Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
|
|
- Ida Wouters
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
2 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend duaal probleem. Primaal (oorspronkelijk) probleem min max n variabelen m restricties Duaal probleem max min n restricties m variabelen Dualiteit wordt gebruikt om ondergrenzen op de optimale doelfunctiewaarde te berekenen (voor minimaliseringsproblemen) en optimaliteit te verifiëren. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
3 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
4 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Voorbeeld chips muesli bitterballen benodigd (ADH) kosten koolhydraten eiwitten vetten Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
5 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
6 Dieet probleem Een aantal soorten voedsel bevatten elk een bepaalde hoeveelheid van verschillende voedingsstoffen. We willen van elke voedingsstof genoeg binnenkrijgen. Voor zo min mogelijk geld. Hoeveel kun je het beste eten van elke soort voedsel? Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Kunnen we een ondergrens vinden op hoeveel we minimaal kwijt zijn aan ons dieet? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
7 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
8 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 5 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
9 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 5 Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens 5. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
10 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x x 1 +2 x 2 +4 x 3 5 (1) + (2) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 5 Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens 5. Kun je een betere ondergrens vinden? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
11 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
12 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) 3 x x x Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
13 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) 3 x x x Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
14 Voorbeeld min 3 x x x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x x 3 2 (2) 4 x x 3 9 (3) x 1, x 2, x x x x (1) + (2) 3 x x x Dus de kosten van een optimaal dieet zijn minstens Kunnen we nog betere ondergrenzen vinden? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
15 Voorbeeld Voor elke π 1, π 2, π 3 0 geldt: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
16 Voorbeeld Voor elke π 1, π 2, π 3 0 geldt: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 Dus 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 is een ondergrens op de optimale waarde wanneer π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
17 Voorbeeld min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Dus 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 is een ondergrens op de optimale waarde voor alle π 1, π 2, π 3 0 met π 1 (2 x 1 + x 2 ) π 1 (1) + π 2 ( x 2 +4 x 3 ) π 2 (2) + π 3 (4 x 1 +8 x 3 ) π 3 (3) 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 De beste ondergrens vinden we door 3π 1 + 2π 2 + 9π 3 te maximaliseren. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
18 Voorbeeld Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 (1) x 2 +4 x 3 2 (2) 4 x 1 +8 x 3 9 (3) x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem (vinden van de beste ondergrens): max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 (D1) π 1 + π 2 3 (D2) 4 π 2 +8 π 3 4 (D3) π 1, π 2, π 3 0 Wat is de interpretatie van de duale voor het dieet probleem? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
19 Duale van het dieet probleem Een pilmaker produceert pillen voor elke voedingsstof. Voor elk soort voedsel moet het goedkoper zijn om de voedingsstoffen d.m.v. pillen binnen te krijgen dan d.m.v. het voedsel. De prijs om van elke voedingsstof genoeg binnen te krijgen wil de pilmaker zo hoog mogelijk maken. Wat zijn de optimale prijzen (π 1, π 2, π 3 ) voor de pillen? Voorbeeld max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 (D1) π 1 + π 2 3 (D2) 4 π 2 +8 π 3 4 (D3) π 1, π 2, π 3 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
20 Voorbeeld Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 x 2 +4 x x 1 +8 x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem: max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 π 1 + π π 2 +8 π 3 4 π 1, π 2, π 3 0 Oplossing (π 1, π 2, π 3 ) = (1 1 2, 1, 0) voor het duale probleem geeft een ondergrens van 6.5 op de optimale waarde van het primale probleem. Is er een nog betere ondergrens? Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
21 Voorbeeld Het primale probleem: min 3 x 1 +3 x 2 +4 x 3 o.d.v. 2 x 1 + x 2 3 x 2 +4 x x 1 +8 x 3 9 x 1, x 2, x 3 0 Het duale probleem: max 3 π π 2 +9 π 3 o.d.v. 2 π 1 +4 π 3 3 π 1 + π π 2 +8 π 3 4 π 1, π 2, π 3 0 Oplossing (π 1, π 2, π 3 ) = (1 1 2, 1, 0) voor het duale probleem geeft een ondergrens van 6.5 op de optimale waarde van het primale probleem. Is er een nog betere ondergrens? Nee! Want (x 1, x 2, x 3 ) = (1 1 2, 0, 1 2 ) is een oplossing van het primale probleem met waarde 6.5. Dus zijn beide oplossingen optimaal! Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
22 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
23 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
24 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.2) De duale van het duale probleem is het primale probleem. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
25 Dualiteit voor algemene LP problemen Het primale probleem (P): min c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.2) De duale van het duale probleem is het primale probleem. Dus om de duale van een max probleem te vinden ga je van rechts naar links. Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
26 Zwakke dualiteitsstelling Het primale probleem (P): min z = c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max w = b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.1a: zwakke dualiteitsstelling) Als x een toegelaten oplossing is van (P) en π een toegelaten oplossing van (D), dan is z(x) w(π). Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
27 Sterke dualiteitsstelling Het primale probleem (P): min z = c T x o.d.v. a i x = b i i M a i x b i i M x j 0 j N x j R j N Het duale probleem (D): max w = b T π o.d.v. π i R i M π i 0 i M π T A j c j j N π T A j = c j j N Stelling (3.1b: sterke dualiteitsstelling) Als (P) en (D) beide toegelaten zijn en (P) een optimale oplossing x heeft, dan heeft (D) een optimale oplossing π en geldt z(x ) = w(π ). Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
28 Mogelijke primale-duale combinaties Primale Duale Begrensd Onbegrensd Niet optimum toegelaten Begrensd optimum (1) x x Onbegrensd x x (2) Niet toegelaten x (2) (3) Combinaties met een x zijn niet mogelijk! Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
29 Duale oplossing vinden in het Simplextableaux Laat x B de basisvariabelen in een optimale oplossing zijn en x N de niet-basisvariabelen. Neem voor gemak aan A = [B N] [ ] cb en c = c N Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
30 Duale oplossing vinden in het Simplextableaux Laat x B de basisvariabelen in een optimale oplossing zijn en x N de niet-basisvariabelen. Neem voor gemak aan A = [B N] [ ] cb en c = LP probleem: c N In standaard vorm: min z = c T x o.d.v. Ax b x 0 min z = c T x o.d.v. Ax+Is =b x, s 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
31 Duale oplossing vinden in het Simplextableaux Laat x B de basisvariabelen in een optimale oplossing zijn en x N de niet-basisvariabelen. Neem voor gemak aan A = [B N] [ ] cb en c = LP probleem: c N min z = c T x o.d.v. Ax b x 0 Starttableaux: In standaard vorm: min z = c T x o.d.v. Ax+Is =b x, s 0 basis b xb x N s s b B N I z 0 c T B c T N 0 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
32 Starttableaux: basis b x B x N s s b B N I B 1 z 0 cb T cn T 0 cb T B 1 (rij 1) Eindtableaux: basis b x B x N s x B B 1 b I B 1 N B 1 z cb T B 1 b 0 cn T ct B B 1 N cb T B 1 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
33 Eindtableaux: basis b x B x N s x B B 1 b I B 1 N B 1 z c T B B 1 b 0 c T N ct B B 1 N c T B B 1 Hieruit kunnen we aflezen: Een optimale oplossing: x = x B = B 1 b. 0 x N De optimale waarde: z = c T B x B = c T B B 1 b. c T N = ct N ct B B 1 N 0 (want optimaal min-probleem). Een optimale oplossing van het duale probleem: π = c T B B 1 (af te lezen in de kolommen van de slackvariabelen). Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september / 18
Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Nadere informatieOptimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
Nadere informatieSamenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica. Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, uur.
Universiteit Utrecht Departement Informatica Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, 17.00-20.00 uur. ˆ Mobieltjes UIT en diep weggestopt in je tas. Wanneer je naar de WC wil, dan moet je je
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Nadere informatieUitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
Nadere informatieBranch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
Nadere informatieOverzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1
Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Nadere informatie1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatie1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieTie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Nadere informatieTaak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
Nadere informatieLineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Nadere informatieHoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Nadere informatieFaculteit der Economie en Bedrijfskunde
Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)
Nadere informatieEen selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for linear programming)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Een selectie algoritmen voor lineair programmeren (A selection of algorithms for
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 6 27 februari 2014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we de rest van hoofdstuk 1.8 en 1.9 Voor de pauze: hoofdstuk 1.8 Na de pauze: hoofdstuk 1.9 2 Transformatie
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
Nadere informatieBorrelhapjes met energie
Borrelhapjes met energie Keuzeopdracht voor biologie bovenbouw vwo Een practicum over voedingstoffen, voedingsmiddelen en energie Voorkennis: kennis over voeding uit de onderbouw biologie/verzorging. Termen
Nadere informatieBESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en
Nadere informatieLineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010
Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Nadere informatieTentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieVoorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.
Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Nadere informatieTie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Nadere informatieOptimalisering WI 2608
Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI
Nadere informatieEr zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden.
Examen DH45 Lineaire Optimalizatie (D. Goossens) Vrijdag 29 januari 2010, 9 12u Richtlijnen: Er zijn 4 opgaven, daarna volgen blanco bladzijden die u kan gebruiken om te antwoorden. Lees aandachtig de
Nadere informatieTentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
Nadere informatieModellen en Simulatie Lineare Programmering
Utrecht, 13 juni 2013 Modellen en Simulatie Lineare Programmering Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Optimaliseren Lineaire programmering Voorbeelden Polytopen
Nadere informatieBijlage A Simplex-methode
Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste
Nadere informatieModellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Nadere informatieOptimaliseren in Netwerken
Optimaliseren in Netwerken Kees Roos e-mail: C.Roos@tudelft.nl URL: http://www.isa.ewi.tudelft.nl/ roos Kaleidoscoop college Zaal D, Mekelweg 4, TU Delft 11 October, A.D. 2006 Optimization Group 1 Onderwerpen
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatieK.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
K.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieOptimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
Nadere informatie2DD50: Tentamen. Tentamen: 26 januari 2016 Hertentamen: 5 april 2016
2DD50: Tentamen Tentamen: 26 januari 2016 Hertentamen: 5 april 2016 Bij het tentamen mag een eenvoudige (niet grafische; niet programmeerbare) rekenmachine meegenomen worden, en 2 tweezijdige A4-tjes met
Nadere informatieGezonde voeding vmbo-b12. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie. http://maken.wikiwijs.nl/62382
Auteur VO-content Laatst gewijzigd Licentie Webadres 07 June 2016 CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/62382 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein. Wikiwijsleermiddelenplein
Nadere informatieExamenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)
Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord
Nadere informatieLineair programmeren met de TI-84 CE-T
Lineair programmeren met de TI-84 CE-T Harmen Westerveld Oktober 2018 INHOUDSOPGAVE Lineair programmeren met TI-84 PLUS CE-T... 2 Introductie... 3 Voorbeeld 1: maximaliseringsprobleem... 4 De app Inequalz...
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het
Nadere informatieffl een willekeurige LP in standaard vorm kan omzetten ffl het bij een basis toebehorend tableau en de basisoplossing kan berekenen ffl de simplex alg
Grafentheorie en Operationele Research 158070 Handout Operationele Research gedeelte 1 Inleiding 1.1 Inhoud Het Operationele Research gedeelte van het vak 'Grafentheorie en Operationele Research' houdt
Nadere informatieGezonde voeding vmbo-kgt12. CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie.
Auteur VO-content Laatst gewijzigd 15 July 2016 Licentie CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/62447 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken van Kennisnet.
Nadere informatiemax 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0
Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.
Nadere informatieHertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, uur
Hertentamen Optimalisering (Delft) en Besliskunde 1 (Leiden) 15 april 2014, 14.00-17.00 uur Het tentamen bestaat uit 6 opgaven. Motiveer je antwoorden duidelijk. De normering van de opgaves staat steeds
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 611010 Datum:
Nadere informatievrouwen 2500 calorieën voor mannen dagmenu met duizend calorieën afvallen Gezond dagmenu van 1000 calorieën: Gezond eten Het 1000
půjčky 1000 kcal dieet recepten. pub-3922070195920298 Laag calorieën recepten 1800 ca vrouwen 2500 calorieën voor mannen dagmenu met duizend calorieën duizend calorieën dieet Een streng laag calorieën
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieDienstverlenende werkzaamheden Les 3
Dienstverlenende werkzaamheden Les 3 Wat moet je nu wel eten en wat niet? Waarom wel en waarom niet? Hoe kun je er achter komen wat gezonde keuzes zijn? Eten is voor ons het zelfde als brandstof voor
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieOptimalisering/Besliskunde 1. College 1 6 september, 2012
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 6 september, 2012 Algemene informatie College: donderdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft vragenuur Delft Vier verplichte huiswerkopgaven
Nadere informatieINHOUDSTAFEL. Hoofdstuk 1: Belang van gezonde voeding 9. Hoofdstuk 2: Voedingsmiddel & voedingsstof 15. Hoofdstuk 3: Voedingswaarde & energiewaarde 21
INHOUDSTAFEL Hoofdstuk 1: Belang van gezonde voeding 9 1.1 Zonder voedsel, geen groei 11 1.2 Zonder voedsel, geen herstel 11 1.3 Zonder voedsel, geen warmte 12 1.4 Zonder voedsel, geen weerstand tegen
Nadere informatieARE HEALTH CLAIMS UNDERSTOOD?
ARE HEALTH CLAIMS UNDERSTOOD? door Sheila Francl Zoetermeer 2009 Afstudeeropdracht Faculteit Natuurwetenschappen, Open Universiteit Nederland SAMENVATTING (SUMMARY IN DUTCH) Gezondheidsbewuste consumenten
Nadere informatieTentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 17 augustus 2004, uur vakcode
Kenmerk: EWI04/T-DWMP//dh Tentamen Deterministische Modellen in de OR Dinsdag 7 augustus 004, 9.00.00 uur vakcode 58075 Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief
Nadere informatie(n=5898) (n=6218) (n=5958) standaard standaard standaard Voedingsstof gemiddelde afwijking gemiddelde afwijking gemiddelde afwijking.
Tabel 24 Dagelijkse inname van energie en voedingsstoffen door diverse bevolkingsgroepen naar tussendoortjes in drie voedselconsumptiepeilingen (berekeningen inclusief nul-gebruikers) Gemiddelde inname
Nadere informatieOperationeel Onderzoek Opgave 5: oplossing
Oefening 1- Operationeel Onderzoek Opgave 5: oplossing a. Een correcte voorstelling van het maximum-flow netwerk is hieronder weergegeven. De redenering is als volgt. We beschikken over 32 maanden arbeid
Nadere informatieEEN EI HOORT ERBIJ. Literatuuronderzoek NLT
EEN EI HOORT ERBIJ Literatuuronderzoek NLT Voedingsdeskundigen Roshano Dewnarain, Lisa Hamminga, Ruben Bouwsma, Sarah Falcone V4b Natuur Leven en Techniek Begeleider: M.Wijnhold 1 Inhoudsopgave Inleiding...
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 14. Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 14 Geheeltallige LPs en Planning bij Grolsch Han Hoogeveen, Utrecht University Branch-and-bound voor algemene ILPs (1) Neem even aan dat je een minimaliseringsprobleem
Nadere informatieInformatie en structuur
Informatie en structuur Werkcollege opdracht week 3: Eatbuddy, een dieetdagboek voor de iphone Marit Beerepoot 10983430 Dit zijn de eerste vier schermen die de gebruiker ziet zodra hij de app opent. Door
Nadere informatieOptimalisering WI 2608
Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 4.150 e-mail: j.b.m.melissen@tudelft.nl tel: 015-2782547 Het project is een verplicht onderdeel van het vak Het project start in week 5. Nadere informatie
Nadere informatieExamentrainer. Vragen. Vertering. Wat is de naam van P?
Examentrainer Vragen Vertering 1p 1 In de afbeelding worden organen van het verteringsstelsel weergegeven. Enkele van deze organen produceren verteringssappen met enzymen. Een orgaan is aangegeven met
Nadere informatieSchijf van Vijf-spel. Opdracht 4C. Opdracht
Opdracht 4C Schijf van Vijf-spel Opdracht Doel: Introductie: 15 min. Opdracht 1: Opdracht 2: Kinderen worden bewust gemaakt van wat gezonde basisvoeding is. Dit zijn producten uit de Schijf van Vijf. Als
Nadere informatieRUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM UITWERKING Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald.
RUDOLF STEINERCOLLEGE HAARLEM WISKUNDE HAVO CM/EM UITWERKING Voor elk onderdeel is aangegeven hoeveel punten kunnen worden behaald. Antwoorden moeten altijd zijn voorzien van een berekening, toelichting
Nadere informatieVoedingsstoffen. Green Science CITAVERDE. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. https://maken.wikiwijs.nl/81652
Auteur Green Science CITAVERDE Laatst gewijzigd Licentie Webadres 19 september 2016 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie https://maken.wikiwijs.nl/81652 Dit lesmateriaal is gemaakt met
Nadere informatieOnderzoek: (on)gezond eten
Onderzoek: (on)gezond eten Mei 2018 Over dit onderzoek 3Vraagt is onderdeel van het EenVandaag Opiniepanel en stuurt circa eens per maand een vragenlijst aan leden tussen de 16 en 34 jaar. De uitslagen
Nadere informatieThema 3 Voeding en je lichaam
Naut samenvatting groep 7 Mijn Malmberg Thema 3 Voeding en je lichaam Samenvatting Voeding en je lichaam Je lichaam heeft voedingsstoffen nodig. Die zitten in ons eten en drinken. Voedsel en vocht zijn
Nadere informatiePraktische opdracht ANW Obesitas
Praktische opdracht ANW Obesitas Praktische-opdracht door een scholier 1250 woorden 4 juni 2007 5,9 20 keer beoordeeld Vak ANW Wat is obesitas? Zwaarlijvigheid is één van de grootste gezondheidsproblemen
Nadere informatieVrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie
Vrije Universiteit Faculteit der Economische Wetenschappen en Bedrijfskunde Afdeling Econometrie Tentamen: Convexe Analyse en Optimalisering Opleiding: Bacheloropleiding Econometrie Vakcode: 64200 Datum:
Nadere informatieDe parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.
BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor
Nadere informatie