Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Kosten. Zoekalgoritmen ( ) College 5: Zoeken met kosten. Een zoekprobleem met stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route"

Transcriptie

1 Kosten Zoekalgoritmen (00 00) ollege 5: Zoeken met kosten Peter de Waal, Tekst: Linda van der aag Veel zoekproblemen omvatten kosten: een afstand in kilometers; een geldbedrag; een hoeveelheid tijd; ongemak;... Voorbeelden van dergelijke problemen zijn: het configureren van apparatuur; het maken van roosters; het vinden van routes;... Het doel is dan om een oplossing met minimale kosten te vinden. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten 0 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten tapkosten / 5 Een zoekprobleem met stapkosten Definitie Een zoekprobleem met stapkosten is een tupel P = (T, B, D, O, c) met T, B, D en O zijn als voorheen; c : o O o R+. De functie c associeert met de toepassing van een operator positieve stapkosten. Een voorbeeld: het vinden van een route Beschouw een kaart met steden en wegen tussen die steden: B Het probleem P is het vinden van een route van naar van minimale lengte in kilometers: de verzameling T van toestanden van P is gelijk aan de verzameling {,,B,,} van steden; de verzameling B van begintoestanden van P bevat alleen de toestand ; de verzameling D van doeltoestanden van P bevat alleen ; Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten tapkosten / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten tapkosten / 5

2 Het vinden van een route vervolg Paden en kosten Beschouw nogmaals de kaart met steden en wegen: B de (enige) operator o van P bevat de tupels (,), (,B), (,), (,), (,),..., (,); de kostenfunctie c van P is gedefinieerd als c(, ) = 4 c(, ) = 4 c(, B) = 5 c(, ) = 0 c(, ) = c(b, ) = 5 Definitie Zij P = (T, B, D, O, c) een zoekprobleem met stapkosten. Een pad t in T is een eindige reeks toestanden t = t,..., t n, n, zodanig dat voor elke k =,..., n er een o O is met (t k, t k+ ) o. De kosten van een willekeurige reeks t van toestanden in T zijn gelijk aan (t) = c(n i, n i+ ) als t een pad in T is; (n i,n i+ ) t (t) = als t geen pad in T is. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten tapkosten 4 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Paden 5 / 5 Een oplossing Definitie Zij P = (T, B, D, O, c) een zoekprobleem met stapkosten. Een oplossing van P is een pad in T van een begintoestand naar een eindtoestand. Een oplossing t van P is optimaal als voor alle oplossingen t van P geldt dat (t ) (t). Voorbeeld 8 B D 4 5 E De oplossing,b,e, is optimaal, met kosten (, B, E, ) =. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Oplossingen 6 / 5 ost-based search ost-based search is een variant van dynamische breadth-first search met als verschillen: voor elke knoop op het front worden de padkosten berekend; het front wordt gesorteerd naar toenemende padkosten; de knoop met de laagste padkosten tot dan toe, wordt van het front verwijderd voor expansie. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten ost-based search / 5

3 Een voorbeeld Beschouw nogmaals B ost-based search genereert de volgende zoekboom: B 4 6 B 0 bingo! Bij het expanderen van een knoop is nooit een toestand opgenomen die al voorkomt op het pad van de wortel naar de knoop. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten ost-based search 8 / 5 De vier eigenschappen ls de zoekboom van een probleem met stapkosten tenminste één oplossing bevat, dan geldt: cost-based search vindt altijd een oplossing; de gevonden oplossing is optimaal; cost-based search kost exponentieel veel tijd en ruimte, in de orde van b + ɛ waarin b is de vertakkingsfactor van de zoekboom; zijn de padkosten van de optimale oplossing; ɛ zijn de minimale stapkosten. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten ost-based search: Eigenschappen / 5 Heuristische cost-based search Een evaluatiefunctie met kosten Beschouw een toestand t in een dynamische zoekboom: b Heuristische cost-based search doorzoekt de zoekruimte van een probleem met stapkosten, gestuurd door een heuristische functie: deze functie is gebaseerd op kennis van het probleem; de functie geeft voor een toestand een inschatting van de kosten die nog gemaakt moeten worden om een doeltoestand te bereiken. t d Een schatting van de kosten van het optimale pad van de begintoestand b naar een doeltoestand via toestand t is waarin f (t) = g(t) + h(t) g(t) is een schatting van de kosten van het werkelijk optimale pad van begintoestand b naar toestand t; h(t) is een schatting van de kosten van het optimale pad van toestand t naar een doeltoestand. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search 0 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search / 5

4 met kosten Heuristische cost-based search met een evaluatiefunctie van de vorm als voorheen, met f (t) = g(t) + h(t) 0 h(t) h (t) voor alle t T, waarbij alle functies gebaseerd zijn op padkosten, heet een -algoritme voor cost-based search. Een voorbeeld Beschouw nogmaals B Een heuristische functie voor het probleem is h() = 0 h(n) = de minimale kosten van het bereiken van een naburige stad vanuit n Er geldt bijvoorbeeld dat h() = 4 h(b) = h() = Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search / 5 Een voorbeeld vervolg Beschouw nogmaals B en de heuristische functie als voorheen. cost-based search genereert de volgende zoekboom: h = 4 g = 4 h = 0 g = 4 h = g = 5 B h = 4 g = 0 h = g = 6 h = 0 g = h = g = Zoeken met kosten aspecten van representatie Voor sommige problemen moet een oplossing geconstrueerd worden met maximale kosten : De waarde van de vracht van een vliegtuig moet gemaximaliseerd worden; De opbrengst van een portfolio met beleggingen moet gemaximaliseerd worden;... Het cost-based search algoritme kan niet direct toegepast worden. h = 0 g = bingo! Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Heuristische cost-based search 4 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie 5 / 5

5 Een voorbeeld: vrachtprobleem Een representatie Een vliegtuig kan maximaal kilo aan vracht vervoeren. egeven is een verzameling van kratten i = (g i, w i ) met gewicht g i en waarde w i, i =,..., n, n. Het vleigtuig moet een deelverzameling I van de verzameling kratten vervoeren met g i i I waarbij de waarde i I van de vracht gemaximaliseerd wordt. Het vrachtprobleem kan als volgt als een zoekprobleem geformuleerd worden: een toestand is een deelverzameling I van kratten die in het vliegtuig vervoerd gaan worden; de begintoestand is de lege verzameling; een doeltoestand is een deelverzameling I met i I g i ; de enige operator is het toevoegen van een krat j J = \I aan de toestand I. De te maximaliseren functie is de waarde i I w i van de vracht; als de vracht zwaarder is dan kilo, wordt de waarde gelijk genomen aan 0. Dit is geen zoekprobleem met paden als oplossing. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie 6 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie / 5 Een representatie vervolg Een alternatieve representatie Beschouw het vrachtprobleem met = {(, EUR 4), (, EUR 8), (4, EUR 40), (5, EUR 5)} en = 0. Het cost-based search algoritme genereert de oplossing: EUR 0 bingo! Het probleem moet worden geformuleerd als een minimaliseringsprobleem! Voor het vrachtprobleem is het maximaliseren van de waarde van de vervoerde vracht gelijk aan het minimaliseren van de achterblijvende waarde: Een toestand is nu een deelverzameling J : de verzameling I = \J is de verzameling van kratten die in het vliegtuig vervoerd gaan worden; de verzameling J is de verzameling van kratten die achterblijven; de begintoestand is de lege verzameling. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie 8 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie / 5

6 Een alternatieve representatie vervolg Een alternatieve representatie vervolg Beschouw nogmaals het vrachtprobleem met = {(, EUR 4), (, EUR 8), (4, EUR 40), (5, EUR 5)} een doeltoestand is een deelverzameling J met g j s g s j J de enige operator is het toevoegen van een krat i I = \J aan een toestand J de kosten van toepassing van de operator zijn w i. De te minimaliseren functie is de waarde j J w j van de achterblijvende vracht. en = 0. Het cost-based search algoritme construeert de volgende zoekboom: +(, EUR 4) 4 0 +(, EUR 8) +(4, EUR 40) +(5, EUR 5) (, EUR 4) +(4, EUR 40) +(5, EUR 5) bingo! Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie 40 / 5 Het algoritme retourneert de optimale oplossing: het vliegtuig vervoert een vracht met waarde EUR 65. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie 4 / 5 Belading van twee vliegtuigen Twee vliegtuigen en B kunnen maximaal en B kilo aan vracht vervoeren. egeven is een verzameling van kratten i = (x i, g i, w i ) met optie x i, gewicht g i en waarde w i, i =,..., n, n. De optie x i is, B, of B en geeft aan of de krat òf alleen in, òf alleen in B, òf in een van beide vervoerd kan worden. De vleigtuigen moeten een deelverzameling I van de verzameling kratten vervoeren, waarbij beide vliegtuigen niet overbelast zijn; kratten alleen in toegestane vliegtuigen vervoerd worden; de waarde i I w i van de vracht is gemaximaliseerd. Zoekalgoritmen (00 00) ollege 6: Zoeken met kosten Peter de Waal, Tekst: Linda van der aag Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie 4 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Representatie 4 / 5

7 Een monotone heuristische functie Monotonie en geoorloofdheid Definitie Zij P = (T, B, D, O, c) een zoekprobleem met stapkosten. Een heuristische functie h heet monotoon op T als h(n i ) h(n j ) + c(n i, n j ) voor elke n i, n j T met n j een successor van n i ; h(d) = 0 voor elke d D. b Beschouw een zoekprobleem P met stapkosten. Er geldt: als een heuristische functie monotoon is voor P, dan is de functie ook geoorloofd voor P; als een heuristische functie geoorloofd is voor P, dan is de functie niet noodzakelijk monotoon voor P. c ( n i, n j ) ni nj d Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 44 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 45 / 5 Een voorbeeld Beschouw de zoekgraaf van een probleem met constante kosten gelijk aan en de bijbehorende heuristische functie h: h(b) = 4 h(n) = n h(n) = n b h(n4) = 0 n4 h(n5) = 0 n5 h(d) = 0 d Voor de heuristische functie h geldt dat de functie is geoorloofd; de functie is niet monotoon. n h(n) = Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 46 / 5 Monotoon impliceert geoorloofd Beschouw een pad t 0,..., t n = d in de toestandsruimte van een probleem P. Beschouw een monotone heuristische functie h voor P. Dan geldt: t 0 t h(t 0 ) h(t ) c(t 0, t ) t t h(t ) h(t ) c(t, t ) Met. t n d h(t n ) h(d) c(t n, d) + t 0... d n c(t i, t i+ ) = (t 0, d) i=0 volgt dat de functie h geoorloofd is voor P. h(t 0 ) n i=0 c(t i, t i+ ) Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 4 / 5

8 Lokale geoorloofdheid Voor een -algoritme voor cost-based search met een monotone heuristische functie geldt: als het algoritme een (nieuwe) toestand expandeert, dan heeft het een pad met minimale kosten naar die toestand gevonden het algoritme is lokaal geoorloofd; de evaluatiewaarden f (n) van de achtereenvolgens door het algoritme geëxpandeerde toestanden n, zijn monotoon niet-dalend. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 48 / 5 Lokale geoorloofdheid bewijsschets Veronderstel dat het -zoekalgoritme een toestand s expandeert op het niet optimale pad b = m,..., m p = s. Er geldt dan dat g (s) < g(m p = s) Zij nu b = n,..., n q = s een optimaal pad van b naar s. Voor n j, n j+ op dat pad geldt dat g (n j ) + h(n j ) g (n j+ ) + h(n j+ ) Zij nu n i de toestand op dat pad met n i L. Voor n i geldt dat g (n i ) + h(n i ) g (s) + h(s) < g(m p = s) + h(s) en dus dat f (n i ) < f (m p = s) Het algoritme zal toestand n i voor expansie selecteren en niet toestand m p = s. Een tegenspraak volgt. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Lokale geoorloofdheid 4 / 5 m m p- b s n n q- Depth-first search Een voorbeeld Beschouw een zoekprobleem met stapkosten. ls de zoekboom tenminste één oplossing bevat, dan geldt: standaard depth-first search vindt het eerste pad van de begintoestand naar de doeltoestand; de gevonden oplossing is niet noodzakelijk optimaal; het gebruik van een heuristische functie geeft weinig sturing. Depth-first search wordt voor zoekproblemen met stapkosten daarom uitputtend toegepast. Beschouw een zoekprobleem met de volgende stapkosten: 8 B D 4 5 E Depth-first search genereert de volgende zoekboom: 0 4 B bingo! Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search 50 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search 5 / 5

9 Een voorbeeld vervolg Beschouw nogmaals: 8 B D 4 5 E Uitputtende depth-first search genereert alle paden van naar : 0 4 B D E 6 8 E 8 0 B bingo! D De vier eigenschappen ls de zoekboom van een zoekprobleem met stapkosten tenminste één oplossing bevat, dan geldt: uitputtende depth-first search vindt altijd een optimale oplossing; uitputtende depth-first search kost polynomiaal veel ruimte zoals dynamische depth-first search; uitputtende depth-first search kost exponentieel veel tijd zoals cost-based search. 4 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search 5 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Uitputtende depth-first search 5 / 5 Branch-and-bound inleiding Depth-first branch-and-bound search De essentie van depth-first branch-and-bound search is: Branch-and-bound is een aanvullende techniek waarmee de zoekboom voor een zoekprobleem dynamisch gesnoeid wordt: branch-and-bound houdt de beste tot dan toe gevonden oplossing bij; als een pad ontstaat dat nooit tot een betere oplossing kan leiden, staakt branch-and-bound verdere expansie op dat pad. Branch-and-bound kan bij verschillende zoekalgoritmen worden gebruikt. procedure bb(l,best) returns best: if empty(l) then return best else t pop(l); if goal(t) then best min{best,path(b,t)} else if (best) > (path(b,t)) then L push(l,successors(t)); bb(l,best) endprocedure De procedure bb wordt aangeroepen met een stack L met initieel de begintoestand en een variabele best met initieel een fictief pad, en geeft een pad terug. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Branch-and-bound 54 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Branch-and-bound 55 / 5

10 Een voorbeeld vervolg Branch-and-bound: heuristiek, initiële oplossing Beschouw nogmaals: 8 B D 4 5 E Depth-first branch-and-bound search resulteert in: 0 4 B D E 6 8 E 8 0 B bingo! D 4 ls je een geoorloofde heuristische functie hebt, kun je in branch-and-bound snoeien op grond van evaluatiewaarden, in plaats van op padkosten. Branch-and-bound kan veel moeite hebben om een eerste oplossing te vinden. ndere aanpakken: Vindt met een ander (snel) algoritme een (niet-optimale) oplossing ; Of tart DF met branch-and-bound met als initiële oplossing. Leidt (wiskundig) af dat er een oplossing bestaat met padkosten (liefst laag); tart DF met branch-and-bound en gebruik als initiële snoeigrens. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Branch-and-bound 56 / 5 Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Branch-and-bound 5 / 5 De rekentijd De rekentijd van depth-first branch-and-bound wordt bepaald door een afweging van de investering van tijd in het vergelijken van padkosten; de winst in rekentijd ten gevolge van het dynamisch wegsnoeien van delen van de zoekboom. Het snoeigedrag van depth-first branch-and-bound is sterk afhankelijk van bijvoorbeeld de verschillen tussen de kosten van de paden in de zoekboom; de volgorde waarin de paden worden onderzocht. Zoekalgoritmen: Zoeken met kosten Branch-and-bound 58 / 5

Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken. Zoekalgoritmen ( ) College 2: Ongeïnformeerd zoeken. Dynamische breadth-first search

Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken. Zoekalgoritmen ( ) College 2: Ongeïnformeerd zoeken. Dynamische breadth-first search Recapitulatie: Ongeïnformeerd zoeken Zoekalgoritmen (009 00) College : Ongeïnformeerd zoeken Peter de Waal, Tekst: Linda van der Gaag een algoritme voor ongeïnformeerd zoeken doorzoekt de zoekruimte van

Nadere informatie

Computationale Intelligentie Dirk Thierens

Computationale Intelligentie Dirk Thierens Computationale Intelligentie Dirk Thierens Organisatie Onderwijsvormen: Docent: Topic: Collegemateriaal: Boek: Beoordeling: hoorcollege, practicum, werkcollege Dirk Thierens Deel : Zoekalgoritmen Toets

Nadere informatie

Zoeken met beperkt geheugen. Zoekalgoritmen ( ) College 7: Zoeken met beperkt geheugen. Een representatie van het kleuringsprobleem

Zoeken met beperkt geheugen. Zoekalgoritmen ( ) College 7: Zoeken met beperkt geheugen. Een representatie van het kleuringsprobleem Zoeken met beperkt geheugen Zoekalgoritmen (2009 2010) College 7: Zoeken met beperkt geheugen Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag algoritmen voor zoeken met beperkt geheugen zijn ontwikkeld voor problemen

Nadere informatie

Computationele Intelligentie

Computationele Intelligentie Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd

Nadere informatie

Zoekproblemen met tegenstanders. Zoekalgoritmen ( ) College 9: Zoeken met een tegenstander (I) Een zoekprobleem met een tegenstander

Zoekproblemen met tegenstanders. Zoekalgoritmen ( ) College 9: Zoeken met een tegenstander (I) Een zoekprobleem met een tegenstander Zoekproblemen met tegenstanders Zoekalgoritmen (29 2) College 9: Zoeken met een tegenstander (I) Dirk Thierens, Tekst: Linda van der Gaag Zoekproblemen met meer dan één partij worden gekenmerkt door interventies

Nadere informatie

Een voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander

Een voorbeeld. Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander. Een voorbeeld vervolg. Een zoekprobleem met een tegenstander Computationele Intelligentie Zoeken met een tegenstander Beschouw het boter-kaas-en-eieren spel: een probleemtoestand is een plaatsing van i kruisjes en j nulletjes in de vakjes van het raam, met i j en

Nadere informatie

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden.

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. : Computationele Intelligentie (INFOBCI) Midterm Exam Duration: hrs; Total points: No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. Question

Nadere informatie

Heuristisch zoeken. Computationele Intelligentie. Een heuristische functie op de toestandsruimte. Voorbeelden van kennis. Heuristisch zoeken

Heuristisch zoeken. Computationele Intelligentie. Een heuristische functie op de toestandsruimte. Voorbeelden van kennis. Heuristisch zoeken Heuristisch zoeken Computationele Intelligentie Heuristisch zoeken een algoritme voor heuristisch zoeken oorzoekt e zoekruimte van een proleem op een systematische wijze, gestuur oor kennis van het proleem;

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 (vanaf 3.5) en 4 van Russell/Norvig = [RN] Gericht zoeken en verder

Hoofdstuk 3 (vanaf 3.5) en 4 van Russell/Norvig = [RN] Gericht zoeken en verder I Kunstmatige Intelligentie (I) Hoofdstuk 3 (vanaf 3.5) en 4 van Russell/Norvig = [RN] Gericht zoeken en verder voorjaar 2016 ollege 5, 15 maart 2016 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/i/ 1 I Gericht zoeken

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen

Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen Opgaven bij Hoofdstuk 3 - Productiesystemen Top-down inferentie In de opgaven in deze paragraaf over top-down inferentie wordt aangenomen dat de feitenverzameling alleen feiten bevat die als getraceerd

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 (tot en met 3.4) van Russell/Norvig = [RN] Probleemoplossen en zoeken

Hoofdstuk 3 (tot en met 3.4) van Russell/Norvig = [RN] Probleemoplossen en zoeken AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 3 (tot en met 3.4) van Russell/Norvig = [RN] Probleemoplossen en zoeken voorjaar 2015 College 4, 3 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 AI Robotica

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Sietse Achterop Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 3 maart 2008 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie

Discrete Structuren. Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie Discrete Structuren Piter Dykstra Opleidingsinstituut Informatica en Cognitie www.math.rug.nl/~piter piter@math.rug.nl 23 februari 2009 GRAFEN & BOMEN Paragrafen 6.1-6.4 Discrete Structuren Week 3 en 4:

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms

Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Onafhankelijke verzamelingen en Gewogen Oplossingen, door Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Combinatorial Algorithms Giso Dal (0752975) Pagina s 5 7 1 Deelverzameling Representatie

Nadere informatie

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve 1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke

Nadere informatie

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema

Automaten. Informatica, UvA. Yde Venema Automaten Informatica, UvA Yde Venema i Inhoud Inleiding 1 1 Formele talen en reguliere expressies 2 1.1 Formele talen.................................... 2 1.2 Reguliere expressies................................

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra

Tiende college algoritmiek. 13/21 april Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Tiende college algoritmiek 13/1 april 017 Gretige Algoritmen Algoritme van Dijkstra 1 Algoritmiek 017/Gretige Algoritmen Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie

Nadere informatie

Dynamisch Programmeren III. Algoritmiek

Dynamisch Programmeren III. Algoritmiek Dynamisch Programmeren III Vandaag Dynamisch programmeren met wat lastiger voorbeelden: Handelsreiziger Longest common subsequence Optimale zoekbomen Knapsack 2 - DP2 Handelsreiziger Een handelsreiziger

Nadere informatie

Inleiding Programmeren 2

Inleiding Programmeren 2 Inleiding Programmeren 2 Gertjan van Noord November 28, 2016 Stof week 3 nogmaals Zelle hoofdstuk 8 en recursie Brookshear hoofdstuk 5: Algoritmes Datastructuren: tuples Een geheel andere manier om te

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren

Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Een eenvoudig algoritme om permutaties te genereren Daniel von Asmuth Inleiding Er zijn in de vakliteratuur verschillende manieren beschreven om alle permutaties van een verzameling te generen. De methoden

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen

Vierde college complexiteit. 14 februari Beslissingsbomen College 4 Vierde college complexiteit 14 februari 2017 Restant zoeken Beslissingsbomen 1 Binair zoeken Links := 1; Rechts := n; while Links Rechts do Midden := Links + Rechts 2 ; if X = A[Midden] then

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen

Tiende college algoritmiek. 26 april Gretige algoritmen Algoritmiek 01/10 College 10 Tiende college algoritmiek april 01 Gretige algoritmen 1 Algoritmiek 01/10 Muntenprobleem Gegeven onbeperkt veel munten van d 1,d,...d m eurocent, en een te betalen bedrag

Nadere informatie

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS

Tiende college algoritmiek. 14 april Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Tiende college algoritmiek 14 april 2016 Dynamisch Programmeren, Gretige Algoritmen, Kortste Pad met BFS 1 Algoritmiek 2016/Dynamisch Programmeren Houtzaagmolen

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013

Containers stapelen. M.L. Koning april 2013 Technische Universiteit Eindhoven 2WH03 - Modelleren C Containers stapelen L. van Hees 0769244 M.L. Koning 0781346 2 april 2013 Y.W.A Meeuwenberg 0769217 1 Inleiding De NS vervoert dagelijks grote hoeveelheden

Nadere informatie

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011

Tree traversal. Bomen zijn overal. Ferd van Odenhoven. 15 november 2011 15 november 2011 Tree traversal Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 15 november 2011 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november 2011 1/22 1 ODE/FHTBM Tree

Nadere informatie

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens

Algoritmes in ons dagelijks leven. Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Algoritmes in ons dagelijks leven Leve de Wiskunde! 7 April 2017 Jacobien Carstens Wat is een algoritme? Een algoritme is een eindige reeks instructies die vanuit een gegeven begintoestand naar een beoogd

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Opgaven Kunstmatige Intelligentie 1 maart 2017

Opgaven Kunstmatige Intelligentie 1 maart 2017 Opgaven Kunstmatige Intelligentie 1 maart 2017 Opgave 1. a. Denkt een schaakprogramma? b. Denkt een (Nederlands-Engels) vertaalprogramma? c. Denkt een C ++ -compiler? d. Denkt Watson, the IBM-computer

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)

Nadere informatie

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur

Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag 5 juni 2007, uur Uitgebreide uitwerking tentamen Algoritmiek Dinsdag juni 00, 0.00.00 uur Opgave. a. Een toestand bestaat hier uit een aantal stapels, met op elk van die stapels een aantal munten (hooguit n per stapel).

Nadere informatie

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4

Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Over binaire beslissingsdiagrammen naar Donald E. Knuth s The Art of Computer Programming, Volume 4 Jonathan K. Vis 1 Inleiding (blz. 70 72) In dit essay behandelen we bladzijden 70 75 van Donald E. Knuth

Nadere informatie

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4

Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 Automaten en Berekenbaarheid 2016 Oplossingen #4 28 oktober 2016 Vraag 1: Toon aan dat de klasse van context vrije talen gesloten is onder concatenatie en ster. Antwoord Meerdere manieren zijn mogelijk:

Nadere informatie

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden.

De volgende opgave gaat over de B-bomen van het college, waar sleutels zowel in de bladeren als ook in de interne knopen opgeslagen worden. . a) Een Fibonacci boom (niet te verwarren met een Fibonacci queue) van hoogte h is een AVL-boom van hoogte h met zo weinig mogelijk knopen. i. Geefvoorh =,,,,eenfibonacciboomvanhoogteh(eenboombestaande

Nadere informatie

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit

Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Hoofdstuk 8: Algoritmen en Complexiteit Vandaag: Hoe meten we de performance van algoritmen? Waar ligt de grens tussen een goed en een slecht algoritme? 22 oktober 2014 1 Vandaag: Hoe meten we de performance

Nadere informatie

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel.

Grafen. Indien de uitgraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Indien de ingraad van ieder punt 1 is, dan bevat de graaf een cykel. Grafen Grafen Een graaf bestaat uit een verzameling punten (ook wel knopen, of in het engels vertices genoemd) en een verzameling kanten (edges) of pijlen (arcs), waarbij de kanten en pijlen tussen twee

Nadere informatie

Automaten & Complexiteit (X )

Automaten & Complexiteit (X ) Automaten & Complexiteit (X 401049) Beschrijven van reguliere talen Jeroen Keiren j.j.a.keiren@gmail.com VU University Amsterdam 5 Februari 2015 Talen Vorig college: Talen als verzamelingen Eindige automaten:

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

case: toestandsdiagrammen

case: toestandsdiagrammen Hoofdstuk 13 case: toestandsdiagrammen In dit hoofdstuk wordt het maken van de eerste versie van de toestandsdiagrammen voor het boodschappensysteem van Hans en Jacqueline uitgewerkt. 13.1 Vind klassen

Nadere informatie

Strategisch Redeneren. Halfbeslisbaarheid. Zoekstrategieën. Resolutie als zoeken. Redeneren (in logica):

Strategisch Redeneren. Halfbeslisbaarheid. Zoekstrategieën. Resolutie als zoeken. Redeneren (in logica): Redeneren (in logica): Strategisch Redeneren hoeft niet te eindigen kan zeer inefficiënt zijn hoeft de oplossingen niet altijd in de juiste volgorde op te leveren Otter: automatisch redenerend programma

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6

Inhoud eindtoets. Eindtoets. Introductie 2. Opgaven 3. Terugkoppeling 6 Inhoud eindtoets Eindtoets Introductie 2 Opgaven 3 Terugkoppeling 6 1 Formele talen en automaten Eindtoets I N T R O D U C T I E Deze eindtoets is bedoeld als voorbereiding op het tentamen van de cursus

Nadere informatie

Derde college algoritmiek. 23 februari Toestand-actie-ruimte

Derde college algoritmiek. 23 februari Toestand-actie-ruimte College 3 Derde college algoritmiek 23 februari 2012 Toestand-actie-ruimte 1 BZboom: verwijderen 60 20 80 10 40 70 100 1 15 30 75 5 25 35 100 verwijderen = 60 20 80 10 40 70 1 15 30 75 5 25 35 verwijderen

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

Korte uitleg: Wat doet de shell met mijn commandoregel?

Korte uitleg: Wat doet de shell met mijn commandoregel? Korte uitleg: Wat doet de shell met mijn commandoregel? Het onderstaande is heel erg Bash gericht, maar geldt i.h.a. ook voor andere shells. Vooral als het om "begrip" gaat. Iedere regel die aan de shell

Nadere informatie

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014

Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014 Grafen en BFS Mark Lekkerkerker 24 februari 2014 1 Grafen Wat is een graaf? Hoe representeer je een graaf? 2 Breadth-First Search Het Breadth-First Search Algoritme Schillen De BFS boom 3 Toepassingen

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie Hoofdstuk 5 Recursion I N T R O D U C T I E Veel methoden die we op een datastructuur aan kunnen roepen, zullen op een recursieve wijze geïmplementeerd worden. Recursie is een techniek waarbij een vraagstuk

Nadere informatie

Logisch programmeren 2012

Logisch programmeren 2012 Logisch programmeren 2012 Opdrachten Week 8 1 Fibonacci woorden Een Fibonacci woord is een eindig rijtje over het twee-letter alfabet {1, 2}. De rangorde van een Fibonacci woord w is de som van de samenstellende

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2006 2007, tweede zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Verzamelingen:

Nadere informatie

Tree traversal. Ferd van Odenhoven. 15 november Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering. Doorlopen van bomen

Tree traversal. Ferd van Odenhoven. 15 november Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering. Doorlopen van bomen Tree traversal Ferd van Odenhoven Fontys Hogeschool voor Techniek en Logistiek Venlo Software Engineering 15 november 2011 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november 2011 1/22 1 ODE/FHTBM Tree traversal 15 november

Nadere informatie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie

Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie Tentamen IN3105 Complexiteitstheorie 31 maart, 9.00 12.00 uur - Dit tentamen bestaat uit 10 meerkeuzevragen, 5 korte (open) vragen en 2 open vragen. - Per meerkeuzevraag kunnen 0 tot 4 alternatieven juist

Nadere informatie

Small Basic Console Uitwerking opdrachten

Small Basic Console Uitwerking opdrachten Opdracht 1 3 getallen => inlezen Gemiddelde uitrekenen Resultaat afdrukken TextWindow.WriteLine("Dit programma berekend het gemiddelde van drie door U in te voeren getallen.") TextWindow.Write("Voer getal

Nadere informatie

Negende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren

Negende college algoritmiek. 15 april Dynamisch Programmeren Negende college algoritmiek 15 april 2016 Dynamisch Programmeren 1 algemeen Uit college 8: DP: - nuttig bij problemen met overlappende deelproblemen - druk een oplossing van het probleem uit in oplossingen

Nadere informatie

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Verslag Computational Physics Sietze van Buuren Begeleider: Prof.Dr. H. de Raedt 29 december 25 Samenvatting

Nadere informatie

2 Recurrente betrekkingen

2 Recurrente betrekkingen WIS2 1 2 Recurrente betrekkingen 2.1 Fibonacci De getallen van Fibonacci Fibonacci (= Leonardo van Pisa), 1202: Bereken het aantal paren konijnen na één jaar, als 1. er na 1 maand 1 paar pasgeboren konijnen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Beknopte uitwerking Examen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Beknopte uitwerking Examen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Beknopte uitwerking Eamen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004. 1. Beschouw de volgende configuratie in het platte vlak. l 1 l 2

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 8 december 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4

Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 0 Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 Voor alle volgende opgaven over programmaatjes geldt de spelregel: formuleer altijd eerst alle bewijsverplichtingen. selectie 45. (tail distribution)(prima

Nadere informatie

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Datastructuren college 10

Datastructuren college 10 we hadden Backtracking verbetering i i Datastructuren college 0 0: : : 0: : : P r r r r r b r b r P r r r b r b r backtracking we hoeven vaak de kandidaat niet helemaal af te maken om hem te kunnen verwerpen

Nadere informatie

Semantiek (2IT40) Bas Luttik. HG 7.14 tel.: Hoorcollege 8 (7 juni 2007)

Semantiek (2IT40) Bas Luttik.  HG 7.14 tel.: Hoorcollege 8 (7 juni 2007) Bas Luttik s.p.luttik@tue.nl http://www.win.tue.nl/~luttik HG 7.14 tel.: 040 247 5152 Hoorcollege 8 (7 juni 2007) Functionele talen Idee: een programma definieert reeks (wiskundige) functies. Programma

Nadere informatie

Fundamentele Informatica

Fundamentele Informatica Fundamentele Informatica (IN3120 en IN3005 DOI nwe stijl) 20 augustus 2004, 9.00 11.00 uur Het tentamen IN3120 bestaat uit 10 meerkeuzevragen en 2 open vragen. Voor de meerkeuzevragen kunt u maximaal 65

Nadere informatie

Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Stochastische Modellen in Operations Management (153088) Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms R1 S0 240 ms Ack L1 R2 10 ms Internet R3 L2 D0 10 ms D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219

Nadere informatie

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen.

V = {a, b, c, d, e} Computernetwerken: de knopen zijn machines in het netwerk, de kanten zijn communicatiekanalen. WIS14 1 14 Grafen 14.1 Grafen Gerichte grafen Voor een verzameling V is een binaire relatie op V een verzameling geordende paren van elementen van V. Voorbeeld: een binaire relatie op N is de relatie KleinerDan,

Nadere informatie

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten

definities recursieve datastructuren college 13 plaatjes soorten Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten recursieve datastructuren college graphs definities Graph = ( V, E ) V vertices, nodes, objecten, knopen, punten E edges, arcs, kanten, pijlen, lijnen verbinding tussen knopen Voorbeelden steden en verbindingswegen

Nadere informatie

Redeneren & probleemoplossen. Bij hoofdstuk 6 Breinmakers en Breinbrekers docent: Rineke Verbrugge

Redeneren & probleemoplossen. Bij hoofdstuk 6 Breinmakers en Breinbrekers docent: Rineke Verbrugge Redeneren & probleemoplossen Bij hoofdstuk 6 Breinmakers en Breinbrekers docent: Rineke Verbrugge Inleiding Hoofdstuk 5 was: geheugen, het opslaan van kennis. Voor intelligent gedrag moet kennis gebruikt

Nadere informatie

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 ) OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken

Derde college complexiteit. 7 februari Zoeken College 3 Derde college complexiteit 7 februari 2017 Recurrente Betrekkingen Zoeken 1 Recurrente betrekkingen -1- Rij van Fibonacci: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,... Vanaf het derde element: som van de voorgaande

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010

Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Opdracht 1 Topics on Parsing and Formal Languages - fall 2010 Rick van der Zwet 13 november 2010 Samenvatting Dit schrijven zal uitwerkingen van opgaven behandelen uit het boek [JS2009]

Nadere informatie

Datastructuren en algoritmen voor CKI

Datastructuren en algoritmen voor CKI Datastructuren en algoritmen voor CKI Jeroen Bransen 1 14 oktober 2015 1 met dank aan Hans Bodlaender en Gerard Tel Willekeurig gebouwde zoekbomen Willekeurig gebouwde zoekbomen Hoogte van zoekboom met

Nadere informatie

10. Controleopdrachten

10. Controleopdrachten Computeralgebra met Maxima 10. Controleopdrachten 10.1. Functies en operatoren voor lijsten/vectoren/arrays Een van de eenvoudigste maar belangrijkste lusachtige functies is de makelist opdracht. Voor

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2009 2010, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees de hele

Nadere informatie

Lineaire data structuren. Doorlopen van een lijst

Lineaire data structuren. Doorlopen van een lijst Lineaire data structuren array: vast aantal data items die aaneensluitend gestockeerd zijn de elementen zijn bereikbaar via een index lijst: een aantal individuele elementen die met elkaar gelinkt zijn

Nadere informatie

Deel I Hoofdstuk 4: Modelleren van Toestand

Deel I Hoofdstuk 4: Modelleren van Toestand Deel I Hoofdstuk 4: Modelleren van Toestand 2005 Prof Dr. O. De Troyer Toestandsmodel pag. 1 Berichten of boodschappen OO is gebaseerd op hoe de reële wereld werkt 2005 Prof. Dr. O. De Troyer Toestandsmodel

Nadere informatie

144 Samenvatting. Onderzoeksvraag 1: Hoe kunnen we Monte-Carlo Tree Search aanpassen

144 Samenvatting. Onderzoeksvraag 1: Hoe kunnen we Monte-Carlo Tree Search aanpassen Samenvatting Dit proefschrift onderzoekt hoe selectieve zoekmethoden de prestaties van een spelprogramma kunnen verbeteren voor een bepaald domein. Selectieve zoekmethoden hebben als doel om alleen de

Nadere informatie