Boolealgebra s. Leereenheid 16

Transcriptie

1 Leereenheid 16 Boolealgebra s I N T R O D U C T I E Als we ons afvragen welk van de twee verzamelingen wiskundig interessanter is: de verzameling natuurlijke getallen of de verzameling {Astrid, Bert, Corrie, Dirk}, dan kiezen we ongetwijfeld voor de eerste verzameling. Waarom doen we dit? Een antwoord op deze vraag is dat de natuurlijke getallen allerlei toepassingsmogelijkheden hebben, zowel in het dagelijks leven, als in bijna alle wetenschapsgebieden. Maar ook los van deze toepassingsmogelijkheden zijn de natuurlijke getallen interessanter, omdat we er meer mee kunnen. De natuurlijke getallen vormen een verzameling met structuur: we kunnen getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, enzovoort. Er zijn dus allerlei operaties op natuurlijke getallen mogelijk. Daarnaast zijn er relaties tussen natuurlijke getallen zoals de relatie groter dan of de deelbaarheidsrelatie. Als we beschikken over deze relaties en operaties, dan kunnen we vervolgens gaan onderzoeken aan wat voor eigenschappen ze voldoen. We merken dan bijvoorbeeld op dat de optelling commutatief is: x + y = y + x. Ook andere verzamelingen kunnen structuur hebben. In leereenheid 6 bent u al een voorbeeld van een verzameling met structuur tegengekomen, namelijk de machtsverzameling P(V) van een verzameling V. Op P(V) kennen we operaties zoals het bepalen van doorsnede, vereniging, verschil of complement van verzamelingen, en we kennen relaties: bijvoorbeeld de relatie deelverzameling van. In deze leereenheid gaan we ons bezighouden met verzamelingen die een heel specifieke structuur hebben. Weliswaar beperken we nu onze klasse van voorbeelden, maar u zult zien dat we daardoor op een heel efficiënte manier resultaten af kunnen leiden. De werkwijze die we hierbij toepassen, is kenmerkend voor de wiskunde: we onderkennen dat verschillende verzamelingen overeenkomstige eigenschappen hebben en gaan vervolgens abstraheren. Resultaten die we voor het abstracte geval hebben afgeleid, kunnen we dan weer toepassen op concrete voorbeelden. LEERDOELEN Na het bestuderen van deze leereenheid wordt verwacht dat u de definitie van een distributief tralie kent de definitie van nulelement, éénelement en complement kent de definitie van een boolealgebra kent van een gegeven structuur kunt nagaan of het een distributief tralie of een boolealgebra is eenvoudige eigenschappen van tralies en boolealgebra s af kunt leiden OUN 19

2 Discrete wiskunde B de volgende eigenschappen van een boolealgebra kent en kunt bewijzen: idempotentie, dubbel complement, De Morgan, eenduidigheid van complementen een aantal voorbeelden van boolealgebra s kent eigenschappen die u hebt afgeleid voor boolealgebra s, in concrete structuren kunt interpreteren uw kennis van boolealgebra s toe kunt passen op schakelalgebra s. Studeeraanwijzingen Om deze leereenheid te kunnen bestuderen is het noodzakelijk dat u leereenheid 6 uit blok 3 en de leereenheden 9 en 10 uit blok 4 goed beheerst. Verder komt u de bewerkingen ggd en kgv tegen. Deze zijn behandeld in leereenheid 3. Paragraaf 16.4 over relatiealgebra en de toepassing hiervan op bedrijfsregels is facultatief. L E E R K E R N 16.1 Tralies VERZAMELINGEN MET STRUCTUUR In de introductie merkten we al op dat een verzameling wiskundig pas interessant wordt als we beschikken over een structuur op die verzameling. Deze structuur kan bestaan uit relaties of afbeeldingen, die bepaalde eigenschappen hebben. We beginnen deze paragraaf met een drietal voorbeelden van verzamelingen met structuur. In elk van de voorbeelden geven we een verzameling met daarop twee afbeeldingen en bewijzen we een eigenschap die voor deze afbeeldingen geldt. Sommige bewijzen bent u al in eerdere leereenheden tegengekomen. We herhalen ze hier, zodat u de verschillen tussen de bewijsmethoden kunt zien. De voorbeelden zullen in deze hele leereenheid een rol blijven spelen. Operatie Afbeeldingen van het cartesisch product A A naar de verzameling A zelf worden ook wel (binaire) operaties genoemd (binair: ze hebben twee argumenten). In deze leereenheid zullen we steeds de term operatie gebruiken. VOORBEELD 16.1 Machtsverzameling P(V) Zie paragrafen 2.3, 6.1 en We gaan een structuur definiëren op de machtsverzameling van een of andere verzameling V, dus op de verzameling die bestaat uit alle deelverzamelingen van V. Op deelverzamelingen zijn allerlei bewerkingen uit te voeren: van twee deelverzamelingen is de doorsnede, de vereniging en het verschil te bepalen en we kunnen van een deelverzameling het complement nemen. Al deze bewerkingen zijn te zien als operaties op de verzameling van deelverzamelingen. Voorlopig zullen we ons beperken tot twee operaties: doorsnede (de operatie die aan twee deelverzamelingen A en B de doorsnede A B toevoegt) en vereniging (de operatie die aan twee deelverzamelingen de vereniging A B toevoegt). Deze operaties hebben allerlei eigenschappen die we af kunnen leiden uit de definitie van de operaties. Bij wijze van voorbeeld bewijzen we de volgende eigenschap (stelling 6.3): A (B C) = (A B) C 20 OUN

3 Leereenheid 16 Boolealgebra s Hoe kunnen we aantonen dat twee deelverzamelingen aan elkaar gelijk zijn? We moeten dan laten zien dat elk element van de ene verzameling ook tot de andere behoort en omgekeerd. Stel dus dat x A (B C). Dan volgt uit de definitie van dat x A én x B C, dus x A én x B én x C. Maar: als x A en x B, dan ook x A B, en omdat bovendien gold x C, kunnen we nu concluderen dat x (A B) C. Op precies dezelfde manier kunnen we bewijzen dat uit x (A B) C volgt dat x A (B C) (probeer dit zelf). We hebben hiermee aangetoond dat beide verzamelingen aan elkaar gelijk zijn. «VOORBEELD 16.2 Verzameling propositielogische formules PL Zie paragrafen 9.3 en Alle propositielogische formules opgebouwd uit de propositieletters p 0, p 1,..., vormen een verzameling, die we PL zullen noemen. Het ligt misschien iets minder voor de hand hoe we op deze verzameling een structuur kunnen definiëren. Bedenk wel dat we de logische connectieven op kunnen vatten als operaties die van formules nieuwe formules maken! Ook nu beperken we ons voorlopig tot twee operaties:, de operatie die aan twee formules ϕ en ψ de formule ϕ ψ toevoegt, en, de operatie die aan twee formules ϕ en ψ de formule ϕ ψ toevoegt. Eigenschappen van en hebben een iets andere vorm dan in het vorige voorbeeld. Het is niet zo dat twee verschillende formules aan elkaar gelijk kunnen zijn, immers formules zijn alleen gelijk aan zichzelf. Wél kunnen twee verschillende formules equivalent zijn: voor elke waardering van de propositievariabelen hebben de twee formules steeds dezelfde waarheidswaarde. Een voorbeeld van een eigenschap van is: de formules ϕ (ψ χ) en (ϕ ψ) χ zijn equivalent Dit bewijzen we met behulp van waarheidstabellen: ϕ ψ χ ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) χ Omdat de formules ϕ (ψ χ) en (ϕ ψ) χ steeds dezelfde waarheidswaarde hebben, zijn ϕ (ψ χ) en (ϕ ψ) χ inderdaad equivalent. «VOORBEELD 16.3 met ggd en kgv Zie paragraaf Op zijn er tal van operaties mogelijk, zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, enzovoort. We kiezen twee wat minder gebruikelijke operaties: ggd en kgv. In het vervolg zult u zien waarom we juist deze twee genomen hebben. We gaan de volgende eigenschap bewijzen: ggd(a, ggd(b, c)) = ggd(ggd(a, b), c). OPGAVE 16.1 Controleer voor een aantal waarden voor a, b en c dat deze eigenschap inderdaad geldt. OUN 21

