De symmetrische min-max heap

Transcriptie

1 De symmetrische min-max heap Tweede programmeeropdracht Datastructuren, najaar 2006 De symmetrische min-max heap (SMM heap) is een datastructuur waarin getallen (of andere elementen met een lineaire ordening) kunnen worden opgeslagen en waar je zowel het minimum als het maximum op een efficiënte manier kunt opvragen of uithalen. De bedenkers van deze datastructuur, A. Arvind en C. Pandu Rangan, presenteerden haar in een artikel ([1]) dat als bijlage integraal is opgenomen in het leesboek Datastructuren van dit jaar. Los daarvan is in het leesboek ook een paragraaf aan de SMM heap gewijd. Hier zullen we ons beperken tot enkele hoofdzaken. De SMM heap is een volledige binaire boom, die dus eenvoudig in een array kan worden opgeslagen. De wortel van de boom is een dummy knoop; hij bevat geen element. Verder heeft de boom de volgende eigenschap: voor iedere knoop X die zowel een linker- als een rechterkind heeft, geldt: het linkerkind van X bevat het minimum van alle nakomelingen van X en het rechterkind van X bevat het maximum van alle nakomelingen van X. Het minimum van de totale heap is dus te vinden in het linkerkind van de wortel en het maximum in het rechterkind van de wortel. Een equivalente, maar meer practische karakterisatie van eigenschap (1) is: voor iedere knoop X die zowel een linkerkind Y 1 als een rechterkind Y 2 heeft, geldt: (1) de waarde in Y 1 is kleiner dan of gelijk aan de waarde in Y 2 ; als de knoop Z een kleinkind is van X, dan is de waarde in Z groter dan of gelijk aan de waarde in Y 1, en kleiner dan of gelijk aan de waarde in Y 2. (2) Wanneer een element aan de SMM heap wordt toegevoegd, wordt dat in eerste instantie ná het laatste element (het meest rechtse element op het onderste niveau) van de heap geplaatst, waarna het omhoog borrelt naar de juiste positie. Bij het verwijderen van een element (het minimum of het maximum) wordt het laatste element van de heap naar de leeggekomen plek verplaatst, waarna het omlaag borrelt naar de juiste positie. Opdracht 2a: kale implementatie Je moet de datastructuur symmetrische min-max heap uitwerken tot een klasse SMMheap in C++, in bestanden smmheap.cc en smmheap.h. Hierbij dien je de heap te representeren met behulp van een array A. Als extraatje moet je een vergelijkend onderzoek doen naar het opbouwen van een SMM heap van bovenaf en van onderop. Uitgaande van een willekeurige complete binaire boom (met een dummy knoop als wortel) kun je de SMM heap eigenschap 1

2 (2) zowel top-down als bottom-up opbouwen (vergelijk dit met het opbouwen van een gewone heap). Het lijkt aannemelijk dat de bottom-up benadering gemiddeld minder vergelijkingen van heap elementen vereist dan de top-down benadering. Met jouw implementatie van de heap en het door ons gemaakte testprogramma moet je onderzoeken of dit inderdaad het geval is. Om de datastructuur te kunnen gebruiken (en testen) moet de syntax van de klasse SMMheap overeenkomen met het volgende fragment: #typedef int HValueTp // in plaats van template class SMMheap { public: SMMheap (int D); ~SMMheap (); bool IsEmpty (); bool IsFull (); HValueTp Minimum (); HValueTp DeleteMin (); HValueTp Maximum (); HValueTp DeleteMax (); bool Insert (HValueTp NwValue); int FillTD (HValueTp *B, int N); int FillBU (HValueTp *B, int N); private: HValueTp *A; // hierin wordt de SMM heap opgeslagen int Eerste, // index van eerste element in de SMM heap Laatste; // index van laatste element in de SMM heap // (= Eerste - 1 als de SMM heap leeg is) // uw eigen velden & methodes (public, private) }; De verschillende methodes van de klasse SMMheap worden als volgt gespecificeerd: SMMheap (int D); Constructor: creëer een nieuwe SMM heap waar precies D elementen in passen, maar die nu nog leeg is. ~SMMheap (); Destructor. bool IsEmpty (); Test of de SMM heap leeg is. bool IsFull (); Test of de SMM heap vol is. HValueTp Minimum (); Retourneer het minimale element in de SMM heap, maar verander de SMM heap niet. 2

3 HValueTp DeleteMin (); Verwijder het minimale element uit de SMM heap en retourneer de waarde. HValueTp Maximum (); Retourneer het maximale element in de SMM heap, maar verander de SMM heap niet. HValueTp DeleteMax (); Verwijder het maximale element uit de SMM heap en retourneer de waarde. bool Insert (HValueTp NwValue); Voeg zo mogelijk het element NwValue toe aan de SMM heap, en retourneer true als dit lukt en false als dit niet meer lukt. int FillTD (HValueTp *B, int N); Copieer de elementen B[1] tot en met B[N] in deze volgorde naar A[Eerste] tot en met A[Eerste+N-1], en bouw daarna pas de SMM heap eigenschap op; doe dit laatste top-down; retourneer het aantal vergelijkingen van heap elementen bij het opbouwen van de SMM eigenschap; pre: de SMM heap is leeg en A is groot genoeg voor alle N elementen int FillBU (HValueTp *B, int N); Copieer de elementen B[1] tot en met B[N] in deze volgorde naar A[Eerste] tot en met A[Eerste+N-1], en bouw daarna pas de SMM heap eigenschap op; doe dit laatste bottom-up; retourneer het aantal vergelijkingen van heap elementen bij het opbouwen van de SMM eigenschap; pre: de SMM heap is leeg en A is groot genoeg voor alle N elementen Het testprogramma biedt je nu een optie die 1. de gebruiker om twee positieve getallen vraagt: N en K; 2. K keer N random getallen tussen 1 en 10 N (inclusief) genereert (dubbele zijn toegestaan) en in een array B stopt, met dit array B als parameter zowel de methode FillTD als FillBU aanroept, de benodigde aantallen vergelijkingen wegschrijft naar een bestand met naam filltdn.dat (bijvoorbeeld filltd100.dat), respectievelijk fillbun.dat (bijvoorbeeld fillbu100.dat); 3. voor beide benaderingen het gemiddelde van de K aantallen vergelijkingen berekent en naar het bijbehorende bestand schrijft. Deze optie laat je voor K = 10 en iedere N {100, 500, 1000, 5000, 10000} draaien, je zet de gevonden waardes voor het gemiddelde aantal vergelijkingen in een overzichtelijke tabel en je licht de resultaten kort toe. 3

4 N.B.: Via de webpagina van Datastructuren wordt een aantal hulpbestanden met toelichting beschikbaar gesteld, die het maken van de opdracht kunnen vergemakkelijken. Inleveren: uiterlijk vrijdag 27 oktober Lever smmheap.cc, smmheap.h en een verslagje over de vergelijking van top-down en bottom-up opbouwen (bijvoorbeeld verslag2a.txt), per in bij Sven van Haastregt met in het subject de tekst Opdracht 2a. Vermeld de na(a)m(en) en studentennummer(s) van de auteur(s). Opdracht 2b: gebruik in external quicksort Er zijn vele algoritmes om een verzameling V van getallen (of andere elementen met een lineaire ordening) te sorteren. Bij (gewoon) quicksort (zie, bijvoorbeeld, [2]) kies je willekeurig een element v, waarna je de resterende elementen opsplitst in een deelverzameling V 1 met elementen kleiner dan (of gelijk aan) v en een deelverzameling V 2 met elementen groter dan (of gelijk aan) v. De ordening van V is nu (recursief) gedefinieerd als de ordening van V 1, gevolgd door v, gevolgd door de ordening van V 2. Bij external quicksort kies je niet één element v, maar een buffer met M 1 elementen. Wanneer w een van de andere elementen is, en w is kleiner dan het minimum van de buffer, dan gaat w weer naar een verzameling V 1. Als w groter is dan het maximum van de buffer, gaat w naar een verzameling V 2. Als w echter tussen het minimum en het maximum van de buffer in zit, wordt w in de buffer opgenomen, en verdwijnt het minimum of het maximum van de buffer naar V 1, respectievelijk V 2. Voor details, inclusief een complete code, zie opnieuw [2]. Het is nu de bedoeling dat je een C++-programma schrijft, dat 1. de gebruiker om drie positieve getallen vraagt: N, K en M, met M N; 2. K keer N random getallen tussen 1 en 10 N (inclusief) genereert (dubbele zijn toegestaan), deze N getallen zowel met (gewoon) quicksort als met external quicksort met buffergrootte M sorteert, de gesorteerde rij met getallen wegschrijft naar een bestand met naam qsn.dat (bijvoorbeeld qs100.dat) (voor quicksort), respectievelijk eqsn M.dat (bijvoorbeeld eqs dat) (voor external quicksort); de getallen moeten gescheiden zijn door spaties, tabs of EOL-karakters, voor beide sorteermethodes het gewogen aantal gangen (voor definitie, zie onder) berekent; 3. voor beide sorteermethodes het gemiddelde van de K gewogen aantallen gangen berekent en als laatste getal in het bijbehorende bestand schrijft (op 5 decimalen nauwkeurig, op een nieuwe regel). 4

5 Figuur 1: Voorbeeld van een sorteerboom bij external quicksort voor N = 100 getallen met een buffer van M = 10 groot. Voor de buffer bij external quicksort moet je een symmetrische min-max heap gebruiken. Onder het gewogen aantal gangen (passes) in een sorteermethode verstaan we het gemiddelde aantal malen dat we een getal bekijken. Een voorbeeld kan duidelijk maken wat we precies bedoelen. Stel dat we N = 100 getallen met external quicksort met buffergrootte M = 10 sorteren. In eerste instantie blijken er 42 getallen links van de buffer (in V 1 dus) en 48 getallen rechts van de buffer (V 2 ) terecht te komen. Bij het verder sorteren van de 42 getallen in V 1 komen er 14 links van de buffer en 18 rechts van de buffer. Bij het verder sorteren van de 48 getallen in V 2 komen er 25 links van de buffer en 13 rechts van de buffer. Natuurlijk worden de 14, 18, 25, respectievelijk 13 getallen vervolgens ook nog (recursief) gesorteerd, wat resulteert in de sorteerboom in Fig. 1. Op niveau 1 van de sortering worden alle 100 getallen bekeken, op niveau 2, 3, 4 en 5 nog 90, 70, 30, respectievelijk 1. Gemiddeld wordt elk getal zo = N 291 = 2, 91 keer bekeken. Dit is de waarde van het gewogen aantal gangen voor deze 100 run van external quicksort. Op analoge wijze is het gewogen aantal gangen voor (gewoon) quicksort gedefinieerd. Het C++-programma laat je voor K = 10 en alle mogelijke combinaties van N {100, 500, 1000, 5000, 10000} en M {5, 10, 20} draaien en je zet de gevonden waardes voor het gemiddelde gewogen aantal gangen in een tweetal overzichtelijke tabellen: één voor (gewoon) quicksort, en één voor external quicksort. Vervolgens schrijf je een verslag rond de volgende vragen: Zijn er opvallende verschillen tussen de waardes in de ene tabel en die in de andere tabel? Zo ja, geef een verklaring voor de verschillen. Hoe eerlijk is de gebruikte methode om (gewoon) quicksort en external quicksort met elkaar te vergelijken? Beschrijf mogelijke alternatieve methodes of aanpassingen aan de gebruikte methode. Inleveren: uiterlijk vrijdag 24 november Alle bestanden die nodig zijn om het programma te kunnen draaien moeten ingeleverd worden, samen met een verslag van de vergelijking van (gewoon) quicksort en external quicksort. De object be- 5

6 standen en de executable dien je echter niet op te sturen, er wordt opnieuw gecompileerd. Ook testinstanties zijn niet nodig. Lever per in bij Sven van Haastregt met in het subject de tekst Opdracht 2b. Vermeld de na(a)m(en) en studentennummer(s) van de auteur(s). Ten slotte: In principe hoef je je programma s niet op de beast of de Linux-pc s beneden te maken. De uiteindelijke versie moet echter gecompileerd kunnen worden (en werken) met g++ op de beast of zo n Linux-pc! Werk bij voorkeur in tweetallen. Werk gestructureerd. Geef voldoende commentaar. Voorzie je werkstuk van een betrouwbare schatting van het aantal gewerkte uren. Heb je nu nog vragen over de bedoeling van de opdracht, wend je dan tot Robert Brijder (kamer 156a, (intern) telefoonnummer 7143, rbrijder@liacs.nl). Heb je vragen over je eigen programma, wend je dan tot Sven van Haastregt (svhaastr@liacs.nl). Literatuur [1] A. Arvind, C. Pandu Rangan. Symmetric Min-Max heap: A simpler data structure for double-ended priority queue, Information Processing Letters 69, blz , [2] G.H. Gonnet, R. Baeza-Yates. Handbook of Algorithms and Data Structures, In Pascal and C, Addison-Wesley, (second edition) Paragraaf 4.1.3: Quicksort; paragraaf 4.4.6: External Quicksort. 6