Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Transcriptie

1 Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1

2 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling knopen V en een verzameling takken E. Twee knopen i, j V heten verbonden als er een tak (i, j) E is van knoop i naar knoop j. Een pad is een reeks van verschillende knopen (i 1, i 2,..., i n ), waarbij knoop i k verbonden is met knoop i k+1, 1 k < n. Een graaf is samenhangend wanneer er een pad bestaat tussen elk tweetal knopen in de graaf. Kortste Pad Probleem 2

3 Modellering Probeer zo goedkoop mogelijk één eenheid stroom van knoop s naar knoop t te sturen. min Onder de volgende voorwaarden: {j (i,j) E} x ij (i,j) E {j (s,j) E} {i (i,t) E} {j (j,i) E} c ij x ij x sj = 1 x it = 1 x ji = 0 i / {s, t} x ij {0,1} (i, j) Als x ij = 0 betekent dit dat er geen stroom loopt over tak (i, j). Als x ij = 1 dan loopt er wel een stroom. Kortste Pad Probleem 3

4 Basisalgoritme 1. Initialisatie Q = {s}, l(i) = i V\{s}, l(s) = Knoopselectie Zij i Q. Knoop i wordt verwijderd uit Q. 3. Label-aanpassing Voor alle (i, j) E doe: l(j) wordt het min{l(j), l(i) + c ij }. Als l(j) in deze stap aangepast wordt, dan wordt j toegevoegd aan Q, tenzij j al tot Q behoort. 4. Stopcriterium Het algoritme stopt wanneer Q leeg is. Als Q niet leeg is, ga dan naar stap 2. Kortste Pad Probleem 4

5 Stelling: Optimaliteitsvoorwaarden De labels l(j) zijn gelijk aan de kosten van het kortste pad van knoop s naar knoop j dan en slechts dan als: l(j) l(i) + c ij (i, j) E Noodzakelijk Als l(j) > l(i) + c ij, dan zouden de kosten van het kortste pad naar j verkleind kunnen worden door knoop j via knoop i te bereiken. Voldoende Zij pad P = (i 1, i 2 ),(i 2, i 3 ),...,(i k 1, i k ), (s = i 1, j = i k ) een s j pad. l(i k ) l ( ) i k 1 + cik 1,i k l ( ) i k 1 l ( ) i k 2 + cik 2,i k 1 l(i 2 ) l(i 1 ) + c i1,i 2 = c i1,i 2 l(j) c ik 1,i k + + c i1,i 2 = Dus l(j) is een ondergrens voor elk s j pad. (i,j) P c ij + Kortste Pad Probleem 5

6 Label setting methoden: Dijkstra 1. Initialisatie Q = {s}, l(i) = i V\{s}, l(s) = Knoopselectie Zij i Q een knoop waarvoor geldt i = argmin{l(j) j Q}. Knoop i wordt uit Q verwijderd. Het label van knoop i is nu permanent. 3. Label-aanpassing Voor alle (i, j) E(i) doe: l(j) wordt het min{l(j), l(i) + c ij }. Als l(j) in deze stap aangepast wordt, dan wordt j toegevoegd aan Q, tenzij j al tot Q behoort. 4. Stopcriterium Het algoritme stopt wanneer Q leeg is. Als Q niet leeg is, ga dan naar stap 2. Kortste Pad Probleem 6

7 Complexiteit Zij n = V en m = E. Het algoritme voert de knoopselectie-stap n keer uit. Ieder keer moeten alle knopen met een tijdelijk label doorzocht worden, om de knoop met het kleinste tijdelijke label vast te stellen. De totale tijd voor deze stap is: n + (n 1) = O(n 2 ) Voor knoop i voert het algoritme E(i) keer een label-aanpassing uit. In totaal is dit: i V E(i) = m De looptijd is dus O(m + n 2 ). Als m = O(n), is de looptijd dus O(n 2 ). Opmerking Het gebruik van slimme datastructuren versnelt het algoritme. De looptijd wordt bijvoorbeeld O(nlog n) bij gebruik van een binaire heap. Kortste Pad Probleem 7

8 Cirkelvormig zoeken Kortste Pad Probleem 8

9 Bidirectioneel algoritme 1. Initialisatie Stel Q s = {s}, l s (i) = i en l s (s) = 0. Stel Q t = {t}, l t (i) = i en l t (t) = Knoopselectie - voorwaarts i = argmin {l s (i) i Q s }. Q s Q s \ {i}. Stop als l t (i) < i / Q t. 3. Labelaanpassing - voorwaarts (i, j) E: l s (j) min { l s (j), l s (i) + c ij }, als ls (j) aangepast wordt en j / Q s, dan Q s Q s {j}. 4. Knoopselectie - achterwaarts i = argmin {l t (i) i Q t }. Q t Q t \ {i}. Stop als l s (i) < i / Q s. 5. Labelaanpassing - achterwaarts (j, i) E: l t (j) min { l t (j), l t (i) + c ji }, als lt (j) aangepast wordt en j / Q t, dan Q t Q t {j}. Ga naar stap 2. Kortste Pad Probleem 9

10 Post processing Zij R s de verzameling van knopen die permanent gelabeld zijn vanuit s en R t de verzameling van knopen die permanent gelabeld zijn vanuit t. Er geldt dat knoop i R s Rt. Stelling Zij u R s, v R t, i R s Rt dan is het kortste pad gelijk aan: min (u,v) E {l s(u) + c uv + l t (v), l s (i) + l t (i)} Bewijs Zij q / R s en r / R t willekeurig. Er geldt: l s (i) l s (u) + c uq omdat l s (i) permanent is en l s (q) nog niet. Evenzo geldt: l t (i) l t (v) + c rv. Dus: l s (i) + l t (i) l s (u) + l t (v) + c uq + c rv Dus het kortste pad bevat geen knopen met een niet permanent label. Wel kan gelden l s (i) > l s (u) of l t (i) > l t (v). Kortste Pad Probleem 10

11 Label correcting methoden: Algoritme In stap 2 wordt de eerste knoop uit de rij Q gekozen. 1. Initialisatie Q = {s}, l(i) = i V\{s}, l(s) = Knoopselectie Zij knoop i de eerste knoop uit de rij Q. Knoop i wordt verwijderd uit Q. 3. Label-aanpassing Voor alle (i, j) E doe: l(j) wordt het min{l(j), l(i) + c ij }. Als l(j) in deze stap aangepast wordt, dan wordt j toegevoegd aan Q, tenzij j al tot Q behoort. (De manier waarop j in de rij Q wordt geplaatst, verschilt per label-correcting methode.) 4. Stopcriterium Het algoritme stopt wanneer Q leeg is. Als Q niet leeg is, ga dan naar stap 2. Kortste Pad Probleem 11

12 Naïeve label correcting methoden Bellman-Ford Een knoop die Q binnenkomt wordt altijd achteraan in de rij geplaatst. D Esopo-Pape Een knoop die voor het eerst Q binnenkomt wordt achteraan in Q geplaatst. Een knoop die opnieuw aan Q wordt toegevoegd, wordt aan het begin van Q geplaatst. Pallottino Dit is een verbeterde versie van de methode van D Esopo-Pape. De rij Q bestaat uit twee disjuncte rijen Q en Q. Een knoop i die nog niet in één van deze rijen heeft gezeten wordt toegevoegd aan het einde van Q. Anders wordt de knoop toegevoegd aan het einde van Q. De knoop die geselecteerd wordt is de eerste knoop van Q, als Q tenminste niet leeg is. Anders is het de eerste knoop van Q. Kortste Pad Probleem 12

13 Geavanceerde label correcting methoden Small Label First Stel dat j in Q moet worden geplaatst. Zij i de eerste knoop in Q. Als l(j) > l(i) dan wordt j aan het eind van Q geplaatst, anders wordt j aan het begin van Q geplaatst. Threshold De rij Q bestaat uit twee disjuncte rijen Q en Q. De rij Q bevat alleen knopen waarvan de labels niet groter zijn dan een drempelwaarde ( treshold ) u. Wanneer een knoop i moet worden toegevoegd aan Q, gaat dit als volgt: Als l(i) u dan wordt knoop i aan het einde van Q toegevoegd. Anders wordt knoop i toegevoegd aan het einde van Q. Wanneer Q =, dan wordt u aangepast (groter). Vervolgens worden de knopen i Q waarvoor geldt l(i) u uit Q verwijderd en geplaatst in Q. Kortste Pad Probleem 13

14 Verbeteringen Parent checking Wanneer een knoop i zojuist uit Q is verwijderd (stap 2) terwijl de voorganger j = π(i) nog in Q zit, dan wordt i overgeslagen (dus stap 2 wordt direct herhaald). Large Label Last Zij k de som van de labelwaarden van alle knopen in Q: k = i Q Het aantal knopen in Q is gelijk aan q = Q. Wanneer de eerste knoop i Q, een label l(i) > k/q heeft, dan wordt de knoop direct weer achteraan in Q geplaatst en stap 2 wordt opnieuw aangeroepen. l(i) Kortste Pad Probleem 14

15 Ondergrenzen: A* Gebruik een onderschatting h(i) voor de kosten van knoop i naar knoop t. 1. Initialisatie Q = {s}, l(i) = i V\{s}, l(s) = Knoopselectie Zij i Q een knoop waarvoor geldt i = argmin{l(j) + h(j) j Q}. Knoop i wordt uit Q verwijderd. Het label van knoop i is nu permanent. Als i = t kan het algoritme gestopt worden 3. Label-aanpassing Voor alle (i, j) E doe: l(j) wordt het min{l(j), l(i) + c ij }. Als l(j) in deze stap aangepast wordt, dan wordt j toegevoegd aan Q, tenzij j al tot Q behoort. (Als knoop j een permanent label had, dan wordt dit weer tijdelijk.) Ga naar stap 2. Kortste Pad Probleem 15

16 Duaal toelaatbare schatter Stelling Een eenmaal permanent label wordt bij gebruik van een duaal-toelaatbare schatter nooit meer tijdelijk. Voor een duaal toelaatbare schatter geldt: c ij + h(j) h(i) (i, j) E. Bewijs vanuit het ongerijmde Stel dat in stap 3 een knoop j met een permanent label gevonden kan worden, dan geldt: l(i) + c ij < l(j) (1) Omdat het label van knoop j permanent is geldt ook: l(j) + h(j) l(i) + h(i): l(j) l(i) h(i) h(j) (2) Omdat h een duaal toelaatbare schatter is geldt: h(i) h(j) c ij (3) Uit (2) en (3) volgt: l(j) l(i) c ij. Dit is in tegenspraak met (1). Kortste Pad Probleem 16

17 A* gericht zoeken Kortste Pad Probleem 17

18 Overeenkomst tussen Dijkstra en A* Stelling Dijkstra s algoritme met de kosten c ij = c ij + h(j) h(i) voor een tak (i, j) E, is equivalent met het A* algoritme dat de originele kosten c ij en de schatter h gebruikt. Bewijs Zij P het tijdelijke pad van knoop s naar een zekere knoop i. Dan geldt bij Dijkstra: l D (i) = c jk = c jk + h(i) h(s) (j,k) P (j,k) P Merk op dat h(s) constant is en dat l (i) = (j,k) P c jk de labelwaarde is die in het A* algoritme gebruikt wordt. Met de kosten c ij blijkt dezelfde knoop i in Dijkstra gekozen te worden in stap 2 als bij A* met de kosten c ij en de schatter h(i). Ook de voorwaarde om labels aan te passen l D (i) + c ij < ld (j) blijft hetzelfde. Uitschrijven levert namelijk l (i) + h(i) h(s) + c ij + h(j) h(i) < l (j) + h(j) h(s). Kortste Pad Probleem 18

19 Bidirectionele schatter Door het bidirectionele algoritme van Dijkstra uit te voeren met de kosten: c ij = c ij + h s (j) h s (i) (4) is er een bidirectionele variant van het A*-algoritme gevonden. De schatter h t (i) van een knoop i naar knoop s wordt echter niet gebruikt. In het achterwaartse zoeken zou je juist de volgende kosten willen gebruiken: c ij = c ij + h t (i) h t (j) (5) Op basis van (4) en (5) is het logisch om de volgende aangepaste kosten te gebruiken: c ij = c ij (h s(j) h s (i)) (h t(i) h t (j)) Kortste Pad Probleem 19

20 Landmarks Wanneer op een graaf G = (V, E) meerdere keren een kortste pad van een knoop s naar een knoop t berekend moet worden, kan het zinvol zijn om vooraf wat extra informatie uit te rekenen om daarmee de te maken berekeningen te versnellen. Een wegwijzer W is een vaste knoop in de graaf G waarvoor geldt dat de kortste pad lengtes van alle knopen naar deze knoop bekend zijn. Zij W de verzameling van alle wegwijzers. Opmerkingen Keuze van wegwijzers: random of gericht Geheugen gebruik is fors Herberekening is nodig bij wijzigingen in de graaf Vooral effectief op lange afstanden Kortste Pad Probleem 20

21 Onderschatting m.b.v. wegwijzer Zij h W (i) de afstand van knoop i V naar wegwijzer W W. Zij d(i, j) de kortste afstand van knoop i V naar knoop j V. h W (i) W i d(i, j) j h W (j) Dit toont de driehoeksongelijkheid: h W (i) d(i, j) + h W (j) Of te wel: h W (i) h W (j) d(i, j) Als j = t dan is h W (i) h W (t) een onderschatting van de afstand van knoop i naar knoop t. Kortste Pad Probleem 21

22 Landmark schatter is duaal toelaatbaar Het landmark algoritme gebruikt als schatter voor de afstand van knoop i naar knoop t: Stelling De schatter in (6) is duaal toelaatbaar. h(i) = max W W (h W(i) h W (t)) (6) Bewijs vanuit het ongerijmde Stel (i, j) E met: h(i) > c ij + h(j). Zij W = argmax Dan geldt: Hieruit volgt: W W (h W(i) h W (t)). h(i) = h W (i) h W (t) > c ij + h(j) c ij + h W (j) h W (t) Volgens de driehoeksongelijkheid geldt: (7) is in tegenspraak met (8). h W (i) > c ij + h W (j) (7) c ij + h W (j) h W (i) (8) Kortste Pad Probleem 22

23 Landmarks Kortste Pad Probleem 23

24 Resultaten Basis A* Landmark Bi-basis Bi-A* Bi-Landmark Methode Iter. Sec Iter. Sec Iter. Sec Iter. Sec Iter. Sec Iter. Sec Dijkstra Heap Dial Fibonacci B-F Basis Parent LLL LLL & Parent E-P Basis Parent LLL LLL & Parent Pallottino Basis Parent LLL LLL & Parent SLF Basis Parent LLL LLL & Parent Threshold Basis Parent LLL LLL & Parent Kortste Pad Probleem 24