Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie"

Transcriptie

1 Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen

2 Onderwerpen Opgaven Isomorfie Paden over ribben Bomen Wortels Paden over knopen Opspannende bomen Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 1

3 Opgaven Bewijs n i=1 i 2 = n(n +1)(2n +1) 6 (a) 2 n+1 = O(2 n ) (b) (n +1) 2 = O(n 2 ) (c) 2 2n = O(2 n ). (d) (200n) 2 = O(2 n ) (e) 2 n+1 = Θ(2 n ) (e) (n +1) 2 = Θ(2 n ) (g) 2 2n = Θ(2 n ). (f) (200n) 2 = Θ(2 n ) Geef een recursieve definitie voor de rij: (2,2 2, (2 2 ) 2, ((2 2 ) 2 ) 2,...) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 2

4 Gegeven S n = 2,s 1 = 1 en aaaaaaaaaas n = s n 1 +6s n 2 voor n 2. aaaaaaaaaageef een explicite definitie voor s n De Lucas-rij is gedefinieerd als: (B) LUC(1) = 1 en LUC(2) = 3 (R) LUC(n) = LUC(n 1) +LUC(n 2) voor n 3 Bewijs: LUC(n) = FIB(n 1) +FIB(n +1) voor n 2 Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 3

5 Grafen voorbeeld I Instructiecyclus Processor Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 4

6 Grafen voorbeeld II Plattegrond van de metro van Moskou Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 5

7 Terminologie Definition 1. [Pad] Een pad met lengte n in een graaf is een reeks e 1 e 2...e n ribben met de reeks knopen v 1 v 2...v n+1 waarbij v 1 en v n+1 de eindknopen van e i zijn, voor i = 1,...,i n 0 De functie γ duidt aan welke eindknopen bij een ribbe horen: γ(e i ) = {v i,v i+1 }. Definition 2. [Loop] Als v i = v i+1 dan is e i een loop. Definition 3. [Gesloten pad] Een pad is gesloten als v 1 = v n+1. Definition 4. [Enkelvoudig (simple) pad] Een pad is enkelvoudig als alle ribben verschillend zijn. (B.v. niet: efggfh) Definition 5. [Cykel] Een gesloten enkelvoudig pad met knopenreeks v 1...v n v 1 en alle knopen v 1...v n verschillend heet een cykel. Definition 6. [Acyclische graaf] Een graaf die geen cykels bevat is acyclisch. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 6

8 Definition 7. [Subgraaf] H is een subgraaf van G als V(H) V(G) en E(H) E(G) en de functie γ voor H overeenkomt met die van G. Definition 8. [Acyclisch pad] Een pad is acyclisch als de subgraaf bestaande uit de ribben en de knopen van het pad acyclisch is.. Proposition 1. Elk gesloten pad e 1,...,e n van minimaal lengte 3 met x 1,...,x n verschillend is een cykel. Proposition 2. Van een pad verschillen alle knopen van elkaar desda het een enkelvoudig en acyclisch pad is. Theorem 1. Als u en v verschillende knopen zijn van een graaf G en er is een pad in G van u naar v, dan is er een enkelvoudig acyclisch pad van u naar v. Elk kortste pad van u naar g is enkelvoudig en acyclisch. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 7

9 Corollary 1. Als e een ribbe is in een enkelvoudig gesloten pad, dan maakt e deel uit van een cykel. Theorem 2. Als u en v verschillende knopen zijn in de acyclische graaf G dan is er ten hoogste één enkelvoudig pad in G van u naar v. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 8

10 Definition 9. [Isomorfie]. Als G en H grafen zijn zonder parallelle ribben en er is een bijectieve afbeelding α : V(G) V(H), zodanig dat {u, v} een ribbe is van G desda {α(u), α(v)} een ribbe is van H, dan is α een isomorfisme van G naar H. Definition 10. [Isomorfe grafen (gelijkvormig)]. Twee grafen G en H zijn isomorf, notatie: G H, als er een isomorfe afbeelding α van de één op de ander is. Corollary 2. [Isomorfie invarianten] Isomorfe grafen hebben hetzelfde aantal knopen en ribben. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 9

11 Definition 11. [Graad]. De graad van een knoop, deg(v) is het aantal ribben waarvan de knoop een eindknoop is. (voor loops 2 hun aantal) Corollary 3. [Gradenreeks]. Het aantal knopen D k (G) met dezelfde graad k in G is een ismorfie invariant. En ook de gradenreeks (D 0 (G),D 1 (G),...) Definition 12. [Reguliere graaf]. Een graaf waarvan alle knopen dezelfde graad hebben, heet regulier. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 10

12 Welke grafen zijn isomorf? Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 11

13 Definition 13. [Volledige graaf (complete)]. Een graaf waarvan alle knopen de maximale graad ( V(G) 1) hebben, heet regulier. Theorem 3. (a) De som van de graden van de knopen is tweemaal het aantal ribben. deg(v) = 2 E(G) v V(G) (b) D 1 (G) +2D 2 (G) +3D 3 (G) +42D 4 (G) +... = 2 E(G) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 12

14 Wandelingen over ribben Definition 14. [Euler pad] Een pad in een graaf waarin alle ribben precies één keer voorkomen, heet een Euler-pad. Definition 15. [Euler cykel (circuit)] Een gesloten Euler-pad is een Euler cykel. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 13

15 De plattegrond van Koningsberg Problem 1. [Het chinese postbodenprobleem] Hoe vind je in een samenhangende graaf een pad (route) over alle ribben (straten)? Theorem 4. In een graaf met een Euler cykel hebben alle knopen een even graad. Corollary 4. Een graaf met een Euler pad heeft of twee knopen met een oneven graad of geen knopen met een oneven graad. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 14

16 Theorem 5. [De stelling van Euler]. Een eindige samenhangende graaf, waarin elke knoop een even graad heeft, heeft een Euler cykel. Stelling van Euler Corollary 5. Een eindige samenhangende graaf, met precies twee knopen met een oneven graad heeft, heeft een Euler pad. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 15

17 Algoritme Euler cykel I Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 16

18 Algoritme Euler cykel {Input: een samenhangende graaf G, alle knopen met een even graad} {Output:een Euler cykel C van G} kies v V (G) construeer een enkelvoudig gesloten pad C van G met knoop v {C is gesloten met ribben uniek} while lengte (C)< E (G) do kies een knoop w in C met pos.graad in G \C construeer een enkelvoudig gesloten pad in G \C door w verbind dit pad met C in w om een langer enkelvoudig gesloten pad te krijgen return C Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 17

19 Algoritme Euler cykel II Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 18

20 Algoritme gesloten pad {Input: een samenhangende graaf H, alle knopen met een even graad} {Output:een enkelvoudig gesloten pad P door v} kies een ribbe e van H met een eindknoop v P e en verwijder e uit E (H) while er een ribbe in E (H) is met een eindknoop van P do kies zo n ribbe,voeg die aan het eind van P toe en verwijder die uit E (H) return C Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 19

21 Afstammingsboom Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 20

22 Bomen Definition 16. [Boom]. Een boom is een samenhangende acyclische graaf. Theorem 6. Stel e is een ribbe van een samenhangende graaf G. De volgende beweringen zijn equivalent. G \ {e} is samenhangend. e is een ribbe van een cykel in G. e is een ribbe van een enkelvoudig gesloten pad in G. Definition 17. [Opgespannen boom]. Een opgespannen boom T van een samenhangende graaf G is een samenhangende acyclische (boom) subgraaf van G, die alle knopen van G bevat, dus V(T) = V(G). Theorem 7. Elke eindige samenhangende graaf heeft een opgespannen boom. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 21

23 Theorem 8. Als G een graaf is met meer dan één knoop, geen loops en geen parallelle ribben, dan is het volgende equivalent. G is een boom. Elk paar knopen is verbonden met een enkelvoudig pad. G is samenhangend, maar niet meer als er een ribbe verwijderd wordt. G is acyclisch, maar niet meer als er een ribbe toegevoegd wordt. Definition 18. [Bladeren] Knopen met graad 1 heten bladeren. Lemma 1. Een eindige boom met tenminste één ribbe heeft minstens twee bladeren. Lemma 2. Een boom met n knopen heeft precies n 1 ribben. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 22

24 Theorem 9. Als G een eindige graaf is met n knopen, geen loops en geen parallelle ribben, dan is het volgende equivalent. G is een boom. G is samenhangend, en heeft n 1 knopen. G is acyclisch, en heeft n 1 knopen. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 23

25 Welke bomen zijn isomorf? Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 24

26 Bomen met wortels wortel bladeren ouder -kind voorouder - afstammeling binaire m-aire boom absente kinderen - reguliere boom niveau-nummer v.e. knoop - hoogte v.e. boom volle m-aire boom Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 25

27 Wandelingen over knopen Definition 19. [Hamitoniaans pad]. Een pad van een graaf G is Hamiltoniaans als het elke knoop precies één keer bezoekt. Definition 20. [Hamitoniaanse cykel]. Een pad van een graaf G is Hamiltoniaans als het elke knoop precies één keer bezoekt, op de eerste en de laatste knoop na, die zijn dezelfde. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 26

28 Definition 21. [Hamitoniaanse graaf] Een graaf is Hamiltoniaans als die een Hamiltoniaanse cykel bevat. Proposition 3. Een Hamiltoniaans pad is enkelvoudig. Theorem 10. Als de graaf G geen loop of parallelle ribben heeft en V(G) = n 3 en deg(v) n/2 voor elke knoop v van G dan is G Hamiltoniaans. Theorem 11. Elke graaf G met n knopen, zonder loops of parallelle ribben en met minstens 1 2 (n 1)(n 2) +2 is Hamiltoniaans. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 27

29 Bestaan Hamiltoniaans pad Theorem 12. Elke graaf G met n knopen, zonder loops of parallelle ribben en V(G) = n 3 en als voor elk paar knopen, v enwniet met een ribbe verbonden, geldt: deg(v)+deg(w) n dan is G Hamiltoniaans. Bewijs: Stel G is een tegenvoorbeeld voor de stelling. D.w.z.: voor G geldt voor elk paar knopen, v en w niet met een ribbe verbonden, geldt: deg(v) +deg(w) n maar niet G is Hamiltoniaans. Stel G is maximaal, d.w.z G is een subgraaf van een Hamiltoniaanse K n en door één ribbe van K n aan G toe te voegen wordt G ook Hamiltoniaans. Dus G heeft al een Hamiltoniaans pad, stel met knopen v 1 v 2...v n. Door een ribbe {v 1,v n } toe te voegen ontstaat een Hamiltoniaanse cykel. We tonen aan dat G al over een Hamiltoniaanse cykel beschikt. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 28

30 We definiëren deelverzamelingen S 1 en S 2 van {2,...,n} als volgt: S 1 = { i : { v 1,v i } E(G) } en S 1 = { i : {v i 1,v n } E(G) } We hebben S 1 S 2 {2,...,n} S 1 = deg(v 1 ) en S 2 = deg(v n ) Omdat S 1 + S 2 n en S 1 S 2 ten hoogste n 1 elementen heeft, kan S 1 S 2 niet leeg zijn. Er is daarom een i waarvoor {v 1,v i } en {v i 1,v n } ribben van G zijn. Dus v 1...v i 1 v n...v i...v 1 is een Hamiltoniaanse cykel. In tegenspraak met aanname! Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 29

31 Gewogen grafen Definition 22. [Het handelsreizigerprobleem]. Hoe vind je in een samenhangende gewogen graaf een kortste pad (route) over alle knopen (steden)? (Minimaal Hamiltoniaans pad) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 30

32 Gray codes Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 31

33 Bipartite grafen Definition 23. [Bipartite graaf (tweeledig)]. Een graaf G heet bipartite als V(G) de vereniging is van twee disjuncte nietlege deelverzamelingen V 1 en V 2 zodat elke ribbe van G een knoop van V 1 met een knoop van V 2 verbindt. Definition 24. [Volledig bipartite graaf]. Een graag G is volledig bipartite als bovendien elke knoop van V 1 met elke knoop van V 2 samenhangend is. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 32

34 Theorem 13. Stel G is een bipartite graaf is met partitie V(G) = V 1 V 2. Als G een Hamiltoniaanse cykel heeft, dan V 1 = V 2. Als G een Hamiltoniaans pad heeft, verschillen V 1 en V 2 ten hoogste 1. Voor volledige bipartite grafen geldt het omgekeerde ook. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 33

35 Opgespannen bomen Het Tree-algoritme {Input: een knoop v van een eindige graaf G} {Output: een verzameling ribben E van een opgespannen boom van een component van G die v bevat} V {v} ; E ; {V is de lijst van bezochte knopen} while er ribben in G zijn,die knopen in V verbinden met knopen niet in V do kies een ribbe{u,w}met u V en w / V ; V V {w} ; E E {{v,w}} return E Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 34

36 Forest-algoritme {Input: een eindige graaf G} {Output:een verzameling ribben E van ribben van een opgespannen bos voor G} V ; E ; while V = V (G);do kies een v V (G) \V ; Laat E de ribben zijn en V de knopen van Tree (v), een opgespannen boom van G ; V V V ; E E E return E Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 35

37 Kruskal s Algoritme 1. kleur alle knopen geel 2. doorloop alle ribben in de volgorde van oplopend gewicht: als de betrokken ribbe samengevoegd met de rode boom, de boom acyclisch houdt: aaaaa kleur de ribbe rood en de kno(o)p(en) zwart Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 36

38 Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 37

39 Kruskal s Algoritme 2 {Input: een eindige gewogen graaf G met ribben gesorteerd in oplopende volgorde} {Output: een verzameling ribben E van een minimale opgespannen boom} E ; for j = 1 to E (G) do if E {e j }is acyclisch then E E {e j } return E Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 38

40 Theorem 14. Kruskal s algoritme levert een minimale opgespannen boom. Bewijs: E is bevat in een opgespannen boom van de graaf is een invariant van de for-lus. Na afloop is E een opgespannen boom. E is minimaal Theorem 15. Kruskal s algoritme heeft een executietijd van O(n log 2 n) met (n = E(G) ) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 39

41 Prim s Algoritme 1. kleur alle knopen geel 2. kleur een willekeurig punt zwart 3. zolang er nog gele knopen zijn: (a) zij e een ribbe van minimaal gewicht die een zwart punt met een wit punt verbindt (b) kleur e rood en zijn gele eindknoop zwart Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 40

42 Prim s Algoritme {Input: een eindige gewogen graaf G met ribben willekeurige volgorde} {Output: een verzameling ribben E van een minimale opgespannen boom} E ; kies w V (G) ; V {w} ; while V = V (G) do kies een ribbe{u,v} E (G) met laagste gewicht zodat u V en v V (G) \V return E Theorem 16. Prim s algoritme heeft een executietijd van O(n 2 ), met (n = V(G) ) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 41

43 Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 42

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zesde college

Grafen deel 2 8/9. Zesde college Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden. . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Grafen. Grafen, toppen en bogen

Grafen. Grafen, toppen en bogen Grafen Het zijn configuraties van knoppen en verbindingen, waar we de knoppen toppen noemen en de verbindingen tussen 2 toppen noemen we een boog. Toppen en bogen kunnen bijkomende attributen hebben, zoals

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 10 Bomen 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 Baarn Hilversum Soestdijk Den Dolder voorbeelden route boom beslisboom Amersfoort Soestduinen + 5 * + 5.1 5.2 5.3 5.4 2 3 * * 2 5.3.1

Nadere informatie

Zevende college complexiteit. 7 maart Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort)

Zevende college complexiteit. 7 maart Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort) College 7 Zevende college complexiteit 7 maart 2017 Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort) 1 Inversies Definitie: een inversie van de permutatie A[1],A[2],...,A[n] is een paar (A[i],A[j]) waarvoor

Nadere informatie

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort College 7 Zevende college complexiteit 17 maart 2008 Ondergrens sorteren, Quicksort 1 Sorteren We bekijken sorteeralgoritmen gebaseerd op het doen van vergelijkingen van de vorm A[i] < A[j]. Aannames:

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then

Nadere informatie

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen. Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 8 oktober 2007 GRAMMATICA S Kennisrepresentatie & Redeneren Week6: Grammatica

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014 Grafen en BFS Mark Lekkerkerker 24 februari 2014 1 Grafen Wat is een graaf? Hoe representeer je een graaf? 2 Breadth-First Search Het Breadth-First Search Algoritme Schillen De BFS boom 3 Toepassingen

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve 1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke

Nadere informatie

Oefententamen in2505-i Algoritmiek

Oefententamen in2505-i Algoritmiek TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische

Nadere informatie

Lijstkleuring van grafen

Lijstkleuring van grafen C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie

Lijst-kleuringen in de grafentheorie Lijst-kleuringen in de grafentheorie Berrie Bottelier 16 juli 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. Guus Regts 4 5 6 1 2 3 Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

buren in Europa 1 tp://commons.wikimedia.org/wiki/file:member_states_of_the_european_union_(polar_stereographic_projection)_en.svg

buren in Europa 1 tp://commons.wikimedia.org/wiki/file:member_states_of_the_european_union_(polar_stereographic_projection)_en.svg buren in Europa 1 tp://commons.wikimedia.org/wiki/file:member_states_of_the_european_union_(polar_stereographic_projection)_en.svg buren in Europa FI SE EE PT IE GB DK NL BE DE LU AT FR IT ES CZ SI HR

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Kubische grafen met integraal spectrum Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Tweede lezer: Daan van Rozendaal

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 30 april 2007 INLEIDING Kennisrepresentatie & Redeneren Week1: Introductie

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76 Inhoud leereenheid 4 Grafen Introductie 45 Leerkern 47 4.1 Enkele grafische structuren 47 4.2 Wat is een graaf? 49 4.3 De verbindingsmatrix en een algemener graafbegrip 54 4.4 Wandelen in een graaf 58

Nadere informatie

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? me:

Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes?  me: Oefeningen Discrete Wiskunde - Hoofdstuk 6 - Peter Vandendriessche Fouten, opmerkingen of alternatieve methodes? Email me: peter.vdd@telenet.be 1. Het aantal knoop-tak overgangen is altijd even. De totaalsom

Nadere informatie

Formeel Denken. Herfst Contents. 1 Combinatoriek 1

Formeel Denken. Herfst Contents. 1 Combinatoriek 1 Formeel Denken Herman Geuvers Deels gebaseerd op het herfst 00 dictaat van Henk Barendregt en Bas Spitters, met dank aan het Discrete Wiskunde dictaat van Wim Gielen Herfst 004 Contents 1 Combinatoriek

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen

Activiteit 9. Modderstad Minimaal Opspannende Bomen. Samenvatting. Kerndoelen. Leeftijd. Vaardigheden. Materialen Activiteit 9 Modderstad Minimaal Opspannende Bomen Samenvatting Onze maatschappij is verbonden middels heel veel netwerken: telefoonnet, elektriciteitsnet, de riolering, computernetwerk, en het wegennet.

Nadere informatie

Chinese postbodeprobleem

Chinese postbodeprobleem Chinese postbodeprobleem Dorthe Van Waarden 9 juli 2010 Eindverslag Bachelorproject Begeleiding: dr. Marcel van de Vel KdV Instituut voor wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7

1.2 Bomen Algemeen 1.2. BOMEN 7 1.2. BOMEN 7 1.2 Bomen 1.2.1 Algemeen Beschouw eerst een niet-gerichte graaf. Een boom is een samenhangende graaf die geen kringen bevat. Een boom wordt meestal genoteerd met de letter T (tree). Een bos

Nadere informatie

RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010

RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 RuG-Informatica-cursus Discrete Structuren, versie 2009/2010 Handout 3A Jan Terlouw maandag 22 februari 2010 De eerste paragraaf van deze handout is inhoudelijk een afronding van handout 2B (versie als

Nadere informatie

Beslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7

Beslisbare talen (1) IN2505-II Berekenbaarheidstheorie. Beslisbare talen (2) Beslisbare talen (3) De talen: College 7 Beslisbare talen (1) College 7 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft 10 mei 2009 De talen: A DFA = { M, w M is een DFA die w accepteert} A NFA = { M, w M is een NFA die w accepteert} E DFA = { M M is

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande

Nadere informatie

Netwerkstroming. Algoritmiek

Netwerkstroming. Algoritmiek Netwerkstroming Netwerkstroming Toepassingen in Logistiek Video-streaming Subroutine in algoritmen 2 Vandaag Netwerkstroming: wat was dat ook alweer? Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl. 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 9 februari 2009 BEWIJZEN Discrete Structuren Week1 : Bewijzen Onderwerpen Puzzels

Nadere informatie

Groepsacties op bomen

Groepsacties op bomen Sytske van der Sluis Groepsacties op bomen Bachelorscriptie, 4 juni 2009 Scriptiebegeleider: Dr. B. de Smit Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 De categorie van grafen

Nadere informatie

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011 15 november 2011 Tree traversal Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 15 november 2011 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november 2011 1/22 1 ODE/FHTBM Tree

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

Datastructuren en algoritmen voor CKI

Datastructuren en algoritmen voor CKI Datastructuren en algoritmen voor CKI Jeroen Bransen 1 14 oktober 2015 1 met dank aan Hans Bodlaender en Gerard Tel Willekeurig gebouwde zoekbomen Willekeurig gebouwde zoekbomen Hoogte van zoekboom met

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.

Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.

Nadere informatie

-SAMENVATTING- Fundamenten voor de Informatica

-SAMENVATTING- Fundamenten voor de Informatica -SAMENVATTING- Fundamenten voor de Informatica Samenvatting van Hoofdstuk 4.4: Analyse van algoritmen tot Hoofdstuk 5: Netwerkmodellen Maxwell Szymanski Bachelor Informatica KULeuven 2016-2017 Chapter

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren

Notatie van verzamelingen. Lidmaatschap. Opgave. Verzamelingen specificeren Overzicht TI1300: Redeneren en Logica College 10: Verzamelingenleer Tomas Klos Algoritmiek Groep Colleges 1 2: Bewijstechnieken Colleges 3 9: Propositielogica Vandaag en morgen: Verzamelingenleer Colleges

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Het Chromatische Polynoom. N.C. A Campo

Het Chromatische Polynoom. N.C. A Campo Het Chromatische Polynoom N.C. A Campo 1 juli 01 Hoofdstuk 1 Inleiding Stel de universiteit wilt nog meer maatregelen zodat men sneller gaat studeren en vraagt de netwerkbeheerder om het sociale media

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Programmeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/

Programmeermethoden. Recursie. week 11: november kosterswa/pm/ Programmeermethoden Recursie week 11: 21 25 november 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/pm/ 1 Pointers Derde programmeeropgave 1 Het spel Gomoku programmeren we als volgt: week 1: pointerpracticum,

Nadere informatie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie Hoofdstuk 5 Recursion I N T R O D U C T I E Veel methoden die we op een datastructuur aan kunnen roepen, zullen op een recursieve wijze geïmplementeerd worden. Recursie is een techniek waarbij een vraagstuk

Nadere informatie

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 ) OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................

Nadere informatie

Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route

Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route Kosten Zoekalgoritmen (00 00) ollege 5: Zoeken met kosten Peter de Waal, Tekst: Linda van der aag Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd; ongemak;...

Nadere informatie

Optimalisatie van robuustheid in netwerken

Optimalisatie van robuustheid in netwerken N. van Splunder Optimalisatie van robuustheid in netwerken Bachelorscriptie 30 juni 207 Scriptiebegeleiders: dr. F.M. Spieksma dr. J.L. Dorsman Universiteit Leiden Mathematisch Instituut Inhoudsopgave

Nadere informatie

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Tree traversal. Ferd van Odenhoven. 15 november Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering. Doorlopen van bomen

Tree traversal. Ferd van Odenhoven. 15 november Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering. Doorlopen van bomen Tree traversal Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 15 november 2011 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november 2011 1/22 1 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november

Nadere informatie