Logisch redeneren. Historische figuren. Begrippen. Axioma s of grondbegrippen. Grondbegrippen
|
|
- Anja Ine Moens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Logisch redeneren We vertrekken vanuit grondbegrippen en axioma s om de logica op te bouwen Historische figuren August De Morgan(19 de eeuw, Engeland): grondlegger van de formele logica. George Boole( 19 de eeuw, Ierland): grondlegger formele logica. Toont aan dat de formele logica aan de mathematische rekenwijze kan worden onderworpen. Aristoteles(300v.c.): bewijst dat er een systematiek in bewijzen te vinden is. Kurt Gödel(20 ste eeuw): hij beweerde dat een consistent axiomastelsel voor een groot deelgebied van de wiskunde steeds onvolledig is. Begrippen Axioma s of grondbegrippen axioma s of grondbegrippen zijn stellingen die niet bewezen worden maar aanvaart worden als waar. Verschillende samen horende axioma s vormen een axiomastelsel. Binnen zo één axiomastelsel mogen er geen twee axioma s strijdend zijn. Men ging opzoek naar een consistent en volledig stelsel, maar Kurt Gödel beweerde dat dit niet kon omdat een consistent axiomastelsel steeds voor een groot deelgebied van de wiskunde onvolledig is. Gödel gaat dan ook een onderscheid maken tussen de bewering is waar en de bewering is bewijsbaar. Grondbegrippen Een grondbegrip is een begrip dat geen definitie heeft. Deze worden verbonden door uitspraken, axioma s. grondbegrippen zijn nodig om andere begrippen te kunnen definiëren.
2 Propositielogica Grondbegrippen en axioma s van de propositielogica Een propositie is een zin die aangeeft dat wat beweerd wordt waar of niet waar is. De grondbegrippen van de formele logica Uitspraak: een uitspraak noteren we met een kleine letter (p). Van deze uitspraak kan dat gezegd worden of ze waar (1) of vals (0) is. uitdrukkingen waarin gebruik wordt gemaakt van een variabele is geen uitspraak. Negatie: niet(~) Conjunctie: en (Λ) Disjunctie: of (v) Implicatie: als dan ( ) Equivalentie: als en slechts als ( ) De axioma s van de formele logica 1. Axioma van de uitgesloten derde en van niet tegenstrijdigheid een uitspraak is ofwel waar, ofwel niet waar, maar niet beide tegelijk. 2. Axioma van de negatie de negatie van een uitspraak p, is een uitspraak (~p) 3. Axioma van conjunctie De conjunctie van een uitspraak p en q is uitspraak p en q die waar als p en q waar zijn, in andere gevallen is de uitspraak vals. 4. Axioma van de disjunctie de disjunctie van een uitspraak p en q is een uitspraak p OF q die vals is al p en q vals zijn. In alle andere gevallen is de uitspraak waar. 5. Axioma van de implicatie de implicatie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak als p dan q... die vals is al p waar is en q vals. In alles andere gevallen is de uitspraak waar. 6. Axioma van de equivalentie de equivalentie van 2 uitspraken p en q is een uitspraak p als en slechts als q die waar is als p en q beiden waar zijn of beiden vals. De twee andere uitspraken zijn vals. De waarheidstafels Voor n uitspraken zijn er 2 mogelijkheden. Volgorde van de logische bewerkingen ~ komt voor Λ en V Λ en V komen voor en De andere operaties worden uitgevoerd van links naar rechts.
3 Algemene info (te lezen) We gebruiken de implicatiepijl niet in onze schrijftaal. of wordt in de wiskunde in haar inclusieve betekenis gebruikt. of betekent : p / q/p en q. p=> q q =>. we noemen de uitspraak voor de implicatie het antecedent en de uitspraak na de implicatie de consequens. De waarheidswaarde van samengestelde uitspraken contradictie : alle samengestelde uitspraken zijn vals tautologie: alle samengestelde uitspraken zijn waar. Logische wetten of tautologiën Te leren pag !!! Elektronische schakels (lezen pag )
4 Predicatenlogica Uitspraakvormen Een uitspraakvorm of predikaat is een uitdrukking met veranderlijke(n) die een uitspraak wordt als men de verandrlijke(n) vervangt door constante(n). We schrijven een uitspraakvorm afhankelijk van x en noteren p(x). De referentieverzameling De veranderlijken worden vervangen door constanten die uit een welbepaalde verzameling gekozen worden. Deze verzameling noemen we de referentieverzameling. Waarheidsverzameling De waarheidsverzameling is de verzameling van all constanten uit de referentieverzameling waarvoor de waarheidsvorm of het predikaat waar is. Samengestelde uitspraken Met behulp van uitspraakvormen in eenzelfde referentieverzameling kunnen nieuwe uitspraakvormen gevormd worden door gebruik te maken van logische connectoren. Vb.: p(x) Λ q(x) Gekwantificeerde uitspraken Gekwantificeerde uitspraken zijn uitspraakvormen van de vorm p(x) in de referentieverzameling R. De universele kwantor x R geldt: p(x) Existentiële kwantor of bestaanskwantor Er bestaat ten minste één x van R waarvoor p(x) geldt. Uniciteitskwantor Er bestaat juist één element van R waarvoor p(x) geldt. Meervoudige gekwanteerde uitspraken Voor alle elementen x van X bestaat er een y uit element van Y waarvoor geldt: p(x,y).! 2 ongelijknamige kwantoren zijn niet verwisselbaar!
5 Negatie van een gekwanteerde uitspraak elementen 1 element waarvoor niet geldt. Men bekomt de negatie van een gekwanteerde uitspraak door: 1. De alkwantor te vervangen door de bestaanskwantor of omgekeerd. 2. De uitspraakvorm te vervangen door zijn negatie. Verklaringen Lees pag Conjuncties en disjunctie van gekwanteerde uitspraken Zie pag
6 Wiskundige theorie Begrippen en stellingen Wiskunde is een geheel van theorieën (algebra, meetkunde, analyse, ) Grondbegrippen zijn primitieve begrippen die niet gedefinieerd worden. Ware uitspraken die een verband uitdrukken tussen begrippen van een theorie noemen we eigenschappen of stellingen. Grondstellingen of axioma s zijn primitieve stellingen die niet meer bewezen kunnen worden. Definiëren Een definitie is een uitspraak over dat begrip equivalent verklaren met een uitspraak of reeds bekende begrippen van de theorie. Een definitie is wordt voor een begrip dat voor het eerst in een theorie ondubbelzinnig omschreven wordt. Bewijzen Een eigenschap bewijzen is haar waarheid aantonen door logische wetten toe te passen op de axioma s en op de op dat ogenblik gekende definities en bewezen eigenschappen. Soorten eigenschappen Een eigenschap is een uitspraak die te schrijven is als een implicatie. Een kenmerk of criterium is een eigenschap die als equivalent geschreven kan worden. Soorten bewijzen Rechtstreeks bewijs Bewijs door contrapositie Bewijs door inductie Bewijs uit het ongerijmde Bewijs van een existentiestelling Bewijs uit het ongerijmde Het bewijs uit het ongerijmde steunt op de logische wet van de contrapositie en op het axioma van de uitgesloten derde. We vertrekken van de negatie van wat bewezen moet worden. Eisen waaraan een axiomastelsel moet voldoen Een axiomastelsel mag niet contradictorisch zijn. De verschillende axioma s mogen niet tegenstrijdig zijn. De axioma s moet onafhankelijk zijn van elkaar. Logica in het wiskunde onderwijs Lezen pag
7 De verzamelingenleer Het begrip verzameling Een verzameling is een collectie van goed onderscheiden objecten die voldoen aan een bepaalde eigenschap. Hieruit volgt dat de elementen van een verzameling onderling verschillen en dat de volgorde van de elementen geen belang heeft. George Cantor (einde 19 de eeuw) is de grondlegger van de verzamelingenleer. Het begrip verzameling werd door B. Russell is in twijfel getrokken door de paradox van de barbier te formuleren: R is dan en slechts dan een element van R als R geen element is van R. Klasse Een klasse is een primitief begrip dat met het intuïtieve idee collectie van objecten correspondeert. Axioma s bepalen het gedrag van klassen. Verzameling Een verzameling wordt per definitie een klasse die zelf element is van een andere klasse en geen element is van zichzelf. De verzameling is een bijzondere klasse. In de paradox van Russell is R een klasse en geen verzameling. Algemeenheden over verzamelingen Elementen van een verzameling worden vastgelegd door: Opsomming van deze elementen Omschrijving van deze elementen Voorstellen van een verzameling: Aan de hand van een Venndiagram. (= een gesloten kromme waarbinnen de elementen met een punt worden voorgesteld) (het Venndiagram werd in in 1880 door J. Venn geïntroduceerd). Notaties 1. T={x І x is een letter van het woord appel } ieder element wordt slechts éénmaal gebruikt in de voorstelling. T = {a, p, e, l} 2. Gehele getallen = {0, 1, 1, 2, 2, } de verzameling van de gehele getallen is een oneindige verzameling. 3. Referentieverzameling R van een uitspraak wordt soms voorgesteld voor een rechthoek. 4. Een singleton is een verzameling met slechts 1 element. A = {4} 5. De ledige verzameling kan op veel manieren worden voorgesteld. Ø = { }, Ø = {x is een natuurlijk getal l 2 < x < 3 } 6. Een paar is een verzameling met juist 2 elementen. P = {4,9}
8 Relaties tussen verzameling De gelijke verzameling Twee verzamelingen zijn gelijk als en slechts als ze de zelfde elementen hebben. (A = B ) ( x : x Є A x Є B ) wordt een equivalentieteken genoemd. De deelverzameling van een verzameling Een deelverzameling B is een deel van verzameling 4 als en slechts als elk element van B een element van A is. (B A) ( x : x Є B => x Є A ) => wordt een implicatieteken genoemd. B A B is een echte deelverzameling van A. (B A) De referentieverzameling De referentie verzameling is de verzameling van alle objecten die men bestudeert. Deze verzameling wordt vaak niet expliciet genoemd.. R Criterium van gelijke verzamelingen Kenmerk : A B A B Λ B A Bewijs pag. 49 Delenverzameling van een verzameling Een delenverzameling van een verzameling A is de verzameling van alle delen van A. D A ( de delenverzameling van A) in symbolen: D A = {X I X A} voorbeeld: A = {1,2}, D A= { Ø, {1}, {2}, {1,2} } eigenschap 1 B A D A DB In woorden: het bewijs van een equivalentie kan gebeuren in 2 delen. Bewijs pag.51 52
