Geheeltallige programmering

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Geheeltallige programmering"

Transcriptie

1 Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP: continue variabelen (linear programming) discrete (geheeltallige) variabelen (integer progr.) binaire variabelen (binary integer) discrete én continue variabelen (mixed integer) Denk aan aantallen, 0/1 beslissingen. Niet-lineaire voorwaarden kunnen soms lineair worden geformuleerd (bv. als-dan voorwaarden). Geheeltallige problemen zijn veel moeilijker oplosbaar dan continue. Discrete (combinatorische) problemen zijn vaak NP-compleet (geen polynomiaal algoritme). Het aantal oplossingen is vaak eindig, maar eindig kan heel groot zijn! Vb. 64 binaire variabelen: 2 64 = 2x10 19 mogelijkheden!

2 LP relaxatie: Laat de geheeltalligheideisen weg. Het doelgebied wordt groter, dus de LP relaxatie geeft een bovengrens voor IP. Max Z = x 1 + x 2 Max Z = x 1 + x 2 z.d.d. 3x 1 + x 2 12 z.d.d. 3x 1 + x x 1 + 5x x 1 + 5x 2 20 x 1, x 2 {0,1} Oplossing: Z = 2 Z = 52/11 = x 1 = 1, x 2 = 1 x 1 = 40/11, x 2 = 12/11 Vervang x 1, x 2 {0,1} door 0 x j 1 Max Z = x 1 + x 2 z.d.d. 3x 1 + x x 1 + 5x x 1 1, 0 x 2 1 Oplossing: Z = 2 x 1 = 1, x 2 = 1 Dit is (toevallig) de optimale oplossing.

3 Investeringsprobleem (p. 94) Jaarlijkse investering per project Jaar Beschikbaar Waarde Variabelen x j = 0/1 als project j niet/wel wordt geselecteerd. Max 250x x x x x x x 7 z.d.d. 40x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 6 50 { Investeringsprobleem } TITLE Investering; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO END 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50;

4 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Filename: Parsing time: Investering investering.mpl 0.00 sec Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 0 Solution time: 0.00 sec Constraints: 5 Variables: 7 Nonzeros: 28 Density: 80 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

5 TITLE Investering; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50; x1<=1; x2<=1; x3<=1; x4<=1; x5<=1; x6<=1; x7<=1; END

6 MPL Modeling System -(c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Investering Filename: investering.mpl Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 5 Solution time: 0.00 sec Constraints: 12 Variables: 7 Nonzeros: 35 Density: 42 % SOLUTION RESULT Optimal solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

7 TITLE Investering; BINARY VARIABLES x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7; MODEL MAX 250x x x3 +300x x x x7; SUBJECT TO END 40x1 + 20x2 + 25x3 +80x4 + 20x5 + 90x6 + 50x7 <= 250; 10x1 + 30x2 + 30x3 +40x4 + 20x5 + 25x6 + 10x7 <= 125; 25x1 + 20x3 +30x4 + 20x5 <= 75; 25x1 + 10x3 + 10x5 + 10x6 + 30x7 <= 50; 10x1 + 35x2 +15x4 + 10x5 + 20x6 <= 50;

8 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Investering Filename: investering.mpl Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 10 Integer nodes: 2 Solution time: 0.00 sec Constraints: 5 Variables: 7 Integers: 7 Nonzeros: 28 Density: 80 % SOLUTION RESULT Optimal integer solution found MAX Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x x x

9 Extra eis: Als project 3 wordt gedaan, dan moet ook 5 worden gedaan: x 5 x 3 Dit is een lineaire voorwaarde! Project 4 óf project 7: x 4 + x 7 1 Ten hoogste twee projecten van 2, 3, 4 en 6: x 1 + x 3 + x 4 + x 6 2 Project 6 mag niet als 2 én 5 geselecteerd worden: x 6 2 x 2 x 5

10 Locatieprobleem (p. 96, maar met gespiegelde tabel) Van\naar Dorp 1 Dorp 2 Dorp 3 Dorp 4 Dorp 5 Dorp Dorp Dorp Dorp Dorp Plan een minimaal aantal brandweercentrales zodat de reistijd maximaal 10 minuten is. Variabelen x j = 0/1: Centrale niet/wel in dorp j. Min x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 z.d.d. x 1 + x 4 1 (dorp 1 bereikbaar binnen 10 min) x 2 + x 5 1 x 1 + x 2 + x 3 1 x 3 + x 5 1 en x j {0,1}

11 MPL Modeling System - (c) , Maximal Software, Inc MODEL STATISTICS Problem name: Brandweercentrales Solver: CPLEX Objective value: Iterations: 0 Integer nodes: 0 Solution time: 0.00 sec Constraints: 4 Variables: 5 Integers: 5 Nonzeros: 9 Density: 45 % SOLUTION RESULT Optimal integer solution found MIN Z = DECISION VARIABLES PLAIN VARIABLES Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x Niet in 1 én in 5 een centrale: x 1 + x 5 1 Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x

12 Set-covering probleem Elementen x i, verzamelingen U j met kosten c j. Kies een selectie van de U j s die alle x i s bevatten zodanig dat de totale kosten minimaal zijn. In het brandweerprobleem: Alle dorpen van waaruit je in maximaal 10 minuten naar dorp j kunt komen.

13 Truc als alle c j = 1. LP Oplossing van het 2 e brandweerprobleem Optimal solution found MIN Z = Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x Gevolg: doelwaarde moet 3. Voeg toe: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 3 Optimal solution found MIN Z = Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x Deze truc werkt niet altijd! Neem bijvoorbeeld x 1 = 1 MIN Z = Variable Name Activity Reduced Cost x x x x x

14 Algemene modelleertrucs (p. 108) Vaste opstartkosten K > 0 plus lineaire kosten cx > 0: P(x) = cx + K als x > 0 0 als x = 0 Dit is niet een lineaire doelfunctie! Vervang P door: P(x, y) = cx + Ky met x My en y {0,1} (M is een zeer groot getal) Als x > 0, dan moet y = 1, dus P(x, y) = cx + K Als x = 0, dan is P(x, y) = Ky. In een minimaliseringsprobleem wordt automatisch y = 0, dus P = 0. Stuksgewijs lineaire functie: P(x) = c 1 x als 0 x a c 1 a 1 + c 2 (x a) als x > a (met 0 < c 2 < c 1 en x Z) Schrijf P = c 1 y 1 + c 2 y 2 x = y 1 + y 2 0 y 1 a y 2 0 aδ y 1 a y 2 Mδ δ {0,1} met

15 Bewijs: 1. Als 0 x < a, dan is a > x = y 1 + y 2 y 1. Nu volgt uit aδ y 1 a dat δ = 0 (want δ = 1 zou betekenen dat y 1 = a.). Uit y 2 Mδ volgt dan dat y 2 = 0. Gevolg: P = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 y 1 = c 1 x. 2. Als x > a, dan is y 2 = x y 1 > a a = 0, dus uit y 2 Mδ volgt dan dat δ = 1. Nu volgt uit aδ y 1 a dat y 1 = a. Gevolg: P = c 1 y 1 + c 2 y 2 = c 1 a + c 2 (x - a). 3. Als x = a, dan kan δ = 0 óf δ = 1. Als δ = 0, dan is y 2 = 0 en y 1 = x = a, dus P = c 1 a. Als δ = 1, dan is y 1 = a en y 2 = x y 1 = a a = 0, dus ook P = c 1 a. Klaar.

16 Lineaire functie met quantumkorting: P(x) = cx als 0 x a c(1-d)x als x > a (met d 1, c > 0) Schrijf P = cx - cdz met x a + Mδ x (a+1)δ z x z x M(1-δ) z Mδ δ {0,1} z 0 x kan één van de waarden a 1, a 2,, a n aannemen. x = a 1 x 1 + a 2 x a n x n en x 1 + x x n = 1 x j {0,1} Slechts één van twee x 1, x 2 0 kan positief zijn x i Mδ i, i = 1,2 δ 1 + δ 2 1 δ j {0,1} x voldoet aan x = 0 óf x a. x Mδ, x aδ δ {0,1}

17 Tenminste k van m nevenvoorwaarden gelden n j= 1 a ij x j b i + M(1-y i ) met y y m k y i {0,1} voor i=1,,m Productterm x 1 x 2 voor binaire variabelen x 1 x 2 = y met y x 1 y x 2 y x 1 + x 2 1 y 0

18 IP probleem schrijven als een BIP probleem Een geheeltallig probleem waarin alle variabelen begrensd zijn kun je altijd als een binair probleem schrijven. Bijvoorbeeld, als x geheel is en 0 x 20, dan kun je x vervangen door (binaire ontwikkeling) x = y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 8y y 5 met y j binaire variabelen. Dit gaat op een lineaire manier, dus je model blijft lineair. Zo kun je elke gehele, begrensde variabele vervangen door een aantal binaire variabelen. Als een variabele niet a priori begrensd is, kan dit niet met eindig veel binaire variabelen! Een IP probleem kan een onbegrensd toegelaten gebied hebben. Het toegelaten gebied van een BIP probleem is altijd begrensd (eindig veel mogelijkheden)

19 Erfenisprobleem Verdeel spullen ter waarde 100, 61, 45, 37, 22, 21, 2 op een eerlijke manier tussen twee personen. x i = 0/1: persoon 1 krijgt object I niet/wel Persoon 1 krijgt 100x x x x x x 6 + 2x 7 Persoon 2 krijgt 100(1-x 1 )+61(1-x 2 )+45(1-x 3 )+37(x 4-1)+22(1-x 5 )+21(1-x 6 )+2(1-x 7 ) Maak het verschil zo klein mogelijk: Min 100x x x x x x 6 + 2x z.d.d. x i {0,1} De objectfunctie is niet-lineair. Anders: Max 100x x x x x x 6 + 2x 7 z.d.d. 100x 1 +61x 2 +45x 3 +37x 4 +22x 5 +21x 6 +2x x i {0,1} Heuristische oplosmethode: Geef volgend object aan degene die het minst heeft: 1: :

20 LP relaxatie: (1, 0,7213, 0, 0, 0, 0, 0) Z = 144 Afronden? (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0) Niet toelaatbaar! (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) Z = 100 IP oplossing(en): (1, 0, 0, 0, 1, 1, 0) Z = 143 (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0) Z = 143 (0, 1, 0, 1, 1, 1, 1) Z = 143

21 Branch-and-Bound methode Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x 4 0 x 1, x 2, x 3, x 4 {0,1} Gerelaxeerde probleem Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1 Oplossing: (0,8333, 1, 0, 1) Z = 16,5 Deze oplossing is niet geheel, maar 16,5 (en dus 16) is een bovengrens voor de optimale doelwaarde.

22 Voeg toe: x 1 = 0, of x 1 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 0 Oplossing: (0, 1, 0, 1) Z = 9 Deze oplossing is geheel. Z = 9 is ondergrens voor optimale doelwaarde. Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1 Oplossing: (1, 0,8, 0, 0,8) Z = 16,2 Oplossing is niet geheel. Bovengrens is Z = 16. Deze mogelijkheid moet verder uitgewerkt worden:

23 Kies x 2 = 0 of x 2 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 0 Oplossing: (1, 0, 0,8, 0) Z = 13,8 Deze tak levert maximaal Z = 13. Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1 Oplossing: (1, 1, 0, 0,5) Z = 16 Deze tak verder onderzoeken:

24 Kies x 3 = 0 of x 3 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0 Oplossing: (1, 1, 0, 0,5) Z = 16 Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1 Probleem is niet feasible! (zie eerste constraint) Deze tak valt dus af Onderzoek de vorige tak verder:

25 Kies x 4 = 0 of x 4 = 1: Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 0 Oplossing: (1, 1, 0, 0) Z = 14 Max Z = 9x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 4x 4 z.d.d. 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10 x 3 + x 4 1 -x 1 + x 3 0 -x 2 + x x 1, x 2, x 3, x 4 1, x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 1 Niet feasible! De takken onder (1, 0, *, *) hoeven niet verder onderzocht te worden, want daar is Z 13. Optimale oplossing: (1, 1, 0, 0) Z = 14.

