2WO12: Optimalisering in Netwerken

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "2WO12: Optimalisering in Netwerken"

Transcriptie

1 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

2 Overzicht Tot nog toe: grafen, kleuren en routeren Vandaag: graafrepresentaties en complexiteit problemen en algoritmes representeren van grafen (in een computer) complexiteit (efficiëntie) van algoritmes Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

3 Problemen Een algoritmische probleemklasse (kortweg probleem) bestaat uit karakterisaties van toegelaten invoer (input) en gewenste uitvoer (output) als functie van de invoer. Een instantie ontstaat als één toegelaten invoer gekozen wordt. Voorbeeld Probleem: Euler Graaf (EG) Gegeven: een samenhangende graaf G Gevraagd: is G een Euler graaf? Een instantie van dit probleem is bijvoorbeeld: Is K 4 een Euler graaf? Een probleem is een beslissingsprobleem als het vraagt om een ja- of nee-antwoord. Bijvoorbeeld probleem EG is een beslissingsprobleem. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

4 Voorbeeld Probleem: Hamilton Circuit (HC) Gegeven: een graaf G Bepaal of G een Hamilton graaf is en zo ja, geef een Hamilton-circuit van G HC is een constructieprobleem Voorbeeld Pobleem: Travelling Salesman Problem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R + Gevraagd: een Hamilton circuit in G van minimale kosten TSP is een optimaliseringsprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

5 Voorbeeld Probleem: Number of Hamilton Circuits (#HC) Gegeven: een graaf G Bepaal hoeveel Hamilton-circuits G heeft HC is een telprobleem Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

6 Definitie Een algoritme (algorithm) voor een probleem is een methode om elke mogelijke instantie van het probleem op te lossen, die voldoet aan: (1) eindigheid (beschreven door eindige text) (2) uitvoerbaarheid (instructies mechanisch uit te voeren) (3) terminatie (stopt na eindig aantal stappen) (4) gedetermineerdheid (geen gokken) Definitie Een niet-deterministisch algoritme is een methode die aan (1-3) voldoet maar niet aan (4). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

7 Voorbeeld Probleem: Euler Graaf (EG) Gegeven: een samenhangende graaf G Gevraagd: is G een Euler graaf? Een algoritme voor het probleem Euler Graaf: bepaal voor elk punt van G de graad als alle graden even zijn, geef dan als antwoord ja (G is een Euler graaf) als er een oneven graad voorkomt, geef dan als antwoord nee (G is geen Euler graaf) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

8 Voorbeeld Pobleem: Travelling Salesman Problem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R + Gevraagd: een Hamilton circuit in G van minimale kosten Een algoritme voor het probleem Travelling Salesman Problem (TSP): voor elke permutatie (v 1, v 2,..., v n ) van de punten van G bepaal de kosten van het Hamilton circuit (v n = v 0, v 1, v 2,..., v n ), d.w.z. n 1 c(v i, v i+1 ) i=0 geef als uitvoer een Hamilton circuit met laagste kosten Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

9 Graafrepresentaties: Lijst van lijnen Lijst van lijnen: [[1, 2], [2, 3], [2, 4], [1, 4], [3, 4]] Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

10 Lijst van pijlen Lijst van pijlen: [(1, 2), (2, 3), (4, 2), (1, 4), (3, 4)] 4 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

11 Verbindingsmatrix ongerichte graaf Verbindingsmatrix: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

12 Verbindingsmatrix gerichte graaf Verbindingsmatrix: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

13 Incidentiematrix ongerichte graaf Incidentiematrix: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

14 Incidentiematrix gerichte graaf Incidentiematrix: Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

15 Verbindingslijsten Verbindingslijsten: A 1 = [2, 4] A 3 = [2, 4] A 2 = [1, 3, 4] A 4 = [1, 2, 3] Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

16 In- en uitlijsten gerichte graaf Uitlijsten: 4 A uit 1 = [2, 4] A uit 2 = [3] A uit 3 = [4] A uit 4 = [2] Inlijsten: A in 1 = [] Ain 2 = [1, 4] Ain 3 = [2] Ain 4 = [1, 3] Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

17 Incidentielijsten Incidentielijsten: A 1 = [(1, 2), (4, 4)] A 2 = [(1, 1), (2, 3), (3, 4)] A 3 = [(2, 2), (5, 4)] A 4 = [(3, 2), (4, 1), (5, 3)] Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

