KU Leuven. Algebra. Notities. Tom Sydney Kerckhove

Transcriptie

1 KU Leuven Algebra Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 23 september 2014 Gecompileerd 28 oktober 2014

2 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen Basisbegrippen De algebra van verzamelingen Unie Doorsnede Complement Verschil Machtsverzameling Koppels en het carthesisch product Relaties Samenstelling van relaties Equivalentierelaties Equivalentieklassen Orderelaties Functies en afbeeldingen Jecties Speciale afbeeldingen Permutaties Kardinaliteit 25 5 Deelbaarheid 26 6 Samenstellingswetten Inwendige bewerking Uitwendige bewerking Algebras Morfismen Groepen Basisbegrippen De groep Morfismen Orde Nevenklassen Directe som Permutatiegroepen Conjugatie

3 INHOUDSOPGAVE Normaaldelers en Quotientgroepen Quotientgroepen Enkelvoudige en oplosbare groepen De isomorfismestellingen Ringen Abstracte ringen Ring Ring met eenheidselement Commutatieve ring Integriteitsdomeinen Lichaam Velden Direct product Deelringen Ringmorfismen Breukenveld van een integriteitsdomein Voorbeelden Groepen Ringen Eenhedengroepen Algebra I: Oefenzittingen Oefenzitting Toepassingen van Algebra: Oefenzittingen Oefenzitting

4 Hoofdstuk 1 Verzamelingen 1.1 Basisbegrippen Definitie 1.1. Een verzameling is een geheel van onderling verschillende, ongeordende objecten. Deze objecten noemt men de elementen van de verzameling. de Definitie 1.2. Een formele beschrijving van een verzameling met behulp van een predikaat p ziet er als volgt uit. {x p(x)} Dit is de verzameling van all elementen die aan het predikaat p voldoen. Definitie 1.3. Twee verzamelingen A en B zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde elementen bevatten. A = B x : x A x B Stelling 1.4. De transitiviteit van = : Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. Bewijs. (A = B) (B = C) A = C A = B B = C ( x : x A x B) ( x : x B x C) x : ((x A x B) (x B x C)) x : (x A x C) A = C Definitie 1.5. Een verzameling A is een deelverzameling van een verzameling B als en slechts als B alle elementen van A bevat. A B x : x A x B Stelling 1.6. De anti-symmetrie van : Gegeven twee willekeurige verzamelingen A en B. A B B A A = B 3

5 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 4 Bewijs. A B B A ( x : x A x B) ( x : x B x A) x : ((x A x B) (x B x A)) x : x A x B A = B Stelling 1.7. De transitiviteit van : Gegeven drie willekeurige verzamelingen A, B en C. Bewijs. A B B C A C A B B C ( x : x A x B) ( x : x B x C) x : ((x A x B) (x B x C)) x : x A x C A C Definitie 1.8. Een verzameling A is een strikte deelverzameling van een verzameling B als en slechts als A een deelverzameling is van B en niet gelijk is aan B. A B A B a B Definitie 1.9. De universele verzameling U is de verzameling van alle mogelijke elementen waarvan sprake is. U = {x true} Stelling Elke verzameling A is een deelverzameling van het universum U. A U Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van A zit ook in U. x : x A x U Definitie De lege verzameling is de verzameling die geen enkel element bevat. Stelling De lege verzameling is een deelverzameling van elke verzameling. Bewijs. Inderdaad. Kies een willekeurige verzameling A. Elk element van (geen enkel element) zit ook in A. x : x x A

6 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 5 Definitie Een singleton is een verzameling met precies één element. 1.2 De algebra van verzamelingen Unie Definitie De unie A B van twee verzamelingen A en B is de verzameling die zowel de elementen van A als de elementen van B bevat. Eigenschap De unie is commutatief. A B = {x x A x B} A B = B A Bewijs. A B = {x x A x B} = {x x B x A} = B A Eigenschap De unie is idempotent A A = A Bewijs. A A = {x x A x A} = {x x A} = A Stelling Elke verzameling A is een deelverzameling van elke unie A B van die verzameling met een andere verzameling B. A A B Bewijs. x : x A x A x B Stelling A B A B = B Bewijs. {x x A x B} = B a A : a B Stelling De unie is associatief A (B C) = (A B) C Bewijs. A {x x B x C} = {x x A x B x C} = {x x A x B} C Stelling De identiteitswet voor de unie A = A Bewijs. A = {x x A x } = A Stelling De nulwet voor de unie A U = U Bewijs. A U = {x x A x U } = {x x A true} = U Doorsnede

7 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 6 Definitie De doorsnede A B van twee verzamelingen A en B is de verzamling die enkel de elementen bevat die zowel in A als in B zitten. A B = {x x A x B} Eigenschap De doorsnede is commutatief. A B = B A Bewijs. A B = {x x A x B} = {x x B x A} = B A Eigenschap De doorsnede is idempotent A A = A Bewijs. A A = {x x A x A} = {x x A} = A Stelling De doorsnede A B is een deelverzameling van A. A B A Bewijs. A B = {x x A x B} {x x A} = A Stelling A B A B = A Bewijs. x : (x A x B) {x x A x B} = A Stelling De identiteitswet voor de doorsnede A U = A Bewijs. A U = {x x A x U } = {x x A true} = A Stelling De nulwet voor de doorsnede A = Bewijs. A = {x x A x } = {x x A f alse} = Definitie Twee verzamelingen A en B zijn disjunct als en slechts als ze geen gemeenschappelijke elementen hebben. A B = Stelling De eerste absorptiewet. A (A B) = A Bewijs. A (A B) = A {x x A x B} = {x x A (x A x B)} = {x x A} = A Stelling De tweede absorptiewet. A (A B) = A Bewijs. A (A B) = A {x x A x B} = {x x A (x A x B)} = {x x A} = A

8 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 7 Stelling De doorsnede is distributief ten opzichte van de unie. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = A {x x B x C} = {x x A (x B x C)} = {x (x A x B) (x A x C)} = (A B) (A C) Stelling De unie is distributief ten opzichte van de doorsnede. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = A {x x B x C} = {x x A (x B x C)} = {x (x A x B) (x A x C)} = (A B) (A C) Complement Definitie Het complement van een verzameling A ten opzichte van de universele verzameling U is de verzameling van alle elementen die niet in A zitten, maar wel in U. A c = {x x A} Andere notaties voor het complement zijn A, A. Stelling Het complement van het complement van een verzameling is opnieuw de originele verzameling. (A c ) c = A Bewijs. A cc = {x x A c } = {x x A} = A Stelling De complementaire wet voor de unie. De unie van een verzameling en haar complement is het universum. A A c = U Bewijs. A A c = {x x A x A c } = {x true} = U Stelling De complementaire wet voor de doorsnede. De doorsnede van een verzameling en haar complement is leeg.. A A c = Bewijs. A A c = {x x A x A c } = {x f alse} = Stelling De eerste wet van De Morgan. (A B) c = A c B c

9 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 8 Bewijs. (A B) c = {x x (A B)} = {x (x A x B)} = {x (x A) (x B)} = A c B c Stelling De tweede wet van De Morgan. (A B) c = A c B c Bewijs. (A B) c = {x x (A B)} = {x (x A x B)} = {x (x A) (x B)} = A c B c Verschil Definitie Het verschil van een verzameling A met een andere verzameling B is de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten. A \ B = {x x A x B} Propositie Voor twee verzamelingen A en B geldt dat zowel de doorsnede als de verschillen onderling disjunct zijn. (1) (A B) (A \ B) = (2) (A \ B) (B \ A) = (3) (B \ A) (A B) = Bewijs. Bewijs elk deel afzonderlijk: (A B) (A \ B) = {x x A x B} {x x A x B} = {x (x A x B) (x A x B)} = {x (x B) (x B)} = {x f alse} = (A \ B) (B \ A) = {x x A x B} {x x B x A} = {x (x A x B) (x B x A)} = {x f alse} = (B \ A) (A B) = {x x B x A} {x x A x B} = {x (x B x A) (x A x B)} = {x (x A) (x A)} = {x f alse} =

10 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 9 Stelling Het verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de doorsnede met het complement. A \ B = A B c Bewijs. A \ B = {x x A x B} = {x x A} {x x B} = A B c Definitie Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling van alle elementen die in precies één van de twee verzamelingen zit. A B = {x (x A x B) (x B x A)} Stelling Het symmetrisch verschil van twee verzamelingen kan worden herschreven als de unie van de twee verschillen Machtsverzameling A B = A B = A B = A B = (A \ B) (B \ A) Definitie De machtsverzameling P(A) is de verzameling van alle deelverzamelingen van een verzameling A. P(A) = {S S A} Definitie Een partitie P van een verzameling X is een deelverzameling van de machtsverzameling P(x) van X met de volgende eigenschappen: De verzamelingen zijn niet leeg. De verzamelingen zijn onderling disjunct. De verzamelingen samen vormen X. A P : A A,B P : A B A B = x X : A P : x A 1.3 Koppels en het carthesisch product Definitie Een geordend paar of een koppel zijn twee elementen die in een bepaalde volgorde samen horen. (a,b) Definitie De gelijkheid tussen koppels is zo gedifineerd dat de overeenkomstige elemen-

11 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 10 ten gelijk zijn. (a,b) = (c,d) (a = c b = c) Definitie Het carthesisch product A B van twee verzamelingen A en B is de verzameling der koppels (x,y) met x A en y B A B = {(x,y) x A y B} Stelling Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de unie. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = {(x,y) x A y (B C)} = {(x,y) x A (y B y C)} = {(x,y) (x A y B) (x A y C)} = {(x,y) (x A y B)} {(x,y) (x A y C)} = (A B) (A C) Stelling Het carthesisch product is distributief ten opzichte van de doorsnede. Bewijs. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = {(x,y) x A y (B C)} = {(x,y) x A (y B y C)} = {(x,y) (x A y B) (x A y C)} = {(x,y) (x A y B)} {(x,y) (x A y C)} = (A B) (A C) Stelling Zij A, B, C en D verzamelingen, dan geldt volgende gelijkheid. Bewijs. (A B) (C D) = (A C) (B D) (A B) (C D) = {(x,y) x A y B} {(x,y) x C y D} = {(x,y) x A y B x C y D} = {(x,y) x A x C y B y D} = {x x A x C} {y y B y D} = (A C) (B D) Definitie Het carthesisch product van een verzameling A met zichzelf wordt wel eens als A 2 genoteerd. A 2 = A A

12 HOOFDSTUK 1. VERZAMELINGEN 11 Definitie Een n-koppel of n-tal zijn n elementen die in een bepaalde volgorde voorkomen. (a 1,a 2,...,a n ) Definitie Het n-voudig Carthesis product tussen n verzamelingen is de verzameling van alle n-tallen over die verzamelingen. A 1 A 2... A n = {(a 1,a 2,...,a n ) a i A i } Definitie Het n-voudig Carthesis product van een verzameling A met zichzelf wordt als A n genoteerd. A n = A A... A

13 Hoofdstuk 2 Relaties Definitie 2.1. Een (binaire) relatie R is een verzameling koppels (x,y), respectievelijk van een verzameling X en Y. Wanneer (x,y) een koppel is in R noteren we xry. R X Y Vaak worden X en Y opgenomen in de identiteit van de relatie om over surjecties te kunnen spreken. Definitie 2.2. De eenheidsrelatie I X op een verzameling X is de volgende verzameling: {(x,x) X X x X } Definitie 2.3. De inverse R 1 van een relatie R is de volgende relatie: R 1 = { (x,y) (y,x) R } Stelling 2.4. De inverse van de inverse van een relatie is opnieuw de originele verzameling. R 1 1 = R 2.1 Samenstelling van relaties Definitie 2.5. De samenstelling S R van twee relaties R en S (lees: S na R ) is de volgende relatie. { (x,y) ( z)((x,z) R (z,y) S) } Stelling 2.6. De samenstelling van relaties is associatief. (T S) R = T (S R) 12

14 HOOFDSTUK 2. RELATIES 13 Stelling 2.7. De inverse van een relatie nemen is distributief ten opzichte van de samenstelling van relaties. (S R) 1 = R 1 S 1 Definitie 2.8. Zij R een relatie. Het domein (domain) is als volgt gedefinieerd. domr = { x ( y)(x,y) R } Definitie 2.9. Zij R een relatie. Het beeld (range) is als volgt gedefinieerd. bldr = ranr = { y ( x)(x,y) R } Stelling Het domein van een relatie is het beeld van zijn inverse. domr = bldr 1 Stelling Het beeld van een relatie is het domein van zijn inverse. bldr = domr 1 Stelling Domein na samenstelling: dom(r S) doms Stelling Beeld na samenstelling: bld(r S) bldr Stelling Domein na samenstelling (2): blds domr dom(r S) = doms

15 HOOFDSTUK 2. RELATIES 14 Definitie Een n-aire relatie is, analoog aan een binaire relatie, een verzameling n-tallen. 2.2 Equivalentierelaties Definitie Een relatie R op X X is reflexief wanneer voor alle x X xrx geldt. x X : (x,x) R Definitie Een relatie R op X X is symmetrisch wanneer voor alle x,y X xry yrx geldt. x,y X : (x,y) R (y,x) R Definitie Een relatie R op X X is transitief wanneer voor alle x,y,z X (xry yrz) xrz geldt. x,y,z X : ((x,y) R (y,z) R) (x,z) R Definitie Een equivalentierelatie R is een relatie die reflexief, symmetrisch en transitief is Equivalentieklassen Definitie Zij een equivalentierelatie op X en zij x X. De equivalentieklasse van x is de verzameling van elk element dat equivalent is met x. [x] = {y X x y} Definitie De quotientverzameling van X ten opzichte van een equivalentierelatie is de verzameling van alle equivalentieklassen. X/ = {[x] x X } Stelling Zij een equivalentierelatie op X, dan is elk element van X een element van diens equivalentieklasse. x X : x [x] Bewijs. Zij x een willekeurig element van X, dan geldt x x vanwege de reflexiviteit van een equivalentierelatie. 1 Stelling Zij een equivalentierelatie op X. 1 Zie definitie 2.19 en x,y X : y [x] [y] = [x]

16 HOOFDSTUK 2. RELATIES 15 Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Kies een willekeurige y in de equivalentieklasse van x. y x Kies een willekeurige z [y]. x y geldt alsook y z bijgevolg geldt x z. 2 [y] is dus een deelverzameling van [x]. [y] [x] De omgekeerde richting is analoog. 3 [x] [y] Stel [y] = [x], nu geldt y [y] 4 en bijgevolg y [x]. Stelling De quotientverzameling X/ van een equivalentierelatie op verzameling X is een partitie van X. Bewijs. We gaan de voorwaarden uit de definitie van een partitie na. 5 Een element [x] van A bevat steeds een element x en is dus niet leeg. Stel dat er twee verschillend elementen [x] en [y] zijn van X/ die niet onderling disjunct zijn, dan bestaat er een element z dat in zowel [x] als [y] zit. Nu geldt zowel [z] = [x] als [z] = [y]. 6 Tenslotte geldt [x] = [y]. Contradictie. Voor elk element x X zit de equivalentieklasse in A. A overdekt dus minstens X. Stelling Zij P een partitie van X. De volgende verzameling vormt dan een equivalentierelatie op X. x y ( A P : x A y A) Bewijs. We definieren een relatie als volgt: x y x en y zitten in dezelfde deelverzameling van P Dat deze relatie een equivalentierelatie is volgt meteen uit het feit dat dezelfde als ook een equivalentierelatie is. 2.3 Orderelaties Definitie Een relatie R op een verzameling X X is anti-symmetrisch als het volgende geldt: x,y X : ((x,y) R (y,x) R) x = y 2 Zie definitie 2.19 en Zie definitie 2.19 en Zie stelling Zie definitie Zie stelling 2.23.

17 HOOFDSTUK 2. RELATIES 16 Definitie Een (partiële) orderelatie op X is reflexief, transitief en anti-symmetrisch. Definitie Een grootste element a van een verzameling A waarop een orderelatie is gedefinieerd is, is het element waarvoor geldt dan alle andere elementen kleiner zijn of gelijk aan a. x A : x a Analoog wordt ook een kleinste element gedefinieerd. Definitie Een maximaal element a van A waarop een orderelatie is gedefinieerd is, is het element waarvoor geldt dat er geen kleiner bestaat. x A : a x Analoog wordt ook een minimaal element gedefinieerd. Opmerking Een maximaal/minimaal element is niet noodzakelijk een grootste/kleinste element. Definitie Zij (X,preceq) een geordende verzameling en A X. b X is een bovengrens van A als het volgende geldt. x A : x b Analoog wordt een ondergrens gedefinieerd. Opmerking Een grens van een ordeverzameling hoeft dus niet in die verzameling te zitten. Definitie Een supremum(infimum) van een deelverzameling van een geordende verzameling is een bovengrens(ondergrens) die kleiner(groter) is dan elke andere bovengrens(ondergrens). Opmerking Een supremum/infimum is een grens van een ordeverzameling en hoeft dus niet in die verzameling te zitten. Stelling Zij A een partieel geordende verzameling met orderelatie. Het kleinste/grootste element element van A is uniek als het bestaat. Stelling Zij A een partieel geordende verzameling met orderelatie. Het supremum/infimum van A is uniek als het bestaat.

18 HOOFDSTUK 2. RELATIES 17 Definitie Een totale orderelatie is een partiele orderelatie met bijkomend de volgende eigenschap: x,y X : x y y x Voor elke twee elementen zijn er dus precies drie mogelijkheden: x y x = y y x Definitie Zij A een verzameling die volledig geordend is door de relatie, dan noemen we succ de successorfunctie als die gedefinieerd kan worden. succ(x) = y x < y ( z A : x < z < y Opmerking De successorfunctie kan niet altijd gedefinieerd worden. Denk bijvoorbeeld aan de volgende volledige orderelatie over Z: : Z Z : x y x y

19 Hoofdstuk 3 Functies en afbeeldingen Opmerking 3.1. Na dit hoofdstuk en in andere lectuur wordt met functie vaak volledige functie bedoelt, en wordt er dus geen onderscheid meer gemaakt tussen een functie en een afbeelding. Definitie 3.2. Een (partiele) functie f van A naar B: f : A B is een relatie tussen A en B die 1-waardig is. 1. f A B (f is een relatie van A naar B.) 2. (x,y 1 ) f (x,y 2 ) f y 1 = y 2 (f is 1-waardig.) Vaak worden A en B opgenomen in de definitie van een functie om over surjecties te kunnen spreken. Een functie f : A B is dan het drietal ( f,a,b). Definitie 3.3. De definitie van een functie ziet er als volgt uit: f : A B : a b Hier noemen we B het codomein van f en er geldt dom f A. We lezen: f is een functie van A naar B die a afbeeldt op b. Definitie 3.4. Wanneer er geen koppel (x,y) in f bestaat zeggen we dat de functie f ongedefinieerd is in x. Definitie 3.5. Wanneer we over functies spreken gebruiken we soms de volgende afkorting. Zij f een functie f : A B en C A een verzameling. f (C) = {f (c) c C} Definitie 3.6. Zij f een functie: f : A B. In y = f (x) noemen we x het argument en y het beeld van x onder f. 18

20 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 19 Definitie 3.7. Het beeld f (A) van een verzameling A onder een functie f is de verzameling van alle beelden van de elementen van A. f (A) = {y Y x A : f (x) = y} Definitie 3.8. Het invers beeld f 1 (A) van een verzameling B onder een functie f is de verzameling van alle elementen uit X die op een element in B afgebeeldt worden. f 1 (B) = {x X f (x) B} Definitie 3.9. Een afbeelding (of volledige functie) f van A naar B: f : A B is een functie die overal gedefiniëerd is. x A, y B : (x,y) f Definitie De definitie van een afbeelding ziet er als volgt uit: f : A B : a b Hier noemen we B het codomein van f en A het domein van f. We lezen: f is een functie afbeelding van A op B die a afbeeldt op b. Definitie Wanneer we over afbeeldingen spreken noteren we vaak f (x) = y in plaats van x f y of (x,y) f. Stelling Zij f en д functies van A naar B: f : A B, dan geldt: Bewijs. Bewijs van een equivalentie. x A : f = д f (x) = д(x) Als de verzamelingen f en д gelijk zijn is het beeld van elke x inderdaad hetzelfde onder f als onder д. Geldt er voor koppel (x,y 1 ) f en (x,y 2 ) dat y 1 gelijk is aan y 2, dan moeten f en д wel dezelfde verzameling zij. Definitie Zij f : A A een functie van A naar zichzelf. We noemen x een vast punt van f als f x op zichzelf afbeeldt. f (x) = x

21 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 20 Definitie Zij f : A A een functie van A naar zichzelf. We noemen een deelverzameling X van A een invariante of stabiele deelverzameling voor f als f X op een deelverzameling van zichzelf afbeeldt. f (X ) X 3.1 Jecties Opmerking De jecties worden soms enkel gedefinieerd voor afbeeldingen, maar ze kunnen al over relaties gedefinieerd worden. Definitie Een afbeelding f : A B is injectief (een injectie) als ze voor verschillende argumenten nooit hetzelfde beeld geeft. x 1,x 2 A : f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 Definitie Een afbeelding f : A B is surjectief (een surjectie) als elk element in het codomein B een beeld is van een element uit A. y B : x A : y = f (x) Definitie Een afbeelding f : A B is bijectief (een bijectie) als het een injectie en een surjectie is. Definitie We noemen twee verzamelingen X en Y equipotent als er een bijectie f : X Y bestaat. Definitie Een afbeelding f : A A van een verzameling op zichzelf noemen we een transformatie. 3.2 Speciale afbeeldingen Definitie Een bijectieve functie van een eindige verzameling A naar een eindige verzameling B noemen we een substitutie. Definitie De identieke transformatie id A van een verzameling A is de (bijectieve) afbeelding die elk element op zichzelf afbeeldt. id A : A A met x A : f (x) = x

22 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 21 Definitie De inlassing i AB van A in B met A B beeldt elk element ook op zichzelf af, maar heeft een ander codomein. i AB : A B met x A : f (x) = x Definitie Een constante afbeelding f beeldt elk argument af op éénzelfde beeld b. f : A B met x domf : f (x) = b Definitie De karacteristieke afbeelding van A in C is gedefinieerd voor A C in B = {0,1} als volgt: { } x 1 als x A E A : C B : x 0 als x A Definitie De beperking f C van f tot C is gedefinieerd voor f : A B en C A als volgt: f C : C B : x f (x), x C Een functie, beperkt tot haar domein is een afbeelding. Stelling Zij f : A B en д : B C twee afbeeldingen, dan is de samenstelling д f ervan ook een afbeelding. Bewijs. Inderdaad, z = (д f )(x) = д(f (x)) en zowel f (x) en д(f (x)) zijn goed gedefinieerd omdat f en д afbeeldingen zijn. Stelling Zij f en д injecties, dan is hun samenstelling д f ook een injectie. Stelling Zij f en д surjectie, dan is hun samenstelling д f ook een surjectie. Stelling Zij f en д bijectie, dan is hun samenstelling д f ook een bijectie. Definitie Assymetrische inversen De linker inverse д : B A van een afbeelding f : A B is een afbeelding zodat het volgende geldt: д f = I A De rechter inverse д : B A van een afbeelding f : A B is een afbeelding zodat het volgende geldt: f д = I B

23 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 22 Definitie De (algemene) inverse д : B A van een afbeelding f afbeelding die zowel de linker- als rechter inverse is van f. : A B is een Definitie Een afbeelding f : A B is inverteerbaar als en slechts als f 1 : B A ook een afbeelding is. f 1 noemen we dan de inverse afbeelding. Stelling Een afbeelding is inverteerbaar als en slechts als ze bijectief is. Stelling De samenstelling van een inverteerbare afbeelding en haar inverse is de identieke transformatie. Stelling Ontbindingsstelling voor afbeeldingen Iedere afbeelding f : A B valt te schrijven als een samenstelling: p: de projectie van f op A/R f. b: een bijectie tussen A/R f en f (A), i: de inlassing van f (A) in B, f = i b p 3.3 Permutaties Definitie Een transpositie is een permutatie die elementen verwisselt en de rest op zichzelf afbeeldt. Het is met andere woorden een cykel van lengte 2. Definitie Een bijectieve afbeelding van een eindige verzameling naar zichzelf noemen we een permutatie. Stelling Een permutatie is een samenstelling van transposities. zie p 15 Definitie We noemen de verzameling van permutaties van n elementen S n.

24 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 23 Definitie We noteren het voorschrift van een permutatie σ : A A van een verzameling A = a 1,...,a n soms als volgt: ( ) a1... a σ = n σ (a 1 )... σ (a n ) Dit heet de twee-lijnen notatie van Cauchy. Definitie We kunnen een permutatie van {1,...,n} eenvoudig noteren als volgt: Zij i 1,...,i r elementen uit {1,...,n}. σ = (i 1 i 2... i r ) Bovenstaande gelijkheid is de notatie voor σ, zijnde de volgende permutatie: Dit heet de cykelnotatie. σ (i i ) = i (i+1)mod r Definitie Twee cykels zijn disjunct als ze geen gemeenschappelijke symbolen hebben. Stelling Elke permutatie in S n, verschillend van de identieke, is de samenstelling van twee aan twee disjuncte cykels. zie p 14 Definitie Zij π : A A een permutatie en i en j twee elementen van A met i < j. We zeggen dat i en j geinverteerd worden door π als het volgende geldt: π (i) > π (j) Definitie Het aantal inversies van een permutatie π tellen we als volgt: { 0 als π (i) < π (j) ϕ(i,j) = 1 als π (i) < π (j) I (π ) = 1 i<j n ϕ(i, j) Het teken van de permutatie π noteren we als siдn(π ) en is ofwel 1 ofwel 1. Eigenschap Zij π en ρ permutaties. siдn(π ) = ( 1) I (π ) siдn(π ρ) = siдn(π )siдn(ρ) Bewijs. siдn(π )siдn(ρ) = ( 1) I (π ) ( 1) I (ρ) = ( 1) I (π ρ) = siдn(π ρ)

25 HOOFDSTUK 3. FUNCTIES EN AFBEELDINGEN 24 Definitie We noemen een permutatie even/oneven als het aantal inversies even/oneven is. Definitie We noemen een cykel van r elementen even/oneven als r even/oneven is. Definitie We noemen de verzameling van even permutaties van n elementen A n. Stelling Een transpositie is steeds oneven. Bewijs. Een transpositie inverteert precies één element. Stelling Een permutatie in disjuncte cykelnotatie is even als en slechts als het aantal even cykels even is.

26 Hoofdstuk 4 Kardinaliteit Definitie 4.1. Definieer E n als de verzameling met de n eerste elementen uit N. E n = {i N 1 i n} Definitie 4.2. Zij X een verzameling. We zeggen dat n de kardinaliteit is van X als er een bijectie bestaat tussen X en E n. X = #X = n Definitie 4.3. Een verzameling is aftelbaar oneindig als X equipotent is met N 0. X = ℵ 0 Definitie 4.4. We noemen een verzameling aftelbaar als ze eindig of aftelbaar oneindig is. Definitie 4.5. Een verzameling is overaftelbaar als ze nie aftelbaar is. 25

27 Hoofdstuk 5 Deelbaarheid Definitie 5.1. Zij x, y elementen van Z, dan is x een deler van y als er een q in Z bestaat zodat y = qz geldt. x y q Z : y = zq Eigenschap 5.2. De relatie op Z is transitief. Eigenschap 5.3. d,a,b,x,y Z : (d x) (d y) d (ax + by) Eigenschap 5.4. x,y Z : (x y) (y x) x = y Eigenschap 5.5. x Z, y Z 0 : x y x y Definitie 5.6. Zij a 1,...,a n Z 0. De grootste gemene deler d van a 1,...,a n is de het grootste getal d N waarvoor het volgende geldt: Definieer bovendien ддd(0,0,...,0) = 0. d = ддd(a 1,...,a n ) d a 1 d a n Definitie 5.7. Zij a 1,...,a n Z 0. a 1,...,a n zijn relatief priem of onderling ondeelbaar als ддd(a 1,...,a n ) = 1 geldt. Stelling 5.8. Euclidische deling Voor elke a Z en elke b N, bestaat er een unieke q Z en een unieke r Z zodat het volgende geldt: a = bq + r met r r < b 26

28 HOOFDSTUK 5. DEELBAARHEID 27 We noemen q het quotient en r de rest. We duiden r bovendien aan als r = a mod b = a%b. Stelling 5.9. Zij x en y gehele getallen en n N 0. (x + y) mod n = ((x mod n) + (y mod n)) mod n Stelling Zij x en y gehele getallen en n N 0. TODO: algoritme van euler (x y) mod n = ((x mod n) (y mod n)) mod n Stelling Bézout-Bachet Zij a en b elementen van Z dan bestaan er α en β in Z zodat het volgende geldt. ддd(a,b) = αa + βb Stelling Zij a,b,c Z c ab дdd(a,c) = 1 c b Stelling Zij a,b,c Z Stelling Zij a,b,c Z a b b c d = ддd(a,b) ab d c ддd(a,bc) ддd(a,b) ддd(a,c) Stelling Chinese reststelling Zij n 1,...,n r N 0 met ддd(n i,n j ) = 1 voor alle i j. Voor alle a 1,...,a r Z bestaat er een x Z zodat het volgende geldt: x mod n 1 = a 1 mod n 1. x mod n r = a 1 mod n r Bovendien geldt dat als x 0 Z een oplossing is van bovenstaand stelsel, dan wordt de oplossingsverzameling in Z de volgende: {x 0 + (n 1 n 2... n r )k k r } = {x Z x mod (n 1 n 2... n r ) = x 0 mod (n 1 n 2... n r )}

29 HOOFDSTUK 5. DEELBAARHEID 28 Stelling kдv(a,b) = ab дcd(a,b) en definieer kgv Definitie Een priemgetal is een natuurlijk getal p > 1 dat alleen deelbaar is door ±1 en ±p. Stelling Zij p een priemgetal en a,b Z zodat p ab, dan geldt p a of p b. p ab p a p b Stelling De unieke priemfactorisatie Elk natuurlijk getal n > 1 kan geschreven worden als een product van priemgetallen. Deze ontbinding is uniek op de volgorde van de factoren na. Definitie Zij p een priemgetal en a Z 0. De p orde ord p (a) van a is de grootste exponent a N zodat p a a. We definieren bovendien ord p (0) = +. Stelling Stelling van euclides Er bestaan oneindig veel priemgetallen.

30 Hoofdstuk 6 Samenstellingswetten 6.1 Inwendige bewerking Definitie 6.1. Een (inwendige) samenstellingswet of bewerking onder de elementen van een verzameling A is een partiele functie: : A A A : (x,y) ((x,y)) De enige voorwaarde voor een bewerking is dat ze intern is. Met andere woorden: x,y A : ((x,y)) A Vaker dan de functienotatie gebruiken we de infixnotatie: x y ((x,y), ((x,y))) Definitie 6.2. We noemen een bewerking overal bepaald als het een afbeelding is. Definitie 6.3. Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. We noemen een deelverzameling B A stabiel of gesloten onder als de bewerking intern is binnen B. x,y B A : x y B Definitie 6.4. associativiteit We noemen een bewerking : A A A associatief als de haakjes niet uit maken. x,y,z A : x (y z) = (x y) z Definitie 6.5. commutativiteit We noemen een bewerking : A A A associatief als de volgorde van de argumenten niet 29

31 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 30 uit maakt. x,y A : x y y x Definitie 6.6. Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. We noemen e A het neutraal element van in A als de volgende gelijkheden gelden. a A : a e = e = e a Stelling 6.7. Als er een neutraal element e bestaat voor een bewerking in een verzameling A is dat neutraal element uniek. Bewijs. Bewijs uit het ongerijmde Stel dat er twee verschillende neutrale elementen e 1 en e 2 bestaan, dan gelden volgende gelijkheden: e 2 e 1 = e 1 = e 1 e 2 e 1 e 2 = e 2 = e 2 e 1 Bijgevolg zijn deze neutrale elementen gelijk. Contradictie. Definitie 6.8. Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A. Zij l een element van A. l is links-regulier of links-schrapbaar als het links geschrapt kan worden. x,y A : l x = l y x = y r is rechts-regulier of rechts-schrapbaar als het rechtse geschrapt kan worden. x,y A : x r = y r x = y Een element is regulier of schrapbaar als het zowel links- als rechts-regulier is. Opmerking 6.9. Als een element links/rechts schrapbaar is, is de afbeelding x l x / x x r een injectie. Het schrappen van dat element is dan de linker/linker inverse afbeelding van deze afbeelding. Definitie Zij : A A A een bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. We noemen een element x A symmetriseerbaar voor alls het volgende geldt: y A : (x y = e) (y x = e) y is dan het symmetrisch element van x voor in A. y = sym(x) Stelling Zij : A A A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. Voor elk element x A geldt dat het symmtrisch element uniek is als het bestaat.! y : y = sym(x)

32 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 31 Stelling Zij : A A A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. Elk symmetrisch element is schrapbaar. y : y = sym(x) ( a,b A : (a x = b x a = b) (x a = x b a = b)) Stelling Zij : A A A een associatieve bewerking gedefinieerd op een verzameling A met een neutraal element e. x,y A : sym(x y) = sym(x) sym(y) Definitie De multiplicatieve notatie biedt afkortingen wanneer we de notatie of gebruiken voor de notatie van een bewerking. Multiplicatieve notatie wordt meestal gebruikt als de bewerking associatief is maar niet noodzakelijk commutatief. x 1 voor het symmetrisch element van x. x 0 of 1 voor het neutraal element e. x n = x x... x als n > 0 x n = x 1 x 1... x 1 als n < 0 Definitie De additieve notatie biedt afkortingen wanneer we de notatie + gebruiken voor de notatie van een bewerking. Additieve notatie wordt meestal gebruikt als de bewerking zowel associatief als commutatief is. x voor het symmetrisch element van x. 0 voor het neutraal element e. nx = x x... x als n > 0 nx = ( x) ( x)... ( x) als n < 0 a ( b) = a b Definitie Zij en twee bewerkingen op A. is links-distributief ten opzichte van als en slechts als volgende bewering geldt: x,y,z A : x (y z) = (x y) (x z) is rechts-distributief ten opzichte van als en slechts als volgende bewering geldt: x,y,z A : (x y) z = (x z) (y z) is zonder meer distributief als de bewerking zowel links- als rechts-distributief is.

33 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN Uitwendige bewerking Definitie Een (uitwendige) samenstellingswet of bewerking tussen elementen van een verzameling Ω en elementin van eenverzameling A is een partiele functie. : Ω A A : (x,y) (x,y)) Vaker dan de functienotatie gebruiken we de infixnotatie: x y ((x,y), ((x,y))) Definitie Zij : Ω A A een uitwendige bewerking. We noemen een deelverzameling B A stabiel of gesloten onder als de bewerking intern is binnen B voor alle elementen van Ω. x B A, y A : x y B Definitie Zij een inwendige en een uitwendige bewerking voor A, dan noemen we distributief ten opzichte van als het volgende geldt: α Ω, x,y A : α (x y) = (α x) (α y) Definitie Zij een inwendige en een uitwendige bewerking voor A, dan noemen we associatief ten opzichte van als het volgende geldt: α,β Ω, x A : (α β) x = α (β x) Definitie Zij 1 en 2 bewerkingen voor twee respectievelijke verzamelingen A 1 en A 2. De productbewerking is als volgt gedefinieedr: x 1,y 1 A 1, y 2,x 2 A 2 : (x 1,x 2 ) (y 1,y 2 ) = (x 1 1 y 1,x 2 2 y 2 ) Opmerking De definitie van de productbewerking kan uitgebreid worden naar n-tallen. Definitie Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie. We noemen rechts-verenigbaar met als het volgende geldt: x,y,a A : x y (x a) (y a) We noemen links-verenigbaar met als het volgende geldt: x,y,a A : x y (a x) (a y)

34 HOOFDSTUK 6. SAMENSTELLINGSWETTEN 33 We noemen zonder meer verenigbaar met als zowel links- als rechts-verenigbaar is met. Definitie Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. is de quotientbewerking voor door B: : A/R A/R A/R : ( x, y ) x y = x y Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. De quotientbewerking voor door B is wel degelijk een inwendige bewerking. Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Als de quotientbewerking associatief is, dan is associatief. Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Als de quotientbewerking commutatief is, dan is commutatief. Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Als de equivalentieklasse e van een element het neutraal element is van, dan is e het neutraal element van. Stelling Zij A een verzameling met een inwendige bewerking en een equivalentierelatie die verenigbaar is met. Voor elk element x van A geldt als y het symmetrisch element is van x in A, dat x dan het symmetrisch element is van y is in A/R.

35 Hoofdstuk 7 Algebras Definitie 7.1. Een algebraïsche structuur of algebra is een verzameling A waarop een aantal inwendige (en eventueel een aantal uitwendige) bewerkingen gedefinieerd zijn. A, 1,dotsc, m, 1,..., n Definitie 7.2. Een algebra B is een deelalgebra of subalgebra van een algebra A als volgende beweringen gelden: B A: B is een deelverzameling van A. Op B zijn dezelfde bewerkingen gedefineerd. B is stabiel voor de interne bewerkingen van A. Definitie 7.3. Zij A een algebra en een equivalentierelatie verenigbaar met de bewerkingen van A, dan vormt de quotientverzameling A/R voorzien van de quotientbewerking de quotientalgebra van A door R. 7.1 Morfismen Definitie 7.4. Twee algebras A en B zijn homoloog als volgende beweringen gelden: Met iedere inwendige bewerking op A komt een inwendige bewerking op B overeen. Met iedere uitwendige bewerking op A komt een uitwendige bewerking op B overeen. De operatorengebieden voor A zijn dezelfde als de operatorengebieden voor B. Definitie 7.5. Zij A,,...,,... en B,,...,,... twee homologe algebras. Een homomorfisme tussen A en B is een afbeelding f met de volgende eigenschappen: 34

36 HOOFDSTUK 7. ALGEBRAS 35 Voor elke inwendige bewerking: x,y A : f (x y) = f (x) f (y) Voor elke uitwendige bewerking: x A, α Ω : f (α x) = α f (x) Definitie 7.6. Een bijectief homomorfisme is een isomorfisme. A is isomorf met B noteren we als volgt: G H Definitie 7.7. Een homomorfisme van een algebra met zichzelf is een endomorfisme. Definitie 7.8. Een isomorfisme van een algebra met zichzelf is een automorfisme.

37 Hoofdstuk 8 Groepen 8.1 Basisbegrippen De groep Definitie 8.1. Een halfgroep G, is een algebra a die bestaat uit een (niet-lege) verzameling G en een afbeelding (De bewerking). De bewerking is associatief. a Zie definitie 7.1. : G G : (x,y) x y Definitie 8.2. Een monoïde is een halfgroep G, met een neutraal element e G. TODO: cyclische monoïde Definitie 8.3. Een groep G, is een monoïde waarin elk element symmetriseerbaar is. x G, x G : x x = e = x x Stelling 8.4. De inverse x 1 van een element x van een groep G is uniek. Bewijs. Bewijs uit het ongerijmde. Stel dat er twee verschillende inversen y en z zijn van x in G. y = y e G = y (x z) = (y x) z = e G z = z De derde gelijkheid geldt omdat de bewerkin associatief is. 1 De vierde gelijkheid geldt omdat het neutraal element van een groep uniek is. 2 1 Zie de definitie van een groep (Definitie 8.3). 2 Zie stelling

38 HOOFDSTUK 8. GROEPEN 37 Definitie 8.5. Een commutatieve groep of abelse groep G, is een groep waarbij de bewerking commutatief is. x,y G : x y = y x Definitie 8.6. Zij G, een groep en H een (niet-lege) deelverzameling van G. We noemen H een deelgroep van G als H zelf ook een groep is met dezelfde bewerking. Met andere woorden: Een deelgroep is een deelalgebra die ook een groep is. Stelling 8.7. Zij H een deelgroep van G,, dan is e G ook het neutraal element van H. Bewijs. Noem e G het neutraal element van G, en e h dat van H,. Noem het invers van een element x in G x 1 en het invers van x in H x. e H e H = e H e G eh 1 (e H e H ) = eh 1 (e H e G ) (eh 1 e H ) e H = (eh 1 e H ) e G e G e H = e G e G e H = e G Stelling 8.8. Zij H een deelgroep van G,, dan is elk invers element x 1 van een element x in H ook het invers element van x in G. Bewijs. Noem e G het neutraal element van G, en e h dat van H,. Noem het invers van een element x in G x 1 en het invers van x in H x. x x = e H = e G = x x 1 x = x 1 Stelling 8.9. Het criterium van een deelgroep. Zij G, een groep, en H een deelverzameling van G. H is een deelgroep van G als en slechts als aan de volgende voorwaarden voldaan is. 1. e G H 2. x,y H : x y H 3. x H : x 1 H Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Als H een deelgroep is van G, dan gelden de voorwaarden al omdat H zelf een groep is. 3 Stel dat de voorwaarden voldaan zijn. Vanwege voorwaarde twee is de beperking van tot H alvast een interne bewerking in H. 3 Zie bovendien stelling 8.7. : H H H : (x,y) x y

39 HOOFDSTUK 8. GROEPEN 38 associativiteit Deze bewerking is associatief in G, dus ook in H. Neutraal element Vanwege de eerste voorwaarde is e G ook een neutraal element van H. Inverse Elk element x in H heeft bovendien ook een invers in H volgens de derde voorwaarde. Stelling alternatieve criteria. We kunnen in het vorige criterium de volgende aanpassingen maken. Vervang de eerste voorwaarde door voorwaarde 1 : H Vervang de tweede en derde voorwaarde samen door voorwaarde 4: x,y H : x y 1 H Bewijs. We bewijzen dat de voorwaarden die we vervangen equivalent zijn. e G H H. Als e G een element is van H, is H natuurlijk niet leeg. Als H niet leeg is, bestaat er een element x in H. Vanwege de derde voorwaarde zit de inverse van dat element ook in H. Vanwege de tweede voorwaarde zit x x 1 = e G ook in H. ( x,y H : x y H ) ( x H : x 1 H ) x,y H : x y 1 H Als voorwaarde 2 en 3 gelden is het duidelijk dat voorwaarde 4 geldt. Als voorwaarde 4 geldt, kies dan e G voor x in voorwaarde 4 om voorwaarde 3 te bekomen. y H : e G y 1 = y 1 H Kies nu de inverse z 1 van een willekeurig element x in H voor y in voorwaarde 4 om voorwaarde 2 te bekomen. x,z H : x (z 1 ) 1 = x z H Stelling Zij G een verzamelinge met een bewerking die voldoet aan de volgende voorwaarden. is associatief er bestaat een e in G waarvoor geldt x G : x e = x voor elk element e dat voldoet aan de vorige voorwaarde: G, is dan een groep. x G, y G : x y = e

40 HOOFDSTUK 8. GROEPEN 39 Bewijs. Om te bewijzen dat G, een groep is, moeten we nog bewijzen dat er een neutraal element bestaat in G en dat elk element een inverse heeft in G. TODO: voor doorbijters: Bewijs Stelling Zij G, een groep waarop een equivalentierelatie is gedefinieerd, dan is de verzameling van alle elementen equivalent met het neutraal element als links-(of rechts-)verenigbaar is met. p 106 tai Morfismen Definitie Zij G, en H, groepen. Een (groeps)(homo)morfisme f is een morfisme a tussen twee groepen G, en H,. a Zie definitie 7.5. x,y G : f (x y) = f (x)f (y) Definitie Zij f : G H een groepsmorfisme. De kern Ker f wordt gedefinieerd als volgt. Ker f = {x G f (x) = e H } Definitie Zij f : G H een groepsmorfisme. Het beeld Im f wordt gedefinieerd als volgt. Imf = f (G) = {f (u) u G} Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. e H = f (e G ) Bewijs. Beschouw de neutrale elementen e G en e H in de groepen. Begin bij de definite van een groepsmorfisme. 4 f (e G e G ) = f (e G ) f (e G ) e G is het neutraal element in G. e G e G is dus opnieuw G. f (e G ) = f (e G ) f (e G ) Voeg links e H toe. Dit mag omdat e H het neutraal element is in H. f (e G ) e H = f (e G ) f (e G ) Schrap tenslotte f (e G ) aan beide kanten. e H = f (e G ) 4 Zie definitie 8.13.

41 HOOFDSTUK 8. GROEPEN 40 Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. x G : f (x 1 ) = (f (x)) 1 Bewijs. Kies een willekeurig element x in G. Nu geldt het volgende: f (x) f (x 1 ) = f (x x 1 ) = f (e G ) = e H De eerste gelijkheid is precies de definitie van een groepsmorfisme. 5 De tweede gelijkheid volgt uit de definitie van de inverse van een element van een groep. 6 De laatste gelijkheid geldt omdat een groepsmorfisme het neutraal element behoudt. 7 Wat we bekomen is de definitie van het neutraal element f (x 1 ) van f (x). Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. Im(f ) is een deelgroep van H Bewijs. We bewijzen elke voorwaarde uit het criterium voor deelgroepen. 1. e H Im(f ) Inderdaad! 8 2. x,y Im(f ) : xy Im(f ) Kies twee elementen f (x) en f (y) in Im(f ), nu bestaan er dus twee elementen x en y in G. In G is de bewerking intern. 9. Kijk nu naar de definitie van een groepsmorfisme. 10 f (x)f (y) is dus een element van Im( f ). f (x y) = f (x)f (y) 3. x Im(f ) : x 1 Im(f ) Kies een element f (x) in Im(f ), er bestaat er dus een element x in G. Nu is de inverse van f (x) precies f (x 1 ). 11 Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. Ker (f ) is een deelgroep van G Bewijs. We bewijzen elke voorwaarde uit het criterium voor deelgroepen. 1. e H Ker (f ) Inderdaad! 12 5 Zie definitie Zie definitie 8.3 puntje 3. 7 Zie stelling Zie stelling Zie definitie Zie definitie Zie stelling Zie stelling 8.16.

42 HOOFDSTUK 8. GROEPEN x,y Ker (f ) : x y Ker (f ) Kies twee willekeurige elementen x en y in de kern Ker ( f ) van f. Nu geldt het volgende. f (x y) = f (x)f (y) = e H e H = e H x y zit dus in Ker (f ) voor elke x en y. 3. x Ker (f ) : x 1 Ker (f ) Kies een willekeurig element x in de kern Ker (f ) van f. Nu geld het volgende. f (x 1 ) = (f (x)) 1 = eh 1 = e H x 1 zit dus in Ker (f ) voor elke x. Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Ker (f ) = {e G } f is injectief x,y G : f (x y) = f (x)f (y) Bewijs uit het ongerijmde: Stel dat er twee verschillende elementen x en y in G zitten die door x op hetzelfde element f (x) = f (y) H afgebeeldt worden. f (x y) = f (x)f (y) = f (x)f (x) Contradictie. f (y) = f (x) Bewijs door contrapositie: Als de kern van f niet triviaal is, dan bestaan er minstens twee verschillende elementen in G die door f op e H afgebeeldt worden en is f dus niet injectief. Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. f is een isomorfisme f 1 is een isomorfisme Merk op dat de afbeelding f 1 slechts bestaat als f een injectie is. Bewijs. f 1 is een morfisme: f 1 (y 1 y 2 ) = f 1 (f (x 1 )f (x 2 )) = f 1 (f (x 1 x 2 )) = x 1 x 2 = f 1 (y 1 )f 1 (y 2 ) f 1 is bovendien bijectief, want f is bijectief. in het hoofdstuk over afbeeldingen.

43 HOOFDSTUK 8. GROEPEN 42 Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. Als een verzameling A een deelgroep is van G, dan is f (A) een deelgroep van H. Bewijs. We gaan elke voorwaarde in het criterium van een deelgroep af. e f (A) H. A is een deelgroep van G, dus geldt e A G. Bovendien wordt e A = e G afgebeeldt op e H = e f (A). 13 e f (A) zit dus wel degelijk in H. x,y f (A) : xy f (A) Kies twee elementen f (x) en f (y) in f (A), nu bestaan er dus twee elementen x en y in A. In A is de bewerking intern. 14 Kijk nu naar de definitie van een groepsmorfisme. 15 f (x)f (y) is dus een element van f (A). f (x y) = f (x)f (y) x f (A) : x 1 f (A) Kies een element f (x) in f (A), er bestaat er dus een element x in A. Nu is de inverse van f (x) precies f (x 1 ). 16 Merk op dat deze stelling een algemener geval is van stelling Stelling Zij G, en H, groepen met een morfisme f : G H. Als een verzameling B een deelgroep is van H, dan is f 1 (B) een deelgroep van G. Bewijs. We gaan elke voorwaarde in het criterium van een deelgroep af. e f 1 (B) G. Omdat e G = e B geldt 17, geldt ook f (e B ) = e H. Bijgevolg geldt ook e f 1 (B) = e B G. x,y f 1 (B) : xy f 1 (B) Kies twee willekeurige elementen a en b uit f 1 (B). Dit houdt in dat er twee elementen f (a) en f (b) in B bestaan. f (a)f (b) B geldt omdat B een deelgroep is van B. 18 Dit is bovendien gelijk aan f (a b) f 1 (B), dus zitten a en b beide in f 1 (B). x f 1 (B) : x 1 f 1 (B) Kies een willekeurig element a uit f 1 (B). Dit houdt in dat er een element f (a) in B bestaat. Het inverse element van f (a) is (f (a) 1 ) en zit ook in B. 19 Er bestaat dus ook een element a 1 dat bovendien in f 1 (B) zit. 20 Stelling De verzamelingen van automorfismen AutG, uitgeruist met de samenstellingsfunctie vormt een groep. 13 Zie stelling Zie definitie Zie definitie Zie stelling Zie stelling Zie definitie Zie stelling Zie stelling 8.17.

44 HOOFDSTUK 8. GROEPEN 43 Bewijs. We bewijzen elk deel van de definitie appart. 21 associativiteit x,y,z AutG : (x y) z = x (y z) De samenstelling van afbeeldingen is inderdaad associatief. 22 neutraal element x AutG : x e = e = e x Er bestaat een neutraal element voor AutG, namelijk Id G. 23 inverse x AutG, x AutG : x x = e = x x Kies een willekeurige x in G. Er bestaat nu wel degelijk een inverse afbieelding, precies omdat x een bijectie is. Stelling Zij G, en H, groepen en α : G H een morfisme. α is een isomorfisme als en slechts als er een morfisme β : H G bestaat zodat β α = Id G en α β = Id G gelden. Bewijs. Bewijs van een equivalentie. Zij G, en H, willekeurige groepen. Zij α : G H een groepsisomorfisme. α is een bijectie, dus α 1 is goed gedefinieerd. Noem α 1 nu β, dan gelden β α = Id G en α β = Id G. 24 Zij α : G H β : H G morfismes, zodat β α = Id G en α β = Id G gelden. Volgens β is nu de inverse van α. 25 Omdat α een inverse heeft, is α bijectief en bijgevolg een isomorfisme Orde Definitie De orde n van het element x van een groep G, is de kleinste n N 0 waarvoor x n = e G geldt, indien die bestaat en anders. Definitie De orde G of #G van een groep G is het aantal elementen van G. Eigenschap Zij G, een groep en x G een element met een eindige orde n in die groep. r,s Z : (x s = e n s) (x r = x s n r s) Bewijs. Bewijs van conjunctie. Kies willekeurige elementen r en s in Z. 21 Zie definitie Zie stelling Zie definitie Zie stelling Zie stelling Zie stelling 3.34.