TW2020 Optimalisering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "TW2020 Optimalisering"

Transcriptie

1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

2 Vraag Ik heb het deeltentamen niet gehaald. Heeft het nog zin om het tentamen te maken? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

3 Vraag Ik heb het deeltentamen niet gehaald. Heeft het nog zin om het tentamen te maken? Vraag Ik heb het deeltentamen niet gehaald. Moet ik nu harder gaan werken om het vak te halen? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

4 Vandaag Oplossen van ILP problemen: Branch & Bound Cutting Planes Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

5 Branch & Bound Stel we willen het volgende ILP probleem oplossen. z IP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z Hoe kunnen we dat aanpakken? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

6 Los eerste de LP-relaxatie op. z LP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 Dit kan met de Simplex methode. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

7 (2) x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (3) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

8 x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (2) X LP =(20/7,3) (3) x 1 z LP = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

9 x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (2) X LP =(20/7,3) (3) x 1 z LP = dus z IP Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

10 x z 2 (1) min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z (2) X LP =(20/7,3) (3) x 1 z LP = dus z IP en alle coëfficiënten geheeltallig, dus z IP 8 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

11 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

12 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

13 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). In de oplossing van de LP-relaxatie is x 1 = 20 7 = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

14 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). In de oplossing van de LP-relaxatie is x 1 = 20 7 = Maar in de ILP moet x 1 geheeltallig zijn, dus x 1 2 of x 1 3. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

15 We hebben dus de ondergrens (lower bound) z IP 8 = z. Nu is het tijd om te branchen (vertakken). In de oplossing van de LP-relaxatie is x 1 = 20 7 = Maar in de ILP moet x 1 geheeltallig zijn, dus x 1 2 of x 1 3. Dus we branchen in twee deelproblemen: x z = -8 x 1 3 z = 1 2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

16 Los de LP-relaxatie op voor elk deelprobleem: x z = -8 x 1 3 z = 1 2 z 1 LP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 z 2 LP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 3 x 1, x 2 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

17 Deelprobleem 1: x 2 x 1 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 X 1 LP= (2,1/2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

18 Deelprobleem 1: x 2 x 1 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 1, x 2 0 X 1 LP= (2,1/2) x 1 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

19 Deelprobleem 2: x 2 x 1 3 min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 3 x 1, x 2 0 x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

20 Deelprobleem 2: x 2 x 1 3 min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 3 x 1, x 2 0 x 1 Geen toegelaten oplossing Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

21 x z = -8 x 1 3 z = 1 2 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Niet toegelaten Snoeien (Prune) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

22 x z = -8 x 1 3 z = 1 2 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Niet toegelaten Snoeien (Prune) z 1 = 7 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

23 x z = -8 x 1 3 z = 1 2 [ ] 2 xlp 1 = 1/2 z 1 LP = Niet toegelaten Snoeien (Prune) z 1 = 7 z i is de ondergrens in knoop i. Deze geldt voor de deelboom onder deze knoop. z is de bovengrens. Deze is geldig voor de hele boom. Snoeien (pruning) betekent dat we de knoop niet verder hoeven op te splitsen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

24 In deelprobleem 1 is x 2 = 1 2. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

25 In deelprobleem 1 is x 2 = 1 2. Splits deelprobleem 1 verder op in twee nieuwe deelproblemen: z 1 = -7 x z = -8 x 1 2 x x z = niet toegelaten snoeien Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

26 Deelprobleem 4: x 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 2 1 x 1, x 2 0 x 4 LP= (2,1) x 2 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

27 Deelprobleem 4: x 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 2 1 x 1, x 2 0 x 4 LP= (2,1) x 2 1 x 4 LP = [ 2 1 ] z 4 LP = z4 IP = 7 Geheeltallige oplossing Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

28 Deelprobleem 4: x 2 z min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 x x 1 2 x 2 3 x 1 2 x 2 1 x 1, x 2 0 x 4 LP= (2,1) x 2 1 x 4 LP = [ 2 1 ] z 4 LP = z4 IP = 7 Geheeltallige oplossing Dus z = 7 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

29 0 x 1 2 x 1 3 z = -8 z = -7 z 1 = -7 x x 2 1 niet toegelaten snoeien 3 4 ] x 4 LP = [ 2 1 z 4 LP = z4 IP = 7 geheeltallige oplossing Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

30 Nu kunnen we knoop 3 snoeien want z 3 z 1 = 7 = z. z 1 = -7 x x 1 2 x x 2 1 z = -8 z = -7 niet toegelaten snoeien 3 4 ] z 3 7 = z x 4 LP = [ 2 1 snoeien z 4 LP = z4 IP = 7 geheeltallige oplossing snoeien Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

31 We hebben alle takken van de boom gesnoeid. De beste gevonden geheeltallige oplossing is dus optimaal. De optimale oplossing is x 1 = 2, x 2 = 1 met waarde z IP = 7. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

32 We hebben alle takken van de boom gesnoeid. De beste gevonden geheeltallige oplossing is dus optimaal. De optimale oplossing is x 1 = 2, x 2 = 1 met waarde z IP = 7. x z 2 (1) (2) (3) X IP =(2,1) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

33 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

34 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

35 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Als de optimale oplossing geheetallig is dan is de optimale waarde een bovengrens (upper bound) op de optimale waarde van het originele ILP probleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

36 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Als de optimale oplossing geheetallig is dan is de optimale waarde een bovengrens (upper bound) op de optimale waarde van het originele ILP probleem. Als we een deelprobleem niet kunnen snoeien, vertak (branch) over een niet-geheeltallige variabele. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

37 Samenvatting Branch & Bound methode (voor een min-probleem): Los steeds de LP-relaxaties van deelproblemen op. De optimale waarde van de LP-relaxatie is een ondergrens (lower bound) op de optimale waarde van het deelprobleem. Als de optimale oplossing geheetallig is dan is de optimale waarde een bovengrens (upper bound) op de optimale waarde van het originele ILP probleem. Als we een deelprobleem niet kunnen snoeien, vertak (branch) over een niet-geheeltallige variabele. Voor max-problemen gaat het op dezelfde manier maar worden bovengrenzen ondergrenzen en vice versa. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

38 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

39 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

40 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

41 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Als de waarde van de gevonden geheeltallige oplossing kleiner is dan z, pas dan de bovengrens z aan. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

42 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Als de waarde van de gevonden geheeltallige oplossing kleiner is dan z, pas dan de bovengrens z aan. 3 De gevonden ondergrens z k is groter of gelijk aan de huidige bovengrens z. Prune by bound. (Zie knoop 3). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

43 Wanneer kunnen we een knoop snoeien (in een min-probleem)? 1 De LP-relaxatie heeft geen toegelaten oplossing. Prune by infeasibility. (Zie knoop 2) 2 De gevonden optimale oplossing van de LP-relaxatie is geheeltallig. Prune by optimality. (Zie knoop 4). Als de waarde van de gevonden geheeltallige oplossing kleiner is dan z, pas dan de bovengrens z aan. 3 De gevonden ondergrens z k is groter of gelijk aan de huidige bovengrens z. Prune by bound. (Zie knoop 3). De ondergrens z k is gelijk aan de optimale waarde van de LP-relaxatie. Indien alle doelstellingscoëfficiën geheeltallig zijn, kan z k naar boven afgerond worden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

44 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

45 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

46 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

47 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

48 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. (b) Best-node-first: kies een knoop met beste waarde van de LP-relaxatie. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

49 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. (b) Best-node-first: kies een knoop met beste waarde van de LP-relaxatie. (c) Gebruik (a) totdat een geheeltallige oplossing gevonden is en daarna (b). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

