er zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0

Transcriptie

1 Laatste nieuws van Algebra and Discrete Wiskunde (2WF50) College 8.b: Vragenuur Opgaven 11 en 12 van Test 4 op Oncourse Opgaven 2 en 3 van tentamen van april 2015 Opgaven 16 en 19 van 14.8 College 8.a: residue klassen zijn equivalentie klassen R/I is een ring eerste isomorfie stelling: R/I is een domein als I een priem ideaal is R/I is een lichaam als I een maximaal ideaal is f homomorfism van ring R naar ring S, dan R/ker(f) is isomorf met Im(f) L lichaam en L = q dan x q x is het product alle (x a) met a L L heeft q 1 elementen L notatie voor de multiplicatieve groep van L deellichaam van een lichaam met p n elementen heeft p m elementen, met m een deler van n de multiplicatieve groep is cyclisch (met de verwijzing ) Niet behandeld is: minimaal polynoom van een algebraïsch element het minimaal polynoom is uniek en is irreducibel graad minimaal polynoom van a is gelijk het aantal geconjugeerden van a irreducibel polynoom over F q van graad n deelt x qn x laatstgenoemde is gelijk aan het product van alle monische, irreducibele polynomen van graad m een deler van n dit geeft een manier om alle irreducibele polynomen te vinden en aan te tonen dat voor ieder positief geheel getal n en iedere priem p er altijd een irreducibel polynoom van de graad n bestaat met coëfficïenten in F p er zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0 1

2 Na het college was er geen instructie. Vrijdagmiddag 1 april is er tot slot een vragenuur. Alleen wat wel is behandeld tijdens de colleges kan gevraagd worden op een toets. College 7.b: Geen college in verband met goede vrijdag. Merk op dat op de foto van de definitie van priem ideaal I in de ring R niet is geëist dat I ongelijk aan R is, dit is later in het college wel gecorrigeerd. College 7.a: - idealen - doorsnede van idealen is een ideaal - I + J is een ideaal - (V )R ideaal voortgebracht door V in R is een ideaal - hoofdideaal ringen - Z is een hoofdideaal ring, ieder ideaal wordt door 1 element voortgebracht - equivalente beweringen voor I = R - lichamen hebben alleen triviale idealen - priem ideaal, maximaal ideaal - maximaal idealen zijn priem idealen - omkering geldt bijna voor Z, behalve voor (0)Z - residue klassen zijn equivalentie klassen en - nevenklassen van I als ondergroep van R mbt optelling - R/I is een ring A.s. vrijdag 25 april is het goede vrijdag en is er geen college. Volgende week dinsdagochtend 29 maart is het laatste college, daarna zal er geen instructie zijn. Vrijdagmiddag 1 april is er tot slot een vragenuur. 2

3 De eindtoets zal over de gehele stof gaan (uit hoofdstukken 13 en 14) die tijdens het college is behandeld. De eindtoets telt voor 70% voor het eindcijfer, en er moet minimaal een 5 voor worden gehaald voor een voldoende als eindcijfer. In totaal zijn er 4 testen op Oncourse te maken die punten opleveren met code 2WF53 en voor 15%meetelt voor het eindcijfer. De deadline voor alle opgaven is 1 april, dat is een week voor de eindtoets in april. College 6.b: - Frobenius morfisme x x q of x p voor eindige lichamen - homomorfisme van een lichaam naar een ring en eigenschappen - algebraische getallen in de complexe getallen - idealen - ideaal in R voortgebracht door V, notatie (V)R Niet gedaan: - algebraisch over een lichaam - algebraische gehelen vormen een lichaam De foto s van het college staan OASE en niet meer op de website vanwege ruimtegebrek. College 6.a: - een eindig domein is een lichaam - deellichaam en deellichaam voortgebracht door D - breukenlichaam van een domein is een lichaam - priem lichaam, karakteristiek - K is een L-vectorruimte, als L een deellichaam van K is - de orde van een eindig lichamen is een macht van een priem - lichaam met 4 elementen - g(x) is inverteerbaar in K[x]=(f(x))/K[x] als gcd(g, f) = 1 3

4 - als f(x) is irreducible dan geeft dit een lichaam - a is een wortel (root) of nulpunt van f(x), (x - a) deelt f(x) - een polynoom van de graad n heeft hoogstens n nulpunten Nog niet behandeld: - Frobenius automorfisme x x q of x p voor eindige lichamen - Notatie voor eindige lichaam met q elementen: F q De uitgebreide scores voor de Information Skills (2PRV62) staan op OASE. Degenen die een ON hebben of het niet gedaan hebben kunnen het op op dinsdag 29 maart (5e en 6e uur) in MF10 herkansen. Ze kunnen het beste van tevoren de theorie nog eens doornemen. Die staat op intranet.tue.nl/informationskills. Annelies Jacobs zal hierover nog een sturen. College 5.b: - doorsnede van deelringen is een deelring - < D > R deelring voortgebracht door D - veelvoud, deler - nuldelers, nuldelers zijn niet inverteerbaar - domein, als R een domein, dan is R[x] dat ook - schrap wet (cancellation law) geldt in een domein - lichamen - L(a) deellichaam voortgebracht door L en a Nog niet behandeld is - een eindig domein is een lichaam - breukenlichaam van een domein is een lichaam Op het college is een aantal logisch wetten vermeld. Ten onrecht werd gesteld: niet(p Q) is equivalent met (nietq) (nietp ). Achteraf merkte iemand terecht op dat het moet zijn: (P Q) is equivalent met (nietq) (nietp ). College 5.a: Op dinsdag 8 maart is er geen college en geen instructie maar in plaats daarvan een instructie voor het gebruik van de bibliotheek en het online opvragen 4

5 van artikelen. De aanwezigheid en actieve deelname is vereist en wordt als Omgaan met informatie met code 2PRV62 geregistreerd. Anders krijg je geen eindcijfer voor 2WF50! Mochten er onvoorziene omstandigheden zich voordoen dient het met de docente Annelies Jacobs ( E.J.M.Jacobs@tue.nl ) te worden opgenomen. College 4.b: - R x de inverteerbare elementen van een ring - (Homo)morfismen van ringen - Kern en image van een morfisme van ringen - Z[x] = (x 2 + 1)Z[x] is isomorf met de gehele getallen van Gauss - direct product van ringen - Chinese Remainder Theorem het bewijs gebruikt het directe product Nog niet gedaan: - idealen - kern van een morfisme is een ideaal Deze week was er een tussentoets Vandaar dat er week deze geen opgaven op Oncourse zijn. De tussentoets van 1maart 2016 met uitwerkingen zijn te vinden op: College 4.a: - normale ondergroep - voorbeelden - G/H is een groep als H een normale ondergroep van G - kern van een homomorfisme is een normale ondergroep - G/Ker(f) is isomorf met Im(f) - definitie van een ring - voorbeelden - gehelen van Gauss - nxn matrices over de reele getallen - R[x], de ring van polynomen met coefficienten in R 5

6 - deelringen - eigenschappen van ringen Niet gedaan (behoort tot stof 2WF40 doe zelf): - eigenschappen van polynomen - graad, kop coefficient, monisch, irreducibel College 3.b: - ondergroepen van cyclische groepen zijn cyclisch - linker nevenklasse - Lagrange s stelling - linker nevenklasse hebben dezelfde grootte - orde van een element deelt de orde van de groep - kleine stelling van Fermat - normale ondergroep (alleen definitie) Niet gedaan (doe zelf): - < g k >=< g d > als d = gcd(k, n) als n orde van G - < g k >= G als gcd(k, n) = 1 als n orde van G Voor week 3 dienen op Oncourse 13 opgaven gemaakt te worden. De tussentoets betreft de stof tot en met college 3.a. Gevraagd wordt om de tussentoets en de toets zo mogelijk in het Engels te beantwoorden. Dit is geen verplichting. Op Dinsdag 1 maart wordt de tussentoets gehouden tijdens het 3e en 4e uur in zaal AUD 12, van uur. Inmiddels staan er oude eindtoetsen van het vak 2WF50 op de site: http : // ruudp/2w F 50.html Vorige jaren zijn er geen tussentoetsen gehouden. Wel huiswerkopgaven. Die zijn te zien op: http : //hyperelliptic.org/tanja/teaching/alg15 De tussentoets van dit jaar zal vergelijkbare opgaven hebben als de opgegeven huiswerk opgaven en de opgaven op Oncourse, met dien verstande dat het antwoord alleen niet volstaat tijdens de tussentoets. 6

7 College 3.a: - cyclische groepen - voortbrenger, < g >, < D > - doorsnede van ondergroepen is een ondergroep - centrum Z(G) - centralisator C(X;G) - normalisator N(X;G) - morfismen, beeld en kern - orde van een groep - orde van een element - cyclische groepen, voortbrenger, voorbeelden - ondergroepen van cyclische groepen zijn cyclisch Tijdens het college zijn foto s gemaakt van de borden. Deze zijn te zien op de site: http : // ruudp/2w F 50.html College 2.b: - inverteerbare elementen, inverse - schrapwet: uit x.y = x.z volgt y = z voor inverteerbare x - inverse van element is uniek - groepen - directe product van groepn - ondergroepen Nog niet behandeld: - aantal inverteerbare elementen van Z/nZ - Euler φ functie Tijdens het college zijn foto s gemaakt van de borden. Deze zijn te zien op de site: http : // ruudp/2w F 50.html College 2.a: 7

8 - homomorfismen van monoiden - enkele voorbeelden - voorbeeld f(e) = e is noodzakelijk - compositie van homomorfismen - isomorfismen, automorfismen - definitie en eigenschappen van de cyclische monoide C k,n - een eindige cyclische monoide is isomorf met een C k,n - een monoide M is isomorf met een submonoide van Maps(M) Voor week 1 dienen op Oncourse 11 opgaven gemaakt te worden. Voor week 2 dienen op Oncourse 12 opgaven gemaakt te worden. In de studiewijzer staat ten onrechte dat alleen de eerste 5 gemaakt hoeven te worden. Voor week 1 zijn op Oncourse 11 opgaven te maken. Indien je bugs tegenkomt in de Oncourse opgaven, maak dan een screen shot en stuur die door naar de docent. De deadline voor alle opgaven is 1 april, dat is een week voor de eindtoets in april. De datum van de eindtoets kan je vinden op OASE of OWinfo onder de code 2WF51 (dus niet 2WF50) en zal op 8 april zijn. De herkansing is op 29 juni. College 1.b: De volgende onderwerpen zijn nogmaals behandeld: - deel-structuren (monoïde, halfgroep) - doorsnede van deelmonoïden/onderhalfgroepen - < D > M is deelmonoïde van M voortgebracht door D Nieuwe onderwerpen: - homomorfismen - isomorfismen - cyclische monoïden - voortbrenger van een cyclische monoïde - vrije monoïde over A Nog niet behandeld is: - voorbeeld f(e) = e is noodzakelijk - commutatieve bewerkingen 8

9 In de week van 8 tot en met 12 februari is er geen onderwijs. College 1.a: Tijdens het eerste college is meer behandeld dan in de studiewijzer staat: - structuur - n-voudige bewerkingen/operaties - semi- of halfgroepen - neutraal element - eenheidselement - deel-structuren (monoïde, semi- of halfgroep) - vermenigvuldigingstabel - vrije monoïde over A - direct product van monoïden en halfgroepen - doorsnede van deelmonoïden/onderhalfgroepen - enkele voorbeelden Deze cursus met code 2WF50 is een vervolg van de vorige 2WF40. Een aantal studenten heeft de vorige cursus niet gedaan. Voor diegenen is de instaptoets op Oncourse gemaakt, als test of de benodigde voorkennis aanwezig is. De punten voor deze instaptoets tellen niet voor de punten voor de overige opgaven op Oncourse die voor 15% voor het eindcijfer gaan gelden. Het volgende college is op vrijdagmiddag het 5-de en 6-de uur in Laplace (dat is in de kelder). De cursus in begint het tweede semester, lente Het eerste college is op dinsdagochtend 2 februari het 1-ste en 2-de uur in AUD 12 met aansluitend instructie het 3-de en 4-de uur in dezelfde zaal. De website van het vak is: De studiegids is te vinden op: De website van de cursus is te vinden op: 9

10 10