Lineaire Algebra WI1048WbMt. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 4 september 2016

Transcriptie

1 Lineaire Algebra WI1048WbMt, 4 september 2016

2 Informatie over de docent Mekelweg 4, kamer tel : (015 27) I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http: //blackboard.tudelft.nl Spreekuur : volgens afspraak 4 september

3 Studiemateriaal Boek Boek Titel : Linear Algebra and : its Applications : Global Edition (5-th Ed.) Auteurs : David C. Lay, Stephen R. Lay, Judy J. Mc Donald ISBN-13 : september

4 Opzet onderwijs Bekijk voorafgaand aan de onderwijsbijeenkomsten naar een video ( pre-lecture video ) Er wordt tijdens de colleges/instructies nieuwe stof behandeld waarbij wordt aangenomen dat de video is bekeken. Tijdens de contacturen wordt er gewerkt aan een beperkt aantal opgaven uit het boek. Advies: maak thuis nog wat extra opgaven. Verder wordt wekelijks een set huiswerkopgaven klaargezet in het digitale systeem MyMathLab, de digitale leeromgeving van de uitgever van het boek. Oefen daarmee! 4 september

5 Waarom Lineaire Algebra? Vanwege de vele toepassingen binnen allerlei vakgebieden. Voorbeelden: Het numeriek oplossen van partiële differentiaalvergelijkingen in bijv. stromingsleer en aerodynamica (golfvergelijking/warmtediffusievergelijking) Statica: doorrekenen van constructies aan gebouwen - auto s - schepen etc. Meet- en regeltechniek. Vrijwel ieder verschijnsel dat gemodelleerd wordt is dermate complex dat het met de computer doorgerekend moet worden. Hiervoor is (Numerieke) Lineaire Algebra onontbeerlijk. 4 september

6 Onderwerpen 1 Het (gestructureerd) oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen 2 Matrix Algebra (Het rekenen met matrices) 3 Determinanten 4 Orthogonaliteit en de kleinste kwadratenmethode 4 september

7 Video 4 september

8 Voorbeeld x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + x x 3 = 8 x 1 + x 2 + 3x 3 = 1 Een oplossing van dit stelsel bestaat uit een rijtje getallen (s 1, s 2, s 3 ) die voldoet aan alle drie de vergelijkingen. Hoe vinden we zo n oplossing of liever alle oplossingen? Door dit stelsel vergelijkingen om te zetten in een een eenvoudiger (equivalent) stelsel lineaire vergelijkingen met dezelfde oplossingen. 4 september

9 Definitie Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent als ze dezelfde oplossingen hebben. Welke operaties mogen worden uitgevoerd waarmee een eenvoudiger, equivalent, stelsel wordt verkregen? (vervanging) een veelvoud van één vergelijking bij een andere vergelijking optellen, (verwisseling) het verwisselen van twee vergelijkingen, (schaling) de vermenigvuldiging van een vergelijking met een constante ongelijk nul. 4 september

10 Voorbeeld x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + x x 3 = 8 x 1 + x 2 + 3x 3 = }{{} aangevulde matrix }{{} coëfficiënten matrix 4 september

11 Voorbeeld x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + x x 3 = 8 x 1 + x 2 + 3x 3 = 1 x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 9x 2 + 9x 3 = 6 6x 2 + 6x 3 = 2 x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 3x 2 + 3x 3 = 2 3x 2 + 3x 3 = september

12 Voorbeeld x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 3x 2 + 3x 3 = 2 6x 3 = 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 3x 2 + 3x 3 = 2 2x 3 = x 3 = 1 x 3 = 1 2 3x 2 + 3x 3 = 2 x 2 = 1 6 x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 x 1 = 1 3 Het stelsel vergelijkingen heeft dus precies één oplossing: ( 1 3, 1 6, 1 2 ) 4 september

13 Het vorige voorbeeld maakt duidelijk dat elk stelsel lineaire vergelijkingen kan worden weergegeven door middel van een aangevulde matrix. En verder dat elke operatie op de vergelijkingen correspondeert met een operatie op de rijen van de corresponderende aangevulde matrix. Definitie Twee matrices heten (rij)-equivalent wanneer de corresponderende stelsels vergelijkingen equivalent zijn. 4 september

14 Definitie De volgende matrixoperaties: (vervanging) een veelvoud van één rij bij een andere rij optellen, (verwisseling) het verwisselen van twee rijen, (schaling) de vermenigvuldiging van alle elementen van een rij met een constante ongelijk nul. heten elementaire rijoperaties. Deze operaties voeren matrices over in equivalente matrices. 4 september

15 Voorbeeld We bekijken nu de volgende twee gevallen: x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + x x 3 = 8 x 1 + x 2 9x 3 = 1 en x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 1 2x 1 + x x 3 = 8 x 1 + x 2 9x 3 = 5 Het eerste stelsel vergelijkingen heeft géén oplossingen, het tweede oneindig veel. 4 september

16 Opgaven 1.1, Opgave 13 Los op: x 1 3x 3 = 8 2x 1 + 2x 2 + 9x 3 = 7 x 2 + 5x 3 = 2 1.1, Opgave 15 Onderzoek of het volgende stelsel consistent is: x 1 + 3x 3 = 2 x 2 3x 4 = 3 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 1 3x 1 + 7x 4 = 5 4 september

17 Rij-reductie en echelonvormen De in de voorbeelden toegepaste methode voor het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen komt neer op het door rij-operaties overvoeren van aan aangevulde matrix in een echelonvorm. Voorbeeld 0 (a) (c) (b) september

18 Kijk nog eens terug naar het eerste voorbeeld: Definitie Een matrix heeft een echelonvorm als: } {{ 1 } echelonvorm 1 de rijen met alleen nullen erin, onderaan staan, 2 elke rij met meer nullen begint dan de rij die er aan voorafgaat tenzij het een rij met alleen nullen betreft. 4 september

19 Gereduceerde echelonvorm van een matrix Definitie Een matrix heeft een gereduceerde echelon vorm als: 1 deze matrix een echelon vorm heeft, 2 het eerste niet-nul element in een rij gelijk is aan één, 3 de kolommen waarin deze éénen staan verder alleen nullen bevatten. 4 september

20 Voorbeeld (a) (b) (c) Wat is het voordeel van het uitvoeren van rijoperaties op een matrix ( vegen ) totdat een gereduceerde echelonvorm is verkregen? 4 september

21 We gaan weer even terug naar het eerste voorbeeld. Voorbeeld } {{ 1 } echelonvorm Verder vegen tot een gereduceerde echelonvorm levert op: }{{}}{{} echelonvorm gereduceerde echelonvorm De oplossing van het stelsel vergelijkingen kan direct worden afgelezen uit de laatste kolom van de matrix. 4 september

22 Terminologie Definitie In een matrix met echelonvorm heet: het eerste niet-nul element van een rij pivot, hoofdelement of spil, de plaats van een pivot de pivotpositie de kolom waarin een pivot staat pivotkolom. Kijken we naar een corresponderend stelsel lineaire vergelijkingen dan heet: de variabele die correspondeert met een pivot een basisvariabele, een variabele die niet correspondeert met een pivot vrije variabele. 4 september

23 Opgaven 1.2, Opgave 3 Bepaal de gereduceerde echelonmatrix van: Markeer de pivotposities en pivotkolommen zowel in de oorspronkelijke matrix als in de gereduceerde echelonmatrix. 4 september

24 We gaan terug naar het tweede voorbeeld. Voorbeeld } {{ 0 } echelonvorm Verder vegen tot een gereduceerde echelonvorm levert op: }{{}}{{} echelonvorm gereduceerde echelonvorm De gemarkeerde elementen zijn de coëfficiënten van de basisvariabelen (x 1, x 2 ). de overige variabelen (x 3 ) zijn vrij. 4 september

25 Voorbeeld Als x 3 = t (t R) dan: x 2 = t en x 1 = t. Het stelsel vergelijkingen heeft dus oneindig veel oplossingen: ( t, t, t) (t R) 4 september

26 Opgaven 1.2, Opgave 13 Bepaal de algemene oplossing van het stelsel vergelijkingen waarvan de aangevulde matrix gegeven wordt door: september