4 Discrete wiskunde B Hoe kunnen we nu bewijzen dat ggd(a, ggd(b, c)) = ggd(ggd(a, b), c) geldt voor elke keuze van a, b en c? We maken hiervoor gebruik van een eigenschap die u in opgave 3.31 bewezen hebt: als m een deler is van n en n een deler is van m, dan zijn m en n aan elkaar gelijk. We moeten dus het volgende aantonen. i ggd(a, ggd(b, c)) is een deler van ggd(ggd(a, b), c) ii ggd(ggd(a, b), c) is een deler van ggd(a, ggd(b, c)) In het bewijs maken we verder gebruik van de volgende eigenschap (stelling 3.4 uit leereenheid 3): Als x deler is van zowel a als b, dan is x ook deler van ggd(a, b). Bewijs van regel i Bij het lezen van het bewijs kan figuur 16.1 verhelderend werken. Een pijl tussen twee getallen betekent dat het onderste getal een deler is van het bovenste. Het getal ggd(a, ggd(b, c)) is per definitie een deler van a en van ggd(b, c). Verder geldt dat ggd(b, c) een deler is van b en c, dus ggd(a, ggd(b, c)) is een deler van een deler van b en c, en dus zelf ook deler van b en c. We hebben nu dus laten zien dat ggd(a, ggd(b, c)) een deler is van a, b en c. Maar dan is ggd(a, ggd(b, c)) ook een deler van ggd(a, b) en van c, en dus ook een deler van ggd(ggd(a, b), c). FIGUUR is deler van... Op precies dezelfde manier kunnen we aantonen dat ggd(ggd(a, b), c) een deler is van ggd(a, ggd(b, c)), dus ggd(a, ggd(b, c)) en ggd(ggd(a, b), c) zijn aan elkaar gelijk. «OPGAVE 16.2 Laat zien dat ggd(ggd(a, b), c) een deler is van ggd(a, ggd(b, c)) DE TRALIEAXIOMA S In elk van de voorbeelden uit de vorige paragraaf hebben we een eigenschap afgeleid. Deze drie eigenschappen zijn aan elkaar verwant. In de eerste twee voorbeelden is dat direct duidelijk: de eigenschap A (B C) = (A B) C lijkt op de eigenschap ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) χ. De eigenschap uit het derde voorbeeld ziet er op het eerste gezicht anders uit. De verwantschap met de eerste twee blijkt wanneer we bijvoorbeeld 22 OUN

5 Leereenheid 16 Boolealgebra s zowel ggd(a, ggd(b, c)) = ggd(ggd(a, b), c) als A (B C) = (A B) C in woorden omschrijven. De gelijkheid ggd(a, ggd(b, c)) = ggd(ggd(a, b), c) wordt dan: de grootste gemene deler van a en van de grootste gemene deler van b en c, is gelijk aan de grootste gemene deler van de grootste gemene deler van a en b en van c. En A (B C) = (A B) C wordt: de doorsnede van A met de doorsnede van B en C is gelijk aan de doorsnede van de doorsnede van A en B met C. Infixnotatie Prefixnotatie Bakje Dakje Notatie en De eigenschappen zijn dus vergelijkbaar. Ze zien er alleen anders uit omdat het doorsnedeteken wordt genoteerd tussen de twee argumenten waarop de operatie werkt (infixnotatie), en ggd vóór de twee argumenten wordt genoteerd (prefixnotatie). De drie eigenschappen hebben alle drie dezelfde naam: associatieve eigenschap, of ook wel associativiteit. De associatieve eigenschap geldt ook voor, en kgv. Er zijn nog veel meer eigenschappen van de drie structuren die steeds dezelfde vorm hebben. Een voorbeeld is de commutatieve eigenschap: A B = B A, (ϕ ψ) (ψ ϕ), ggd(a, b) = ggd(b, a). Analoge regels gelden voor, en kgv. We zouden nu hele lijsten kunnen gaan maken van eigenschappen die in de drie structuren gelden. Deze eigenschappen moeten we dan wel eerst bewijzen. Dit wordt nogal bewerkelijk, zeker omdat de bewijzen van overeenkomstige eigenschappen heel verschillend van vorm kunnen zijn, kijk maar naar de drie gegeven voorbeelden! De vraag is dus of dit niet handiger kan. Het antwoord op deze vraag is ja, maar daarvoor moeten we wel eerst wat werk verrichten. Om te beginnen gaan we op zoek naar overeenkomsten in de drie gegeven voorbeelden. Een eerste overeenkomst is dat we in alle drie de gevallen te maken hebben met een verzameling met daarop twee binaire operaties. We gaan nu in het algemeen naar verzamelingen met twee binaire operaties kijken. Omdat we ons niet vast willen leggen op een specifiek voorbeeld, gebruiken we nieuwe tekens voor deze operaties: en. De namen die we voor deze tekens gebruiken, zijn respectievelijk bakje en dakje. Dus we lezen a b als a bakje b. Met behulp van deze tekens kunnen we nu bijvoorbeeld de associatieve eigenschappen noteren: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c Als we een formule in een concreet voorbeeld willen interpreteren, dan moeten we de betekenis van en vastleggen. Voor de drie tot nu toe gegeven voorbeelden zullen we dat steeds op de volgende manier doen: P(V) PL interpreteren we als, als interpreteren we als, als interpreteren we als kgv, als ggd OPGAVE 16.3 Interpreteer de formule (a b) (b c) in P(V), PL en. OUN 23