50 Implementatieaspecten Op welke variabele branchen we? Typische regel: kies variabele met fractionele deel het dichtst bij 1 2. Welke niet-gesnoeide knoop gaan we verder vertakken? (a) Depth-first search: ga zo snel mogelijk naar beneden in de boom in de hoop dat er snel een goede toegelaten oplossing gevonden wordt. (b) Best-node-first: kies een knoop met beste waarde van de LP-relaxatie. (c) Gebruik (a) totdat een geheeltallige oplossing gevonden is en daarna (b). Vraag Wat is de looptijd van het Branch & Bound algoritme? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

51 CUTTING PLANES Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

52 Cutting Planes Cutting planes of geldige ongelijkheden zijn restricties die aan de ILP formulering kunnen worden toegevoegd zonder geheeltallige punten weg te snijden. Cutting planes worden vaak in combinatie met Branch & Bound gebruikt om de kwaliteit van de LP-relaxatie te verbeteren. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

53 Beschouw een ILP probleem: z IP = min c T x o.d.v. Ax b x 0 x Z n Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

54 Beschouw een ILP probleem: z IP = min c T x o.d.v. Ax b x 0 x Z n De optimale waarde van de LP-relaxatie geeft een ondergrens op de optimale waarde van het ILP probleem. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

55 Beschouw een ILP probleem: z IP = min c T x o.d.v. Ax b x 0 x Z n De optimale waarde van de LP-relaxatie geeft een ondergrens op de optimale waarde van het ILP probleem. Door cutting planes aan het ILP toe te voegen kunnen we proberen deze ondergrens te verbeteren. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

56 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

57 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Definitie Een polyeder Q is een formulering voor S als Q Z n = S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

58 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Definitie Een polyeder Q is een formulering voor S als Q Z n = S. Dus P is een formulering voor S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

59 P = {x R n Ax b, x 0} is het bijbehorende polyeder en S = P Z n de verzameling toegelaten oplossingen van het ILP. P Definitie Een polyeder Q is een formulering voor S als Q Z n = S. Dus P is een formulering voor S. Maar er bestaan oneindig veel formuleringen voor S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

60 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

61 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P a T x b Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

62 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P a T x b Ongelijkheid a T x b toevoegen aan P geeft een formulering P van S die minstens zo sterk is, d.w.z. P P. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

63 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P' a T x b Ongelijkheid a T x b toevoegen aan P geeft een formulering P van S die minstens zo sterk is, d.w.z. P P. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

64 Definitie Een ongelijkheid a T x b is geldig voor S als a T x b voor alle x S. P' a T x b Ongelijkheid a T x b toevoegen aan P geeft een formulering P van S die minstens zo sterk is, d.w.z. P P. Vraag Wat is de sterkst mogelijke formulering van S? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

65 Vraag Wat is de sterkst mogelijke formulering van S? Het convex omhulsel (convex hull) van S: de kleinste convexe verzameling die alle punten in S bevat. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

66 Vraag Wat is de sterkst mogelijke formulering van S? Het convex omhulsel (convex hull) van S: de kleinste convexe verzameling die alle punten in S bevat. We kunnen het convex omhulsel van S niet vinden in polynomiale tijd, dus proberen we het zo goed mogelijk te benaderen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

67 Gomory s Cutting Planes Beschouw weer hetzelfde ILP probleem. z IP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

68 Gomory s Cutting Planes Beschouw weer hetzelfde ILP probleem. z IP = min 4 x 1 + x 2 o.d.v. 7 x 1 2 x 2 14 (1) x 2 3 (2) 2 x 1 2 x 2 3 (3) x 1, x 2 0 x 1, x 2 Z Het optimale tableaux van de LP-relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 x 1 20/ /7 2/7 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 z 59/ /7 1/7 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

69 Definitie Laat a R. Dan is a het grootste gehele getal n Z met n a. We noemen a het geheeltallige deel van a en a a het fractionele deel van a. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

70 Definitie Laat a R. Dan is a het grootste gehele getal n Z met n a. We noemen a het geheeltallige deel van a en a a het fractionele deel van a. Merk op dat voor het fractionele deel van een getal a geldt dat 0 a a < 1. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

71 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

72 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Splits elke coëfficiënt a in het geheeltallige deel a en het fractionele deel a a. 1x 1 + ( )s 1 + ( )s 2 = Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

73 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Splits elke coëfficiënt a in het geheeltallige deel a en het fractionele deel a a. 1x 1 + ( )s 1 + ( )s 2 = Herschrijf zodanig dat de geheeltallige delen links en de fractionele delen rechts staan. x 1 2 = s s 2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

74 Neem bijvoorbeeld de eerste rij van het Simplex tableaux: x s s 2 = Splits elke coëfficiënt a in het geheeltallige deel a en het fractionele deel a a. 1x 1 + ( )s 1 + ( )s 2 = Herschrijf zodanig dat de geheeltallige delen links en de fractionele delen rechts staan. x 1 2 = s s 2 Omdat de linkerzijde geheeltallig is, moet de rechterzijde ook geheeltallig zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

75 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

76 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,... Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

77 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,..., dus: s s 2 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

78 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,..., dus: s s s s Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

79 De rechterzijde s s 2 moet geheeltallig zijn. Omdat 6 7 < 1 en s 1, s 2 0, zijn de enige mogelijke geheeltallige waardes voor de rechterzijde 0, 1, 2,..., dus: s s s s s 1 2s 2 6 Dit is een Gomory snede (Gomory cutting plane). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

80 De Gomory snede, in de originele variabelen, is: x 1 2: x x (1) (2) (3) x 1 Het gele deel van het polyeder is weggesneden. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

81 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

82 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 en voeg toe aan het huidige Simplex tableaux van de LP relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

83 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 en voeg toe aan het huidige Simplex tableaux van de LP relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 De oplossing blijft duaal toegelaten maar is niet meer primaal toegelaten. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

84 Om de nieuwe LP-relaxatie op te lossen, breng de Gomory snede, uitgedrukt in de basisvariabelen, in standaard vorm: s 1 2s 2 + s 4 = 6 en voeg toe aan het huidige Simplex tableaux van de LP relaxatie: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 De oplossing blijft duaal toegelaten maar is niet meer primaal toegelaten. Pas de duale Simplex methode toe. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

85 Herhaling: Duale Simplex Methode voor minimaliseringsproblemen: 1 Initialisatie: vind een (primale) basisoplossing, niet noodzakelijk toegelaten, met c j 0 voor alle j. 2 Als b i 0 voor alle i dan is de huidige basisoplossing toegelaten en optimaal. Stop! 3 Kies uittredende basisvariabele behorende bij rij i met b i < 0. 4 Als ā i j 0 voor alle j dan heeft het probleem geen toegelaten oplossing. Stop! 5 Kies intredende variabele x j waarvoor c j ā i j { cj = max j ā i j } ā i j < 0. 6 Pas elementaire rijoperaties toe zodanig dat kolom j een 1 krijgt in rij i en verder alleen 0 en. Ga naar (2). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

86 basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 max{ 4/7 1, 1/7 2 } = 1/7 2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

87 basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x 1 20/ /7 2/7 0 0 x s 3 23/ /7 10/7 1 0 s z 59/ /7 1/7 0 0 max{ 4/7 1, 1/7 2 } = 1/7 2 Dus s 2 komt de basis in voor s 4. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

88 Pas rijoperaties toe: basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x / /2 s s / /2 z / /2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

89 Nieuwe duale pivot: basis b x 1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x / /2 s s / /2 z / /2 Nu komt s 1 de basis in voor s 3. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

90 basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x 2 1/ /2 1 s s 2 5/ /2-1 z 15/ /2 3 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

91 De huidige oplossing, x LP = optimaal. basis b x1 x 2 s 1 s 2 s 3 s 4 x x 2 1/ /2 1 s s 2 5/ /2-1 z 15/ /2 3 [ ] 2, is duaal en primaal toegelaten, en dus 1/2 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

92 De optimale oplossing van de LP-relaxatie na toevoegen van de eerste Gomory snede. x 2 (1) (2) z (3) X LP =(2,1/2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

93 Laatste opmerkingen Voor elke rij van het Simplex tableaux, inclusief de doelfunctierij, kan een Gomory snede geformuleerd worden. Deze kunnen allemaal tegelijk aan de LP-relaxatie worden toegevoegd. Niet elke snede zal een deel van het polyeder wegsnijden. Ook in de Branch & Bound methode wordt steeds een restrictie aan de LP-relaxatie toegevoegd. Hier kan ook goed de Duale Simplex methode gebruikt worden om het nieuwe deelprobleem op te lossen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november / 40

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend

Nadere informatie

Samenvatting college 1-12

Samenvatting college 1-12 Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen

Nadere informatie

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren

Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem

Nadere informatie

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.

Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur. Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf

Nadere informatie

Tentamen: Operationele Research 1D (4016)

Tentamen: Operationele Research 1D (4016) UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde

Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)

Nadere informatie

Geheeltallige programmering

Geheeltallige programmering Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.

Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur

Nadere informatie

TW2020 Optimalisering

TW2020 Optimalisering TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe

Nadere informatie

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen

Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.

1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. 1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search

Overzicht. Inleiding. Toepassingen. Verwante problemen. Modellering. Exacte oplosmethode: B&B. Insertie heuristieken. Local Search Overzicht Inleiding Toepassingen Verwante problemen Modellering Exacte oplosmethode: B&B Insertie heuristieken Local Search Handelsreizigersprobleem 1 Cyclische permutatie van steden b 3 77 a 93 21 42

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University

Optimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 21 april Dijkstra en Branch & Bound Algoritmiek 011/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 april 011 Dijkstra en Branch & Bound 1 Algoritmiek 011/11 Kortste paden Gegeven een graaf G met gewichten op de takken, en een beginknoop s. We

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie

Nadere informatie

l e x e voor alle e E

l e x e voor alle e E Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met

Nadere informatie

Tie breaking in de simplex methode

Tie breaking in de simplex methode Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.

Voorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x

Nadere informatie

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur

Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds

Nadere informatie

Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking

Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de

Nadere informatie

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.

1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. 1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Kortste Paden. Algoritmiek

Kortste Paden. Algoritmiek Kortste Paden Toepassingen Kevin Bacon getal Six degrees of separation Heeft een netwerk de small-world eigenschap? TomTom / Google Maps 2 Kortste paden Gerichte graaf G=(N,A), en een lengte L(v,w) voor

Nadere informatie

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).

A.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken). 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound

Twaalfde college algoritmiek. 12 mei Branch & Bound Twaalfde college algoritmiek 12 mei 2016 Branch & Bound 1 Branch and bound -1- Branch & bound is alleen toepasbaar op optimalisatieproblemen genereert oplossingen stap voor stap en houdt de tot dusver

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013

Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen

Nadere informatie

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound

Elfde college algoritmiek. 16 mei Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound Algoritmiek 013/11 College 11 Elfde college algoritmiek 1 mei 013 Dijkstra, Gretige algoritmen en Branch & Bound 1 Algoritmiek 013/11 Voorbeeld -1- A B C D E F G H 9 7 5 A B C D E F G H 0 9 9 7 5 A B C

Nadere informatie

De Branch-and-Bound methode

De Branch-and-Bound methode De Branch-and-Bound methode Een eigenschap van het ILP probleem is dat er meestal maar een eindig aantal mogelijke oplossingen toegelaten zijn, of op zijn slechtst zijn de oplossingen aftelbaar (eventueel

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen. college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede kandidatuur Informatica Academiejaar 2004 2005, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. 1. Binomiale

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2007 Voorwoord College Najaar 2004 Het derdejaarscolleges Besliskunde 2 en 3 zijn een vervolg op het tweedejaarscollege Besliskunde 1.