18 Definitie De (tijds)complexiteit (time complexity) van een algoritme A is de functie f : N N met f (n) het aantal elementaire stappen dat A in het ergste geval ( worst-case ) nodig heeft om een instantie met invoerlengte n op te lossen. de invoerlengte van een instantie is het aantal bits dat nodig is om de invoer van de instantie te representeren het begrip elementaire stap hangt af van het gekozen computermodel de tijdscomplexiteit van een algoritme wordt ook vaak de looptijd (running time) genoemd Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

19 RAM computermodel RAM = Random Access Machine elementaire stappen: o.a. rekenkundige bewerkingen van getallen (optellen, vermenigvuldigen, enz.), vergelijken van getallen, lezen en schrijven van een geheugenplaats, volgen van pointer in één geheugenplaats past een 0,1-string van eindige maar onbeperkte lengte Elk element van de invoer (elk punt, elke lijn, elk rationeel getal) kan gecodeerd als 0-1 string in één geheugenplaats worden opgeslagen Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

20 Om complexiteit (of andere functies) af te schatten wordt vaak de volgende big-o notatie gebruikt: Definitie Laten f en g twee functies van N naar R + zijn, dan is f (n) = O(g(n)) als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 f (n) = Ω(g(n)) als als er c > 0 en n 0 N bestaan zodanig dat f (n) c g(n) voor alle n n 0 f (n) = Θ(g(n)) als f (n) = O(g(n)) en f (n) = Ω(g(n)) Definitie Een algoritme is polynomiaal als het tijdscomplexiteit O(p(n)) heeft met p(n) een polynoom. Definitie Een algoritme is exponentieel als het tijdscomplexiteit Ω(f (n)) heeft met f (n) een exponentiële functie (f (n) = a n voor een constante a > 1). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

21 Definitie De klasse P is de klasse van alle beslissingsproblemen waarvoor een polynomiaal algoritme bestaat. Definitie De klasse N P is de klasse van alle beslissingsproblemen waarvoor een polynomiaal niet-deterministisch algoritme bestaat. Eén van de zeven millennium problemen ($ ): is P = N P? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

22 Graafalgoritmes Stel een graafalgoritme heeft als invoer een graaf met: V punten E lijnen W het maximale gewicht van een punt/lijn (in het geval het een gewogen graaf betreft) Definitie Een graafalgoritme is polynomiaal als zijn complexiteit een polynoom in V, E en log(w ) is. Definitie Een graafalgoritme is sterk polynomiaal als zijn complexiteit een polynoom in V en E is. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

23 Voorbeeld Probleem: Euler Graaf (EG) Gegeven: een samenhangende graaf G Gevraagd: is G een Euler graaf? Een algoritme voor het probleem Euler Graaf: bepaal voor elk punt van G de graad als alle graden even zijn, geef dan als antwoord ja (G is een Euler graaf) als er een oneven graad voorkomt, geef dan als antwoord nee (G is geen Euler graaf) Wat is de complexiteit van dit algoritme? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

24 Voorbeeld Pobleem: Travelling Salesman Problem (TSP) Gegeven: een volledige graaf G = (V, E) en een kostenfunctie c : E R + Gevraagd: een Hamilton circuit in G van minimale kosten Een algoritme voor het probleem Travelling Salesman Problem (TSP): voor elke permutatie (v 1, v 2,..., v n ) van de punten van G bepaal de kosten van het Hamilton circuit (v n = v 0, v 1, v 2,..., v n ), d.w.z. n 1 c(v i, v i+1 ) i=0 geef als uitvoer een Hamilton circuit met laagste kosten Wat is de complexiteit van dit algoritme? Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

25 To find the way out of a labyrinth, William recited, there is only one means. At every new junction, never seen before, the path we have taken will be marked with three signs. If, because of previous signs on some of the paths of the junction, you see that the junction has already been visited, you will make only one mark on the path you have taken. If all the apertures have already been marked, then you must retrace your steps. But if one or two apertures of the junction are still without signs, you will choose any one, making two signs on it. Proceeding through an aperture that bears only one sign, your will make two more, so that now the aperture bears three. All the parts of the labyrinth must have been visited if, arriving at a junction, you never take a passage with three signs, unless none of the other passages is now without signs. How do you know that? Are you an expert on labyrinths? No, I am citing an ancient text I once read. And by observing this rule you get out? Almost never, as far as I know. But we will try it, all the same. And besides, within the next day or so I will have lenses and time to devote myself more to the books. (The Name of the Rose, Umberto Eco) Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

