Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde
|
|
- Alfred Hermans
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel
2 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed begrijpen van een klasse van voorbeelden. In dit project bestudeer je een beschrijving van nilpotente algebra s van kleine dimensie (zeg kleiner dan 4). Een interessant artikel is W.A. de Graaf, Classification of nilpotent associative algebras of small dimension, ArXiv v1. Ringen die de unie zijn van drie deelringen Een theorie steunt steeds op het goed begrijpen van een klasse van voorbeelden. In dit project bestudeer je een beschrijving van ringen die de unie zijn van drie deelringen. Dit is uiteengezet in het artikel [A. Lucchini, A. Maroti, Rings as the unions of proper subrings, arviv: v1]. Een interessant artikel is W.A. de Graaf, Classification of nilpotent associative algebras of small dimension, ArXiv v1. Ring semigroepen Een multiplicatieve semigroep noemt men een ring semigroep als er een optelling + op S kan gedefinieerd worden zodat (S, +,.) een ring is. Zulke semigroepen zijn bestudeerd in [Bell in Words, Languages and Combinatorics, pp. 2431, World Scientific, Singapore, 1994; Jones in Semigroup Forum 47(1):16, 1993; Jones and Ligh in Semigroup Forum 17(2):163173, 1979)]. In een recent artikel heeft men de ring semigroepen gekarakteriseerd waarvan de deelsemigroepen (die 0 bevatten) een keten vormen voor de inclusie [G. Oman, Ring semigroups whose subsemigroups form a chain, Semigroup Forum 78 (2009), Complementen in de eenhedengroep van een ring Zij R een ring en zij U(R) de groep van inverteerbare elementen. Het Jacobsonradikaal is de deelverzameling van alle elementen r R zodat 1 + arb U(R) voor alle a, b R. Dit is een ideaal van R en 1 + J(R) is een deelgroep van U(R). In dit project bestudeer je het volgende probleem. Wanneer heeft 1 + J(R) een normaal complement in U(R), d.w.z. wanneer bestaat er een deelgroep N van U(R) zodat U(R) = (1 + J(R) N. Easdown, Coleman and Wilcox (Complemenatation in the group of units, [ArXiv v1] en [Bull. Austral.Math.Soc. 62 (2000), ]) bestudeerden dit probleem voor R = M n (Z p k. Fix punt vrije automorfismen Zij G een groep. Een autmorfisme f van G noemt men fix punt vrij als f(g) g voor elke e g G. Een mooi resultaat van Burnside is het
3 3 volgende: als een eindige groep G een fix punt vrij automorfisme van orde 2 heeft dan is G abels en van oneven orde. Ook het omgekeerde geldt. In 2008 bewezen Deaconescu en Walls de volgende stelling: als een eindige group een fix punt vrij automorfisme heeft in de Fitting deelgroep van zijn automorfisme groep dan is de groep abels en van een speciaal type [On a theorem of Burnside on fixed point free automorphisms, Arch. Math. 90 (2008), ]. Permuteerbare groepen Zij Z een verzameling verzameling van Sylow deelgroepen die precies een Sylow p-deelgroep van G bevat voor elke priem p. Een deelgroep H van een eindige groepg noemt men Z-permuteerbaar als het permuteert met elk element van Z, d.w.z. HG p = G p H voor elke G p Z. Recent bewezen Heliel, Li and Li het volgende resultaat: als de cyclische deelgroepen van priem orde of orde 4 (als p = 2) van elk lid van Z Z-permuteerbare deelgroepen zijn van G dan is G superoplosbaar. Het bewijs steunt op de klassifikatie van eindig simpele groepen. Recent gaven L.F. Wang en Y.M. Wang een elementair bewijs. De opdracht in dit project is om dit bewijs te doorgronden (inclusief de nodige achtergrond in superoplosbare groepen). Groepen met eindig veel normalisatoren van niet periodisch deelgroepen Bestudeer via het artikel [M. de Falco, F. de Giovanni, C. Musella, Groups with fintely many normalisers of non periodic subgroups, Red. del Circolo Matematico di Palermo 59 (2010), ] de groepen met eigenschap vermeld in de titel. Productvrije deelverzamelingen van groepen Zij G een groep. Een deelverzameling van G noemt men product vrij als er geen a, b, c S bestaan (niet noodzakelijk verschillend) zodat ab = c. Men kan zich afvragen of er grote productvrije deelverzamelingen bestaan in allerlei groepen (zoals bv in Z). In dit project geef je een overzicht van enkele recente resultaten. Rationale machtreeksen, sequentiële codes and periodiciteit van rijen In dit project bestudeer je recent werk omtrent rationale machtreeksen, sequentiële codes and periodiciteit van rijen. Herinner dat een (rechts) sequentiële code van lengt n over een lichaam F een deelruitmte C van F n is die voldoet aan: voor elke (a 0,..., a n 1 ) C bestaat een
