Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]"

Transcriptie

1 KU Leuven Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 25 maart 2015 Docent: Prof. Tim Verdonck

2 Inhoudsopgave 1 Voorkennis Verzamelingen Basisbegrippen De algebra van verzamelingen Koppels en het carthesisch product Combinatoriek Variaties Permutaties Combinaties Binomium van Newton Multinomiale ontwikkeling Het aantal deelverzamelingen Kansruimten Sigma algebra s Kansmaten Traditionele kansruimten Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid Voorwaardelijke kans Kettingregel Wet van de totale kans Stelling van Bayes Handige rekenregels Onafhankelijkheid Systeembetrouwbaarheid Stochastische Veranderlijken Inleiding Types stochastische veranderlijken Discrete stochastische veranderlijken Continue stochastische veranderlijken Momenten van een stochastische veranderlijken Verwachtingswaarde en variantie Som en product van stochastische veranderlijken Ongelijkheden Hogere momenten en momentgenererende functie Kentallen Kentallen van locatie Kentallen van schaal Kentallen van scheefheid

3 INHOUDSOPGAVE Belangrijke verdelingen Discrete verdelingen Continue verdelingen Transformatie van stochastische veranderlijken Monotone transformatie Integraaltransformatie Genereren van stochastische veranderlijken Bivariate verdelingen Verdeling van een stochastisch koppel Marginale verdeling Onafhankelijkheid Voorwaardelijke verdeling Karakteristieken van een stochastisch koppel Momenten en momentgenererende functie Covariantie en correlatie Eigenschappen Bivariate normale verdeling Benaderingen van verdelingen Limietstellingen Practische benaderingen Voorbeelden Combinatoriek Gemengde voorbeelden Kansruimten Oefeningen Kansruimten Stochastische veranderlijken

4 Hoofdstuk 1 Voorkennis 1.1 Verzamelingen Basisbegrippen Definitie 1.1. Een verzameling is een geheel van onderling verschillende, ongeordende objecten. Deze objecten noemt men de elementen van de verzameling. de Definitie 1.2. Een formele beschrijving van een verzameling met behulp van een predikaat p ziet er als volgt uit. {x p(x)} Dit is de verzameling van all elementen die aan het predikaat p voldoen. Definitie 1.3. Twee verzamelingen A en B zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde elementen bevatten. A = B x : x A x B Stelling 1.4. De transitiviteit van = : Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. Bewijs. (A = B) (B = C) A = C A = B B = C ( x : x A x B) ( x : x B x C) x : ((x A x B) (x B x C)) x : (x A x C) A = C Definitie 1.5. Een verzameling A is een deelverzameling van een verzameling B als en slechts als B alle elementen van A bevat. A B x : x A x B 3

5 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 4 Stelling 1.6. De anti-symmetrie van : Gegeven twee willekeurige verzamelingen A en B. A B B A A = B Bewijs. A B B A ( x : x A x B) ( x : x B x A) x : ((x A x B) (x B x A)) x : x A x B A = B Stelling 1.7. De transitiviteit van : Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. A B B C A C Bewijs. A B B C ( x : x A x B) ( x : x B x C) x : ((x A x B) (x B x C)) x : x A x C A C Definitie 1.8. Een verzameling A is een strikte deelverzameling van een verzameling B als en slechts als A een deelverzameling is van B en niet gelijk is aan B. A B A B a B Definitie 1.9. De universele verzameling U is de verzameling van alle mogelijke elementen waarvan sprake is. U = {x true} Stelling Elke verzameling A is een deelverzameling van het universum U. A U Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van A zit ook in U. x : x A x U Definitie De lege verzameling is de verzameling die geen enkel element bevat. Stelling De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling. Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van (geen enkel element) zit ook in A. x : x x A

6 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 5 Definitie Een singleton is een verzameling met precies één element De algebra van verzamelingen Unie Definitie De unie A B van twee verzamelingen A en B is de verzameling die zowel de elementen van A als de elementen van B bevat. Eigenschap De unie is commutatief. A B = {x x A x B} A B = B A Bewijs. A B = {x x A x B} = {x x B x A} = B A Eigenschap De unie is idempotent A A = A Bewijs. A A = {x x A x A} = {x x A} = A Stelling Elke verzameling A is een deelverzameling van elke unie A B van die verzameling met een andere verzameling B. A A B Bewijs. x : x A x A x B Stelling A B A B = B Bewijs. {x x A x B} = B a A : a B Stelling De unie is associatief A (B C) = (A B) C Bewijs. A {x x B x C} = {x x A x B x C} = {x x A x B} C Stelling De identiteitswet voor de unie A = A Bewijs. A = {x x A x } = A Stelling De nulwet voor de unie A U = U Bewijs. A U = {x x A x U } = {x x A true} = U

7 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 6 Doorsnede Definitie De doorsnede A B van twee verzamelingen A en B is de verzamling die enkel de elementen bevat die zowel in A als in B zitten. A B = {x x A x B} Eigenschap De doorsnede is commutatief. A B = B A Bewijs. A B = {x x A x B} = {x x B x A} = B A Eigenschap De doorsnede is idempotent A A = A Bewijs. A A = {x x A x A} = {x x A} = A Stelling De doorsnede A B is een deelverzameling van A. A B A Bewijs. A B = {x x A x B} {x x A} = A Stelling A B A B = A Bewijs. x : (x A x B) {x x A x B} = A Stelling De identiteitswet voor de doorsnede A U = A Bewijs. A U = {x x A x U } = {x x A true} = A Stelling De nulwet voor de doorsnede A = Bewijs. A = {x x A x } = {x x A f alse} = Definitie Twee verzamelingen A en B zijn disjunct als en slechts als ze geen gemeenschappelijke elementen hebben. A B = Stelling De eerste absorptiewet. A (A B) = A

8 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 7 Bewijs. A (A B) = A {x x A x B} = {x x A (x A x B)} = {x x A} = A Stelling De tweede absorptiewet. A (A B) = A Bewijs. A (A B) = A {x x A x B} = {x x A (x A x B)} = {x x A} = A Stelling De doorsnede is distributief ten opzichte van de unie. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = A {x x B x C} = {x x A (x B x C)} = {x (x A x B) (x A x C)} = (A B) (A C) Stelling De unie is distributief ten opzichte van de doorsnede. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = A {x x B x C} = {x x A (x B x C)} = {x (x A x B) (x A x C)} = (A B) (A C) Complement Definitie Het complement van een verzameling A ten opzichte van de universele verzameling U is de verzameling van alle elementen die niet in A zitten, maar wel in U. A c = {x x A} Andere notaties voor het complement zijn A, A. Stelling Het complement van het complement van een verzameling is opnieuw de originele verzameling. (A c ) c = A Bewijs. A cc = {x x A c } = {x x A} = A Stelling De complementaire wet voor de unie. De unie van een verzameling en haar complement is het universum. A A c = U

9 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 8 Bewijs. A A c = {x x A x A c } = {x true} = U Stelling De complementaire wet voor de doorsnede. De doorsnede van een verzameling en haar complement is leeg.. A A c = Bewijs. A A c = {x x A x A c } = {x f alse} = Stelling De eerste wet van De Morgan. (A B) c = A c B c Bewijs. (A B) c = {x x (A B)} = {x (x A x B)} = {x (x A) (x B)} = A c B c Stelling De tweede wet van De Morgan. (A B) c = A c B c Bewijs. (A B) c = {x x (A B)} = {x (x A x B)} = {x (x A) (x B)} = A c B c Verschil Definitie Het verschil van een verzameling A met een andere verzameling B is de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten. A \ B = {x x A x B} Propositie Voor twee verzamelingen A en B geldt dat zowel de doorsnede als de verschillen onderling disjunct zijn. (1) (A B) (A \ B) = (2) (A \ B) (B \ A) = (3) (B \ A) (A B) = Bewijs. Bewijs elk deel afzonderlijk: (A B) (A \ B) = {x x A x B} {x x A x B} = {x (x A x B) (x A x B)} = {x (x B) (x B)} = {x f alse} =

10 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 9 (A \ B) (B \ A) = {x x A x B} {x x B x A} = {x (x A x B) (x B x A)} = {x f alse} = (B \ A) (A B) = {x x B x A} {x x A x B} = {x (x B x A) (x A x B)} = {x (x A) (x A)} = {x f alse} = Stelling Het verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de doorsnede met het complement. A \ B = A B c Bewijs. A \ B = {x x A x B} = {x x A} {x x B} = A B c Definitie Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen die in precies één van de twee verzamelingen zit. A B = {x (x A x B) (x B x A)} Stelling Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de unie van de twee verschillen. A B = A B = A B = A B = (A \ B) (B \ A) Stelling Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als een enkelvoudig verchil. A B = (A B) \ (A B) Machtsverzameling Definitie De machtsverzameling P(A) is de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling A. P(A) = {S S A} Definitie Een partitie P van een verzameling X is een deelverzameling van de machtsverzameling P(x) van X met de volgende eigenschappen: De verzamelingen zijn niet leeg. De verzamelingen zijn onderling disjunct. A P : A A, B P : A B A B =

11 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 10 De verzamelingen samen vormen X. x X : A P : x A Koppels en het carthesisch product Definitie Een geordend paar of een koppel zijn twee elementen die in een bepaalde volgorde samen horen. (a,b) Definitie De gelijkheid tussen koppels is zo gedifineerd dat de overeenkomstige elementen gelijk zijn. (a,b) = (c,d) (a = c b = c) Definitie Het carthesisch product A B van twee verzamelingen A en B is de verzameling der koppels (x,y) met x A en y B A B = {(x,y) x A y B} Stelling Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de unie. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = {(x,y) x A y (B C)} = {(x,y) x A (y B y C)} = {(x,y) (x A y B) (x A y C)} = {(x,y) (x A y B)} {(x,y) (x A y C)} = (A B) (A C) Stelling Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de doorsnede. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = {(x,y) x A y (B C)} = {(x,y) x A (y B y C)} = {(x,y) (x A y B) (x A y C)} = {(x,y) (x A y B)} {(x,y) (x A y C)} = (A B) (A C) Stelling Zij A, B, C en D verzamelingen, dan geldt volgende gelijkheid. (A B) (C D) = (A C) (B D)

12 HOOFDSTUK 1. VOORKENNIS 11 Bewijs. (A B) (C D) = {(x,y) x A y B} {(x,y) x C y D} = {(x,y) x A y B x C y D} = {(x,y) x A x C y B y D} = {x x A x C} {y y B y D} = (A C) (B D) Definitie Het carthesisch product van een verzameling A met zichzelf wordt wel eens als A 2 genoteerd. A 2 = A A Definitie Een n-koppel of n-tal zijn n elementen die in een bepaalde volgorde voorkomen. (a 1, a 2,..., a n ) Definitie Het n-voudig Carthesis product tussen n verzamelingen is de verzameling van alle n-tallen over die verzamelingen. A 1 A 2... A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A i } Definitie Het n-voudig Carthesis product van een verzameling A met zichzelf wordt als A n genoteerd. A n = A A... A

13 Hoofdstuk 2 Combinatoriek 2.1 Variaties Definitie 2.1. Een variatie van p N verschillende elementen uit n N elementen (met p n) is een geordend p-tal van verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. Stelling 2.2. Het aantal variaties van p elementen uit n is gelijk aan V p v. p 1 Vp n = (n i) i=0 Bewijs. We moeten een rij van lengte p vormen met n elementen. Voor de eerste plaats is er vrije keuze, dus n elementen. Voor de tweede plaats is er keuze uit de overgebleven n 1 elementen. Voor de i-de plaats is er dan keuze uit de overgebleven n 1 elementen. er zijn dus p 1 i=0 (n p) mogelijke manieren om p elementen te kiezen uit n zonder herhalingen. Eigenschap 2.3. Bewijs. V 0 n = V 0 n = 1 en V n n = n! 0 1 n 1 (n i) = 1 en Vn n = (n i) = n! i=0 i=0 Definitie 2.4. Een herhalingsvariatie van p N elementen uit n N elementen is een geordend p-tal van verschillende elementen gekozen uit een gegeven verzameling van n elementen. Stelling 2.5. Het aantal herhalingsvariaties van p elementen uit n is gelijk aan V p v. V n p = n p Bewijs. Voor elk element van het p-tal is er keuze uit n elementen. Er zijn dus n p mogelijke herhalingsvariaties van p elementen uit n. 12

14 HOOFDSTUK 2. COMBINATORIEK Permutaties Definitie 2.6. Een permutatie van n N elementen is een variatie van n uit n elementen. Opmerking 2.7. Soms wordt een permutatie ook beschreven als een bijectie van een eindige verzameling naar zichzelf. Deze noties komen overeen in de zin dat de variatie beschreven in bovenstaande definitie een beschrijving geeft van de bijectie in de andere definitie. Definitie 2.8. Een herhalingspermutatie van n N elementen waarvan p i elementen telkens tot soort i behoren (met r i=1 p i = n) is een geordend n-tal van elementen waarvan de i-de p i elementen telkens tot soort i behoren. Stelling 2.9. Het aantal herhalingspermutaties van p elementen uit n is gelijk aan P p 1,p 2,...,p r P p 1,p 2,...,p r n = ( n! ri=1 = p i n p 1 p 2 p r ) n. 2.3 Combinaties Definitie Een combinatie van p elementen uit n is een deelverzameling van die n elementen. Opmerking Bij een combinatie speelt de volgorde van de elementen dus geen rol. Stelling Het aantal combinaties van p elementen uit n is Cn. p ( ) Cn p n! n = p!(n p)! = p Bewijs. Het aantal variaties V p n van p elemenen uit n, (waar de volgorde wel een rol speelt) is teveel. Het is zelfs precies P p keer teveel want we kunnen de elementen in het n tal nog permuteren. Cn p = V n p n! = P p p!(n p)! Opmerking Eigenschap Bewijs. ( n ) p lezen we als n kies p. C n n = C n n = C 0 n = 1 n! n!(n n)! = 1 = n! 0!(n 0!) = C0 n

15 HOOFDSTUK 2. COMBINATORIEK 14 Eigenschap C p n = C n p n Bewijs. C n p n = n! (n p)!(n (n p))! = n! (n p)!(n n+p)! = n! p!(n p)! = C p n Eigenschap De formule van Pascal. C p n + C p+1 n = C p+1 n+1 Bewijs. Cn p + Cn p+1 n! = p!(n p)! + n! (p+1)!(n (p+1))! n! = p!(n p)(n p 1)! + n! (p+1)p!(n p 1))! = n!(p+1)+n!(n p) (p+1)p!(n p)(n p 1)! = (n+1)n! = (p+1)!(n p)! (n+1)! (p+1)!((n+1) (p+1)! = C p+1 n+1 Definitie Een herhalingscombinatie van p elementen uit n is een ongeordend p-tal van elementen waarbij herhaling mogelijk is. Opmerking De notie van een ongeordend p-tal is ietwat vaag. In feite hebben we nood aan een structuur die geen orde oplegt en herhaling van elementen toelaat. Noch een geordend p-tal, noch een verzameling is hiervoor dus bruikbaar. Stelling Het aantal herhalingscombinaties van p elementen uit n is C p n. ( ) C p n = C p n + p 1 n+p 1 = p Binomium van Newton Stelling Het binomium van Newton. (a + b) n = n = i=0 ( ) n a n i b i i Definitie De coëfficienten ( n i ) worden daarom ook de binomiaalcoëfficienten genoemd.

16 HOOFDSTUK 2. COMBINATORIEK Multinomiale ontwikkeling Stelling De multinomiale ontwikkeling. n k i=1 = ki=1 n i =n ( ) k n x n i n 1 n 2 n i k i=1 Definitie De coëfficienten ( ) n n 1 n 2 n k worden daarom ook de multinomiaalcoëfficienten genoemd Het aantal deelverzamelingen Stelling Het aantal deelverzamelingen P(V ) van een verzameling V is 2 V. Bewijs. Het aantal deelverzamelingen van i elementen van V is C i. Het totaal aantal deelverzamelingen is dan V V i=0 Ci. Gebruik nu het binomium van newton met a = b = 1 om het gezochte V resultaat te bekomen. V i=0 C i V = V i=0 ( ) V = i V i=0 ( V i ) 1 ( V i) 1 i = (1 + 1) V = 2 V

17 Hoofdstuk 3 Kansruimten Definitie 3.1. Een stochastisch experiment is een experiment waarvan de uitkomst op voorhand onbekend is. Definitie 3.2. Het universum van een stochastisch experiment is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. Definitie 3.3. Een gebeurtenis van een stochastisch experiment is een deelverzameling van het universum. Definitie 3.4. Een Bernoulli experiment is een stochastisch experiment met maar twee mogelijke uitkomsten. 3.1 Sigma algebra s Definitie 3.5. Een sigma algebra of σ-algebra A is een verzameling A van deelverzamelingen van een universum Ω die voldoet aan de volgende drie axioma s. 1. Ω A 2. A A A C A 3. ( n N : A n A) n N A n A De structuur Ω, A wordt een meetbare ruimte genoemd en de verzamelingen in A noemen we gebeurtenissen. Stelling 3.6. Zij A een sigma-algebra. A Bewijs. De eerste twee axioma s, samen met Ω C = geeft de stelling. 16

18 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN 17 Stelling 3.7. Zij A een sigma-algebra. ( n {1,..., n} : A n A) n {1,...,n} A n A Bewijs. We kunnen in het derde axioma de n + 1,... gebeurtenissen gelijkstellen aan de lege verzameling om een eindige unie te bekomen. Stelling 3.8. Zij A een sigma-algebra. ( n N : A n A) A n A Bewijs. Het eerste axioma, samen met stelling 3.7 en de tweede wet van de morgan 1 geeft de stelling. Stelling 3.9. Zij A een sigma-algebra. ( n {1,..., n} : A n A) n N n {1,...,n} A n A Bewijs. We kunnen in stelling 3.8 de n +1,... gebeurtenissen gelijkstellen aan het universum om een eindige doorsnede te bekomen. Stelling Zij A een sigma-algebra. A, B A : A B A Bewijs. Het symmetrisch verschil A B is gelijk aan (A B) (A B) C. 2 3 Neem nu stelling 3.7, 3.8 en het eerste axioma samen om de stelling te bekomen. Definitie {, Ω} noemen we de triviale σ-algebra. Definitie Ω, {, Ω} noemen we de triviale meetbare ruimte. Definitie De de machtsverzameling van een universum noemen we de discrete σ-algebra. Tegenvoorbeeld De unie van een aantal σ-algebra s is niet noodzakelijk een σ-algebra. Bewijs. Beschouw de σ-algebra s B en C: B = {, {0}, {1, 2}, {0, 1, 2}} en {, {1}, {0, 2}, {0, 1, 2}} De unie hiervan is geen σ-algebra: B B = {, {0}, {1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}} De unie van {0} en {1} zit er namelijk niet in. 4 1 Zie stelling 1.39 op pagina 8. 2 Zie stelling 1.42 op pagina 9. 3 Zie stelling 1.45 op pagina 9. 4 Zie stelling 3.7 op pagina 17.

19 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN Kansmaten Definitie Zij A een kansruimten. Een kansmaat is een afbeelding P : A [0, 1] R met de volgende eigenschappen. 1. P (Ω) = 1 2. A A : P (A) 0 3. De aftelbare additiviteit of σ-additiviteit: Zij (A n ) n een aftelbaar-oneindige rij van onderling disjuncte verzamelingen. P n N A n = De structuur Ω, A, P noemen we een kansruimte. P (A n ) n N Definitie Zij (A n ) n een rij verzamelingen, dan noemen we deze rij stijgend als n : A n A n+1 geldt: A n dalend als n : A n A n+1 geldt: A n monotoon als ze stijgend of dalend is. Definitie Zij (A n ) n een stijgende rij verzamelingen: A n lim A n = n n N A n Definitie Zij (A n ) n een dalende rij verzamelingen: A n lim A n = n Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en {A n n {1,..., N }} N paarsgewijze disjuncte gebeurtenissen. P N N A n = P (A n ) n=1 n=1 Bewijs. Kies voor de n + 1,... gebeurtenissen in het derde axioma van een kansmaat telkens de lege gebeurtenis om de stelling te bekomen. n N A n Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte. A A : P (A C ) = 1 P (A)

20 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN 19 Bewijs. Begin met de uitdrukking Ω = A A C. Pas nu stelling 3.19 toe: P (Ω) = P (A) + P (A C ) 1 = P (A) + P (A C ) P (A C ) = 1 P (A) Gevolg P ( ) = 0 Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en (A n ) n een monotone rij verzamelingen. ( ) P lim A n = lim P (A n ) n n Bewijs. We bewijzen de stelling voor een stijgende rij verzamelingen (A n ) n. Herschrijven we het linker lid, dan krijgen we de volgende unie: P (lim n A n ) = P ( n N A n ) = P ( A 1 n=2 (A n \ A n 1 ) ) = P (A 1 ) + n=1 P (A n \ A n 1 ) = P (A 1 ) + lim N Nn=1 (P (A n ) P (A n 1 )) = P (A 1 ) + lim N Nn=1 P (A n ) P (A 1 ) = lim n P (A n ) Eigenschap Zij Ω, A, P een kansruimte. A, B A : P (B) = P (B A) + P (B A C ) Bewijs. P (B) = P ((B A) (B A C )) = P (B A) +P (B A C ) met (B A) en (B A C ) disjunct. 5 Eigenschap Zij Ω, A, P een kansruimte. Bewijs. A, B A : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P ((A B C ) (A B) (A C B)) = P (A B C ) + P (A B) + P (A C B) = (P (A B C ) + P (A B)) + ((P (A C B) + P (A B)) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Eigenschap Zij Ω, A, P een kansruimte. A, B A : P (A \ B) = P (A B) P (B) Bewijs. P (A B) = P (B (A \ B)) = P (B) + P (A \ B) 5 Zie stelling 3.19 op pagina 18.

21 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN 20 Eigenschap Zij Ω, A, P een kansruimte. A, B A : A B P (A) P (B) Bewijs. P (A) = P (B \ (B A C )) = P (B) P (B A C ) P (B) vanwege axioma 2 en eigenschap Eigenschap Zij Ω, A, P een kansruimte. A A : P (A) 1 Bewijs. A is steeds een deelverzameling van Ω. Gebruik nu eigenschap Traditionele kansruimten Definitie De uniforme kansmaat is een kansmaat die enkel gedefiniëerd is voor eindige verzamelingen. P : A [0, 1] R : A A Ω Definitie De discrete kansmaat (?) is een kansmaat die enkel gedefiniëerd is voor aftelbare verzamelingen. P : A [0, 1] R : A p i Hier is het natuurlijk essentieel dat i p i = 1 geldt. Definitie Zij C Ω een collectie deelverzamelingen van een universum. De σ-algebra σ (C) voortgebracht door C is de kleinste σ-algebra die C bevat. σ (C is een σ-algebra. C σ (C) Elke σ-algebra A met C A omvat σ (C). Stelling De σ-algebra opgespannen door een collectie deelverzamelingen van een universum is uniek. Bewijs. Als er immers nog een (even kleine) sigma algebra zou zijn die aan de voorwaarde voldoet dan zouden ze gelijk zijn volgens de derde eigenschap. Eigenschap Voor elke collectie deelverzamelingen C Ω bestaat σ (C). Bewijs. Niet constructief bewijs van existentie Beschouw voor een gegeven collectie deelverzamelingen C de verzameling X: X = {A P(Ω) A is een σ-algebra. C A}

22 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN 21 Merk allereerst op dat X niet leeg is omdat P(Ω) altijd een σ-algebra is (en C omvat). 6 We moeten nog de kleinste σ-algebra selecteren uit X. Bekijk hiervoor B: B = A A X B omvat nu zeker C omdat C een deel is van elke A X. We tonen nu aan dat B een σ-algebra is. dit. Ω A A A A C A ( n N : A n A) n N A n A Definitie De Borel σ-algebra op R is de σ-algebra voortgebracht door C: {], a] a R} {[a,b] a,b R} Stelling Het theorema van Vitali Er bestaat geen uniforme kansverdeling op het interval [0, 1]. Zonder bewijs 3.4 Voorwaardelijke kans en onafhankelijkheid Voorwaardelijke kans Definitie Zij Ω, A, P een kansruimte. De voorwaardelijke kans of conditionele kans van een gebeurtenis A gegeven een gebeurtenis B (met P (B) 0) is P (A B). P (A B) = P (A B) P (B) Eigenschap Zij Ω, A, P een kansruimte. A A : P (A A) = 1 Bewijs. A A : P (A A) = P (A A) P (A) = P (A) P (A) = 1 Eigenschap Zij Ω, A, P een kansruimte. Elke gebeurtenis is onafhankelijk van zijn universum. A A : P (A Ω) = P (A) 6 Zie definitie 3.13 op pagina 17.

23 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN 22 Bewijs. P (A A) A A : P (A Ω) P (A) = P (A) P (Ω) = P (A) 1 = P (A) Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en B een gebeurtenis in A met kans groter dan nul. De functie P B is een kansmaat. P B : A [0, 1] R : A P (A B) Bewijs. We gaan elke definierende eigenschap van een kansmaat af. P B (Ω) = P (Ω B) = P (Ω B) P (Ω) = P (B) P (B) = 1 A A : P B (A) = P (A B) P (B) 0 Zij (A n ) n een paarsgewijs disjuncte rij van gebeurtenissen in A. P B ( n=1 A n ) = P(( n=1 A n) B) P (B) = P( n=1 (A n B)) P (B) n=1 P (A n B) P (B) = = n=1 P B (A n ) Kettingregel Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte. Zij {A 1, A 2,..., A k } meer dan één gebeurtenis in A. P k k A i = P i 1 A i A j i=1 i=1 j=1 P (A 1 A 2 A k = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A k A 1 A 2... A k 1 ) Bewijs. Bewijs door volledige inductie op N \ {0, 1}: De stelling geldt voor k = 2 vanuit de definitie van voorwaardelijke kans: 7 P (A 1 A 2 ) = P (A 1 A 2 ) P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 ) Uit de stelling voor k = n volgt dat de stelling geldt voor k = n + 1: We gebruiken hier het basisgeval. P ( n+1 i=1 A ) k = P (( ) ) ni=1 A p An+1 = P ( A n+1 ( )) ni=1 ( A p P n+1 = n i=1 P ( A i i 1 j=1 A ) ( j P n+1 = n+1 i=1 P ( A i i 1 j=1 A ) j i=1 A k ) i=1 A k ) 7 Zie definitie 3.35 op pagina 21.

24 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN Wet van de totale kans Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en X een partitie van Ω waarin A X : P (A) > 0 geldt. B A : P (B) = P (A)P (B A) A X Stelling van Bayes Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en X een partitie van Ω waarin A X : P (A) > 0 geldt. Zij B een gebeurtenis in A met P (B) > 0. A X : P (A B) = P (A)P (B A) C X P (C)P (B C) Handige rekenregels Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en X een partitie van Ω waarin A X : P (A) > 0 geldt. Zij X een gebeurtenis in Ω. P (A X ) = 1 Bewijs. A X A X P (A X ) = A X P (A X ) P (X ) = A X P (A X ) P (X ) = P ( A X A X ) P (X ) = P ( A X A) X P (X ) = P (Ω X ) P (X ) = P (X ) P (X ) = 1 Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en (A i ) n een rij in A. P n A n = P (A 1 ) + P n 1 A n A C i n>1 i=1 Bewijs. We bewijzen, nog sterker, dat de bewering geldt voor elke aftelbare verzameling A i A in A. Bewijs door volledige inductie op N: De stelling geldt voor n = 1 P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ( A C 1 A 2) = P (A1 ) + P (A C 1 A 2)

25 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN 24 Uit de stelling voor k = n volgt de stelling voor k + 1. P n+1 A i = P A n+1 i=1 n i=1 A i = P n i=1 C A i A n+1 +P n i=1 A i = P (A 1 )+ P n 1 A n A C i n>1 i= Onafhankelijkheid Definitie Zij Ω, A, P een kansruimte. We noemen twee gebeurtenissen A en B uit A onafhankelijk als het volgende geldt over hun kans: P (A B) = P (A) P (B) Definitie Zij Ω, A, P een kansruimte en A en B twee afhankelijke gebeurtenissen uit A dan noemen we de afhankelijkheid positieve afhankelijkheid als P (A B) > P (A)P (B) geldt. negatieve afhankelijkheid als P (A B) < P (A)P (B) geldt. Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en A en B twee onafhankelijke gebeurtenissen uit A. P (A B) = P (A) Bewijs. P (A B) = P (A B) P (B) = P (A) P (B) P (B) = P (A) Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en A en B twee afhankelijke gebeurtenissen uit A, dan zijn er twee mogelijkheden: A en B zijn positief afhankelijk: P (A B) > P (A). A en B zijn negatief afhankelijk: P (A B) < P (A). Definitie Een verzameling gebeurtenissen noemen we paarsgewijs onafhankelijk als elke twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn. Definitie Een eindige verzameling gebeurtenissen X noemen we onderling onafhankelijk als het volgende geldt: Y P(X ) : P A = P (A) A Y A Y

26 HOOFDSTUK 3. KANSRUIMTEN 25 Eigenschap Een onderling onafhankelijke verzameling gebeurtenissen is ook zeker paarsgewijs onafhankelijk. Definitie Een oneindige verzameling gebeurtenissen X noemen we onderling onafhankelijk als elke eindige deelverzameling gebeurtenissen onderling onafhankelijk is Systeembetrouwbaarheid Figuur 3.1: Een serieel systeem Figuur 3.2: Een parallel systeem Definitie Een serieel systeem is een systeem met twee componenten dat werk als en slechts als beide componenten werken. Stelling In een serieel systeem S met componenten A en B met respectievelijke faalkansen p A en p B is de kans p S dat het systeem werkt als volgt. p S = p A + p B p A p B TODO: bewijs p 23 Definitie Een parallel systeem is een systeem met twee componenten dat werk als en slechts als één van beide componenten werkt. Stelling In een parallel systeem S met componenten A en B met respectievelijke faalkansen p A en p B is de kans p S dat het systeem werkt als volgt. p S = p A p B TODO: bewijs p 24

27 Hoofdstuk 4 Stochastische Veranderlijken 4.1 Inleiding Definitie 4.1. B(R) is de σ-algebra voortgebracht door C = {], a] < a < + }. Definitie 4.2. Zij Ω, A, P een kansruimte. Een reëe functie X als volgt noemen we een stochastische veranderlijke, een stochastische variabele, een stochastiek, een toevalsvariabele of een termrandom variabele. X : Ω R B B(R) : X 1 (B) = {ω X (ω) B} We noemen X dan een A-meetbare afbeelding. Definitie 4.3. Een B(R)-meetbare afbeelding in de meetbare ruimte R, B(R) noemen we Borelmeetbaar. Stelling 4.4. Een afbeelding X : R R is een stochastische variabele in de meetbare ruimte R, B(R) als en slechts als het volgende geldt: Zonder bewijs a R : X 1 (], a]) = {ω X (ω) a} A Stelling 4.5. Een Borel-meetbare afbeelding introduceert een kansmaat P X (B) op B(R). P X (B) = P (X B) = P (X 1 (B)) P X (B) = P ({ω Ω X (ω) B}) Definitie 4.6. Zij Ω, A, P een kansruimte en X : Ω R een stochastische veranderlijke, dan definieren we de overeenkomstige verdelingsfunctie F X als volgt: F : R R : F X (a) = P X (], a]) = P ({ω X (ω) a}) = P (X a) 26

28 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 27 Stelling 4.7. Zij X een stochastische veranderlijke in de kansruimte Ω, A, P, dan is de afbeelding F X een verdelingsfunctie als de volgende beweringen gelden. 1. F X is monotoon stijgend. 2. lim a + F X (a) = 1 en lim a F X (a) = 0 a,b R : a b F X (a) F X (b) 3. F X is rechts continu. a R : lim F X (a + h) = F X (a) h 0 > Zonder bewijs Stelling 4.8. Zij F X een verdelingsfunctie voor een kansruimte Ω, A, P). P (a < X b) = F X (b) F X (a) Stelling 4.9. Zij F X een verdelingsfunctie voor een kansruimte Ω, A, P). P (X > a) = 1 F X (a) Definitie De kwantielfunctie Q X voor een kansruimte Ω, A, P) is de inverse functie van de verdelingsfunctie F X. De waarde Q X (p) is de kleinste waarde a waarvoor F X (a) p geldt. Definitie Het 25%, 50% en 75% kwantiel worden respectievelijk het eerste, tweede en derde kwartiel genoemd. Definitie Het tweede kwartiel wordt ook wel de mediaan genoemd. 4.2 Types stochastische veranderlijken Discrete stochastische veranderlijken Definitie We noemen een stochastische veranderlijke X in een kansruimte Ω, A, P discreet als het beeld p i van X slechts in een aftelbaar aantal punten x i niet nul is. p i = P ({ω Ω X (ω) = x i }) = P (X = x i )

29 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 28 Definitie We noemen de rij (p i ) i de discrete verdeling van een discrete stochastische veranderlijke X als het volgende geldt: i : p i 0 en p i = 1 Stelling De kansverdeling van een discrete stochastische veranderlijke X heeft een eenvoudigere formule: F X (a) = P (X a) = i p i x i a Continue stochastische veranderlijken Definitie We noemen een stochastische veranderlijke X in een kansruimte Ω, A, P continu als de kans op elk punt nul is x Ω : P X ({x}) = 0 en de verdelingsfunctie F X een continue functie is. Definitie Wanneer de verdelingdsfunctie F X van een continuë stochastische veranderlijke continu afleidbaar is, definiëren we de dichtheidsfunctie of kansdichtheid f X als volgt: f X (x) : R R : x f X (x) = df X (x) dx Stelling De kansverdeling van een continuë stochastische veranderlijke X valt te berekenen met een integraal: F X (a) = P (X a) = a f X (x)dx Stelling Zij F X de kansverdeling van een continuë stochastische veranderlijke X. F X (b) F X (a) = P (a < X b) = b a f X (x)dx Stelling Zij F X de kansverdeling van een continuë stochastische veranderlijke X. P X (]a,b[) = P X ([a,b[) = P X (]a,b]) = P X ([a,b])

30 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN Momenten van een stochastische veranderlijken Verwachtingswaarde en variantie Definitie Zij Ω, A, P een kansruimte, X een stochastische veranderlijke met verdelingsfunctie F X, dan definiert men de verwachtingswaarde van X als E[X]: E[X] = + { i x i p i xdf (x)(x) = + x f X (x)dx Opmerking Merk op dat E[X] niet steeds bestaat. als F X discreet is als F X continu is Stelling Beschouw een Borel-meetbare afbeelding д : stochastische verabele. R R, dan is д X opnieuw een Eigenschap Zij X : Ω R een stochastische variabele en a R een constante. E[aX] = ae[x] Eigenschap Zij X : Ω R een stochastische variabele en b R een constante. E[X + b] = E[X] + b Eigenschap Zij X : Ω R een stochastische variabele en b R een constante. E[b] = b Eigenschap E[X] E[ X ] Definitie De verwachtingswaarde E[X] wordt ook wel het eerste moment genoemd. Definitie Het eerste absolute moment definieren we als E[ X ].