26 De uitgang vinden van een labyrint Wanneer je een gang inloopt: Markeer de ingang met een kruis Wanneer je een kamer voor de eerste keer inloopt: Markeer de gang waardoor je binnenkomt met een cirkel Wanneer je een kamer uitgaat: 1. Neem nooit een gang gemarkeerd met een 2. Neem alleen een gang gemarkeerd met een als er geen andere opties zijn Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

27 Lemma (1) Je gaat nooit twee keer door dezelfde gang in dezelfde richting. Lemma (2) Als je vast komt te zitten dan: 1 ben je in de beginkamer en 2 zijn alle aanliggende gangen al in beide richtingen doorlopen. Lemma (3) Als je vast komt te zitten dan zijn alle gangen die bereikbaar zijn vanuit de beginkamer al in beide richtingen doorlopen. Stelling Als er een weg naar een uitgang is, dan vind je die. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

28 Depth-first-search (DFS) vanuit een punt s in een graaf gegeven door verbindingslijsten A v voor v V : Algoritme zet s in een lijst Q en markeer s als bezocht herhaal de volgende stappen totdat Q leeg is: beschouw het laatste punt v uit lijst Q als er een punt w in Av is dat nog niet bezocht is zet w achteraan in lijst Q markeer w als bezocht zet lijn {v, w} in een lijst van gebruikte lijnen als alle buren van v al bezocht zijn, verwijder v uit Q De gebruikte lijnen vormen een opspannende boom. Deze boom wordt de DFS-boom genoemd. Dezelfde methode kan ook gebruikt worden voor gerichte grafen. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

29 Breadth-first-search (BFS) vanuit een punt s in een graaf gegeven door verbindingslijsten A v voor v V : Algoritme zet s in een lijst Q en markeer s als bezocht herhaal de volgende stappen totdat Q leeg is: verwijder het eerste punt v uit lijst Q voor elk punt w uit Av dat nog niet bezocht is: zet w achteraan in lijst Q markeer w als bezocht zet lijn {v, w} in een lijst van gebruikte lijnen De gebruikte lijnen vormen een opspannende boom. Deze boom wordt de BFS-boom genoemd. Dezelfde methode kan ook gebruikt worden voor gerichte grafen. Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

30 Voorbeeld Wat is de complexiteit van het algoritme van Ford-Fulkerson voor het vinden van een maximum stroom, als alle capaciteiten geheeltallig zijn? Maximum-stroom algoritme: 1 Begin met f (a) = 0 voor alle a A 2 Vind een betere stroom met het stroomvermeerderingsalgoritme 3 Herhaal stap (2) totdat het stroomvermeerderingsalgoritme een snede geeft Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

31 Stroomvermeerderingsalgoritme Maak een hulpgraaf D f = (V, A f ) als volgt. Voor elke pijl (u, v) van D: als f (u, v) < c(u, v) dan (u, v) A f als f (u, v) > 0 dan (v, u) A f Geval 1: er bestaat een pad P van s naar t in D f. Definieer: Geval 2: α := min({c(u, v) f (u, v) (u, v) ligt op P} {f (u, v) (v, u) ligt op P}) Vermeerder stroom f als volgt tot stroom f : f (u, v) := f (u, v) + α f (u, v) := f (u, v) α f (u, v) := f (u, v) als (u, v) op P ligt als (v, u) op P ligt anders er bestaat geen pad van s naar t in D f. Definieer: U := {u V er bestaat een pad van s naar u in D f } Dan is δ + (U) een s-t snede met cap(δ + (U)) =waarde(f ). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

32 Stelling (Dinits en Edmonds-Karp) Het Ford-Fulkerson algoritme heeft polynomiale looptijd als elke iteratie een kortste stroomvermeerderende pad gekozen wordt. Lemma µ(d) := lengte kortste s-t-pad in D α(d) := verzameling van pijlen die op minstens één kortste s-t-pad liggen α(d) := {(v, u) (u, v) α(d)} Als D = (V, A) en D = (V, A α(d)) dan is µ(d) = µ(d ) en α(d) = α(d ). Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in Netwerken 20 februari / 32

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

ALGORITMIEK: answers exercise class 7

ALGORITMIEK: answers exercise class 7 Problem 1. See slides 2 4 of lecture 8. Problem 2. See slides 4 6 of lecture 8. ALGORITMIEK: answers exercise class 7 Problem 5. a. Als we twee negatieve (< 0) getallen bij elkaar optellen is het antwoord

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zesde college

Grafen deel 2 8/9. Zesde college Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Analyse 6 januari 203, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

DALISOFT. 33. Configuring DALI ballasts with the TDS20620V2 DALI Tool. Connect the TDS20620V2. Start DALISOFT

DALISOFT. 33. Configuring DALI ballasts with the TDS20620V2 DALI Tool. Connect the TDS20620V2. Start DALISOFT TELETASK Handbook Multiple DoIP Central units DALISOFT 33. Configuring DALI ballasts with the TDS20620V2 DALI Tool Connect the TDS20620V2 If there is a TDS13620 connected to the DALI-bus, remove it first.

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Bewijzen en Technieken 1 7 januari 211, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe.

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010 FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Toets Inleiding Kansrekening 1 8 februari 2010 Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

B1 Woordkennis: Spelling

B1 Woordkennis: Spelling B1 Woordkennis: Spelling Bestuderen Inleiding Op B1 niveau gaan we wat meer aandacht schenken aan spelling. Je mag niet meer zoveel fouten maken als op A1 en A2 niveau. We bespreken een aantal belangrijke

Nadere informatie

Vergaderen in het Engels

Vergaderen in het Engels Vergaderen in het Engels In dit artikel beschrijven we verschillende situaties die zich kunnen voordoen tijdens een business meeting. Na het doorlopen van deze zinnen zal je genoeg kennis hebben om je

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK EN BEHANDELING (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM

ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK EN BEHANDELING (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM Read Online and Download Ebook ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK EN BEHANDELING (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM DOWNLOAD EBOOK : ANGSTSTOORNISSEN EN HYPOCHONDRIE: DIAGNOSTIEK STAFLEU

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

Het beheren van mijn Tungsten Network Portal account NL 1 Manage my Tungsten Network Portal account EN 14

Het beheren van mijn Tungsten Network Portal account NL 1 Manage my Tungsten Network Portal account EN 14 QUICK GUIDE C Het beheren van mijn Tungsten Network Portal account NL 1 Manage my Tungsten Network Portal account EN 14 Version 0.9 (June 2014) Per May 2014 OB10 has changed its name to Tungsten Network

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Angststoornissen en hypochondrie: Diagnostiek en behandeling (Dutch Edition) Click here if your download doesn"t start automatically

Angststoornissen en hypochondrie: Diagnostiek en behandeling (Dutch Edition) Click here if your download doesnt start automatically Angststoornissen en hypochondrie: Diagnostiek en behandeling (Dutch Edition) Click here if your download doesn"t start automatically Angststoornissen en hypochondrie: Diagnostiek en behandeling (Dutch

Nadere informatie

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.

Alle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave. WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

The first line of the input contains an integer $t \in \mathbb{n}$. This is followed by $t$ lines of text. This text consists of:

The first line of the input contains an integer $t \in \mathbb{n}$. This is followed by $t$ lines of text. This text consists of: Document properties Most word processors show some properties of the text in a document, such as the number of words or the number of letters in that document. Write a program that can determine some of

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Tentamen Analyse 8 december 203, duur 3 uur. Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als jeeen onderdeel

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur

Tentamen IN3105. Complexiteitstheorie. 16 april 2012, uur Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Ti Delft Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 16 april 2012, 9.00-12.00 uur Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, hours.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, hours. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Examination 2DL04 Friday 16 november 2007, 14.00-17.00 hours. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk

Nadere informatie

This appendix lists all the messages that the DRS may send to a registrant's administrative contact.

This appendix lists all the messages that the DRS may send to a registrant's administrative contact. This appendix lists all the messages that the DRS may send to a registrant's administrative contact. Subject: 1010 De houdernaam voor #domeinnaam# is veranderd / Registrant of #domeinnaam# has been changed

Nadere informatie

Handleiding Nederlands leren. in de bibliotheek NT2 SCHOOL NT2. Natuurlijk Nederlands leren en inburgeren

Handleiding Nederlands leren. in de bibliotheek NT2 SCHOOL NT2. Natuurlijk Nederlands leren en inburgeren Handleiding Nederlands leren in de bibliotheek NT SCHOOL NT Natuurlijk Nederlands leren en inburgeren Nederlands leren in de bibliotheek In Bibliotheek Zuid-Kennemerland kun je Nederlands leren met boeken

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

9 daagse Mindful-leSs 3 stappen plan training

9 daagse Mindful-leSs 3 stappen plan training 9 daagse Mindful-leSs 3 stappen plan training In 9 dagen jezelf volledig op de kaart zetten Je energie aangevuld en in staat om die batterij op peil te houden. Aan het eind heb jij Een goed gevoel in je

Nadere informatie

Handleiding Nederlands leren. in de bibliotheek NT2 SCHOOL NT2. Natuurlijk Nederlands leren en inburgeren

Handleiding Nederlands leren. in de bibliotheek NT2 SCHOOL NT2. Natuurlijk Nederlands leren en inburgeren Handleiding Nederlands leren in de bibliotheek NT SCHOOL NT Natuurlijk Nederlands leren en inburgeren NEDERLANDS LEREN IN DE OBA In de OBA kun je Nederlands leren met boeken en op de computer. Op de 5de

Nadere informatie

Settings for the C100BRS4 MAC Address Spoofing with cable Internet.

Settings for the C100BRS4 MAC Address Spoofing with cable Internet. Settings for the C100BRS4 MAC Address Spoofing with cable Internet. General: Please use the latest firmware for the router. The firmware is available on http://www.conceptronic.net! Use Firmware version

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

L.Net s88sd16-n aansluitingen en programmering.

L.Net s88sd16-n aansluitingen en programmering. De L.Net s88sd16-n wordt via één van de L.Net aansluitingen aangesloten op de LocoNet aansluiting van de centrale, bij een Intellibox of Twin-Center is dat de LocoNet-T aansluiting. L.Net s88sd16-n aansluitingen

Nadere informatie

Comics FILE 4 COMICS BK 2

Comics FILE 4 COMICS BK 2 Comics FILE 4 COMICS BK 2 The funny characters in comic books or animation films can put smiles on people s faces all over the world. Wouldn t it be great to create your own funny character that will give

Nadere informatie

General info on using shopping carts with Ingenico epayments

General info on using shopping carts with Ingenico epayments Inhoudsopgave 1. Disclaimer 2. What is a PSPID? 3. What is an API user? How is it different from other users? 4. What is an operation code? And should I choose "Authorisation" or "Sale"? 5. What is an

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

Introductie in flowcharts

Introductie in flowcharts Introductie in flowcharts Flow Charts Een flow chart kan gebruikt worden om: Processen definieren en analyseren. Een beeld vormen van een proces voor analyse, discussie of communicatie. Het definieren,

Nadere informatie

Chromosomal crossover

Chromosomal crossover Chromosomal crossover As one of the last steps of genetic recombination two homologous chromosomes can exchange genetic material during meiosis in a process that is referred to as synapsis. Because of

Nadere informatie

TAAL ACTIEF GROEP 8 SPELLING 2 PDF

TAAL ACTIEF GROEP 8 SPELLING 2 PDF TAAL ACTIEF GROEP 8 SPELLING 2 PDF ==> Download: TAAL ACTIEF GROEP 8 SPELLING 2 PDF TAAL ACTIEF GROEP 8 SPELLING 2 PDF - Are you searching for Taal Actief Groep 8 Spelling 2 Books? Now, you will be happy

Nadere informatie

Algorithms for Max-Flow

Algorithms for Max-Flow Algorithms for Max-Flow Consider a network with given upper bounds for the capacities of the arcs, and one entry and one exit node. The max-flow problem consists in finding a maximal flow through the network

Nadere informatie

3 I always love to do the shopping. A Yes I do! B No! I hate supermarkets. C Sometimes. When my mother lets me buy chocolate.

3 I always love to do the shopping. A Yes I do! B No! I hate supermarkets. C Sometimes. When my mother lets me buy chocolate. 1 Test yourself read a Lees de vragen van de test. Waar gaat deze test over? Flash info 1 In the morning I always make my bed. A Yes. B No. C Sometimes, when I feel like it. 2 When I see an old lady with

Nadere informatie

een kopie van je paspoort, een kopie van je diploma voortgezet onderwijs (hoogst genoten opleiding), twee pasfoto s, naam op de achterkant

een kopie van je paspoort, een kopie van je diploma voortgezet onderwijs (hoogst genoten opleiding), twee pasfoto s, naam op de achterkant Vragenlijst in te vullen en op te sturen voor de meeloopochtend, KABK afdeling fotografie Questionnaire to be filled in and send in before the introduction morning, KABK department of Photography Stuur

Nadere informatie

ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF

ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF ==> Download: ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF ECHTE MANNEN ETEN GEEN KAAS PDF - Are you searching for Echte Mannen Eten Geen Kaas Books? Now, you will be happy that at this

Nadere informatie

1. will + hele werkwoord (Future Simple) 2. shall + hele werkwoord 3. to be (am/is/are) going to + hele werkwoord

1. will + hele werkwoord (Future Simple) 2. shall + hele werkwoord 3. to be (am/is/are) going to + hele werkwoord FUTURE TENSE ( TOEKOMENDE TIJD ) Hoe? 1. will + hele werkwoord (Future Simple) 2. shall + hele werkwoord 3. to be (am/is/are) going to + hele werkwoord Wanneer? Ad 1. Als iets in de toekomst zal gebeuren

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

Engels op Niveau A2 Workshops Woordkennis 1

Engels op Niveau A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Woordkennis 1 Bestuderen Hoe leer je 2000 woorden? Als je een nieuwe taal wilt spreken en schrijven, heb je vooral veel nieuwe woorden nodig. Je

Nadere informatie

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014 Grafen en BFS Mark Lekkerkerker 24 februari 2014 1 Grafen Wat is een graaf? Hoe representeer je een graaf? 2 Breadth-First Search Het Breadth-First Search Algoritme Schillen De BFS boom 3 Toepassingen

Nadere informatie

Teksten van de liederen die gospelkoor Inspiration tijdens deze Openluchtdienst zingt.

Teksten van de liederen die gospelkoor Inspiration tijdens deze Openluchtdienst zingt. Don t you worry There s an eternity behind us And many days are yet to come, This world will turn around without us Yes all the work will still be done. Look at ever thing God has made See the birds above

Nadere informatie

Quick start guide. Powerbank MI Mah. Follow Fast All rights reserved. Page 1

Quick start guide. Powerbank MI Mah. Follow Fast All rights reserved. Page 1 Quick start guide Powerbank MI 16.000 Mah Follow Fast 2016 - All rights reserved. Page 1 ENGLISH The Mi 16000 Power Bank is a very good backup option for those on the move. It can keep you going for days

Nadere informatie

Zo werkt het in de apotheek (Basiswerk AG) (Dutch Edition)

Zo werkt het in de apotheek (Basiswerk AG) (Dutch Edition) Zo werkt het in de apotheek (Basiswerk AG) (Dutch Edition) C.R.C. Huizinga-Arp Click here if your download doesn"t start automatically Zo werkt het in de apotheek (Basiswerk AG) (Dutch Edition) C.R.C.

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

AXIOMATIEK VAN GETALLEN, vergezichten vanuit mijn ivoren toren

AXIOMATIEK VAN GETALLEN, vergezichten vanuit mijn ivoren toren AXIOMATIEK VAN GETALLEN, vergezichten vanuit mijn ivoren toren Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW symposium Rekenen, 30 juni 2014 Wat volgt is slechts mijn eigen mening. Deze aantekeningen zal ik op

Nadere informatie

Understanding and being understood begins with speaking Dutch

Understanding and being understood begins with speaking Dutch Understanding and being understood begins with speaking Dutch Begrijpen en begrepen worden begint met het spreken van de Nederlandse taal The Dutch language links us all Wat leest u in deze folder? 1.

Nadere informatie

News: Tours this season!

News: Tours this season! 1 Do you remember? Lees de zinnen en vul de juiste woorden in. Kies uit: like listen presenter too loud great show number next crowd singer. Let op: je houdt twee woorden over. Welcome back to the best

Nadere informatie

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46

Datastructuren. Analyse van algoritmen. José Lagerberg. FNWI, UvA. José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren Analyse van algoritmen José Lagerberg FNWI, UvA José Lagerberg (FNWI, UvA) Datastructuren 1 / 46 Datastructuren en Algoritmen Datastructuren, 6 ECTS eerstejaars Bachelor INF Datastructuren,

Nadere informatie

BIJBEL IN GEWONE TAAL PDF

BIJBEL IN GEWONE TAAL PDF BIJBEL IN GEWONE TAAL PDF ==> Download: BIJBEL IN GEWONE TAAL PDF BIJBEL IN GEWONE TAAL PDF - Are you searching for Bijbel In Gewone Taal Books? Now, you will be happy that at this time Bijbel In Gewone

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN GENEESMIDDELEN (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM

RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN GENEESMIDDELEN (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM Read Online and Download Ebook RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN GENEESMIDDELEN (DUTCH EDITION) FROM BOHN STAFLEU VAN LOGHUM DOWNLOAD EBOOK : RECEPTEERKUNDE: PRODUCTZORG EN BEREIDING VAN STAFLEU

Nadere informatie

20 twenty. test. This is a list of things that you can find in a house. Circle the things that you can find in the tree house in the text.

20 twenty. test. This is a list of things that you can find in a house. Circle the things that you can find in the tree house in the text. 9006625806_boek.indd 1 31/08/16 15:26 1 6 test This is a list of things that you can find in a house. Circle the things that you can find in the tree house in the text. living room kitchen bedroom toilet

Nadere informatie

De grondbeginselen der Nederlandsche spelling / Regeling der spelling voor het woordenboek der Nederlandsche taal (Dutch Edition)

De grondbeginselen der Nederlandsche spelling / Regeling der spelling voor het woordenboek der Nederlandsche taal (Dutch Edition) De grondbeginselen der Nederlandsche spelling / Regeling der spelling voor het woordenboek der Nederlandsche taal (Dutch Edition) L. A. te Winkel Click here if your download doesn"t start automatically

Nadere informatie

TOEGANG VOOR NL / ENTRANCE FOR DUTCH : https://www.stofs.co.uk/en/register/live/?regu lator=c&camp=24759

TOEGANG VOOR NL / ENTRANCE FOR DUTCH : https://www.stofs.co.uk/en/register/live/?regu lator=c&camp=24759 DISCLAIMER : 1. Het is een risicovolle belegging / It is an investment with risc. 2. Gebruik enkel geld dat u kan missen / Only invest money you can miss. 3. Gebruik de juiste procedure / Use the correct

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

Main language Dit is de basiswoordenschat. Deze woorden moeten de leerlingen zowel passief als actief kennen.

Main language Dit is de basiswoordenschat. Deze woorden moeten de leerlingen zowel passief als actief kennen. Lesbrief Les 2.1: My family Main language Dit is de basiswoordenschat. Deze woorden moeten de leerlingen zowel passief als actief kennen. Nouns: brother, sister, cousin, mother, father, aunt, uncle, grandmother,

Nadere informatie

In the classroom. Who is it? Worksheet

In the classroom. Who is it? Worksheet In the classroom 1 Lees wat de meester doet als hij s morgens op school komt. Lees ook wat een leerling doet. Wie van de twee doet het meest voordat de les begint? First, I go to my desk and take out my

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

Opgave 2 Geef een korte uitleg van elk van de volgende concepten: De Yield-to-Maturity of a coupon bond.

Opgave 2 Geef een korte uitleg van elk van de volgende concepten: De Yield-to-Maturity of a coupon bond. Opgaven in Nederlands. Alle opgaven hebben gelijk gewicht. Opgave 1 Gegeven is een kasstroom x = (x 0, x 1,, x n ). Veronderstel dat de contante waarde van deze kasstroom gegeven wordt door P. De bijbehorende

Nadere informatie

Ontpopping. ORGACOM Thuis in het Museum

Ontpopping. ORGACOM Thuis in het Museum Ontpopping Veel deelnemende bezoekers zijn dit jaar nog maar één keer in het Van Abbemuseum geweest. De vragenlijst van deze mensen hangt Orgacom in een honingraatpatroon. Bezoekers die vaker komen worden

Nadere informatie

OUTDOOR HD BULLET IP CAMERA PRODUCT MANUAL

OUTDOOR HD BULLET IP CAMERA PRODUCT MANUAL OUTDOOR HD BULLET IP CAMERA PRODUCT MANUAL GB - NL GB PARTS & FUNCTIONS 1. 7. ---- 3. ---- 4. ---------- 6. 5. 2. ---- 1. Outdoor IP camera unit 2. Antenna 3. Mounting bracket 4. Network connection 5.

Nadere informatie

ZO GAAT DAT IN RUSLAND PDF

ZO GAAT DAT IN RUSLAND PDF ZO GAAT DAT IN RUSLAND PDF ==> Download: ZO GAAT DAT IN RUSLAND PDF ZO GAAT DAT IN RUSLAND PDF - Are you searching for Zo Gaat Dat In Rusland Books? Now, you will be happy that at this time Zo Gaat Dat

Nadere informatie

VAN HET VAGEVUUR IN DE HEL PDF

VAN HET VAGEVUUR IN DE HEL PDF VAN HET VAGEVUUR IN DE HEL PDF ==> Download: VAN HET VAGEVUUR IN DE HEL PDF VAN HET VAGEVUUR IN DE HEL PDF - Are you searching for Van Het Vagevuur In De Hel Books? Now, you will be happy that at this

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

150 ECG-problemen (Dutch Edition)

150 ECG-problemen (Dutch Edition) 150 ECG-problemen (Dutch Edition) John R. Hampton, Piet Machielse Click here if your download doesn"t start automatically 150 ECG-problemen (Dutch Edition) John R. Hampton, Piet Machielse 150 ECG-problemen

Nadere informatie

De ondernemende psychotherapeut (Dutch Edition)

De ondernemende psychotherapeut (Dutch Edition) De ondernemende psychotherapeut (Dutch Edition) Dick Bouman Click here if your download doesn"t start automatically De ondernemende psychotherapeut (Dutch Edition) Dick Bouman De ondernemende psychotherapeut

Nadere informatie

EM7680 Firmware Update by OTA

EM7680 Firmware Update by OTA EM7680 Firmware Update by OTA 2 NEDERLANDS/ENGLISH EM7680 Firmware update by OTA Table of contents 1.0 (NL) Introductie... 3 2.0 (NL) Firmware installeren... 3 3.0 (NL) Release notes:... 3 4.0 (NL) Overige

Nadere informatie

Voorbeelden van machtigingsformulieren Nederlands Engels. Examples of authorisation forms (mandates) Dutch English. Juli 2012 Versie 2.

Voorbeelden van machtigingsformulieren Nederlands Engels. Examples of authorisation forms (mandates) Dutch English. Juli 2012 Versie 2. Voorbeelden van machtigingsformulieren Nederlands Engels Examples of authorisation forms (mandates) Dutch English Voorbeelden machtigingsformulieren standaard Europese incasso Examples of authorisation

Nadere informatie

Pattern Cronelia s Seashell blanket

Pattern Cronelia s Seashell blanket Pattern Cronelia s Seashell blanket I got the inspiration for his blanket from a postcard I once bought. Pagina 1 Cygnet Yarns has lovely colours in their range that reminded me of those shells. For this

Nadere informatie

Davide's Crown Caps Forum

Davide's Crown Caps Forum pagina 1 van 6 Davide's Crown Caps Forum A Forum for Crown Cap Collectors Zoeken Uitgebreid zoeken Zoeken Forumindex Crown Caps Unknown Caps Lettergrootte veranderen vriend Afdrukweergave Gebruikerspaneel

Nadere informatie

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 7 februari 2011

FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE. Toets Inleiding Kansrekening 1 7 februari 2011 FOR DUTCH STUDENTS! ENGLISH VERSION NEXT PAGE Toets Inleiding Kansrekening 1 7 februari 2011 Voeg aan het antwoord van een opgave altijd het bewijs, de berekening of de argumentatie toe. Als je een onderdeel

Nadere informatie

Win a meet and greet with Adam Young from the band Owl City!

Win a meet and greet with Adam Young from the band Owl City! 1 Meet and greet read Lees de tekst. Wat is de prijs die je kunt winnen? early too late on time vroeg te laat op tijd Win a meet and greet with Adam Young from the band Owl City! Do you have a special

Nadere informatie

The genesis of the game is unclear. Possibly, dominoes originates from China and the stones were brought here by Marco Polo, but this is uncertain.

The genesis of the game is unclear. Possibly, dominoes originates from China and the stones were brought here by Marco Polo, but this is uncertain. Domino tiles Dominoes is a game played with rectangular domino 'tiles'. Today the tiles are often made of plastic or wood, but in the past, they were made of real stone or ivory. They have a rectangle

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus B (2WBB1) op maandag 28 januari 2013, 14:00 17:00 uur

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Calculus B (2WBB1) op maandag 28 januari 2013, 14:00 17:00 uur ENGLISH VERSION: SEE PAGE 7 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Calculus B (WBB) op maandag 8 januari 03, 4:00 7:00 uur Maak dit vel los van de rest van het tentamen.

Nadere informatie