Geheeltallige programmering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Geheeltallige programmering"

Transcriptie

1 Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP: continue variabelen (linear programming) discrete (geheeltallige) variabelen (integer progr.) binaire variabelen (binary integer) discrete én continue variabelen (mixed integer) Denk aan aantallen, 0/1 beslissingen. Niet-lineaire voorwaarden kunnen soms lineair worden geformuleerd (bv. als-dan voorwaarden). Geheeltallige problemen zijn veel moeilijker oplosbaar dan continue. Discrete (combinatorische) problemen zijn vaak NP-compleet (geen polynomiaal algoritme). Het aantal oplossingen is vaak eindig, maar eindig kan heel groot zijn! Vb. 64 binaire variabelen: 2 64 = 2x10 19 mogelijkheden!

2 LP relaxatie: Laat de geheeltalligheideisen weg. Het doelgebied wordt groter, dus de LP relaxatie geeft een bovengrens voor IP. Max Z = x 1 + x 2 Max Z = x 1 + x 2 z.d.d. 3x 1 + x 2 12 z.d.d. 3x 1 + x x 1 + 5x x 1 + 5x 2 20 x 1, x 2 {0,1} Oplossing: Z = 2 Z = 52/11 = x 1 = 1, x 2 = 1 x 1 = 40/11, x 2 = 12/11 Vervang x 1, x 2 {0,1} door 0 x j 1 Max Z = x 1 + x 2 z.d.d. 3x 1 + x x 1 + 5x x 1 1, 0 x 2 1 Oplossing: Z = 2 x 1 = 1, x 2 = 1 Dit is (toevallig) de optimale oplossing.

3 Investeringsprobleem (p. 94) Jaarlijkse investering per project Jaar Beschikbaar Waarde Variabelen x j = 0/1 als project j niet/wel wordt geselecteerd. Max 250x x x x x x x 7 z.d.d. 40x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6 50 { Investeringsprobleem } TITLE Investering; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO END 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50;

4 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Filename: Parsing time: Investering investering.mpl 0.00 sec Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 0 Solution time: 0.00 sec Constraints: 5 Variables: 7 Nonzeros: 28 Density: 80 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

5 TITLE Investering; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50; x1<=1; x2<=1; x3<=1; x4<=1; x5<=1; x6<=1; x7<=1; END

6 MPL Modeling System -(c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Investering Filename: investering.mpl Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 5 Solution time: 0.00 sec Constraints: 12 Variables: 7 Nonzeros: 35 Density: 42 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

7 TITLE Investering; BINARY VARIABLES x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO END 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50;

8 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Investering Filename: investering.mpl Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 10 Integer nodes: 2 Solution time: 0.00 sec Constraints: 5 Variables: 7 Integers: 7 Nonzeros: 28 Density: 80 % SOLUTION RESULT Optimal integer solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

9 Extra eis: Als project 3 wordt gedaan, dan moet ook 5 worden gedaan: x 5 x 3 Dit is een lineaire voorwaarde! Project 4 óf project 7: x 4 + x 7 1 Ten hoogste twee projecten van 2, 3, 4 en 6: x 1 + x 3 + x 4 + x 6 2 Project 6 mag niet als 2 én 5 geselecteerd worden: x 6 2 x 2 x 5

10 Locatieprobleem (p. 96, maar met gespiegelde tabel) Van\naar Dorp 1 Dorp 2 Dorp 3 Dorp 4 Dorp 5 Dorp Dorp Dorp Dorp Dorp Plan een minimaal aantal brandweercentrales zodat de reistijd maximaal 10 minuten is. Variabelen x j = 0/1: Centrale niet/wel in dorp j. Min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 z.d.d. x 1 + x 4 1 (dorp 1 bereikbaar binnen 10 min) x 2 + x 5 1 x 1 + x 2 + x 3 1 x 3 + x 5 1 en x j {0,1}

11 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Brandweercentrales Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 0 Integer nodes: 0 Solution time: 0.00 sec Constraints: 4 Variables: 5 Integers: 5 Nonzeros: 9 Density: 45 % SOLUTION RESULT Optimal integer solution found MIN Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x Niet in 1 én in 5 een centrale: x 1 + x 5 1 Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x

12 Set-covering probleem Elementen x i, verzamelingen U j met kosten c j. Kies een selectie van de U j s die alle x i s bevatten zodanig dat de totale kosten minimaal zijn. In het brandweerprobleem: Alle dorpen van waaruit je in maximaal 10 minuten naar dorp j kunt komen.