6 Discrete wiskunde B We hebben geconstateerd dat we in alle drie de voorbeelden te maken hadden met een verzameling waarop twee binaire operaties zijn gedefinieerd. Vervolgens gaan we op zoek naar overeenkomstige eigenschappen van deze operaties, dus naar formules opgebouwd met de connectieven en, die geïnterpreteerd in P(V), PL en steeds een ware uitspraak opleveren. Maar, zult u misschien opmerken, we wilden juist níet een hele lijst eigenschappen voor elk van deze verzamelingen bewijzen. We beperken ons daarom tot een paar basiseigenschappen. Andere eigenschappen kunnen we vervolgens rechtstreeks uit de basiseigenschappen afleiden, zonder gebruik te maken van onze kennis van een specifieke structuur. Het voordeel is dat een eigenschap die we op deze manier hebben afgeleid, bewezen is voor elk van onze drie voorbeelden, en bovendien voor alle andere structuren met operaties die aan de basiseigenschappen voldoen. Het bepalen van de juiste basiseigenschappen is een vak apart. Op de vraag waarom we juist die eigenschappen kiezen die we hier geven, zullen we hier niet ingaan. Tralie DEFINITIE 16.1 Commutativiteit Associativiteit Absorptie Distributiviteit Een distributief tralie is een verzameling T met twee binaire operaties en die aan de volgende eigenschappen voldoen: voor elke a, b en c uit T geldt: a b = b a a b = b a a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c a (a b) = a a (a b) = a a (b c) a (b c) = (a b) (a c) = (a b) (a c) Axioma Zie ook paragraaf P(V) en zijn distributieve tralies Als we nu een eigenschap van een distributief tralie willen bewijzen, dan mogen we alleen gebruik maken van deze vier basiseigenschappen. In de wiskunde noemen we zulke basiseigenschappen ook wel axioma s. Omgekeerd moeten we, als we willen weten of een concrete verzameling met gegeven operaties een distributief tralie is, aantonen dat in die verzameling de vier axioma s gelden. We hebben al gezien dat commutativiteit en associativiteit gelden voor P(V) en. In leereenheid 6 (stelling 6.4 en 6.5) is bewezen dat distributiviteit en absorptie geldt voor P(V). In opgave 16.4 vragen we u om te laten zien dat absorptie ook geldt voor. Distributiviteit geldt ook voor, het bewijs hiervan laten we achterwege. Zowel P(V) als zijn dus een distributief tralie. PL is geen distributief tralie: in PL geldt bijvoorbeeld niet dat ϕ ψ = ψ ϕ. Immers, deze formules zijn niet aan elkaar gelijk. Wel geldt ϕ ψ ψ ϕ. Er geldt dus alleen een zwakkere vorm van voorgaande eigenschappen, waarbij we de gelijkheid vervangen door logische equivalentie. In de volgende leereenheid zult u zien dat we van PL een distributief tralie kunnen maken, door als het ware equivalente formules met elkaar te identificeren. De naam tralie is een vertaling van het Engelse lattice, wat tralie of rooster of ook wel glas-in-lood-venster betekent. Dit is dan een venster met diagonale ruitjes. In leereenheid 18 zult u zien dat we distributieve tralies ook als een ruitpatroon kunnen tekenen. Als voorbeeld geven we hier alvast een plaatje van P({a, b}), zie figuur OUN

7 Leereenheid 16 Boolealgebra s FIGUUR 16.2 Het tralie P({a, b}) Verder vraagt u zich misschien af waarom we spreken over distributieve tralies en niet over bijvoorbeeld commutatieve tralies. Dit doen we omdat er ook tralies bestaan die niet distributief zijn. U zult die in deze cursus niet tegenkomen. In deze cursus zullen we daarom ook wel over tralies spreken als we distributieve tralies bedoelen. De officiële naam is echter distributief tralie. De eigenschappen van een distributief tralie gelden voor elke keuze van elementen a, b en c uit T. We mogen bijvoorbeeld a, b en/of c aan elkaar gelijk kiezen. Dus a (a a) = a is een eigenschap van tralies op grond van het absorptieaxioma. Omdat bijvoorbeeld ook a a een element van T is als a tot T behoort, kunnen we dit ook in de axioma s invullen. De volgende formule is bijvoorbeeld geldig in elk distributief tralie op grond van de associatieve eigenschap: (a a) (b b) = ((a a) b) b. OPGAVE 16.4 Laat zien dat in met de operaties kgv en ggd de absorptie-eigenschappen a (a b) = a en a (a b) = a gelden. We geven een voorbeeld van een eigenschap die af te leiden is uit de tralieaxioma s en die dus in elk distributief tralie geldt: (a b) (a b) = a b Hoe bewijzen we nu zo n eigenschap? We kijken eerst of we hierin een van de axioma s herkennen. U ziet dan misschien een variant op het absorptieaxioma: in de formule (a b) (a b) = a b is de absorptieeigenschap b (b a) = b verwerkt. Voordat we absorptie toe kunnen passen, moeten we eerst haakjes verplaatsen (met de associatieve eigenschap) en volgordes verwisselen (met de commutatieve eigenschap). Het bewijs wordt nu: (a b) (a b) = a (b (a b)) associativiteit = a (b (b a)) commutativiteit = a b absorptie OUN 25

8 Discrete wiskunde B Wat hebben we nu bewezen in onze drie voorbeelden P(V), PL en? Hiervoor hoeven we alleen de afgeleide eigenschap maar te interpreteren. We zetten de resultaten onder elkaar: P(V) (A B) (A B) = A B PL ((ϕ ψ) (ϕ ψ)) (ϕ ψ) ggd(ggd(a, b), kgv(a, b)) = ggd(a, b) Als besluit van deze paragraaf geven we nog een aantal andere voorbeelden van distributieve tralies. Als n een natuurlijk getal is, dan noteren we de verzameling delers van n als D(n). Op deze verzameling nemen we dezelfde binaire operaties als op : kgv en ggd. Maar hier zit een addertje onder het gras: we moeten eerst nagaan of dit wel operaties op D(n) zijn! Met andere woorden: als p en q delers zijn van n, zijn dan ook kgv(p, q) en ggd(p, q) delers van n? Dit blijkt inderdaad zo te zijn. Een bewijs kunt u vinden in leereenheid 3 (opgave 3.51). We hoeven niet meer te laten zien dat de eigenschappen van een distributief tralie gelden voor D(n), dat hebben we immers al voor met de operaties kgv en ggd aangetoond. «VOORBEELD 16.5 {0, 1} met en Op de verzameling waarheidswaarden {0, 1} uit de propositielogica kunnen we met behulp van de waarheidstabellen voor en twee operaties definiëren. Om te laten zien dat we zo een distributief tralie gedefinieerd hebben, maken we gebruik van eigenschappen van de propositielogica. Voor alle duidelijkheid: dit voorbeeld verschilt van voorbeeld Daar definieerden we operaties op de verzameling propositielogische formules, hier slechts op de verzameling {0, 1}. In dit voorbeeld staan variabelen dus niet voor formules, maar voor (waarheids)waarden 0 en 1. Toch kunnen we wel gebruik maken van de propositielogica. Omdat de commutatieve, associatieve, distributieve en absorptie-eigenschappen gelden voor propositielogische formules, gelden ze ook voor waarheidswaarden met operaties en. Dus deze verzameling is een distributief tralie. «In plaats van met behulp van de waarheidstabellen kunnen we de operaties uit voorbeeld 16.5 ook als volgt definiëren: p q = min(p, q) (min(p, q) is het minimum van p en q) p q = max(p, q) (max(p, q) is het maximum van p en q) Dit gebruiken we om voorbeeld 16.5 te generaliseren. VOORBEELD 16.6 {0, 1} n De verzameling {0, 1} n bestaat uit rijtjes van n nullen en/of enen. Op deze verzameling definiëren we operaties door coördinaatsgewijs de operaties uit het vorige voorbeeld toe te passen: laat p = p 1,..., p n en q = q 1,..., q n elementen zijn van {0, 1} n, dus p i {0, 1} en q i {0, 1}. Dan zijn de operaties: p q = min(p 1, q 1 ),..., min(p n, q n ) p q = max(p 1, q 1 ),..., max(p n, q n ) 26 OUN