26

27 Branch-and-bound voor MIP Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4 x 1, x 2, x 3 Z LP-relaxatie: Laat x j Z weg: Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4 Oplossing: (1,25, 1,5, 1,75, 0) Z = 14,25 Branch in twee gevallen: x 1 1 en x 1 2: Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 1 Oplossing: (1, 1,2, 1,8, 0) Z = 14,2

28 Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 2 Niet feasible! Branch x 2 1, x 2 2: Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 1, x 2 1 Oplossing: (0,8333, 1, 1,8333, 0) Z = 14,1666 Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 1, x 2 2 Oplossing: (0,8333, 2, 1,8333, 0) Z = 12,1666 Branch x 1 = 0 en x 1 = 1:

29 Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 = 0, x 2 1 Oplossing: (0, 0, 2, 0,5) Z = 13,5 (de eerste drie coördinaten zijn geheel, dus dit is een oplossing) Max Z = 4x 1-2x 2 + 7x 3 - x 4 z.d.d. x 1 + 5x 3 10 x 1 + x 2 x 3 1 6x 1-5x 2 0 -x 2 + 2x 3-2x x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 = 1, x 2 1 Niet feasible!

30 Roosterprobleem (2.2.4, pag. 100) Een busbedrijf heeft wekelijks de volgende aantallen buschauffeurs nodig: maandag dinsdag woensdag donderdag vrijdag zaterdag Zondag Elke chauffeur werkt 5 dagen achtereen, dan twee dagen niet. Salaris: 100 per werkdag, zaterdag 115, zondag 125. Vind een werkrooster dat de loonkosten minimaliseert. Model: Nummer de dagen (maandag = 1, etc.) x i is het aantal chauffeurs dat op dag i begint. Min 500x x x x x x x 7 z.d.d. x 1 + x 7 + x 6 + x 5 + x 4 25 x 2 + x 1 + x 7 + x 6 + x 5 27 x 3 + x 2 + x 1 + x 7 + x 6 23 x 4 + x 3 + x 2 + x 1 + x 7 21 x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x 1 25 x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 20 x 7 + x 6 + x 5 + x 4 + x 3 15 x j Z. x 1, x 2,, x 7 0 IP optimale oplossing: (10, 7, 0, 4, 4, 5, 2) Z = LP relaxatie: (10,6, 5,6, 0,6, 3,6, 4,6, 5,6, 0,6) Z = LP oplossing naar boven afronden: (11, 6, 1, 4, 5, 6, 1) Z = 17775

31 Truc (Bartholdi, 1980): Los LP relaxatie op: x 1 + x x 7 = 31,2. Rond naar boven en naar beneden op en voeg toe als constraint in LP toe: Met x 1 + x x 7 = 31: Niet feasible Met x 1 + x x 7 = 32: (12, 5, 2, 2, 4, 7, 0) Z = Dit specifieke IP probleem is altijd op te lossen door 3 LP problemen op te lossen. Als het gerelaxeerde probleem geheel antwoord levert ben je klaar. Anders levert één van de andere twee problemen een geheel antwoord (oplossen met simplexmethode)

32 Verbeteren van lineaire constraints voor binaire variabelen: 5x 1 3 x 1 = 0 (x 1 = 1 kan niet) 5x 1 +2x 2 4 x 1 = 0, geen voorwaarde voor x 2 5x 1 x 2 3 x 1 = 0, geen voorwaarde voor x 2 5x 1 + 3x 2 x 3 1 x 1 = 0, (kies x 2 minimaal, x 3 maximaal) dus blijft over: 3x 2 x 3 1 x 2 = 0, geen voorwaarde voor x 3. Totaal: x 1 = x 2 = 0, geen voorwaarde voor x 3. Uit de twee ongelijkheden 8x 1 4x 2 5x 3 + 3x 4 2 3x 2 + 2x 3 4 volgt dat x 1 = 0 (want x 2 en x 3 kunnen niet tegelijk 1 zijn). Het verscherpen van ongelijkheden als preprocessing kan Branch-and-bound helpen, omdat het gerelaxeerde proces betere bovengrenzen geeft en eerder gehele oplossingen.

33 Algoritme voor het verscherpen van binaire constraints: a 1 x 1 + a 2 x a n x n b Algoritme: Bereken S = max(a 1 x 1 + a 2 x a n x n ) = som van de positieve coëfficiënten Zoek a j 0 zodat a j > S b Bereken nieuwe coëfficiënt en rechterlid: Als a j > 0 noem a j = S b b = S - a j Als a j < 0 noem a j = b S Dit algoritme verkleint de coëfficiënten in de ongelijkheid

34 Voorbeeld: 2x 1 + 3x 2 4 S = = 5 Kan a 1? 2 > 1 = 5 4, dus je kunt a 1 aanpassen a 1 > 0 dus a 1 = S b = 5 4 = 1 b = S a 1 = 5 2 = 3 Gevolg: 2x 1 + 3x 2 4 x 1 + 3x 2 3 Nog een keer? S = = 4 Kan a 1? a 1 = 1 = 4 3, dus je kunt a 1 niet aanpassen Kan a 2? 2 > 1 = 4 3, dus je kunt a 2 aanpassen: a 1 > 0 dus a 1 = S b = 4 3 = 1 b = S a 1 = 4 3 = 1 Gevolg: 2x 1 + 3x 2 4 x 1 + 3x 2 3 x 1 + x 2 1

35 Cutting planes: Extra constraint die wel het toegelaten gebied van de LPrelaxatie verkleint, maar niet het toegelaten gebied van het originele BIP. Voorbeeld: 6x 1 + 3x 2 + 5x 3 + 2x 4 10, x j [0,1] Hieruit volgt: x 1 + x 2 + x 4 2. Kun je toevoegen (maar vervangt de originele niet!) Algemener: Neem een -ongelijkheid met positieve coëfficiënten. Zoek N variabelen zodat: Deze N variabelen = 1 en de rest = 0 voldoet niet. Als N-1 van deze = 1 en rest 0 voldoet wel. Neem als cutting plane: som van deze N variabelen N-1 Andere mogelijkheid: x 1 + x 3 1 Het verscherpen en toevoegen van ongelijkheden kan de performance van branch-and-bound drastisch verbeteren (branch-and-cut).

