geldt volgende gelijkheid. (A B) (C D) = (A C) (B D) Bewijs. (A B) (C D) = {(x,y) x A y B} {(x,y) x C y D} = {(x,y) x A y B x C y D} = {(x,y) x A x C y B y D} = {x x A x C} {y y B y D} = (A C) (B D) Definitie Het carthesisch product van een verzameling A met zichzelf wordt wel eens als A 2 genoteerd. A 2 = A A Definitie Een n-koppel of n-tal zijn n elementen die in een bepaalde volgorde voorkomen. (a 1, a 2,..., a n ) Definitie Het n-voudig Carthesis product tussen n verzamelingen is de verzameling van alle n-tallen over die verzamelingen. A 1 A 2... A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A i } Definitie Het n-voudig Carthesis product van een verzameling A met zichzelf wordt als A n genoteerd. A n = A A... A

16 Hoofdstuk 2 Relaties Definitie 2.1. Een (binaire) relatie R is een verzameling koppels (x, y), respectievelijk van een verzameling X en Y. Wanneer (x,y) een koppel is in R noteren we xry. R X Y Vaak worden X en Y opgenomen in de identiteit van de relatie om over surjecties te kunnen spreken. Definitie 2.2. De eenheidsrelatie I X op een verzameling X is de volgende verzameling: {(x, x) X X x X } Definitie 2.3. De inverse R 1 van een relatie R is de volgende relatie: R 1 = { (x,y) (y, x) R } Stelling 2.4. De inverse van de inverse van een relatie is opnieuw de originele verzameling. R 1 1 = R Bewijs. R 1 1 = { (x,y) (y, x) {(u,v) (v,u) R} } = { (x,y) (x,y) R } = R 2.1 Samenstelling van relaties Definitie 2.5. De samenstelling S R van twee relaties R en S (lees: S na R ) is de volgende relatie. { (x,y) ( z)((x, z) R (z,y) S) } Stelling 2.6. De samenstelling van relaties is associatief. (T S) R = T (S R) 15

17 HOOFDSTUK 2. RELATIES 16 Stelling 2.7. De inverse van een relatie nemen is distributief ten opzichte van de samenstelling van relaties. (S R) 1 = R 1 S 1 Definitie 2.8. Zij R een relatie. Het domein (domain) is als volgt gedefinieerd. domr = { x ( y)(x,y) R } Definitie 2.9. Zij R een relatie. Het beeld (range) is als volgt gedefinieerd. bldr = ranr = { y ( x)(x,y) R } Stelling Het domein van een relatie is het beeld van zijn inverse. dom(r) = bld(r 1 ) Stelling Het beeld van een relatie is het domein van zijn inverse. bld(r) = dom(r 1 ) Stelling Domein na samenstelling: dom(r S) dom(s) Stelling Beeld na samenstelling: bld(r S) bld(r) Stelling Domein na samenstelling (2): blds domr dom(r S) = doms Definitie Een n-aire relatie is, analoog aan een binaire relatie, een verzameling n-tallen. 2.2 Equivalentierelaties Definitie Een relatie R op X X is reflexief wanneer voor alle x X xrx geldt. x X : (x, x) R Definitie Een relatie R op X X is symmetrisch wanneer voor alle x,y X xry yrx geldt. x,y X : (x,y) R (y, x) R

18 HOOFDSTUK 2. RELATIES 17 Definitie Een relatie R op X X is transitief wanneer voor alle x,y, z X (xry yrz) xrz geldt. x,y, z X : ((x,y) R (y, z) R) (x, z) R Definitie Een equivalentierelatie R is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is Equivalentieklassen Definitie Zij een equivalentierelatie op X en zij x X. De equivalentieklasse van x is de verzameling van elk element dat equivalent is met x. [x] = {y X x y} Definitie De quotientverzameling van X ten opzichte van een equivalentierelatie is de verzameling van alle equivalentieklassen. X/ = {[x] x X } Stelling Zij een equivalentierelatie op X, dan is elk element van X een element van diens equivalentieklasse. x X : x [x] Bewijs. Zij x een willekeurig element van X, dan geldt x x vanwege de reflexiviteit van een equivalentierelatie. 1 Stelling Zij een equivalentierelatie op X. Bewijs. Bewijs van een equivalentie. x,y X : y [x] [y] = [x] Kies een willekeurige y in de equivalentieklasse van x. y x Kies een willekeurige z [y]. x y geldt alsook y z bijgevolg geldt x z. 2 [y] is dus een deelverzameling van [x]. [y] [x] De omgekeerde richting is analoog. 3 1 Zie definitie 2.19 en Zie definitie 2.19 en Zie definitie 2.19 en [x] [y]

