10 Meer over functies

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "10 Meer over functies"

Transcriptie

1 10 Meer over functies In hoofdstuk 5 hebben we functies uitgebreid bestudeerd. In dit hoofdstuk bekijken we drie andere aspecten van functies: recursieve functies dat wil zeggen, functies die zichzelf direct of indirect aanroepen, functiepointers en functies met een variabel aantal argumenten Recursieve functies Zoals we al in hoofdstuk 5 hebben gezien, kan een functie elke andere functie aanroepen. Programmeurs maken van deze mogelijkheid gebruik om programma's hiërarchisch op te bouwen, waarbij de functie main subfuncties F1, F2,... aanroept om deeltaken te laten uitvoeren; deze subfuncties roepen weer subfuncties Gl, G2,... aan om nog eenvoudiger taken te laten uitvoeren, enzovoort (zie de hoofdstukken 5 en 7). Een met functionele decompositie gemaakt programmaontwerp kan dankzij de mogelijkheid van elkaar aanroepende functies rechtstreeks worden geïmplementeerd. Dit is niet de enige manier om functies te gebruiken. Een functie kan ook zichzelf aanroepen. Zo'n functie noemen we dan recursief. Voor veel programmeerproblemen bestaat een oplossing die met directe of indirecte recursie kan worden geformuleerd. Recursieve oplossingen zijn in het algemeen elegant en sluiten op een natuurlijke manier aan op het probleem. Recursie wordt vaak gebruikt in toepassingen waarin de oplossing kan worden geformuleerd in termen van het successievelijk toepassen van dezelfde oplossing op delen van het oorspronkelijke probleem. Dat komt vaak voor bij zoeken sorteerproblemen met betrekking tot recursief gedefinieerde datastructuren (zie de hoofdstukken 11, 12, 15 en 16). Vaak is een recursieve oplossing een alternatief voor een iteratieve. Laten we eens een functie bekijken die de faculteit van een getal berekent. De faculteit van een positieve integer n, geschreven als n!, is gedefinieerd als het produkt van de gehele getallen van 1 tot en met n. De faculteit van nul wordt als speciaal geval behandeld en is per definitie gelijk aan 1. We hebben dus: n! = n* (n - 1) * (n - 2) *... *3*2*1 voor n > 1 en 0! = 1 Dus: 5! = 5*4*3*2*1 = 120

2 De iteratieve versie van een functie voor de faculteit is: long int faculteit(int n) { int k; long produkt = 1L; if (n == 0) return (1L); else { for (k = n; k > 0; k--) produkt *= k; return (produkt); De definitie van de faculteitsfunctie wordt meestal recursief gegeven. We zien dat we n! = n* (n - 1) * (n - 2) *... *3*2*1 kunnen groeperen als n! = n* [ (n - 1) * (n - 2) *... *3*2*1] De groep tussen vierkante haken is natuurlijk gelijk aan de definitie van (n - 1)!. De recursieve definitie is daarom: n! = n*(n - 1)! met het speciale geval 0! = 1 We kunnen nu een functie ontwikkelen die de faculteit van een getal volgens deze recursieve definitie berekent. Programma 10-1 Geeft een tabel van faculteiten voor 0, 1, 2, De faculteiten worden met een recursieve functie berekend.

3 #include <stdio.h> main() { int j; long int faculteit(const int); for (j = 0; j <= 10; j++) printf("%2d! is %ld\n, j, faculteit(j)); long int faculteit(const int n) { if (n == 0) return (1L); else return (n * faculteit(n-1)); De uitvoer van het programma is: 0! is 1 1! is 1 2! is 2 3! is 6 4! is 24 5! is 120 6! is 720 7! is ! is ! is ! is De functie faculteit is recursief omdat er een aanroep van de functie zelf in voorkomt. Laten we eens bekijken wat er gebeurt als de functie wordt aangeroepen om de faculteit van 5 te berekenen. Als de functie wordt binnengegaan, wordt de formele parameter n gelijk gemaakt aan 5. De if-statement stelt vast dat n niet nul is en levert de waarde af die wordt verkregen door het evalueren van n * faculteit (n - l) met n = 5,en dat is: 5 * faculteit (4) Deze expressie geeft aan dat de functie faculteit nog eens moet worden aangeroepen, dit keer om de waarde van faculteit(4) te berekenen. De vermenigvuldiging met 5 wordt uitgesteld tot faculteit (4) is berekend. We roepen de functie faculteit dus nog eens aan. Het actuele argument is nu 4. Elke keer dat een functie in C wordt aangeroepen, wordt er een eigen stel automatische variabelen en formele parameters toegewezen om mee te werken. Dat geldt ook voor recursieve functies. Het formele argument n dat bestaat als de functie wordt aangeroepen om de faculteit van 4 te

4 berekenen, verschilt van het formele argument uit de eerste aanroep van de functie met argument 5. Nu n de waarde 4 heeft, levert de functie de waarde van de expressie 4 * faculteit (3) af. De vermenigvuldiging met 4 wordt weer uitgesteld tot de faculteit van 3 is berekend. Dit gaat zo door tot het formele argument de waarde 0 heeft. Dan hebben we de situatie die u in tabel 10-1 ziet. faculteiten return (n * faculteit (n-1)) 5 5 * faculteit (4) = 5 *? 4 4 * faculteit (3) = 4 *? 3 3 * faculteit (2) = 3 *? 2 2 * faculteit (1) = 2 *? 1 1 * faculteit (0) = 1 * 0 Tabel 10-1 Als het formele argument n tot 0 is gereduceerd, laat de if -statement de functie onmiddellijk de long waarde 1 afleveren. De recursieve afdaling kan nu weer omhoog gaan en alle uitgestelde vermenigvuldigingen kunnen in omgekeerde volgorde worden uitgevoerd. Als we tabel 10-1 omkeren, krijgen we tabel faculteit (n) return (n * faculteit (n-1)) Tabel * faculteit (0) = 1 * 1 = * faculteit (1) = 2 * 1 = * faculteit (2) = 3 * 2 = * faculteit (3) = 4 * 6 = * faculteit (4) = 5 * 24 = 120 Voor wie dit misschien een wat kunstmatig voorbeeld vindt, bekijken we nu de algoritme van Euclides voor het bepalen van de grootste gemene deler van twee positieve gehele getallen m en n. De algoritme kan zo worden beschreven:

5 GGD (n, m) = als m > n: GGD (m, n) als m = 0: n anders: GGD(M, rest na deling van n door m) De recursieve functie kan rechtstreeks uit deze beschrijving worden afgeleid: int ggd(int n, int m) { if (m > n) return (ggd(m, n)); else if (m == 0) return (n); else return (ggd(m, n % m)); Voor een niet-recursieve oplossing is enige vaardigheid bij het programmeren nodig. De implementatie is ook minder duidelijk: int ggd(int n, int m) { if (m > n) { int hulp = m; m=n; n=hulp; while (n % m!= 0) { int hulp = m; m=n % m; n=hulp; return (m); Het is in C ook mogelijk een functie te schrijven die een tweede functie aanroept die weer de oorspronkelijke functie aanroept. Dan hebben we een cyclus van functieaanroepen en spreken we van indirecte recursie. We kunnen bijvoorbeeld drie functies A, B en C hebben, waarbij A de functie B, B de functie C, en C de functie A aanroept. Om het mogelijk te maken dat een aanroep van een functie voorafgaat aan de declaratie van die functie, moet er een prototypedeclaratie worden gebruikt. Bij indirecte recursie is dat nodig, omdat het programma

6 nooit zo kan worden ingedaald dat elke functiedeclaratie aan het gebruik van de functie voorafgaat. Neem bijvoorbeeld twee elkaar aanroepende functies A en B. Omdat A de functie B aanroept, kunnen we B eerder dan A plaatsen, maar dan wordt A eerder aangeroepen dan gedeclareerd. Recursie is niet altijd de efficiëntste oplossing voor een probleem. Veel problemen die recursief kunnen worden opgelost, kunnen ook met iteratie worden opgelost, zoals we hebben gezien. De oplossing is dan misschien minder elegant, maar wel efficiënter in termen van de uitvoeringstijd van het programma en het benodigde geheugen. Voor elke recursieve functieaanroep wordt een apart stuk geheugen in gebruik genomen om de waarde van de argumenten en de lokale variabelen in op te slaan. Daardoor zijn recursieve functies duurder in geheugenruimte. Elke recursieve functieaanroep vergt ook tijd voor het doorgeven van de argumenten, het in gebruik nemen van nieuw geheugen en het afleveren van het resultaat. Het overtuigendste argument ten gunste van recursieve functies is dat ze een goede afspiegeling zijn van recursief gedefinieerde datastructuren en algoritmen die recursief gedefinieerd zijn. Verder zijn sommige recursieve algoritmen vrijwel niet iteratief te schrijven. Recursieve functies die recursieve datastructuren weerspiegelen, zijn in overeenstemming met onze filosofie van programma's die met data overeenkomen. Een goede oefening in het schrijven van recursieve functies is het probleem van de toren van Hanoi. Gegeven zijn drie pennen en een aantal (64) schijven. Deze schijven hebben allemaal een andere diameter. De beginsituatie is die waarbij alle schijven op 1 pen (bijvoorbeeld pen 1) liggen. Hierbij liggen er alleen kleinere schijven boven een grotere. De eindsituatie is die waarbij alle schijven op pen 3 liggen, waarbij ook weer eveneens nooit een grotere pen boven een kleinere ligt. Om het probleem op te lossen moeten monniken schijf per schijf verplaatsen. Er moet voldaan zijn aan de voorwaarde dat alleen de verplaatste schijf (eventjes) niet op een pen mag liggen: alle andere schijven moeten steeds op een pen liggen. De monniken mogen ook steeds maar 1 schijf verplaatsen: de schijven wegen te zwaar om er meerdere te verplaatsen. Tijdens de bewerking moet er steeds voldaan zijn aan de voorwaarde dat er nooit een grotere schijf boven een kleinere mag liggen. Om nog een klein beetje een overzicht op de bewerking te hebben, is het beter het aantal schijven variabel te houden en dit in het begin zeer klein te kiezen, bijvoorbeeld 3 of 4. Wanneer men de PC het probleem met 64 schijven laat oplossen zal het zeer lang duren!!!

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie Hoofdstuk 5 Recursion I N T R O D U C T I E Veel methoden die we op een datastructuur aan kunnen roepen, zullen op een recursieve wijze geïmplementeerd worden. Recursie is een techniek waarbij een vraagstuk

Nadere informatie

Programmeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/

Programmeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/ Programmeermethoden Recursie week 11: 21 25 november 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Pointers Derde programmeeropgave 1 Het spel Gomoku programmeren we als volgt: week 1: pointerpracticum,

Nadere informatie

Als een PSD selecties bevat, deelt de lijn van het programma zich op met de verschillende antwoorden op het vraagstuk.

Als een PSD selecties bevat, deelt de lijn van het programma zich op met de verschillende antwoorden op het vraagstuk. HOOFDSTUK 3 3.1 Stapsgewijs programmeren In de vorige hoofdstukken zijn programmeertalen beschreven die imperatief zijn. is het stapsgewijs in code omschrijven wat een programma moet doen, net als een

Nadere informatie

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden

Nadere informatie

1 Inleiding in Functioneel Programmeren

1 Inleiding in Functioneel Programmeren 1 Inleiding in Functioneel Programmeren door Elroy Jumpertz 1.1 Inleiding Aangezien Informatica een populaire minor is voor wiskundestudenten, leek het mij nuttig om een stukje te schrijven over een onderwerp

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3. Imperatief programmeren. 3.1 Stapsgewijs programmeren. 3.2 If Then Else. Informatie. Voorbeeld. Voorbeeld: toegangsprijs

HOOFDSTUK 3. Imperatief programmeren. 3.1 Stapsgewijs programmeren. 3.2 If Then Else. Informatie. Voorbeeld. Voorbeeld: toegangsprijs HOOFDSTUK 3 3.1 Stapsgewijs programmeren De programmeertalen die tot nu toe genoemd zijn, zijn imperatieve of procedurele programmeertalen. is het stapsgewijs in code omschrijven wat een programma moet

Nadere informatie

PROS1E1 Gestructureerd programmeren in C Dd/Kf/Bd

PROS1E1 Gestructureerd programmeren in C Dd/Kf/Bd Inhoudsopgave 1 Inleiding... 1 2 Toekenning- en herhalingsopdrachten (for loop)... 2 2.1 De wet van Ohm... 3 2.2 De spaarrekening... 3 2.3 De transformator... 3 3 Keuze- en herhalingsopdrachten (if, switch,

Nadere informatie

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 1. A) Schrijf een functie die een getal x en een getal y meekrijgt. De functie geeft de uitkomst van volgende bewerking als returnwaarde terug: x y x als x y x y y als x < y B)

Nadere informatie

7 Omzetten van Recursieve naar Iteratieve Algoritmen

7 Omzetten van Recursieve naar Iteratieve Algoritmen 7 Omzetten van Recursieve naar Iteratieve Algoritmen Het lijkt mogelijk om elke oplossings-algoritme, die vaak in eerste instantie recursief geformuleerd werd, om te zetten in een iteratieve algoritme

Nadere informatie

HOOFDSTUK 3. Imperatief programmeren. 3.1 Stapsgewijs programmeren. 3.2 If Then Else. Module 4 Programmeren

HOOFDSTUK 3. Imperatief programmeren. 3.1 Stapsgewijs programmeren. 3.2 If Then Else. Module 4 Programmeren HOOFDSTUK 3 3.1 Stapsgewijs programmeren De programmeertalen die tot nu toe genoemd zijn, zijn imperatieve of procedurele programmeertalen. is het stapsgewijs in code omschrijven wat een programma moet

Nadere informatie

17 Operaties op bits. 17.1 Bitoperatoren en bitexpressies

17 Operaties op bits. 17.1 Bitoperatoren en bitexpressies 17 Operaties op bits In hoofdstuk 1 is gezegd dat C oorspronkelijk bedoeld was als systeemprogrammeertaal om het besturingssysteem UNIX te implementeren. Bij dit soort toepassingen komt het voor dat afzonderlijke

Nadere informatie

compileren & interpreteren - compileren: vertalen (omzetten) - interpreteren: vertolken

compileren & interpreteren - compileren: vertalen (omzetten) - interpreteren: vertolken compileren & interpreteren - compileren: vertalen (omzetten) - interpreteren: vertolken - belangrijkste punten: - ontleden van de programmatekst - bijhouden van de datastructuren Data Structuren en Algoritmen

Nadere informatie

Programmeren in Java les 3

Programmeren in Java les 3 4 september 2015 Deze les korte herhaling vorige week loops methodes Variabelen Soorten variabelen in Java: integer: een geheel getal, bijv. 1,2,3,4 float: een gebroken getal, bijv. 3.1415 double: een

Nadere informatie

Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven

Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven Objecten Programmeren voor de Sport: Een inleiding tot JAVA objecten Wetenschapsweek 20 November 2012 Tony Wauters en Tim Vermeulen tony.wauters@kahosl.be en tim.vermeulen@kahosl.be

Nadere informatie

Tentamen Programmeren in C (EE1400)

Tentamen Programmeren in C (EE1400) TU Delft Tentamen Programmeren in C (EE1400) 5 april 2012, 9.00 12.00 Faculteit EWI - Zet op elk antwoordblad je naam en studienummer. - Beantwoord alle vragen zo nauwkeurig mogelijk. - Wanneer C code

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

EE1400: Programmeren in C BSc. EE, 1e jaar, , 2e college

EE1400: Programmeren in C BSc. EE, 1e jaar, , 2e college EE1400: Programmeren in C BSc. EE, 1e jaar, 2012-2013, 2e college Arjan van Genderen, Computer Engineering 20-11-2012 Delft University of Technology Challenge the future Agenda A.s. woensdagmiddag 14.00

Nadere informatie

10. Controleopdrachten

10. Controleopdrachten Computeralgebra met Maxima 10. Controleopdrachten 10.1. Functies en operatoren voor lijsten/vectoren/arrays Een van de eenvoudigste maar belangrijkste lusachtige functies is de makelist opdracht. Voor

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

Datastructuren: stapels, rijen en binaire bomen

Datastructuren: stapels, rijen en binaire bomen Programmeermethoden Datastructuren: stapels, rijen en binaire bomen week 12: 23 27 november 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Inleiding In de informatica worden Abstracte DataTypen (ADT s)

Nadere informatie

Optimalisatie technieken

Optimalisatie technieken Things should be made as simple as possible, but not any simpler. Floatingpoint berekeningen Floatingpoint getallen kun je praktisch niet met elkaar vergelijken. De meeste embedded systemen hebben geen

Nadere informatie

Algoritmiek. 2 februari Introductie

Algoritmiek. 2 februari Introductie College 1 Algoritmiek 2 februari 2017 Introductie 1 Introductie -1- docent: Rudy van Vliet rvvliet@liacs.nl assistent werkcollege: Bart van Strien bartbes@gmail.com website: http://www.liacs.leidenuniv.nl/~vlietrvan1/algoritmiek/

Nadere informatie

Informatica. Deel II: les 1. Java versus Python. Jan Lemeire Informatica deel II februari mei 2014. Parallel Systems: Introduction

Informatica. Deel II: les 1. Java versus Python. Jan Lemeire Informatica deel II februari mei 2014. Parallel Systems: Introduction Informatica Deel II: les 1 Java versus Python Jan Lemeire Informatica deel II februari mei 2014 Parallel Systems: Introduction Arabidopsis (zandraket) Arabidopsis (zandraket) MMIQQA Multimodal Microscopic

Nadere informatie

Functies. Huub de Beer. Eindhoven, 4 juni 2011

Functies. Huub de Beer. Eindhoven, 4 juni 2011 Functies Huub de Beer Eindhoven, 4 juni 2011 Functies: je kent ze al Je hebt al verschillende PHP functies gebruikt: pi() om het getal π uit te rekenen. sin( 0.453 ) om het de sinus van het getal 0.453

Nadere informatie

[14] Functies. Volg mee via 14_Functies-1.py. We beginnen met een eenvoudig voorbeeldje:

[14] Functies. Volg mee via 14_Functies-1.py. We beginnen met een eenvoudig voorbeeldje: [14] Functies Een goede programmeur doet altijd zijn best om zoveel mogelijk aan hergebruik van code te doen. Je probeert in je programma code te gebruiken die iemand anders heeft gemaakt, of code die

Nadere informatie

Week 5 : Hoofdstuk 11+ extra stof: meer over functies. Hoofdstuk 11:

Week 5 : Hoofdstuk 11+ extra stof: meer over functies. Hoofdstuk 11: Week 5 : Hoofdstuk 11+ extra stof: meer over functies Hoofdstuk 11: Functies Functies in C lijken heel erg op functies in Java. Maar er is één groot veschil: Java ken uitsluitend invoer-parameters, terwijl

Nadere informatie

Zelftest Inleiding Programmeren

Zelftest Inleiding Programmeren Zelftest Inleiding Programmeren Document: n0824test.fm 22/01/2013 ABIS Training & Consulting P.O. Box 220 B-3000 Leuven Belgium TRAINING & CONSULTING INLEIDING BIJ DE ZELFTEST INLEIDING PROGRAMMEREN Deze

Nadere informatie

Pascal uitgediept Data structuren

Pascal uitgediept Data structuren Pascal uitgediept Data structuren MSX Computer & Club Magazine nummer 68-juni/juli 1994 Herman Post Scanned, ocr ed and converted to PDF by HansO, 2001 In deze aflevering wordt bekeken hoe zelf een datastructuur

Nadere informatie

Lineaire data structuren. Doorlopen van een lijst

Lineaire data structuren. Doorlopen van een lijst Lineaire data structuren array: vast aantal data items die aaneensluitend gestockeerd zijn de elementen zijn bereikbaar via een index lijst: een aantal individuele elementen die met elkaar gelinkt zijn

Nadere informatie

Programmeren met Arduino-software

Programmeren met Arduino-software Programmeren met Arduino-software De software waarin we programmeren is Arduino IDE. Deze software is te downloaden via www.arduino.cc. De programmeertaal die hier gebruikt wordt, is gebaseerd op C en

Nadere informatie

Python. Vraag 1: Expressies en types. Vraag 1 b: Types -Ingebouwde functies- Vraag 1 a 3/10/14

Python. Vraag 1: Expressies en types. Vraag 1 b: Types -Ingebouwde functies- Vraag 1 a 3/10/14 Python Vraag 1: Expressies en types Integrated Development Environment (IDE): Ø Wing 101 (gratis te downloaden op www.wingware.com) Oefeningen in de shell >> noemen we de prompt Python commando s = expressies

Nadere informatie

Datastructuren en algoritmen

Datastructuren en algoritmen Datastructuren en algoritmen Doelstelling Datastructures + algorithms = programs Boek van Niklaus Wirth: bedenker Pascal en Modula Datastructuur: structuur om informatie op te slaan Algoritme: voorschrift

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

Pascal uitgediept Recursie

Pascal uitgediept Recursie Pascal uitgediept Recursie Herman Post MSX Computer & Club Magazine nummer 72 - december '94 / januari '95 Scanned, ocr ed and converted to PDF by MSXHans, 2001 Recursie is deze keer het onderwerp, maar

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Week 3: Recursie. 1.1 Leesopdracht. 1.2 Eenvoudige recursie

Hoofdstuk 1. Week 3: Recursie. 1.1 Leesopdracht. 1.2 Eenvoudige recursie Hoofdstuk 1 Week 3: Recursie 1.1 Leesopdracht In Java Gently staat zeer weinig over recursie, de leesopdracht voor deze week bestaat dus alleen uit dit hoofdstuk van het dictaat. 1.2 Eenvoudige recursie

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 ) OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................

Nadere informatie

2 Recurrente betrekkingen

2 Recurrente betrekkingen WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

slides6.pdf 16 nov

slides6.pdf 16 nov Inhoud Inleiding Algemeen 5 Waarom programmeertalen? Geschiedenis Abstractiemechanismen Programmeertalen Piet van Oostrum 16 november 2001 INL/Alg-5 1 X INL/Alg-5 1 X Machinecode Voor- en nadelen assemblercode

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

OEFENINGEN PYTHON REEKS 1

OEFENINGEN PYTHON REEKS 1 Vraag 1: Expressies & Types OEFENINGEN PYTHON REEKS 1 Python maakt gebruik van enkele vaak voorkomende (data)types. Zo zijn er integers die behoren tot de gehele getallen (VB: 3), zijn er float s die behoren

Nadere informatie

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen

Nadere informatie

Informatie over. 5VWO DT51: JavaLogo. Casper Bezemer. Toetsweek 1 13 oktober 2016

Informatie over. 5VWO DT51: JavaLogo. Casper Bezemer. Toetsweek 1 13 oktober 2016 Informatie over 5VWO DT51: JavaLogo Casper Bezemer Toetsweek 1 13 oktober 2016 1 Informatie Voor toets DT51 wordt jou gevraagd Java(Logo) programma s te schrijven. De eerste opdracht is een Krimpfiguur,

Nadere informatie

Variabelen en statements in ActionScript

Variabelen en statements in ActionScript Ontwikkelen van Apps voor ios en Android Variabelen en statements in ActionScript 6.1 Inleiding Als we het in de informatica over variabelen hebben, bedoelen we een stukje in het geheugen van de computer

Nadere informatie

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth

Nadere informatie

Project Paper: Tiling problem

Project Paper: Tiling problem Project Paper: Tiling problem Groep 11: Said Hattachi, Ismael el Hadad Hakim, Muttalip Küçük Januari 015 Abstract Dit artikel beschrijft een heuristiek waarmee een veld op een systematische wijze gevuld

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Leren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4. Hoofdstuk 4 : De Selectie

Leren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4. Hoofdstuk 4 : De Selectie Leren Programmeren met Visual Basic 6.0 Les 3+4 Hoofdstuk 4 : De Selectie Visual Basic 6.0 1 Basisstructuren (herhaling) Sequentie (HK2) : Alle opdrachten gewoon na mekaar uitvoeren. Hier worden geen keuzes

Nadere informatie

Turbo Pascal (deel 1)

Turbo Pascal (deel 1) Turbo Pascal (deel 1) MSX CLUB MAGAZINE 34 Erik van Bilsen Scanned, ocr ed and converted to PDF by HansO, 2001 Erik van Bilsen leert u het klappen van de Turbo Pascal zweep. Turbo Pascal toepassen Deze

Nadere informatie

Negende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren

Negende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren Negende college algoritmiek 15 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 algemeen Uit college 8: DP: - nuttig bij problemen met overlappende deelproblemen - druk een oplossing van het probleem uit in oplossingen

Nadere informatie

RAAD HET GETAL. Hoofdstuk 4. Het spelletje 'Raad het getal' Voorbeeld van uitvoering van 'Raad het getal' Hoofdstuk 4 Raad het getal 21

RAAD HET GETAL. Hoofdstuk 4. Het spelletje 'Raad het getal' Voorbeeld van uitvoering van 'Raad het getal' Hoofdstuk 4 Raad het getal 21 Hoofdstuk 4 Raad het getal 21 Hoofdstuk 4 RAAD HET GETAL In dit hoofdstuk behandelen we: import-statements Modules Argumenten while-statements Voorwaarden Blokken Boole-waarden Vergelijkingsoperatoren

Nadere informatie

1. Recursieve Algoritmen

1. Recursieve Algoritmen 1. Recursieve Algoritmen Doel : Verdiepen van je inzicht in recursieve procedures ; bestudeer ook hoofdstuk 15 van de WWW-B1- reader op www.cs.kun.nl/~gerp/b1 (en/of Savitch Hfst 14) Aan het einde van

Nadere informatie

#include #include

#include <stdio.h> #include <stdlib.h> Code EE1400 Practicum Handleiding Programmeren in C Delft University of Technology }C #include #include int main (void) { printf ("Hello, world!\n"); return EXIT_SUCCESS; B. Jacobs,

Nadere informatie

DEC SDR DSP project 2017 (2)

DEC SDR DSP project 2017 (2) DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal

Nadere informatie

Practicumopdracht 8 : Recursief bomen tekenen en complexiteit van algoritmen

Practicumopdracht 8 : Recursief bomen tekenen en complexiteit van algoritmen Cursus Algoritmiek - - - najaar 2005 Practicumopdracht 8 : Recursief bomen tekenen en complexiteit van algoritmen Ook deze opdracht is bedoeld voor 2 weken: 1 e week t/m deelopdracht 8.2 ; maak in de 2

Nadere informatie

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Een typisch programma in C en C++ bestaat uit een aantal onderdelen:

Een typisch programma in C en C++ bestaat uit een aantal onderdelen: Eerste stappen in C. Een typisch programma in C en C++ bestaat uit een aantal onderdelen: /* Alles wat op meerdere lijnen staat zoals hier is commentaar. */ // Dit is commentaar op 1 lijn. Geldig tot einde

Nadere informatie

Practicumhandleiding. (versie 2010)

Practicumhandleiding. (versie 2010) (versie 2010) Belangrijk! In deze handleiding treft u alle informatie aan die nodig is voor de uitvoering van het practicum. Behalve de organisatie van het practicum zelf en een korte beschrijving van

Nadere informatie

Uitwerking Aanvullend tentamen Imperatief programmeren Woensdag 24 december 2014, 13.30 15.30 uur

Uitwerking Aanvullend tentamen Imperatief programmeren Woensdag 24 december 2014, 13.30 15.30 uur Uitwerking Aanvullend tentamen Imperatief programmeren Woensdag 24 december 2014, 13.30 15.30 uur 1. deze opgave telt voor 30% van het totaal. Schrijf een compleet programma, dat door de gebruiker vanaf

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Week 2 : Hoofdstukken 2 en 6; extra stof: inleiding pointers

Week 2 : Hoofdstukken 2 en 6; extra stof: inleiding pointers Week 2 : Hoofdstukken 2 en 6; extra stof: inleiding pointers Hoofdstuk 6: Beslissingen: if-statement en switch-statement. Inleiding: Condities zijn waar (true) of onwaar (false) In C staat het int-getal

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Voorbeeldtentamen Inleiding programmeren (IN1608WI), Oktober 2003, , Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI, Afdeling 2.

Voorbeeldtentamen Inleiding programmeren (IN1608WI), Oktober 2003, , Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI, Afdeling 2. Voorbeeldtentamen Inleiding programmeren (IN1608WI), Oktober 2003, 14.00-15.30, Technische Universiteit Delft, Faculteit EWI, Afdeling 2. Dit tentamen bestaat uit twee delen. Deel 1 (14.00-14.45, gesloten

Nadere informatie

Hoofdstuk 0. Van Python tot Java.

Hoofdstuk 0. Van Python tot Java. Hoofdstuk 0. Van Python tot Java. In dit eerste hoofdstuk maken we de overstap van Python naar Java. We bespreken de verschillen en geven wat achtergrondinformatie. In het volgende hoofdstuk gaan we dieper

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6.

Afbeelding 12-1: Een voorbeeld van een schaakbord met een zwart paard op a4 en een wit paard op e6. Hoofdstuk 12 Cartesische coördinaten 157 Hoofdstuk 12 CARTESISCHE COÖRDINATEN In dit hoofdstuk behandelen we: Het Cartesisch coördinatenstelsel De X-as en de Y-as De commutatieve eigenschap van optellen

Nadere informatie

Het warmteverlies van het lichaamsoppervlak aan de wordt gegeven door de volgende formule:

Het warmteverlies van het lichaamsoppervlak aan de wordt gegeven door de volgende formule: Opgave 1. (4 punten) Inleiding: Een vleermuis is een warmbloedig zoogdier. Dat wil zeggen dat hij zijn lichaamstemperatuur op een konstante waarde moet zien te houden. Als de omgeving kouder is dan de

Nadere informatie

Hoofdstuk 5. Extra basisscherm-onderwerpen

Hoofdstuk 5. Extra basisscherm-onderwerpen Hoofdstuk 5. Extra basisscherm-onderwerpen 5 De basisschermgegevens als een Text Editor-script opslaan... 82 Informatie knippen, kopiëren en plakken... 83 Door de gebruiker gedefinieerde functies creëren

Nadere informatie

continue in een for, while of do lus herhaalt de lus vroegtijdig. De volgende herhaling wordt onmiddellijk begonnen.

continue in een for, while of do lus herhaalt de lus vroegtijdig. De volgende herhaling wordt onmiddellijk begonnen. Hoofdstuk 3: controlestructuren instructies en blokken Naar elke instructie staat een ; Instructies worden door de haakjes {} in een block samengevat. if else if ( expression) statement1; else statement2;

Nadere informatie

sheets Programmeren 2 Java Recursie, de muis en graphics Walter Kosters http://www.liacs.nl/home/kosters/java/

sheets Programmeren 2 Java Recursie, de muis en graphics Walter Kosters http://www.liacs.nl/home/kosters/java/ sheets Programmeren 2 Java Recursie, de muis en graphics Walter Kosters http://www.liacs.nl/home/kosters/java/ 1 Java intro Voorkennis: dat wat bij het college Programmeren 1 over Java behandeld is; zie

Nadere informatie

Syntax- (compile), runtime- en logische fouten Binaire operatoren

Syntax- (compile), runtime- en logische fouten Binaire operatoren Inhoud Syntax- (compile), runtime- en logische fouten Binaire operatoren Operaties op numerieke datatypen Evaluatie van expressies, bindingssterkte Assignment operaties en short-cut operatoren Controle

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 3 juni 2008, uur

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 3 juni 2008, uur Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 3 juni 2008, 10.00 13.00 uur Opgave 1. a. Een toestand is hier een m bij n bord met voor elk vakje aangegeven of het leeg is, óf een witte steen bevat

Nadere informatie

HOGESCHOOL VAN AMSTERDAM Informatica Opleiding. CPP 1 van 10

HOGESCHOOL VAN AMSTERDAM Informatica Opleiding. CPP 1 van 10 CPP 1 van 10 ADSdt 1-2009 TENTAMENVOORBLAD Voor aanvang van het tentamen s.v.p. de tentamengegevens goed doorlezen om eventuele misverstanden te voorkomen!! Naam student : Studentnummer : Groep : Studieonderdeel

Nadere informatie

Zelftest Programmeren in PL/I

Zelftest Programmeren in PL/I Zelftest Programmeren in PL/I Document: n0830test.fm 26/03/2012 ABIS Training & Consulting P.. Box 220 B-3000 Leuven Belgium TRAINING & CNSULTING INLEIDING BIJ DE ZELFTEST PRGRAMMEREN IN PL/I m de voorkennis

Nadere informatie

Java virtuele machine JVM

Java virtuele machine JVM Implementatie Java Java virtuele machine JVM Java programma vertaald naar byte code instructies Byte code instructies uitgevoerd door JVM JVM is processor architectuur kan in principe in hardware worden

Nadere informatie

Vrije Universiteit Brussel Faculteit van de Wetenschappen Vakgroep Informatica. Deel 2a: Ontwerp van register machines

Vrije Universiteit Brussel Faculteit van de Wetenschappen Vakgroep Informatica. Deel 2a: Ontwerp van register machines Vrije Universiteit Brussel Faculteit van de Wetenschappen Vakgroep Informatica Deel 2a: Ontwerp van registermachines Interpretatie van Computerprogramma's I Theo D'Hondt p. 1 Register Machines registers

Nadere informatie

4 Invoer en uitvoer. 4.1 Toegang tot de standaardbibliotheek

4 Invoer en uitvoer. 4.1 Toegang tot de standaardbibliotheek 4 Invoer en uitvoer Strikt genomen maken invoer- en uitvoerfaciliteiten geen deel uit van de taal C, zoals dat in FORTRAN wel het geval is, waar de statements READ en WRITE als deel van de taal zijn gedefinieerd.

Nadere informatie

Programmeren in C ++ les 4

Programmeren in C ++ les 4 Elektrotechniek/Embedded Systems engineering inf2d Programmeren in C ++ les 4 cursus 2010-2011 ir drs E.J Boks Les 4 Voortzetting van C ++ verschillen met C Statische klassevariabelen Constante klassevariabelen

Nadere informatie

Geven we decimale getallen als invoer, dan past Maxima zich onmiddellijk aan en geeft ook decimale getallen als resultaat:

Geven we decimale getallen als invoer, dan past Maxima zich onmiddellijk aan en geeft ook decimale getallen als resultaat: 3. Rekenkunde 3.1. Rekenmachine Maxima kan als een zakrekenmachine gebruikt worden voor het uitvoeren van eenvoudige en ingewikkelde berekeningen. Maxima rekent exact met gehele getallen, breuken en wortelvormen

Nadere informatie

Technology, Innovation & Society Delft

Technology, Innovation & Society Delft Technology, Innovation & Society Delft VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING TOETSCODE GROEP : ELEKTROTECHNIEK : GESPRG-SC1 : EP11, EP12 TOETSDATUM : 22-01-2015 TIJD : 13.00u-14.30u AANTAL PAGINA S

Nadere informatie

Programmeren in C# Samenvatting van C#

Programmeren in C# Samenvatting van C# Programmeren in C# Samenvatting van C# Proceduraal Programmeren Functies (O: void + return, I: referentie of value) Arrays, Lijsten Lussen (for, while, do while) Condities, if-else, switch Variabelen,

Nadere informatie

Wat is FP? The Haskell School of Expression. Functies. Types 1+1=2. Iedere expressie (en waarde) heeft een type.

Wat is FP? The Haskell School of Expression. Functies. Types 1+1=2. Iedere expressie (en waarde) heeft een type. Wat is FP? The Haskell School of Expression Functioneel Programmeren Een andere manier om tegen programmeren aan te kijken Gebaseerd op het uitrekenen van expressies 1+1=2 Eenvoudig maar krachtig (modulair,

Nadere informatie

SEQUENTIE-STRUCTUUR. Oefening: Dichtheid

SEQUENTIE-STRUCTUUR. Oefening: Dichtheid SEQUETIE-STRUCTUUR Oefening: Dichtheid geef diameter vd bol(m) //Declaratie input variabelen double diameter; double soortmassa; //Declaratie variabelen voor tussenresultaten double volume; diameter //Declaratie

Nadere informatie

Het relaas van de beginnende programmeur. Het hoe en waarom van de assistent

Het relaas van de beginnende programmeur. Het hoe en waarom van de assistent Het relaas van de beginnende programmeur Het hoe en waarom van de assistent 1. Help, mijn code doet niks... Mogelijke oplossingen: Heb je op run geduwd (groene pijltje)? Zolang je niet op 'run' duwt, kent

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

http://www.liacs.nl/home/kosters/java/

http://www.liacs.nl/home/kosters/java/ sheets Programmeren 1 Java college 2, Walter Kosters De sheets zijn gebaseerd op de hoofdstukken 2 tot en met 6 van: D. Bell en M. Parr, Java voor studenten, Prentice Hall, 2002 http://www.liacs.nl/home/kosters/java/

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester.

Uitleg: In de bovenstaande oefening zie je in het eerste blokje een LEES en een SCHRIJF opdracht. Dit is nog lesstof uit het tweede trimester. In onderstaande oefeningen zijn kleuren gebruikt. Deze dienen aleen om de structuren makkelijker terug te kunnen herkennen. Ze worden niet standaard zo gebruikt. De dunne rood/roze balken zijn ook geen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

inleiding theoretische informatica practicum 1 deadline woensdag 20 februari 2008 om uur

inleiding theoretische informatica practicum 1 deadline woensdag 20 februari 2008 om uur 1 Inleiding inleiding theoretische informatica 2007-2008 practicum 1 deadline woensdag 20 februari 2008 om 14.00 uur Dit practicum is een kennismaking met functioneel programmeren. Twee belangrijke functionele

Nadere informatie

VAN HET PROGRAMMEREN. Inleiding

VAN HET PROGRAMMEREN. Inleiding OVERZICHT VAN HET PROGRAMMEREN Inleiding Als je leert programmeren lijkt het nogal overweldigend om die eerste stappen te doorworstelen. Er zijn dan ook heel wat programmeertalen (Java, Ruby, Python, Perl,

Nadere informatie

De doorsnede van twee verzamelingen vinden

De doorsnede van twee verzamelingen vinden De doorsnede van twee verzamelingen vinden Daniel von Asmuth Inleiding Dit artikel probeert enkele algoritmen te vergelijken om de doorsnede van twee verzamelingen of rijen van getallen te vinden. In een

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Omschrijf bij ieder onderdeel van de methode de betekenis ervan. Java kent twee groepen van klassen die een GUI kunnen maken: awt en swing.

Omschrijf bij ieder onderdeel van de methode de betekenis ervan. Java kent twee groepen van klassen die een GUI kunnen maken: awt en swing. irkel (met Jpanel) ij de onderstaande opdracht behoort het bestand Panels: JPanels_1.java (map Panel) in de map irkel. pplicaties in Java hebben altijd een publieke klasse waarin een methode main voorkomt.

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie