TW2020 Optimalisering
|
|
- Ida de Kooker
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
2 LP: Lineair Programmeren min x 1 2 x 2 x 3 o.d.v. x 1 +2x 2 apple 2 x 1 + x 2 + x 3 apple 2 x 1, x 2, x 3 0 Het toegelaten gebied van een LP probleem wordt beschreven door een polyeder: x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
3 Vorige week Een LP in standaard vorm: met A een m n matrix. min c T x o.d.v. Ax = b x 0 Een basis is een verzameling van m lineair onafhankelijke kolommen van A. Debijbehorendevariabelenzijndebasisvariabelen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
4 Vorige week Een LP in standaard vorm: met A een m n matrix. min c T x o.d.v. Ax = b x 0 Een basis is een verzameling van m lineair onafhankelijke kolommen van A. Debijbehorendevariabelenzijndebasisvariabelen. In de bijbehorende basisoplossing zijn alle niet-basisvariabelen 0 en worden de basisvariabelen dan bepaald door het stelsel Ax = b. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
5 Vorige week Een LP in standaard vorm: met A een m n matrix. min c T x o.d.v. Ax = b x 0 Een basis is een verzameling van m lineair onafhankelijke kolommen van A. Debijbehorendevariabelenzijndebasisvariabelen. In de bijbehorende basisoplossing zijn alle niet-basisvariabelen 0 en worden de basisvariabelen dan bepaald door het stelsel Ax = b. Een toegelaten basisoplossing of basic feasible solution (bfs) is een basisoplossing waarin de basisvariabelen niet-negatief zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
6 Vorige week x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Elk LP met een optimale oplossing heeft een optimale oplossing die zich in een hoepkunt van het polyeder bevindt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
7 Vorige week x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Elk LP met een optimale oplossing heeft een optimale oplossing die zich in een hoepkunt van het polyeder bevindt. De hoekpunten van het polyeder komen overeen met de toegelaten basisoplossingen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
8 Vorige week x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Elk LP met een optimale oplossing heeft een optimale oplossing die zich in een hoepkunt van het polyeder bevindt. De hoekpunten van het polyeder komen overeen met de toegelaten basisoplossingen. De simplex methode gaat van bfs naar bfs zodanig dat de doelfunctiewaarde niet slechter wordt. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
9 Deze week Oplossen van LP problemen met de simplex methode. 1. Hoe maken we een transitie van een gegeven bfs naar een volgende bfs? (Een pivot.) 2. Hoe kiezen we een goede zoekrichting? (De pivotkolom.) 3. Hoe weten we of een bfs optimaal is? 4. Hoe vinden we een start bfs? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
10 1. Hoe maken we een transitie van een gegeven bfs naar een volgende bfs? (Een pivot.) Voorbeeld (1) max z =2x 1 + x 2 o.d.v. 4 x 1 3 x 2 apple 6 (1) 3 x 1 +4x 2 apple 12 (2) x 1, x 2 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
11 1. Hoe maken we een transitie van een gegeven bfs naar een volgende bfs? (Een pivot.) Voorbeeld (1) In standaardvorm: max z =2x 1 + x 2 o.d.v. 4 x 1 3 x 2 + s 1 =6 3 x 1 +4x 2 + s 2 = 12 x 1, x 2, s 1, s 2 0 Wat is een voordehandliggende start bfs? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
12 1. Hoe maken we een transitie van een gegeven bfs naar een volgende bfs? (Een pivot.) Voorbeeld (1) In standaardvorm: max z =2x 1 + x 2 o.d.v. 4 x 1 3 x 2 + s 1 =6 3 x 1 +4x 2 + s 2 = 12 x 1, x 2, s 1, s 2 0 Stel we brengen x 1 in de basis. Hoeveel kan de waarde van x 1 verhoogd worden zodat de oplossing toegelaten blijft? De andere niet-basisvariabelen blijven 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
13 Voorbeeld (1) max z =2x 1 + x 2 o.d.v. 4 x 1 3 x 2 apple 6 (1) 3 x 1 +4x 2 apple 12 (2) x 1, x 2 0 x 2 (1) F C (0,0) (2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
14 Voorbeeld (1) max z =2x 1 + x 2 o.d.v. 4 x 1 3 x 2 apple 6 (1) 3 x 1 +4x 2 apple 12 (2) x 1, x 2 0 x 2 (1) F C (0,0) (3/2,0) (2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
15 Neem aan A =[B N]metB de kolommen van de basisvariabelen en N de kolommen van de niet-basisvariabelen. Dan is Bx B + Nx N = b Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
16 Neem aan A =[B N]metB de kolommen van de basisvariabelen en N de kolommen van de niet-basisvariabelen. Dan is Bx B + Nx N = b maar de niet-basisvariabelen in x N zijn allemaal 0, dus Bx B = b ) x B = B 1 b Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
17 Neem aan A =[B N]metB de kolommen van de basisvariabelen en N de kolommen van de niet-basisvariabelen. Dan is Bx B + Nx N = b maar de niet-basisvariabelen in x N zijn allemaal 0, dus Bx B = b ) x B = B 1 b Als B = I en b 0danis apple xb x N = apple b 0 een bfs. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
18 Neem aan A =[B N]metB de kolommen van de basisvariabelen en N de kolommen van de niet-basisvariabelen. Dan is Bx B + Nx N = b maar de niet-basisvariabelen in x N zijn allemaal 0, dus Bx B = b ) x B = B 1 b Als B = I en b 0danis apple xb x N = apple b 0 een bfs. De simplex methode zorgt er voor dat in elke iteratie B = I en b 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
19 Als variabele x j de basis in wordt gebracht, dan is kolom j de pivotkolom. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
20 Als variabele x j de basis in wordt gebracht, dan is kolom j de pivotkolom. Variabele x j kan verhoogd worden totdat een basisvariabele nul wordt. Één zo n basisvariabele x` verlaat de basis. Rij ` is dan de pivotrij. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
21 Als variabele x j de basis in wordt gebracht, dan is kolom j de pivotkolom. Variabele x j kan verhoogd worden totdat een basisvariabele nul wordt. Één zo n basisvariabele x` verlaat de basis. Rij ` is dan de pivotrij. pivotkolom # x ā 1j x j +... = b 1 x ā 2j x j +... = b x` ā`j x j +... = b` pivotrij x m +...+ā mj x j +... = b m basisvariabelen niet-basisvariabelen ā`j is het pivotelement Hier zijn ā ij en b i de huidige waarden (na eventuele eerdere pivots). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
22 Minimum ratio test: als kolom j de pivotkolom is, dan is de pivotrij de rij ` waarvoor b` b i =min ā ij > 0. ā`j i ā ij Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
23 Minimum ratio test: als kolom j de pivotkolom is, dan is de pivotrij de rij ` waarvoor b` b i =min ā ij > 0. ā`j i ā ij Pivot: pas elementaire rijoperaties toe zodanig dat de kolommen van de basisvariabelen weer een identiteitsmatrix vormen: 1 deel de pivotrij door het pivotelement (rij `) :=(rij`)/ā`j 2 maak daarna de andere elementen in de pivotkolom gelijk aan nul: (rij i) :=(riji) ā ij (rij `) 8i 6= ` Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
24 2. Hoe kiezen we de pivotkolom? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
25 2. Hoe kiezen we de pivotkolom? Druk de doelfunctie uit in niet-basisvariabelen: z = nx c j x j j=1 z = X A j /2B c j x j met behulp van elementaire rijoperaties. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
26 2. Hoe kiezen we de pivotkolom? Druk de doelfunctie uit in niet-basisvariabelen: z = nx c j x j j=1 z = X A j /2B c j x j met behulp van elementaire rijoperaties. De c j heten de gereduceerde doelstellingscoë of de relatieve kosten. Vraag ciënten Wat is het e ect op de waarde van z als we de waarde van een niet-basisvariabele x j verhogen, als de relatieve kosten c j negatief zijn? Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
27 2. Hoe kiezen we de pivotkolom? Voor een minimaliseringsprobleem: Kies een kolom j met c j < 0. Makkelijkste selectiecriterium: kies j waarvoor c j < 0minimaal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
28 2. Hoe kiezen we de pivotkolom? Voor een minimaliseringsprobleem: Kies een kolom j met c j < 0. Makkelijkste selectiecriterium: kies j waarvoor c j < 0minimaal. Voor een maximaliseringsprobleem: Kies een kolom j met c j > 0. Makkelijkste selectiecriterium: kies j waarvoor c j > 0maximaal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
29 Voorbeeld (1) max z =2x 1 + x 2 o.d.v. 4 x 1 3 x 2 apple 6 (1) 3 x 1 +4x 2 apple 12 (2) x 1, x 2 0 x 2 (1) F C (0,0) (3/2,0) (2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
30 Voorbeeld (1) max z =2x 1 + x 2 o.d.v. 4 x 1 3 x 2 apple 6 (1) 3 x 1 +4x 2 apple 12 (2) x 1, x 2 0 x 2 (1) F C (12/5,6/5) (0,0) (3/2,0) (2) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
31 3. Hoe weten we of een bfs optimaal is? Stelling (2.8) Als x een bfs is van een minimaliseringsprobleem met c j 0 voor alle j, dan is x optimaal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
32 3. Hoe weten we of een bfs optimaal is? Stelling (2.8) Als x een bfs is van een minimaliseringsprobleem met c j 0 voor alle j, dan is x optimaal. Als x een bfs is van een maximaliseringsprobleem met c j apple 0 voor alle j, dan is x optimaal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
33 Samenvatting Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: 1 Als c j 0voorallej dan is de huidige bfs optimaal. Stop! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
34 Samenvatting Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: 1 Als c j 0voorallej dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 < 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
35 Samenvatting Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: 1 Als c j 0voorallej dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 < 0. 3 Als ā ij 0 apple 0voorallei dan is het probleem onbegrensd. Stop! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
36 Samenvatting Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: 1 Als c j 0voorallej dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 < 0. 3 Als ā ij 0 apple 0voorallei dan is het probleem onbegrensd. Stop! 4 Kies uittredende variabele x i 0 waarvoor b i 0 ā i 0 j 0 b i =min i ā ij 0 ā ij 0 > 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
37 Samenvatting Simplex Algoritme voor minimaliseringsprobleem: 1 Als c j 0voorallej dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 < 0. 3 Als ā ij 0 apple 0voorallei dan is het probleem onbegrensd. Stop! 4 Kies uittredende variabele x i 0 waarvoor b i 0 ā i 0 j 0 b i =min i ā ij 0 ā ij 0 > 0. 5 Pas elementaire rijoperaties toe zodanig dat kolom j 0 een 1 krijgt in rij i 0 en verder alleen 0 en. Ga naar (1). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
38 Voorbeeld (2) min x 1 2 x 2 x 3 o.d.v. x 1 +2x 2 apple 2 x 1 + x 2 + x 3 apple 2 x 1, x 2, x 3 0 x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
39 Voorbeeld (2) min z = x 1 2 x 2 x 3 o.d.v. x 1 +2x 2 + s 1 =2 x 1 + x 2 + x 3 + s 2 =2 x 1, x 2, x 3, s 1, s 2 0 De doelstellingsfunctie schrijven we om naar z x 1 2x 2 x 3 =0 en we stellen het Simplextableaux op: basis b x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s s z Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
40 De start bfs. basis b x1 x 2 x 3 s 1 s 2 s s z x 3 (0,0,2) (0,1,1) (0,0,0) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
41 x 1 komt basis in voor s 1. basis b x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 x s z x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
42 x 3 komt basis in voor s 2. basis b x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 x x z x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
43 x 2 komt in basis voor x 1. Optimale oplossing! basis b x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 x 2 1 1/ /2 0 x 3 1 1/ /2 1 z 3 1/ /2 1 x 3 (0,0,2) (0,1,1) x 2 (0,1,0) (2,0,0) x 1 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
44 Samenvatting Simplex Algoritme voor maximaliseringsprobleem: 1 Als c j apple 0 voor alle j dan is de huidige bfs optimaal. Stop! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
45 Samenvatting Simplex Algoritme voor maximaliseringsprobleem: 1 Als c j apple 0 voor alle j dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 > 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
46 Samenvatting Simplex Algoritme voor maximaliseringsprobleem: 1 Als c j apple 0 voor alle j dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 > 0. 3 Als ā ij 0 apple 0voorallei dan is het probleem onbegrensd. Stop! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
47 Samenvatting Simplex Algoritme voor maximaliseringsprobleem: 1 Als c j apple 0 voor alle j dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 > 0. 3 Als ā ij 0 apple 0voorallei dan is het probleem onbegrensd. Stop! 4 Kies uittredende variabele x i 0 waarvoor b i 0 ā i 0 j 0 b i =min i ā ij 0 ā ij 0 > 0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
48 Samenvatting Simplex Algoritme voor maximaliseringsprobleem: 1 Als c j apple 0 voor alle j dan is de huidige bfs optimaal. Stop! 2 Kies intredende variabele x j 0 met c j 0 > 0. 3 Als ā ij 0 apple 0voorallei dan is het probleem onbegrensd. Stop! 4 Kies uittredende variabele x i 0 waarvoor b i 0 ā i 0 j 0 b i =min i ā ij 0 ā ij 0 > 0. 5 Pas elementaire rijoperaties toe zodanig dat kolom j 0 een 1 krijgt in rij i 0 en verder alleen 0 en. Ga naar (1). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
49 4. Hoe vinden we een start bfs? Als het oorspronkelijke probleem alleen apple restricties heeft: min c T x o.d.v. Ax apple b x 0 Dan krijgt elke restrictie een slackvariabele: min c T x o.d.v. Ax + Is = b x, s 0 En is een start bfs makkelijk te vinden: x =0 s = b niet-basisvariabelen basisvariabelen Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
50 Als het oorspronkelijke probleem = en/of restricties heeft: Vervang elke restrictie P n j=1 a ijx j apple b i door P n j=1 a ijx j + s i = b i met s i 0eenslackvariabele. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
51 Als het oorspronkelijke probleem = en/of restricties heeft: Vervang elke restrictie P n j=1 a ijx j apple b i door P n j=1 a ijx j + s i = b i met s i 0eenslackvariabele. Vervang elke restrictie P n j=1 a ijx j b i door P n j=1 a ijx j s i +x a i = b i met s i 0eensurplusvariabele en x a i 0 een kunstmatige variabele. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
52 Als het oorspronkelijke probleem = en/of restricties heeft: Vervang elke restrictie P n j=1 a ijx j apple b i door P n j=1 a ijx j + s i = b i met s i 0eenslackvariabele. Vervang elke restrictie P n j=1 a ijx j b i door P n j=1 a ijx j s i +x a i = b i met s i 0eensurplusvariabele en x a i 0 een kunstmatige variabele. Vervang elke restrictie P n j=1 a ijx j = b i door P n j=1 a ijx j +x a i = b i met x a i 0 een kunstmatige variabele. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
53 Twee fasen methode: Eerste fase: los het LP op met als doelfunctie min w = X i x a i Laat w de optimale waarde van w zijn. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
54 Twee fasen methode: Eerste fase: los het LP op met als doelfunctie min w = X i x a i Laat w de optimale waarde van w zijn. 1 Als w =0en geen kunstmatige variabelen in de basis dan is een bfs van het originele probleem gevonden. I Verwijder kolommen van kunstmatige variabelen. I Zet originele doelfunctie terug en druk uit in niet-basisvariabelen. I Ga verder met Simplex methode (dit is de tweede fase). Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
55 Twee fasen methode: Eerste fase: los het LP op met als doelfunctie min w = X i x a i Laat w de optimale waarde van w zijn. 1 Als w =0en geen kunstmatige variabelen in de basis dan is een bfs van het originele probleem gevonden. I Verwijder kolommen van kunstmatige variabelen. I Zet originele doelfunctie terug en druk uit in niet-basisvariabelen. I Ga verder met Simplex methode (dit is de tweede fase). 2 Als w =0en kunstmatige variabele xi a zit in de basis (met waarde 0). I Haal x a i uit de basis door een pivot, met het pivotelement een willekeurig niet-nul element in de rij van xi a. I Herhaal totdat we in geval (1) terecht komen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
56 Twee fasen methode: Eerste fase: los het LP op met als doelfunctie min w = X i x a i Laat w de optimale waarde van w zijn. 1 Als w =0en geen kunstmatige variabelen in de basis dan is een bfs van het originele probleem gevonden. I Verwijder kolommen van kunstmatige variabelen. I Zet originele doelfunctie terug en druk uit in niet-basisvariabelen. I Ga verder met Simplex methode (dit is de tweede fase). 2 Als w =0en kunstmatige variabele xi a zit in de basis (met waarde 0). I Haal x a i uit de basis door een pivot, met het pivotelement een willekeurig niet-nul element in de rij van xi a. I Herhaal totdat we in geval (1) terecht komen. 3 Als w > 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
57 Twee fasen methode: Eerste fase: los het LP op met als doelfunctie min w = X i x a i Laat w de optimale waarde van w zijn. 1 Als w =0en geen kunstmatige variabelen in de basis dan is een bfs van het originele probleem gevonden. I Verwijder kolommen van kunstmatige variabelen. I Zet originele doelfunctie terug en druk uit in niet-basisvariabelen. I Ga verder met Simplex methode (dit is de tweede fase). 2 Als w =0en kunstmatige variabele xi a zit in de basis (met waarde 0). I Haal x a i uit de basis door een pivot, met het pivotelement een willekeurig niet-nul element in de rij van xi a. I Herhaal totdat we in geval (1) terecht komen. 3 Als w > 0 dan heeft het oorsponkelijke probleem geen toegelaten oplossing. Stop! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
58 Voorbeeld (3) min 3 x 1 + x 2 o.d.v. x 1 +2x 2 apple 1 x 1 + x 2 =1 x 1, x 2 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
59 Voorbeeld (3) min 3 x 1 + x 2 o.d.v. x 1 +2x 2 apple 1 x 1 + x 2 =1 x 1, x 2 0 Eerste fase probleem: min x a 2 o.d.v. x 1 +2x 2 + s 1 =1 x 1 + x 2 + x a 2 =1 x 1, x 2 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
60 Voorbeeld (3) Eerste fase probleem: Simplextableau: min x a 2 o.d.v. x 1 +2x 2 + s 1 =1 x 1 + x 2 + x a 2 =1 x 1, x 2 0 basis b x 1 x 2 s 1 x a 2 s x a w Let op! De doelfunctie is nog niet uitgedrukt in niet-basisvariabelen. Dit moeten we eerst doen! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
61 Voorbeeld (3) Nu is de doelfunctie uitgedrukt in niet-basisvariabelen: basis b x 1 x 2 s 1 x2 a s x2 a w Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
62 Voorbeeld (3) Nu is de doelfunctie uitgedrukt in niet-basisvariabelen: basis b x 1 x 2 s 1 x2 a s x2 a w We kunnen x 1 of x 2 in de basis brengen. Kies bijvoorbeeld x 1 : Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
63 Voorbeeld (3) Nu is de doelfunctie uitgedrukt in niet-basisvariabelen: basis b x 1 x 2 s 1 x2 a s x2 a w We kunnen x 1 of x 2 in de basis brengen. Kies bijvoorbeeld x 1 : basis b x 1 x 2 s 1 x2 a x x2 a w We hebben een optimale oplossing van de eerste fase met w =0. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
64 Voorbeeld (3) Nu is de doelfunctie uitgedrukt in niet-basisvariabelen: basis b x 1 x 2 s 1 x2 a s x2 a w We kunnen x 1 of x 2 in de basis brengen. Kies bijvoorbeeld x 1 : basis b x 1 x 2 s 1 x a 2 x x a w We hebben een optimale oplossing van de eerste fase met w =0. Let op! Er zit nog een kunstmatige variabele in de basis! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
65 Voorbeeld (3) We hebben de kunstmatige variabele uit de basis gehaald: basis b x1 x 2 s 1 x2 a x x w Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
66 Voorbeeld (3) We hebben de kunstmatige variabele uit de basis gehaald: basis b x1 x 2 s 1 x a 2 x x w Tweede fase: verwijder de kolom van de kunstmatige variabele en zet de originele doelfunctie terug: Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
67 Voorbeeld (3) We hebben de kunstmatige variabele uit de basis gehaald: basis b x1 x 2 s 1 x a 2 x x w Tweede fase: verwijder de kolom van de kunstmatige variabele en zet de originele doelfunctie terug: basis b x 1 x 2 s 1 x x z Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
68 Voorbeeld (3) We hebben de kunstmatige variabele uit de basis gehaald: basis b x1 x 2 s 1 x a 2 x x w Tweede fase: verwijder de kolom van de kunstmatige variabele en zet de originele doelfunctie terug: basis b x 1 x 2 s 1 x x z Let op! We moeten eerst de doelfunctie uitdrukken in niet-basisvariabelen! Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
69 Voorbeeld (3) Druk de doelfunctie uit in niet-basisvariabelen: basis b x1 x 2 s 1 x x z Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
70 Voorbeeld (3) Druk de doelfunctie uit in niet-basisvariabelen: basis b x1 x 2 s 1 x x z Ga verder met de Simplexmethode. In dit geval zijn alle c j niet-negatief. De huidige oplossing is dus optimaal. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
71 Voorbeeld (3) Druk de doelfunctie uit in niet-basisvariabelen: basis b x1 x 2 s 1 x x z Ga verder met de Simplexmethode. In dit geval zijn alle c j niet-negatief. De huidige oplossing is dus optimaal. Optimale oplossing: met waarde z =3. x B = apple apple x1 1 = x 2 0 x N = s 1 = 0 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
72 Cycling Het Simplex algoritme zoals beschreven kan oneindig lang doorgaan. Dit gebeurt als we na een aantal pivots weer bij een eerder beschouwde bfs uitkomen. Dit heet cycling. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
73 Cycling Het Simplex algoritme zoals beschreven kan oneindig lang doorgaan. Dit gebeurt als we na een aantal pivots weer bij een eerder beschouwde bfs uitkomen. Dit heet cycling. Bland s anti-cycling regels: Als meerdere intredende variabelen mogelijk zijn (met c j < 0), kies die met de kleinste index. Als meerdere uittredende variabelen mogelijk zijn (met dezelfde ratio in de minimum ratio test), kies die met de kleinste index. Stelling (2.9) De Simplex methode met Bland s anti-cycling regels termineert na een eindig aantal stappen. Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
74 Simplex Method Tool Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september / 36
TW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 september 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 september 2015 1 / 23 Huiswerk Huiswerk 1 is beschikbaar op
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
Nadere informatieOptimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Nadere informatieOptimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 28 september 2016
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 september 2016 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 28 september 2016 1 / 18 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een bijbehorend
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Nadere informatieOptimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015
Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk
Nadere informatieBijlage A Simplex-methode
Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Nadere informatie1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.
1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints.
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 11 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 11 november 2015 1 / 22 Mededelingen Huiswerk 2 nagekeken Terug
Nadere informatie1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 13 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 9 december 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 9 december 2015 1 / 13 Vraag Wat moet ik kennen en kunnen voor
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 november 2016 1 / 28 Minimum Opspannende Boom (Minimum Spanning
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 8 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 28 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 28 oktober 2015 1 / 25 Definitie Een boom is een samenhangende
Nadere informatieSamenvatting college 1-12
Samenvatting college 1-12 Probleemformulering Duidelijk definiëren van beslissingsvariabelen Zinvolle namen voor variabelen bv x ij voor ingrediënt i voor product j, niet x 1,..., x 20 Beschrijving van
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 12 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 december 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 december 2016 1 / 25 Volgende week: Study guide Vragenuurtje
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
Nadere informatieVoorbeeld simplexmethode. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0.
Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 10, 3x 1 + x 2-2x 3 8, en x 1, x 2, x 3 0. Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x
Nadere informatieHoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 10. Begrensde variabelen. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 10 Begrensde variabelen Han Hoogeveen, Utrecht University Begrensde variabelen (1) In veel toepassingen hebben variabelen zowel een ondergrens als een bovengrens:
Nadere informatieTie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieTransshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes. Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013
Transshipment problemen Simplex methode en netwerk optimalisatie algoritmes Luuk van de Sande Begeleider: Judith Keijsper 20 januari 2013 1 Inhoudsopgave 1 Transport problemen 3 2 Definities en stellingen
Nadere informatieTie breaking in de simplex methode
Tie breaking in de simplex methode Tijdens de Simplexmethode kan op een aantal momenten onduidelijk zijn wat je moet doen: 1. Variabele die de basis in gaat: Zoek de grootste coëfficiënt in de doelfunctie.
Nadere informatieTentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
Nadere informatieTentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 11 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 25 november 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 25 november 2015 1 / 28 Vandaag Vraag Voor welke problemen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieBranch-and-Bound en Cutting Planes
Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieBESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieOpgave 2: Simplex-algoritme - oplossing
Opgave 2: Simplex-algoritme - oplossing Oefening 1- a) Coefficient of x r in Current Row 0 = 0 b) Let x s be the variable entering the basis and x r the variable leaving the basis. Then (Coefficient of
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Nadere informatieffl een willekeurige LP in standaard vorm kan omzetten ffl het bij een basis toebehorend tableau en de basisoplossing kan berekenen ffl de simplex alg
Grafentheorie en Operationele Research 158070 Handout Operationele Research gedeelte 1 Inleiding 1.1 Inhoud Het Operationele Research gedeelte van het vak 'Grafentheorie en Operationele Research' houdt
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 oktober 2015 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 oktober 2015 1 / 20 Deze week: algoritmes en complexiteit
Nadere informatie1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d.
1. Een kortste pad probleem in een netwerk kan worden gemodelleerd als a. een LP probleem. b. een IP probleem. c. een BIP probleem. d. een toewijzingsprobleem. 2. Het aantal toegelaten hoekpunten in een
Nadere informatieLineair programmeren met de TI-84 CE-T
Lineair programmeren met de TI-84 CE-T Harmen Westerveld Oktober 2018 INHOUDSOPGAVE Lineair programmeren met TI-84 PLUS CE-T... 2 Introductie... 3 Voorbeeld 1: maximaliseringsprobleem... 4 De app Inequalz...
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Nadere informatieSommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 7 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 26 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 26 oktober 2016 1 / 28 Deze week: analyseren van algoritmes Hoe
Nadere informatieA.1 Grafentheorie 64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A.1. GRAFENTHEORIE 65. dan heeft deze kring in ieder knooppunt een even aantal takken).
64 BIJLAGE A. OPLOSSING VAN DE VRAGEN A. Grafentheorie Vraag. Neem drie knooppunten i, j en k. d(i, k) = het minimum aantal takken in een keten tussen i en k Vraag.2 het minimum aantal takken in een keten
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 1 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 7 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 7 september 2016 1 / 40 Opzet vak Woensdag: hoorcollege 13:45-15:30
Nadere informatieLineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Nadere informatieLineair Programmeren op het polytoop
Lineair Programmeren op het polytoop Paulien Neppelenbroek 12 juli 2017 Bachelorproject wiskunde Supervisor: dr. Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieEnkele uitbreidingen op het simplexalgoritme
Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Moniek Messink 2 oktober 2014 Enkele uitbreidingen op het simplexalgoritme Stageverslag Rovecom Masterscriptie Wiskunde 2 oktober 2014
Nadere informatieTaak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de
Nadere informatieModellen en Simulatie Speltheorie
Utrecht, 20 juni 2012 Modellen en Simulatie Speltheorie Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Program Optimaliseren Nul-som matrix spel Spel strategie Gemengde