31 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 30 Definitie De variantie van een stochastische veranderlijke X definieren we als Var[X]: Var[X] = E[(X E[X]) 2 ] Definitie De standaardafwijking van een stochastische veranderlijke X definieren we als Var[X]. Stelling We kunnen V ar[x] eenvoudig berekenen. { i (x i E[X]) 2 p i Var[X] = + (x E[X])2 f X (x)dx als F X discreet is als F X continu is Eigenschap Zij X : Ω R een stochastische variabele en a R een constante. Var[aX] = a 2 Var[X ] TODO: bewijs: oefening Eigenschap Zij X : Ω R een stochastische variabele en b R een constante. Var[X + b] = Var[X ] TODO: bewijs: oefening Eigenschap Zij X : Ω R een stochastische variabele en b R een constante. Var[b] = 0 TODO: bewijs: oefening Som en product van stochastische veranderlijken Definitie Zij X en Y beide stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P, dan definieren we de som van stochastische variabelen als X + Y : (X + Y )(ω) = X (ω) + Y (ω) Stelling De som van twee stochastische variabelen is opnieuw een stochastische variabele.

32 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 31 Definitie Zij X en Y beide stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P, dan definieren we het product van stochastische variabelen als XY : (X + Y )(ω) = X (ω)y (ω) Stelling Het product van twee stochastische variabelen is opnieuw een stochastische variabele. Eigenschap Zij X en Y beide stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] TODO: bewijs p 44 Definitie Twee stochastische variabelen X en Y in een kansruimte Ω, A, P noemen we onafhankelijk als het volgende geldt: P ((X A) (Y B)) = P (X A)P (Y A) Eigenschap Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. E[XY ] = E[X]E[Y ] TODO: bewijs p 45 Eigenschap Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. Var[X + Y ] = Var[X] + Var[Y ] TODO: bewijs p 45 Eigenschap Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische variabelen in een kansruimte Ω, A, P. Vay[XY ] = Var[X]Var[Y ] + E[X] 2 Var[Y ] + Var[X]E[Y ] 2 TODO: bewijs p 45 Stelling Var[X] = E[X 2 ] E[X ] 2 TODO: bewijs p 46

33 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN Ongelijkheden Grenzen voor het eerste absolute moment Stelling Zij Ω, A, P een kansruimte en X een willekeurige stochastische variabele op Ω. P ( X n) E( X ) 1 + P ( X n) TODO: bewijs p 47 n=1 n=1 Gevolg E( X ) bestaat als en slechts als n=1 P ( X n) convergeert. Stelling Zij X een stochastische variabele, dan bestaat E[ X k ] voor alle k kleiner dan n als E[ X n ] bestaat. Gevolg Zij X een positieve stochastische veranderlijke die alleen gehele waarden kan aannemen. E[X ] = P (X n) n=1 De ongelijkheid van Chebyshev Stelling De ongelijkheid van Chebyshev Zij X een stochastische variabele en ϕ : R R een functe zodat E[ϕ(X )] bestaat. 1. Als ϕ positief, even en niet-dalend is voor alle x 0 geldt het volgende: a 0 : P ( X a) E[ϕ(X )] ϕ(a) 2. Als ϕ positief en niet-dalend is voor alle x R geldt het volgende: a R : P (X a) E[ϕ(X )] ϕ(a) TODO: bewijs p 50 Gevolg Zij X een stochastische variabele met E[ X n ] <, n > 0, dan geldt het volgende: a > 0 : P ( X a) a n E[ X n ] Zij bovendien E[X] = µ en Var[X] = siдma 2 <, dan geldt ook: a > 0 : P ( X µ a) σ Hogere momenten en momentgenererende functie a 2

34 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 33 Definitie Voor elk natuurlijk getal k 1 definieert men het ruwe moment van orde k als α k (X ) α k (X ) = E[X k ] en het centrale moment van orde k als µ k (X ). µ k (X ) = E[(X E[X ]) k ] Definitie De momentgenererende functie (MGF) van X is gedefinieerd als M X (t). Stelling { M X : R R + : t M X (t) = E[e tx i e tx p i ] = + etx f (x)dx M X (t) = i=1 α i t i i! als F X discreet is als F X continu is Stelling α k = dk dt k M X (t) t=0 Stelling Zij X en Y twee stochastische veranderlijken zodat Y = ax + b. M Y (t) = e bt M X (at) Eigenschap Zij X en Y onafhankelijke stochastische veranderlijken, dan geldt het volgende: t : M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) TODO: bewijs p Kentallen Kentallen van locatie Gemiddelde Definitie We definieren het gemiddelde µ(x ) van een stochastische variabele X als E[X]. Voordelen Eenvoudig Expliciet Lineair Nadelen Niet robuust

35 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 34 Mediaan Definitie We definieren de mediaan Med(X ) van een stochastische variabele X als het tweede kwartiel: 1. F 1 (1/2) als er precies één x bestaat zodat F (x) = 1/2 geldt. 2. Het punt waar F een discontinuë sprong maakt van < 1/2 naar > 1/2 als er géén zo n x-en bestaan 3. Het middelpunt van het interval waarop F (x) = 1/2 geldt als er meerdere van zo n x-en bestaan. Opmerking Via dezelfde regels kunnen we de kwantielfunctie definieren zodat elk beeld ervan bestaat. Voordelen Robuuster Bestaat altijd Nadelen Niet altijd eenvoudig te berekenen Stelling Als een verdeling f symmetrisch is ten opzichte van een middelpunt c : t : f (c t) = f (c + t) dan is c zowel het gemiddelde als de mediaan van de bijhorende stochastische variabele. Modus Definitie De modus van een stochastische variabele wordt gedefinieerd als de meest voorkomende waarde. Voordelen Nadelen Niet altijd uniek Definitie Een verdeling met twee modi noemt men een bimodiale verdeling. Definitie Een verdeling met meer dan twee modi noemen we een multimodiale verdeling Kentallen van schaal Variantie en standaardafwijking

36 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 35 Definitie De variantie van een stochastische veranderlijke X definieren we als V ar[x ] met notatie σ (X ) 2. Definitie De standaardafwijking van een stochastische veranderlijke X definieren we als σ = Var[X ]. Voordelen Makkelijk te berekenen Mooie eigenschappen Nadelen Niet altijd uniek Niet robuust Interkwartiel Definitie Het interkwartiel (IQR) of de interkwartielafstand is gedefinieerd als de afstand tussen het eerste en het derde kwartiel. IQR = F 1 (3/4) = F 1 (1/4) Voordelen Bestaat altijd Robuust Nadelen Median absolute deviation Definitie De median absolute deviation (MAD) is gegeven door de mediane absolute afwijking van de mediaan. MAD = Med X Med(X ) Voordelen Bestaat altijd Nog robuuster Nadelen Stelling Voor symmetrische verdelingen is het interkwartiel precies gelijk aan twee keer de MAD. Variantiebreedte Definitie De variantiebreedte is de totale breedte waarover de kansmassa zich uitstrekt. Voordelen Nadelen Meestal + Niet robuust

37 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 36 Variatiecoëfficient Definitie De variatiecoëfficient ν (X ) van een stochastische variabele X vergelijkt de standaardafwijking met het gemiddelde. ν (X ) = Var[X] E[X] EXTRA: voordelen en nadelen Kentallen van scheefheid Definitie De scheefheidscoëfficient van een stochastische variable definieren we als γ 1. γ 1 = µ 3 σ 3 EXTRA: voordelen en nadelen EXTRA: andere kentallen van scheefheid 4.5 Belangrijke verdelingen Discrete verdelingen Discrete uniforme verdeling Definitie De discrete uniforme verdeling is gedefinieerd op een eindig universum Ω = {x 1,..., x n }. i {1,..., n} : p i = P ({x i }) = 1/n Bernoulli verdeling Definitie Een Bernoulli verdeling is gedefinieerd voor een Bernoulli experiment. P (X = 1) = p en P (X = 0) = q = 1 p We noemen p de kans op succes. We noteren een stochastische variabele met een Bernoulli verdeling als volgt: X B(1,p) Binomiaalverdeleing Definitie Een binomiaalverdeling is de verdeling van de som Y van n bernoulli-verdeelde

38 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 37 stochastische veranderlijken X i met slaagkans p. Y = n i=1 X i Ω is dus {1,..., n}. Y B(n,p) P (Y = k) = ( ) n p k q n k k Geometrische verdeling Definitie Een Geometrische verdeling is de verdeling die optreedt als we een bernoulli experiment met slaagkans θ uitvoeren tot het slaagt. P (X = i) = (1 θ ) i p X Geom(θ ) Negatief binomiaalverdeling Definitie Een Geometrische verdeling is de verdeling die optreedt als we een bernoulli experiment met slaagkans p uitvoeren tot het r keer slaagt. ( ) i + r 1 P (X = i) = (1 θ ) r θ i i X N B(r, θ ) Hypergeometrische verdeling Definitie Een hypergeometrische verdeling is een verdeling Y over een universum {1,..., n} als volgt: ) ( N s ) P (Y = i) = ( s i n i ( N n ) Y H (N, s, n) EXTRA: meer uitleg? Poissonverdeling Definitie De Poissonverdeling P(α) met parameter a R + is gedefinieerd op Ω = N als volgt: p i = P (X = i) = αi i! e α

39 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN Continue verdelingen Continue uniforme verdelingen Definitie De stochastische variabele X volgt een continue uniforme verdeling op [a, b] als X de volgende dichtheid heeft. Exponentiele verdeling f a,b (x) = 1 b a [a,b](x) Definitie De exponentiele verdeling met parameter a is een stochastische veranderlijke met de volgende dichtheidsfunctie. { ae at als t 0 f a (t) = 0 als t < 0 X ε(α) Univariate normale verdeling Definitie De standaard normale verdeling N (0, 1) is gedefinieerd door haar dichtheidsfunctie ϕ(x): ϕ(x) = e 1 2 x2 2π Definitie Een stochastische veranderlijke die standaard normaal verdeeld is wordt genoteerd met Z. Definitie De verdelingsfunctie van een standaard normale verdeling noteren we als Φ(x). Φ(x) = x ϕ(t)dt Definitie De algemene normale verdeling N (µ, σ 2 ) met µ R en σ R + is de verdeling van X = σz + µ. (x µ) 2 f µ,σ = e 2σ 2 σ 2π Stelling ( x µ ) F X (x) = F Z = Φ σ ( x µ ) σ

40 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 39 χ 2 n-verdeling Definitie De gammafunctie is als volgt gedefinieerd: Γ(t) = 0 x t 1 e x dx voor t > 0 Stelling t R + : Γ(t + 1) = tγ (t) Stelling n N : Γ(n + 1) = n! Stelling ( 1 Γ 2) = π Stelling De formule van Stirling ( t 1 ) t 1 Γ(t) 2π (t 1) e lim t ( t 1 e Γ(t) ) t 1 = 1 2π (t 1) TODO: wut Definitie Zij Z 1,..., Z n n standaard normale verdelingen. De som X van deze Z i noemen we chi-kwadraat verdeeld met n vrijheidsgraden. Gammaverdeling f χ 2 n (x) = X χ 2 n e x 2 x n n x > 0 2 Γ( n 2 ) 0 x 0 Definitie De gammaverdeling met parameters γ, β R + is gedefinieerd door de dichtheidsfuncite f γ,β : f γ,β = xγ 1 e x β β γ Γ(γ ) x>0

41 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 40 X Γ γ,β t n verdeling Definitie De Student verdeling met n vrijheidsgraden is gedefinieerd als de verdeling van T : T = Z X /n Stelling De verdeling is symmetrisch met dichtheid f tn (t) Waarbij: f tn (t) = K n ( 1 + t 2 n ) n+1 2 K n = Γ ( ) n+1 2 ( ) nπ Γ n 2 Zonder bewijs Cauchy verdeling Definitie De Cauchy verdeling is de t 1 verdeling. Eigenschap Zij X en Y twee standaard normaal verdeelde stochastische variabelen, dan is X Y Cauchy verdeeld. TODO: bewijs p 71 TODO: opmerkingen hier F-verdeling Definitie Zij W χ 2 m en V χ 2 n onafhankelijk, dan noemt men de verdeling van X de F-verdeling. X = W /m V/n X F m,n Stelling De dichtheidsfunctie van de F m,n -verdeling is f m,n Lognormale verdeling m x 2 1 f m,n = K m,n x > 0 (n+mx) n+m 2 0 x 0 K m,n = m m 2 n n 2 Γ ( ) m+n 2 Γ ( ) ( ) m 2 Γ n 2

42 HOOFDSTUK 4. STOCHASTISCHE VERANDERLIJKEN 41 Definitie Een stochastische variabele is lognormaal verdeeld met parameters µ R en σ R + als het volgende geldt: ln(y ) = N (µ, σ 2 ) 4.6 Transformatie van stochastische veranderlijken Monotone transformatie Stelling Zij X een continue stochastische veranderlijke met dichtheidsdfunctie f X zodat f X (x) = 0 voor x S. Zijn h : R R een functie zodat U = h(x ) opnieuw een stochastische veranderlijke is. Zij bovendien h een differentieerbare, strikt stijgende of strikt dalende functie op S, dan is de dichtheidsfunctie van U f U : f U (u) = f X (h 1 (u)) dh 1 (u) du u h(s) 0 u h(s) Integraaltransformatie Eigenschap Zij X een continue stochastische veranderlijke met verdelingsfunctie F X strikt stijgend op F 1 X (]0, 1[) en beschouw de transformatie U = F X (X ), dan geldt U U[0, 1] Genereren van stochastische veranderlijken Eigenschap Zij U U[0, 1] en beschouw de transformatie X = F 1 (U ), dan is F de verdelingsfunctie van X.

43 Hoofdstuk 5 Bivariate verdelingen 5.1 Verdeling van een stochastisch koppel Definitie 5.1. Zij X en Y twee stochastische veranderlijken in een kansruimte Ω, A, P. Een stochastische vector van dimensie 2 of stochastisch koppel is een koppel stochastische veranderlijken (X,Y ): (X,Y ) : Ω R 2 : ω (X (ω),y (ω)) Ω, A, P (X,Y ) R 2, B(R 2 ), P X,Y Hierin is B(R 2 ) de kleinste σ-algebra die de deelverzameling van de vorm ], a 1 ] ], a 2 ] met a 1, a 2 R bevat. P X,Y (], x] ],y] = P (X 1 (], x]) Y 1 (],y])) F X,Y = P (X x,y y) F X,Y (x,y) is stijgend in elk argument. F X,Y (x,y) is rechts congruent in elk argument. lim F X,Y (x,y) = 0 en x lim F X,Y (x,y) = 1 x + TODO: dit beter uitschrijven discreet: continu: x,y R : P ({X = x}, {Y = y}) = P (X = x,y = y) x,y R : P (X = x,y = y) 0 P (X = x,y = y) = 1 x y P (B) = x,y R : F X,Y (x,y) = P (X = x,y = y) (x,y) B x y x,y R : f X,Y (x,y) f X,Y (u,v) dv du = 1 f X,Y (u,v) dv du 42

44 HOOFDSTUK 5. BIVARIATE VERDELINGEN Marginale verdeling f X,Y (x,y) = 2 F X,Y (x,y) x y Definitie 5.2. Zij (X 1, X 2 ) een koppel stochastische veranderlijken met gezamenlijke verdelingsfunctie F X1,X 2 (x 1, x 2 ), dan noemen we de verdelingsfunctie van X i de marginale verdelingsfunctie van F X1,X 2. F X1 (x 1 ) = F X1,X 2 (x 1, + ) Voor een koppel discrete stochastische veranderlijken spreken we over een marginale kansverdeling P (X i = x i ): P (X 1 = x 1 ) = P (X 1 = x 1, X 2 = x 2 ) x 2 Voor een koppel continue stochastische veranderlijken spreken we over een marginale kansdichtheidsfunctie f Xi (x i ) Onafhankelijkheid f X1 (x 1 ) = + f X1,X 2 (x 1, x 2 )dx 2 Definitie 5.3. Twee stochastische veranderlijken X en Y in een kansruimte Ω, A, P heten onafhankelijk als voor alle B X, B Y B(R) de volgende gebeurtenissen onderling onafhankelijk zijn. {X B X } en {Y B Y } F X,Y (x,y) = F X (x)f Y (y) Voor een koppel discrete stochastische veranderlijken: P (X = x,y = y) = P (X = x)p (Y = y) Voor een koppel continue stochastische veranderlijken: Voorwaardelijke verdeling f X,Y (x,y) = f X (x)f Y (y) Definitie 5.4. Zij (X,Y ) een discrete stochastische vector in een kansruimte Ω, A, P met gezamelijke kansverdeling P (X = x, Y = y). De voorwaardelijke verdeling van X gegeven Y = y is P (X = x Y = y). P (X = x Y = y) = P (X = x,y = y) P (Y = y) als P (Y = y) > 0 Definitie 5.5. Zij (X,Y ) een continue stochastische vector in een kansruimte Ω, A, P met gezamelijke dichtheidsfunctie f X,Y. De voorwaardelijke dichtheidsfunctie van X gegeven Y = y

