Divide & Conquer: Verdeel en Heers. Algoritmiek

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Divide & Conquer: Verdeel en Heers. Algoritmiek"

Joannes Brabander
4 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Divide & Conquer: Verdeel en Heers Algoritmiek

2 Algoritmische technieken Trucs; methoden; paradigma s voor het ontwerp van algoritmen Gezien: Dynamisch Programmeren Volgend college: Greedy Vandaag: Divide & Conquer 2

3 Divide & Conquer Los probleem op in 3 stappen: 1. Divide: splits in deelproblemen 2. Conquer: los deelproblemen recursief op 3. Combine: voeg deeloplossingen samen tot oplossing hele probleem (Vgl. dynamisch programmeren: topkeuze verschillende deelproblemen) 3

4 MergeSort Sorteert deel van array X inclusief ondergrens a, exclusief bovengrens b MergeSort[int[] X, int a, int b] MergeSort[X, a, (a+b)/2] MergeSort[X, (a+b)/2, b] Merge[X, a, (a+b)/2, b] NB: soms laat ik basisgeval weg 4

5 MergeSort Combineren Opl. geheel Opl. deelproblemen Basisgeval 5

6 MergeSort 1. Divide: hak lijst doormidden 2. Conquer: sorteer helften 3. Combine: voeg gesorteerde lijsten samen tot 1 gesorteerde lijst 6

7 Maximum Maximum[int[] X, int a, int b] if(a + 1 == b) return X[a]; L = Maximum[X, a, (a+b)/2] R = Maximum[X, (a+b)/2, b] return max[l, R] 7

8 Optellen Divide and Conquer Sum[int[] X, a, b] if(a + 1 == b) return X[a] s1 := Sum[X, a, (a+b)/2] s2 := Sum[X, (a+b)/2, b] return s1 + s2 Iteratief Sum[int[] X, a, b] accum := 0 for(i:=a; i<b; i++) accum += X[i] return accum Verschillen? 8

9 Optellen Divide and Conquer Sum[int[] X, a, b] if(a + 1 == b) return X[a] s1 := Sum[X, a, (a+b)/2] s2 := Sum[X, (a+b)/2, b] return s1 + s2 Iteratief Sum[int[] X, a, b] accum := 0 for(i:=a; i<b; i++) accum += X[i] return accum Minder afrondfouten Parallelisme (concurrency) Minder overhead 9

10 Nog een voorbeeld Voorwaarts verschil: 1x kopen, 1x verkopen Week Prijs

11 Voorwaarts Verschil Maximum voorwaarts verschil: Bereken links en rechts Combineren? 11

12 Voorwaarts Verschil Maximum voorwaarts verschil: Bereken links en rechts Combineren? MaxVerschil[int[] X, a, b] V1 = MaxVerschil[a, (a+b)/2] V2 = MaxVerschil[(a+b)/2, b] return max[v1, v2] 12

13 Voorwaarts Verschil Voorwaarts Verschil is maximum van: V.V. links V.V. rechts 13

14 Voorwaarts Verschil Voorwaarts Verschil is maximum van: V.V. links V.V. rechts Max rechts Min links Week Prijs v.v = 5 min = 2 v.v = 2 max = 5 14

15 Voorwaarts Verschil 1. Divide: hak lijst doormidden 2. Conquer: bereken v.v. helften 3. Combine: max van vv s, max right min left 15

16 Vermenigvuldigen Twee getallen van nn cijfers Motivatie: cryptografie, numerieke wiskunde x x Soms getal te groot voor 32/64-bits Basisschool-methode: Θ nn 2 16

17 Vermenigvuldigen Twee getallen AA, BB van nn cijfers Splits: AA = AA 1 10 nn/2 + AA 2 BB = BB 1 10 nn/2 + BB 2 Deelproblemen? 17

18 Vermenigvuldigen Multiply[A, B] M := 10^(n/2) A1 := A / M ; A2 := A % M B1 := B / M ; B2 := B % M X1 := Multiply(A1, B1) X2 := Multiply(A1, B2) X3 := Multiply(A2, B1) X4 := Multiply(A2, B2) RETURN X1*M*M + X2*M + X3*M + X4 18

19 Hoeveelheid werk Stel een recurrente betrekking op TT nn = 4TT nn/2 + OO(nn) Vier vermenigvuldigingen van half zo lange getallen 19

20 Kan het sneller? AA 1 BB 1 MM 2 + MM AA 1 BB 2 + AA 2 BB 1 + AA 2 BB 2 AA 1 + AA 2 BB 1 + BB 2 = AA 1 BB 2 + AA 2 BB 1 + AA 1 BB 1 + AA 2 BB 2 20

21 Kan het sneller? AA 1 BB 1 MM 2 + MM AA 1 BB 2 + AA 2 BB 1 + AA 2 BB 2 AA 1 + AA 2 BB 1 + BB 2 = AA 1 BB 2 + AA 2 BB 1 + AA 1 BB 1 + AA 2 BB 2 Ruil 2 verm. voor 1 verm. + 3 optel. 21

22 Vermenigvuldigen Multiply[A, B] M := 10^(n/2) A1 := A / M ; A2 := A % M B1 := B / M ; B2 := B % M X1 := Multiply(A1, B1) X2 := Multiply(A2, B2) X3 := Multiply(A1+A2, B1+B2) RETURN X1*M*M + M*(X3-X1-X2) + X2 22

23 Hoeveelheid werk Nieuwe recurrente betrekking TT nn = 33TT nn/2 + OO(nn) Hoeveel sneller is dit? analyse 23

24 Master Theorem Zegt iets over: TT nn = aaaa nn/bb + ff(nn) MergeSort: Verm. 1: Verm. 2: Optel: TT nn = 2TT nn/2 + OO(nn) TT nn = 4TT nn/2 + OO nn TT nn = 3TT nn/2 + OO nn TT nn = 2TT nn/2 + OO(1) 24

25 Snel vermenigvuldigen TT nn = 33TT nn/2 + OO(nn) 2 getallen vermenigvuldigen in OO(nn ) (Dit heet: Karatsuba-vermenigvuldiging) Het kan nog sneller, in OO(nn log nn log log nn), dit is moeilijk. Boek hf

26 Snel Vermenigvuldigen 1. Divide: splits de getallen in 2 helften 2. Conquer: bereken (3/4) producten 3. Combine: optelsom 26

27 Subtitutie MT kan niet alles aan Subtitutie: formuleer vermoeden, bewijs het Op basis ervaring, experiment of vermoeden Soort inductiebewijs Maak impliciete constante expliciet Je krijgt ondergrens op cc 27

28 Consumentengids Best uit de test & beste koop 28

29 Consumentengids Kwaliteit Prijs Best uit de Test gewoon de beste. Wat is Beste Koop? 29

30 Consumentengids Kwaliteit Prijs Best uit de Test gewoon de beste. Wat is Beste Koop? 30

31 Dominatie Een product domineert een ander product als zowel: De prijs lager is En de kwaliteit hoger Wil: lijst van niet-gedomineerde producten (Pareto-front) 31

32 Dominatie Dominatie[product[] X, int a, int b] Sorteer X op kwaliteit Dominatie[X, a, (a+b)/2] Dominatie[X, (a+b)/2, b]? 32

33 Consumentengids Kwaliteit Prijs

34 Consumentengids Kwaliteit Prijs

35 Consumentengids Kwaliteit Prijs Rechts domineert nooit links Waneer domineert links rechts? 35

36 Consumentengids Kwaliteit Prijs Rechts domineert nooit links Waneer domineert links rechts? 36

37 Dominatie Dominatie[product[] X, int a, int b] Sorteer X op kwaliteit Dominatie[X, a, (a+b)/2] Dominatie[X, (a+b)/2, b] p* := minimale prijs [a,(a+b)/2) filter uit [(a+b)/2, b) als p>p* 37

38 Looptijd TT nn = 2TT nn/2 + OO nn log nn 38

39 Looptijd TT nn = 2TT nn/2 + OO nn log nn TT nn = OO(nn log 2 nn) Dom! Je sorteert te vaak Let bij D&C op: Geen overbodig werk: sorteren, array kopiëren Bereken in recursie hulpwaarden (v.v; opgave WC) 39

40 Dominatie Het kan véél simpeler Kwaliteit Prijs mmmmmm =632 40

41 Dominatie Het kan véél simpeler Kwaliteit Prijs mmmmmm =459 Lineair als lijst voorgesorteerd 41

42 Dominatie Divide & Conquer-algoritme is bouwsteen: Werkcollege: uitbreiding naar 3D Divide & Conquer is vaak één van de mogelijkheden: Mergesort v.s. Heapsort Dominatie 42

43 Conclusie Divide & Conquer: techniek om algoritmen te ontwerpen Splits probleem, los deelproblemen op, combineer Analyse: Master Theorem, Substitutie 43

Vergelijkbare documenten

Divide & Conquer: Verdeel en Heers. Algoritmiek

Divide & Conquer: Verdeel en Heers Algoritmiek Algoritmische technieken Trucs; methoden; paradigma s voor het ontwerp van algoritmen Gezien: Dynamisch Programmeren Hierna: Greedy Vandaag: Divide & Conquer