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Boot - DEM/DT/BE_MFAO-BOO, Financieel Advies en Ondersteuning - DEM/DL/BE_TS-MFAO, Fiscaal - DEM/DT/BE_MFAO-FIS, Gespreksvaardigheden Gr.1...

Boot - DEM/DT/BE_MFAO-BOO, Financieel Advies en Ondersteuning - DEM/DL/BE_TS-MFAO, Fiscaal - DEM/DT/BE_MFAO-FIS, Gespreksvaardigheden Gr.1... - DEM/DT/BE_MFAO-BOO, Financieel Advies en Ondersteuning - DEM/DL/BE_TS-MFAO, - DEM/DT/BE_MFAO-FIS,... Week 6 (4 feb 2013-10 feb 2013) maandag (04/02) dinsdag (05/02) woensdag (06/02) donderdag (07/02)

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen!! "#$ #!%!& " %'!& " #!' " # ( # )' * # ' #*" # + '!#*" ' ' + + ' '!, %' &% &%& % -&. = / +. = / + * 0 #!*" 0 $! 1 = ' + 1 = - 0 " "!$ *# 2 1 = # '2 = ' + 2

Nadere informatie

De Branch-and-Bound methode

De Branch-and-Bound methode De Branch-and-Bound methode Een eigenschap van het ILP probleem is dat er meestal maar een eindig aantal mogelijke oplossingen toegelaten zijn, of op zijn slechtst zijn de oplossingen aftelbaar (eventueel

Nadere informatie

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT

ENKELE VOORBEELDEN UIT TE WERKEN MET ICT Differentiaalvergelijkingen kunnen we ook oplossen met behulp van ICT. In dit geval zijn de oplossingen uitgewerkt met behulp van Derive. dy De differentiaalvergelijking = ky, met k een reëel getal Voorbeeld

Nadere informatie

Personeelsplanning en Kolomgeneratie

Personeelsplanning en Kolomgeneratie Personeelsplanning en Kolomgeneratie BWI Werkstuk Annemieke van Dongen Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen De Boelelaan 1081a 1081 HV Amsterdam Amsterdam, 1 december 2005 Begeleider:

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Programming a CNC-machine using ILP

Programming a CNC-machine using ILP Programming a CNC-machine using ILP Maarten Bos Discrete Mathematics and Mathematical Programming Department of Applied Mathematics University of Twente Date: 15-12-2011 Graduation committee: dr. W. Kern

Nadere informatie

Opdracht. Gezond bewegen? Doen!

Opdracht. Gezond bewegen? Doen! Opdracht Doe het zelf 16 Gezond bewegen? Doen! Inleiding Indezelessenwordteraandachtbesteedaan bewegenengezondheid.erzijnopdrachtendieineen groepjewordenuitgevoerddaaromookhet samenwerken erbij. Doelstellingen

Nadere informatie

Aanmelden kan middels het digitale inschrijfformulier die u per mail heeft ontvangen.

Aanmelden kan middels het digitale inschrijfformulier die u per mail heeft ontvangen. MAANDAG 20 juli DINSDAG 21 juli WOENSDAG 22 juli DONDERDAG 23 juli VRIJDAG 24 juli * Bij minder dan 5 aanmeldingen verzorgen wij een alternatief aanbod (bv. ). Huttenbos Entree: 7,95 (Sjoepkar * Bij minder

Nadere informatie

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015

Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 AI Kunstmatige Intelligentie (AI) Hoofdstuk 6 van Russell/Norvig = [RN] Constrained Satisfaction Problemen (CSP s) voorjaar 2015 College 7, 31 maart 2015 www.liacs.leidenuniv.nl/ kosterswa/ai/ 1 Introductie

Nadere informatie

Convexe functies op R (niet in het boek)

Convexe functies op R (niet in het boek) Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de

Nadere informatie

Praat-plaat. post. aad/thema/post werkblad 1

Praat-plaat. post. aad/thema/post werkblad 1 Thema Praat-plaat aad/thema/ werkblad 1 Strip aad/thema/ werkblad 2 aad/thema / werkblad 3 a aad/thema / werkblad 3 b Knipblad kees aad/thema / werkblad 4 Stripverhaal de ik schrijf een kaart aan kees

Nadere informatie

Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder

Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder BWI Werkstuk Crew Rostering: Een Rooster Probleem voor de Rondvaart Wouter Radder BWI Werkstuk Vrije Universiteit Faculteit der Exacte

Nadere informatie

Algorithms for Max-Flow

Algorithms for Max-Flow Algorithms for Max-Flow Consider a network with given upper bounds for the capacities of the arcs, and one entry and one exit node. The max-flow problem consists in finding a maximal flow through the network

Nadere informatie

SIM plaatsen rode en groene LED

SIM plaatsen rode en groene LED MODELLEN GSM07 BESCHRIJVING De GSM07 is een compacte QuadBand GSM module. De unit is ontworpen om via de mobiele telefoon toegang te verkrijgen tot woningen, parkeergarages of andere gebouwen of toepassingen.

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Spreekurenoverzicht locatie Heerhugowaard Week 31 Maandag 27-jul Dinsdag 28-jul Woensdag 29-jul Donderdag 30-jul Vrijdag 31-jul

Spreekurenoverzicht locatie Heerhugowaard Week 31 Maandag 27-jul Dinsdag 28-jul Woensdag 29-jul Donderdag 30-jul Vrijdag 31-jul Spreekurenoverzicht locatie Heerhugowaard Week 31 Maandag 27-jul Dinsdag 28-jul Woensdag 29-jul Donderdag 30-jul Vrijdag 31-jul Orthopeed TENS spreekuur radiologie radiologie radiologie radiologie Internist

Nadere informatie

Feestdagen en verplichte verlofdagen 2014-2016. Eigenaar Stafafdeling P&O

Feestdagen en verplichte verlofdagen 2014-2016. Eigenaar Stafafdeling P&O Feestdagen en verplichte verlofdagen 2014-2016 Eigenaar Stafafdeling P&O Vastgesteld door het College van Bestuur d.d. 17 juni 2013 Instemming van de CMR d.d. 11 juni 2013 Inleiding Het College van Bestuur

Nadere informatie

HUISWERK AGENDA GROEP 7-8

HUISWERK AGENDA GROEP 7-8 Dag Datum Augustus Zaterdag 1 Zondag 2 Maandag 3 Dinsdag 4 Woensdag 5 Donderdag 6 Vrijdag 7 Zaterdag 8 Zondag 9 Maandag 10 Dinsdag 11 Woensdag 12 Donderdag 13 Vrijdag 14 Zaterdag 15 Zondag 16 Maandag 17

Nadere informatie

Praat-plaat. aad/thema/ik werkblad 1

Praat-plaat. aad/thema/ik werkblad 1 Thema Praat-plaat aad/thema/ werkblad 1 Strip aad/thema/ werkblad 2 aad/thema/ werkblad 3 a aad/thema/ werkblad 3 b Knipblad aad aad/thema/ werkblad 4 Stripverhaal hallo ben aad ben een man ben geboren

Nadere informatie

Software Engineering: SCRUM 2

Software Engineering: SCRUM 2 Software Engineering: SCRUM 2 Schedule Generator Zjef Van de Poel, Alexander De Cock, Adam Cooman, Matthias Caenepeel Inhoud van de SCRUM Bespreking resultaten Iteratie 1 Doelstellingen Iteratie 2 Iteratie

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Kansrekening en stochastische processen 2DE18

Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim

Nadere informatie

DATUM KLEREN OVERPLAATSEN en EXAMENINSCHRIJVING EXAMEN maandag 25 augustus 2014 zonder kleren [3 naar 4] + [4 naar 5] + [C-examen] dinsdag 26

DATUM KLEREN OVERPLAATSEN en EXAMENINSCHRIJVING EXAMEN maandag 25 augustus 2014 zonder kleren [3 naar 4] + [4 naar 5] + [C-examen] dinsdag 26 maandag 25 augustus 2014 zonder kleren [3 naar 4] + [4 naar 5] + [C-examen] dinsdag 26 augustus 2014 zonder kleren [3 naar 4] + [4 naar 5] + [C-examen] woensdag 27 augustus 2014 zonder kleren [3 naar 4]

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

HANDLEIDING QUICKHEAT-FLOOR THERMOSTAAT

HANDLEIDING QUICKHEAT-FLOOR THERMOSTAAT HANDLEIDING QUICKHEAT-FLOOR THERMOSTAAT Technische gegevens: Spanning: 230-240VAC + aarde Frequentie: 50-60Hz Weerstandsbelasting: 16A (3600W-230VAC) Inductieve belasting: 1A IP Waarde: IP21 Aanpassing:

Nadere informatie

HANDLEIDING ANALYSE FINANCIELE EFFECTEN ROOSTERVORMEN

HANDLEIDING ANALYSE FINANCIELE EFFECTEN ROOSTERVORMEN HANDLEIDING ANALYSE FINANCIELE EFFECTEN ROOSTERVORMEN 2010 Policy Research Corporation, namens de sociale partners inhet beroepsgoederenvervoer over de weg en de logistiek (TLN, KNV, VVT, FNV en CNV) Meer

Nadere informatie

mlw stroom 2.2 Biostatistiek en Epidemiologie College 9: Herhaalde metingen (2) Syllabus Afhankelijke Data Hoofdstuk 4, 5.1, 5.2

mlw stroom 2.2 Biostatistiek en Epidemiologie College 9: Herhaalde metingen (2) Syllabus Afhankelijke Data Hoofdstuk 4, 5.1, 5.2 mlw stroom 2.2 Biostatistiek en Epidemiologie College 9: Herhaalde metingen (2) Syllabus Afhankelijke Data Hoofdstuk 4, 5.1, 5.2 Bjorn Winkens Methodologie en Statistiek Universiteit Maastricht 21 maart

Nadere informatie

ARBEIDSOVEREENKOMST VOOR ARBEIDER - DEELTIJDS

ARBEIDSOVEREENKOMST VOOR ARBEIDER - DEELTIJDS ARBEIDSOVEREENKOMST VOOR ARBEIDER - DEELTIJDS Tussen. vertegenwoordigd door... verder genoemd de werkgever, enerzijds en. verder genoemd de werknemer, anderzijds wordt overeengekomen wat volgt : Aanvang

Nadere informatie

VERSCHILLENDE TARIEVEN VOOR MEER WINST

VERSCHILLENDE TARIEVEN VOOR MEER WINST VERSCHILLENDE TARIEVEN VOOR MEER WINST - LEERLING SuccesformulesVoorkant_Opmaak 1 06-10-14 10:08 Pagina 1 VERSCHILLENDE TARIEVEN VOOR MEER WINST 1 anigap 80:01 41-01-60 1 kaampo_tnakroovselumrofseccus

Nadere informatie

Roosterapplicatie UMBOVO

Roosterapplicatie UMBOVO Roosterapplicatie UMBOVO Februari 2014 Inleiding Roosters maken is tijdrovend werk, zeker als er drie- tot vierduizend gesprekken ingepland moeten worden tussen enkele honderden deelnemers. Om deze taak

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N46) op maandag 23 Deel 1: Van 14 uur tot uiterlijk 153 uur Het gebruik van het

Nadere informatie

kalenderrekenen Jaap Top

kalenderrekenen Jaap Top kalenderrekenen Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 12-13 april 2011 (Collegecarrousel, Groningen) 1 Er zijn eigenlijk maar 14 verschillende kalenders: schrikkeljaar / geen schrikkeljaar; 1 januari

Nadere informatie

Programma Eco stand 8-SYMBOOL DISPLAY

Programma Eco stand 8-SYMBOOL DISPLAY BEDIENINGS INSTRUCTIES 8-SYMBOOL AFSTANDBEDIENING Kinder slot Tijd Signaal indicator Thermostatische stand Batterij Countdown F or C Programma Eco stand Temperatuur Dubbele brander 8-SYMBOOL DISPLAY INSTELLING

Nadere informatie

Trainingstijden 2015-2016 versie 18 (1 oktober)

Trainingstijden 2015-2016 versie 18 (1 oktober) Trainingstijden 2015-2016 versie 18 (1 oktober) Wij behouden ons het recht voor trainingstijden te veranderen. TEAM Teamnaam Training Dzon1 Dames zondag 1 Woensdag om 19.15-20.30 uur op veld 6A, zon1 Zondag

Nadere informatie

DIGITAAL 09 10 11 12 13 - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN

DIGITAAL 09 10 11 12 13 - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN Maandag 18 april Dinsdag 19 april Woensdag 20 april Donderdag 21 april Vrijdag 22 april DIGITAAL - OEFENEN DIGITAAL - OEFENEN DIGITAAL - OEFENEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL - EXAMEN DIGITAAL

Nadere informatie

Sudoku s en Wiskunde

Sudoku s en Wiskunde Non impeditus ab ulla scientia Sudoku s en Wiskunde K. P. Hart 3 februari, 2006 Programma Tellen Makkelijk, medium, moeilijk Hoeveel zaadjes? Een miljoen dollar verdienen? Puzzels Tellen Vooralsnog onbegonnen

Nadere informatie

Handleiding helpdesk. Datum: 08-10-2014 Versie: 1.0 Auteur: Inge van Sark

Handleiding helpdesk. Datum: 08-10-2014 Versie: 1.0 Auteur: Inge van Sark Datum: 08-10-2014 Versie: 1.0 Auteur: Inge van Sark Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 2 1. Beheer helpdesk... 3 1.1. Settings... 3 1.2. Applicaties... 4 1.3. Prioriteiten... 5 1.4. Gebruik mailtemplates...

Nadere informatie

Overzicht van de activiteiten in Wittesteijn

Overzicht van de activiteiten in Wittesteijn Overzicht van de activiteiten in Wittesteijn Donderdag 1 oktober Fitness 09.00 uur Fitnessruimte Nieuws van de dag 10.10 uur t Reveltje Spel en bewegen met kinderen Vrijdag 2 oktober Fitness 09.00 uur

Nadere informatie

Feestdagenregeling. Pieter Jansen Hilde Thiebaut Evi Verschorren

Feestdagenregeling. Pieter Jansen Hilde Thiebaut Evi Verschorren Feestdagenregeling Pieter Jansen Hilde Thiebaut Evi Verschorren Doelstelling Duidelijk overzicht van de regeling wettelijke feestdagen Toelichting wijzigingen in de toepassing vervangende feestdagen 2

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

Analyse. Samenvatting: logaritmen. Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl

Analyse. Samenvatting: logaritmen. Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl Analyse Samenvatting: logaritmen Frank Derks Gerard Heijmeriks www.demathe.nl 1. Inhoudsopgave 1. Inhoudsopgave... 2 2. Exponentiële functies... 3 2.1. Inleiding... 3 2.2. Groeifactoren en groeipercentages...

Nadere informatie

Gezond met geld. Zo doe je dat. Uitkomen met je inkomen in duidelijke stappen

Gezond met geld. Zo doe je dat. Uitkomen met je inkomen in duidelijke stappen Gezond met geld Zo doe je dat Uitkomen met je inkomen in duidelijke stappen Gezond met geld Zo doe je dat Tineke Post Uitgeverij Gelderland Voorwoord Crisis in Europa crisis in Nederland. Bezuinigen, bezuinigen.

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Lineair programmeren Meer dan twee variabelen

Hoofdstuk 10 - Lineair programmeren Meer dan twee variabelen Hoofdstuk 0 - Lineair programmeren Meer dan twee variaelen ladzijde 90 a 8 anken, 8 stoelen en 7 tafels nemen evenveel plaats in als 8 + 8 + 7 = 6+ 8+ = 78 stoelen. Dat is meer dan de maximale opslagcapaciteit

Nadere informatie

Drank- en Horecawet. Aanvraag ter verkrijging van een vergunning het horecabedrijf uit te oefenen (artikel 3 van de Drank- en Horecawet).

Drank- en Horecawet. Aanvraag ter verkrijging van een vergunning het horecabedrijf uit te oefenen (artikel 3 van de Drank- en Horecawet). Drank- en Horecawet Model B Aanvraag ter verkrijging van een vergunning het horecabedrijf uit te oefenen (artikel 3 van de Drank- en Horecawet). Dit formulier is bestemd voor rechtspersonen die zich richten

Nadere informatie

De enveloppenparadox

De enveloppenparadox De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Numerieke Methoden voor Werktuigbouwkunde (2N460) op donderdag 23 juni 2011, 1400-1700 uur Deel 1: Van 1400 uur tot uiterlijk

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Taxis Pitane Business Suite VERWERKING NOTEERRITTEN. Censys BV Eindhoven

Taxis Pitane Business Suite VERWERKING NOTEERRITTEN. Censys BV Eindhoven Taxis Pitane Business Suite VERWERKING NOTEERRITTEN Censys BV Eindhoven Inhoudsopgave Inleiding... 3 Karakter van een noteerrit... 4 Basis reizigers... 5 Soorten noteerritten... 6 Type noteerrit... 6 Standaard

Nadere informatie

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden:

Het oplossen van vergelijkingen Voor het benaderen van oplossingen van vergelijkingen van de vorm F(x)=0 bespreken we een aantal methoden: Hoofdstuk 4 Programmeren met de GR Toevoegen: een inleiding op het programmeren met de GR Hoofdstuk 5 - Numerieke methoden Numerieke wiskunde is een deelgebied van de wiskunde waarin algoritmes voor problemen

Nadere informatie

WERKBUNDEL AAD STATION. ontwikkeld door Oliva Moors en Mieke Willaert IN OPDRACHT VAN DE DAGEN VZW

WERKBUNDEL AAD STATION. ontwikkeld door Oliva Moors en Mieke Willaert IN OPDRACHT VAN DE DAGEN VZW WERKBUNDEL AAD STATION ontwikkeld door Oliva Moors en Mieke Willaert IN OPDRACHT VAN DE DAGEN VZW praat-plaat station 2 strip station 1 2 3 gebaar 1 gebaar 2 gebaar 3 gebaar 4 gebaar 5 4 gebaar 6 gebaar

Nadere informatie

e-domotica toepassingsvoorbeeld: Tijdschakeling/Aanwezigheidssimulatie

e-domotica toepassingsvoorbeeld: Tijdschakeling/Aanwezigheidssimulatie e-domotica toepassingsvoorbeeld: Tijdschakeling/Aanwezigheidssimulatie 2 NEDERLANDS e-domotica Tijdschakeling/Aanwezigheidssimulatie Inhoudsopgave 1.0 Introductie...2 1.1 Te gebruiken accessoires...2 2.0

Nadere informatie

Deze menu-aansturingen zijn van toepassing op versies 14.0 en 15.0 van SPSS.

Deze menu-aansturingen zijn van toepassing op versies 14.0 en 15.0 van SPSS. Menu aansturing van SPSS voorbeeld in hoofdstuk 9 over multipele correspondentie (HOMALS) en niet-linaire principale componenten analyse (PRINCALS) van kenmerken van moorden Hieronder wordt uitgelegd hoe

Nadere informatie

29 december tot 4 januari 2014

29 december tot 4 januari 2014 29 december tot 4 januari Week december 2 3 4 5 6 7 8 9 2 24 25 26 27 28 29 30 3 januari 2 3 4 5 6 7 8 9 2 24 25 26 27 28 29 30 3 zondag 29 maandag 30 dinsdag 3 woensdag donderdag 2 vrijdag 3 zaterdag

Nadere informatie

Dienstregeling 2015 KBS Sluis Klein Willebroek

Dienstregeling 2015 KBS Sluis Klein Willebroek regeling 2015 KBS Sluis Klein Willebroek lijst van : januari 2015 Sluis Klein Willebroek donderdag 01 jan - - - - 13:34-00:00 Nieuwjaar vrijdag 02 jan - - 11:06 18:06 02:12 14:36 07:00 zaterdag 03 jan

Nadere informatie

WORKFORCE PLANNER - HANDLEIDING

WORKFORCE PLANNER - HANDLEIDING WORKFORCE PLANNER - HANDLEIDING In deze handleiding leiden wij u door de basis setup van de software. Wij gaan ervan uit dat uw Time Attendance terminal reeds geïnstalleerd is en dat de software geactiveerd

Nadere informatie

BELANGRIJKE INFORMATIE OVER DE PLANNING!

BELANGRIJKE INFORMATIE OVER DE PLANNING! BELANGRIJKE INFORMATIE OVER DE PLANNING! B BEDRIJFSMANAGEMENT voor goederen, bus en taxi 1 lesdag P PERSONEELSMANAGEMENT voor goederen, bus en taxi 1 lesdag C CALCULATIE voor goederen, bus en taxi 3 lesdagen

Nadere informatie

User accounts maken in een Wandy Hotspot, d.m.v. een batch.

User accounts maken in een Wandy Hotspot, d.m.v. een batch. User accounts maken in een Wandy Hotspot, d.m.v. een batch. Bij het in gebruik nemen van een Wandy Hotspot is het aanmaken van gebruikers een tijdrovende klus. Om snel veel accounts aan te maken hebben

Nadere informatie

Project 2: LOTTO simulatie Programmeren I

Project 2: LOTTO simulatie Programmeren I Project 2: LOTTO simulatie Programmeren I K. van Assche - H. Gruyaert 1 Inleiding Schrijf een java programma dat het spel van de nationale loterij, de Lotto simuleert. De communicatie met de gebruiker

Nadere informatie

AANVRAAG VAN EEN GEDEELTELIJKE WERKHERVATTING TIJDENS DE ARBEIDSONGESCHIKTHEID

AANVRAAG VAN EEN GEDEELTELIJKE WERKHERVATTING TIJDENS DE ARBEIDSONGESCHIKTHEID AANVRAAG TOT TOESTEMMING OM EEN ACTIVITEIT UIT TE OEFENEN TIJDENS EEN ARBEIDSONGESCHIKTHEID (Werknemersregeling) Bezorg ons dit formulier ingevuld terug voor uw werkhervatting AANVRAAG VAN EEN GEDEELTELIJKE

Nadere informatie

Hoofdstuk 5: Signaalverwerking

Hoofdstuk 5: Signaalverwerking Hoofdstuk 5: Signaalverwerking Natuurkunde VWO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 5: Signaalverwerking Natuurkunde 1. Mechanica 2. Golven en straling 3. Elektriciteit en magnetisme 4. Warmteleer Rechtlijnige

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

Samenvatting Optimalisatietechnieken

Samenvatting Optimalisatietechnieken Samenvatting Optimalisatietechnieken Dumon Willem - Van Haute Tom 2009-2010 1 Terminologie Feasible = oplosbaar, voldoen a alle harde beperkingen Harde beperking = beperking wr e oplossing aan moet voldoen

Nadere informatie

INSCHRIJFFORMULIER ter attentie van Gerlinde Groeneveld

INSCHRIJFFORMULIER ter attentie van Gerlinde Groeneveld INSCHRIJFFORMULIER ter attentie van Gerlinde Groeneveld De oude Apotheek 1 e Dorpsstraat 13, 3701 HA Zeist De inschrijfformulieren dienen uiterlijk op 17 april 2015 in het bezit te zijn van de Gemeente

Nadere informatie

Kansrekening en Statistiek

Kansrekening en Statistiek Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,

Nadere informatie

Deze menu-aansturingen zijn van toepassing op versies 14.0 en 15.0 van SPSS.

