Grafen en BFS. Mark Lekkerkerker. 24 februari 2014

Transcriptie

1 Grafen en BFS Mark Lekkerkerker 24 februari 2014

2 1 Grafen Wat is een graaf? Hoe representeer je een graaf? 2 Breadth-First Search Het Breadth-First Search Algoritme Schillen De BFS boom 3 Toepassingen Bipartitie Cykel zoeken Samenhangend test Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

3 Wat is een graaf? Het abstracte concept van een graaf Modelleert (binaire) relaties tussen objecten Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

4 Wat is een graaf? Het abstracte/visuele concept van een graaf Modelleert (binaire) relaties tussen objecten Punten (knopen) zijn objecten Strepen zijn relaties Geometrie niet belangrijk Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

5 Geometrie niet belangrijk?! Het gaat om de relatie! A B C D E F G H I J K L M N O = A B C N O D E F G H I J K L M Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

6 Wat kun je modelleren? De mogelijkheden zijn ongekend Elektrische schakeling Quoridor Wie wie de hand schudt op een feestje Internetverbindingen Facebook vrienden (Spoor)wegennet Finite state automatons Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

7 Uitbreidingen op de graaf Je kunt het zo gek niet bedenken Gerichte graaf Gewogen graaf Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

8 Wiskunde Hoe beschrijf je een graaf? Definitie van een graaf: G = (E, V ) m = E (aantal elementen in E) n = V (aantal elementen in V ) Graad van een knoop Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

9 Wiskunde Hoe beschrijf je een graaf? Definitie van een graaf: G = (E, V ) m = E (aantal elementen in E) n = V (aantal elementen in V ) Graad van een knoop Een (simpel) pad Een (simpele) cykel Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

10 Wiskunde Hoe beschrijf je een graaf? Definitie van een graaf: G = (E, V ) m = E (aantal elementen in E) n = V (aantal elementen in V ) Graad van een knoop Een (simpel) pad Een (simpele) cykel Samenhang (m n 1) Afstand tussen knopen x en y: δ(x, y) Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

11 Representatie van grafen Hoe slaat de computer ze op? Matrixrepresentatie Lijstrepresentatie Adj[A] = {B, G} Adj[B] = {A, C, F } Adj[C] = {B, D, G} Adj[D] = {C, E, F } Adj[E] = {D, F } Adj[F ] = {B, D, E, G} Adj[G] = {A, C, F } Adj[X ] = {Y } Adj[Y ] = {X } Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

12 Representatie van grafen Wat is de complexiteit van deze representaties? Actie Matrices Lijsten Geheugen n 2 m (mits m > n) Is xy een kant? O(1) O(n) Geef een buur van x O(n) O(1) Doe S voor all buren van x n graad Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

13 Het Breadth-First Search Algoritme Eigenschappen van BFS Onderzoek een graaf Exploreer dichtstbijzijnde knopen eerst Heel algemeen Vind het kortste pad in een ongewogen graaf Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

14 Het Breadth-First Search Algoritme Idee achter BFS Onderzoek eerst de beginknoop. Onderzoek dan eerst al zijn aangrenzende knopen. Onderzoek dan al de aangrenzende knopen van deze knopen. Onderzoek daarna alle aangrenzende knopen van deze knopen. Herhaal dit principe... Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

15 Het Breadth-First Search Algoritme Bereken in O(n + m) een BFS boom! Q lege Queue; foreach v in V do color[v] wit; d[v] ; π[v] nil; color[s] grijs; d[s] 0; Q.Enqueue(s); while Q is niet leeg do u Q.Dequeue(); foreach v in u.adjacent do if color[v] = wit then color[v] grijs; d[v] d[u] + 1; π[v] u; Q.Enqueue(v); end end color[u] zwart; end Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

16 Schil de graaf door BFS Eigenschappen van de BFS Schil i bevat alle knopen x waarvoor geldt δ(x, s) = i. Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

17 Schil de graaf door BFS Eigenschappen van de BFS Schil i bevat alle knopen x waarvoor geldt δ(x, s) = i. Buur v van knoop u in schil i zit in schil i 1, i of i + 1. Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

18 Schil de graaf door BFS Eigenschappen van de BFS Schil i bevat alle knopen x waarvoor geldt δ(x, s) = i. Buur v van knoop u in schil i zit in schil i 1, i of i + 1. Knoop u in schil i > 0 heeft tenminste 1 buur in schil i 1. Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

19 Schil de graaf door BFS Eigenschappen van de BFS Schil i bevat alle knopen x waarvoor geldt δ(x, s) = i. Buur v van knoop u in schil i zit in schil i 1, i of i + 1. Knoop u in schil i > 0 heeft tenminste 1 buur in schil i 1. Als schil i geen knopen bevat, dan bevat schil i + 1 er ook geen. Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

20 Schil de graaf door BFS Eigenschappen van de BFS Schil i bevat alle knopen x waarvoor geldt δ(x, s) = i. Buur v van knoop u in schil i zit in schil i 1, i of i + 1. Knoop u in schil i > 0 heeft tenminste 1 buur in schil i 1. Als schil i geen knopen bevat, dan bevat schil i + 1 er ook geen. Het algoritme exploreert de graaf schil voor schil Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

21 Schil de graaf door BFS Eigenschappen van de BFS Schil i bevat alle knopen x waarvoor geldt δ(x, s) = i. Buur v van knoop u in schil i zit in schil i 1, i of i + 1. Knoop u in schil i > 0 heeft tenminste 1 buur in schil i 1. Als schil i geen knopen bevat, dan bevat schil i + 1 er ook geen. Het algoritme exploreert de graaf schil voor schil Na terminatie: d[u] = δ(s, u). Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

22 De BFS boom De predecessor graaf, gemaakt door BFS Voorganger-subgraaf gedefinieerd in π Uitkomst π non-deterministisch Niet elke BFS boom kan gemaakt worden door BFS Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

23 Bipartitie Deel de graaf op in twee Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

24 Cykel zoeken Zoek een cykel in een graaf Door π kunnen we cykels detecteren. Hierdoor kunnen we bekijken of een graaf een boom is Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

25 Samenhangend test Quoridor; is een locatie nog bereikbaar? Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16

26 Samenvatting Wat hebben we vandaag behandeld? Het concept van grafen Computer representatie van grafen Non determinisme door representatie BFS Mark Lekkerkerker Grafen en BFS 24 februari / 16