13 Truc als alle c j = 1. LP Oplossing van het 2 e brandweerprobleem Optimal solution found MIN Z = Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x Gevolg: doelwaarde moet 3. Voeg toe: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 3 Optimal solution found MIN Z = Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x Deze truc werkt niet altijd! Neem bijvoorbeeld x 1 = 1 MIN Z = Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x

14 Algemene modelleertrucs (p. 108) Vaste opstartkosten K > 0 plus lineaire kosten cx > 0: P(x) = cx + K als x > 0 0 als x = 0 Dit is niet een lineaire doelfunctie! Vervang P door: P(x, y) = cx + Ky met x My en y {0,1} (M is een zeer groot getal) Als x > 0, dan moet y = 1, dus P(x, y) = cx + K Als x = 0, dan is P(x, y) = Ky. In een minimaliseringsprobleem wordt automatisch y = 0, dus P = 0. Stuksgewijs lineaire functie: P(x) = c 1 x als 0 x a c 1 a 1 + c 2 (x a) als x > a (met 0 < c 2 < c 1 en x Z) Schrijf P = c 1 y 1 + c 2 y 2 x = y 1 + y 2 0 y 1 a y 2 0 aδ y 1 a y 2 Mδ δ {0,1} met

15 Bewijs: 1. Als 0 x < a, dan is a > x = y 1 + y 2 y 1. Nu volgt uit aδ y 1 a dat δ = 0 (want δ = 1 zou betekenen dat y 1 = a.). Uit y 2 Mδ volgt dan dat y 2 = 0. Gevolg: P = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 y 1 = c 1 x. 2. Als x > a, dan is y 2 = x y 1 > a a = 0, dus uit y 2 Mδ volgt dan dat δ = 1. Nu volgt uit aδ y 1 a dat y 1 = a. Gevolg: P = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 a + c 2 (x - a). 3. Als x = a, dan kan δ = 0 óf δ = 1. Als δ = 0, dan is y 2 = 0 en y 1 = x = a, dus P = c 1 a. Als δ = 1, dan is y 1 = a en y 2 = x y 1 = a a = 0, dus ook P = c 1 a. Klaar.

16 Lineaire functie met quantumkorting: P(x) = cx als 0 x a c(1-d)x als x > a (met d 1, c > 0) Schrijf P = cx - cdz met x a + Mδ x (a+1)δ z x z x M(1-δ) z Mδ δ {0,1} z 0 x kan één van de waarden a 1, a 2,, a n aannemen. x = a 1 x 1 + a 2 x a n x n en x 1 + x x n = 1 x j {0,1} Slechts één van twee x 1, x 2 0 kan positief zijn x i Mδ i, i = 1,2 δ 1 + δ 2 1 δ j {0,1} x voldoet aan x = 0 óf x a. x Mδ, x aδ δ {0,1}

17 Tenminste k van m nevenvoorwaarden gelden n j= 1 a ij x j b i + M(1-y i ) met y y m k y i {0,1} voor i=1,,m Productterm x 1 x 2 voor binaire variabelen x 1 x 2 = y met y x 1 y x 2 y x 1 + x 2 1 y 0

18 IP probleem schrijven als een BIP probleem Een geheeltallig probleem waarin alle variabelen begrensd zijn kun je altijd als een binair probleem schrijven. Bijvoorbeeld, als x geheel is en 0 x 20, dan kun je x vervangen door (binaire ontwikkeling) x = y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 8y y 5 met y j binaire variabelen. Dit gaat op een lineaire manier, dus je model blijft lineair. Zo kun je elke gehele, begrensde variabele vervangen door een aantal binaire variabelen. Als een variabele niet a priori begrensd is, kan dit niet met eindig veel binaire variabelen! Een IP probleem kan een onbegrensd toegelaten gebied hebben. Het toegelaten gebied van een BIP probleem is altijd begrensd (eindig veel mogelijkheden)

19 Erfenisprobleem Verdeel spullen ter waarde 100, 61, 45, 37, 22, 21, 2 op een eerlijke manier tussen twee personen. x i = 0/1: persoon 1 krijgt object I niet/wel Persoon 1 krijgt 100x x x x x x 6 + 2x 7 Persoon 2 krijgt 100(1-x 1 )+61(1-x 2 )+45(1-x 3 )+37(x 4-1)+22(1-x 5 )+21(1-x 6 )+2(1-x 7 ) Maak het verschil zo klein mogelijk: Min 100x x x x x x 6 + 2x z.d.d. x i {0,1} De objectfunctie is niet-lineair. Anders: Max 100x x x x x x 6 + 2x 7 z.d.d. 100x 1 +61x 2 +45x 3 +37x 4 +22x 5 +21x 6 +2x x i {0,1} Heuristische oplosmethode: Geef volgend object aan degene die het minst heeft: 1: :

20 LP relaxatie: (1, 0,7213, 0, 0, 0, 0, 0) Z = 144 Afronden? (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0) Niet toelaatbaar! (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) Z = 100 IP oplossing(en): (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0) Z = 143 (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) Z = 143 (0, 1, 0, 1, 1, 1, 1) Z = 143

21 Branch-and-Bound methode Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x 4 0 x 1, x 2, x 3, x 4 {0,1} Gerelaxeerde probleem Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1 Oplossing: (0,8333, 1, 0, 1) Z = 16,5 Deze oplossing is niet geheel, maar 16,5 (en dus 16) is een bovengrens voor de optimale doelwaarde.

22 Voeg toe: x 1 = 0, of x 1 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 0 Oplossing: (0, 1, 0, 1) Z = 9 Deze oplossing is geheel. Z = 9 is ondergrens voor optimale doelwaarde. Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1 Oplossing: (1, 0,8, 0, 0,8) Z = 16,2 Oplossing is niet geheel. Bovengrens is Z = 16. Deze mogelijkheid moet verder uitgewerkt worden:

23 Kies x 2 = 0 of x 2 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 0 Oplossing: (1, 0, 0,8, 0) Z = 13,8 Deze tak levert maximaal Z = 13. Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1 Oplossing: (1, 1, 0, 0,5) Z = 16 Deze tak verder onderzoeken:

24 Kies x 3 = 0 of x 3 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0 Oplossing: (1, 1, 0, 0,5) Z = 16 Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1 Probleem is niet feasible! (zie eerste constraint) Deze tak valt dus af Onderzoek de vorige tak verder:

25 Kies x 4 = 0 of x 4 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0 Oplossing: (1, 1, 0, 0) Z = 14 Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 1 Niet feasible! De takken onder (1, 0, *, *) hoeven niet verder onderzocht te worden, want daar is Z 13. Optimale oplossing: (1, 1, 0, 0) Z = 14.

26

27 Branch-and-bound voor MIP Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4 x 1, x 2, x 3 Z LP-relaxatie: Laat x j Z weg: Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4 Oplossing: (1,25, 1,5, 1,75, 0) Z = 14,25 Branch in twee gevallen: x 1 1 en x 1 2: Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 1 Oplossing: (1, 1,2, 1,8, 0) Z = 14,2

28 Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 2 Niet feasible! Branch x 2 1, x 2 2: Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 1, x 2 1 Oplossing: (0,8333, 1, 1,8333, 0) Z = 14,1666 Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 1, x 2 2 Oplossing: (0,8333, 2, 1,8333, 0) Z = 12,1666 Branch x 1 = 0 en x 1 = 1:

29 Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 = 0, x 2 1 Oplossing: (0, 0, 2, 0,5) Z = 13,5 (de eerste drie coördinaten zijn geheel, dus dit is een oplossing) Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 = 1, x 2 1 Niet feasible!