Deze menu-aansturingen zijn van toepassing op versies 14.0 en 15.0 van SPSS. Menu aansturing van SPSS voorbeeld in hoofdstuk 8 over schaalconstructie met Cronbach s α en principale componenten analyse van meningen over strafdoelen Hieronder wordt uitgelegd hoe alle analyses besproken

Nadere informatie

Opdracht 5a ----------- Kruistabellen

Opdracht 5a ----------- Kruistabellen Opdracht 5a ----------- Kruistabellen Aan elk van 36 studenten werd gevraagd of zij alcohol drinken, en zo ja, welke soort alcoholische drank de voorkeur heeft. Tevens werd voor elke student de leeftijd

Nadere informatie

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual

Nadere informatie

Opleidingen in België

Opleidingen in België Opleidingen in België Workshop TwinCAT 2 Deze Workshop dient als een eerste kennismaking met de software TwinCAT 2.11. U krijgt tijdens deze workshop zelf de kans om enkele eenvoudige PLC-programma s te

Nadere informatie

Het duivenhokprincipe

Het duivenhokprincipe Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld

Nadere informatie

a a Leg 3 getallen van 2 cijfers en tel ze op. b d Bedenk sommen waar 180 uitkomt. Meer antwoorden. b Uit welke som komt 103?

a a Leg 3 getallen van 2 cijfers en tel ze op. b d Bedenk sommen waar 180 uitkomt. Meer antwoorden. b Uit welke som komt 103? les 4 blok 5 4 Hoeveel kilogram samen? Eerst schatten. a a 64 kg b 164 kg 3 2 k g 232 kg 1 5 k g 115 kg 1 1 1 k g 511 kg c 8 kg 32 kg 125 kg 244 kg b d 16 kg 185 kg 143 kg 495 kg CD2 Maak sommen met deze

Nadere informatie

Agenda ONZ 2014. Woensdag 8 januari 20u ONZ-vriendenronde op 145.475MHz. Vrijdag 10 januari 2014 om 20u30 Nieuwjaarsreceptie in ONZ

Agenda ONZ 2014. Woensdag 8 januari 20u ONZ-vriendenronde op 145.475MHz. Vrijdag 10 januari 2014 om 20u30 Nieuwjaarsreceptie in ONZ Agenda ONZ 2014 Woensdag 8 januari 20u ONZ-vriendenronde op 145.475MHz Vrijdag 10 januari 2014 om 20u30 Nieuwjaarsreceptie in ONZ Woensdag 15 januari 20u ONZ-vriendenronde op 145.475MHz Donderdag 16 januari

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Weekschema maken. Je gaat praten over de dingen die jij in één week doet. Deze activiteiten ga je in een schema op de computer uitwerken.

Weekschema maken. Je gaat praten over de dingen die jij in één week doet. Deze activiteiten ga je in een schema op de computer uitwerken. Weekschema maken Je gaat praten over de dingen die jij in één week doet. Deze activiteiten ga je in een schema op de computer uitwerken. Leer en oefen: Neem samen me de docent/assistent het fotoboek de

Nadere informatie

2 Invoeren project. 2.1 Procedure. 2.2 Instellingen

2 Invoeren project. 2.1 Procedure. 2.2 Instellingen 2 Invoeren project In dit hoofdstuk komen de werkwijzen en technieken aan de orde hoe een project ingevoerd kan worden. Mogelijkheden zijn: Vanaf detailniveau, bijvoorbeeld door subprojecten te laten vervaardigen

Nadere informatie

WFM@ Praxis. Ferry Peek. hoofd productiviteit en projectmanagement

WFM@ Praxis. Ferry Peek. hoofd productiviteit en projectmanagement WFM@ Praxis Ferry Peek hoofd productiviteit en projectmanagement WFM@ Praxis Introductie Waarom WFM bij Praxis Project time for sales Software tool Redprairie Resultaat 2 Introductie Praxis Onderdeel van

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Abstraheren van modellen

Abstraheren van modellen Abstraheren van modellen Geert Delanote 7 maart 2005 Geert.Delanote@cs.kuleuven.ac.be Software Development Methodology 1 Inhoudstafel Motivatie Denkpistes Software Development Methodology 2 Motivatie Verslag

Nadere informatie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie

recursie Hoofdstuk 5 Studeeraanwijzingen De studielast van deze leereenheid bedraagt circa 6 uur. Terminologie Hoofdstuk 5 Recursion I N T R O D U C T I E Veel methoden die we op een datastructuur aan kunnen roepen, zullen op een recursieve wijze geïmplementeerd worden. Recursie is een techniek waarbij een vraagstuk

Nadere informatie

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten

Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten 1 Differentiaalvergelijkingen Als we een functie y : t y(t) expliciet, in formulevorm, kennen, dan is het niet zo moeilijk hiervan de afgeleide

Nadere informatie

Ziekte dagen en uren viewer

Ziekte dagen en uren viewer Ziekte dagen en uren viewer I Ziekte dagen en uren viewer Inhoudsopgave Hoofdstuk 1 Ziekte dagen en uren viewer 2... 2 1.1 Installatie... 2 1.2 Gebruik... 8 1.3 Gegevens en berekening Ziekte dagen en uren

Nadere informatie

Roosterapplicatie UMBOVO

Roosterapplicatie UMBOVO Roosterapplicatie UMBOVO Februari 2014 Inleiding Roosters maken is tijdrovend werk, zeker als er drie- tot vierduizend gesprekken ingepland moeten worden tussen enkele honderden deelnemers. Om deze taak

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

het bank voorbeeld ISO Datamodelleren modelleren met het E-R R model een database ontwerpen verzamelingen van relaties (verbanden)

het bank voorbeeld ISO Datamodelleren modelleren met het E-R R model een database ontwerpen verzamelingen van relaties (verbanden) het bank voorbeeld ISO Datamodelleren Prof. dr. Paul De Bra waarom zijn er drie tabellen om klanten en rekeningen voor te stellen? customer (customer_name, customer_street, customer_city) account (account_number,

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 2 april 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 3 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 2 april 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 3 5 Data-analyse 4 5.1 Data-analyse: per product.............................

Nadere informatie

INFORMATIE VRAGEN OVER CURSUSSEN

INFORMATIE VRAGEN OVER CURSUSSEN INFORMATIE VRAGEN OVER CURSUSSEN Je wil een cursus volgen, maar je wil eerst meer informatie krijgen. Welke vragen moet je stellen? Wat moet je doen? 1 Lees de tekst op blad 2 en maak de oefening op blad

Nadere informatie