Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie"

Transcriptie

1 Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen

2 Onderwerpen Opgaven Isomorfie Paden over ribben Bomen Wortels Paden over knopen Opspannende bomen Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 1

3 Opgaven Bewijs n i=1 i 2 = n(n +1)(2n +1) 6 (a) 2 n+1 = O(2 n ) (b) (n +1) 2 = O(n 2 ) (c) 2 2n = O(2 n ). (d) (200n) 2 = O(2 n ) (e) 2 n+1 = Θ(2 n ) (e) (n +1) 2 = Θ(2 n ) (g) 2 2n = Θ(2 n ). (f) (200n) 2 = Θ(2 n ) Geef een recursieve definitie voor de rij: (2,2 2, (2 2 ) 2, ((2 2 ) 2 ) 2,...) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 2

4 Gegeven S n = 2,s 1 = 1 en aaaaaaaaaas n = s n 1 +6s n 2 voor n 2. aaaaaaaaaageef een explicite definitie voor s n De Lucas-rij is gedefinieerd als: (B) LUC(1) = 1 en LUC(2) = 3 (R) LUC(n) = LUC(n 1) +LUC(n 2) voor n 3 Bewijs: LUC(n) = FIB(n 1) +FIB(n +1) voor n 2 Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 3

5 Grafen voorbeeld I Instructiecyclus Processor Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 4

6 Grafen voorbeeld II Plattegrond van de metro van Moskou Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 5

7 Terminologie Definition 1. [Pad] Een pad met lengte n in een graaf is een reeks e 1 e 2...e n ribben met de reeks knopen v 1 v 2...v n+1 waarbij v 1 en v n+1 de eindknopen van e i zijn, voor i = 1,...,i n 0 De functie γ duidt aan welke eindknopen bij een ribbe horen: γ(e i ) = {v i,v i+1 }. Definition 2. [Loop] Als v i = v i+1 dan is e i een loop. Definition 3. [Gesloten pad] Een pad is gesloten als v 1 = v n+1. Definition 4. [Enkelvoudig (simple) pad] Een pad is enkelvoudig als alle ribben verschillend zijn. (B.v. niet: efggfh) Definition 5. [Cykel] Een gesloten enkelvoudig pad met knopenreeks v 1...v n v 1 en alle knopen v 1...v n verschillend heet een cykel. Definition 6. [Acyclische graaf] Een graaf die geen cykels bevat is acyclisch. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 6

8 Definition 7. [Subgraaf] H is een subgraaf van G als V(H) V(G) en E(H) E(G) en de functie γ voor H overeenkomt met die van G. Definition 8. [Acyclisch pad] Een pad is acyclisch als de subgraaf bestaande uit de ribben en de knopen van het pad acyclisch is.. Proposition 1. Elk gesloten pad e 1,...,e n van minimaal lengte 3 met x 1,...,x n verschillend is een cykel. Proposition 2. Van een pad verschillen alle knopen van elkaar desda het een enkelvoudig en acyclisch pad is. Theorem 1. Als u en v verschillende knopen zijn van een graaf G en er is een pad in G van u naar v, dan is er een enkelvoudig acyclisch pad van u naar v. Elk kortste pad van u naar g is enkelvoudig en acyclisch. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 7

9 Corollary 1. Als e een ribbe is in een enkelvoudig gesloten pad, dan maakt e deel uit van een cykel. Theorem 2. Als u en v verschillende knopen zijn in de acyclische graaf G dan is er ten hoogste één enkelvoudig pad in G van u naar v. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 8

10 Definition 9. [Isomorfie]. Als G en H grafen zijn zonder parallelle ribben en er is een bijectieve afbeelding α : V(G) V(H), zodanig dat {u, v} een ribbe is van G desda {α(u), α(v)} een ribbe is van H, dan is α een isomorfisme van G naar H. Definition 10. [Isomorfe grafen (gelijkvormig)]. Twee grafen G en H zijn isomorf, notatie: G H, als er een isomorfe afbeelding α van de één op de ander is. Corollary 2. [Isomorfie invarianten] Isomorfe grafen hebben hetzelfde aantal knopen en ribben. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 9

11 Definition 11. [Graad]. De graad van een knoop, deg(v) is het aantal ribben waarvan de knoop een eindknoop is. (voor loops 2 hun aantal) Corollary 3. [Gradenreeks]. Het aantal knopen D k (G) met dezelfde graad k in G is een ismorfie invariant. En ook de gradenreeks (D 0 (G),D 1 (G),...) Definition 12. [Reguliere graaf]. Een graaf waarvan alle knopen dezelfde graad hebben, heet regulier. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 10

12 Welke grafen zijn isomorf? Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 11

13 Definition 13. [Volledige graaf (complete)]. Een graaf waarvan alle knopen de maximale graad ( V(G) 1) hebben, heet regulier. Theorem 3. (a) De som van de graden van de knopen is tweemaal het aantal ribben. deg(v) = 2 E(G) v V(G) (b) D 1 (G) +2D 2 (G) +3D 3 (G) +42D 4 (G) +... = 2 E(G) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 12

14 Wandelingen over ribben Definition 14. [Euler pad] Een pad in een graaf waarin alle ribben precies één keer voorkomen, heet een Euler-pad. Definition 15. [Euler cykel (circuit)] Een gesloten Euler-pad is een Euler cykel. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 13

15 De plattegrond van Koningsberg Problem 1. [Het chinese postbodenprobleem] Hoe vind je in een samenhangende graaf een pad (route) over alle ribben (straten)? Theorem 4. In een graaf met een Euler cykel hebben alle knopen een even graad. Corollary 4. Een graaf met een Euler pad heeft of twee knopen met een oneven graad of geen knopen met een oneven graad. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 14

16 Theorem 5. [De stelling van Euler]. Een eindige samenhangende graaf, waarin elke knoop een even graad heeft, heeft een Euler cykel. Stelling van Euler Corollary 5. Een eindige samenhangende graaf, met precies twee knopen met een oneven graad heeft, heeft een Euler pad. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 15

17 Algoritme Euler cykel I Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 16

18 Algoritme Euler cykel {Input: een samenhangende graaf G, alle knopen met een even graad} {Output:een Euler cykel C van G} kies v V (G) construeer een enkelvoudig gesloten pad C van G met knoop v {C is gesloten met ribben uniek} while lengte (C)< E (G) do kies een knoop w in C met pos.graad in G \C construeer een enkelvoudig gesloten pad in G \C door w verbind dit pad met C in w om een langer enkelvoudig gesloten pad te krijgen return C Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 17

19 Algoritme Euler cykel II Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 18

20 Algoritme gesloten pad {Input: een samenhangende graaf H, alle knopen met een even graad} {Output:een enkelvoudig gesloten pad P door v} kies een ribbe e van H met een eindknoop v P e en verwijder e uit E (H) while er een ribbe in E (H) is met een eindknoop van P do kies zo n ribbe,voeg die aan het eind van P toe en verwijder die uit E (H) return C Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 19

21 Afstammingsboom Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 20

22 Bomen Definition 16. [Boom]. Een boom is een samenhangende acyclische graaf. Theorem 6. Stel e is een ribbe van een samenhangende graaf G. De volgende beweringen zijn equivalent. G \ {e} is samenhangend. e is een ribbe van een cykel in G. e is een ribbe van een enkelvoudig gesloten pad in G. Definition 17. [Opgespannen boom]. Een opgespannen boom T van een samenhangende graaf G is een samenhangende acyclische (boom) subgraaf van G, die alle knopen van G bevat, dus V(T) = V(G). Theorem 7. Elke eindige samenhangende graaf heeft een opgespannen boom. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 21

23 Theorem 8. Als G een graaf is met meer dan één knoop, geen loops en geen parallelle ribben, dan is het volgende equivalent. G is een boom. Elk paar knopen is verbonden met een enkelvoudig pad. G is samenhangend, maar niet meer als er een ribbe verwijderd wordt. G is acyclisch, maar niet meer als er een ribbe toegevoegd wordt. Definition 18. [Bladeren] Knopen met graad 1 heten bladeren. Lemma 1. Een eindige boom met tenminste één ribbe heeft minstens twee bladeren. Lemma 2. Een boom met n knopen heeft precies n 1 ribben. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 22

24 Theorem 9. Als G een eindige graaf is met n knopen, geen loops en geen parallelle ribben, dan is het volgende equivalent. G is een boom. G is samenhangend, en heeft n 1 knopen. G is acyclisch, en heeft n 1 knopen. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 23

25 Welke bomen zijn isomorf? Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 24

26 Bomen met wortels wortel bladeren ouder -kind voorouder - afstammeling binaire m-aire boom absente kinderen - reguliere boom niveau-nummer v.e. knoop - hoogte v.e. boom volle m-aire boom Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 25

27 Wandelingen over knopen Definition 19. [Hamitoniaans pad]. Een pad van een graaf G is Hamiltoniaans als het elke knoop precies één keer bezoekt. Definition 20. [Hamitoniaanse cykel]. Een pad van een graaf G is Hamiltoniaans als het elke knoop precies één keer bezoekt, op de eerste en de laatste knoop na, die zijn dezelfde. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 26

28 Definition 21. [Hamitoniaanse graaf] Een graaf is Hamiltoniaans als die een Hamiltoniaanse cykel bevat. Proposition 3. Een Hamiltoniaans pad is enkelvoudig. Theorem 10. Als de graaf G geen loop of parallelle ribben heeft en V(G) = n 3 en deg(v) n/2 voor elke knoop v van G dan is G Hamiltoniaans. Theorem 11. Elke graaf G met n knopen, zonder loops of parallelle ribben en met minstens 1 2 (n 1)(n 2) +2 is Hamiltoniaans. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 27

29 Bestaan Hamiltoniaans pad Theorem 12. Elke graaf G met n knopen, zonder loops of parallelle ribben en V(G) = n 3 en als voor elk paar knopen, v enwniet met een ribbe verbonden, geldt: deg(v)+deg(w) n dan is G Hamiltoniaans. Bewijs: Stel G is een tegenvoorbeeld voor de stelling. D.w.z.: voor G geldt voor elk paar knopen, v en w niet met een ribbe verbonden, geldt: deg(v) +deg(w) n maar niet G is Hamiltoniaans. Stel G is maximaal, d.w.z G is een subgraaf van een Hamiltoniaanse K n en door één ribbe van K n aan G toe te voegen wordt G ook Hamiltoniaans. Dus G heeft al een Hamiltoniaans pad, stel met knopen v 1 v 2...v n. Door een ribbe {v 1,v n } toe te voegen ontstaat een Hamiltoniaanse cykel. We tonen aan dat G al over een Hamiltoniaanse cykel beschikt. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 28

30 We definiëren deelverzamelingen S 1 en S 2 van {2,...,n} als volgt: S 1 = { i : { v 1,v i } E(G) } en S 1 = { i : {v i 1,v n } E(G) } We hebben S 1 S 2 {2,...,n} S 1 = deg(v 1 ) en S 2 = deg(v n ) Omdat S 1 + S 2 n en S 1 S 2 ten hoogste n 1 elementen heeft, kan S 1 S 2 niet leeg zijn. Er is daarom een i waarvoor {v 1,v i } en {v i 1,v n } ribben van G zijn. Dus v 1...v i 1 v n...v i...v 1 is een Hamiltoniaanse cykel. In tegenspraak met aanname! Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 29

31 Gewogen grafen Definition 22. [Het handelsreizigerprobleem]. Hoe vind je in een samenhangende gewogen graaf een kortste pad (route) over alle knopen (steden)? (Minimaal Hamiltoniaans pad) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 30

32 Gray codes Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 31

33 Bipartite grafen Definition 23. [Bipartite graaf (tweeledig)]. Een graaf G heet bipartite als V(G) de vereniging is van twee disjuncte nietlege deelverzamelingen V 1 en V 2 zodat elke ribbe van G een knoop van V 1 met een knoop van V 2 verbindt. Definition 24. [Volledig bipartite graaf]. Een graag G is volledig bipartite als bovendien elke knoop van V 1 met elke knoop van V 2 samenhangend is. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 32

34 Theorem 13. Stel G is een bipartite graaf is met partitie V(G) = V 1 V 2. Als G een Hamiltoniaanse cykel heeft, dan V 1 = V 2. Als G een Hamiltoniaans pad heeft, verschillen V 1 en V 2 ten hoogste 1. Voor volledige bipartite grafen geldt het omgekeerde ook. Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 33

35 Opgespannen bomen Het Tree-algoritme {Input: een knoop v van een eindige graaf G} {Output: een verzameling ribben E van een opgespannen boom van een component van G die v bevat} V {v} ; E ; {V is de lijst van bezochte knopen} while er ribben in G zijn,die knopen in V verbinden met knopen niet in V do kies een ribbe{u,w}met u V en w / V ; V V {w} ; E E {{v,w}} return E Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 34

36 Forest-algoritme {Input: een eindige graaf G} {Output:een verzameling ribben E van ribben van een opgespannen bos voor G} V ; E ; while V = V (G);do kies een v V (G) \V ; Laat E de ribben zijn en V de knopen van Tree (v), een opgespannen boom van G ; V V V ; E E E return E Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 35

37 Kruskal s Algoritme 1. kleur alle knopen geel 2. doorloop alle ribben in de volgorde van oplopend gewicht: als de betrokken ribbe samengevoegd met de rode boom, de boom acyclisch houdt: aaaaa kleur de ribbe rood en de kno(o)p(en) zwart Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 36

38 Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 37

39 Kruskal s Algoritme 2 {Input: een eindige gewogen graaf G met ribben gesorteerd in oplopende volgorde} {Output: een verzameling ribben E van een minimale opgespannen boom} E ; for j = 1 to E (G) do if E {e j }is acyclisch then E E {e j } return E Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 38

40 Theorem 14. Kruskal s algoritme levert een minimale opgespannen boom. Bewijs: E is bevat in een opgespannen boom van de graaf is een invariant van de for-lus. Na afloop is E een opgespannen boom. E is minimaal Theorem 15. Kruskal s algoritme heeft een executietijd van O(n log 2 n) met (n = E(G) ) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 39

41 Prim s Algoritme 1. kleur alle knopen geel 2. kleur een willekeurig punt zwart 3. zolang er nog gele knopen zijn: (a) zij e een ribbe van minimaal gewicht die een zwart punt met een wit punt verbindt (b) kleur e rood en zijn gele eindknoop zwart Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 40

42 Prim s Algoritme {Input: een eindige gewogen graaf G met ribben willekeurige volgorde} {Output: een verzameling ribben E van een minimale opgespannen boom} E ; kies w V (G) ; V {w} ; while V = V (G) do kies een ribbe{u,v} E (G) met laagste gewicht zodat u V en v V (G) \V return E Theorem 16. Prim s algoritme heeft een executietijd van O(n 2 ), met (n = V(G) ) Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 41

43 Discrete Structuren Week 3 en 4: Grafen & Bomen 42

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken

Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 10 maart 2009 Gerichte Grafen Boolese Algebra s &. Logische Netwerken. Paragrafen

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 februari 2009 RELATIES & GRAFEN Discrete Structuren Week 2: Relaties en Grafen

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zesde college

Grafen deel 2 8/9. Zesde college Grafen deel 2 8/9 Zesde college 1 Een Eulercircuit is een gesloten wandeling die elke lijn precies één keer bevat. traversable trail all edges distinct 8.5 rondwandeling zeven bruggenprobleem van Köningsbergen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 februari 2009 INDUCTIE & RECURSIE Paragrafen 4.3-4.6 Discrete Structuren Week 3:

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Discrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University

Discrete Wiskunde, College 12. Han Hoogeveen, Utrecht University Discrete Wiskunde, College 12 Han Hoogeveen, Utrecht University Dynamische programmering Het basisidee is dat je het probleem stap voor stap oplost Het probleem moet voldoen aan het optimaliteitsprincipe

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TUE) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 3 en 6 februari 2014 Leo van Iersel (TUE/CWI) 2WO12: Optimalisering in

Nadere informatie

Algoritmiek. 15 februari Grafen en bomen

Algoritmiek. 15 februari Grafen en bomen Algoritmiek 15 februari 2019 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices) en E een verzameling van

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

Tweede college algoritmiek. 12 februari Grafen en bomen

Tweede college algoritmiek. 12 februari Grafen en bomen College 2 Tweede college algoritmiek 12 februari 2016 Grafen en bomen 1 Grafen (herhaling) Een graaf G wordt gedefinieerd als een paar (V,E), waarbij V een eindige verzameling is van knopen (vertices)

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 2 mei Gretige algoritmen, Dijkstra College 10 Tiende college algoritmiek mei 013 Gretige algoritmen, Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle

Nadere informatie

Minimum Opspannende Bomen. Algoritmiek

Minimum Opspannende Bomen. Algoritmiek Minimum Opspannende Bomen Inhoud Het minimum opspannende bomen probleem Een principe om een minimum opspannende boom te laten groeien Twee greedy algoritmen + tijd en datastructuren: Het algoritme van

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren.