30 Roosterprobleem (2.2.4, pag. 100) Een busbedrijf heeft wekelijks de volgende aantallen buschauffeurs nodig: maandag dinsdag woensdag donderdag vrijdag zaterdag Zondag Elke chauffeur werkt 5 dagen achtereen, dan twee dagen niet. Salaris: 100 per werkdag, zaterdag 115, zondag 125. Vind een werkrooster dat de loonkosten minimaliseert. Model: Nummer de dagen (maandag = 1, etc.) x i is het aantal chauffeurs dat op dag i begint. Min 500x x x x x x x 7 z.d.d. x 1 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 25 x 2 + x 1 + x 7 + x 6 + x 5 27 x 3 + x 2 + x 1 + x 7 + x 6 23 x 4 + x 3 + x 2 + x 1 + x 7 21 x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 1 25 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 20 x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 15 x j Z. x 1, x 2,, x 7 0 IP optimale oplossing: (10, 7, 0, 4, 4, 5, 2) Z = LP relaxatie: (10,6, 5,6, 0,6, 3,6, 4,6, 5,6, 0,6) Z = LP oplossing naar boven afronden: (11, 6, 1, 4, 5, 6, 1) Z = 17775

31 Truc (Bartholdi, 1980): Los LP relaxatie op: x 1 + x x 7 = 31,2. Rond naar boven en naar beneden op en voeg toe als constraint in LP toe: Met x 1 + x x 7 = 31: Niet feasible Met x 1 + x x 7 = 32: (12, 5, 2, 2, 4, 7, 0) Z = Dit specifieke IP probleem is altijd op te lossen door 3 LP problemen op te lossen. Als het gerelaxeerde probleem geheel antwoord levert ben je klaar. Anders levert één van de andere twee problemen een geheel antwoord (oplossen met simplexmethode)

32 Verbeteren van lineaire constraints voor binaire variabelen: 5x 1 3 x 1 = 0 (x 1 = 1 kan niet) 5x 1 +2x 2 4 x 1 = 0, geen voorwaarde voor x 2 5x 1 x 2 3 x 1 = 0, geen voorwaarde voor x 2 5x 1 + 3x 2 x 3 1 x 1 = 0, (kies x 2 minimaal, x 3 maximaal) dus blijft over: 3x 2 x 3 1 x 2 = 0, geen voorwaarde voor x 3. Totaal: x 1 = x 2 = 0, geen voorwaarde voor x 3. Uit de twee ongelijkheden 8x 1 4x 2 5x 3 + 3x 4 2 3x 2 + 2x 3 4 volgt dat x 1 = 0 (want x 2 en x 3 kunnen niet tegelijk 1 zijn). Het verscherpen van ongelijkheden als preprocessing kan Branch-and-bound helpen, omdat het gerelaxeerde proces betere bovengrenzen geeft en eerder gehele oplossingen.

33 Algoritme voor het verscherpen van binaire constraints: a 1 x 1 + a 2 x a n x n b Algoritme: Bereken S = max(a 1 x 1 + a 2 x a n x n ) = som van de positieve coëfficiënten Zoek a j 0 zodat a j > S b Bereken nieuwe coëfficiënt en rechterlid: Als a j > 0 noem a j = S b b = S - a j Als a j < 0 noem a j = b S Dit algoritme verkleint de coëfficiënten in de ongelijkheid

34 Voorbeeld: 2x 1 + 3x 2 4 S = = 5 Kan a 1? 2 > 1 = 5 4, dus je kunt a 1 aanpassen a 1 > 0 dus a 1 = S b = 5 4 = 1 b = S a 1 = 5 2 = 3 Gevolg: 2x 1 + 3x 2 4 x 1 + 3x 2 3 Nog een keer? S = = 4 Kan a 1? a 1 = 1 = 4 3, dus je kunt a 1 niet aanpassen Kan a 2? 2 > 1 = 4 3, dus je kunt a 2 aanpassen: a 1 > 0 dus a 1 = S b = 4 3 = 1 b = S a 1 = 4 3 = 1 Gevolg: 2x 1 + 3x 2 4 x 1 + 3x 2 3 x 1 + x 2 1