9 Eigenschap 2 Een eindige verzameling met n elementen (n behoort tot de verzameling van de natuurlijke getallen) heeft deelverzamelingen (bewijs door inductie pag. 53) De begrippen paar en koppel *Een paar is een verzameling van 2 elementen. A = {4,9}={9,4} *Een koppel heeft een oorsprong en een uiteinde en is een geordend paar. A = (5,9) (9,5) Een identiek koppel is een koppel met zelfde oorsprong en uiteinde. Een invers koppel is een koppel waarbij oorsprong en uiteinde zijn verwisseld a, b b, a Opeenvolgende koppels zijn koppel waarvan het uiteinde van het ene koppel de oorsprong is van het volgende koppel. (a,b) en (b,c) zijn opeenvolgende koppels. Samen gestelde koppels zijn koppels die de oorsprong van het ene koppel bevatten en het uiteinde van het opeenvolgend koppel. (a,c) is een samengesteld koppel van (a,b) en (b,c) bewerkingen van verzamelingen het complement van een verzameling A t.o.v. een referentieverzameling R het complement van een verzameling A t.o.v. een referentieverzameling R is de verzameling van alle elementen van R die niet tot A behoren. R A Co(A) Voorbeeld: P is de verzameling van alle priemgetallen. Het complement van P zijn alle natuurlijke getallen die geen priemgetallen zijn. De doorsnede van een verzameling De doorsnede van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren. A B
10 De unie van verzamelingen De unie van A en B is de verzameling van elementen die tot A of tot B behoren. A B Verband met de logica De logische connectoren zijn terug te vinden in de 3 bovenstaande bewerkingen. We kunnen alle uitspraken uit de verzamelingenleer terugvoeren naar logica uitdrukkingen. De aftrekking van A en B Het verschil van de verzameling A en B is de verzameling van alle elementen die tot A behoren en niet tot B behoren. A \B Het symmetrische verschil van A en B Het symmetrische verschil van A en B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren, maar niet tot beiden. A B A B \ A B Het product van A en B Het product van A en B is de verzameling van alle koppels waarvan het beginelement tot A behoort en het eindelement tot B behoort. A X B = {(x,y) І x Є A Λ y Є B} Als A n elementen heeft en B m elementen heeft, van bevat A X B n m elementen. Eigenschappen van de bewerkingen en de relaties met verzamelingen Leren pag Partitie van een verzameling Een partitie van A is een verzameling van niet ledige deelverzamelingen van A met als eigenschap dat ieder element van A tot juist één van deze deelverzamelingen behoort. Voorbeeld: de restklassen. een partitie van = { 5, 5 +1, 5 +2, 5 +3, 5 +4} = O De unie van al deze delen van de partitie is de verzameling zelf. Twee elementen van een partitie zijn steeds disjunct. (= 2 delen zijn gescheiden)
11 Algemeenheden over relaties Een relatie r van een verzameling A naar een verzameling B is een verzameling van koppels met beginelement in A en eindelement in B. Een relatie is dus een deel van de productverzameling A X B r A B Relaties kunnen worden voorgesteld in een Venndiagram, een pijlenvoorstelling of een roostervoorstelling. Een relatie r in A wordt bepaald door opsomming van de koppels of door omschrijving van de koppels. Deze omschrijving is een verband tussen begin en eindelement, het relatievoorschrift genoemd. Voorbeelden: is een veelvoud van, is gelijk aan, is kleiner dan, Het relatievoorschrift van een relatie r in A² is een uitspraakvorm in 2 variabelen p(x,y). x is hierin de onafhankelijk veranderlijke en y is de afhankelijk veranderlijke. r x, y A waarvoor geldt p x, y r is de identieke permutatie, dit is de verzameling van alle koppels waarvan oorsprong en uiteinde gelijk zijn.
12 Relaties in een verzameling Sorteren Een equivalentierelatie is een relatie die ervoor zorgt dat de elementen gesorteerd worden. elementen van eenzelfde soort horen samen in één deelverzameling of equivalentieklasse. Equivalentierelatie Een equivalentierelatie r in A is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is in A. Reflexiviteit R is reflexief in A a ϵ A: a, a ϵ A Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling Symmetrie r is symmetrisch in A a, b ϵ A: a, b ϵ r b, a ϵ r Als een koppel (a,b) tot de relatie behoort dan behoort het omgekeerde koppel ook tot de relatie. Transitiviteit r is transitief in A a, b, c ϵ A: a, b ϵ r b, c ϵ r a, c ϵ r als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot de relatie. Als a ϵ A en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling van alle elementen die met a in relatie staan. Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.
13 Orderelatie Een orderelatie r in A is een relatie die reflexief, anti symmetrisch en transitief is. Reflexiviteit R is reflexief in A a ϵ A: a, a ϵ A Alle identieke koppels uit A² behoren tot de verzameling Anti symmetrisch r is anti symmetrisch in A a, b ϵ A: a, b ϵ r b, a ϵ r a b identieke koppels mogen wel voorkomen. Transitiviteit r is transitief in A a, b, c ϵ A: a, b ϵ r b, c ϵ r a, c ϵ r als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot de relatie. Als a ϵ A en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling van alle elementen die met a in relatie staan. Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.
14 Strikte orde Een strikte orde r in A is een relatie die anti reflexief, anti symmetrisch en transitief is in A. r is antireflexief in A a ϵ A: a, a r Alle identieke koppels behoren niet tot de relatie. Anti symmetrisch r is anti symmetrisch in A a, b ϵ A: a, b ϵ r b, a ϵ r a b identieke koppels mogen wel voorkomen. Transitiviteit r is transitief in A a, b, c ϵ A: a, b ϵ r b, c ϵ r a, c ϵ r als twee opeenvolgende koppels in de relatie bestaan, dan behoort het samengesteld Koppel ook tot de relatie. Als a ϵ A en r is een equivalantieverzameling van A, dan is de equivalentieklas van a de verzameling van alle elementen die met a in relatie staan. Ieder element van A behoort tot juist één equivalentieklas van de equivalentieverzameling. De verzameling van de equivalentieklassen vormen een partitie van A.
15 Geordende verzamelingen Een geordende verzameling A is een verzameling waarin een orderelatie is gedefinieerd. A is een geordende relatie A, Een geordende verzameling A, is totaal geordend als en slechts als a, b ϵ A: a b of b a. Een geordende verzameling A, is partieel geordend als en slechts als ze niet totaal geordend is. Maximum, minimum van een geordende verzameling Als D een niet ledig deel is van V,, dan definiëren we de begrippen maximum en minimum van D we noteren maxd en mind. m = mind m ϵ D xϵ D: m x M = maxd M ϵ D xϵ D: x M Een deel van een geordende verzameling heft hoogstens één minimum (maximum). Elke niet ledige eindige verzameling van een totaal geordende verzameling heeft een minimum en een maximum. Welgeordende verzameling Een welgeordende verzameling is een geordende verzameling waarvan elke niet ledige deelverzameling een minimum heeft. Boven en ondergrens, begrensde verzameling Als D een niet ledig deel is van een geordende verzameling V,, dan definiëren: g is de ondergrens van D g ϵ A x ϵ D g x G is de bovengrens van D G ϵ A x ϵ D x G D is begrensd D naar boven en onder begrensd is. D is naar onder begrensd D een ondergrens bezit. Supremum en infimum Het supremum van D (supd) is het minimum van de verzameling van de bovengrenzen van D. Het infimum van D (infd) is het maximum van de verzameling van de ondergrenzen van D.
16 Functiestudie Functies Een relatie van A naar B is een functie als en slechts als elk element van A hoogstens éénmaal voorkomt als eerste element van een koppel. is een functie van A naar B x ϵ A, y,y B x, y x, y y y Benaming, voorstelling, notatie x, y of y = x Het domein van een functie is de verzameling van alle elementen uit A die voorkomen als eerste element van een koppel. is een functie van A naar B x ϵ A,! y B y x x is de functievoorwaarde van in x Functievoorschrift *Het expliciet voorschrift (voorbeeld: y= X² 5) de afhankelijke veranderlijke staat in één lid van de vergelijking en de vergelijking is opgelost naar de afhankelijke veranderlijke. *het impliciet voorschrift (voorbeeld: x²+y² = 16) dit voorschrift kan meestal omgevormd worden naar een expliciet voorschrift. *meervoudig voorschrift hierbij worden meerdere vergelijkingen weergegeven over verschillende domeinen.
17 De afbeelding Een functie van A naar B is een afbeelding elk element van A juist eenmaal voorkomt als eerste element van een koppel. Een functie is een afbeelding dom = A Een transformatie is een afbeelding van A in A. Bij iedere functie hoort een afbeelding die we bekomen door de functie te beperken tot het domein van de functie. Een injectie of injectieve afbeelding dom A en x,x ϵ A x x x x Er komt hoogstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. Een surjectie of surjectieve afbeelding dom A en y ϵ B x ϵ A y x Er komt minstens 1 pijl uit A aan in elk element van B. Een bijectie of bijectieve afbeelding dom A en y ϵ B! x ϵ A y x Er komt juist 1 pijl uit A in elk element uit B. de verzameling van de afbeeldingen van A in B noteren we metb. Het aantal afbeeldingen van A in B. Het aantal afbeeldingen van A in B van een verzameling met n elementen in een verzameling met m elementen = Het aantal permutaties van A Het aantal permutaties van een verzameling A met n elementen = n! Een permutatie is een afbeelding waarbij elk element van A juist 1 keer op een element uit A wordt afgebeeld. (= bijectie) (notatie van permutaties lezen pag.87 en cursusbladen).
18 Bewerkingen met afbeeldingen De inverse relatie van een functie Een inverse relatie van een functie is de verzameling van alle inverse koppels van. de inverse relatie van de samenstelling van functies de samengestelde functie van twee functies f en g is de verzameling van alle samengestelde koppels die kunnen gevormd worden met de opeenvolgende koppels uit f en g. we schrijven g f of lezen g na f optelling en vermenigvuldiging van afbeeldingen lezen pag Rijen In verzamelingen heeft de volgorde van de elementen geen belang. Willen we echter een bepaalde volgorde aan de elementen geven, kunnen we dit doen door aan elk element een natuurlijk getal te koppelen. Voorbeeld: A= {z,r,d,} {(1,r), (2,z), (3,d)} = een afbeelding van {1,2,3} in A Een element van een rij heet een term. De algemene term van een rij schrijven we als a Uitbreiding tot het begrip matrix Voorbeeld A= {((1,1),r), ((1,2), a), ((2,1), q), ((2,2), p) } Dit is een afbeelding van {1,2} X{1,2} in A r q a p De rekenkundige rij En reële getallenrij is een rekenkundige rij elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door hetzelfde reël getal op te tellen. Dit reëel getal heet het verschil van de rekenkundige rij. a a v a a n 1 v Som van de eerste n termen: S a a 2.n
19 Een meetkundige rij Een reële getallenrij is een meetkundige rij elke term uit de voorgaande term wordt afgeleid door met hetzelfde reëel getal, verschillend van 0, te vermenigvuldigen. Dit reëel getal heet de reden van een meetkundige rij. a a q a a q Som van de eerste n termen: S a q 1 q 1. n met q 1
20 Kardinaalgetallen en natuurlijke getallen Gelijkmachtige verzamelingen Om na te gaan of twee verzameling een zelfde aantal elementen hebben kunnen we de elementen gaan tellen. We kunnen de elementen van de twee verzamelingen ook gaan koppelen. Als we een bijectie uitkomen hebben we een verzameling met evenveel elementen. Twee verzamelingen met evenveel elementen zijn gelijkmachtig of equipotent. Twee verzamelingen zijn equipotent of gelijkmachtig er een bijectie bestaat tussen ene verzameling en de andere. De relatie gelijkmachtig met bij verzamelingen Iedere verzameling is gelijkmachtig met zichzelf. De bijectie is hier bijvoorbeeld een identieke permutatie. De inverse relatie van een bijectie is een bijectie De samenstelling van 2 bijecties is een bijectie Kardinaalgetal van een verzameling Twee verzamelingen hebben hetzelfde kardinaalgetal ze gelijkmachtig zijn. De paradox van Galilei Bij het koppelen van de verzameling van de natuurlijke getallen aan de verzameling van de kwadraten van de natuurlijke getallen is er een bijectie hoewel er bij de verzameling van de kwadraten elementen ontbreken. Hier spreken we van een paradox. De oneindige verzameling Een oneindige verzameling is een verzameling die equipotent is met een echt deel van zichzelf. De natuurlijke getallen Een kardinaalgetal van een verzameling is een natuurlijk getal als en slechts als de verzameling eindig is. # (# aftelbaarheid) Aftelbaarheid # we spreken van een transfiniet kardinaalgetal.
21 Het vreemde van oneindig Het Hilberthotel Aftelbare oneindige verzamelingen Een verzameling is aftelbaar als en slechts als er een bijectie bestaat van een deel van op die verzameling. Orderelaties en orde in de kardinaalgetallen # A #B C B #A #C
22 Rekenen met natuurlijke getallen Voorstellingen van natuurlijke getallen Driehoeksgetallen Vierkantsgetallen Talstelsels Tiendelig talstelsel Binair systeem 16 delig talstelsel Bewerkingen en relaties met natuurlijke getallen (we werken met eindige verzamelingen) De optelling Als a = #A en b = #B en A B = ϕ dan a+b = # A# B Eigenschappen: de optelling in is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen. De optelling is associatief (haakjes zijn verplaatsbaar) De optelling is commutatief ( de termen mogen van plaats veranderd worden) 0 is het neutraal element De vereenvoudigingswet geldt De aftrekking Is kleiner dan of gelijk aan in Uit # A #B C B #A #C volgt: # b a!c c b a We definiëren de aftrekking: a b c c b a De aftrekking is de inverse bewerking van de optelling. Eigenschappen: als b > a dan bestaat a b niet in de aftrekking is niet associatief in a, b, c : a b c a b c de aftrekking is niet commutatief in a, b : a b b a er bestaat geen neutraal element voor de aftrekking
23 de vermenigvuldiging als a #A en b #B, dan definiëren we het product van a en b als # # eigenschappen: de vermenigvuldiging in is gedefinieerd voor elk koppel natuurlijke getallen. a, b ϵ : ab ϵ de vermenigvuldiging is commutatief in a, b ϵ : ab ba de vermenigvuldiging is associatief in N a,b,c ϵ :abc a bc 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in. (1 is het eenheidselement) a ϵ : 1 a a a 1 0 is het opslorpend element voor de vermenigvuldiging in a ϵ : a a De vereenvoudigingswet geldt: ac bc met c 0 a b De vermenigvuldiging is distributief t.o.v. de optelling in a,b,c ϵ :a b c ab ac en b c a ba ca De deling Is een deler van in. We noteren b I a en we lezen b is een deler van a of a is deelbaar door b of a is een veelvoud van b. b is een deler van a q : a bq eigenschappen: 1 is een deler van elk natuurlijk getal Elk natuurlijk getal is een deler van 0 Elk natuurlijk getal is een deler van zichzelf We definiëren: De deling is de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. Opmerkingen: De deling is niet associatief de deling is niet commutatief er bestaat geen neutraal element bij de deling
24 deelbaarheidskenmerken een getal is deelbaar door 10 als en slechts als het laatste cijfer een 0 is. Een getal is deelbaar door 2 als en slechts als het laatste cijfer een 2,4,6,8 of 0 is. Een getal is deelbaar door 5 als en slechts als het laatste cijfer een 0 of 5 is. Lezen pag Deelbaarheid door is deelbaar door 11 want: (112957) (7+9+1) (1+2+5)=11 voud 17 8 =11 Deelbare getallen Een deler van een getal a is een echte deler als en slechts als de deler verschillend is van 1 en a. Een getal heet deelbaar getal als en slechts al het echte delers heeft. Priemgetallen Een getal p is een priemgetal als en slechts als het getal juist 2 verschillende delers heeft. Stellingen pag. 21 De grootst gemeenschappelijke deler van 2 natuurlijke getallen. d is de grootste gemeenschappelijke deler van 2 strikt positieve getallen a en b als en slecht als d is een gemeenschappelijke deler van a en b en elke gemeenschappelijke deler van a en b is een deler van d. onderlinge ondeelbare getallen 2 strikt positieve getallen a en b zijn onderling ondeelbaar als en slechts als de ggd {a,b}=1 Het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 2 natuurlijke getallen v is het kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 2 strikt positieve natuurlijke getallen a en b als en slechts als v is een gemeenschappelijk veelvoud van a en b en elk gemeenschappelijk veelvoud van a en b is een veelvoud van v. het verband tussen kgv en ggd van twee getallen,,
25 Telproblemen Telproblemen pag.24 kunnen oplossen (Dit hoofdstuk leren in cursus!!!) Een convexe veelhoek is een veelhoek waarbij we een lat langs elke zijde kunnen leggen zodat de veelhoek volledig langs 1 kant van de lat ligt. Het aantal diagonalen van een veelhoek #diagonalen veelhoek n 3 n 2 De som van alle natuurlijke getallen tot en met n som van de eerste n natuurlijke getallen n 1 n 2 Het aantal delers van een getal a Gegeven: T.B.: a p q v # delers van a r 1 s 1 t 1 Bewijs: #delers van a r s t rs rt st rst 1
26 Eigenschappen van de binomiaalcoëfficiënt Eigenschap 1: n p n! p! n p! Eigenschap 2: n 1 p n p n p 1 Eigenschap 3: n 0 1 n n Te bewijzen n 0 n 1 n 2 n 3 n n 2 De driehoek van Pascal Hieruit kunnen we de formules afleiden voor
27 Gehele getallen Michaël Stifel voerde in onze streken de negatieve getallen is (0 3) of (0 8) De verzameling van de gehele getallen 0 n n n n 0 met n ϵ n en ( n) zijn tegengestelde getallen 0,1, 1,2, 2,3, 3, Het kardinaal getal van We construeren een bijectie van op # # De gehele getallen zijn aftelbaar. (aftelbaarheid leidt naar een oneindigheid)/ Eigenschappen van de bewerkingen in De optelling in 1. De optelling is overal gedefinieerd in en inwendig in 2. De optelling is associatief in 3. 0 is het neutraal element voor de optelling in 4. Ieder geheel getal heeft een tegengesteld geheel getal 5. De optelling is commutatief in De eerste 4 eigenschappen maken van de structuur, een groep De vijfde eigenschap maakt van de structuur, een abelse groep De vermenigvuldiging in 1. De vermenigvuldiging is overal gedefinieerd en inwendig in 2. De vermenigvuldiging is associatief in 3. 1 is het neutraal element in 4. De vermenigvuldiging is commutatief De eerste 2 eigenschappen maken van de structuur, een semigroep De derde eigenschap maakt van de structuur een semigroep met eenheidselement De vierde eigenschap maakt van de structuur een commutatieve semigroep met eenheidselement. Het neutraal element van de optelling is het opslorpend of absorberend element voor de vermenigvuldiging.
28 De distributiviteitswetten a, b, c : a b c ab bc en b c a bc ca,, De eigenschap commutativiteit, de eenheidselementen en de 8 eigenschappen maken van deze structuur een commutatieve eenheidsring. Deelbaarheid in De relatie is een deler van in De deling is de inverse bewerking van de vermenigvuldiging. Als b geen deler is van a dan bestaat de bewerking a : b niet in. De deling is niet associatief De deling is niet commutatief Er bestaat geen neutraal element voor de deling Eigenschappen 1 is een deler van elk geheel getal 1 is een deler van elk geheel getal Elk geheel getal is deler van zichzelf Elk geheel getal is deler van zijn tegengesteld geheel getal Elk tegengesteld geheel getal is deler van zijn geheel getal De relatie is een deler van is transitief in Een veelvoud van een geheel getal is ook een veelvoud van haar tegengestelde Een deler van 2 gehele getallen is een deler van hun verschil Een deler van een geheel getal is ook een deler van iedere strikt positieve gehele macht van dat getal. Het axioma van Archimedes Het is steeds mogelijk een geheel getal in te sluiten door twee opeenvolgende gehele veelvouden van een willekeurig gegeven natuurlijk getal verschillend van 0 b, a, q :qb a q 1 b De stelling van de Euclidische deling in Als a en b gehele getallen zijn en b>0 dan bestaan er juist 2 gehele getallen q en r waarvoor geldt: a bq r en 0 r b
29 Het algoritme van Euclides om de ggd te berekenen. Leren paf Voor twee getallen a en b en a>b geldt: De gemeenschappelijke deler van a en b is ook gelijk aan de deler van a veelvoud van b = rest r. De gemeenschappelijke deler van a en b is gelijk aan de gemeenschappelijke deler van b en r.
30 Rationale getallen Geschiedenis van de rationale getallen Simon Stevin geeft het decimaaltalstelsel in de 16 e eeuw bekendheid. Hij schrijft een boek waarbij hij met zowel eenheden als tienden werkt. De verzameling van de rationale getallen Breuken Procenten... De verzameling van de rationale getallen wordt gedefinieerd als: Q is een deler van a en b } Het kardinaalgetal van Q We noteren onvereenvoudigbare breuken: De som van teller en noemer is 1, dan 2, dan 3, dan 4, we schrappen de gelijkwaardige breuken en bekomen volgende bijectie: Q
31 Eigenschappen van de bewerkingen in Q De optelling in Q 1. De optelling is overal gedefinieerd en inwendig in Q 2. De optelling is associatief in Q 3. 0 is het neutraal element in Q 4. Ieder rationaal getal heeft een tegengesteld getal 5. De optelling is commutatief in Q De eerste 4 eigenschappen maken van de structuur Q, een groep. De vijfde eigenschap maakt van de structuur een abelse groep. De aftrekking b a is gedefinieerd door b a De vermenigvuldiging in Q 1. De vermenigvuldiging is overal gedefinieerd en inwendig in Q 2. De vermenigvuldiging is associatief in Q 3. 1 is het neutraal element voor de vermenigvuldiging in Q 4. Ieder rationaal getal heeft een omgekeerde in Q 5. De vermenigvuldiging is commutatief De eerste 3 eigenschappen maken van de structuur Q, een groep. de laatste 3 eigenschappen maken van de structuur een abelse groep. de distributiviteitswetten a, b, c Q: a b c ab bc en b c a bc ca Q,, De structuur wordt bepaald door 11 eigenschappen. Evenredigheden a b c met a en d de uitersten en b en c de middensten d We noemen en de leden van de evenredigheid.
32 Lettervormen in Q Veeltermen in Q We noteren een veelterm als a x We kunnen veeltermen rangschikken we rangschikken van grootste naar kleinste macht van x We kunnen veeltermen herleiden we tellen gelijksoortige termen op We kunnen veeltermen vervolledigen We kunnen de graad bepalen de graad = de hoogste macht van X We kunnen een coëfficiënten rij noteren dit is een rij van alle coëfficiënten in volgorde van grootste naar kleinste macht van x. Een veelterm in meerdere variabelen Om de graad van veeltermen met meerdere variabelen te weten tellen we de machten van variabelen per term op. De grootste som geeft de graad weer. Ontbinden in factoren 1. We zonderen de gemeenschappelijke factor af 2. We onderzoeken of er nog factoren kunnen worden afgesplitst. 3. We onderzoeken op merkwaardige producten Regel van horner Leren pag. 48
Dossier 1 SYMBOLENTAAL
Dossier 1 SYMBOLENTAAL basis voor wiskundige communicatie Dr. Luc Gheysens Wiskundigen hebben een eigen symbolentaal waarmee ze onderling communiceren, redeneringen en bewijzen neerschrijven, mathematische
Nadere informatieII.3 Equivalentierelaties en quotiënten
II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieBewijzen en Redeneren voor Informatici
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Reinoud Berkein 17 januari 2018 Samenvatting Een korte samenvatting van definities uit de cursus. Hoofdstuk 1 Doorsnede: De verzamerling die alle elementen bevat
Nadere informatieOefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieRAF belangrijk te onthouden
RAF belangrijk te onthouden Auteur: Daan Pape Hoofdstuk 1 symbool omschrijving lees als negatie (ontkenning) p niet p het is niet zo dat p conjunctie p q p en q disjunctie p q p of q implicatie p q als
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieVeeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm
Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatiePROPOSITIELOGICA. fundament voor wiskundig redeneren. Dr. Luc Gheysens
PROPOSITIELOGICA fundament voor wiskundig redeneren Dr. Luc Gheysens PROPOSITIELOGICA Een propositie of logische uitspraak, verder weergegeven door een letter p, q, r is een uitspraak die in een vastgelegde
Nadere informatie1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling
Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil
Nadere informatieBewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting
Bewijzen en Redeneren voor Informatici Samenvatting Robin Kelchtermans 17 februari 2018 1 Voorwoord In deze samenvatting komen alle onderdelen van de cursus Bewijzen en Redeneren voor Informatici (academiejaar
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieGetallensystemen, verzamelingen en relaties
Hoofdstuk 1 Getallensystemen, verzamelingen en relaties 1.1 Getallensystemen 1.1.1 De natuurlijke getallen N = {0, 1, 2, 3,...} N 0 = {1, 2, 3,...} 1.1.2 De gehele getallen Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1,
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieBEWIJZEN EN REDENEREN
BEWIJZEN EN REDENEREN voor Bachelor of Science in Fysica en Wiskunde Academiejaar 2012/2013 Arno KUIJLAARS Departement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 200 B, 3001 Heverlee Inhoudsopgave
Nadere informatieInhoudsopgave. I Theorie 1
Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................
Nadere informatieGetaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieVERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieNotatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren
Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieWiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieGehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatieWiskundige Structuren
wi1607 Wiskundige Structuren Cursus 2009/2010 Eva Coplakova en Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen..... 2 I.1 Notatie........3 I.2 Operaties op verzamelingen...7 I.3 Functies.......10
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieGetallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Nadere informatie3 Modulorekenen. 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat. Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem).
3 Modulorekenen 3.1 De eulerfunctie en de kleine stelling van Fermat Oefening 3.1. Bepaal Φ(1992), Φ(2011) en Φ(2048) (83 en 2011 zijn priem). Oplossing 3.1 1992 = 2 3 3 83. Φ(1992) = 2 2 2 82 = 656. 2048
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieOefening 2.3. Noteer de volgende verzamelingen d.m.v. (eenvoudig) voorschrift voor de eerste helft en d.m.v. opsomming voor de tweede helft.
Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieOPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN
OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal
Nadere informatieCollegestof verzamelingenleer. Verzamelingenleer. Inhoud dit deel college. Verzamelingen. Universele en lege verzameling. Verzamelingen en elementen
Collegesto verzamelingenleer Verzamelingenleer Pro dr J-J Ch Meyer UU - ICS Gebaseerd op (aantal hoodstukken van) het boek: Set Theory and Related Topics by Seymour Lipschutz Schaum s Outlines, McGraw-Hill
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dystra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 12 februari 2008 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen
Nadere informatieVAKANTIEWERK WISKUNDE
A -> Hn 0 / 06 / 06 VAKANTIEWERK WISKUNDE NEEM UW MAP WISKUNDE!! Herhalingsoefening : Optellen in Q (60 ptn) gevallen : - voor twee rationale getallen met hetzelfde teken * behoud dit teken * maak de som
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatieVerzamelingen. Hoofdstuk 5
Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatieDiscrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 februari 2009 INLEIDING
Discrete Structuren Piter Dystra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 INLEIDING Discrete Structuren Wee1: Inleiding Onderwerpen Elementaire
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatie1 Verzamelingen. en relaties. 1.1 De basisnotaties. Hoofdstuk
Inhoudsopgave Inhoudsopgave iii 1 Verzamelingen en relaties 1 1.1 De basisnotaties.......................... 1 1.2 Relaties.............................. 4 1.2.1 Basisdefinities.......................
Nadere informatieDossier 3 PRIEMGETALLEN
Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,
Nadere informatieAlgebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening
Algebra en Getaltheorie@Work: van cryptosysteem tot digitale handtekening Dr. Fabien Decruyenaere, St. Amandscollege, 8500 Kortrijk fabien.decruyenaere@skynet.be Prof. Dr. Paul Igodt, K.U.Leuven Campus
Nadere informatieOver de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Nadere informatieOpmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Nadere informatieCaleidoscoop: Logica
Caleidoscoop: Logica Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 3 October, 2007 Overzicht 1 2 Negaties We gaan rekenen met proposities (beweringen). Bedenker: George Boole
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieFundamenten. Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02. Theo van den Bogaart Bas Edixhoven
Fundamenten Lerarenprogramma Mastermath, versie 2015/12/02 Theo van den Bogaart Bas Edixhoven i Inhoudsopgave I Verzamelingen en afbeeldingen............................................... 3 I.1 Notatie.........................................................................
Nadere informatieequivalentie-relaties
vandaag equivalentie-relaties reflexief, symmetrisch, transitief 1 1. gelijkmachtigheid / aftelbaarheid 2. modulo rekenen 3. theorie Gelijkmachtigheid en aftelbaarheid 3.7 aleph 2 intuitie Amst Brux Roma
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieWiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 2. Donderdag 3 November
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 2 Donderdag 3 November 1 / 17 Equivalentierelaties Def. Een relatie R heet reflexief als x xrx. R heet transitief als x y z (xry yrz xrz). R heet symmetrisch
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieRSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002
RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieSemantiek 1 college 10. Jan Koster
Semantiek 1 college 10 Jan Koster 1 Vandaag Vorige keer: conceptuele structuur en semantische decompositie Vandaag: inleiding in de formele semantiek Gebruikt notaties uit formele logica plus de daar gehanteerde
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatieInleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
Nadere informatie2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen ( 15 x 3 = 45
15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een
Nadere informatieiii Tristan Kuijpers Claudine Lybaert december 2013
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatiePropositionele logica
Logic is the beginning of wisdom, not the end. Captain Spock, Star Trek VI (1991) Hoofdstuk 1 ropositionele logica 1.1 Uitspraken Het begrip uitspraak. We geven hier geen definitie van het begrip uitspraak
Nadere informatieRelaties en Functies
Logica voor Informatica Relaties en Functies Mehdi Dastani m.m.dastani@uu.nl Intelligent Systems Utrecht University Geordende paren, productverzameling, relatie (a, b) geordend paar (a, b) = (c, d) a =
Nadere informatieboek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Nadere informatieOVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieKernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel breuken
Kernbegrippen Kennisbasis wiskunde Onderdeel breuken De omschreven begrippen worden expliciet genoemd in de Kennisbasis. De begrippen zijn in alfabetische volgorde opgenomen. Breuk Een breuk is een getal
Nadere informatieGetaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Nadere informatieMETA-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Nadere informatie1 Verzamelingen en afbeeldingen
Samenvatting Wiskundige Structuren, 2010 Aad Offerman, www.offerman.com 1 1 Verzamelingen en afbeeldingen Notaties: A = {1,2,3},, x A, y / A, A = B A B en B A, N = {0,1,2,...}, Z = {..., 3, 2, 1,0,1,2,...},
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieEnige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003)
Enige informatie over groepen ten bate van het college Topologie en Meetkunde (Jaap van Oosten, Juni 2003) Een groep is een verzameling G met daarop een operatie : G G G (die we schrijven als g, h g h),
Nadere informatiePropositielogica. Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn. 24 augustus Universiteit Antwerpen
Propositielogica Evert De Nolf Delphine Draelants Kirsten Storms Evelien Weyn Universiteit Antwerpen 24 augustus 2006 Propositionele connectoren Negatie Conjunctie Disjunctie Implicatie Equivalentie Propositionele
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 15 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 29 april 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2010 Module 15 Logica, verzamelingenleer, functies en bewijstechnieken (versie 29 april 2011) Inhoudsopgave 1 De symbolische logica 2 1.1 Wiskundige beweringen...........................
Nadere informatieTentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 17 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 17 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een
Nadere informatieOefeningen Cursus Discrete Wiskunde. 26 mei 2003
Oefeningen Cursus Discrete Wiskunde 26 mei 2003 1 Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging Oefening 1.1.1 Zoals gebruikelijk noteren wij
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 10 oktober, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Equivalentierelaties.
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 10 oktober, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Wat is een equivalentierelatie? Een equivalentie
Nadere informatieKameel 1 basiskennis algebra
A. Cooreman & M. Bringmans Kameel 1 basiskennis algebra 1ste graad SO Secundair onderwijs havo 1 1 2 3 2 3 4 4 5 6 5 6 digitaal Naam: Klas: ISBN 9 789 i.s.m Versie 201 Eureka Onderwijs Innovatief kennis-
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieWiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Nadere informatieTegenvoorbeeld. TI1300: Redeneren en Logica. De truc van Gauss. Carl Friedrich Gauss, 7 jaar oud (omstreeks 1785)
Tegenvoorbeeld TI1300: Redeneren en Logica College 3: Bewijstechnieken & Propositielogica Tomas Klos Definitie (Tegenvoorbeeld) Een situatie waarin alle premissen waar zijn, maar de conclusie niet Algoritmiek
Nadere informatieWillem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieLogica Wiskunde D-online
1 Logica Wiskunde D-online Deze tekst is een bewerking van de Syllabus wiskunde D, Logica Havo 4 van Windesheim. Samenstellers: drs. N.J. Wolberink en H Ridderbos, docenten Wiskunde aan Vechtdal College
Nadere informatie