Datastructuren en algoritmen voor CKI

Transcriptie

1 Datastructuren en algoritmen voor CKI Jeroen Bransen 1 9 oktober met dank aan Hans Bodlaender en Gerard Tel

2 Zoekbomen

3 Binaire boom Bestaat uit knopen Beginknoop is de wortel (root) Elke knoop heeft 0 of 2 kinderen Kinderen zijn ook weer binaire bomen Kind kan ook leeg zijn (nil)

4 Binaire zoekboom Binaire boom met volgende eigenschappen Elke knoop bevat een waarde (key) Voor alle knopen y in linkerkind van x: y.key x.key Voor alle knopen z in rechterkind van x: z.key x.key

5 Voorbeeld

6 Voorbeeld

7 Representatie Elke knoop is object Pointers naar linker en rechter kind (meestal) pointer naar ouder Waarde die in deze knoop staat class Knoop { int key; Knoop left; Knoop right; Knoop p; }

8 Getallen op volgorde printen inorder-tree-walk(x) 1 if x nil 2 inorder-tree-walk(x. left) 3 print x. key 4 inorder-tree-walk(x. right)

9 De boom aflopen inorder: eerst links, dan wortel, dan rechts

10 De boom aflopen inorder: eerst links, dan wortel, dan rechts preorder: eerst wortel, dan links, dan rechts

11 De boom aflopen inorder: eerst links, dan wortel, dan rechts preorder: eerst wortel, dan links, dan rechts postorder: eerst links, dan rechts, dan wortel

12 Zoeken in de boom

13 Specifieke waarde zoeken Zoekboom-eigenschappen helpen Zoeken lijkt op binair-zoeken Afhankelijk van of de waarde kleiner of groter is kijken we links of rechts

14 Specifieke waarde zoeken tree-search(x, k) 1 if x == nil of k == x.key 2 return x 3 if k < x.key 4 return tree-search(x. left, k) 5 else return tree-search(x. right, k)

15 Specifieke waarde zoeken Slechtste geval is O(h), met h is de hoogte van de boom Later: h = O(log n) In plaats van recursie ook iteratieve variant In praktijk meestal iets sneller (lagere constante)

16 Specifieke waarde zoeken iterative-tree-search(x, k) 1 while x nil en k x.key 2 if k < x.key 3 x = x.left 4 else x = x.right 5 return x

17 Minimum zoeken tree-minimum(x) 1 while x.left nil 2 x = x.left 3 return x

18 Minimum zoeken tree-minimum(x) 1 while x.left nil 2 x = x.left 3 return x Slechtste geval: O(h)

19 Maximum zoeken tree-maximum(x) 1 while x.right nil 2 x = x.right 3 return x Slechtste geval: O(h)

20 Opvolger Kleinste waarde groter dan x. key Als x rechter kind heeft: Minimum van rechter subboom Zo niet: Waade zit ergens erboven bij stap naar rechts

21 Opvolger tree-successor(x) 1 if x.right nil 2 return tree-minimum(x. right) 3 y = x.p 4 while y nil en x == y.right 5 x = y 6 y = y.p 7 return y

22 Opvolger tree-successor(x) 1 if x.right nil 2 return tree-minimum(x. right) 3 y = x.p 4 while y nil en x == y.right 5 x = y 6 y = y.p 7 return y Slechtste geval: O(h)

23 Toevoegen en verwijderen

24 Toevoegen Zoeken naar juiste plek Altijd een lege plek te vinden waar dit element past Daar nieuw element aanmaken en toevoegen Boom blijft een zoekboom Slechtste geval: O(h)

25 Toevoegen tree-insert(t, z) 1 y = nil 2 x = T.root 3 while x nil 4 y = x 5 if z.key < x.key 6 x = x.left 7 else x = x.right 8 z.p = y 9 if y == nil 10 T.root = z 11 elseif z.key < y.key 12 y.left = z 13 else y.right = z

26 Verwijderen Lastiger dan invoegen Blad kan makkelijk verwijderd worden Met 1 kind: schuif dat kind omhoog Maar wat doen we bij knoop met 2 kinderen?

27 Verwijderen met 2 kinderen Zoek opvolger van z Deze moet in rechter kind zitten Haal die uit het rechter kind En plaats die op de plek van z

28 Verwijderen (zelfde idee, andere uitvoering) Als z geen linker kind heeft: vervang z door rechter kind q z q r nil r

29 Verwijderen (zelfde idee, andere uitvoering) Als z geen rechter kind heeft: vervang z door linker kind q z q r r nil

30 Verwijderen (zelfde idee, andere uitvoering) Zoek opvolger y van z. Als y het rechter kind is van z: vervang z door y en laat rechterkind van y ongewijzigd q z q y l y l x nil x

31 Verwijderen (zelfde idee, andere uitvoering) Anders: vervang y door y s rechterkind en vervang dan z door y q z q y l r l r y x nil x

32 Vervangen van knoop u door v transplant(t, u, v) 1 if u.p == nil 2 T.root = v 3 elseif u == u.p.left 4 u.p.left = v 5 else u.p.right = v 6 if v nil 7 v.p = u.p

33 Verwijderen tree-delete(t, z) 1 if z.left == nil 2 transplant(t, z, z. right) 3 elseif z.right == nil 4 transplant(t, z, z. left) 5 else y = tree-minimum(z. right) 6 if y.p z 7 transplant(t, y, y.right) 8 y.right = z.right 9 y.right.p = y 10 transplant(t, z, y) 11 y.left = z.left 12 y.left.p = y