19 HOOFDSTUK 2. RELATIES 18 Stel [y] = [x], nu geldt y [y] 4 en bijgevolg y [x]. Stelling De quotientverzameling X/ van een equivalentierelatie op verzameling X is een partitie van X. Bewijs. We gaan de voorwaarden uit de definitie van een partitie na. 5 Een element [x] van A bevat steeds een element x en is dus niet leeg. Stel dat er twee verschillend elementen [x] en [y] zijn van X/ die niet onderling disjunct zijn, dan bestaat er een element z dat in zowel [x] als [y] zit. Nu geldt zowel [z] = [x] als [z] = [y]. 6 Tenslotte geldt [x] = [y]. Contradictie. Voor elk element x X zit de equivalentieklasse in A. A overdekt dus minstens X. Stelling Zij P een partitie van X. De volgende verzameling vormt dan een equivalentierelatie op X. x y ( A P : x A y A) Bewijs. We definieren een relatie als volgt: x y x en y zitten in dezelfde deelverzameling van P Dat deze relatie een equivalentierelatie is volgt meteen uit het feit dat dezelfde als ook een equivalentierelatie is. 2.3 Orderelaties Definitie Een relatie R op een verzameling X X is anti-symmetrisch als het volgende geldt: x,y X : ((x,y) R (y, x) R) x = y Definitie Een (partiële) orderelatie op X is reflexief, transitief en anti-symmetrisch. Definitie Een grootste element a van een verzameling A waarop een orderelatie is gedefinieerd is, is het element waarvoor geldt dan alle andere elementen kleiner zijn of gelijk aan a. x A : x a Analoog wordt ook een kleinste element gedefinieerd. 4 Zie stelling Zie definitie Zie stelling 2.23.

20 HOOFDSTUK 2. RELATIES 19 Definitie Een maximaal element a van A waarop een orderelatie is gedefinieerd is, is het element waarvoor geldt dat er geen kleiner bestaat. x A : a x Analoog wordt ook een minimaal element gedefinieerd. Opmerking Een maximaal/minimaal element is niet noodzakelijk een grootste/kleinste element. Definitie Zij (X, ) een geordende verzameling en A X. b X is een bovengrens van A als het volgende geldt. x A : x b Analoog wordt een ondergrens gedefinieerd. Opmerking Een grens van een ordeverzameling hoeft dus niet in die verzameling te zitten. Definitie Een supremum(infimum) van een deelverzameling van een geordende verzameling is een bovengrens(ondergrens) die kleiner(groter) is dan elke andere bovengrens(ondergrens). Opmerking Een supremum/infimum is een grens van een ordeverzameling en hoeft dus niet in die verzameling te zitten. Stelling Zij A een partieel geordende verzameling met orderelatie. Het kleinste/grootste element element van A is uniek als het bestaat. Stelling Zij A een partieel geordende verzameling met orderelatie. Het supremum/infimum van A is uniek als het bestaat. Definitie Een totale orderelatie is een partiele orderelatie met bijkomend de volgende eigenschap: x,y X : x y y x Voor elke twee elementen zijn er dus precies drie mogelijkheden: x y x = y y x Definitie Zij A een verzameling die volledig geordend is door de relatie, dan noemen we succ de successorfunctie als die gedefinieerd kan worden. succ(x) = y x < y ( z A : x < z < y

21 HOOFDSTUK 2. RELATIES 20 Opmerking De successorfunctie kan niet altijd gedefinieerd worden. Denk bijvoorbeeld aan de volgende volledige orderelatie over Z: : Z Z : x y x y

22 Hoofdstuk 3 Functies en afbeeldingen Opmerking 3.1. Na dit hoofdstuk en in andere lectuur wordt met functie vaak volledige functie bedoelt, en wordt er dus geen onderscheid meer gemaakt tussen een functie en een afbeelding. Definitie 3.2. Een (partiele) functie f van A naar B: f : A B is een relatie tussen A en B die 1-waardig is. 1. f A B (f is een relatie van A naar B.) 2. (x,y 1 ) f (x,y 2 ) f y 1 = y 2 (f is 1-waardig.) Vaak worden A en B opgenomen in de definitie van een functie om over surjecties te kunnen spreken. Een functie f : A B is dan het drietal (f, A, B). Definitie 3.3. De definitie van een functie ziet er als volgt uit: f : A B : a b Hier noemen we B het codomein van f en er geldt dom f A. We lezen: f is een functie van A naar B die a afbeeldt op b. Definitie 3.4. Wanneer er geen koppel (x,y) in f bestaat zeggen we dat de functie f ongedefinieerd is in x. Definitie 3.5. Wanneer we over functies spreken gebruiken we soms de volgende afkorting. Zij f een functie f : A B en C A een verzameling. f (C) = {f (c) c C} Definitie 3.6. Zij f een functie: f : A B. In y = f (x) noemen we x het argument en y het beeld van x onder f. 21

23 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 22 Definitie 3.7. Het beeld f (A) van een verzameling A onder een functie f is de verzameling van alle beelden van de elementen van A. f (A) = {y Y x A : f (x) = y} Definitie 3.8. Het invers beeld f 1 (A) van een verzameling B onder een functie f is de verzameling van alle elementen uit X die op een element in B afgebeeldt worden. f 1 (B) = {x X f (x) B} Definitie 3.9. Een afbeelding (of volledige functie) f van A naar B: f : A B is een functie die overal gedefiniëerd is. x A, y B : (x,y) f Definitie De definitie van een afbeelding ziet er als volgt uit: f : A B : a b Hier noemen we B het codomein van f en A het domein van f. We lezen: f is een functie afbeelding van A op B die a afbeeldt op b. Definitie Wanneer we over afbeeldingen spreken noteren we vaak f (x) = y in plaats van x f y of (x,y) f. Stelling Zij f en д functies van A naar B: f : A B, dan geldt: Bewijs. Bewijs van een equivalentie. x A : f = д f (x) = д(x) Als de verzamelingen f en д gelijk zijn is het beeld van elke x inderdaad hetzelfde onder f als onder д. Geldt er voor koppel (x,y 1 ) f en (x,y 2 ) dat y 1 gelijk is aan y 2, dan moeten f en д wel dezelfde verzameling zij. Definitie Zij f : A A een functie van A naar zichzelf. We noemen x een vast punt van f als f x op zichzelf afbeeldt. f (x) = x

24 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 23 Definitie Zij f : A A een functie van A naar zichzelf. We noemen een deelverzameling X van A een invariante of stabiele deelverzameling voor f als f X op een deelverzameling van zichzelf afbeeldt. f (X ) X 3.1 Jecties Opmerking De jecties worden soms enkel gedefinieerd voor afbeeldingen, maar ze kunnen al over relaties gedefinieerd worden. Definitie Een afbeelding f : A B is injectief (een injectie) als ze voor verschillende argumenten nooit hetzelfde beeld geeft. x 1, x 2 A : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 Definitie Een afbeelding f : A B is surjectief (een surjectie) als elk element in het codomein B een beeld is van een element uit A. y B : x A : y = f (x) Definitie Een afbeelding f : A B is bijectief (een bijectie) als het een injectie en een surjectie is. Definitie We noemen twee verzamelingen X en Y equipotent als er een bijectie f : X Y bestaat. Definitie Een afbeelding f : A A van een verzameling op zichzelf noemen we een transformatie. 3.2 Speciale afbeeldingen Definitie Een bijectieve functie van een eindige verzameling A naar een eindige verzameling B noemen we een substitutie. Definitie De identieke transformatie id A van een verzameling A is de (bijectieve) afbeelding die elk element op zichzelf afbeeldt. id A : A A met x A : f (x) = x

