Minimum Spanning Tree
|
|
|
- Jonathan ten Wolde
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Minimum Spanning Tree
2 Wat is MST? Minimum spanning tree De meest efficiënte manier vinden om een verbonden netwerk op te bouwen
3 Wat is een tree/boom? Graaf G: een verzameling knopen (vertices): V een verzameling kanten (edges): E V V Een boom is een graaf G waarin er één uniek simpel pad is tussen elk paar knopen Een boom is verbonden (connected): je kunt vanuit iedere knoop in iedere andere knoop komen Een boom bevat geen cykels: je kan niet in een rondje lopen
4 Hoeveel kanten heeft een boom? Een boom op n knopen heeft n 1 kanten Basisgeval: triviale boom met 1 knoop heeft 0 kanten Inductiestap: stel iedere boom met n < m knopen heeft n 1 kanten. Voor een boom met m knopen geldt dan dat l knopen l 1 kanten m l knopen m l 1 kanten
5 Hoeveel kanten heeft een boom? Een boom op n knopen heeft n 1 kanten Basisgeval: triviale boom met 1 knoop heeft 0 kanten Inductiestap: stel iedere boom met n < m knopen heeft n 1 kanten. Voor een boom met m knopen geldt dan dat hij bestaat uit een kant die twee losse bomen verbindt, één met l knopen, de ander met m l knopen. Met de IH hebben ze l 1 en m l 1 knopen. De boom heeft dus l 1 + m l = m 1 knopen l knopen l 1 kanten m l knopen m l 1 kanten
6 Definitie MST Bepaal de boom met het minste aantal kanten is dus niet zo spannend Gewogen graaf: G = V, E samen met een wegingsfunctie w: E R kent aan iedere kant een gewicht toe ( lengte ) Minimum spanning tree T van een verbonden, gewogen graaf G = V, E is een deelverzameling T E zodat (V, T) een boom is en e T w(e) minimaal is
7 Voorbeeld MST Gewicht: 35
8 MST als optimaliseringsprobleem Invoer: verbonden, gewogen graaf (V, E, w) Zoekruimte: alle deelverzamelingen van E: P(E) Toelaatbaarheid: het moet een boom zijn Doelfunctie: w T = W(e) e T
9 Bomen bouwen 1 Je kunt een bestaande boom aanpassen: Voeg een kant toe cykel dus geen boom meer Haal een kant van de cykel weg het is weer een boom
10 Bomen bouwen 2 Iedere verbonden graaf (V, E) heeft een deelverzameling T E zodat (V, T) een boom is Als (V, E) verbonden maar geen boom is dan bevat (V, E) een cykel Gooi willekeurig een kant van die cykel weg Is het resultaat een nog geen boom? Herhaal! Gevolg: graaf G verbonden en n 1 kanten G is boom Als G geen boom zou zijn zou er een deelverzameling zijn van minder dan n 1 kanten die een boom zou zijn
11 Hoe bepaal je een MST? Algoritmische trukendoos: Divide & Conquer Verdeel de graaf in twee deelgraven? Verbind de deel-mst s met de lichtste kant? Fail Dynamisch Programmeren
12 Hoe bepaal je een MST? Algoritmische trukendoos: Divide & Conquer Verdeel de graaf in twee deelgraven? Verbind de deel-mst s met de lichtste kant? Fail Dynamisch Programmeren Optimal Substructure: een optimale oplossing bevat een optimale deeloplossing Een MST bestaat uit 2 MST s verbonden door 1 edge
13 Hoe bepaal je een MST? DP heeft naast OSS ook overlapping subproblems nodig Het kan wél, maar Het probleem heeft een greedy choice property!