35 Cutting planes: Extra constraint die wel het toegelaten gebied van de LPrelaxatie verkleint, maar niet het toegelaten gebied van het originele BIP. Voorbeeld: 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10, x j [0,1] Hieruit volgt: x 1 + x 2 + x 4 2. Kun je toevoegen (maar vervangt de originele niet!) Algemener: Neem een -ongelijkheid met positieve coëfficiënten. Zoek N variabelen zodat: Deze N variabelen = 1 en de rest = 0 voldoet niet. Als N-1 van deze = 1 en rest 0 voldoet wel. Neem als cutting plane: som van deze N variabelen N-1 Andere mogelijkheid: x 1 + x 3 1 Het verscherpen en toevoegen van ongelijkheden kan de performance van branch-and-bound drastisch verbeteren (branch-and-cut).

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Lineaire functies? x 3x. (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2. x 6x 17. x ax. (a, x) ax??? 3x log x 2. substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert

Lineaire functies? x 3x. (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2. x 6x 17. x ax. (a, x) ax??? 3x log x 2. substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert Lineaire functies? x 3x (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2 x 6x 17 x ax (a, x) ax??? 3x 1 2 + 5log x 2 substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert 3y 1 + 5y 2 na substitutie lineair. Niet-lineaire functies kunnen

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. 1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden.

Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden. Examen DH45 Lineaire Optimalizatie (D. Goossens) Vrijdag 29 januari 2010, 9 12u Richtlijnen: Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden. Lees aandachtig de

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur. Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

JANUARI 2017. Yogacollege Tilburg. Telefoon: 06-33610765. Info@yogacollegetilburg.nl. www.yogacollegetilburg.nl

JANUARI 2017. Yogacollege Tilburg. Telefoon: 06-33610765. Info@yogacollegetilburg.nl. www.yogacollegetilburg.nl JANUARI 2017 1 2 3 4 5 6 7 8 1e jaar groep A 9 10 11 12 13 14 15 2e jaar groep A 16 17 18 19 20 21 22 1e jaar groep B 23 24 25 26 27 28 29 Opleiding 2e jaar groep A 30 31 FEBRUARI 2017 1 2 3 4 5 1e jaar

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010 Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 4.150 e-mail: j.b.m.melissen@tudelft.nl tel: 015-2782547 Het project is een verplicht onderdeel van het vak Het project start in week 5. Nadere informatie

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie

Boot - DEM/DT/BE_MFAO-BOO, Financieel Advies en Ondersteuning - DEM/DL/BE_TS-MFAO, Fiscaal - DEM/DT/BE_MFAO-FIS, Gespreksvaardigheden Gr.1...

Boot - DEM/DT/BE_MFAO-BOO, Financieel Advies en Ondersteuning - DEM/DL/BE_TS-MFAO, Fiscaal - DEM/DT/BE_MFAO-FIS, Gespreksvaardigheden Gr.1... - DEM/DT/BE_MFAO-BOO, Financieel Advies en Ondersteuning - DEM/DL/BE_TS-MFAO, - DEM/DT/BE_MFAO-FIS,... Week 6 (4 feb 2013-10 feb 2013) maandag (04/02) dinsdag (05/02) woensdag (06/02) donderdag (07/02)

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

Donderdag 28-jan 6:30 8:27 11:54 12:54 15:34 17:23 19:20

Donderdag 28-jan 6:30 8:27 11:54 12:54 15:34 17:23 19:20 Januari 2016 Vrijdag 1-jan 6:44 8:50 11:41 12:44 14:55 16:41 18:45 Zaterdag 2-jan 6:44 8:50 11:41 12:45 14:56 16:42 18:46 Zondag 3-jan 6:44 8:50 11:42 12:45 14:57 16:43 18:47 Maandag 4-jan 6:44 8:49 11:42

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18

Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Hints en uitwerkingen huiswerk 2013 Analyse 1 H18 Rocco van Vreumingen 29 augustus 2014 1 Inhoudsopgave 1 Hints 1 3 2 Hints 2 4 3 Hints 3 5 4 Hints 4 5 5 Hints 5 6 6 Hints 6 6 7 Hints 7 6 8 Antwoorden

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Uurroosters administratie

Uurroosters administratie Uurroosters administratie Voltijdse arbeid: 38:00 Deeltijdse arbeid aan 50%: 19:00 1 maandag 7:45 9:00 9:00 12:00 12:00 14:00 2 maandag 12:00 14:00 14:00 dinsdag 12:00 14:00 14:00 woensdag 12:00 14:00

Nadere informatie

5 Automatische partitionering van softwaresystemen

5 Automatische partitionering van softwaresystemen 26 Proceedings of the 52 nd European Study Group with Industry 5 Automatische partitionering van softwaresystemen Rob Bisseling, Jarosław Byrka, Selin Cerav-Erbas, Nebojša Gvozdenović, Mathias Lorenz,

Nadere informatie

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord

Nadere informatie

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi

NP-Volledigheid. Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen. De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is heel erg mooi NP-Volledigheid Wil zo snel mogelijke algoritmes om problemen op te lossen Gezien: selectie [O(n)], DFS [O(n + m)], MaxFlow [O nm n + m ], MST [O(n + m)], etc De looptijd is polynomiaal: O n k - dat is

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen!! "#$ #!%!& " %'!& " #!' " # ( # )' * # ' #*" # + '!#*" ' ' + + ' '!, %' &% &%& % -&. = / +. = / + * 0 #!*" 0 $! 1 = ' + 1 = - 0 " "!$ *# 2 1 = # '2 = ' + 2

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur.

Universiteit Utrecht Betafaculteit. Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, uur. Universiteit Utrecht Betafaculteit Examen Discrete Wiskunde II op donderdag 6 juli 2017, 13.30-16.30 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd

Nadere informatie

Routeren van treinstellen op knooppunten

Routeren van treinstellen op knooppunten Routeren van treinstellen op knooppunten John van den Broek 2 februari 2007 Nationale Wiskunde Dagen Algemene gegevens NS 1.100.000 reizigers per werkdag 15.000.000.000 reizigers kilometers per jaar 5200

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Slimhuishouden.nl. sslaap kamer. slaap kamer bad kamer trappen overloop. slaap kamer. slaap kamer. hal. zolder. woon kamer buiten boel.

Slimhuishouden.nl. sslaap kamer. slaap kamer bad kamer trappen overloop. slaap kamer. slaap kamer. hal. zolder. woon kamer buiten boel. nov 2016 45 maandag 7 dinsdag 8 woensdag 9 donderdag 10 vrijdag 11 zaterdag 12 Aankomst Sint zondag 13 s nov 2016 46 maandag 14 dinsdag 15 woensdag 16 donderdag 17 vrijdag 18 zaterdag 19 zondag 20 s nov

Nadere informatie

De Branch-and-Bound methode

De Branch-and-Bound methode De Branch-and-Bound methode Een eigenschap van het ILP probleem is dat er meestal maar een eindig aantal mogelijke oplossingen toegelaten zijn, of op zijn slechtst zijn de oplossingen aftelbaar (eventueel

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

Trainingsschema Alpe d HuZes 4 x per week

Trainingsschema Alpe d HuZes 4 x per week Week 1 75 2 Interval 75 min. D1 met 6 x 3 min. D2, P 3 min. 60 3 Tempoduur 60 min. D1-D2 training met 20 min. D2 75 4 Duurtraining 75 min. 270 Week 2 75 2 Interval 75 min. D1 met 5 x 4 min. D2, P 2 min.

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

VERANDERING OK-PLANNING LEIDT TOT MINDER BEDDEN

VERANDERING OK-PLANNING LEIDT TOT MINDER BEDDEN VERANDERING OK-PLANNING LEIDT TOT MINDER BEDDEN Dr. ir. Theresia van Essen # Het begint met een idee SITUATIE HAGAZIEKENHUIS Aantal benodigde bedden verminderen: Minder opnames Verkorting ligduur Hogere

Nadere informatie

Personeelsplanning en Kolomgeneratie

Personeelsplanning en Kolomgeneratie Personeelsplanning en Kolomgeneratie BWI Werkstuk Annemieke van Dongen Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Amsterdam, 1 december 2005 Begeleider:

Nadere informatie

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)

Nadere informatie

Herexamen Discrete Wiskunde deel I donderdag 6 juli, 2017

Herexamen Discrete Wiskunde deel I donderdag 6 juli, 2017 Herexamen Discrete Wiskunde 2016-2017 deel I donderdag 6 juli, 2017 De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf op elk ingeleverd vel uw naam en studentnummer.

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

x 3 E H x 1 B A = (0,0,0) B = (1,0,0) C = (0,1,0) E = (0,0,1) I = (1,1,1/2) J = (1/2,1,1) H=(1,1/2,1) x 2

x 3 E H x 1 B A = (0,0,0) B = (1,0,0) C = (0,1,0) E = (0,0,1) I = (1,1,1/2) J = (1/2,1,1) H=(1,1/2,1) x 2 1. Gegeven een LP probleem (P) max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 (= c x) waarvoor het gebied van toegelaten oplossingen T wordt gegeven als de verzameling punten op het afknotingsvlak van een symmetrisch

Nadere informatie

Wiskunde in de Radiotherapie. Sebastiaan Breedveld

Wiskunde in de Radiotherapie. Sebastiaan Breedveld Wiskunde in de Radiotherapie Sebastiaan Breedveld Overzicht achtergrondinformatie bestralingsprobleem wiskundige formulatie resultaat problemen: positie onzekerheden hoeken Achtergrond studie Technische

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers

Vorig college. IN2505-II Berekenbaarheidstheorie College 4. Opsommers versus herkenners (Th. 3.21) Opsommers Vorig college College 4 Algoritmiekgroep Faculteit EWI TU Delft Vervolg NDTM s Vergelijking rekenkracht TM s en NDTM s Voorbeelden NDTM s 20 april 2009 1 2 Opsommers Opsommers versus herkenners (Th. 3.21)

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

Programming a CNC-machine using ILP

Programming a CNC-machine using ILP Programming a CNC-machine using ILP Maarten Bos Discrete Mathematics and Mathematical Programming Department of Applied Mathematics University of Twente Date: 15-12-2011 Graduation committee: dr. W. Kern

Nadere informatie

Gemiddelde, mediaan, kwartielen, interkwartielafstand, minimum, maximum, variantie, standaardafwijking, boxdiagrammen

Gemiddelde, mediaan, kwartielen, interkwartielafstand, minimum, maximum, variantie, standaardafwijking, boxdiagrammen Opdracht 3a ----------- Gemiddelde, mediaan, kwartielen, interkwartielafstand, minimum, maximum, variantie, standaardafwijking, boxdiagrammen Voor de meting van de leesvaardigheid van kinderen wordt als

Nadere informatie

(On)Doenlijke problemen

(On)Doenlijke problemen Fundamentele Informatica In3 005 Deel 2 College 1 Cees Witteveen Parallelle en Gedistribueerde Systemen Faculteit Informatie Technologie en Systemen Overzicht Inleiding - Relatie Deel 1 en Deel 2 - Doenlijke

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Opdracht. Gezond bewegen? Doen!