Nadere informatie

Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme

Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Moniek Messink 2 oktober 2014 Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Masterscriptie Wiskunde 2 oktober 2014

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

ffl een willekeurige LP in standaard vorm kan omzetten ffl het bij een basis toebehorend tableau en de basisoplossing kan berekenen ffl de simplex alg

ffl een willekeurige LP in standaard vorm kan omzetten ffl het bij een basis toebehorend tableau en de basisoplossing kan berekenen ffl de simplex alg Grafentheorie en Operationele Research 158070 Handout Operationele Research gedeelte 1 Inleiding 1.1 Inhoud Het Operationele Research gedeelte van het vak 'Grafentheorie en Operationele Research' houdt

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 en 13 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

2WO12: Optimalisering in Netwerken

2WO12: Optimalisering in Netwerken 2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 10 maart 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com

Nadere informatie

Modellen en Simulatie Speltheorie

Modellen en Simulatie Speltheorie Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde

Nadere informatie

Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden.

Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden. Examen DH45 Lineaire Optimalizatie (D. Goossens) Vrijdag 29 januari 2010, 9 12u Richtlijnen: Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden. Lees aandachtig de

Nadere informatie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie

Vierde college complexiteit. 16 februari Beslissingsbomen en selectie Complexiteit 2016/04 College 4 Vierde college complexiteit 16 februari 2016 Beslissingsbomen en selectie 1 Complexiteit 2016/04 Zoeken: samengevat Ongeordend lineair zoeken: Θ(n) sleutelvergelijkingen

Nadere informatie

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0

max 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0 Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Examen Datastructuren en Algoritmen II

Examen Datastructuren en Algoritmen II Tweede bachelor Informatica Academiejaar 2008 2009, eerste zittijd Examen Datastructuren en Algoritmen II Naam :.............................................................................. Lees elke

Nadere informatie

Computationele Intelligentie

Computationele Intelligentie Computationele Intelligentie Uitwerking werkcollege Representatie, Ongeïnformeerd zoeken, Heuristisch zoeken 1 lokkenwereld a. De zoekboom die door het dynamische breadth-first search algoritme wordt gegenereerd

Nadere informatie

1 Complexiteit. of benadering en snel

1 Complexiteit. of benadering en snel 1 Complexiteit Het college van vandaag gaat over complexiteit van algoritmes. In het boek hoort hier hoofdstuk 8.1-8.5 bij. Bij complexiteitstheorie is de belangrijkste kernvraag: Hoe goed is een algoritme?

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010

Lineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010 Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat

Nadere informatie

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)

Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord

Nadere informatie

LP-problemen modelleren. Inleiding

LP-problemen modelleren. Inleiding LP-problemen modelleren Inleiding 1 Assumpties 2 LP-problemen oplossen Grafische oplossing 3 4 Onthoud: Iso-winstcurve = niveaucurve Alle iso-winstcurves ( niveaucurves ) lopen evenwijdig Hoe tekenen we

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag

Ruimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak

Nadere informatie

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1

Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1 Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve

Het minimale aantal sleutels op niveau h is derhalve 1 (a) In een B-boom van orde m bevat de wortel minimaal 1 sleutel en maximaal m 1 sleutels De andere knopen bevatten minimaal m 1 sleutels en maximaal m 1 sleutels (b) In een B-boom van orde 5 bevat elke

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for linear programming)

Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for linear programming) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for

Nadere informatie

Transport, Routing- en Schedulingproblemen. ir. H.N. Post

Transport, Routing- en Schedulingproblemen. ir. H.N. Post Transport, Routing- en Schedulingproblemen ir. H.N. Post 1 mei 2006 Inhoudsopgave 1 Kortste pad probleem 7 1.1 Definities...................................... 7 1.2 Basisalgoritme...................................

Nadere informatie

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden.

Duration: 2 hrs; Total points: 100 No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. : Computationele Intelligentie (INFOBCI) Midterm Exam Duration: hrs; Total points: No documents allowed. Use of electronic devices, such as calculators, smartphones, smartwatches is forbidden. Question

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent

Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data. Marnix Van Daele. Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Hoofdstuk 3 : Numerieke beschrijving van data Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Numerieke beschrijving van data p 1/31 Beschrijvende

Nadere informatie