14 Algoritme van Prim Bouw de boom op door steeds 1 kant toe te voegen Kies een beginknoop Bekijk de knopen die je in 1 stap kunt bereiken Kies de lichtste van de uitgaande kant Je kiest steeds de lichtste boomverlatende kant
15 Algoritme van Prim
16 Algoritme van Prim
17 Algoritme van Prim
18 Algoritme van Prim
19 Algoritme van Prim
20 Algoritme van Prim
21 Algoritme van Prim
22 Algoritme van Prim
23 Algoritme van Prim
24 Implementatie van Prim Hoe kun je snel de lichtste kant vinden? Priority Queue! Representatie van het resultaat? Parent Pointers
25 Pseudocode van Prim foreach(vertex v in graph.vertices) v.key = ; root.key = 0; PQ = new PriorityQueue(graph.Vertices); while(!pq.empty) u = PQ.ExtractMin(); foreach(vertex v in u.neighbors) if(pq.contains(v) && w(u,v) < v.key) v.parent = u; PQ.DecreaseKey(v, w(u,v));
26 Algoritme van Prim Priority Queue B: 4 H: 8
27 Algoritme van Prim Priority Queue B: 4 C: 8 H: 8
28 Algoritme van Prim Priority Queue C: 8 I: 2 F: 4 D: 7 H: 8
29 Algoritme van Prim Priority Queue I: 2 F: 4 G: 6 D: 7 H: 8 H: 7
30 Algoritme van Prim
31 Pseudocode van Prim foreach(vertex v in graph.vertices) v.key = ; root.key = 0; PQ = new PriorityQueue(graph.Vertices); O(n) while(!pq.empty) O(n) u = PQ.ExtractMin(); O(log n) foreach(vertex v in u.neighbors) totaal O(m) if(pq.contains(v) && w(u,v) < v.key) v.parent = u; PQ.DecreaseKey(v, w(u,v)); O(log n) Looptijd is dus O m log n. Het kan nog sneller in O(m + n log n) met een Fibbonacciheap die doet decreasekey in O(1).
32 Pseudocode van Prim Dijkstra foreach(vertex v in graph.vertices) v.key = ; root.key = 0; PQ = new PriorityQueue(graph.Vertices); O(n) while(!pq.empty) O(n) u = PQ.ExtractMin(); O(log n) foreach(vertex v in u.neighbors) totaal O(m) if(pq.contains(v) && w(u,v) + u.key < v.key) v.parent = u; PQ.DecreaseKey(v, w(u,v) + u.key); O(log n) Looptijd is dus O m log n. Het kan nog sneller in O(m + n log n) met een Fibbonacciheap die doet decreasekey in O(1).
33 Bewijs van Prim We moeten de GCP bewijzen GCP: Zij T een MST van (V, E) en stel dat A T. Als e een lichtste kant is die een knoop in A met een knoop niet in A verbindt (e is A-verlatend), dan is A {e} deelverzameling van een MST T. Als e T dan is het goed. Stel dus dat e T. Dan bevat T {e} een cykel. Bekijk de kanten van die cykel. De cykel bevat naast e nog een A-verlatende kant f. w f w(e) dus T = e T\ f is een minimale(re) spanning tree (w T = w T + w e w f w(t))
34 Algoritme van Kruskal Prim: laat één boom steeds verder groeien Kruskal: werkt met een woud met allemaal losse stukjes boom Iedere verbonden graaf heeft een deelgraaf die boom is: Herhaald kanten van cykels weglaten Kan ook andersom: maak een boom door steeds toe te voegen: A = ; foreach(edge e in graph) if(a e bevat geen cykel) A = A {e}; Het resultaat hangt af van de volgorde!
35 Algoritme van Kruskal Bekijk de kanten van licht naar zwaar Voeg steeds de kant toe als hij geen cykel introduceert Cykels testen: Union-Find! Sort(edges); foreach(vertex v) MakeSet(v); foreach(edge e) if(findrep(e.a) FindRep(e.B)) resultaat.add(e); Union(e.A, e.b);
36 Algoritme van Kruskal Bekijk de kanten van licht naar zwaar Voeg steeds de kant toe als hij geen cykel introduceert Cykels testen: Union-Find! Sort(edges); foreach(vertex v) MakeSet(v); foreach(edge e) if(findrep(e.a) FindRep(e.B)) resultaat.add(e); Union(e.A, e.b); Sort is O m log m. O(m) union find-operaties kosten O m α m. Sorteren domineert. Totaal: O m log m = O(m log n)
37 Voorbeeld Kruskal HG IC GF AB CF IG CD HI AH BC DE FE
38 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC GF AB CF IG CD HI AH BC DE FE
39 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF AB CF IG CD HI AH BC DE FE
40 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB CF IG CD HI AH BC DE FE
41 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF IG CD HI AH BC DE FE
42 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG CD HI AH BC DE FE
43 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG: niks CD HI AH BC DE FE
44 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG: niks CD: AB CDFGHI E HI AH BC DE FE
45 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG: niks CD: AB CDFGHI E HI: niks AH BC DE FE
46 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG: niks CD: AB CDFGHI E HI: niks AH: ABCDFGHI E BC DE FE
47 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG: niks CD: AB CDFGHI E HI: niks AH: ABCDFGHI E BC: niks DE FE
48 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG: niks CD: AB CDFGHI E HI: niks AH: ABCDFGHI E BC: niks DE: ABCDEFGHI FE
49 Voorbeeld Kruskal HG: A B C D E F GH I IC: A B CI D E F GH GF: A B CI D E FGH AB: AB CI D E FGH CF: AB CFGHI D E IG: niks CD: AB CDFGHI E HI: niks AH: ABCDFGHI E BC: niks DE: ABCDEFGHI FE: niks
50 Correctheid van Kruskal Lemma: gegeven MST T van graaf (V, E). Stel dat A T. Zij e E een lichtste kant zodat A {e} cykelvrij is (en e A). Dan bestaat er MST T zodat A T en e T. Bovendien geldt dat T T e. Bewijs: Als e T neem T = T Als e T bevat T {e} een cykel A {e} is cykelvrij dus de cykel bevat kant f A, f e A {f} is cykelvrij: A f T en T is een boom e is een lichtste kant met die eigenschap dus w e w(f) Dus T = e T\ f T e is een minimale(re) MST want w T = w T + w e w f w(t).
51 Correctheid van Kruskal Het lemma is niet genoeg. Bewijs met invariant (soort inductie) initialisatie: E = {e 1, e 2,, en}, A 0 = for(i = 1 to n) invariant: A i is uit te breiden met e i t/m e n tot MST if(e i voegt geen cykel toe) else A i+1 = A i e A i+1 = A i Wil: invariant is nu waar voor i + 1 In het begin is de invariant waar (E is een verbonden graaf)
52 Correctheid van Kruskal for(i = 1 to n) invariant: A i is uit te breiden met e i t/m e n tot MST if(e i voegt geen cykel toe) A i+1 = A i e else A i+1 = A i Formeel er is MST T zodat A i T A i {e i, e n } Stel de invariant is waar voor zekere i Dan is er een MST T zodat A i T A i {e i, e n }
53 Correctheid van Kruskal for(i = 1 to n) invariant: A i is uit te breiden met e i t/m e n tot MST if(e i voegt geen cykel toe) A i+1 = A i e else A i+1 = A i Formeel er is MST T zodat A i T A i {e i, e n } Stel de invariant is waar voor zekere i Dan is er een MST T zodat A i T A i {e i, e n } Als het if-statement false is (A i e i bevat een cykel): A i+1 T is zeker waar want A i = A i+1 T A i+1 {e i+1, e n } geldt ook want e i kan geen element van T zijn, T is cykelvrij en bevat A i en A i e i is niet cykelvrij
54 Correctheid van Kruskal for(i = 1 to n) invariant: A i is uit te breiden met e i t/m e n tot MST if(e i voegt geen cykel toe) A i+1 = A i e else A i+1 = A i Formeel er is MST T zodat A i T A i {e i, e n } Stel de invariant is waar voor zekere i Dan is er een MST T zodat A i T A i {e i, e n } Als het if-statement true is (A i e i is cykelvrij) roepen we het lemma in. Er is een MST T met A i e i T T e i. Lemma: gegeven MST T van graaf (V, E). Stel dat A T. Zij e E een lichtste kant zodat A {e} cykelvrij is (en e A). Dan bestaat er MST T zodat A T en e T. Bovendien geldt dat T T e.
55 Correctheid van Kruskal for(i = 1 to n) invariant: A i is uit te breiden met e i t/m e n tot MST if(e i voegt geen cykel toe) A i+1 = A i e else A i+1 = A i Formeel er is MST T zodat A i T A i {e i, e n } Stel de invariant is waar voor zekere i Dan is er een MST T zodat A i T A i {e i, e n } Als het if-statement true is (A i e i is cykelvrij) roepen we het lemma in. Er is een MST T met A i e i T T e i. A i+1 = A i e i T dus we hoeven enkel te checken dat T A i+1 {e i+1, e n } Dat kan: T T e i A i e i, e n = A i e i e i+1, e n = A i+1 {e i+1, e n }
56 Correctheid van Kruskal initialisatie: E = {e 1, e 2,, en}, A 0 = for(i = 1 to n) invariant: A i is uit te breiden met e i t/m e n tot MST if(e i voegt geen cykel toe) else A i+1 = A i e A i+1 = A i bewezen: invariant is nog steeds waar (na ophogen i) Zodra de for-loop klaar is dan is A n+1 met e n+1 t/m e n uit te breiden tot MST dus is A n+1 een MST.
57 Is de MST uniek? Nee, maar wel als de kantgewichten uniek zijn! Stel G = (V, E, w) is een ongerichte gewogen graaf en w is injectief (verschillende kanten naar verschillende waarden). Stel we hebben T, U E MST s van G en ze zijn niet hetzelfde. Dan zijn er kanten die in precies 1 van T, U zitten. Bekijk de laagste kant e die niet in beide zit. Stel z.v.a. dat e T. Dan bevat U {e} een cykel. e T en T bevat géén cykel dus 1 cykelkant f zit alleen in U.
58 Is de MST uniek? Nee, maar wel als de kantgewichten uniek zijn! Stel G = (V, E, w) is een ongerichte gewogen graaf en w is injectief (verschillende kanten naar verschillende waarden). Stel we hebben T, U E MST s van G en ze zijn niet hetzelfde. Dan zijn er kanten die in precies 1 van T, U zitten. Bekijk de laagste kant e die niet in beide zit. Stel z.v.a. dat e T. Dan bevat U {e} een cykel. e T en T bevat géén cykel dus 1 cykelkant f zit alleen in U. Per constructie w f > w(e) dus e U\ f is een MST met lager gewicht dan U. Tegenspraak! T en U zijn hetzelfde.
59 Kroegentocht of TSP Travelling Salesman Bepaal een volgorde (rondtocht) om zo snel mogelijk een aantal knopen te bezoeken in een graaf. Handelsreiziger: wil zijn product in een aantal steden verkopen, wat is de kortste route. Is een moeilijk probleem: NP-compleet Waarschijnlijk kost het exponentiële tijd om op te lossen
60 TSP-Approximatie Met behulp van MST kunnen we TSP benaderen
61 TSP-Approximatie Met behulp van MST kunnen we TSP benaderen TSP is hoogstens 2 zo lang als MST
62 TSP-Approximatie Met behulp van MST kunnen we TSP benaderen TSP is hoogstens 2 zo lang als MST Maar ook: MST is hoogstens zo groot als TSP Laat kanten weg uit TSP tot je een MST hebt Ergo: MST TSP 2 MST MST 2 approximeert TSP Werkt alleen als symmetrisch Approximatie (begrensd) vs. heuristiek
63 Prim VS Kruskal Prim: breidt 1 boom steeds verder uit (als Dijkstra) Kruskal: laat boom groeien uit meerdere stukjes Prim Kruskal Datastructuur Priority Queue Union-Find Looptijd O(m log n) of O(m + n log n) O(m log n) (sorteren) Extra ruimte O(n) O(m) Ik vind Kruskal beter: makkelijk te implementeren en vaak betere constante in de grote O Het is een kwestie van smaak
64 Conclusie Minimum Spanning Tree: lichtste, verbonden deelgraaf Algoritme van Prim of Kruskal Je kan van alles bewijzen als je een kant toevoegt en de cykel weer doorbreekt Lokale eigenschappen greedy algoritme Toepassingen van MST: Lege collegezaal (LAN-party!) Netwerk-broadcast Handschriftherkenning TSP-approximatie (kroegentocht)
Minimum Opspannende Bomen. Algoritmiek
Minimum Opspannende Bomen Inhoud Het minimum opspannende bomen probleem Een principe om een minimum opspannende boom te laten groeien Twee greedy algoritmen + tijd en datastructuren: Het algoritme van
Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST
College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken
Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.
Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee
Discrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Tiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra
College 10 Tiende college algoritmiek mei 013 Gretige algoritmen, Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten
Kortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Vandaag Kortste Paden probleem All pairs / Single Source / Single Target versies DP algoritme voor All Pairs probleem (Floyd s algoritme) Dijkstra s algoritme voor Single Source Negatieve
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Doorzoeken van grafen. Algoritmiek
Doorzoeken van grafen Algoritmiek Vandaag Methoden om door grafen te wandelen Depth First Search Breadth First Search Gerichte Acyclische Grafen en topologische sorteringen 2 Doolhof start eind 3 Depth
Greedy algoritmes. Algoritmiek
Greedy algoritmes Algoritmiek Algoritmische technieken Trucs, methoden, paradigma s voor het ontwerpen van algoritmen Dynamisch Programmeren Divide & Conquer Greedy 2 Greedy algoritme Bouwt de oplossing
Kortste Paden. Algoritmiek
Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor
Tiende college algoritmiek. 14 april Gretige algoritmen
College 10 Tiende college algoritmiek 1 april 011 Gretige algoritmen 1 Greedy algorithms Greed = hebzucht Voor oplossen van optimalisatieproblemen Oplossing wordt stap voor stap opgebouwd In elke stap
Elfde college algoritmiek. 10 mei Algoritme van Dijkstra, Gretige Algoritmen
lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra lfde college algoritmiek 10 mei 019 lgoritme van ijkstra, Gretige lgoritmen 1 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis 0 10 10 1 1 100 0
Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur
Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:
Tiende college algoritmiek. 4 mei Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Tiende college algoritmiek mei 018 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle
Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren
Datastructuren en Algoritmen
Datastructuren en Algoritmen Tentamen Vrijdag 6 november 2015 13.30-16.30 Toelichting Bij dit tentamen mag je gebruik maken van een spiekbriefje van maximaal 2 kantjes. Verder mogen er geen hulpmiddelen
Benaderingsalgoritmen
Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is
Elfde college algoritmiek. 18 mei Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort
Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Elfde college algoritmiek 18 mei 018 Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort 1 Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Uit college 10: Voorb. -1- A B C D
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari
Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4
Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen
Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag
definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten
recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen
Tentamen combinatorische optimalisatie Tijd:
Tentamen combinatorische optimalisatie 26-05-2014. Tijd: 9.00-11.30 Tentamen is met gesloten boek. Beschrijf bij elke opgave steeds het belangrijkste idee. Notatie en exacte formulering is van minder belang.
V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.
WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,
Heuristieken en benaderingsalgoritmen. Algoritmiek
Heuristieken en benaderingsalgoritmen Wat te doen met `moeilijke optimaliseringsproblemen? Voor veel problemen, o.a. optimaliseringsproblemen is geen algoritme bekend dat het probleem voor alle inputs
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Tweede college algoritmiek. 12 februari Grafen en bomen
College 2 Tweede college algoritmiek 12 februari 2016 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices)
Twaalfde college algoritmiek. 23 mei Branch & Bound, Heapsort
College 12 Twaalfde college algoritmiek 23 mei 2013 Branch & Bound, Heapsort 1 Handelsreizigersprobleem Traveling Salesman Problem (handelsreizigersprobleem) Gegeven n steden waarvan alle onderlinge afstanden
Algoritmiek. 2 februari Introductie
College 1 Algoritmiek 2 februari 2017 Introductie 1 Introductie -1- docent: Rudy van Vliet rvvliet@liacs.nl assistent werkcollege: Bart van Strien bartbes@gmail.com website: http://www.liacs.leidenuniv.nl/~vlietrvan1/algoritmiek/
Elfde college complexiteit. 23 april NP-volledigheid III
college 11 Elfde college complexiteit 23 april 2019 NP-volledigheid III 1 TSP Als voorbeeld bekijken we het Travelling Salesman/person Problem, ofwel het Handelsreizigersprobleem TSP. Hiervoor geldt: TSP
NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi
NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is
Datastructuren Uitwerking jan
Datastructuren Uitwerking jan 16 1 1a) Een ADT wordt gekenmerkt door de opgeslagen gegevens en de beschikbare operaties. De Priority Queue bevat en verzameling elementen waarbij elk element en eigen waarde
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 1. Negende college
10 Bomen deel 1 Negende college 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 typen bomen Er zijn drie verschillende typen bomen, die in Schaum over verschillende hoofdstukken verdeeld
Grafen en netwerken I Datastructuren en doorzoeken. Algoritmiek
Grafen en netwerken I Datastructuren en doorzoeken Algoritmiek 1 Inleiding 2 Netwerken Veel toepassingen, bijvoorbeeld: Sociale netwerken, electrische netwerken, wegennetwerken, communicatie netwerken,
Twaalfde college algoritmiek. 13 mei Branch & Bound Heap, Heapsort & Heapify
Algoritmiek 2016/Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 13 mei 2016 Branch & Bound Heap, Heapsort & Heapify 1 Algoritmiek 2016/Branch & Bound TSP met Branch & Bound Mogelijke ondergrenzen voor de
Tweede deeltoets Algoritmiek 14 april 2015, , Educ-Γ.
Tweede deeltoets Algoritmiek 14 april 2015, 17.00 19.00, Educ-Γ. Motiveer je antwoorden kort. Stel geen vragen over de toets, maar vermeld bij twijfel hoe je de vraag interpreteert. Maak vraag 1 en 2 op
Grafen deel 2 8/9. Zesde college
Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen
l e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound
Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver
Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen
Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen
Oefententamen in2505-i Algoritmiek
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.
(On)Doenlijke problemen
Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Algoritmiek. 15 februari Grafen en bomen
Algoritmiek 15 februari 2019 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices) en E een verzameling van
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Datastructuren en algoritmen voor CKI
Datastructuren en algoritmen voor CKI Jeroen Bransen 1 14 oktober 2015 1 met dank aan Hans Bodlaender en Gerard Tel Willekeurig gebouwde zoekbomen Willekeurig gebouwde zoekbomen Hoogte van zoekboom met
In dit gedeelte worden drie problemen genoemd die kunnen voorkomen in netwerken.
Aantekening Wiskunde Steiner Aantekening door D. 2086 woorden 25 mei 2016 2,1 1 keer beoordeeld Vak Wiskunde Resultaten Vragen bij het wetenschappelijk materiaal 9.1 Prototype example, p. 374-376 In dit
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:
Vijfde college algoritmiek. 2/3 maart Exhaustive search
Vijfde college algoritmiek 2/3 maart 2017 Exhaustive search 1 Voor- en nadelen Brute force: Voordelen: - algemeen toepasbaar - eenvoudig - levert voor een aantal belangrijke problemen (zoeken, patroonherkenning)
Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound
Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C
Amorized Analysis en Union-Find Algoritmiek
Amorized Analysis en Union-Find Vandaag Amortized analysis Technieken voor tijdsanalyse van algoritmen Union-find datastructuur Datastructuur voor operaties op disjuncte verzamelingen Verschillende oplossingen
Radboud Universiteit Nijmegen
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.
Onderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie
Onderwerpen Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers Een mini-inleiding graaftheorie Graaftheorie Herman Geuvers Euler en de postbode Radboud Universiteit Nijmegen 9 februari 2019 met dank aan Engelbert
8C080 deel BioModeling en bioinformatica
Vijf algemene opmerkingen Tentamen Algoritmen voor BIOMIM, 8C080, 22 april 2009,14.00-17.00u. Het tentamen bestaat uit 2 delen, een deel van BioModeling & bioinformatics en een deel van BioMedische Beeldanalyse.
Lege polygonen in een graaf.
Uitwerking puzzel 94-2 Lege polygonen in een graaf. Lieke de Rooij Wobien Doyer We hebben n punten die al of niet met elkaar worden verbonden. De bedoeling is om met zo min mogelijk lijnen (=verbindingen)
Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS
Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen
Divide & Conquer: Verdeel en Heers. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers Algoritmiek Algoritmische technieken Trucs; methoden; paradigma s voor het ontwerp van algoritmen Gezien: Dynamisch Programmeren Volgend college: Greedy Vandaag: Divide
Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound
Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We
Vierde college algoritmiek. 2 maart Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search
Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Vierde college algoritmiek 2 maart 2018 Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search 1 Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Kannen Voorbeeld 4: Kannenprobleem We hebben
Oefententamen in2505-i Algoritmiek
TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.
Divide & Conquer: Verdeel en Heers. Algoritmiek
Divide & Conquer: Verdeel en Heers Algoritmiek Algoritmische technieken Trucs; methoden; paradigma s voor het ontwerp van algoritmen Gezien: Dynamisch Programmeren Hierna: Greedy Vandaag: Divide & Conquer
Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search
Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42
Het Eindfeest. Algoritmiek Opgave 6, Voorjaar
1 Achtergrond Het Eindfeest Algoritmiek Opgave 6, Voorjaar 2017 1 Om het (successvol) afsluiten van Algoritmiek te vieren, is er een groot feest georganiseerd. Jij beschikt als enige van je vrienden over
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen
Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.
Hebzucht loont niet altijd
Thema Discrete wiskunde Hoe verbind je een stel steden met zo weinig mogelijk kilometers asfalt? Hoe maak je een optimaal computernetwerk met kabels die maar een beperkte capaciteit hebben? Veel van zulke
Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen
10 Bomen 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 Baarn Hilversum Soestdijk Den Dolder voorbeelden route boom beslisboom Amersfoort Soestduinen + 5 * + 5.1 5.2 5.3 5.4 2 3 * * 2 5.3.1
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen
Formeel Denken 2014 Uitwerkingen Tentamen (29/01/15) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Als het regent word ik
Greedy algorithms. Algoritmiek
Greedy algorithms Vandaag Greedy algorithms: wat zijn dat? Voorbeelden: gepast betalen met euromunten AB-rijtje Knapsack probleem Twee scheduling problemen Later: meer voorbeelden, algemene structuur,
Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken
Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 10 maart 2009 Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken. Paragrafen
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2009 2010, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Examen Datastructuren en Algoritmen II
Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2014 2015, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3
Gödels theorem An Incomplete Guide to Its Use and Abuse, Hoofdstuk 3 Koen Rutten, Aris van Dijk 30 mei 2007 Inhoudsopgave 1 Verzamelingen 2 1.1 Definitie................................ 2 1.2 Eigenschappen............................
Fundamentele Informatica
Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Elfde college algoritmiek. 29 april Algoritme van Dijkstra, Branch & Bound
Algoritmiek 01/Algoritme van Dijkstra Elfde college algoritmiek 9 april 01 Algoritme van Dijkstra, Branch & Bound 1 Algoritmiek 01/Algoritme van Dijkstra College 10: Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5
Samenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag juni 00, 0.00.00 uur Opgave. a. Een toestand bestaat hier uit een aantal stapels, met op elk van die stapels een aantal munten (hooguit n per stapel).
Netwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp
Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve
1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke
De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.
. a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande
Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.
Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd
Datastructuren en algoritmen voor CKI
Datastructuren en algoritmen voor CKI Jeroen Bransen 1 11 september 2015 1 met dank aan Hans Bodlaender en Gerard Tel Heaps en heapsort Heap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 16 14 10 8 7 9 3 2 4 1 16 14 10 8 7 9 3
Twaalfde college algoritmiek. 17 mei Branch & Bound
Twaalfde college algoritmiek 17 mei 2019 Branch & Bound 1 Backtracking Backtracking - bouwt een oplossing component voor component op - kijkt tijdens de stap-voor-stap constructie of de deeloplossing die
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017
Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.
2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7
1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos
Tiende college algoritmiek. 3 mei Dynamisch programmeren Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra
Tiende college algoritmiek 3 mei 019 Dynamisch programmeren Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Houtzaagmolen Een houtzaagmolen rekent voor het in twee stukken zagen van een stam van lengte l precies
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, uur
Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 2 juni 2009, 10.00 13.00 uur Opgave 1. a. Een toestand wordt bepaald door: het aantal lucifers op tafel, het aantal lucifers in het bezit van Romeo,