Opdracht. Gezond bewegen? Doen! Opdracht Doe het zelf 16 Gezond bewegen? Doen! Inleiding Indezelessenwordteraandachtbesteedaan bewegenengezondheid.erzijnopdrachtendieineen groepjewordenuitgevoerddaaromookhet samenwerken erbij. Doelstellingen

Nadere informatie

a. Wanneer kan men in plaats van de Pearson correlatie coefficient beter de Spearman rangcorrelatie coefficient berekenen?

a. Wanneer kan men in plaats van de Pearson correlatie coefficient beter de Spearman rangcorrelatie coefficient berekenen? Opdracht 15a ------------ Spearman rangcorrelatie coefficient (non-parametrische tegenhanger van de Pearson correlatie coefficient) Wilcoxon symmetrie-toets (non-parametrische tegenhanger van de t-procedure

Nadere informatie

III.3 Supremum en infimum

III.3 Supremum en infimum III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk

Nadere informatie

Aanmelden kan middels het digitale inschrijfformulier die u per mail heeft ontvangen.

Aanmelden kan middels het digitale inschrijfformulier die u per mail heeft ontvangen. MAANDAG 20 juli DINSDAG 21 juli WOENSDAG 22 juli DONDERDAG 23 juli VRIJDAG 24 juli * Bij minder dan 5 aanmeldingen verzorgen wij een alternatief aanbod (bv. ). Huttenbos Entree: 7,95 (Sjoepkar * Bij minder

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds

Nadere informatie

Praat-plaat. post. aad/thema/post werkblad 1

Praat-plaat. post. aad/thema/post werkblad 1 Thema Praat-plaat aad/thema/ werkblad 1 Strip aad/thema/ werkblad 2 aad/thema / werkblad 3 a aad/thema / werkblad 3 b Knipblad kees aad/thema / werkblad 4 Stripverhaal de ik schrijf een kaart aan kees

Nadere informatie

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,

Nadere informatie

Computationele Intelligentie

Computationele Intelligentie Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd

Nadere informatie

Hierbij is het steekproefgemiddelde x_gemiddeld= en de steekproefstandaardafwijking

Hierbij is het steekproefgemiddelde x_gemiddeld= en de steekproefstandaardafwijking Opdracht 9a ----------- t-procedures voor een enkelvoudige steekproef Voor de meting van de leesvaardigheid van kinderen wordt als toets de Degree of Reading Power (DRP) gebruikt. In een onderzoek onder

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Speltheorie

Modellen en Simulatie Speltheorie Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde

Nadere informatie

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16

Inhoudsopgave. 1 COMPLEXITEITSTHEORIE Inleiding De klassen P en N P Opgaven... 16 Inhoudsopgave 1 COMPLEXITEITSTHEORIE 1 1.1 Inleiding.......................................... 1 1.2 De klassen P en N P................................... 8 1.3 Opgaven..........................................

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Inhoud voor vandaag. Knapzak probleem (2) Knapzak probleem. Geheeltallige lineaire programmeringsproblemen en hun toepassingen

Inhoud voor vandaag. Knapzak probleem (2) Knapzak probleem. Geheeltallige lineaire programmeringsproblemen en hun toepassingen Inhoud voor vandaag Geheeltallige lineaire programmeringproblemen en hun toepaingen Inleiding geheeltallig lineaire programmering Modellen: Toewijzing Depot locatie Inkoop met kwantum korting Marjan van

Nadere informatie

Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme

Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Moniek Messink 2 oktober 2014 Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Masterscriptie Wiskunde 2 oktober 2014

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

Convexe functies op R (niet in het boek)

Convexe functies op R (niet in het boek) Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de

Nadere informatie

De nieuwe regels die in het licht van deze vereenvoudiging zijn opgesteld, zullen dan ook vanaf 1/01/2016 moeten worden toegepast.

De nieuwe regels die in het licht van deze vereenvoudiging zijn opgesteld, zullen dan ook vanaf 1/01/2016 moeten worden toegepast. Code werkrooster Toelichting. De aangifte sociale risico s zal op termijn verplicht in elektronische vorm plaats vinden. De verplichting tot het elektronische verzenden zal in 2 fasen gebeuren: Vanaf 01/01/2016

Nadere informatie

Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking

Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie