Tie breaking in de simplex methode

Transcriptie

1 Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie. Wat als er twee grootste zijn? Voorbeeld: Z = 3x 1 + 3x 2 +x 4. Antwoord: Kies er maar een (Bv. de eerste) 2. Variabele die uit de basis gaat: Kijk hoe groot de variabele kan worden (quotiëntregel). Wat doe je als er coëfficiënten negatief zijn? Voorbeeld: 2a. 2x 1 + x 3 = 4, dan x 1 4/2 = 2 (want x 3 0) Normale situatie. 2b. -2x 1 + x 3 = 4, dan x 1-4/2 = -2. Dit is altijd waar, dus niets te controleren. 2c. 2x 1 + x 3 = -4, dan x 1-4/2 = -2. Niet feasible. Kan niet! Rekenfout. 2d. -2x 1 + x 3 = -4, dan x 1 4/2 = 2. Kan niet, want x 1 = 0 was feasible. Rekenfout! 3. Twee quotiënten zijn gelijk. Je loopt tegen twee constraints tegelijk op. Dit kan leiden tot oneindige loop (cycling). Hiervoor zijn oplossingen bekend.

2 4. Er is geen uittredende variabele, omdat alle coëfficiënten in pivotkolom 0 zijn. Het probleem is dan onbegrensd (Meestal fout in de modellering) 5. Er zijn meer optimale oplossingen met dezelfde doelwaarde. De Simplexmethode vindt de eerste. Simplexalgoritme kan verder in een richting waarin de doelfunctie niet verbetert. Zo kun je ook andere optima vinden.

3 Twee fasen methode. De Big-M methode geeft bij implementatie numerieke problemen (cancellation, aftrekken van grote getallen is onbetrouwbaar). In de twee fasen aanpak wordt eerst het deel met de M opgelost (resulteert in feasible punt). Vervolgens wordt het beste punt gevonden. Originele probleem: Min Z = 0.4 x x 2 z.d.d. 0.3x x x x 2 = 6 0.6x x 2 6 en x 1, x 2 0 Simplex vorm: Min Z = 0.4 x x 2 + Mx 4 + Mx 6 z.d.d. 0.3x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 x 5 + x 6 = 6 en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Fase 1 (alleen het Big-M deel van de doelfunctie): Min Z = x 4 + x 6 z.d.d. 0.3x x 2 + x 3 = x x 2 + x 4 = 6 0.6x x 2 x 5 + x 6 = 6 en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 0 Na deze fase moet x 4 = x 6 = 0, anders is er geen feasible oplossing. Je vindt hiermee een toegelaten oplossing.

4 Fase 2 (nu is x 4 = x 6 = 0): Min Z = 0.4 x x 2 z.d.d. 0.3x x 2 + x 3 = x x 2 = 6 0.6x x 2 x 5 = 6 en x 1, x 2, x 3, x 5 0 Hiermee vind je de beste toegelaten oplossing. Big-M krijg je als de nuloplossing in het originele probleem niet toelaatbaar is. De eerste fase levert een toelaatbare oplossing. De tweede fase levert een optimale toelaatbare oplossing

5 De simplexmethode is niet eindig (cycling) maar in de praktijk wel De simplexmethode is niet polynomiaal (Klee, Minty) maar in de praktijk wel: ca. 1.5m iteraties, maximaal 3m (m = #constraints) Rekentijd m 3. Inwendige puntmethoden zijn bewijsbaar polynomiaal. In de praktijk is het aantal iteraties constant, ca

6 Het duale probleem (p. 37) Voorbeeld: Data voor kunstmestproductie: Benodigde grondstoffen Grondstof Super-G Snel-G Normaal-G Voorraad (ton) Verkoopprijs/ton Beslisvariabelen: x 1 = aantal ton Super-G x 2 = aantal ton Snel-G x 3 = aantal ton Normaal-G LP-model: Max 275x x x 3 z.d.d. 3x x 2 + 2x , 4x 1 + 2x 2 + x , en x 1, x 2, x 3 0.

7 Invoer: MAX 275 X X X3 3 X X2 + 2 X3 <= X1 + 2 X2 + X3 <= 1000 Uitvoer: SIMOPT Version 3.0 IEOR VU Amsterdam The following model was read: Objective Function : MAX X X X3 Subject to : X X X3 <= X X X3 <= Summary of Results Value Objective Function : Variable Activity Level Reduced Cost X1 : X2 : X3 : Slack or Surplus Shadow Prices Constraint Constraint Accuracy Check Passed

8 Oplossing: x 1 = 150, x 2 = 0, x 3 = 400. Doelwaarde = Er wordt geen Snel-G geproduceerd (x 2 = 0). Vraag: Hoeveel moet de verkoopprijs van Snel-G worden verhoogd zodat er geproduceerd wordt? Vraag: Hoe neemt de opbrengst toe als er 1 ton grondstof 1 of 2 extra beschikbaar is? Stel een handelaar wil alle grondstoffen van het bedrijf kopen. Hij geeft y 1 euro per ton grondstof 1 y 2 euro per ton grondstof 2 Min 1250y y 2 z.d.d. 3y 1 + 4y y 2 + 2y y 1 + y en y 1, y 2 0 Dit heet het duale probleem Optimale doelwaarde is gelijk aan de optimale doelwaarde van het originele (primale) probleem. y 1 en y 2 heten schaduwprijzen y 1 = 85, y 2 = 5

9 y 1 geeft aan hoeveel extra winst 1 extra ton grondstof 1 oplevert. Vraag: Hoeveel moet de verkoopprijs van Snel-G worden verhoogd zodat er geproduceerd wordt? De kostprijs van Snel-G is 2.5y 1 + 2y 2 = euro per ton De verkoopprijs is 210 euro. De prijs moet dus met euro stijgen. Dit heten de gereduceerde kosten van x 2.

10 Primaal probleem Duaal probleem Max 275x x x 3 Min 1250y y 2 z.d.d. 3x x 2 + 2x , z.d.d. 3y 1 + 4y x 1 + 2x 2 + x , 2.5y 2 + 2y y 1 + y en x 1, x 2, x 3 0. en y 1, y 2 0 Primaal Duaal Max c T x Min b T y z.d.d. Ax b z.d.d. A T y c en x 0. en y 0. Optimale doelwaarden zijn gelijk! y i is de schaduwprijs van grondstof i = stijging van de winst bij 1 eenheid extra grondstof i. Economische kostprijs van product j is a ij y i Gereduceerde kosten van product j: m i= 1 * m * aij yi i=1 is het bedrag waarmee de winst van product j moet toenemen om product j te maken. c j

11 Ander manier om op duaal probleem te komen: Vind bovengrens m.b.v. constraints; Vermenigvuldig 3x x 2 + 2x Met 275/3: 275x x x Dus doelwaarde: 275x x x 3 275x x x Algemener: Vermenigvuldig de constraints met nietnegatieve y 1, y 2 : (3x x 2 + 2x 3 )y 1 + (4x 1 + 2x 2 + x 3 )y y y 2. Dit is (de beste) bovengrens voor 275x x x 3 als: Min 1250y y 2 z.d.d. 3y 1 + 4y y 2 + 2y y 1 + y en y 1, y 2 0 Dit is het duale probleem

12 Stel x is toelaatbaar voor het primale probleem, d.w.z.: x 0, Ax b Stel y is toelaatbaar voor het duale probleem, d.w.z.: y 0, A T y c Dan geldt: c T x (A T y) T x = (y T A)x = y T (Ax) y T b, want x 0, y 0. Gevolg: Doelwaarde primaal Doelwaarde duaal Dualiteitsstelling: Doelwaarde primaal = Doelwaarde duaal

13 Geheeltallige programmering (H2) In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn alle variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP: continue variabelen (Linear Programming) discrete (geheeltallige) variabelen (Integer Progr.) binaire variabelen (Binary Integer Programming) discrete én continue variabelen (Mixed Integer Pr.) Denk aan aantallen, 0/1 beslissingen. Niet-lineaire voorwaarden kunnen soms lineair worden geformuleerd (bv. als-dan voorwaarden). Geheeltallige problemen zijn veel moeilijker oplosbaar dan continue. Discrete (combinatorische) problemen zijn vaak NP-compleet (geen polynomiaal algoritme). Het aantal oplossingen is vaak eindig, maar eindig kan heel groot zijn! Vb. 30 variabelen die elk 4 waarden kunnen aannemen: mogelijkheden!

14 LP relaxatie: Laat de geheeltalligheideisen weg. Het doelgebied wordt groter, dus de LP relaxatie geeft een bovengrens voor IP. IP probleem LP relaxatie Max Z = x 1 + x 2 Max Z = x 1 + x 2 z.d.d. 5x x 2 12 z.d.d. 5x x x x 2 6 2x x 2 6 x 1, x 2 {0,1} Oplossing: Z = 1 Z = 2,4 x 1 = 1, x 2 = 0 x 1 = 2,4, x 2 = 0 Beter: Vervang x 1, x 2 {0,1} in de relaxatie door 0 x j 1: Max Z = x 1 + x 2 z.d.d. 5x x x x x 1 1, 0 x 2 1 Oplossing: Z = 1,235 x 1 = 1, x 2 = 4/17 Dit geeft een (goede) bovengrens, en soms de optimale oplossing.

15 Opgave: Max Z = 5x x 2 z.d.d. 3x 1 + 8x 2 24 x 1 7 x 2 2 x 1, x 2 0, x 1, x 2 Z Los het gerelaxeerde probleem op met de grafische methode Hoekpunten van het toelaatbare gebied: (0,0) Z = 0 (7,0) Z = 35 (0,2) Z = 28 (7,3/8) Z = 40,25 (2 2/3,2) Z = 41,333 Optimale IP oplossing: (2,2) Z = 38 (5,1) Z = 39

16 Investeringsprobleem (p. 94) 7 projecten kunnen worden geselecteerd Jaarlijkse investering per project Jaar Beschikbaar Waarde Variabelen x j = 0/1 als project j niet/wel wordt geselecteerd. Max 250x x x x x x x 7 z.d.d. 40x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6 50 { Investeringsprobleem } TITLE Investering; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO END 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50;

17 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Filename: Parsing time: Investering investering.mpl 0.00 sec Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 0 Solution time: 0.00 sec Constraints: 5 Variables: 7 Nonzeros: 28 Density: 80 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

18 TITLE Investering; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50; x1<=1; x2<=1; x3<=1; x4<=1; x5<=1; x6<=1; x7<=1; END

19 MPL Modeling System -(c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Investering Filename: investering.mpl Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 5 Solution time: 0.00 sec Constraints: 12 Variables: 7 Nonzeros: 35 Density: 42 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

20 TITLE Investering; BINARY VARIABLES x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO END 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50;

21 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Investering Filename: investering.mpl Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 10 Integer nodes: 2 Solution time: 0.00 sec Constraints: 5 Variables: 7 Integers: 7 Nonzeros: 28 Density: 80 % SOLUTION RESULT Optimal integer solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

22 Extra eis: Als project 3 wordt gedaan, dan moet ook 5 worden gedaan: x 5 x 3 Dit is een lineaire voorwaarde! Project 4 of project 7: x 4 + x 7 1 Project 4 óf project 7: x 4 + x 7 = 1 Ten hoogste twee projecten van 2, 3, 4 en 6: x 1 + x 3 + x 4 + x 6 2 Project 6 mag niet als 2 én 5 geselecteerd worden: x 6 2 x 2 x 5

23 Opgave: Formuleer met lineaire voorwaarden 1. Project 1 en 2 beide wel óf beide niet x 1 = x 2 2. Als 1 of 2, dan 3 2x 3 x 1 + x 2 Niet: x 3 x 1 + x 2 3. Als 1 óf 2 dan 3 x 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 1 4. Hoogstens één van 1 en 2, en 3 alleen als 1 of 2 x 3 = x 1 + x en 2 beide of 3 en 4 beide y x 1 y x 2 1 y x 3 1 y x 4 y {0,1} 6. 1 en 2 beide óf 3 en 4 beide Als hierboven, met x 1 + x 2 + x 3 + x 4 3