4 4 b F zodat (a 1,..., a n 1, b) C. Als b uniek bepaald is door is (a 0,..., a n 1 ) C dan noemt men C deterministisch. Gelfand-Kirillov dimensie van een algebra Priem dimensie Beschouw de polynomenring R[X]. Dan zijn P 1 = 0 en P 2 = (X) = R[X]X idealen van R[X] zodat R[X]/P i een domein is (geen nuldelers). Men noemt P 1 en P 2 priemidealen en we verkrijgen de keten van priemidealen P 1 P 2. Bovendien kan men aantonen dat er geen langere keten van priemidealen bestaat. men zegt dat R[X] priemdimensie 1 heeft. Men kan algemener aantonen dat een veeltermring R[x 1,..., x n ] in n commuterende veranderlijken priemdimensie n heeft. De notie van priemdimensie kan in het algemeen geformuleerd worden. In dit project bestudeer je de priemdimensie van commutatieve ringen en bereken je deze voor verschillende voorbeelden. Nilpotente en oplosbare groepen Nilpotente en oplosbare groepen vormen een belangrijke klasse van groepen. Je zult o. a. hun belang gezien in Galois theorie. Herinner dat abelse groepen nilpotent zijn en dat alle nilpotente groepen oplosbaar zijn. De diëdergroep D 8 van orde 8 is nilpotent, de diëdergroep D 6 van orde 6 is oplosbaar, maar niet nilpotent. In dit project maak je een studie van basiseigenschappen van deze klasse van groepen (inclusief voorbeelden en oefeningen). Eventueel zoek je voorbeelden in recente onderzoeksliteratuur waarin deze groepen aan bod komen. Vrije groepen en matrix groepen Matrix groepen (of lineaire groepen) zijn groepen waarvan de elementen inverteerbare matrices zijn over een gegeven lichaam. M.a.w, dit zijn deelgroepen van de algemene lineaire groep GL n (K). Vanwege hun toepassingen in allerlei takken van de wiskunde is kennis van hun algebrasche structuur bijzonder belangrijk. Een concreet voorbeeld van ( een lineaire ) groep ( is de groep ) voortgebracht door de matrices A = en B =. Men kan aantonen dat als A n 1 Bm 1 An 2 Bm 2...An k Bm k verschillend is van 1, alle n i en m i niet-nul gehele getallen zijn. Men zegt dat < A, B > een vrije groep is. In dit project maak je een studie van basiseigenschappen van matrix groepen (inclusief voorbeelden en oefeningen). Eventueel zoek je voorbeelden in recente onderzoeksliteratuur waarin deze groepen aan bod komen. In een recent artikel geeft men een elementair bewijs voor de volgende stelling: een deelgroep van een vrije groep is vrij. (zie B. Steinberg, An elementary proof that subgroups of free groups are free, arxiv
5 v1). Een mogelijk project is om dit artikel volledig te doorgronden. In een recent artikel construeert men vrije groepen in oneindige bovendriehoeks matrices. (zie [1] Roksana Slowik, Some free and non-free subgroups of a group of infinite unitriangular matrices en [2] W. Holubowski, Free subgroups of unitriangular matrices, I.J.A.C. vol 13, no.1 (2003), 81-86). Een mogelijk project is om dit artikel volledig te doorgronden. Zorn s matrix algebra en niet-associatieve structuren (Cayley getallen) Belangrijke voorbeelden in associatieve ring theorie zijn matrix ringen M n (K) over een lichaam K. Associatief betekent dat a(bc) = (ab)c voor alle elementen in de ring. Alhoewel deze eigenschap heel natuurlijk is zijn er nochthans voorbeelden ( van ringen ) die niet associatief R R 3 zijn. Een zo n voorbeeld is R = R 3 waarbij de optelling com- R ponentsgewijs gebeurt en de vermenigvuldiging als volgt gedefinieerd is ( ) ( a B a B ) ( C d C d = aa + B.C ab + d B C C a C + dc + B B C.B + dd Deze ring, genoemd de matrix algebra van Zorn over R, is niet associatief. Deze ring kan ook op een andere manier gedefinieerd worden, namelijk als een verdubbeling van de quaternionenalgebra H(R). Deze laatste is een verdubbeling van de complexe getallen C en C is een verdubbeling van R. In dit project maak je een studie van Cayley getallen, de matrix algebra van Zorn en alternatieve ringen. Eventueel zoek je voorbeelden in recente onderzoeksliteratuur waarin deze objecten aan bod komen. ). GAP en algebra Commutatieve semigroeptheorie Semigroepen zijn verzamelingen S voorzien van een associatieve bewerking. Uiteraard zijn groepen voorbeelden van semigroepen. In eerste instantie zou men de indruk kunnen hebben dat de klasse van semigroepen te groot is om er iets nuttigs over te kunnen zeggen. Wel, niets is minder waar. In dit project bestudeer je commutatieve semigroepen en je ontdekt dat deze objecten een zeer rijke structuur hebben. Toepassingen van algebra In het dagelijkse leven wordt er veelvuldig gebruik gemaakt van niet elementaire algebra. In dit project ga je op zoek naar zulke toepassingen en de theoriën die gebruikt worden.
6 6 Conjugatie in Semigroepen In groepentheorie hebben wij gezien dat inwendige conjugatie een belangrijk begrip is. In de definite maakt men echter gebruik van het inverse van een element. Bijgevolg is deze definite niet toepasbaar in een willekeurige semigroep. In dit project bestudeer je recent werk dat drie verschillende mogelijkheden bestudeert voor het invoeren van conjugatie in semigroepen.
Gehelen van Gauss. Hector Mommaerts
Gehelen van Gauss Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities Gehelen van Gauss zijn complexe getallen van de vorm a + bi waarbij a, b Z. De verzameling van alle gehelen van Gauss noteren we met Z(i). Dus
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieDefinitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Nadere informatieINLEIDING GROEPENTHEORIE
INLEIDING GROEPENTHEORIE 2013-2014 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2 WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2 E. Jespers Vakgroep Wiskunde Vrije Universiteit Brussel Faculteit
Nadere informatieUniversiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Nadere informatiePerfecte getallen en Leinster groepen
Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieInleiding tot groepentheorie
Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking
Nadere informatie5 Inleiding tot de groepentheorie
5 Inleiding tot de groepentheorie Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze groep de viergroep van Klein bezit als deelgroep van index 2. Oplossing
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieAlgebra and discrete wiskunde
Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-
Nadere informatieVoorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde
Voorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde Aantal uren: A: 30, B:15 of A: 22,5, B: 22,5 1 Hermann Weyl introduceerde het woord coördinatiseren voor één van de basishandelingen
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatie1 Nilpotente en oplosbare groepen Groepen bouwen De correspondentiestelling Nilpotente en oplosbare groepen...
Inhoudsopgave 1 Nilpotente en oplosbare groepen 1 1.1 Groepen bouwen......................... 1 1.2 De correspondentiestelling.................... 7 1.3 Nilpotente en oplosbare groepen.................
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieEigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove. met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove met dank aan: Katelijne Caerts Eline van der Auwera Anneleen Truijen Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 1 juni 2015 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 6 1.1
Nadere informatieKU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove
KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 3 1.1 Basisbegrippen....................................... 3 1.2 De
Nadere informatieDeeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur
Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in
Nadere informatieLineaire Algebra 3 en 4. Wieb Bosma
Lineaire Algebra 3 en 4 Wieb Bosma juni 2000/juni 2001 Inhoudsopgave 1 Vectorruimten 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Lichamen....................................... 3 1.2.1
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieHOOFDSTUK 0. = α g1 α g2
HOOFDSTUK 0 Acties van groepen 0.1 Groep-actie Uit de cursus Meetkunde en Lineaire Algebra van 1ste jaar Bachelor Wiskunde ([KI] in de referentielijst) weten we reeds wat een permutatiegroep G op een verzameling
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieDefinitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat:
Hoofdstuk 1 Eerste begrippen 1.1 Wat is een groep? Definitie 1.1. Een groep is een verzameling G, uitgerust met een bewerking waarvoor geldt dat: 1. a, b G : a b G 2. a, b, c G : a (b c) = (a b) c = a
Nadere informatieb + b c + c d + d a + a
Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische
Nadere informatieAd(g) := (h ghg 1 ).
Inleveropgave 7 (inleverdatum: 22 nov) Gegeven een groep G, zij de afbeelding Ad : G Aut(G) gegeven door Ad(g) := (h ghg 1 ) Laat zien dat Ad een homomorfisme is Laat zien dat ker(ad) gelijk is aan het
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H.A. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieer zijn (p 2 p)/2 irreducibele polynomen van de graad 2 over F p het minimaal polynoom van a deelt ieder polynoom f(x) met f(a) = 0
Laatste nieuws van Algebra and Discrete Wiskunde (2WF50) College 8.b: Vragenuur Opgaven 11 en 12 van Test 4 op Oncourse Opgaven 2 en 3 van tentamen van april 2015 Opgaven 16 en 19 van 14.8 College 8.a:
Nadere informatieOVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Nadere informatieDiophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Nadere informatieOpgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: = Z2 Z 6 (R >0, ) = (R, +) (Z, +) = (Q, +)
Deeltentamen Groepentheorie (WISB221). A. Henriques, Nov 2012. Geef niet alleen anwoorden, maar bewijs al je beweringen. Opgave 1 Bepaal welke van de volgende beweringen juist zijn: [5pt] Z 5 = Z 4, Z
Nadere informatiePermuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen
WETENSCHAPPEN WISKUNDE Permuteerbare deelgroepen en Sylow deelgroepen Bachelor Project I Shaun Bundervoet Promotor : Prof. Eric Jespers 2008-2009 Inhoudsopgave Voorwoord 1 1 Permuteerbaarheid 3 1.1 Elementaire
Nadere informatieUitwerkingen huiswerk week 6
Lineaire algebra 2 najaar 2008 Uitwerkingen huiswerk week 6 Opgave( 21. ) a b Zij A = F 2 2. (i) Laat zien dat deta noodzakelijk van de vorm deta = ad bc is (door A op bovendriehoeksvorm te transformeren).
Nadere informatieRingen en lichamen. H.W. Lenstra, Jr en F. Oort. (Herziene versie, 2014) door
Ringen en lichamen door H.W. Lenstra, Jr en F. Oort (Herziene versie, 2014) Inhoudsopgave I RINGEN 1 1 Definitie, voorbeelden, elementaire eigenschappen..................... 3 2 Ringhomomorfismen en idealen...............................
Nadere informatieNumerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Nadere informatieI.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.
I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Nadere informatie2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieAlgebra and discrete wiskunde
Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2016/2017 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieGetallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieWiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatie1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica
ALGEBRA I 1-ste Bachelor Wiskunde en Fysica 2007-2008 webstek: http://homepages.vub.ac.be/ efjesper HOC: woensdag 14-16 uur, F.5.212 WPO: donderdag 16-18 uur, F.5.211 E. Jespers Departement Wiskunde Vrije
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieDiscrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,
Nadere informatieOpgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep.
Opgaven Eigenschappen van Getallen Security, 2018, Werkgroep. Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege. Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht
Nadere informatie4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatie3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Nadere informatieHoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Nadere informatieLineaire Algebra C 2WF09
Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09
Nadere informatieVerzamelingen deel 3. Derde college
1 Verzamelingen deel 3 Derde college rekenregels Een bewerking op A heet commutatief als voor alle x en y in A geldt dat x y = y x. Een bewerking op A heet associatief als voor alle x, y en z in A geldt
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieHeron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Voorbeelden van toetsopgaven, 011 en (1) (a) Bepaal de afstand van het punt Q = (1,, ) R 3 tot het vlak gegeven door x + y z = 1. (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren
Nadere informatieKristallografische groepen
Kristallografische groepen Bernd Souvignier najaar 2005 Hoofdstuk 1 Introductie Het onderwerp van deze cursus Kristallografische groepen zijn in eerste instantie de groepen die in de behandeling van structuren
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieEindige Fourier-Analyse in de Additieve Combinatoriek
Eindige Fourier-Analyse in de Additieve Combinatoriek Sam van Gool 22 juni 2007 Bachelorscriptie Begeleiding: prof. dr. T. H. Koornwinder KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieRingen en lichamen. H.W. Lenstra, Jr en F. Oort. (Herziene versie, augustus 2015) door
Ringen en lichamen door H.W. Lenstra, Jr en F. Oort (Herziene versie, augustus 2015) Inhoudsopgave I RINGEN 1 1 Definitie, voorbeelden, elementaire eigenschappen..................... 3 2 Ringhomomorfismen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieSchoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden
Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak
Nadere informatieEenheden in groepsringen
Eenheden in groepsringen 2 Hoofdstuk 1 Bicyclische eenheden 1.1 Definitie Veronderstel dat R een willekeurige ring is met eenheidselement. Een belangrijk onderzoeksproject is het zoeken naar eenheden.
Nadere informatieOefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.
4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatie