TW2020 Optimalisering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TW2020 Optimalisering"

Transcriptie

1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

2 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30 Vrijdag: werkcollege Leiden 9:00-10:45, zaal 312. Delft 10:45-12:30, zaal H en Pi (vanaf 18 november van 8:45 tot 10:30) Één feedbackopgave per week (inleveren op het werkcollege) Maandag 7 november: deeltentamen (in Leiden en Delft) Vrijdag 20 januari: tentamen Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

3 Bepalen eindcijfer e = 0.3d + 0.7t onder de voorwaarde: t 5.0 met e het eindcijfer d het deeltentamencijfer en t het tentamencijfer. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

4 Materiaal Website: Dictaat voor week 1: Karen Aardal. Modelleren van LP en ILP problemen: een introductie (op website) Boek (niet verplicht): Christos H. Papadimitriou, Kenneth Steiglitz. Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, Slides (op website) Opgaven (op website) NB: collegeaantekeningen komen niet op de website NB: uitwerkingen van opgaven komen niet op de website Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

5 Optimalisering Vraag Wat is optimalisering? Antwoord Vind de beste oplossing uit een gegeven verzameling oplossingen. Vraag Wat is hier moeilijk aan? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

6 Voorbeeld Je moet gaten boren voor componenten en bedrading van een printed circuit board (pcb). De boormachine moet zo snel mogelijk klaar zijn. Hoe kunnen we dit probleem wiskundig modelleren? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

7 Model gebaseerd op een graaf Een graaf bestaat uit punten en lijnen die punten met elkaar verbinden. De punten respresenteren de gaten in het pcb. Alle verbindingen tussen punten zijn mogelijk. Als een verbinding wordt gebruikt betekent dit dat de twee verbonden punten (= gaten) achter elkaar worden geboord. Een graaf. Een graaf waarin we uit alle mogelijke verbindingen mogen kiezen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

8 Hoe ziet een toegelaten verzameling verbindingen eruit? Ze vormen een route door de gaten. Elk gat wordt precies één keer geboord. Voorbeeld. Vraag Hoeveel mogelijke routes zijn er? 1 2 (n 1)(n 2) = 1 (n 1)! 2 In dit voorbeeldje: 19, 958, 400 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

9 100 gaten: Bij honderd gaten: routes routes. Ouch! We moeten iets slimmers bedenken. Ouch, we moeten iets slimmers bedenken Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

10 Terug naar ons echte voorbeeld 3038 gaten Beste (=optimale) route: 3038 gaten optimale (beste) route Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

11 Hoe pakken we dit aan? Formuleer een optimaliseringsprobleem gebaseerd op het grafenmodel. Input (wat weten wij?): de graaf G met puntenverzameling V en lijnenverzameling E, en de lengte l(e) van elke lijn (verbinding) e. Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen Wat willen we weten? Hoe kunnen we een oplossing met variabelen beschrijven? x e = 1 x e = 0 als lijn e in de route zit anders Stap 2: formuleer de doelfunctie Wat willen we maximaliseren of minimaliseren? Minimaliseer de lengte van de route: min e E l(e)x e Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

12 Hoe pakken we dit aan? Stap 3: formuleer de voorwaarden Waar moeten oplossingen aan voldoen? 1 De boormachine gaat naar een te boren gat, en gaat na het boren weer weg. Dat betekent dat elk punt precies twee verbindingen moet hebben: x e = 2 voor elk punt v V lijnen e die aan v vast zitten 2 We willen geen sub-routes. Dit kan ook met lineaire restricties. Hier komen we later op terug. 3 Restricties op de variabelwaarden. x e 0 voor alle e E Oftewel x e {0, 1} x e 1 voor alle e E voor alle e E. x e Z voor alle e E Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

13 variabelen met waarde 1 behoren bij verbindingen die samen een route vormen! Output: de variabelwaarde 0 of 1 voor elke variabele. De variabelen met waardeom 1 horen output bijte deproduceren, verbindingen laten die we samen een een algoritme optimale het route model vormen! los. Om output te produceren, laten we een algoritme op het model los. Huidig wereldrecord : punten in een VLSI-toepassing, Huidig opgelost wereldrecord in 2006 (2006): punten in een VLSI-toepassing. Dit probleem is een toepassing van het Travelling Salesman Problem (TSP), het handelsreizigersprobleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

14 Vragen die in dit vak aan bod komen Vraag Wat is een goed wiskundig model voor een gegeven probleem? Vraag Hoe kun je aantonen dat een oplossing optimaal is? Vraag Wat is een goed algoritme om een probleem, gegeven het model, op te lossen. Vraag Zijn er modellen waarvoor we geen efficiënte algoritmes kunnen vinden? Kunnen we dit aantonen of verklaren? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

15 Optimalisering Vraag Wat is optimalisering? Antwoord Vind de beste oplossing uit een gegeven verzameling oplossingen. Vraag Wat is hier moeilijk aan? Antwoord De oplossingen zijn impliciet gegeven door middel van voorwaarden waar ze aan moeten voldoen. Alle mogelijke oplossingen afgaan zou in de meeste gevallen veel te lang duren. We hebben wiskunde nodig! Algebra, discrete wiskunde, analyse, algoritmiek,... Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

16 Soorten optimaliseringsproblemen Algemene formulering: min f (x) o.d.v. g i (x) 0 voor i = 1,..., p h j (x) = 0 voor j = 1,..., q met f, g i, h j functies van x R n of x Z n o.d.v. staat voor onder de voorwaarden in het Engels: s.t. = subject to. Linear Programming (LP) (lineaire optimalisering): f, g i, h j lineair, x R n Integer Linear Programming (ILP) (geheeltallige lineaire optimalisering): f, g i, h j lineair, x Z n Convex Programming: (convexe optimalisering) f convex, g i concaaf, h j lineair, x R n. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

17 LP problemen formuleren: een simpel voorbeeld Voorbeeld (1) Je hebt 6m 2 land beschikbaar en wilt hier aardappelen en wortelen op verbouwen. Met aardappelen kun je 3 euro per m 2 verdienen en met wortelen 2 euro per m 2. Voor aardappelen heb je 2 liter insecticide per m 2 nodig en voor wortelen 1 liter per m 2. Je hebt 8 liter insecticide. Hoeveel land gebruik je voor aardappelen en hoeveel voor wortelen? Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen Stap 2: formuleer de doelfunctie Stap 3: formuleer de voorwaarden Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

18 Grafische weergave x LP formulering: max z = 3 x x 2 o.d.v. x 1 + x 2 6 (1) 2 x 1 + x 2 8 (2) x 1, x z=0 (2) x 1 (1) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

19 Optimale oplossing x (2,4) LP formulering: max z = 3 x x 2 o.d.v. x 1 + x 2 6 (1) 2 x 1 + x 2 8 (2) x 1, x (2) (1) x 1 z=14 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

20 Belangrijke begrippen Een oplossing die aan de voorwaarden voldoet heet een toegelaten oplossing (feasible solution). De verzameling van alle toegelaten oplossingen heet het toegelaten gebied (feasible region). Een toegelaten oplossing waarvoor de doelfunctie gemaximaliseerd of geminimaliseerd is heet een optimale oplossing. Er kunnen dus meerdere optimale oplossingen zijn. Die hebben dan dezelfde doelfunctiewaarde. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

21 ILP problemen formuleren: Facility Location Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

22 ILP problemen formuleren: Facility Location Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

23 ILP problemen formuleren: Facility Location Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

24 ILP problemen formuleren: Facility Location Voorbeeld (2) m winkels moeten regelmatig bevoorraad worden. n locaties zijn beschikbaar om distributiecentra te openen. Selecteer locaties voor distributiecentra zodanig dat de totale kosten zo klein mogelijk zijn: cj zijn de kosten om een distributiecentrum te openen op locatie j dij zijn de kosten om winkel i uit locatie j te bevoorraden. Stap 1: definieer de beslissingsvariabelen Stap 2: formuleer de doelfunctie Stap 3: formuleer de voorwaarden Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

25 Minimum Spanning Tree Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

26 Minimum Spanning Tree Voorbeeld (3) Verbind n huizen met kabels (bijv. glasvezel) zodanig dat de totale afstand van de verbindingen (kabels) minimaal is. Niet alle verbindingen zijn mogelijk. Modelleren als grafenprobleem Definitie Een graaf is een paar (V, E) met: V is een verzameling punten of knopen (nodes, vertices) E is een verzameling lijnen of kanten (edges) elke kant is een verzameling van twee punten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

27 Beschouw een graaf G = (V, E). Definitie G is samenhangend als er een pad bestaat tussen elk tweetal punten. Lemma G is een boom als G samenhangend is en geen circuits (cykels) bevat. Een deelgraaf van G is een graaf G = (V, E ) met V V en E E. Een opspannende boom van G is een deelgraaf van G die een boom is en alle punten van G bevat. De volgende beweringen zijn equivalent voor een graaf G = (V, E): 1 G is een boom; 2 G is samenhangend en E = V 1; 3 G heeft geen circuits, maar als er een lijn aan G wordt toegevoegd ontstaat er een uniek circuit. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

28 Minimum Spanning Tree Voorbeeld (3) Verbind n huizen met kabels (bijv. glasvezel) zodanig dat de totale afstand van de verbindingen (kabels) minimaal is. Niet alle verbindingen zijn mogelijk. Modelleren als grafenprobleem: Probleem Minimum Spanning Tree Gegeven: een graaf G = (V, E) en een lengte l(e) voor elke lijn e E Vind: een opspannende boom van G zodanig dat de som van de lengtes van de lijnen in de boom minimaal is. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

29 P: voorbeeld Voorbeeld u ee 11 ee 22 v ee 33 w min l(e 1 ) x 1 + l(e 2 ) x 2 + l(e 3 ) x 3 in o.d.v. dd 1 xx 1 + ddx 21 xx+ 2 + dd 3 xxx 23 + x 3 = 2.v. xx 1 + xx 2 + x 1, xxx 32, = x xx 1, xx 2, xx 3 x 1, x0 2, x 3 0 xx 1, xx 2, xx 3, 1 Alle (xx 1 hoekpunten, xx 2, xx 3 geheeltallig) zijn geheeltallig, dus zijn er geen geheeltalligheidseisen nodig! We hebben een LP formulering. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

30 Hele ILP formulering voor MST min o.d.v. l(e)x e e E x e = V 1 e E e δ(s) x e 1 x e {0, 1} voor alle S V, S voor alle e E met δ(s) de verzameling lijnen met één eindpunt in S en één eindpunt buiten S. (Het blijkt dat de laatste restrictie vervangen kan worden door 0 x e 1, waardoor een LP formulering verkregen wordt.) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

31 Terug naar TSP Nu kunnen een soortgelijk idee gebruiken om onze ILP formulering van TSP af te maken. Probleem Travelling Salesman Problem (TSP) Gegeven: een graaf G = (V, E) en een lengte l(e) voor elke lijn e E Vind: een zo kort mogelijk circuit dat elk punt van de graaf precies één keer doorloopt. Beslissingsvariabelen: x e = 1 als lijn e in het circuit zit en anders x e = 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

32 Probleem Travelling Salesman Problem (TSP) Gegeven: een graaf G = (V, E) en een lengte l(e) voor elke lijn e E Vind: een zo kort mogelijk circuit dat elk punt van de graaf precies één keer doorloopt. Beslissingsvariabelen: x e = 1 als lijn e in het circuit zit en anders x e = 0. ILP formulering: min l(e)x e e E o.d.v. x e = 2 e v x e 2 e δ(s) x e {0, 1} voor alle v V voor alle S V, S voor alle e E Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

33 Energietransportprobleem Capaciteit Transportkosten Vraag 40 miljoen kwh miljoen kwh 50 miljoen kwh 40 miljoen kwh miljoen kwh 30 miljoen kwh 30 miljoen kwh Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

34 Voorbeeld (4) Vier energiecentrales moeten de elektriciteit leveren voor vier steden. Beslis hoeveel elektriciteit van elke centrale naar elke stad getransporteerd moet worden, zodanig dat aan de (piek) vraag van elke stad voldaan wordt, de capaciteit van de centrales niet overschreden wordt, en de totale transportkosten minimaal zijn. Modelleren met behulp van een gerichte graaf: Definitie Een gerichte graaf is een paar (V, A) met: V is een verzameling punten of knopen (nodes, vertices) A is een verzameling pijlen (arcs) elke pijl is een geordend paar van twee punten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

35 Definitie Een (gerichte) graaf is bipartiet als de puntenverzameling V gesplitst kan worden in twee verzamelingen U en W, zodanig dat: U W = V U W = elke lijn (of pijl) heeft één eindpunt in U en één eindpunt in W. Bipartiete graaf Gerichte bipartiete graaf Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

36 Model m.b.v. gerichte graaf Probleem Energietransportprobleem Gegeven: een gerichte bipartiete graaf D = (U W, A), kosten c uw voor elke pijl (u, w) A, met u U en w W, capaciteit s u voor elke u U en vraag d w voor elke w W. Vind: een waarde x uw 0 voor elke pijl (u, w) A zodanig dat: x uw s u voor alle u U w:(u,w) A u:(u,w) A (u,w) A x uw d w voor alle w W c uw x uw is minimaal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

37 Modelleren als LP probleem Beslissingsvariabelen: x uw is de hoeveelheid elektriciteit die getransporteert wordt van centrale u naar stad w, in kwh. min c uw x uw o.d.v. (u,w) A w:(u,w) A u:(u,w) A x uw 0 x uw s u x uw d w voor alle u U voor alle w W voor alle (u, w) A Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

38 Optimale oplossing Capaciteit Transport Vraag 40 miljoen kwh miljoen kwh miljoen kwh 50 miljoen kwh miljoen kwh 40 miljoen kwh miljoen kwh Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

39 Modelleertechnieken voor ILP formuleringen Voorbeeld (5) Twee van de restricties van een zeker model zijn 2x 1 + 3x 2 3 en x 1 + 2x 3 4. Er hoeft echter maar aan één van de twee restricties voldaan te worden. Hoe kunnen we dit modelleren? Voorbeeld (6) Beschouw een verpakkingsprobleem waarin er dozen beschikbaar zijn waar 5, 10, 25 of 50 producten in passen. Laat x het aantal producten per doos zijn. Hoe kunnen we modelleren dat x {5, 10, 25, 50}? Voorbeeld (7) Stel we hebben variabelen x 1,..., x n R n en we willen min n x i i=1 maximaliseren (je wilt bijvoorbeeld zorgen dat je laagste cijfer zo hoog mogelijk is). Hoe kunnen we dit modelleren? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

40 Soorten optimaliseringsproblemen Linear Programming (LP) problemen hebben lineaire doelfunctie en restricties en reële variabelen. Integer Linear Programming (ILP) problemen hebben lineaire doelfunctie en restricties en geheeltallige variabelen. Mixed Integer Linear Programming (MILP) problemen hebben lineaire doelfunctie en restricties en geheeltallige en reële variabelen. In de rest van het vak gaan we o.a. zien hoe je deze problemen op kunt lossen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september / 40

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007

2 beslissen in netwerken. Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken. versie 4 vrijdag 16 november 2007 eslissen beslissen in netwerken Wiskunde Keuzevak beslissen onderdeel: beslissen in netwerken versie vrijdag november 00 Samenstelling Jan ssers ism Kerngroep Wiskunde indhoven ontys voorkennis: optimaliseren.

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI

Nadere informatie

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord

Nadere informatie

Geheeltallige programmering

Geheeltallige programmering Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 20 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen

Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit ( en ) Uitwerkingen Universiteit Twente 2009-2010/2 Afdeling Informatica, Faculteit EWI Tentamen dinsdag 19 januari 2010, 8.45-12.15 Algoritmen, Datastructuren en Complexiteit (214020 en 214025) Uitwerkingen Bij dit tentamen

Nadere informatie

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen. Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde

Puzzels en wiskunde. Inleiding. Algoritme. Sudoku. 22 Puzzels en wiskunde Een miljoen dollar verdienen in de kerstvakantie? Het enige dat u hoeft te doen, is een polynomiaal algoritme te vinden om een sudoku mee op te lossen. Niels Oosterling schetst waar u dan rekening mee

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen!! "#$ #!%!& " %'!& " #!' " # ( # )' * # ' #*" # + '!#*" ' ' + + ' '!, %' &% &%& % -&. = / +. = / + * 0 #!*" 0 $! 1 = ' + 1 = - 0 " "!$ *# 2 1 = # '2 = ' + 2

Nadere informatie

Programming a CNC-machine using ILP

Programming a CNC-machine using ILP Programming a CNC-machine using ILP Maarten Bos Discrete Mathematics and Mathematical Programming Department of Applied Mathematics University of Twente Date: 15-12-2011 Graduation committee: dr. W. Kern

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 4.150 e-mail: j.b.m.melissen@tudelft.nl tel: 015-2782547 Het project is een verplicht onderdeel van het vak Het project start in week 5. Nadere informatie

Nadere informatie

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7 1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Besliskunde. Dictaat Wiskunde D Versie: 2 juli 2013

Besliskunde. Dictaat Wiskunde D Versie: 2 juli 2013 Dictaat Wiskunde D Versie: 2 juli 2013 Ontwikkeld door: Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss hans.van.ballegooij@gmail.com Op basis van: Beslissen Wiskunde D, door Jan Essers ism Kerngroep Wiskunde

Nadere informatie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie Hoofdstuk 5 Recursion I N T R O D U C T I E Veel methoden die we op een datastructuur aan kunnen roepen, zullen op een recursieve wijze geïmplementeerd worden. Recursie is een techniek waarbij een vraagstuk

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011

Local search. Han Hoogeveen. 21 november, 2011 1 Local search Han Hoogeveen 21 november, 2011 Inhoud vandaag 2 Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdrachten: ˆ Bezorgen wenskaarten ˆ Roosteren tentamens Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

Inleiding optimaliseren in netwerken

Inleiding optimaliseren in netwerken Dit studiemateriaal is ontwikkeld door de kerngroep wiskunde D Delft en mag gratis gebruikt worden in het wiskundeonderwijs in het vo. Kerngroep wiskunde D Delft Liesbeth Bos Scala College Wim Caspers

Nadere informatie

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie

Nadere informatie

Strategisch plannen met BOSS

Strategisch plannen met BOSS Strategisch plannen met BOSS Masterscriptie voor de masteropleiding Applied Mathematics aan de Universiteit Twente Leerstoel: Discrete Mathematics and Mathematical Programming Geschreven door: Matthijs

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Wiskunde achter het Spoorboekje

Wiskunde achter het Spoorboekje Wiskunde achter het Spoorboekje Lex Schrijver Centrum voor Wiskunde en Informatica (CWI) en Universiteit van Amsterdam 1 Spoorboekje 2007 In december 2006 werd bij de Nederlandse Spoorwegen het Spoorboekje

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Tentamen Modellen en Simulatie (WISB134)

Tentamen Modellen en Simulatie (WISB134) Tentamen Modellen en Simulatie (WISB) Maandag, juli 0, 9:00-:00, Educatorium Gamma Zaal Schrijf op elk vel dat je inlevert je naam en op het eerste vel je studentnummer en het totaal aantal ingeleverde

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 2. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 2 Han Hoogeveen, Utrecht University Inhoud vandaag Inhoud: Uitleg methode Bespreking oude opdracht: Bezorgen wenskaarten Slides staan al op het web www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/colleges.html

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16 Inhoudsopgave 1 COMPLEXITEITSTHEORIE 1 1.1 Inleiding.......................................... 1 1.2 De klassen P en N P................................... 8 1.3 Opgaven..........................................

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

De Branch-and-Bound methode

De Branch-and-Bound methode De Branch-and-Bound methode Een eigenschap van het ILP probleem is dat er meestal maar een eindig aantal mogelijke oplossingen toegelaten zijn, of op zijn slechtst zijn de oplossingen aftelbaar (eventueel

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk van Russell/Norvig = [RN] Genetische algoritmen. voorjaar 2016 College 11, 3 mei 2016

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk van Russell/Norvig = [RN] Genetische algoritmen. voorjaar 2016 College 11, 3 mei 2016 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 4.1.4 van Russell/Norvig = [RN] Genetische algoritmen voorjaar 2016 College 11, 3 mei 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie Er zijn allerlei

Nadere informatie

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010 Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat

Nadere informatie

Klaar voor vertrek. Hoe zet je treinstellen s nachts handig op rangeersporen neer, zodat s morgens alle treinen weer op tijd kunnen vertrekken?

Klaar voor vertrek. Hoe zet je treinstellen s nachts handig op rangeersporen neer, zodat s morgens alle treinen weer op tijd kunnen vertrekken? Klaar voor vertrek Hoe zet je treinstellen s nachts handig op rangeersporen neer, zodat s morgens alle treinen weer op tijd kunnen vertrekken? Dagelijks vervoeren de Nederlandse Spoorwegen (NS) gemiddeld

Nadere informatie

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen

Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A, met uitwerkingen 8 december 2015, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is het totaal

Nadere informatie

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)

Nadere informatie

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013 Technische Universiteit Eindhoven 2WH03 - Modelleren C Containers stapelen L. van Hees 0769244 M.L. Koning 0781346 2 april 2013 Y.W.A Meeuwenberg 0769217 1 Inleiding De NS vervoert dagelijks grote hoeveelheden

Nadere informatie

Introductie Onderzoeksmethoden. `Om informatica onderzoek te doen, moet je goed kunnen programmeren. Na dit college. Informatica/Game-technologie

Introductie Onderzoeksmethoden. `Om informatica onderzoek te doen, moet je goed kunnen programmeren. Na dit college. Informatica/Game-technologie Na dit college Weet je het doel is van het vak Weet je wat je moet gaan doen bij het vak Introductie Onderzoeksmethoden 1 Heb je kennis gemaakt met de projectonderwerpen 2 Informatica/Game-technologie

Nadere informatie

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren. versie 3 dinsdag 30 oktober 2007

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren. versie 3 dinsdag 30 oktober 2007 Wiskunde D Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren versie 3 dinsdag 3 oktober 27 Samenstelling Jan Essers ism Kerngroep Wiskunde D Eindhoven Fontys voorkennis: lineaire gelijkheden en ongelijkheden

Nadere informatie

Routeren van treinstellen op knooppunten

Routeren van treinstellen op knooppunten Routeren van treinstellen op knooppunten John van den Broek 2 februari 2007 Nationale Wiskunde Dagen Algemene gegevens NS 1.100.000 reizigers per werkdag 15.000.000.000 reizigers kilometers per jaar 5200

Nadere informatie

Chinese postbodeprobleem

Chinese postbodeprobleem Chinese postbodeprobleem Dorthe Van Waarden 9 juli 2010 Eindverslag Bachelorproject Begeleiding: dr. Marcel van de Vel KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76 Inhoud leereenheid 4 Grafen Introductie 45 Leerkern 47 4.1 Enkele grafische structuren 47 4.2 Wat is een graaf? 49 4.3 De verbindingsmatrix en een algemener graafbegrip 54 4.4 Wandelen in een graaf 58

Nadere informatie

Strategie voor Nuna Zuid- Afrika Bachelorproject

Strategie voor Nuna Zuid- Afrika Bachelorproject Strategie voor Nuna Zuid- Afrika Bachelorproject Chantal Posthoorn Technische Universiteit Delft Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Bacheloropdracht Technische Wiskunde

Bacheloropdracht Technische Wiskunde Bacheloropdracht Technische Wiskunde Optimalisatie van de planning in de thuiszorg Afspraken inplannen met behulp van Particle Swarm Optimization Marieke Dijkink Stefan Klootwijk Joram Span Begeleider:

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren Wiskunde D Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren Samenstelling Jan Essers ism Kerngroep Wiskunde D Eindhoven Fontys bewerking van Ferdy van der Werf op 16 juli 2008 voorkennis: lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

Fundamentele. Informatica 1. Rechenmaschine (1623) von Wilhelm Schickard (1592-1635), gebaut für seinen Freund Johannes Kepler

Fundamentele. Informatica 1. Rechenmaschine (1623) von Wilhelm Schickard (1592-1635), gebaut für seinen Freund Johannes Kepler Fundamentele 1 Informatica 1 Rechenmaschine (1623) von Wilhelm Schickard (1592-1635), gebaut für seinen Freund Johannes Kepler Fundamentele Informatica 1 Hendrik Jan Hoogeboom di. 9.00-10.45 college h.j.hoogeboom@liacs.leidenuniv

Nadere informatie

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo

INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo INHOUD MODULE voor WISKUNDE D voor het vwo DISCRETE WISKUNDE Hoofdstuk 1 Minimaal opspannende bomen blz 2 Hoofdstuk 2 Kortste pad (nog toe te voegen) blz 14 Hoofdstuk 3 TSP-probleem blz 15 3.1 Inleiding

Nadere informatie

4051CALC1Y Calculus 1

4051CALC1Y Calculus 1 4051CALC1Y Calculus 1 College 1 2 september 2014 1 Even voorstellen Theresia van Essen Docent bij Technische Wiskunde Aanwezig op maandag en donderdag EWI 04.130 j.t.vanessen@tudelft.nl Slides op http://homepage.tudelft.nl/v9r7r/

Nadere informatie