25 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 24 Definitie De inlassing i AB van A in B met A B beeldt elk element ook op zichzelf af, maar heeft een ander codomein. i AB : A B met x A : f (x) = x Definitie Een constante afbeelding f beeldt elk argument af op éénzelfde beeld b. f : A B met x domf : f (x) = b Definitie De karacteristieke afbeelding van A in C is gedefinieerd voor A C in B = {0, 1} als volgt: E A : C B : x 1 als x A x 0 als x A Definitie De beperking f C van f tot C is gedefinieerd voor f : A B en C A als volgt: f C : C B : x f (x), x C Een functie, beperkt tot haar domein is een afbeelding. Stelling Zij f : A B en д : B C twee afbeeldingen, dan is de samenstelling д f ervan ook een afbeelding. Bewijs. Inderdaad, z = (д f )(x) = д(f (x)) en zowel f (x) en д(f (x)) zijn goed gedefinieerd omdat f en д afbeeldingen zijn. Stelling Zij f en д injecties, dan is hun samenstelling д f ook een injectie. Stelling Zij f en д surjectie, dan is hun samenstelling д f ook een surjectie. Stelling Zij f en д bijectie, dan is hun samenstelling д f ook een bijectie. Definitie Assymetrische inversen De linker inverse д : B A van een afbeelding f : A B is een afbeelding zodat het volgende geldt: д f = I A De rechter inverse д : B A van een afbeelding f : A B is een afbeelding zodat het volgende geldt: f д = I B

26 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 25 Definitie De (algemene) inverse д : B A van een afbeelding f afbeelding die zowel de linker- als rechter inverse is van f. : A B is een Definitie Een afbeelding f : A B is inverteerbaar als en slechts als f 1 : B A ook een afbeelding is. f 1 noemen we dan de inverse afbeelding. Stelling Een afbeelding is inverteerbaar als ze injectief is. Stelling De samenstelling van een inverteerbare afbeelding en haar inverse is de identieke transformatie. Stelling Een afbeelding f is bijectief als en slechts als f 1 bijectief is. 3.3 Permutaties Definitie Een transpositie is een permutatie die elementen verwisselt en de rest op zichzelf afbeeldt. Het is met andere woorden een cykel van lengte 2. Definitie Een bijectieve afbeelding van een eindige verzameling naar zichzelf noemen we een permutatie. Definitie We noemen de verzameling van permutaties van n elementen S n. Definitie We noteren het voorschrift van een permutatie σ : A A van een verzameling A = a 1,..., a n soms als volgt: σ = a 1... a n σ (a 1 )... σ (a n ) Dit heet de twee-lijnen notatie van Cauchy. Definitie We kunnen een permutatie van {1,..., n} eenvoudig noteren als volgt: Zij i 1,..., i r elementen uit {1,..., n}. σ = (i 1 i 2... i r ) Bovenstaande gelijkheid is de notatie voor σ, zijnde de volgende permutatie: Dit heet de cykelnotatie. σ (i i ) = i (i+1)mod r Stelling Een permutatie is een samenstelling van transposities.

27 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 26 Bewijs. Het is voldoende om aan te tonen dat elke cykel in S n een samenstellinng is van transposities: (i 1 i 2... i r ) = (i 1 i r ) (i 1 i 3 ) (i 1 i 2 ) Definitie Twee cykels zijn disjunct als ze geen gemeenschappelijke symbolen hebben. Eigenschap Disjuncte cykels commuteren. Stelling Elke permutatie in S n, verschillend van de identieke, is de samenstelling van onderlingdisjuncte cykels. TODO: bewijs zie p 14 Definitie We noemen de notatie van een permutatie als onderling disjuncte cykels de disjuncte cykelnotatie. Definitie Zij π : A A een permutatie en i en j twee elementen van A met i < j. We zeggen dat i en j geinverteerd worden door π als het volgende geldt: π (i) > π (j) Definitie Het aantal inversies van een permutatie π tellen we als volgt: ϕ(i, j) = 0 als π (i) < π (j) 1 als π (i) < π (j) I (π ) = 1 i<j n ϕ(i, j) Het teken van de permutatie π noteren we als siдn(π ) en is ofwel 1 ofwel 1. Eigenschap Zij π en ρ permutaties. siдn(π ) = ( 1) I (π ) siдn(π ρ) = siдn(π )siдn(ρ) Bewijs. siдn(π )siдn(ρ) = ( 1) I (π ) ( 1) I (ρ) = ( 1) I (π ρ) = siдn(π ρ)

28 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 27 Definitie We noemen een permutatie even/oneven als het aantal inversies even/oneven is. Definitie We noemen een cykel van r elementen even/oneven als r even/oneven is. Definitie We noemen de verzameling van even permutaties van n elementen A n. Stelling Een transpositie is steeds oneven. Bewijs. Een transpositie inverteert precies één element. Stelling Een permutatie in disjuncte cykelnotatie is even als en slechts als het aantal even cykels even is. TODO: bewijs

29 Hoofdstuk 4 Kardinaliteit Definitie 4.1. Definieer E n als de verzameling met de n eerste elementen uit N. E n = {i N 1 i n} Definitie 4.2. Zij X een verzameling. We zeggen dat n de kardinaliteit is van X als er een bijectie bestaat tussen X en E n. X = #X = n Definitie 4.3. Een verzameling is aftelbaar oneindig als X equipotent is met N 0. X = ℵ 0 Definitie 4.4. We noemen een verzameling aftelbaar als ze eindig of aftelbaar oneindig is. Definitie 4.5. Een verzameling is overaftelbaar als ze nie aftelbaar is. 28

30 Hoofdstuk 5 Deelbaarheid Definitie 5.1. Zij x, y elementen van Z, dan is x een deler van y als er een q in Z bestaat zodat y = qz geldt. x y q Z : y = zq Eigenschap 5.2. De relatie op Z is transitief. TODO: bewijs Eigenschap 5.3. d, a,b, x,y Z : (d x) (d y) d (ax + by) TODO: bewijs Eigenschap 5.4. x,y Z : (x y) (y x) x = y TODO: bewijs Eigenschap 5.5. x Z, y Z 0 : x y x y TODO: bewijs Definitie 5.6. Zij a 1,..., a n Z 0. De grootste gemene deler d van a 1,..., a n is de het grootste getal d N waarvoor het volgende geldt: Definieer bovendien ддd(0, 0,..., 0) = 0. d = ддd(a 1,..., a n ) d a 1 d a n Definitie 5.7. Zij a 1,..., a n Z 0. a 1,..., a n zijn relatief priem of onderling ondeelbaar als ддd(a 1,..., a n ) = 1 geldt. Stelling 5.8. Euclidische deling Voor elke a Z en elke b N, bestaat er een unieke q Z en een unieke r Z zodat het volgende geldt: a = bq + r met r r < b 29

31 HOOFDSTUK 5. DEELBAARHEID 30 We noemen q het quotient en r de rest. We duiden r bovendien aan als r = a mod b = a%b. TODO: bewijs Stelling 5.9. Zij x en y gehele getallen en n N 0. TODO: bewijs (x + y) mod n = ((x mod n) + (y mod n)) mod n Stelling Zij x en y gehele getallen en n N 0. TODO: bewijs TODO: algoritme van euler (x y) mod n = ((x mod n) (y mod n)) mod n Stelling Bézout-Bachet Zij a en b elementen van Z dan bestaan er α en β in Z zodat het volgende geldt. TODO: bewijs ддd(a,b) = αa + βb Stelling Zij a,b,c Z c ab дdd(a,c) = 1 c b TODO: bewijs Stelling Zij a,b,c Z TODO: bewijs Stelling Zij a,b,c Z a b b c d = ддd(a,b) ab d c ддd(a,bc) ддd(a,b) ддd(a,c) TODO: bewijs Stelling Chinese reststelling Zij n 1,..., n r N 0 met ддd(n i, n j ) = 1 voor alle i j. Voor alle a 1,..., a r Z bestaat er een x Z zodat het volgende geldt: x mod n 1 = a 1 mod n 1. x mod n r = a 1 mod n r Bovendien geldt dat als x 0 Z een oplossing is van bovenstaand stelsel, dan wordt de oplossingsverzameling in Z de volgende: TODO: bewijs {x 0 + (n 1 n 2... n r )k k r } = {x Z x mod (n 1 n 2... n r ) = x 0 mod (n 1 n 2... n r )}

32 HOOFDSTUK 5. DEELBAARHEID 31 Stelling kдv(a,b) = ab дcd(a,b) TODO: bewijs en definieer kgv Definitie Een priemgetal is een natuurlijk getal p > 1 dat alleen deelbaar is door ±1 en ±p. Stelling Zij p een priemgetal en a, b Z zodat p ab, dan geldt p a of p b. TODO: bewijs p ab p a p b Stelling De unieke priemfactorisatie Elk natuurlijk getal n > 1 kan geschreven worden als een product van priemgetallen. Deze ontbinding is uniek op de volgorde van de factoren na. TODO: bewijs Definitie Zij p een priemgetal en a Z 0. De p orde ord p (a) van a is de grootste exponent a N zodat p a a. We definieren bovendien ord p (0) = +. Stelling Stelling van euclides Er bestaan oneindig veel priemgetallen. TODO: bewijs

33 Hoofdstuk 6 Samenstellingswetten 6.1 Inwendige bewerking Definitie 6.1. Een (inwendige) samenstellingswet of bewerking onder de elementen van een verzameling A is een partiele functie: : A A A : (x,y) ((x,y)) De enige voorwaarde voor een bewerking is dat ze intern is. Met andere woorden: x,y A : ((x,y)) A Vaker dan de functienotatie gebruiken we de infixnotatie: x y ((x,y), ((x,y))) Definitie 6.2. We noemen een bewerking overal bepaald als het een afbeelding is. Definitie 6.3. Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. We noemen een deelverzameling B A stabiel of gesloten onder als de bewerking intern is binnen B. x,y B A : x y B Definitie 6.4. associativiteit We noemen een bewerking : A A A associatief als de haakjes niet uit maken. x,y, z A : x (y z) = (x y) z Definitie 6.5. commutativiteit We noemen een bewerking : A A A associatief als de volgorde van de argumenten niet 32

34 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 33 uit maakt. x,y A : x y y x Definitie 6.6. Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. We noemen e A het neutraal element van in A als de volgende gelijkheden gelden. a A : a e = e = e a Stelling 6.7. Als er een neutraal element e bestaat voor een bewerking in een verzameling A is dat neutraal element uniek. Bewijs. Bewijs uit het ongerijmde Stel dat er twee verschillende neutrale elementen e 1 en e 2 bestaan, dan gelden volgende gelijkheden: e 2 e 1 = e 1 = e 1 e 2 e 1 e 2 = e 2 = e 2 e 1 Bijgevolg zijn deze neutrale elementen gelijk. Contradictie. Definitie 6.8. Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. Zij l een element van A. l is links-regulier of links-schrapbaar als het links geschrapt kan worden. x,y A : l x = l y x = y r is rechts-regulier of rechts-schrapbaar als het rechtse geschrapt kan worden. x,y A : x r = y r x = y Een element is regulier of schrapbaar als het zowel links- als rechts-regulier is. Opmerking 6.9. Als een element links/rechts schrapbaar is, is de afbeelding x l x / x x r een injectie. Het schrappen van dat element is dan de linker/linker inverse afbeelding van deze afbeelding. Definitie Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. We noemen een element x A symmetriseerbaar voor alls het volgende geldt: y A : (x y = e) (y x = e) y is dan het symmetrisch element van x voor in A. y = sym(x) Stelling Zij : A A A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. Voor elk element x A geldt dat het symmtrisch element uniek is als het bestaat.! y : y = sym(x)

35 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 34 Bewijs. Bewijs uit het ongerijmde Stel dat er twee verschillende inversen y en z zijn van x in G. y = y e = y (x z) = (y x) z = e z = z De derde gelijkheid geldt omdat de bewerking associatief is. De vierde gelijkheid geldt omdat het neutraal element van een uniek is. 1 Stelling Zij : A A A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. Elk symmetrisch element is schrapbaar. y : y = sym(x) ( a,b A : (a x = b x a = b) (x a = x b a = Stelling Zij : A A A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. Bewijs. x,y A : sym(x y) = sym(y) sym(x) sym(x y) (x y) = e (sym(x y) x) y = e sym(y) = (sym(x y) x) sym(y) sym(x) = (sym(x y) x) sym(x) sym(y) sym(x) = sym(x y) (x sym(x)) sym(y) sym(x) = sym(x y) e sym(y) sym(x) = sym(x y) Merk op dat we meermaals gebruik maken van de associativiteit van. In de omgekeerde implicatie in de derde equivalentie maken we bovendien gebruik van het feit dat symmetrische elementen schrapbaar zijn. 2 Definitie De multiplicatieve notatie biedt afkortingen wanneer we de notatie of gebruiken voor de notatie van een bewerking. Multiplicatieve notatie wordt meestal gebruikt als de bewerking associatief is maar niet noodzakelijk commutatief. x 1 voor het symmetrisch element van x. x 0 of 1 voor het neutraal element e. x n = x x... x als n > 0 x n = x 1 x 1... x 1 als n < 0 1 Zie stelling 6.7 op pagina Zie stelling 6.12 op pagina 34.

36 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 35 Definitie De additieve notatie biedt afkortingen wanneer we de notatie + gebruiken voor de notatie van een bewerking. Additieve notatie wordt meestal gebruikt als de bewerking zowel associatief als commutatief is. x voor het symmetrisch element van x. 0 voor het neutraal element e. nx = x x... x als n > 0 nx = ( x) ( x)... ( x) als n < 0 a ( b) = a b Definitie Zij en twee bewerkingen op A. is links-distributief ten opzichte van als en slechts als volgende bewering geldt: x,y, z A : x (y z) = (x y) (x z) is rechts-distributief ten opzichte van als en slechts als volgende bewering geldt: x,y, z A : (x y) z = (x z) (y z) is zonder meer distributief als de bewerking zowel links- als rechts-distributief is. 6.2 Uitwendige bewerking Definitie Een (uitwendige) samenstellingswet of bewerking tussen elementen van een verzameling Ω en elementin van eenverzameling A is een partiele functie. : Ω A A : (x,y) (x,y)) Vaker dan de functienotatie gebruiken we de infixnotatie: x y ((x,y), ((x,y))) Definitie Zij : Ω A A een uitwendige bewerking. We noemen een deelverzameling B A stabiel of gesloten onder als de bewerking intern is binnen B voor alle elementen van Ω. x B A, y A : x y B Definitie Zij een inwendige en een uitwendige bewerking voor A, dan noemen we

37 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 36 distributief ten opzichte van als het volgende geldt: α Ω, x,y A : α (x y) = (α x) (α y) Definitie Zij een inwendige en een uitwendige bewerking voor A, dan noemen we associatief ten opzichte van als het volgende geldt: α, β Ω, x A : (α β) x = α (β x) Definitie Zij 1 en 2 bewerkingen voor twee respectievelijke verzamelingen A 1 en A 2. De productbewerking is als volgt gedefinieedr: x 1,y 1 A 1, y 2, x 2 A 2 : (x 1, x 2 ) (y 1,y 2 ) = (x 1 1 y 1, x 2 2 y 2 ) Opmerking De definitie van de productbewerking kan uitgebreid worden naar n-tallen. Definitie Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie. We noemen rechts-verenigbaar met als het volgende geldt: x,y, a A : x y (x a) (y a) We noemen links-verenigbaar met als het volgende geldt: x,y, a A : x y (a x) (a y) We noemen zonder meer verenigbaar met als zowel links- als rechts-verenigbaar is met. Definitie Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. is de quotientbewerking voor door B: : A/R A/R A/R : ( x, y ) x y = x y Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. De quotientbewerking voor door B is wel degelijk een inwendige bewerking. EXTRA: bewijs Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Als de quotientbewerking associatief is, dan is associatief. EXTRA: bewijs Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Als de quotientbewerking commutatief is, dan is commutatief. EXTRA: bewijs

38 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 37 Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Als de equivalentieklasse e van een element het neutraal element is van, dan is e het neutraal element van. EXTRA: bewijs Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Voor elk element x van A geldt als y het symmetrisch element is van x in A, dat x dan het symmetrisch element is van y is in A/R. EXTRA: bewijs