Week 1 20-02-2013. Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Combinatorische Optimalisatie, 2013 Week 1 20-02-2013 Hier vind je uitwerkingen van enkele opgaven uit het dictaat Grafen: Kleuren en Routeren. Opgave 1.16 Bewijs dat elke graaf een even aantal punten

Nadere informatie

(Isomorfie en) RELATIES

(Isomorfie en) RELATIES Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 15 maart 2009 (Isomorfie en) RELATIES. Paragrafen 10.5,11.1,11.2,11.4,11.5 Discrete

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde

Tentamen Discrete Wiskunde Discrete Wiskunde (WB011C) 22 januari 2016 Tentamen Discrete Wiskunde Schrijf op ieder ingeleverd blad duidelijk leesbaar je naam en studentnummer. De opgaven 1 t/m 6 tellen alle even zwaar. Je hoeft slechts

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 22 maart 2009 ONEINDIGHEID

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie   22 maart 2009 ONEINDIGHEID Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 22 maart 2009 ONEINDIGHEID. Paragraaf 13.3. De paradox van de oneindigheid ligt slechts

Nadere informatie

Talen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie 9 mei 2008

Talen & Automaten. Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie   9 mei 2008 Talen & Automaten Wim Hesselink Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.cs.rug.nl/~wim 9 mei 2008 Talen & automaten Week 1: Inleiding Dit college Talen Automaten Berekenbaarheid Weekoverzicht

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 10 mei Algoritme van Dijkstra, Gretige Algoritmen

Elfde college algoritmiek. 10 mei Algoritme van Dijkstra, Gretige Algoritmen lgoritmiek 019/lgoritme van ijkstra lfde college algoritmiek 10 mei 019 lgoritme van ijkstra, Gretige lgoritmen 1 lgoritmiek 019/ynamisch programmeren Programmeeropdracht 3 Lange Reis 0 10 10 1 1 100 0

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 14 april Gretige algoritmen College 10 Tiende college algoritmiek 1 april 011 Gretige algoritmen 1 Greedy algorithms Greed = hebzucht Voor oplossen van optimalisatieproblemen Oplossing wordt stap voor stap opgebouwd In elke stap

Nadere informatie

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 1. Negende college

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 1. Negende college 10 Bomen deel 1 Negende college 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 typen bomen Er zijn drie verschillende typen bomen, die in Schaum over verschillende hoofdstukken verdeeld

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 4 mei Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 4 mei Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Tiende college algoritmiek mei 018 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag van n (n 0) eurocent. Alle

Nadere informatie

Grafen deel 2 8/9. Zevende college

Grafen deel 2 8/9. Zevende college Grafen deel 2 8/9 Zevende college 1 H8: ongerichte graaf Een graaf G = G(V,E) = (V,E) bestaat uit twee (eindige) verzamelingen: V knopen (punten; vertices,nodes,points) E lijnen (takken,zijden,kanten,bogen;edges)

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari

Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari Uitwerking tentamen Analyse van Algoritmen, 29 januari 2007. (a) De buitenste for-lus kent N = 5 iteraties. Na iedere iteratie ziet de rij getallen er als volgt uit: i rij na i e iteratie 2 5 4 6 2 2 4

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 4 april 2008 Discrete Structuren Week 8: Samenvatting Redeneerpatronen

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

Grafen deel 1. Zesde college

Grafen deel 1. Zesde college Grafen deel 1 8 Zesde college 1 buren in Europa 2 http://commons.wikimedia.org/wiki/file:member_states_of_the_european_union_(polar_stereographic_projection)_en.svg buren in Europa FI SE EE PT IE GB DK

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,

Nadere informatie

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma

Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt

Nadere informatie

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden. . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

Grafen. Grafen, toppen en bogen

Grafen. Grafen, toppen en bogen Grafen Het zijn configuraties van knoppen en verbindingen, waar we de knoppen toppen noemen en de verbindingen tussen 2 toppen noemen we een boog. Toppen en bogen kunnen bijkomende attributen hebben, zoals

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 18 mei Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort

Elfde college algoritmiek. 18 mei Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Elfde college algoritmiek 18 mei 018 Algoritme van Dijkstra, Heap, Heapify & Heapsort 1 Algoritmiek 018/Algoritme van Dijkstra Uit college 10: Voorb. -1- A B C D

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Formeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen

Formeel Denken 2013 Uitwerkingen Tentamen Formeel Denken 201 Uitwerkingen Tentamen (29/01/1) 1. Benader de betekenis van de volgende Nederlandse zin zo goed mogelijk (6 punten) door een formule van de propositielogica: Het is koud, maar er ligt

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde op donderdag 13 april 2017, 14.30-17.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten

opgaven formele structuren deterministische eindige automaten opgaven formele structuren deterministische eindige automaten Opgave. De taal L over het alfabet {a, b} bestaat uit alle strings die beginnen met aa en eindigen met ab. Geef een reguliere expressie voor

Nadere informatie

Hertentamen Topologie, Najaar 2009

Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Toelichting: 06.05.2010 Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine etc.) gebruiken, behalve het boek van Runde en het aanvullende dictaat. Als je stellingen

Nadere informatie

Zevende college complexiteit. 7 maart Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort)

Zevende college complexiteit. 7 maart Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort) College 7 Zevende college complexiteit 7 maart 2017 Mergesort, Ondergrens sorteren (Quicksort) 1 Inversies Definitie: een inversie van de permutatie A[1],A[2],...,A[n] is een paar (A[i],A[j]) waarvoor

Nadere informatie

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort

Zevende college complexiteit. 17 maart Ondergrens sorteren, Quicksort College 7 Zevende college complexiteit 17 maart 2008 Ondergrens sorteren, Quicksort 1 Sorteren We bekijken sorteeralgoritmen gebaseerd op het doen van vergelijkingen van de vorm A[i] < A[j]. Aannames:

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 10 Bomen 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 Baarn Hilversum Soestdijk Den Dolder voorbeelden route boom beslisboom Amersfoort Soestduinen + 5 * + 5.1 5.2 5.3 5.4 2 3 * * 2 5.3.1

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then

Nadere informatie

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 2. Tiende college

Bomen. 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen. deel 2. Tiende college 10 Bomen deel 2 Tiende college 8.8 ongerichte bomen 9.4 gerichte bomen ch 10. binaire bomen 1 arboretum ongericht 8.8 tree graphs 9.4 rooted trees ch.10 binary trees 2 gericht geordend links/rechts bomen

Nadere informatie

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen.

Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB136) Uitwerkingen proeftentamen. Discrete modellen in de toegepaste wiskunde (WISB6) Uitwerkingen proeftentamen. Docent: Rob H. Bisseling april 202. Begin met een matching M = {x y, x y, x 6 y 6 } aangegeven door de vette lijnen. x De

Nadere informatie

Doorzoeken van grafen. Algoritmiek

Doorzoeken van grafen. Algoritmiek Doorzoeken van grafen Algoritmiek Vandaag Methoden om door grafen te wandelen Depth First Search Breadth First Search Gerichte Acyclische Grafen en topologische sorteringen 2 Doolhof start eind 3 Depth

Nadere informatie

ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5

ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 1 ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 opgave 1. a. Brute force algoritme, direct afgeleid uit de observatie: loop v.l.n.r. door de tekst; als je een A tegenkomt op plek i (0 i < n 1), loop dan van daaruit

Nadere informatie

ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5

ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 opgave 1. a. Brute force algoritme, direct afgeleid uit de observatie: loop v.l.n.r. door de tekst; als je een A tegenkomt op plek i (0 i < n 1), loop dan van daaruit

Nadere informatie

Onderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie

Onderwerpen. Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers. Theorie. Theorie (2) Graaftheorie. Een mini-inleiding graaftheorie Onderwerpen Punten en lijnen, postbodes en handelsreizigers Een mini-inleiding graaftheorie Graaftheorie Herman Geuvers Euler en de postbode Radboud Universiteit Nijmegen 9 februari 2019 met dank aan Engelbert

Nadere informatie

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden.

3. Elke lijn van een graaf draagt twee bij tot de som van alle graden. Antwoorden Doeboek 4 Grafen.. De middelste en de rechtergraaf.. Een onsamenhangende graaf met vijf punten en vijf lijnen: Teken een vierhoek met één diagonaal. Het vijfde punt is niet verbonden met een

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2012 2013, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie

Kennisrepresentatie & Redeneren. Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie Kennisrepresentatie & Redeneren Piter Dykstra Instituut voor Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 8 oktober 2007 GRAMMATICA S Kennisrepresentatie & Redeneren Week6: Grammatica

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der natuurwetenschappen, wiskunde en informatica juli 07 Matchingtheorie op grafen Jorrit Bastings S6556 Begeleider: Wieb Bosma Inhoudsopgave Het huwelijksprobleem

Nadere informatie

Algoritmen aan het werk

Algoritmen aan het werk Algoritmen aan het werk (Dag van de wiskunde 24/11/2018) Veerle Fack Universiteit Gent De bevers en de brug Vier bevers willen in het donker een brug oversteken. Ze kunnen de brug slechts alleen of met

Nadere informatie

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve 1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2010 2011, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

Minimum Spanning Tree

Minimum Spanning Tree Minimum Spanning Tree Wat is MST? Minimum spanning tree De meest efficiënte manier vinden om een verbonden netwerk op te bouwen Wat is een tree/boom? Graaf G: een verzameling knopen (vertices): V een verzameling

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Achtste college complexiteit. 2 april Polynoomevaluatie Matrixvermenigvuldiging Euler- en Hamiltonkringen

Achtste college complexiteit. 2 april Polynoomevaluatie Matrixvermenigvuldiging Euler- en Hamiltonkringen College 8 Achtste college complexiteit 2 april 2019 Polynoomevaluatie Matrixvermenigvuldiging Euler- en Hamiltonkringen 1 Polynoomevaluatie Zij p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 een polynoom

Nadere informatie

Vierde college algoritmiek. 2 maart Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search

Vierde college algoritmiek. 2 maart Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Vierde college algoritmiek 2 maart 2018 Toestand-actie-ruimte Exhaustive Search 1 Algoritmiek 2018/Toestand-actie-ruimte Kannen Voorbeeld 4: Kannenprobleem We hebben

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen. Gradenrijtjes & Drempelgrafen

Radboud Universiteit Nijmegen. Gradenrijtjes & Drempelgrafen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Gradenrijtjes & Drempelgrafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Tweede lezer: Giselle Loeffen 4143566 Bachelor

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Radboud Universiteit Nijmegen

Radboud Universiteit Nijmegen Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica L(,1)-labeling van grafen Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Myrte klein Brink 4166140 Bachelor Wiskunde Dr.

Nadere informatie

Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms

Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms Hoofdstuk 17: Approximation Algorithms Overzicht: Vorige week: Π NP-volledig Π waarschijnlijk niet polynomiaal oplosbaar 2 opties: 1 Optimaal oplossen, niet in polynomiale tijd (B&B, Cutting planes) 2

Nadere informatie

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014 Grafen en BFS Mark Lekkerkerker 24 februari 2014 1 Grafen Wat is een graaf? Hoe representeer je een graaf? 2 Breadth-First Search Het Breadth-First Search Algoritme Schillen De BFS boom 3 Toepassingen

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 2017 Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, juni 017 Opgave 1. a. Een pad van de wortel naar een blad stelt de serie achtereenvolgende arrayvergelijkingen voor die het algoritme doet op zekere invoer.

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

Benaderingsalgoritmen

Benaderingsalgoritmen Benaderingsalgoritmen Eerste hulp bij NP-moeilijkheid 1 Herhaling NP-volledigheid (1) NP: er is een polynomiaal certificaat voor jainstanties dat in polynomiale tijd te controleren is Een probleem A is

Nadere informatie

Het 3n + 1 vermoeden. Thijs Laarhoven

Het 3n + 1 vermoeden. Thijs Laarhoven Het 3n + 1 vermoeden Thijs Laarhoven tmmlaarhoven@studenttuenl 9 juli 2009 Inhoud 2/42 Inleiding en terminologie Inhoud 2/42 Inleiding en terminologie 1 De Collatz-graaf en zijn spectrum Inhoud 2/42 Inleiding

Nadere informatie

RIPS Rechtlijnige Ingebedde Planaire Subgrafen

RIPS Rechtlijnige Ingebedde Planaire Subgrafen RADBOUD UNIVERSITEIT NIJMEGEN BACHELOR SCRIPTIE RIPS Rechtlijnige Ingebedde Planaire Subgrafen Auteur: Margot VAN HOEK Begeleider: Wieb BOSMA 2 e lezer: Maarten SOLLEVELD Ingeleverd aan de: Faculteit der

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders!

Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! Grafen Opmerking vooraf: let op, de terminologie is in elk boek weer anders! 1. Inleiding Een (ongerichte) graaf (graph) G = (V, E) bestaat uit een eindige, nietlege verzameling V van punten (vertices),

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007

Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 2007 Uitgebreide uitwerking Tentamen Complexiteit, mei 007 Opgave. a. Een beslissingsboom beschrijft de werking van het betreffende algoritme (gebaseerd op arrayvergelijkingen) op elke mogelijke invoer. In

Nadere informatie

Oefententamen in2505-i Algoritmiek

Oefententamen in2505-i Algoritmiek TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2016 2017, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5

ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 ALGORITMIEK: antwoorden werkcollege 5 opgave 1. a. Brute force algoritme, direct afgeleid uit de observatie: loop v.l.n.r. door de tekst; als je een A tegenkomt op plek i (0 i < n 1), loop dan van daaruit

Nadere informatie

Hebzucht loont niet altijd

Hebzucht loont niet altijd Thema Discrete wiskunde Hoe verbind je een stel steden met zo weinig mogelijk kilometers asfalt? Hoe maak je een optimaal computernetwerk met kabels die maar een beperkte capaciteit hebben? Veel van zulke

Nadere informatie

Inleiding Analyse 2009

Inleiding Analyse 2009 Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn

Nadere informatie

Oefententamen in2505-i Algoritmiek

Oefententamen in2505-i Algoritmiek TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Oefententamen in2505-i Algoritmiek Maart 2007 Het gebruik van boek of aantekeningen tijdens dit tentamen is niet toegestaan.

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Vandaag Kortste Paden probleem All pairs / Single Source / Single Target versies DP algoritme voor All Pairs probleem (Floyd s algoritme) Dijkstra s algoritme voor Single Source Negatieve

Nadere informatie

Tweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond

Tweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni :00 13:00

Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni :00 13:00 Uitwerking tentamen Algoritmiek 10 juni 2014 10:00 13:00 1. Dominono s a. Toestanden: n x n bord met in elk hokje een O, een X of een -. Hierbij is het aantal X gelijk aan het aantal O of hooguit één hoger.

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

Optimaliseren in Netwerken

Optimaliseren in Netwerken Optimaliseren in Netwerken Kees Roos e-mail: C.Roos@tudelft.nl URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/ roos Kaleidoscoop college Zaal D, Mekelweg 4, TU Delft 11 October, A.D. 2006 Optimization Group 1 Onderwerpen

Nadere informatie

Datastructuren en Algoritmen

Datastructuren en Algoritmen Datastructuren en Algoritmen Tentamen Vrijdag 6 november 2015 13.30-16.30 Toelichting Bij dit tentamen mag je gebruik maken van een spiekbriefje van maximaal 2 kantjes. Verder mogen er geen hulpmiddelen

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek

Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg. Algoritmiek Divide & Conquer: Verdeel en Heers vervolg Algoritmiek Algoritmische technieken Vorige keer: Divide and conquer techniek Aantal toepassingen van de techniek Analyse met Master theorem en substitutie Vandaag:

Nadere informatie

Lijstkleuring van grafen

Lijstkleuring van grafen C.J. Meerman Lijstkleuring van grafen Bachelorscriptie 10 juni 2010 Email: cjmeerman@gmail.com Scriptiebegeleider: Dr. D. C. Gijswijt Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding

Nadere informatie

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde

Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Eigenschappen en Axioma s van de E 6 -meetkunde Magali Victoor Promotor: Prof. dr. Hendrik Van Maldeghem Masterproef ingediend tot het behalen van de academische

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie