Algoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Algoritmes en Priemgetallen. Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?"

Transcriptie

1 Algoritmes en Priemgetallen Hoe maak je een sleutelpaar voor RSA?

2 Het recept van RSA Kies p q priemgetallen en bepaal N = pq Kies e Z N (publieke sleutel) Bepaal d e 1 mod φ N (privésleutel) x ed x kφ N +1 x mod N WOW! Maar. Hoe kom je aan p en q?

3 Priemzeven Zeef van Eratostenes Manier om priemgetallen N te berekenen Maak tabel 2 N Herhaal: markeer eerste getal als priem, streep alle veelvouden ervan weg

4 Priemzeven Zeef van Eratostenes Manier om priemgetallen N te berekenen Maak tabel 2 N Herhaal: markeer eerste getal als priem, streep alle veelvouden ervan weg

5 Priemzeven Zeef van Eratostenes Manier om priemgetallen N te berekenen Maak tabel 2 N Herhaal: markeer eerste getal als priem, streep alle veelvouden ervan weg

6 Priemzeven Zeef van Eratosthenes Voor ieder priemgetal p bekijk je N p veelvouden van dat getal p N priem N p = O N log log N Afhankelijk van of je voor optellen O(1) of O(log N) telt dus O N log log N of O N log log N log N Merk op: p + 1 p 2 + = p priem (neem links en rechts log en doe wat trucjes) n 1 n

7 Verbetering: wielzeven In je tabel zet je onnodig 2-vouden neer, beschouw alleen getallen v.d. vorm 2k + 1 Factor 2 sneller! 3-vouden zijn ook zinloos. Bekijk 6k ± 1 Factor 3 sneller

8 Verbetering: wielzeven In je tabel zet je onnodig 2-vouden neer, beschouw alleen getallen v.d. vorm 2k vouden zijn ook zinloos. Bekijk 6k ± 1 Sneller: bekijk getallen v.d. vorm 30k + a, a 1,7,11,13,17,19,23,29 Meer dan 4 sneller!

9 Verdere verbetering Met nog slimmer wielzeven kan je naar O( N) geheugen en O N log N tijd Atkins doet het nog sneller: O N log N log log N tijd Truucje: kwadraatvrije n 1 mod 4 is priem desda 4x 2 + y 2 = n een oneven aantal gehele oplossingen heeft.

10 Zeven is niet de oplossing Als wij snel een lijst van priemgetallen kunnen maken kan een aanvaller dat ook! Nieuwe strategie: genereer random getal n en test of het priem is Priemgetal dat ongeveer N groot is maken: ~1 op de log N getallen is priem dus verwacht log (N) keer proberen

11 Priemtesten - naïef Probeer een getal N te delen door alle getallen N Voor k-bits N moeten we alle k/2-bits getallen proberen O 2 k/2 = O(N) Het delen kost tijd k 2 dus we zitten aan O Nlog 2 N Duurder dan zeven! (en exponentieel!)

12 Priemtesten - Fermat Stelling v. Fermat: als p priem is en a N dan a p 1 1 (mod p)

13 Priemtesten - Fermat Stelling v. Fermat: als p priem is en a N dan a p 1 1 (mod p) PriemTest(n) a = RandInt() als a n 1 1 (mod n) RETURN false RETURN true

14 Priemtesten - Fermat Stelling v. Fermat: als p priem is en a N dan a p 1 1 (mod p) PriemTest(n) a = RandInt() als a n 1 1 (mod n) RETURN false RETURN soort-van-true

15 Priemtesten - Fermat Bijna-ware-stelling: als n niet priem is en a [1,, n] willekeurig dan a n 1 1 (mod n) met kans P = 1 2. Consequentie: als PriemTest(n) k keer bijna-true geeft dan is n priem met kans keer testen geeft al 99,9% kans op goed antwoord! k

16 Carmichaelgetallen Er zijn helaas getallen die niet priem zijn en waarvoor toch a n 1 1 (mod n) voor alle a. De kleinste is 561, de volgende 1105 Ze zijn zeldzaam, maar er zijn er O(N 1 3) Er zijn asymptotisch meer priemgetallen, dat zijn er O N log N

17 Miller-Rabin Gebruikt een iets andere stelling Het idee is hetzelfde: kies random getal a en draai dit door de stelling Geen carmichaelgetallen: als een getal n niet priem is dan bewijst 75% v.d. getallen uit [0,, n] dat n niet priem is.

18 Miller-Rabin en Fermat Ze draaien in O(log 3 N) Monte-Carlo: een niet-priem-antwoord is altijd correct maar een priem-antwoord is heel soms fout Fermat heeft last van Carmichaelgetallen, Rabin niet

19 AKS-test PRIMES is in P, paper uit 2002 Eerste polynomiale én deterministische priemtest Sterkere stelling: een getal n is priem desda x a n x n a mod n voor alle n met gcd a, n = 1

20 AKS-test Sterkere stelling: een getal n is priem desda x a n x n a mod n voor alle n met gcd a, n = 1 Dit kost te veel tijd om te checken Het is voldoende als het modulo het polynoom x r 1 geldt Alleen checken voor bepaalde combinaties van a en r!

21 AKS-test De looptijd is O(log 12 N) en misschien ook O(log 6 N) (nog onbewezen vermoeden) Voor een 1024-bits getal ben je in het gunstigste geval 36 jaar bezig (bij 1 GHz) Theoretisch van groot belang, niet echt geschikt voor real-life

22 Genereren van een priemgetal Dictaat Cryptografie er is geen algoritme bekend dat rechtstreeks uit random bits een priemgetal genereert Strategie die door de Amerikaanse overheid (NIST) wordt aangeraden: Maak random getal n van k bits Draai 40 iteraties van Miller-Rabin en test of n priem is Herhaal tot je een priemgetal hebt gevonden

23 Genereren van een priemgetal Strategie die door de Amerikaanse overheid (NIST) wordt aangeraden: Maak random getal n van k bits Draai 40 iteraties van Miller-Rabin en test of n priem is Herhaal tot je een priemgetal hebt gevonden 1 op log (N) getallen is priem, verwacht log (N) keer proberen In verwacht O(log 4 N) tijd heb je een waarschijnlijk priemgetal

24 Genereren van een priemgetal De kans dat het fout is is superklein (10 24 ) 2048-bits key in ~2 minuten

25 Deterministische priemgetalgeneratie Stel nu dat je zeker wilt weten dat het goed is Vervang Miller-Rabin door AKS => te sloom

26 Deterministische priemgetalgeneratie Stel nu dat je zeker wilt weten dat het goed is Vervang Miller-Rabin door AKS => te sloom Maurer s algoritme: genereert een bewijsbaar priemgetal in verwacht O (sneller dan Miller-Rabin!) log4 N log log N tijd

27 Stelling van Pocklington Zij p een priemgetal en kies R zodat q R. Bepaal n = q k R + 1. Als er een getal a N bestaat met de eigenschappen 1. a n 1 1 (mod n) n 1 2. gcd a q, n = 1 dan is iedere priemfactor p van n van de vorm p = q k r + 1, waarbij r [1,, R].

28 Idee van Maurer Om een k-bits priemgetal te maken: Maak recursief een k/2-bits priemgetal q Kies R random k/2-bits getal en maak n = 2Rq + 1 Probeer een a te vinden die aan het lemma van Pocklington voldoet (probeer zonodig met een nieuwe R). De kans dat dit lukt is gigantisch (> 1 1 q ). Dan geldt dat iedere priemdeler van n van de vorm q k r + 1 is. q > n dus iedere priemdeler is > n maar er kan alleen een (echte) priemdeler > n zijn als er ook een < n is

29 Maurer s Algoritme Maurer beveelt nog wat optimalisaties aan Het loopt in verwacht O log4 N log log N tijd Gegarandeerd een kloppend priemgetal

30 Samenvatting Fermat-test: Monte-Carlo (kleine kans op fout), heeft last van Carmichaelgetallen Miller-Rabin-test: ook Monte-Carlo, O(log 3 N) AKS-test: deterministisch, O log 12 N, misschien O log 6 N Priemgetallen maken met Miller-Rabin O(log 4 N) Levert waarschijnlijk een goed priemgetal Priemgetallen maken met Maurer Verwacht O log4 N tijd log log N Levert gegarandeerd een goed priemgetal

Algoritmes voor Priemgetallen

Algoritmes voor Priemgetallen Algoritmes voor Priemgetallen Tom van der Zanden Projectje Security, juni 2013 1 Introductie Voor cryptograe zijn priemgetallen erg belangrijk. Veel encryptiesystemen maken gebruik van hun eigenschappen

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Priemgetallen. van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma. Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit

Priemgetallen. van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma. Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit Priemgetallen van nutteloos tot staatsgevaarlijk? Wieb Bosma Nijmeegse Tweedaagse Radboud Universiteit Nijmegen oktober 2008 Priemgetallen 2 Voorwoord Dit zijn de aantekeningen bij één van de twee onderwerpen

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken. Benne de Weger Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger 28 aug. / 4 sept. RSA 1/38 asymmetrisch cryptosysteem versleutelen met de publieke sleutel ontsleutelen met de bijbehorende privé-sleutel gebaseerd

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Mersenne- en Fermatgetallen

Mersenne- en Fermatgetallen Hoofdstuk 5 Mersenne- en Fermatgetallen 5.1 Mersennegetallen Uit Hoofdstuk 4 is naar voren gekomen dat getallen van de vorm 2 n 1 met n 2 en hun al of niet priem zijn van belang is voor de constructie

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID

Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1 H6. Deelbaarheid Hoofdstuk 6 : DEELBAARHEID 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 203-230 ) 6.1 Delers en veelvouden Verklaren waarom een natuurlijk getal (wel of geen) deler is van een ander natuurlijk

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal

Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal Haskell: programmeren in een luie, puur functionele taal Jan van Eijck jve@cwi.nl 5 Talen Symposium, 12 juli 2010 Samenvatting In deze mini-cursus laten we zien hoe je met eindige en oneindige lijsten

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren

Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Verzamelingen, Lijsten, Functioneel Programmeren Jan van Eijck jve@cwi.nl Stage Ignatiuscollege, 17 mei 2010 Samenvatting In deze lezing gaan we in op de overeenkomsten en verschillen tussen verzamelingen

Nadere informatie

Dossier 3 PRIEMGETALLEN

Dossier 3 PRIEMGETALLEN Dossier 3 PRIEMGETALLEN atomen van de getallenleer Dr. Luc Gheysens Een priemgetal is een natuurlijk getal met twee verschillende delers, nl. 1 en het getal zelf. De priemgetallen zijn dus 2, 3, 5, 7,

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor

Nadere informatie

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato

Algebra. voor Informaticastudenten Getallen. Ernic Kamerich. Jean Delville: de school van Plato Algebra voor Informaticastudenten Getallen Jean Delville: de school van Plato Ernic Kamerich januari 2007 Inhoud 1 De gehele getallen..........................................................................

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Public Key Cryptography. Wieb Bosma

Public Key Cryptography. Wieb Bosma Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie

Nadere informatie

niet: achterop een ansichtkaart schrijven postbode (en wie al niet meer) leest mee

niet: achterop een ansichtkaart schrijven postbode (en wie al niet meer) leest mee Het geheim van goede koffie Benne de Weger oktober 2013 b.m.m.d.weger@tue.nl http://www.win.tue.nl/~bdeweger versturen van geheimen hoe moet je een geheim opsturen als onderweg iemand kan afluisteren?

Nadere informatie

Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen

Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Dirk Dekker Van Uytrechtlaan 25 1901 JK Castricum T.J.Dekker@uva.nl. 1. Inleiding Priemgetallen en priemidealen in kwadratische lichamen Het ontbinden van getallen in factoren en de daaruit te verkrijgen

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

De wiskunde achter de Bitcoin

De wiskunde achter de Bitcoin De wiskunde achter de Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden NWD, Noordwijkerhout, 2015/01/31 Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden) De wiskunde achter

Nadere informatie

opdrachten algoritmiek - antwoorden

opdrachten algoritmiek - antwoorden opdrachten algoritmiek - antwoorden Dit zijn de voorbeelduitwerkingen behorende bij de oefeningen algoritmiek. Er zijn altijd veel mogelijke manieren om hetzelfde probleem op te lossen. De voorbeelduitwerking

Nadere informatie

OPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet.

OPDRACHT Opdracht 2.1 Beschrijf in eigen woorden wat het bovenstaande PSD doet. Les C-02: Werken met Programma Structuur Diagrammen 2.0 Inleiding In deze lesbrief bekijken we een methode om een algoritme zodanig structuur te geven dat er gemakkelijk programmacode bij te schrijven

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid

Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid Extra oefeningen hoofdstuk 4: Deelbaarheid 4.1 Delers en veelvouden 1 Bepaal door opsomming. a) del 84 =... b) del 13 =... c) del 44 =... d) del 89 =... e) del 1 =... f) del 360 =... 2 Bepaal de eerste

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Factorisatie van gehele getallen. Raymond Papenburg ( )

Factorisatie van gehele getallen. Raymond Papenburg ( ) Factorisatie van gehele getallen Raymond Papenburg (0469998) 2014 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Geschiedenis 3 3 Complexiteit 4 3.1 Bitoperaties....................................... 4 3.2 Grote-O-notatie.....................................

Nadere informatie

Priemfactoren. Grote getallen. Geavanceerde methoden. Hoe ontbind je een getal N in priemfactoren?

Priemfactoren. Grote getallen. Geavanceerde methoden. Hoe ontbind je een getal N in priemfactoren? Docentenhandleiding Inhoudsopgave Docentenhandleiding... 1 Inhoudsopgave... 2 Priemfactoren... 3 Grote getallen... 3 Geavanceerde methoden... 3 Primaliteit en factorisatie... 4 Literatuur... 4 Software...

Nadere informatie

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.

Nadere informatie

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn.

Oefening: Markeer de getallen die een priemgetal zijn. Getallenkennis : Priemgetallen. Wat is een priemgetal? Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. (m.a.w. een priemgetal is een natuurlijk getal

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken

Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Hoe je het cryptosysteem RSA soms kunt kraken Benne de Weger Technische Universiteit Eindhoven Inleiding. RSA RSA is een veelgebruikt cryptografisch systeem, bijvoorbeeld voor het beveiligen van internetverkeer.

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

1 Religie vs herschrijven 3. 2 Herschrijven 4. 3 Rekenen 5. 4 Tellen 6. 5 Syracuse probleem 7. 6 Herschrijftheorie 8. 7 Terminatie en Confluentie 9

1 Religie vs herschrijven 3. 2 Herschrijven 4. 3 Rekenen 5. 4 Tellen 6. 5 Syracuse probleem 7. 6 Herschrijftheorie 8. 7 Terminatie en Confluentie 9 1 Religie vs herschrijven 3 2 Herschrijven 4 3 Rekenen 5 4 Tellen 6 5 Syracuse probleem 7 6 Herschrijftheorie 8 Page 1 of 31 7 Terminatie en Confluentie 9 8 SN en CR in rekenen 10 9 SN en CR in tellen

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

Tweede Deeltoets Security 3 juli 2015, 8.30 10.30, Educatorium-Γ.

Tweede Deeltoets Security 3 juli 2015, 8.30 10.30, Educatorium-Γ. Tweede Deeltoets Security 3 juli 2015, 8.30 10.30, Educatorium-Γ. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op

Nadere informatie

Modulair rekenen en de Montgomery vermenigvuldiging

Modulair rekenen en de Montgomery vermenigvuldiging Modulair rekenen en de Montgomery vermenigvuldiging Inleiding door Theo Kortekaas Modulair rekenen is rekenen met resten. Als we een vliegreis maken van 31 uur en we vertrekken vandaag om 12:00 uur dan

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 -

Het RSA Algoritme. Erik Aarts - 1 - Het RSA Algoritme Erik Aarts - 1 - 1 Wiskunde... 3 1.1 Het algoritme van Euclides... 3 1.1.1 Stelling 1... 4 1.2 Het uitgebreide algoritme van Euclides... 5 1.3 Modulo rekenen... 7 1.3.1 Optellen, aftrekken

Nadere informatie

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002

Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =

Nadere informatie

Random number generators

Random number generators Random number generators Marijke Bodlaender 3137759 2 februari 2010 1 Inleiding 1.1 Doel Voor de cryptografie is het gebruik van goede random generators voor het genereren van keys cruciaal. Er zijn verschillende

Nadere informatie

GETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65,

GETALTHEORIE 1. de Leuke En Uitdagende Wiskunde 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, GETALTHEORIE 1 1, 2, 3, 4, 5, 1, 3, 6, 10, 15, 1, 4, 9, 16, 25, 1, 5, 12, 22, 35, 1, 6, 15, 28, 65, SAMENSTELLING: H. de Leuw - 1 - 1. NATUURLIJKE GETALLEN. Als kind hebben we allemaal leren tellen: 1,

Nadere informatie

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken, Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

De wiskunde van geheimschriften. R. Cramer, B. de Smit, P. Stevenhagen, A. Stolk, M. Streng, L. Taelman

De wiskunde van geheimschriften. R. Cramer, B. de Smit, P. Stevenhagen, A. Stolk, M. Streng, L. Taelman De wiskunde van geheimschriften R. Cramer, B. de Smit, P. Stevenhagen, A. Stolk, M. Streng, L. Taelman Februari Maart 2008 update 2014 Inhoudsopgave 1 Geheime communicatie 5 Wat is cryptografie?.......................

Nadere informatie

Pascal uitgediept Data structuren

Pascal uitgediept Data structuren Pascal uitgediept Data structuren MSX Computer & Club Magazine nummer 68-juni/juli 1994 Herman Post Scanned, ocr ed and converted to PDF by HansO, 2001 In deze aflevering wordt bekeken hoe zelf een datastructuur

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken

Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Credit cards, computationele complexiteit en consistentie uitspraken Joost J. Joosten 14 december 2005 Praag en bier Sinds enkele maanden werk ik als post-doc aan de Czech Academy of Sciences in Praag.

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven

Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven Vakgroep CW KAHO Sint-Lieven Objecten Programmeren voor de Sport: Een inleiding tot JAVA objecten Wetenschapsweek 20 November 2012 Tony Wauters en Tim Vermeulen tony.wauters@kahosl.be en tim.vermeulen@kahosl.be

Nadere informatie

Uitwerkingen toets 9 juni 2012

Uitwerkingen toets 9 juni 2012 Uitwerkingen toets 9 juni 0 Opgave. Voor positieve gehele getallen a en b definiëren we a b = a b ggd(a, b). Bewijs dat voor elk geheel getal n > geldt: n is een priemmacht (d.w.z. dat n te schrijven is

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade

Katernen. regionale training. tweede ronde. Nederlandse Wiskunde Olympiade Katernen voor de regionale training ten behoeve van de tweede ronde van de Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE WISKUNDE OLYMPIADE Birgit van Dalen Julian Lyczak Quintijn Puite Inhoudsopgave Katern

Nadere informatie

Verslag van het Leraar in onderzoek-project abc-vermoeden Gillien Geuze

Verslag van het Leraar in onderzoek-project abc-vermoeden Gillien Geuze Verslag van het Leraar in onderzoek-project abc-vermoeden 2005 2007 Gillien Geuze 1 Introductie Wat houdt het abc-vermoeden in? Drie getallen a, b, c N met de eigenschap a + b = c en a < b < c en ggd(a,

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 1. A) Schrijf een functie die een getal x en een getal y meekrijgt. De functie geeft de uitkomst van volgende bewerking als returnwaarde terug: x y x als x y x y y als x < y B)

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Cryptografie met krommen. Reinier Bröker. Universiteit Leiden

Cryptografie met krommen. Reinier Bröker. Universiteit Leiden Cryptografie met krommen Reinier Bröker Universiteit Leiden Nationale Wiskundedagen Februari 2006 Cryptografie Cryptografie gaat over geheimschriften en het versleutelen van informatie. Voorbeelden. Klassieke

Nadere informatie

Wiskundige Structuren voor Informatici

Wiskundige Structuren voor Informatici Wiskundige Structuren voor Informatici Wim Gielen Engelbert Hubbers 9 juli 04 Inhoudsopgave Inhoudsopgave Voorwoord 3 Getallen 6. Natuurlijke getallen....................................... 6. Ontbinding

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

College 1. Geheime communicatie

College 1. Geheime communicatie College 1 Geheime communicatie Wat is cryptografie? Wat het schrift tot een van de fundamenten van de menselijke cultuur maakt, is de mogelijkheid die het geeft om gedachten op zo n manier aan papier of

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie

Nadere informatie

Java Les 3 Theorie Herhaal structuren

Java Les 3 Theorie Herhaal structuren Java Les 3 Theorie Herhaal structuren Algemeen Een herhaal structuur een is programmeertechniek waarbij bepaalde Java instructies worden herhaald net zo lang tot een bepaalde voorwaarde is bereikt. Een

Nadere informatie

De Laatste Stelling van Fermat

De Laatste Stelling van Fermat De Laatste Stelling van Fermat Een introductie tot groepen, ringen, lichamen en idealen Lars van den Berg, Merlijn Koek, Serop Lazarian Onder begeleiding van prof. dr. J.P. Hogendijk 20 november 2011 Voorwoord

Nadere informatie

De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5 VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg!

Nadere informatie

Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel

Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel Geheimschrift op de TI-83+ Gerard Tel Department of Information and Computing Sciences, Utrecht University Technical Report UU-CS-2006-017 www.cs.uu.nl ISSN: 0924-3275 Geheimschrift op de TI-83+ Gerard

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Digitale Handtekeningen: een experimentele vergelijking

Digitale Handtekeningen: een experimentele vergelijking Centrum voor Wiskunde en Informatica REPORTRAPPORT Digitale Handtekeningen: een experimentele vergelijking D.E. Wilschut Modelling, Analysis and Simulation (MAS) MAS-N0001 August 31, 2000 Report MAS-N0001

Nadere informatie

Les C-01: Algoritmen. 2005 David Lans

Les C-01: Algoritmen. 2005 David Lans 2005 David Lans Les C-01: Algoritmen 1.0 Inleiding Moeilijke problemen pakken we vaak stapsgewijs aan: Een olifant eet je met kleine hapjes. Het is van belang om de stappen waarmee we een probleem oplossen

Nadere informatie

??? Peter Stevenhagen. 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde

??? Peter Stevenhagen. 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 1 ??? Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 2 Wiskunde en cryptografie Peter Stevenhagen 7 augustus 2008 Vierkant voor wiskunde 3 Crypto is voor iedereen Peter Stevenhagen 7 augustus

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

Snelle algoritmen in de getaltheorie

Snelle algoritmen in de getaltheorie Snelle algoritmen in de getaltheorie Bas Edixhoven Universiteit Leiden email: edix@math.leidenuniv.nl Samenvatting De auteur van deze tekst is bijzonder blij met de resultaten die hij en zijn medewerkers

Nadere informatie

Is RSA-cryptografie nu veilig genoeg en wat betekent dit voor de toekomst van digitale beveiliging?

Is RSA-cryptografie nu veilig genoeg en wat betekent dit voor de toekomst van digitale beveiliging? Is RSA-cryptografie nu veilig genoeg en wat betekent dit voor de toekomst van digitale beveiliging? Profielwerkstuk Examenkandidaten: Nahom Tsehaie (N&T en N&G) Jun Feng (N&T) Begeleiders: David Lans Albert

Nadere informatie

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen

Nadere informatie

Junior College 2010 2011. van priemgetal. handtekening. K.U.Leuven Campus Kortrijk Wetenschap & Technologie

Junior College 2010 2011. van priemgetal. handtekening. K.U.Leuven Campus Kortrijk Wetenschap & Technologie Junior College 2010 2011 van priemgetal tot digitale handtekening Campus Kortrijk Wetenschap & Technologie Fabien De Cruyenaere Paul Igodt Stijn Rebry ii Proof by Poem The RSA Encryption Algorithm Take

Nadere informatie

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

1 Hele getallen. Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs. Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden Rekenen en wiskunde uitgelegd Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden 1 Hele getallen Peter Ale Martine van Schaik u i t g e v e r ij c o u t i

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

De wiskunde van geheimschriften. R. Cramer, B. de Smit, P. Stevenhagen, A. Stolk, M. Streng, L. Taelman

De wiskunde van geheimschriften. R. Cramer, B. de Smit, P. Stevenhagen, A. Stolk, M. Streng, L. Taelman De wiskunde van geheimschriften R. Cramer, B. de Smit, P. Stevenhagen, A. Stolk, M. Streng, L. Taelman Februari Maart 2008 Inhoudsopgave 1 Geheime communicatie 5 Wat is cryptografie?.......................

Nadere informatie

12 september 2012 Complexiteit. Analyse van algoritmen (doelen) Empirische analyse : Voorbeeld Gevolgen

12 september 2012 Complexiteit. Analyse van algoritmen (doelen) Empirische analyse : Voorbeeld Gevolgen Complexiteit van Algoritmen Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 12 september 2012 ODE/FHTBM Complexiteit van Algoritmen 12 september 2012 1/41 Efficientie-analyse

Nadere informatie

Wiskundige beweringen en hun bewijzen

Wiskundige beweringen en hun bewijzen Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels

Nadere informatie

Tweede Toets Datastructuren 29 juni 2016, , Educ-Γ.

Tweede Toets Datastructuren 29 juni 2016, , Educ-Γ. Tweede Toets Datastructuren 29 juni 2016, 13.30 15.30, Educ-Γ. Motiveer je antwoorden kort! Zet je mobiel uit. Stel geen vragen over deze toets; als je een vraag niet duidelijk vindt, schrijf dan op hoe

Nadere informatie

Inhoud. Kun je die code kraken?

Inhoud. Kun je die code kraken? Dit boekje is een bewerking van de masterclass Informatiebeveiliging: "Kun je die code kraken?", gegeven op 22 maart 2000 door Prof.dr. Henk C.A. van Tilborg. Inhoud 1 Beschermen van digitale gegevens

Nadere informatie

Op weg naar de Riemann Hypothese

Op weg naar de Riemann Hypothese R.C. Pollé Op weg naar de Riemann Hypothese Doctoraalscriptie, verdedigd op 7 april 2006 Scriptiebegeleider: Dr. H. Finkelnberg Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 5

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 1 1.4.1 Basis Oefeningen Romeinse cijfers 1 Op deze zonnewijzer staan achtereenvolgens de getallen: I (= 1) II (= 2) III (= 3) IV (= 4) V (= 5) VI (= 6) VII (= 7) VIII

Nadere informatie