39 Hoofdstuk 7 Algebras Definitie 7.1. Een algebraïsche structuur of algebra is een verzameling A waarop een aantal inwendige (en eventueel een aantal uitwendige) bewerkingen gedefinieerd zijn. A, 1,dotsc, m, 1,..., n Definitie 7.2. Een algebra B is een deelalgebra of subalgebra van een algebra A als volgende beweringen gelden: B A: B is een deelverzameling van A. Op B zijn dezelfde bewerkingen gedefineerd. B is stabiel voor de interne bewerkingen van A. Definitie 7.3. Zij A een algebra en een equivalentierelatie verenigbaar met de bewerkingen van A, dan vormt de quotientverzameling A/R voorzien van de quotientbewerking de quotientalgebra van A door R. 7.1 Morfismen Definitie 7.4. Twee algebras A en B zijn homoloog als volgende beweringen gelden: Met iedere inwendige bewerking op A komt een inwendige bewerking op B overeen. Met iedere uitwendige bewerking op A komt een uitwendige bewerking op B overeen. De operatorengebieden voor A zijn dezelfde als de operatorengebieden voor B. Definitie 7.5. Zij A,,...,,... en B,,...,,... twee homologe algebras. Een homomorfisme tussen A en B is een afbeelding f met de volgende eigenschappen: 38

40 HOOFDSTUK 7. ALGEBRAS 39 Voor elke inwendige bewerking: x,y A : f (x y) = f (x) f (y) Voor elke uitwendige bewerking: x A, α Ω : f (α x) = α f (x) Definitie 7.6. Een bijectief homomorfisme is een isomorfisme. A is isomorf met B noteren we als volgt: G H Definitie 7.7. Een homomorfisme van een algebra met zichzelf is een endomorfisme. Definitie 7.8. Een isomorfisme van een algebra met zichzelf is een automorfisme.

41 Hoofdstuk 8 Groepen 8.1 Basisbegrippen De groep Definitie 8.1. Een halfgroep G, is een algebra die bestaat uit een (niet-lege) verzameling G en een afbeelding (de bewerking). De bewerking is associatief. : G G : (x,y) x y Definitie 8.2. Een monoïde is een halfgroep G, met een neutraal element e G. д G : e G д = д = д e G Definitie 8.3. Een groep G, is een monoïde waarin elk element symmetriseerbaar is. x G, x G : x x = e = x x Definitie 8.4. Een commutatieve groep of abelse groep G, is een groep waarbij de bewerking commutatief is. x,y G : x y = y x Deelgroep Definitie 8.5. Zij G, een groep en H een (niet-lege) deelverzameling van G. We noemen H, een deelgroep van G, als H, zelf ook een groep is. Met andere woorden: Een deelgroep is een deelalgebra die ook een groep is. Stelling 8.6. Zij H, een deelgroep van G,, dan is e G ook het neutraal element van H,. 40

42 HOOFDSTUK 8. GROEPEN 41 Bewijs. Noem e G het neutraal element van G, en e h dat van H,. Noem het invers van een element x in G, x 1. e H e H = e H e G eh 1 H e H ) = eh 1 H e G ) (eh 1 H ) e H = (eh 1 H ) e G e G e H = e G e G e H = e G Stelling 8.7. Zij H, een deelgroep van G,, dan is elk invers element x 1 van een element x in H ook het invers element van x in G,. Bewijs. Noem e G het neutraal element van G, en e h dat van H,. Noem het invers van een element x in G, x 1 en het invers van x in H, x. x x = e H = e G x = x 1 = x x 1 Stelling 8.8. Het criterium van een deelgroep. Zij G, een groep, en H een deelverzameling van G. H is een deelgroep van G als en slechts als aan de volgende voorwaarden voldaan is. 1. e G H 2. x,y H : x y H 3. x H : x 1 H Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Als H een deelgroep is van G, dan gelden de voorwaarden al omdat H zelf een groep is. 1 Stel dat de voorwaarden voldaan zijn. Vanwege voorwaarde twee is de beperking van tot H alvast een interne bewerking in H. : H H H : (x,y) x y associativiteit Deze bewerking is associatief in G, dus ook in H. Neutraal element Vanwege de eerste voorwaarde is e G ook een neutraal element van H. Inverse Elk element x in H heeft bovendien ook een invers in H volgens de derde voorwaarde. 1 Zie stelling 8.6 op pagina 40.