Nadere informatieLineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016
Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 6 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 19 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 19 oktober 2016 1 / 20 Deze week Primal-Dual algoritmes voor:
Nadere informatieSPECIALE LINEAIRE MODELLEN
Hoofdstuk 7 SPECIALE LINEAIRE MODELLEN 7.1 Unimodulariteit en totale unimodulariteit Vele combinatorische optimaliseringsproblemen kunnen worden beschreven als het maximaliseren van een lineaire functie
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieLineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Nadere informatieTechnische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde & Informatica Tentamen Optimalisering (2DD15) Vrijdag 24 juni 2011, 9:00 12:00 uur Het tentamen bestaat uit zeven opgaven. Bij elke opgave staat het
Nadere informatieHoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix
Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieFaculteit der Economie en Bedrijfskunde
Faculteit der Economie en Bedrijfskunde Op dit voorblad vindt u belangrijke informatie omtrent het tentamen. Lees dit voorblad voordat u met het tentamen begint! Tentamen: Operational Research 1D (4016)
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieModellen en Simulatie Lineare Programmering
Utrecht, 13 juni 2013 Modellen en Simulatie Lineare Programmering Gerard Sleijpen Department of Mathematics http://www.staff.science.uu.nl/ sleij101/ Optimaliseren Lineaire programmering Voorbeelden Polytopen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieOPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieOptimalisering/Besliskunde 1. College 1 3 september, 2014
Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 3 september, 2014 Algemene informatie College: woensdag 9:00-10:45: Gorlaeus C1/C2, Leiden vrijdag: werkcollege Leiden en Delft Vier verplichte huiswerkopgaven Informatie
Nadere informatieLineaire functies? x 3x. (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2. x 6x 17. x ax. (a, x) ax??? 3x log x 2. substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert
Lineaire functies? x 3x (x 1, x 2 ) 5x 1 7x 2 x 6x 17 x ax (a, x) ax??? 3x 1 2 + 5log x 2 substitueer x 1 = y 1, x 2 = exp(y 2 ) levert 3y 1 + 5y 2 na substitutie lineair. Niet-lineaire functies kunnen
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieBESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN
BESLISKUNDE 2 EN 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2007 Voorwoord College Najaar 2004 Het derdejaarscolleges Besliskunde 2 en 3 zijn een vervolg op het tweedejaarscollege Besliskunde 1.
Nadere informatieUitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
Nadere informatieGeheeltallige programmering
Geheeltallige programmering In een LP probleem zijn alle variabelen reëel. In een geheeltallig probleem blijven doelfunctie en constraints lineair, maar zijn de variabelen geheeltallig. LP: IP: BIP: MIP:
Nadere informatieLineaire Optimilizatie Extra sessie. 19 augustus 2010
Lineaire Optimilizatie Extra sessie 19 augustus 2010 De leerstof Handboek: hoofdstuk 2 t.e.m. 8 (incl. errata) Slides (zie toledo) Extra opgaven (zie toledo) Computersessie: Lindo syntax en output Wat
Nadere informatieOptimalisering en Complexiteit, College 1. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 1 Han Hoogeveen, Utrecht University Gegevens Docent : Han Hoogeveen : j.a.hoogeveen@uu.nl Vak website : http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/opt/ Student assistenten
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatieBESLISKUNDE 3 L.C.M. KALLENBERG
BESLISKUNDE 3 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN versie november 2010 Voorwoord De voorkennis van dit vak is het tweedejaarscollege Besliskunde 1. Het derdejaarscollege Besliskunde 2 is niet noodzakelijk,
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieOptimalisering WI 2608
Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieK.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
K.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Nadere informatieExamenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie)
Examenvragen D0H45 (Lineaire optimalizatie) Tijdstip: Vrijdag 3 februari 2012 vanaf 09.00 uur tot 12.00 uur Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden die u kunt gebruiken om uw antwoord
Nadere informatie2WO12: Optimalisering in Netwerken
2WO12: Optimalisering in Netwerken Leo van Iersel Technische Universiteit Eindhoven (TU/E) en Centrum Wiskunde & Informatica (CWI) 27 februari 2014 http://homepages.cwi.nl/~iersel/2wo12/ l.j.j.v.iersel@gmail.com
Nadere informatie