45 HOOFDSTUK 5. BIVARIATE VERDELINGEN 44 is f X Y (x y). f X Y (x y) = f X,Y (x,y) f Y (y) 5.2 Karakteristieken van een stochastisch koppel Momenten en momentgenererende functie Definitie 5.6. Zij X,Y een stochastisch koppel en д : R 2 R een Borel-meetbare functie. De verwachtingswaarde van д(x,y ) is dan als volgt gedefinieerd. Voor een discreet koppel: E[д(X,Y )] = д(x,y)p (X = x,y = y) Voor een continu koppel: x y als ze bestaat. E[д(X,Y )] = + д(x,y)f X,Y (x,y) dx dy Definitie 5.7. Ruwe momenten: stel д(x,y) = x r x y r y E[X r x Y r y ] TODO: wut Definitie 5.8. Centrale momenten stel д(x,y) = (x µ x ) r x (y µ y ) r y E[(X µ x ) r x (Y µ y ) r y ] Definitie 5.9. gezamelijke momentgenererende functie stel д(x,y) = e t xx+t y y M X,Y (t x, t y ) = E[e t xx e t yy ] Covariantie en correlatie Definitie De covariantie van X en Y wordt gedefinieerd als Cov(X, Y ): Cov(X,Y ) = E[(X E[X])(Y E[Y ])] TODO: specifiek voor discrete e continue koppels

46 HOOFDSTUK 5. BIVARIATE VERDELINGEN 45 Definitie De correlatiecoëfficient van X en Y wordt gedefinieerd als Corr (X, Y ): Corr (X,Y ) = Cov(X,Y ) Var[X]Var[Y ] Eigenschappen Stelling Zij X en Y twee onafhankelijke stochastische veranderlijken en д : Borel-meetbare functie zodat x,y R : д(x,y) = д x (x)д y (y) geldt: R 2 R een E[д(x,y)] = E[д x (x)]e[д y (y)] Gevolg M X,Y (t x, t y ) = M X (t x )M Y (t y ) Stelling Cov(X,Y ) Var[X]Var[Y ] Stelling Als X en Y onafhankelijk zijn: E[XY ] = E[X ]E[Y ] en Cov(X,Y ) = 0 Gevolg Corr (X,Y ) 1 Gevolg Y = ax + b Corr (X,Y ) = sдn(a) Stelling E[aX + by ] = ae[x] + be[y ] Stelling Var[aX + by ]a 2 Var[X ] + b 2 Var[Y ] + 2abCov(X,Y )

Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen

Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen Kanstheorie, -rekenen en bekende verdelingen 1 Rekenregels kansrekenen Kans van de zekere gebeurtenis: P () = P (U) = 1 Kans van de onmogelijke gebeurtenis: P (;) = 0 Complementregel: P (A c ) = 1 P (A)

Nadere informatie

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1)

Cursus Statistiek Hoofdstuk 4. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen. Definitie (Verwachting van discrete stochast) Voorbeeld (1) Cursus Statistiek Hoofdstuk 4 Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 4: Verwachtingen Cursusjaar 29 Peter de Waal Departement Informatica Inhoud Verwachtingen Variantie Momenten en Momentengenererende functie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen

Vandaag. Onderzoeksmethoden: Statistiek 2. Basisbegrippen. Theoretische kansverdelingen Vandaag Onderzoeksmethoden: Statistiek 2 Peter de Waal (gebaseerd op slides Peter de Waal, Marjan van den Akker) Departement Informatica Beta-faculteit, Universiteit Utrecht Theoretische kansverdelingen

Nadere informatie

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A]

Kansrekenen [B-KUL-G0W66A] KU Leuve Kasrekee [B-KUL-G0W66A] Notities Tom Sydey Kerckhove Gestart 8 februari 2015 Gecompileerd 9 februari 2015 Docet: Prof. Tim Verdock Ihoudsopgave 1 Combiatoriek 2 1.1 Variaties..........................................

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Kansrekening en Stochastische Processen (2S61) op woensdag 27 april 25, 14. 17. uur. 1. Gegeven zijn twee onafhankelijke

Nadere informatie

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening 11 juni 2015, uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander Uitwerking Tentamen Inleiding Kansrekening juni 25,. 3. uur Docent: Prof. dr. F. den Hollander () [6] Zij F een gebeurtenissenruimte. Laat zien dat voor elke B F de verzameling G {A B : A F} opnieuw een

Nadere informatie

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

Hoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 5. Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 5 Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Toevalsveranderlijken en waarschijnlijkheidsdistributies

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur

Kansrekening en statistiek wi2105in deel I 29 januari 2010, uur Kansrekening en statistiek wi20in deel I 29 januari 200, 400 700 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt grafische rekenmachine toegestaan Tevens krijgt u een formuleblad uitgereikt na afloop inleveren

Nadere informatie

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders.

OefenDeeltentamen 2 Kansrekening 2011/ Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie cx 4, 0 x 1 f X (x) = f(x) = 0, anders. Universiteit Utrecht *=Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht OefenDeeltentamen Kansrekening 11/1 1. Beschouw een continue stochast X met kansdichtheidsfunctie c 4,

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening (NB004B)

Tentamen Kansrekening (NB004B) NB4B: Kansrekening Dinsdag november 2 Tentamen Kansrekening (NB4B) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan. Vermeld op ieder blad je naam en

Nadere informatie

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.

Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Set 3 Inleveropgaven Kansrekening (2WS2) 23-24 Opgaven met sterretjes zijn lastiger dan opgaven zonder sterretje.. Voetbalplaatjes. Bij

Nadere informatie

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015

Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015 Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni 2010, uur Technische Universiteit Delft Mekelweg Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica 8 CD Delft Tentamen Inleiding Kansrekening wi juni, 9.. uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische

Nadere informatie

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek

Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek UNIVERSITY OF GHENT Samenvatting Formules uit de cursus Waarschijnlijkheidsrekenen en statistiek Auteur: Nicolas Vanden Bossche Lesgever: Prof. Hans De Meyer Hoofdstuk 1 Het kansbegrip en elementaire kansrekening

Nadere informatie

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden.

Het tentamen heeft 25 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal 2 punten verdiend worden. Hertentamen Inleiding Kansrekening WI64. 9 augustus, 9:-: Het tentamen heeft 5 onderdelen. Met ieder onderdeel kan maximaal punten verdiend worden. Het tentamen is open boek. Boeken, nota s en een (eventueel

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 2016, 10:00 13:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Tentamen Inleiding Kansrekening 9 juni 6, : 3: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met onderdelen. Elk onderdeel

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2S27), dinsdag 14 juni 25, 9. - 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

4 Domein STATISTIEK - versie 1.2

4 Domein STATISTIEK - versie 1.2 USolv-IT - Boomstructuur DOMEIN STATISTIEK - versie 1.2 - c Copyrighted 42 4 Domein STATISTIEK - versie 1.2 (Op initiatief van USolv-IT werd deze boomstructuur mede in overleg met het Universitair Centrum

Nadere informatie

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen

KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1

Nadere informatie

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg)

Voorbeeld 1. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen. Voorbeeld 2A. Voorbeeld 1 (vervolg) Voorbeeld Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 3: Stochastische Variabelen en Verdelingen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica In een eperiment gooien we 4 maal met een zuivere munt.

Nadere informatie

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette

Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette Statistiek I Samenvatting Prof. dr. Carette Opleiding: bachelor of science in de Handelswetenschappen Academiejaar 2016 2017 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Statistiek, gegevens en statistisch denken... 3 De

Nadere informatie

Ter Leering ende Vermaeck

Ter Leering ende Vermaeck Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel

Nadere informatie

Verzamelingen deel 3. Derde college

Verzamelingen deel 3. Derde college 1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 16 juni 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Tentamen Inleiding Kansrekening 6 juni 7, : 7: Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen.

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Formules Excel Bedrijfsstatistiek

Formules Excel Bedrijfsstatistiek Formules Excel Bedrijfsstatistiek Hoofdstuk 2 Data en hun voorstelling AANTAL.ALS vb: AANTAL.ALS(A1 :B6,H1) Telt hoeveel keer (frequentie) de waarde die in H1 zit in A1:B6 voorkomt. Vooral bedoeld voor

Nadere informatie

Samenvatting Statistiek

Samenvatting Statistiek Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00 17:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 07, 4:00 7:00 Docent: Prof. dr. F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er

Nadere informatie

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling.