9 Leereenheid 16 Boolealgebra s Als we dus bijvoorbeeld n = 5, p = 1, 0, 1, 0, 0 en q = 0, 1, 1, 1, 0 nemen, dan geldt p q = 0, 0, 1, 0, 0 en p q = 1, 1, 1, 1, 0. We kunnen voorbeeld 16.5 gebruiken om aan te tonen dat we op deze manier een distributief tralie gedefinieerd hebben. We laten u zien hoe u de absorptie-eigenschap aan kunt tonen. Het bewijs van de overige drie eigenschappen kunt u zelf geven (opgave 16.7). Voor de absorptie moeten we aantonen dat p (p q) = p en dat p (p q) = p. In de verzameling {0, 1} n geldt dat p (p q) = p min(p 1, q 1 ),..., min(p n, q n ) = max(p 1, min(p 1, q 1 )),..., max(p n, min(p n, q n )) En om nu aan te tonen dat deze laatste uitdrukking gelijk is aan p, gebruiken we dat {0, 1} met de operaties min en max een tralie is. In dít tralie {0, 1} geldt de absorptie-eigenschap, dus voor elke a en b uit {0, 1} geldt: max(a, min(a, b)) = a. Passen we dit toe op elk van de coördinaten van max(p 1, min(p 1, q 1 )),..., max(p n, min(p n, q n )), dan zien we dat deze uitdrukking gelijk is aan p 1, p 2,..., p n, dus aan p. Hiermee hebben we de eerste absorptie-eigenschap bewezen. Ook geldt voor elke a en b, omdat {0, 1} een distributief tralie is, dat min(a, max(a, b)) = a. Met behulp hiervan tonen we de tweede absorptieeigenschap aan: p (p q) = p max(p 1, q 1 ),..., max(p n, q n ) = min(p 1, max(p 1, q 1 )),..., min(p n, max(p n, q n )) = p 1,..., p n = p «OPGAVE 16.5 Bepaal (a b) (a c) in: a P( ); neem a = {0, 1, 2,..., 10}, b = {x x is even}, c = {x x is een drievoud}. b D(60); neem a = 12, b = 15, c = 6. c {0, 1} 3 ; neem a = 1, 0, 1, b = 1, 1, 0, c = 0, 1, 1. OPGAVE 16.6 Laat zien dat voor elke p, q en r uit {0, 1} geldt: a max(p, min(q, r)) = min(max(p, q), max(p, r)) b min(p, max(q, r)) = max(min(p, q), min(p, r)) OPGAVE 16.7 Laat zien dat {0, 1} n met de operaties zoals gedefinieerd in voorbeeld 16.6, een distributief tralie is. OPGAVE 16.8 Laat zien dat, met als operaties + en, geen distributief tralie is. OPGAVE 16.9 Waarom is {1,..., n}, voor n > 2, met als operaties kgv en ggd, geen distributief tralie? OUN 27

10 Discrete wiskunde B OPGAVE (Aanw) In deze opgave onderzoeken we structuren met drie elementen a, b en c. De operaties en zijn met behulp van een tabel vastgelegd. We geven twee varianten. Onderzoek in beide gevallen of de zo gedefinieerde structuur een distributief tralie is. a Variant a a b c a b c a a a a a a a b b a b b b a b c c a b c c b c c b Variant b a b c a b c a a a a a a b c b a b b b b b c c a b c c c c c OPGAVE (Aanw) a Laat zien dat in P(V) de volgende eigenschap geldt: A B = B dan en slechts dan als A B = A b Laat zien dat voor elk distributief tralie geldt: a b = b dan en slechts dan als a b = a OPGAVE (Aanw) Laat zien dat in elk distributief tralie de volgende eigenschap geldt: (a b) (a b) = a b. Wat hebt u nu afgeleid voor P(V), voor D(n) en voor {0, 1}? 16.2 Boolealgebra s Met de operaties en kunnen we maar een deel van de structuur, die we in P(V) of PL hebben, beschrijven. De distributieve tralies zijn niet rijk genoeg om bijvoorbeeld complementen of negaties te kunnen weergeven. Daarom bestuderen we in deze paragraaf een speciaal soort tralies die nog een aantal extra eigenschappen hebben NUL- EN ÉÉNELEMENT In P(V) kunnen we twee speciale elementen aanwijzen: de kleinste deelverzameling en de grootste deelverzameling V. Kunnen we met behulp van de operaties en uitdrukken dat de kleinste en V de grootste deelverzameling is? De doorsnede van twee verzamelingen is kleiner dan de afzonderlijke verzamelingen of eventueel gelijk aan een van beide. De eigenschap dat voor elke deelverzameling A geldt dat A =, karakteriseert dus dat de kleinste deelverzameling is. 28 OUN

11 Leereenheid 16 Boolealgebra s OPGAVE Formuleer een vergelijkbare eigenschap die karakteriseert dat V de grootste deelverzameling in P(V) is. Ook in PL kennen we twee bijzondere proposities: de propositie met de eigenschap dat voor elke propositie p geldt: p, en de propositie met de eigenschap dat voor elke propositie p geldt: p. Dit is de aanleiding voor de volgende definitie van twee speciale elementen in een distributief tralie die we nul- en éénelementen noemen. Nulelement Éénelement DEFINITIE 16.2 STELLING 16.1 Een nulelement 0 van een distributief tralie T is een element met de volgende eigenschap: voor elke a uit T geldt: a 0 = 0. Een éénelement 1 van een distributief tralie T is een element met de volgende eigenschap: voor elke a uit T geldt: a 1 = 1. Om nul- en éénelement te onderscheiden van de getallen 0 en 1, gebruiken we de cursieve 0 en 1. Heeft elk distributief tralie een nul- en een éénelement? In opgave zult u zien dat dit niet altijd het geval is. Is het mogelijk dat een distributief tralie bijvoorbeeld twee nulelementen heeft? Het antwoord op deze vraag is ontkennend, en dit kunnen we ook bewijzen. Een distributief tralie heeft hoogstens één nulelement en hoogstens één éénelement. Bewijs Stel het distributief tralie T heeft twee verschillende nulelementen, die we 0 en 0' zullen noemen. Nu geldt het volgende: 1 0' 0 = 0 want 0 is nulelement 2 0 0' = 0' want 0' is nulelement 3 0' 0 = 0 0' commutativiteit 4 0 = 0' combineer regels 1, 2 en 3 We hebben nu aangetoond dat 0 = 0'; dit is in strijd met onze aanname dat 0 en 0' verschillend waren. Er volgt dus dat T hoogstens één nulelement heeft. In de zelftoets vragen we te bewijzen dat ook het éénelement uniek is. Het nulelement en het éénelement van een distributief tralie zullen we in het vervolg aangeven met 0 en 1. In P(V) is het nulelement gelijk aan en het éénelement gelijk aan V. In het distributief tralie {0, 1} uit voorbeeld 16.5 is het nulelement gelijk aan 0 en het éénelement gelijk aan 1. OPGAVE a Wat zijn 0 en 1 in D(n)? b Heeft een nul- en een éénelement? OUN 29

12 Discrete wiskunde B OPGAVE (Aanw) Laat zien dat in een distributief tralie met 0 en 1 de volgende eigenschappen gelden voor elk element a: a 0 a = a b a 0 = a c 1 a = a d a 1 = a COMPLEMENTEN Naast de twee binaire operaties doorsnede en vereniging hebben we op P(V) ook nog de beschikking over een unaire operatie: de afbeelding die aan elke deelverzameling haar complement ten opzichte van V toevoegt. Net zoals we en V konden karakteriseren met behulp van doorsnede en vereniging, kunnen we ook het complement karakteriseren met behulp van doorsnede, vereniging, en V. Immers, voor het complement A c van een verzameling A geldt: A A c = V en A A c =. Met behulp van deze twee eigenschappen hebben we het complement ook precies vastgelegd. We definiëren nu het begrip complement voor een distributief tralie. Complement DEFINITIE 16.3 In een distributief tralie met 0 en 1 is een element a' complement van het element a als geldt: a a' = 1 en a a' = 0 OPGAVE Deze opgave gaat over het distributief tralie {0, 1} 5 (zie voorbeeld 16.6). a Bepaal het nul- en het éénelement van dit distributief tralie. b Bepaal een complement van 0, 0, 1, 1, 0. In P(V) heeft elke deelverzameling precies één complement ten opzichte van V. We kunnen ons nu afvragen of dit in elk distributief tralie met nul- en éénelement het geval is. We stellen dan twee vragen: 1 Heeft elk element in een distributief tralie een complement? 2 Kan een element ook twee verschillende complementen hebben? De tweede vraag zullen we beantwoorden in stelling Opgave gaat over de eerste vraag. OPGAVE (Aanw) a Bepaal een complement van 5 in D(30). b Heeft 5 nog meer complementen? c Heeft elk element van D(30) een complement? d Heeft elk element van D(18) een complement? Complement in D(n) We kijken wat verder naar complementen in D(n). U hebt in de vorige opgave gezien dat niet altijd elk element een complement heeft. Misschien is het u opgevallen dat een complement van een getal a, als dit bestond, gelijk was aan n/a. We zullen nu eerst gaan onderzoeken wanneer het complement van a gelijk is aan n/a. Volgens de definitie van complement moet dan gelden: ggd(a, n/a) = 1 en kgv(a, n/a) = n. 30 OUN

13 Leereenheid 16 Boolealgebra s Uit ggd(a, n/a) = 1 volgt dat a en n/a relatief priem zijn: ze mogen geen gemeenschappelijke factoren bevatten. In dat geval geldt ook: kgv(a, n/a) = n. Als a en n/a niet relatief priem zijn, heeft a dan een ander complement? In de opgave bleek dit niet het geval te zijn, en dat geldt ook in het algemeen: als a en n/a niet relatief priem zijn, dan heeft a geen complement in D(n). We zullen dit hier verder niet bewijzen. We kunnen nu ook nagaan wanneer elk element van D(n) een complement heeft: dan moet namelijk voor elke deler a van n gelden dat a en n/a relatief priem zijn. Dit geldt precies dan als n het product is van verschillende priemfactoren. OPGAVE Controleer dat 30 wél en 18 níet een product is van verschillende priemfactoren. De eerste vraag moeten we dus ontkennend beantwoorden: in een distributief tralie hoeft niet elk element een complement te hebben. We komen nu terug op de tweede vraag die we stelden, namelijk of een complement uniek is. STELLING 16.2 In een distributief tralie met nul- en éénelement heeft elk element hoogstens één complement. Bewijs Laat a een element van een distributief tralie zijn. Stel dat a twee verschillende complementen a' en a" heeft. We tonen aan dat uit de definitie van complement volgt dat a' en a" aan elkaar gelijk zijn, en hebben dan een tegenspraak met onze aanname afgeleid. Er geldt: a' = a' 1 zie opgave = a' (a a") definitie complement a" = (a' a) (a' a") distributiviteit = (a a') (a' a") commutativiteit = 0 (a' a") definitie complement a' = a' a" zie opgave Als we in dit bewijs a' en a" verwisselen, dan vinden we dat a" = a" a'. Met de commutativiteit volgt dat a" = a' a". Omdat we ook al hadden aangetoond dat a' = a' a", kunnen we concluderen dat a'= a". Dus is in een distributief tralie het complement uniek. Notatie Boolealgebra DEFINITIE 16.4 Omdat elk element hoogstens één complement heeft, kunnen we hier een aparte notatie voor gebruiken. We geven het complement weer met een streep boven het element: a is het complement van a. We hebben gezien dat P(V) een distributief tralie met nul- en éénelement is, en dat elk element van P(V) een complement heeft. Zo n distributief tralie noemen we een boolealgebra (spreek uit: boel-algebra). Een boolealgebra is een distributief tralie met nul- en éénelement waarin elk element een complement heeft. OUN 31

14 Discrete wiskunde B We zetten de eigenschappen waaraan een verzameling B met operaties en moet voldoen om een boolealgebra te zijn, nog eens onder elkaar: commutativiteit associativiteit absorptie distributiviteit Nulelement Éénelement Complement a b = b a a b = b a a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c a (a b) = a a (a b) = a a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) a 0 = 0 a 1 = 1 a a = 1 én a a = 0 U bent al een aantal voorbeelden van boolealgebra s tegengekomen. De belangrijkste zetten we in tabel 16.1 bij elkaar. Hoewel de verzameling propositielogische formules PL in strikte zin geen boolealgebra vormt (we hebben steeds te maken met equivalentie tussen formules in plaats van gelijkheid) vermelden we deze verzameling toch in de tabel. TABEL 16.1 Voorbeelden van boolealgebra s P(V) D(n)* {0, 1} n PL kgv coördinaatsgewijs maximum ggd coördinaatsgewijs minimum 1 V n 1, 1,..., , 0,..., 0 complement A c n/a vervang coördinaats- ϕ gewijs 0 door 1 en 1 door 0 * n is het product van verschillende priemfactoren. OPGAVE Laat zien dat de verzameling {0, 1} met operaties en (zie voorbeeld 16.5) een boolealgebra is. Van welke boolealgebra uit tabel 16.1 is deze verzameling een speciaal geval? OPGAVE Gegeven is het tralie D(105). a Laat zien dat dit tralie een boolealgebra is. b Wat is in dit tralie de waarde van a als a = 35 ( a is het complement van a )? OPGAVE (Aanw) Laat zien dat het tralie uit opgave 16.10b geen boolealgebra is. 32 OUN

15 Leereenheid 16 Boolealgebra s George Boole, Nieuwe wiskundes, de algebra van Boole In de loop van de 19-de eeuw vonden in de wiskunde een aantal ingrijpende veranderingen plaats. In de algebra bijvoorbeeld, waren eeuwenoude tradities niet langer heilig. William Rowan Hamilton ( ) vroeg zich bijvoorbeeld af wat voor algebra of rekenkunde we krijgen als we aannemen dat a b niet gelijk is aan b a (in leereenheid 22 zult u zien dat dit het geval is bij de vermenigvuldiging van matrices). Men wilde de algebra, die nog niet axiomatisch opgebouwd was, op soortgelijke wijze funderen als de meetkunde van Euclides. Dit betekende dat men een zekere vrijheid had in de keuze van de axioma s en kon onderzoeken tot welke theorie een bepaald axiomasysteem zou leiden. De algebra zou op een veel algemenere en abstractere wijze benaderd worden als tot dan toe het geval was geweest. In deze ontwikkeling past ook het werk van de Britse logicus George Boole, die leefde van 1815 tot Boole baseerde zijn ideeën op het werk van George Peacock ( ) die onderscheid maakte tussen rekenkundige en symbolische algebra. Ook voor Boole hoefden de symbolen niet meer voor getallen of specifieke bewerkingen te staan. De wiskunde bevrijdde zich zo van de inhoud die ze tot dan toe had. Volgens Boole was de essentie van de wiskunde niet zozeer de inhoud als wel de vorm, de structuur. Hij publiceerde zijn ideeën in Mathematical Analyses of Logic uit 1847 en in zijn veel bekendere Investigation of the laws of thought uit 1854, waarin hij zowel de formele logica als een nieuwe algebra ontwierp. In zijn systeem gaf hij met de letters x, y, z,... deelverzamelingen weer van een universele verzameling; deze universele verzameling gaf hij aan met het symbool 1; de lege verzameling gaf hij weer met het symbool 0. De vereniging van twee deelverzamelingen noteerde hij als x + y (bij de vereniging ging hij ervan uit dat x en y geen (!) gemeenschappelijke elementen mogen hebben), de doorsnede als x y (of x y of xy) en de gelijkheid van verzamelingen gaf hij weer met het teken =. In dit systeem gelden de vijf fundamentele wetten van de algebra, want x + y = y + x, xy = yx, x + (y + z) = (x + y) + z, x(yz) = (xy)z en x(y + z) = xy + xz. Maar de algebra van Boole voldoet niet aan alle regels van de algebra waarin x, y en z getallen voorstellen, want er geldt bijvoorbeeld voor elke verzameling dat x x = x. Ook volgt uit zx = zy (waar z niet de lege verzameling is) niet dat x = y, noch is het zo dat x of y de lege verzameling moet zijn als xy = 0. Tegenwoordig worden de ideeën van Boole op vele terreinen toegepast, maar het heeft toch bijna een eeuw (!) geduurd voordat zijn theorie pas echt werd gebruikt, namelijk in de schakelalgebra van Shannon uit 1936, die aan het eind van deze leereenheid (paragraaf 16.3) aan de orde komt. Boole s notaties zijn inmiddels wel enigszins gewijzigd, maar de beginselen van zijn theorie hebben standgehouden EIGENSCHAPPEN VAN BOOLEALGEBRA S Omdat een boolealgebra meer structuur heeft dan een distributief tralie, kunnen we voor boolealgebra s ook meer eigenschappen afleiden. Alle eigenschappen die we nu afleiden, gelden voor elke boolealgebra. We onderzoeken eerst eigenschappen van het complement. In een boolealgebra heeft elk element precies één complement. Deze stelling kunnen we gebruiken bij het afleiden van andere eigenschappen. OUN 33

16 Discrete wiskunde B De Morgan De regels van De Morgan zijn: a b = a b en a b = a b We bewijzen de eerste regel: a b = a b. Deze regel zegt dat a b het complement is van a b. We kunnen nu gebruik maken van stelling Als we namelijk aantonen dat a b voldoet aan de definiërende eigenschappen van het complement van a b, dan moet a b wel gelijk zijn aan het complement van a b, omdat dit complement uniek was. Kijk voor deze definiërende eigenschappen nog eens terug naar definitie We moeten dus laten zien: a (a b) ( a b) = 0 b (a b) ( a b) = 1 Bewijs van regel a Bewijs van regel b: (a b) ( a b) = ((a b) a ) ((a b) b) distributiviteit = ((b a) a ) ((a b) b) commutativiteit = (b (a a )) (a (b b)) associativiteit (tweemaal) = (b 0) (a 0) definitie complement = 0 0 definitie 0 = 0 opgave (a b) ( a b) = ( a b) (a b) commutativiteit = (( a b) a) (( a b) b) distributiviteit = (( b a ) a) (( a b) b) commutativiteit = ( b ( a a)) ( a ( b b)) associativiteit (tweemaal) = ( b (a a )) ( a (b b)) commutativiteit (tweemaal) = ( b 1) ( a 1) definitie complement = 1 1 definitie 1 = 1 opgave Hiermee is het bewijs geleverd. Het bewijs van de tweede regel, a b = a b, verloopt analoog. OPGAVE Wat betekenen de regels van De Morgan in D(n), waarbij n een product is van verschillende priemfactoren? In opgave hebt u voor D(105) aangetoond dat 35 = 35. Hier waren 35 en 3 elkaars complement. Dit is een eigenschap die algemeen geldt voor boolealgebra s. Dubbel complement Idempotentie a = a Het bewijs van deze regel vragen we u in opgave We sluiten deze paragraaf af met nog een eigenschap die geldig is in boolealgebra s. a a = a en a a = a We bewijzen a a = a. Hoe pakken we dit aan? De enige regels waarbij a als term rechts van het gelijkteken voorkomt, zijn de absorptieregels, de regels uit opgave en de regel voor het dubbel complement. 34 OUN

17 Leereenheid 16 Boolealgebra s De laatste regels lijken niet direct bruikbaar. Een absorptieregel zouden we toe kunnen passen als we in a a = a de tweede a kunnen vervangen door iets van de vorm (a...). Dit kan met behulp van opgave 16.15: a 0 = a. We kunnen nu het bewijs opschrijven: a a = a (a 0) opgave = a absorptie Het bewijs dat a a = a, gaat analoog. OPGAVE (Aanw) Bewijs de regel voor het dubbel complement: a = a. OPGAVE Vereenvoudig (a b) (a b). Interpreteer dit resultaat in PL, P(V) en D(42) (controleer in dit laatste geval bijvoorbeeld eens uw resultaat met a = 6 en b = 14). OPGAVE (Aanw) Gegeven is de verzameling {a, b, c, d}. Laat zien dat hierop precies één boolealgebra gedefinieerd kan worden met 0 = a en 1 = d. OPGAVE Laat zien dat er geen boolealgebra met drie elementen bestaat Schakelalgebra s In de casus bij dit blok hebt u gezien hoe elektrische schakelingen van een computer opgebouwd kunnen worden. Hierbij gebruikten we drie basispoorten: de NIET-poort, de EN-poort en de OF-poort. We zetten de werking en notatie van deze poorten nog eens naast elkaar: NIET-poort EN-poort OF-poort x y x y z x y z Schakelalgebra Met behulp van deze poorten kunnen we complexe schakelingen maken. We kunnen deze schakelingen met formules beschrijven, waarbij we gebruik maken van de tekens NIET, EN en OF. Zo is NIETa de schakeling a met aan het eind een NIET-poort, a EN b de schakelingen a en b verbonden door een EN-poort en a OF b de schakelingen a en b verbonden door een OF-poort. Een verzameling schakelingen met daarop de operaties NIET, EN en OF noemen we een schakelalgebra. OUN 35

18 Discrete wiskunde B Twee schakelingen met dezelfde werking noemen we equivalent. Dit noteren we als a b. We kunnen nu rekenregels af gaan leiden waarmee we kunnen nagaan of twee schakelingen equivalent zijn. In de casus hebben we gezien dat veel propositielogische equivalenties te vertalen zijn in rekenregels voor schakelalgebra s. Met de theorie van deze leereenheid kunnen we nu begrijpen hoe dit komt. We merken eerst op dat we niet moeten verwachten dat de verzameling van schakelingen met als operaties EN en OF een distributief tralie of boolealgebra vormt. Immers, er geldt bijvoorbeeld al niet dat a OF (a EN b) = a, want dit zijn twee verschillende schakelingen: de schakeling links van het gelijkteken heeft twee poorten, de rechter geen. Maar, als we gelijkheid vervangen door equivalentie, dan gelden de tralie-eigenschappen wel voor schakelalgebra s. OPGAVE Ga na dat de absorptie-eigenschappen a OF (a EN b) a en a EN (a OF b) a gelden voor schakelalgebra s. De overige tralie-eigenschappen zullen we niet controleren. Uit de tabellen voor de EN- en OF-poort kunt u aflezen dat het signaal 1 een éénelement en het signaal 0 een nulelement is. Het ligt voor de hand om te veronderstellen dat NIETa een complement is van de schakeling a. Dit blijkt ook inderdaad zo te zijn. OPGAVE a Ga na dat de schakeling NIETa voldoet aan de eigenschappen van een complement. b Heeft een schakeling precies één complement? De verzameling van schakelingen gedraagt zich dus als een boolealgebra, waarbij we voor gelijkheid (=) equivalentie ( ) moeten lezen. Alle propositielogische equivalenties die het gevolg zijn van het feit dat ook de verzameling propositielogische formules zich als een boolealgebra gedraagt, zijn dus te vertalen in equivalenties tussen schakelingen. OPGAVE Welke schakelingen zijn equivalent op grond van de regels van De Morgan? Teken deze schakelingen. OPGAVE Vereenvoudig de volgende schakeling (zie figuur 16.3). FIGUUR OUN

19 Leereenheid 16 Boolealgebra s 16.4 Relatiealgebra Deze paragraaf is facultatief In deze (faculatieve) paragraaf maakt u kennis met een uitbreiding van de boolealgebra, namelijk relatiealgebra. In feite gaat het zowel om een uitbreiding als een specialisatie: relatiealgebra is ontwikkeld om eigenschappen van relaties abstract te kunnen beschrijven, en om vervolgens met behulp van regels afleidingen of vereenvoudigingen uit te kunnen voeren op een manier die u ondertussen van de boolealgebra s kent. Ter herinnering: een binaire relatie R op een cartesisch product A B is per definitie gelijk aan een deelverzameling van dit cartesisch product. We kunnen daarom in de verzameling van alle relaties op A B operaties (doorsnede), (vereniging) en C (complement) definiëren. Samen met de speciale relaties A B als 1-element en als 0-element hebben we zo voldoende structuur om de verzameling van alle relaties op A B op te vatten als een boolealgebra. Omdat we in feite te maken hebben met de bekende operaties op deelverzamelingen, zijn de axioma s van de boolealgebra s in deze structuur geldig. Op relaties kunnen we nog andere operaties definiëren. We geven hier drie operaties die in relatiealgebra gebruikt worden. Converse Compositie Relatieve som Door in een relatie de volgorde van alle paren te verwisselen verkrijgen we de converse relatie. Als R een relatie is op A B, dan wordt de converse relatie R op B A, gedefinieerd door R = {(x, y) (y, x) R} In de cursus Discrete wiskunde A hebt u geleerd hoe u functies kunt samenstellen. Ook van relaties kunnen we samenstellingen bepalen. In voorbeeld 16.7 en in de volgende subparagraaf zult u zien hoe zo n samenstelling gebruikt kan worden. Er zijn twee manieren om relaties R en S samen te stellen. In het eerste geval nemen we alle paren (x, y) die via R en S verbonden zijn; dit zijn de paren (x, y) met de eigenschap dat er minstens één v is zodat (x, v) in R zit en (v, y) in S zit: Als R een relatie is op U V, en S een relatie is op V W, dan wordt de compositie R ; S op U W gedefinieerd door R ; S = {(x, y) v V (x, v) R (v, y) S } Van de tweede manier om relaties samen te stellen is het lastiger om een informele beschrijving te geven. Voor deze beschrijving maken we gebruik van de weergave van een binaire relatie met pijlen (zie figuur 16.4). Een punt (x, y) behoort tot de relatieve som van R op U V en S op V W als de eindpunten van de pijlen van de relatie R met beginpunt x en de beginpunten van de relatie S met eindpunt y samen de hele verzameling V overdekken. Anders gezegd, een punt (x, y) behoort tot de relatieve som als elk punt uit V ofwel eindpunt van een pijl vanuit x is, ofwel beginpunt van een pijl naar y. Als R een relatie is op U V, en S een relatie is op V W, dan wordt de relatieve som R S op U W gedefinieerd door R S = {(x, y) v V (x, v) R (v, y) S }. OUN 37

20 Discrete wiskunde B VOORBEELD 16.7 In dit voorbeeld introduceren we een aantal relaties en laten zien hoe de operaties converse, compositie, complement en doorsnede op deze relaties er uit zien. In paragraaf zullen we deze relaties gebruiken in een toepassing op bedrijfsregels. Laat W de verzameling stafleden van een universiteit zijn en S de verzameling studenten. Het paar (w, s) W S hoort tot de relatie Mentor_van als w mentor is van s, en het paar (t, u) S W hoort tot de relatie Heeft_mentor als t het staflid u als mentor heeft. Deze twee relaties zijn elkaars converse: Mentor_van = Heeft_mentor, want als w de mentor is van s, dan heeft s het staflid w als mentor en omgekeerd. Laat verder J een verzameling jaren zijn, zodat we de relatie Afgerond op S J kunnen definiëren als de verzameling van paren (s, j) waarvoor geldt dat s alle voor hem of haar geroosterde vakken van het jaar j heeft afgerond. Het complement van deze relatie Afgerond c bestaat dus uit paren (s, j) waarvoor geldt dat s niet alle geroosterde vakken voor het jaar j heeft afgerond. Om de compositie Mentor_van ; Afgerond c te bepalen, moeten we op zoek gaan naar paren (w, j) waarvoor er een s is zodat (w, s) Mentor_van en (s, j) Afgerond c. Deze compositie bestaat dus uit paren (w, j) zodat er minstens één student is waarvan w mentor is en die niet alle geroosterde vakken voor het jaar j heeft afgerond. Definieer tenslotte de relatie Docent_van als de verzameling van paren stafleden w en studenten s zodat w docent is van s, dan bestaat Docent_van Mentor_van uit de paren (w, s) zodat w zowel mentor als docent is van s. OPGAVE In figuur 16.4 zijn door de pijlen relaties R en S bepaald tussen de verzamelingen U, V en W. Bepaal de relaties R ; S en R S. FIGUUR 16.4 Relaties R en S OPGAVE Toon aan: (R S) C = R C ; S C Omdat we bij relaties vaak te maken hebben met relaties tussen verschillende verzamelingen, zoals in het voorbeeld de verzamelingen stafleden, studenten en jaren, zijn binaire operaties niet meer op twee willekeurige relaties mogelijk. We moeten voorwaarden stellen aan de verzamelingen waarop de relaties gedefinieerd zijn. De booleoperaties zijn alleen gedefinieerd voor relaties R en S als beide deelverzamelingen zijn van hetzelfde cartesisch product, en compositie en relatieve som zijn alleen mogelijk tussen relaties R op A B en S op C D als B = C. Soms wordt daarom bij een relatie als subscript het cartesisch product waarin 38 OUN

21 Leereenheid 16 Boolealgebra s deze gedefinieerd is meegegeven. Wij zullen dat in deze paragraaf niet doen, en er steeds van uit gaan dat de operaties zijn toegestaan. In het begin van deze paragraaf merkten we op dat alle relaties op A B een boolealgebra vormen. Bij relatiealgebra heb je daardoor te maken met een verzameling boolealgebra s, één voor elk cartesisch produkt. Daaruit volgt dat de axioma s en regels uit boolealgebra ook voor relaties gelden, zoals bijvoorbeeld in de volgende toepassing van De Morgan: (Docent_van Mentor_van) C = Docent_van C Mentor_van C Naast de regels van een boolealgebra gelden er in een relatiealgebra extra regels. U bent één regel al tegengekomen in opgave De belangrijkste regels zijn: (R S) C = R C ; S C 16.1 R C = R C 16.2 R ; (S T) = (R ; S) (R ; T) 16.3 (S T) ; R = (S ; R) (T ; R) 16.4 R ; (S ; T) = (R ; S) ; T 16.5 R (S T) = (R S) T 16.6 (R S) = R S 16.7 (R S) = R S 16.8 (R ; S) = S ; R 16.9 Uit deze regels kunnen we andere regels afleiden, als voorbeeld geven we de afleiding van R (S T) = (R S) (R T). R (S T) = dubbel complement (R (S T)) CC = 16.1 (R C ; (S T) C ) C = De Morgan (R C ; (S C T C )) C = ((R C ; S C ) (R C ; T C )) C = De Morgan (R C ; S C ) C (R C ; T C ) C = (R S) CC (R T) CC = dubbel complement (R S) (R T) OPGAVE Bewijs met behulp van de regels voor een boolealgebra en de relatiealgebra regels 16.1 t/m 16.9: a (R ; S) C = R C S C b (R S) = S R TOEPASSING VAN RELATIEALGEBRA OP BEDRIJFSREGELS Organisaties en bedrijven hebben te maken met een steeds sneller veranderende omgeving. Om hier op een flexibele manier mee om te kunnen gaan, is het handig om te beschikken over een aparte beschrijving van kennis en procedures binnen een organisatie of bedrijf. Deze beschrijving wordt vastgelegd in bedrijfsregels. Dit kan met behulp van gestructureerde taal of meer formeel met predikaatlogica. Als we te maken hebben met een organisatie waar veel verschillende relaties optreden, en de regels vooral over de verbanden van deze relaties gaan, kan het handiger zijn om te kiezen voor relatiealgebra als modelleertaal. OUN 39

22 Discrete wiskunde B Als voorbeeld bekijken we de organisatie waarvan we in voorbeeld 16.7 al een beschrijving gaven. We hebben te maken met studenten en stafleden en de relaties Mentor_van, Docent_van en Afgerond. Om te stimuleren dat mentoren hun taak goed uitvoeren, krijgen ze de mogelijkheid een bonus te verdienen. De bonus is aan een jaar gebonden en is dus te zien als een relatie in W J, die bestaat uit paren staflid-jaar, waarbij het staflid een bonus krijgt over een bepaald jaar. De regel die voor het verdienen van een bonus gegeven wordt is: een staflid w krijgt geen bonus over een jaar als er minstens één student s is, waarvan w mentor maar geen docent is, die zijn of haar vakken voor het jaar j niet heeft afgerond. Hoe kunnen we nu deze paren (staflid, jaar) beschrijven in termen van relaties? In voorbeeld 16.7 hebt u al gezien dat Mentor_van ; Afgerond c bestaat uit paren (w, j) zodat er minstens één student is waarvan w mentor is en die niet alle geroosterde vakken voor het jaar j heeft afgerond. Om uit te sluiten dat een mentor tevens docent is, doorsnijden we Mentor_van met Docent_van C en komen zo tot de relatie (Mentor_van Docent_van C ) ; Afgerond C. Stafleden willen echter graag weten wanneer ze nu wél recht hebben op een bonus, met andere woorden, wat is precies het complement van (Mentor_van Docent_van C ) ; Afgerond C. Met behulp van de regels uit de vorige paragraaf kunnen we dit in een handzamere vorm herschrijven: Bonus = ((Mentor_van Docent_van C ) ; Afgerond C ) C = opgave a (Mentor_van Docent_van C ) C Afgerond CC = dubbel complement (Mentor_van Docent_van C ) C Afgerond = De Morgan (Mentor_van C Docent_van CC ) Afgerond = dubbel complement (Mentor_van C Docent_van) Afgerond Hiermee hebben we de relatie vastgelegd die beschrijft wanneer een staflid een bonus krijgt. Uit de definitie van relatieve som volgt nu dat een staflid w een bonus krijgt over een jaar j als voor elke student s geldt dat Mentor_van C Docent_van(w, s) of Afgerond(j, s). Dus een staflid w krijgt een bonus over een jaar j als elke student s ofwel het jaar j heeft afgerond, ofwel w niet als mentor heeft ofwel w als docent heeft. Merk op dat dit alleen een zinvolle regeling is als elk staflid studenten heeft waarvan hij of zij mentor is, maar geen docent. Ook deze voorwaarde is weer met behulp van relatiealgebra vast te leggen. In de cursus Bedrijfsregels (zie studienet voor de cursuscode) komt uitvoerig aan de orde hoe dit kan. 40 OUN