Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016

Transcriptie

1 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

2 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend duaal probleem. Primaal (oorspronkelijk) probleem min max n variabelen m restricties Duaal probleem max min n restricties m variabelen Dualiteit wordt gebruikt om ondergrenzen op de optimale doelfunctiewaarde te berekenen (voor minimaliseringsproblemen) en optimaliteit te verifiëren. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

3 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

4 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Voorbeeld chips muesli bitterballen benodigd (ADH) kosten koolhydraten eiwitten vetten Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

5 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

6 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Kunnen we een ondergrens vinden op hoeveel we minimaal kwijt zijn aan ons dieet? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

7 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

8 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 5 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

9 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 5 Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens 5. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

10 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 5 Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens 5. Kun je een betere ondergrens vinden? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

11 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

12 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) 3 x x x Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

13 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) 3 x x x Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

14 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) 3 x x x Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens Kunnen we nog betere ondergrenzen vinden? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

15 Voorbeeld Voor elke π 1, π 2, π 3 0 geldt: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

16 Voorbeeld Voor elke π 1, π 2, π 3 0 geldt: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 Dus 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 is een ondergrens op de optimale waarde wanneer π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

17 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Dus 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 is een ondergrens op de optimale waarde voor alle π 1, π 2, π 3 0 met π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 De beste ondergrens vinden we door 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 te maximaliseren. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

18 Voorbeeld Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem (vinden van de beste ondergrens): max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 (D1) π 1 + π 2 3 (D2) 4 π 2 +8 π 3 4 (D3) π 1, π 2, π 3 0 Wat is de interpretatie van de duale voor het dieet probleem? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

19 Duale van het dieet probleem Een pilmaker produceert pillen voor elke voedingsstof. Voor elk soort voedsel moet het goedkoper zijn om de voedingsstoffen d.m.v. pillen binnen te krijgen dan d.m.v. het voedsel. De prijs om van elke voedingsstof genoeg binnen te krijgen wil de pilmaker zo hoog mogelijk maken. Wat zijn de optimale prijzen (π 1, π 2, π 3 ) voor de pillen? Voorbeeld max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 (D1) π 1 + π 2 3 (D2) 4 π 2 +8 π 3 4 (D3) π 1, π 2, π 3 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

20 Voorbeeld Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 x 2 +4 x x 1 +8 x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem: max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 π 1 + π π 2 +8 π 3 4 π 1, π 2, π 3 0 Oplossing (π 1, π 2, π 3 ) = (1 1 2, 1, 0) voor het duale probleem geeft een ondergrens van 6.5 op de optimale waarde van het primale probleem. Is er een nog betere ondergrens? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

21 Voorbeeld Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 x 2 +4 x x 1 +8 x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem: max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 π 1 + π π 2 +8 π 3 4 π 1, π 2, π 3 0 Oplossing (π 1, π 2, π 3 ) = (1 1 2, 1, 0) voor het duale probleem geeft een ondergrens van 6.5 op de optimale waarde van het primale probleem. Is er een nog betere ondergrens? Nee! Want (x 1, x 2, x 3 ) = (1 1 2, 0, 1 2 ) is een oplossing van het primale probleem met waarde 6.5. Dus zijn beide oplossingen optimaal! Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

22 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

23 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

24 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.2) De duale van het duale probleem is het primale probleem. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

25 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.2) De duale van het duale probleem is het primale probleem. Dus om de duale van een max probleem te vinden ga je van rechts naar links. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

26 Zwakke dualiteitsstelling Het primale probleem (P): min z = c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max w = b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.1a: zwakke dualiteitsstelling) Als x een toegelaten oplossing is van (P) en π een toegelaten oplossing van (D), dan is z(x) w(π). Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

27 Sterke dualiteitsstelling Het primale probleem (P): min z = c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max w = b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.1b: sterke dualiteitsstelling) Als (P) en (D) beide toegelaten zijn en (P) een optimale oplossing x heeft, dan heeft (D) een optimale oplossing π en geldt z(x ) = w(π ). Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

28 Mogelijke primale-duale combinaties Primale Duale Begrensd Onbegrensd Niet optimum toegelaten Begrensd optimum (1) x x Onbegrensd x x (2) Niet toegelaten x (2) (3) Combinaties met een x zijn niet mogelijk! Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

29 Duale oplossing vinden in het Simplextableaux Laat x B de basisvariabelen in een optimale oplossing zijn en x N de niet-basisvariabelen. Neem voor gemak aan A = [B N] [ ] cb en c = c N Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

30 Duale oplossing vinden in het Simplextableaux Laat x B de basisvariabelen in een optimale oplossing zijn en x N de niet-basisvariabelen. Neem voor gemak aan A = [B N] [ ] cb en c = LP probleem: c N In standaard vorm: min z = c T x o.d.v. Ax b x 0 min z = c T x o.d.v. Ax+Is =b x, s 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

31 Duale oplossing vinden in het Simplextableaux Laat x B de basisvariabelen in een optimale oplossing zijn en x N de niet-basisvariabelen. Neem voor gemak aan A = [B N] [ ] cb en c = LP probleem: c N min z = c T x o.d.v. Ax b x 0 Starttableaux: In standaard vorm: min z = c T x o.d.v. Ax+Is =b x, s 0 basis b xb x N s s b B N I z 0 c T B c T N 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

32 Starttableaux: basis b x B x N s s b B N I B 1 z 0 cb T cn T 0 cb T B 1 (rij 1) Eindtableaux: basis b x B x N s x B B 1 b I B 1 N B 1 z cb T B 1 b 0 cn T ct B B 1 N cb T B 1 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18

33 Eindtableaux: basis b x B x N s x B B 1 b I B 1 N B 1 z c T B B 1 b 0 c T N ct B B 1 N c T B B 1 Hieruit kunnen we aflezen: Een optimale oplossing: x = x B = B 1 b. 0 x N De optimale waarde: z = c T B x B = c T B B 1 b. c T N = ct N ct B B 1 N 0 (want optimaal min-probleem). Een optimale oplossing van het duale probleem: π = c T B B 1 (af te lezen in de kolommen van de slackvariabelen). Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18