Deze week: Verdelingsfuncties. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties. Bernoulli verdeling. Bernoulli verdeling. Deze week: Verdelingsfuncties Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 5: Verdelingsfuncties Cursusjaar 29 Peter de Waal Toepassingen Kansmassafuncties / kansdichtheidsfuncties Eigenschappen Departement Informatica

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012

Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012 Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige

Nadere informatie

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014

Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal. Toets Kansrekenen I. 28 maart 2014 Voorbehouden voor de correctoren Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Totaal Toets Kansrekenen I 28 maart 2014 Naam : Richting : Lees volgende aanwijzingen alvorens aan het examen te beginnen Wie de

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek /k 1/35 OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een

Nadere informatie

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur

Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:

Nadere informatie

Medische Statistiek Kansrekening

Medische Statistiek Kansrekening Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien

Nadere informatie

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek

Inleiding Applicatie Software - Statgraphics. Beschrijvende Statistiek Inleiding Applicatie Software - Statgraphics Beschrijvende Statistiek OPDRACHT OVER BESCHRIJVENDE STATISTIEK Beleggen Door een erfenis heeft een vriend van u onverwacht de beschikking over een klein kapitaaltje

Nadere informatie

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C)

Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB006C) WB6C: Voortgezette Kansrekening Donderdag 26 januari 212 Tentamen Voortgezette Kansrekening (WB6C) Het is een open boek tentamen. Gebruik van een rekenmachine of andere hulpmiddelen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten

Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Gezamenlijke kansverdeling van twee stochasten Voorbeeld: V = de windsnelheid H = hoogte van het waterniveau in een rivier/zee De combinatie (V, H) is van belang voor een overstroming en niet zozeer V

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/23 Voor een verzameling stochastische variabelen X 1,..., X n, de verwachting van W n = X 1 + + X n is

Nadere informatie

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19

Stochastiek 2. Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Stochastiek 2 Inleiding in de Mathematische Statistiek 1/19 Herhaling H.1 2/19 Mathematische Statistiek We beschouwen de beschikbare data als realisatie(s) van een stochastische grootheid X.(Vaak een vector

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2S610

Kansrekening en stochastische processen 2S610 Kansrekening en stochastische processen 2S610 Docent : Jacques Resing E-mail: j.a.c.resing@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2s610 1/28 Schatten van de verwachting We hebben een stochast X en

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Examen Statistiek I Feedback

Examen Statistiek I Feedback Examen Statistiek I Feedback Bij elke vraag is alternatief A correct. Bij de trekking van een persoon uit een populatie beschouwt men de gebeurtenissen A (met bril), B (hooggeschoold) en C (mannelijk).

Nadere informatie

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar?

Oefening 2.2. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Oefeningen op hoofdstuk 2 Verzamelingenleer 2.1 Verzamelingen Oefening 2.1. Beschouw A = {1, {1}, {2}}. Welke van de volgende beweringen zijn waar? Beschouw nu A = {1, 2, {2}}, zelfde vraag. a. 1 A c.

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September

Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een

Nadere informatie

Voorbereiding Kansrekening

Voorbereiding Kansrekening Voorbereiding Kansrekening 1. Kansruimte 1.1 Verzamelingenleer Voor het begrip kansruimte moeten we iets van de verzamelingentheorie weten. De moderne wiskunde is gebaseerd op de verzamelingentheorie.

Nadere informatie

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07)

b) Uit Bayes volgt, gebruik makend van onderdeel a) P (T V )P (V ) P (T ) = (0.09)(0.07) Uitwerkingen tentamen 6 juli 22. We stellen T de gebeurtenis test geeft positief resultaat, F de gebeurtenis, chauffeur heeft gefraudeerd, V de gebeurtenis, chauffeur heeft vergissing gemaakt C de gebeurtenis,

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur

Tentamen Inleiding Kansrekening 11 augustus 2011, uur Mathematisch Instituut Niels Bohrweg Universiteit Leiden 2 CA Leiden Delft Tentamen Inleiding Kansrekening augustus 20, 09.00 2.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een evt. grafische) rekenmachine

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur

Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, uur Tentamen Kansrekening en Statistiek MST 14 januari 2016, 14.00 17.00 uur Het tentamen bestaat uit 15 meerkeuzevragen 2 open vragen. Een formuleblad wordt uitgedeeld. Normering: 0.4 punt per MC antwoord

Nadere informatie

III.3 Supremum en infimum

III.3 Supremum en infimum III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of

Primitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert

Nadere informatie

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren

Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]

Nadere informatie

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3

1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3 HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische

Nadere informatie

Vertaling van enkele termen uit de kansrekening en statistiek alternative hypothesis alternatieve hypothese approximate methods benaderende methoden asymptotic variance asymptotische variantie asymptotically

Nadere informatie

V.2 Limieten van functies

V.2 Limieten van functies V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.1 Waarschijnlijkheidsrekening 1 Beschouw een toevallig experiment (de resultaten zijn aan het toeval te danken) Noem V de verzameling van alle mogelijke uitkomsten

Nadere informatie

Set 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20)

Set 2 Inleveropgaven Kansrekening (2WS20) 1 Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wisunde en Informatica Set Inleveropgaven Kansreening (WS) 14-15 1. (Functies van normale verdelingen) Stel dat X een standaard normale verdeling heeft. (a)

Nadere informatie

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door

Zo geldt voor o.o. continue s.v.-en en X en Y dat de kansdichtheid van X + Y gegeven wordt door APP.1 Appendix A.1 Erlang verdeling verdeling met parameters n en λ Voor o.o. discrete s.v.-en X en Y geldt P (X + Y = z) =P (X = x 1 en Y = z x 1 )+P(X = x en Y = z x )+... = P (X = x 1 )P (Y = z x 1

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.2 Kansveranderlijken en verdelingen 1 Veranderlijken Beschouw een toevallig experiment met uitkomstenverzameling V (eindig of oneindig), de verzameling van alle gebeurtenissen

Nadere informatie

Verzamelingen. Hoofdstuk 5

Verzamelingen. Hoofdstuk 5 Hoofdstuk 5 Verzamelingen In de meest uiteenlopende omstandigheden kan het handig zijn om een stel objecten, elementen, of wat dan ook, samen een naam te geven. Het resultaat noemen we dan een verzameling.

Nadere informatie

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012

Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012 Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade

Nadere informatie

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie

Nadere informatie

Statistiek: Vorm van de verdeling 1/4/2014. dr. Brenda Casteleyn

Statistiek: Vorm van de verdeling 1/4/2014. dr. Brenda Casteleyn Statistiek: Vorm van de verdeling /4/204 . Theorie Enkel de theorie die nodig is voor de oefeningen is hierin opgenomen. Scheefheid of asymmetrie Indien de meetwaarden links van de mediaan meer spreiding

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

De Transformatieformule voor Riemannintegralen

De Transformatieformule voor Riemannintegralen De Transformatieformule voor Riemannintegralen Het bewijs volgt in grote lijnen Wade, An Introduction to Analysis, Ch. 12.4. Als voorbereiding hebben we een lemma nodig dat we integralen goed kunnen benaderen

Nadere informatie

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter

Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander

Tentamen Inleiding Kansrekening 12 augustus 2010, 10.00 13.00 uur Docent: F. den Hollander Universiteit Leiden Niels Bohrweg Mathematisch Instituut 333 CA Leiden Tentamen Inleiding Kansrekening augustus,. 3. uur Docent: F. den Hollander Bij dit tentamen is het gebruik van een (grafische) rekenmachine

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

Overzicht Fourier-theorie

Overzicht Fourier-theorie B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Tentamen Functies en Reeksen

Tentamen Functies en Reeksen Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening

Kansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening Kansrekening en Statistiek Overzicht Kansrekening 1 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten X - distributiefuncties f P(X A) = i A f (x) = i A P(X = i). 2 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten

Nadere informatie

Examen Complexe Analyse (September 2008)

Examen Complexe Analyse (September 2008) Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006

Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen

Nadere informatie

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009

UitwerkingenOefenQuiz Kansrekening 2009 Universiteit Utrecht *Universiteit-Utrecht Boedapestlaan 6 Mathematisch Instituut 3584 CD Utrecht UitwerkingOefQuiz Kansreking 29 1. James Bond zoekt e brief in één van de drie ladkast in het voormalige

Nadere informatie

Zeldzame en extreme gebeurtenissen

Zeldzame en extreme gebeurtenissen Zeldzame en extreme gebeurtenissen Ruud H. Koning 19 March 29 Outline 1 Extreme gebeurtenissen 2 3 Staarten 4 Het maximum 5 Kwantielen Ruud H. Koning Zeldzame en extreme gebeurtenissen 19 March 29 2 /

Nadere informatie

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30

Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.

Nadere informatie