BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN"

Transcriptie

1 BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

2

3 Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en voor enkele onderwerpen uit Besliskunde worden aanvullende resultaten en methoden afgeleid. Hieronder volgt een beknopte beschrijving van de onderwerpen die worden behandeld. Hoofdstuk : Lineaire Optimalisering (deel ) Deel van Lineaire Optimalisering is reeds in Besliskunde besproken. In dit hoofdstuk komen andere resultaten aan de orde: implementatie aspecten, gevoeligheidsanalyse, de duale simplex methode en de primale-duale simplex methode. Hoofdstuk : Geheeltallige Lineaire Optimalisering Na een inleiding, waarin het model, formuleringen en voorbeelden worden besproken, worden diverse methoden behandeld om geheeltallige lineaire optimaliseringsproblemen op te lossen: de branch-and-bound techniek en technieken gebaseerd op sneden. Het hoofdstuk wordt afgesloten met een vrij uitgebreide bespreking van het Handelsreizigersprobleem. Hoofdstuk 3: Niet-lineaire Optimalisering Begonnen wordt met voorbeelden, algemene optimaliteitsvoorwaarden en eigenschappen zoals convexiteit. Daarna worden de onbeperkte en de beperkte optimalisering behandeld. Bij de onbeperkte optimalisering wordt ingegaan op ééndimensionale en meerdimensionale optimalisatie. De behandeling van de beperkte optimalisering betreft zowel theorie als methoden. De theoretische zaken zijn Lagrange multipliers, Karush-Kuhn-Tucker voorwaarden en dualiteit. De methoden die worden behandeld zijn de volgende: het algoritme van Wolfe voor kwadratische optimalisering, de methode van toelaatbare richtingen, de gereduceerde gradiënt methode, de gegeneraliseerde gereduceerde gradiënt methode en de barrière methode. Hoofdstuk 4: Netwerk Optimalisering Dit hoofdstuk behandelt kortste paden en netwerkstromen. Wat de kortste paden betreft komt aan de orde: de methoden van Dijkstra, van Bellman en Ford, en van Floyd en Warshall, het probleem van de kortste gemiddelde ronde en enkele toepassingen. Bij het onderwerp netwerkstromen wordt behandeld: maximale stromen, minimale kostenstromen en toepassingen. i

4 ii Hoofdstuk 5: Scheduling Bij scheduling moeten taken bewerkingen op machines ondergaan. Van iedere taak is bekend op welke machines deze moet worden uitgevoerd, eventueel ook in welke volgorde, en hoe lang iedere bewerking duurt. De probleemstelling luidt: hoe deze taken te schedulen opdat een bepaalde functie ge-optimaliseerd wordt, bijv. minimaliseer het tijdstip waarop alle taken klaar zijn. We bespreken zogenaamde open shop, job shop en flow shop problemen op één of meer machines. Verder worden ook scheduling problemen op parallelle machines besproken. Het hoofdstuk wordt afgesloten met een bespreking van de verbanden met het Handelsreizigersprobleem. Hoofdstuk 6: Speltheorie In de speltheorie houdt men zich bezig met modellen die conflictsituaties beschrijven. Niet alle conflictsituaties zijn in één model te vangen. We onderscheiden bijvoorbeeld: a. Het aantal deelnemers (twee-personen spelen of spelen met meer personen); b. Het al dan niet geoorloofd zijn van combines (wel of niet coöperatieve spelen); c. Het regelen van de uitbetalingen (wel of geen nulsomspel). De volgende onderwerpen komen aan de orde: twee-personen nulsomspelen, bi-matrix spelen en coöperatieve spelen. Vragen en opgaven Het dictaat bevat 7 vragen en 90 opgaven. De oplossingen van de vragen staan in Appendix A. College, tentamen en informatie Het college is 4 uur per week. Het tentamen bestaat voor 50% uit het wekelijks maken van opgaven en voor 50% uit een schriftelijk tentamen. Verdere informatie over dit vak is te vinden op: kallenberg.

5 Inhoudsopgave LINEAIRE OPTIMALISERING (deel ). Inleiding Implementatie aspecten Begrensde variabelen Herziene simplex methode en de productvorm van de inverse Opgaven Gevoeligheidsanalyse Veranderingen in één coëfficiënt van de doelfunctie Veranderingen in één coëfficiënt van het rechterlid Veranderingen in meer coëfficiënten van het rechterlid (of doelfunctie) Veranderingen in een kolom van een niet-basisvariabele Toevoegen van een nieuwe activiteit/variabele Parametrische programmering Opgaven De duale en de primale-duale simplex methode De duale simplex methode De primale-duale methode Opgaven GEHEELTALLIGE LINEAIRE OPTIMALISERING 3. Model, formuleringen en voorbeelden Model en formuleringen Voorbeelden Opgaven Branch-and-Bound Het generieke algoritme Behandeling van en opsplitsing in deelproblemen Opgaven Sneden Gomory s fractie-snede algoritme Gomory s snede voor gemengd geheeltallige optimalisering iii

6 iv INHOUDSOPGAVE.3.3 Opgaven Handelsreizigersprobleem Inleiding en formuleringen Branch-and-Bound methode Heuristieken Opgaven NIET-LINEAIRE OPTIMALISERING Inleiding Klassificatie van niet-lineaire optimaliseringsproblemen Voorbeelden Afgeleiden Optimaliteitsvoorwaarden Convexiteit Opgaven Onbeperkte optimalisering Inleiding Eéndimensionale optimalisatie Meerdimensionale optimalisatie Opgaven Beperkte optimalisering: theorie Inleiding Lagrange multipliers bij gelijkheidsbeperkingen Karush-Kuhn-Tucker voorwaarden bij gelijkheden en ongelijkheden Fritz John voorwaarden Convexe optimalisering en dualiteit Opgaven Beperkte optimalisering: methoden Kwadratische optimalisering Methode van toelaatbare richtingen Gereduceerde gradiënt methode Gegeneraliseerde gereduceerde gradiënt methode Barrière methode Opgaven NETWERK OPTIMALISERING Kortste paden Inleiding De methode van Dijkstra Methode van Bellman en Ford Methode van Floyd en Warshall

7 INHOUDSOPGAVE v 4..5 De kortste gemiddelde ronde Enkele toepassingen Opgaven Netwerkstromen Maximale stromen Minimale kostenstromen Enkele toepassingen Opgaven SCHEDULING Inleiding Eén machine Model A: L max Model B: n j= w jc j Model C: n j= U j Twee machines Model D: O C max Model E: F C max Model F: J C max Parallelle machines Verbanden met het handelsreizigersprobleem Model K: s jk C max Model L: F m no wait C max Opgaven SPELTHEORIE 7 6. Inleiding Tweepersonen nulsomspel Bi-matrix spelen Coöperatieve spelen Opgaven A OPLOSSING VAN DE VRAGEN 35 A. Hoofdstuk A. Hoofdstuk A.3 Hoofdstuk A.4 Hoofdstuk A.5 Hoofdstuk A.6 Hoofdstuk

8 vi INHOUDSOPGAVE

9 Hoofdstuk LINEAIRE OPTIMALISERING (deel ) In Besliskunde is het onderwerp lineaire optimalisatie reeds aan bod geweest. Het model is geïntroduceerd, een aantal resultaten uit de theorie van lineaire (on)gelijkheden is behandeld, en de dualiteit en de simplex methode zijn besproken. We gaan in dit hoofdstuk in op implementatie aspecten, gevoeligheidsanalyse en we bespreken twee alternatieven voor de gewone simplex methode: de duale simplex methode en de primale-duale simplex methode.. Inleiding In deze paragraaf herhalen we in het kort een aantal zaken uit Besliskunde. De standaard formulering van het LP-probleem luidt in matrixnotatie: max{p T x Ax b; x 0}, waarbij p, x R n, b R m en A een m n-matrix is (.) Met verschilvariabelen y = b Ax krijgen we de equivalente formulering max{p T x Ax + y = b; x, y 0} (.) Bij ieder LP-probleem hoort een duaal probleem. Het duale probleem van (.) is min{b T u A T u p; u 0} (.3) en met verschilvariabelen v = A T u p geeft dit de equivalente formulering min{b T u A T u v = p; u, v 0} (.4) De simplex methode is een methode om deze problemen op te lossen. De methode maakt gebruik van simplex tableaus, waarin de relevante informatie staat. Ieder tableau behoort bij een basismatrix B: dit is een niet-singuliere m m-deelmatrix van het oorspronkelijke stelsel (.), waarvoor bovendien geldt dat B b 0. De overige kolommen vormen een m n-deelmatrix N. De bijbehorende variabelen x B resp. x N heten de basisvariabelen resp. de niet-basisvariabelen.

10 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) Het tableau heeft de vorm x N x B B b B N x 0 p T B B b d T N waarbij d T N = pt B B N p T N, en de bijbehorende oplossing luidt: x B = B b, x N = 0. Het tableau bevat tevens een bijbehorende duale oplossing: u B = 0, u N = d N. Om de notatie simpel te houden, voeren we in: b = B b, A = B N, p = p T B B b en d = p T B B N p T N. Het stelsel is dan, tezamen met de doelfunctie, te schrijven als: (x B ) i = b i n j= a ij (x N) j, i =,,..., m p T x = p (.5) n j= d j (x N) j Als d j 0 voor alle j, dan is x B = b, x N = 0 een optimale oplossing. In het andere geval is d k < 0 voor zekere k, en kan als volgt een nieuw tableau worden gevonden. a. Bepaal de pivotkolom, d.w.z. bepaal een k met d k < 0 (meestal k zdd. d k = min j d j ). b. Bepaal een pivotrij, d.w.z. bepaal een r met b r a = min{ b i rk a a ik > 0}. ik c. Verwissel de variabelen (x B ) r en (x N ) k die de pivot a rk bepalen. d. De nieuwe pivotrij, met uitzondering van het pivotelement zelf, is de oude rij gedeeld door het pivotelement. e. De nieuwe pivotkolom, met uitzondering van het pivotelement zelf, is de oude kolom gedeeld door het tegengestelde van het pivotelement. f. Van de elementen a ij met i r en/of j k trekken we a rj a ik a rk g. Vervang het pivotelement a rk door zijn inverse a. rk In het simplex tableau staat ook informatie over het duale probleem te lezen. Naar analogie van (.5) moet daarvoor de j-de kolom van het simplex tableau moet gelezen worden als (de voorste kolom met b slaat op de doelfunctie): (u N ) j = d j + m i= a ij (u B) i, j =,,..., n b T u = p + (.6) m i= b i (u B) i af.. Implementatie aspecten.. Begrensde variabelen Vaak zijn variabelen begrensd, zowel naar beneden als naar boven, zeg l j x j u j. Door over te gaan op de variabele x j = x j l j, kunnen we l j x j u j vervangen door 0 x j u j l j. We

11 .. IMPLEMENTATIE ASPECTEN 3 kunnen dus veronderstellen dat alle ondergrenzen 0 zijn en aannemen dat begrensde variabelen van het type 0 x j u j zijn. Deze beperkingen kunnen natuurlijk op de gewone manier behandeld kunnen worden met een verschilvariabele: x j + y j = u j ; x j, y j 0. Zo n verschilvariabele is echter niet nodig. We kunnen deze namelijk impliciet behandelen, zoals we ook de ondergrens 0 impliciet behandelden door er bij de keuze van de pivotrij op te letten dat geen enkele variabele negatief wordt. In het geval bovengrenzen aanwezig zijn hebben alle niet-basisvariabelen de waarde 0 (hun ondergrens) of de waarde u j (hun bovengrens). Zoals een niet-basisvariabele die op de ondergrens (0) staat een potentiële pivotkolom is als er in de onderste rij een negatief getal staat, zo is een niet-basisvariabele x j die op zijn bovengrens (u j ) staat een potentiële pivotkolom als er in de onderste rij een positief getal staat, want door de waarde van deze variabele te verlagen stijgt de waarde van de doelfunctie. Door echter dan de variabele te beschouwen als x j := u j x j hebben we weer de gewone situatie. Ook bij de keuze van de pivotrij moet rekening worden gehouden met het feit dat x j niet groter dan u j mag worden, d.w.z. voor begrensde basisvariabelen (x B ) i met in de pivotkolom een negatief getal moet gelden dat b i a ik (x N) k (u B ) i d.w.z. (x N ) k (u B) i b i a ik Nadat we een pivotkolom hebben gekozen zijn er vier mogelijke gevallen: Geval : met a ik < 0. De niet-basisvariabele (x N ) k van de pivotkolom staat op zijn ondergrens en loopt tegen zijn bovengrens aan. Deze variabele (x N ) k blijft een niet-basisvariabele en komt nu op zijn bovengrens te staan. We drukken dan de vergelijkingen van het stelsel in een tableau uit in (x N ) k := (u N ) k (x N ) k, d.w.z. (x B ) i = b i j k a ij(x N ) j a ik (x N) k = {b i a ik (u N) k } j k a ij(x N ) j + a ik {(u N) k (x N ) k }. Voor de transformaties geldt dus: (x N ) k komt op zijn bovengrens, de pivotkolom verandert van teken en van het getransformeerde rechterlid wordt (u N ) k keer de pivotkolom afgetrokken. Geval : De niet-basisvariabele (x N ) k staat op zijn bovengrens en loopt tegen zijn ondergrens aan. We drukken dan de vergelijkingen die bij het stelsel van een tableau horen uit in (x N ) k, d.w.z. (x B ) i = b i j k a ij(x N ) j a ik {(u N) k (x N ) k } = {b i a ik (u N) k } j k a ij(x N ) j + a ik (x N) k. Voor de transformaties geldt dus: (x N ) k komt op zijn ondergrens, de pivotkolom verandert van teken en van het getransformeerde rechterlid wordt (u N ) k keer de pivotkolom afgetrokken. Geval 3: Een basisvariabele (x B ) r loopt tegen zijn ondergrens aan. Dit is het geval van de gewone simplex methode en we behandelen dit op de bekende manier.

12 4 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) Geval 4: Een basisvariabele (x B ) r loopt tegen zijn bovengrens aan. Merk op dat in dit geval de pivot a rk negatief is. De gewone simplex transformaties volgen uit de vergelijking (x B ) r = b r j a rj (x N) j, die equivalent is met (u B ) r (x B ) r = (u B ) r b r + j a rj(x N ) j Voor de transformaties geldt dus: Voer de gewone transformaties uit na de volgende veranderingen: neem (u B ) r b r in plaats van b r en verander de pivotrij van teken. De winst van deze speciale techniek is het feit dat in de gevallen en er met vrijwel geen werk een nieuw tableau gevonden wordt. Voorbeeld. Beschouw het volgende LP-probleem: max x + x + 3x 3 + x 4 + x 5 x + x 3 x 5 + x 6 = x + x 4 + x 5 + x 7 = x + x x 3 x 4 + x 8 = onder de voorwaarden 0 x ; 0 x ; 0 x 3 ; 0 x 4 3; 0 x 5 ; 0 x 6 ; 0 x 7 3; 0 x 8. We starten met als basisvariabelen x 6, x 7 en x 8. Als de variabele x j op zijn bovengrens staat, dan noteren we dat met x j. Verder schrijven we achter iedere variabele tussen haakjes de bovengrens. Dit geeft de volgende tableaus (als pivotkolom de gebruikelijke keuze bij het meest negatieve element in de onderste rij): x () x () x 3 () x 4 (3) x 5 () x 6 () x 7 (3) 0-0 x 8 () x Geval 4: x 8 loopt tegen zijn bovengrens aan. Aanpassing van b 3 en de derde rij geeft: x () x () x 8 () x 4 (3) x 5 () x 6 () x 7 (3) 0-0 x 3 () x Geval 3: dit geeft de gewone transformatie. x () x () x 3 () x 4 (3) x 5 () x 6 () x 7 (3) 0-0 x 8 () x Nu voeren we de gewone pivottransformaties uit met verwisseling van x 8 en x 3. x () x 6 () x 8 () x 4 (3) x 5 () x () x 7 (3) x 3 () x Geval 4: x 3 loopt tegen zijn bovengrens aan. Aanpassing van b 3 en de derde rij geeft:

13 .. IMPLEMENTATIE ASPECTEN 5 x () x 6 () x 8 () x 4 (3) x 5 () x () x 7 (3) x 3 () x Nu voeren we de gewone pivottransformaties uit met verwisseling van x 3 en x 5. x () x 6 () x 8 () x 4 (3) x 3 () x () x 7 (3) x 5 () x Geval 4: x loopt tegen zijn bovengrens aan. Aanpassing van b en de eerste rij geeft: x () x 6 () x 8 () x 4 (3) x 3 () x () - 0 x 7 (3) x 5 () x Nu voeren we de gewone pivottransformaties uit met verwisseling van x en x 4. x () x 6 () x 8 () x () x 3 () x 4 (3) x 7 (3) x 5 () x Geval 3: dit geeft de gewone transformatie. x 5 () x 6 () x 8 () x () x 3 () x 4 (3) - - x 7 (3) 3-0 x () x Geval : x 6 komt op zijn bovengrens. x 5 () x 6 () x 8 () x () x 3 () x 4 (3) - x 7 (3) x () 0 0 x Dit tableau is optimaal. De optimale oplossing luidt: x = ; x = ; x 3 = ; x 4 = ; x 5 = 0; x 6 = ; x 7 = ; x 8 =. De optimale waarde is. Vraag. Beschouw het volgende LP-probleem: { max 3x + x x + x 0; 0 x 4 5x + 3x 7; 0 x 5 }. Los dit probleem op met de simplex methode voor begrensde variabelen... Herziene simplex methode en de productvorm van de inverse De tot nu toe behandelde simplex methode in tableauvorm is alleen geschikt voor handberekening en kleine problemen. De technieken van de herziene simplex methode en de productvorm van de inverse zijn ontwikkeld om grote problemen op te kunnen lossen. In essentie is dit de reeds behandelde simplex methode, maar deze speciale technieken zijn efficiënter t.a.v. de benodigde geheugenruimte en rekentijd. De tableaus zijn vaak gevuld met vele 0 en en het is eigenlijk overbodig om hiervoor ruimte te reserveren.

14 6 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) In een iteratie kiezen we eerst de variabele die in de basis gaat komen, daarna de variabele die de basis gaat verlaten en tenslotte bepalen we de nieuwe basisoplossing. De variabele x k die in de basis gaat komen moet een negatief element in de onderste rij hebben, d.w.z. de gereduceerde kosten zijn negatief: v k := p T BB a k p k < 0. Meestal kiezen we voor de pivotkolom de kolom waarvan het getal v k het meest negatief is. Als we geen tableau hebben, dan moeten we de waarde p T B B a k p k berekenen. Daarvoor hebben we B nodig. Als we B hebben, dan is het eenvoudig om p T B B a k p k uit te rekenen en na te gaan of dit al of niet negatief is (als al deze getallen niet-negatief zijn, dan is de huidige oplossing optimaal). Om de variabele te bepalen die de basis gaat verlaten, moeten we nagaan welke basisvariabele het eerst negatief wordt als we x k vanaf 0 steeds groter maken. Hiervoor moeten we de quotiënten nemen van {B b} i en {B a k } i, voor zover dit laatste getal positief is, en van deze quotiënten de kleinste nemen (als alle getallen {B a k } i niet-positief zijn, dan is er een oneindige oplossing). Als i = r behoort bij het kleinste quotiënt, dan geldt voor de nieuwe oplossing: x k = {B b} r {B a k } r en x i = {B b} i {B a k } i x k voor de overige basisvariabelen. We zullen aangeven hoe we de verschillende getallen die we nodig hebben gaan berekenen. Daarbij gaan we eerst na hoe B berekend wordt. Laat B nieuw de nieuwe basismatrix zijn en B oud de oude. Dan geldt dat B nieuw uit B oud wordt verkregen door de r-de kolom van B oud te vervangen door de kolom a k, d.w.z. (zie Vraag.) B nieuw = B oud E, waarbij E de eenheidsmatrix is met in de r-de kolom de vector B oud a k. Noteren we B oud a k met a k, dan kunnen we schrijven: 0 a k a k 0 0 E =. 0 0 a mk 0 De relatie B nieuw = B oud E maakt het mogelijk om op een efficiënte manier de inverse van B nieuw uit de inverse van B oud te bepalen, immers Bnieuw = E B oud. Er geldt (zie Vraag.3) dat 0 a k a 0 0 rk 0 a k a 0 0 rk E = a. rk 0 0 a mk a 0 rk

15 .. IMPLEMENTATIE ASPECTEN 7 waarbij het element a in de r-de rij (en r-de kolom) staat. Omdat ook E slechts in één kolom rk van de eenheidsmatrix verschilt, kan deze worden opgeborgen als vector: we onthouden de r-de vector van E en het getal r. E heet de elementaire matrix. Laat B t de basismatrix zijn na t iteraties en laat B t van B t verschillen in de r-de kolom, die vervangen wordt door de kolom a k. Dan geldt B t = B t E t, waarbij E t de eenheidsmatrix is met in de r-de kolom de vector B t a k. Omdat we starten met als basis de eenheidsmatrix, d.w.z. B 0 = I, geldt B t = E E E t, zodat B t = Et Et E E. Dus in iedere iteratie kan de inverse van de basis worden geschreven als het product van elementaire matrices. Vandaar de naam productvorm van de inverse. Voor de verdere berekeningen is het handig eerst na te gaan hoe de vermenigvuldiging van een vector c met de elementaire matrix E verloopt. Dit kan zijn c T E, de navermenigvuldiging, of E c, de voorvermenigvuldiging. De r-de vector van E, d.w.z. de vector die in het algemeen geen eenheidskolom is, noteren we met g. Navermenigvuldiging 0 g g 0 0 c T E = (c, c,..., c m ) g r 0 0 g m 0 Dus c T E wordt uit c verkregen door c r te vervangen door m i= c ig i. Voorvermenigvuldiging 0 g 0 0 c 0 g 0 0 c E... c = = g r c r g m 0 c m = (c, c,..., c r, m i= c ig i, c r+,, c m ). c + g c r c g c + g c r c g = + c g r c r 0 r. g r c m + g m c r Dus E c wordt uit c verkregen door eerst de r-de component van c gelijk aan 0 te maken en dan bij deze vector c r keer de vector g op te tellen. Bepaling duale variabelen v j In de t-de iteratie berekenen we eerst p T B B t, en wel op de volgende manier. Bepaal eerst, met navermenigvuldiging, u T = p T B E t. Bepaal vervolgens, eveneens met navermenigvuldiging, u T Et, etc. Op deze wijze berekenen we in t stappen p T BB t = p T BEt Et E E. c m g m

16 8 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) Vervolgens kunnen eenvoudig voor iedere niet-basisvariabele x j de getallen v j = p T BBt a j p j worden berekend. Van de niet-basisvariabele x j = (x B ) r, die net een niet-basisvariabele is geworden, weten we dat v j > 0: voor deze variabele kunnen we de berekening dus overslaan. Bepaling kolom g die de elementaire matrix geeft Laat in de t-de iteratie de pivotkolom de kolom bij x k zijn. Dan moet eerst a k = B t a k = E t E t E E a k worden bepaald. Deze vector krijgen we door de vector a k t keer voor te vermenigvuldigen, met E, E tot en met E t. Als a k 0, dan stoppen we met als conclusie dat het probleem een onbegrensde oplossing heeft. Als dat niet het geval is, dan bepalen we op de gewone manier de pivotrij. Daarvoor moeten we in iedere iteratie het rechterlid b mee transformeren. Dit geeft in iteratie t één voorvermenigvuldiging met Et om de waarde b te updaten. Hiermee kan dan de pivotrij r worden bepaald en daarmee g t, de g in de t-de iteratie: ( g t = Update van de inverse van de basis a k a rk, a k a,, rk a rk,, a ) T mk. a rk In iedere iteratie komt er een elementaire matrix bij die we moeten onthouden, d.w.z. de bijbehorende vector g en de component r moeten we onthouden. Als het aantal iteraties groot wordt geeft dit problemen. Het is dan verstandig om af en toe een herinversie uit te voeren, d.w.z. expliciet B uit te rekenen als product van de elementaire matrices: B t = Et Et E E. Vervolgens kan hier in volgende iteraties weer op worden teruggerekend : deze Bt dezelfde rol als B0 = I in de eerste iteraties. vervult dan Algoritme. De (t + )-ste iteratie van de productvorm algoritme Invoer: De elementaire matrices E, E,..., E t, gegeven door de vectoren g, g,..., g t en de getallen r, r,..., r t. Uitvoer: De elementaire matrix E t+, gegeven door de vector g t+ en het getal r t+ ; of de conclusie dat de huidige oplossing optimaal is; of de conclusie dat er een oneindige optimale oplossing is.. Update b door voorvermenigvuldiging met de elementaire matrix E t.. Bepaal u T = p T B B door herhaalde navermenigvuldiging met Et, Et tot en met E.

17 .. IMPLEMENTATIE ASPECTEN 9 3. Bepaal voor de niet-basisvariabelen x j (behalve die er het laatst bij is gekomen) de duale variabelen v j = u T a j p j. 4. Als alle v j s niet-negatief zijn: de oplossing is optimaal en stop. Anders: Kies k zdd. v k v j voor alle niet-basisvariabelen x j. 5. Bepaal a k = B a k door herhaalde voorvermenigvuldiging met E, E tot en met E t. 6. Als a k 0: er is een oneindige oplossing en stop. { Anders: bepaal pivotrij r zdd. = min a ik }. > 0 b r a rk 7. Bepaal de vector g t+ en de component r t+ die E t+ vastleggen. b i a ik Oplossing duale probleem Uit de algemene theorie van de lineaire optimalisering volgt dat v B = 0, v T N = pt B B N p T N de oplossing van het duale probleem is. Voorbeeld. Beschouw het volgende LP-probleem: 4x + x + x 3 = ; x, x 0 max x + 4x x + x 4 = ; x 3, x 4 0 x + 3x + x 5 = ; x 5 0. Iteratie : De basisvariabelen zijn x 3, x 4 en x 5, en E 0 = I. b = (,, ) T ; u = (0, 0, 0) T. 4 v = (0, 0, 0) = ; v = (0, 0, 0) 0 4 = 4. 3 k = (bij x ); a = a = (4,, ) T ; min{ 4,, } = en r = (bij x 4 ); g = ( 4,, ) T. Iteratie : De basisvariabelen zijn x 3, x en x b = 0 + = ; ut = (0,, 0)E = (0,, 0). 8 4 v = (0,, 0) 0 4 = 4; k = (bij x ); a = E a = = min{ 4,, 8 3 } = en r = (bij x 3 ); g = (, 0, 3 )T.

18 0 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) Iteratie 3: De basisvariabelen zijn x, x en x 5. 0 b = = ; ut = (4,, 0)E E = (7,, 0)E = (7, 7, 0) v 4 = (7, 7, 0) 0 = 7; k = 4 (bij x 4). a 4 = E E a 4 = E = E 0 = 4 0 =. 4 min{,, 4 } = en r 3 = 3 (bij x 5 ). g 3 = (, 4, 4 )T. Iteratie 4: De basisvariabelen zijn x, x en x 4. b = + 3 = u T = (4,, 0)E 3 E E = (4,, 7 4 )E v 3 = ( 35 8, 0, 7 4 ) 0 0 = E 3 = ( 35 8,, 7 4 )E = ( 35 8, 0, 7 4 ). Het huidige tableau is optimaal. De optimale oplossing luidt x B = b en x N = 0, d.w.z. x = 3, x = 3, x 4 =, x 3 = x 5 = 0. Het duale probleem luidt: 4u + u + u 3 min u + u + u 3 u + 3u 3 4 u, u, u 3 0 met als optimale oplossing u = 35 8, u = 0, u 3 = 7 4. Vergelijking gewone en herziene simplex methode. Laten we uitgaan van een LP-probleem met n variabelen en m ongelijkheden.. Een gewoon simplex tableau heeft m + rijen en n + kolommen. Per iteratie moeten de pivotkolom en pivotrij worden bepaald (complexiteit O(n) resp. O(m)) en moeten alle elementen van het tableau worden aangepast (complexiteit O(nm)). De complexiteit van een iteratie van de herziene simplex methode is minstens O(nm) (alleen stap 3 heeft al deze complexiteit). De winst van de herziene simplex methode zit in feite in de geheugenopslag. Deze is in de gewone simplex methode O(nm) en in de herziene simplex methode (als we na hoogstens m iteraties een herinverzie doen) O(m ). In de meeste practische problemen is n vele malen groter dan m, zodat dit een aanzienlijk verschil geeft.

19 .3. GEVOELIGHEIDSANALYSE Verder zijn er nog geavanceerde technieken, die we hier niet zullen behandelen, die verdere voordelen aan de herziene simplex methode geven. Deze betreffen het gebruik van de spaarzaamheid, d.w.z. dat de meeste elementen in de vectoren 0 zijn, en LU-decompositie. Vraag. Laat zien dat als x k in de basis komt op plaats r, dan geldt: B nieuw = B oud E, waarbij E de eenheidsmatrix is met in de r-de kolom de vector B oud a k. Vraag.3 Toon aan dat als x k in de basis komt op plaats r, de bijbehorende elementaire matrix E de eenheidsmatrix is, waarin de r-de kolom vervangen is door een kolom met op plaats r het element a rk en op de plaatsen i r de elementen a ik a. rk..3 Opgaven Opgave. Bepaal met de simplex methode voor begrensde variabelen een optimale oplossing van { } x + x + x 3 6; 0 x 3 max x + x + x 3. x x + x 3 ; 0 x 3 Opgave. Bepaal met de herziene simplex methode een optimale oplossing van x + x + x 3 4; max x + x x 3 x + x x 3 6; x, x, x 3 0. x + x 5; Geef ook het duale probleem en de optimale oplossing ervan..3 Gevoeligheidsanalyse In deze paragraaf zullen we onderzoeken hoe veranderingen in de gegevens van het het probleem doorwerken in de optimale oplossing. We zullen de volgende veranderingen bespreken:. veranderingen in één coëfficiënt van de doelfunctie.. veranderingen in één coëfficiënt van het rechterlid. 3. veranderingen in meer coëfficiënten van het rechterlid of doelfunctie. 4. veranderingen in een kolom van een niet-basisvariabele. 5. toevoegen van een nieuwe activiteit (variabele). 6. parametrische programmering. Voor deze technieken zie bijvoorbeeld: M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis and H.D. Sherali, Linear programming and network flows, Wiley, 990.

20 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) Beschouw het LP-probleem in de gedaante max j p jx j met de volgende beperkingen: j a ijx j b i, i I, met b i 0 voor alle i I ; j a ijx j b i, i I, met b i < 0 voor alle i I ; j a ijx j = b i, i I 3, met b i 0 voor alle i I 3 ; x j 0, j =,,..., n. Door niet-negatieve verschilvariabelen y i, i I I, en schijnvariabelen z i, i I I 3, in te voeren schrijven we het stelsel in de vorm: j a ijx j + y i = b i, i I ; j a ijx j y i + z i = b i, i I ; j a ijx j +z i = b i, i I 3 ; x j 0, j =,,..., n; y i 0, i I I ; z i 0, i I I 3. Al deze variabelen stoppen we in één grote vector x, die we opsplitsen in een vector van basisvariabelen x B en een vector van niet-basisvariabelen x N. Het optimale tableau heeft de gedaante: x N x B B b B N x 0 p T B B b p T B B N p T N x B = B b 0 u N = p T B B N p T N 0, waarbij de niet-negativiteit niet hoeft te gelden voor de elementen in de kolommen van de schijnvariabelen..3. Veranderingen in één coëfficiënt van de doelfunctie Veranderingen in de doelfunctie hebben geen invloed op de toelaatbaarheid: B blijft een goede basismatrix, maar wel kan de niet-negativiteit van u N in gevaar komen. Voor iedere coëfficiënt p j van de doelfunctie kunnen we onder- en bovengrenzen berekenen waarvoor de huidige oplossing x B = B b, x N = 0 nog steeds optimaal is. Stel p j wordt vervangen door p j + λ, d.w.z. in plaats van de vector p hebben we de vector p met { p pi als i j; i = p j + λ als i = j. Laat e i de i-de eenheidsvector zijn. We onderscheiden de volgende twee gevallen: { p a. x j is een basisvariabele, zeg x j = (x B ) k, zodat: N = p N ; p B = p B + λe k. u N = (p B) T B N (p N) T = {p B + λe k } T B N p T N = u N + λ(e k ) T B N = u N + λ{b N} k. u N is dus de oude vector plus λ maal de k-de rij van het tableau. Hiervoor moet de nietnegativiteit gelden, waaruit eenvoudig het bereik van λ is te bepalen. We merken weer op dat de niet-negativiteit niet nodig is voor de coëfficiënten die behoren bij de z-variabelen.

21 .3. GEVOELIGHEIDSANALYSE 3 b. x j is een niet-basisvariabele, zeg x j = (x N ) k, zodat: { p N = p N + λe k ; p B = p B. u N = (p B) T B N (p N) T = (p B ) T B N {p T N + λe k } T = u N λ(e k ) T. Voor de niet-negativiteit van u N moet dus gelden λ (u N) k, d.w.z. de huidige oplossing blijft optimaal voor p j p j + (u N ) k..3. Veranderingen in één coëfficiënt van het rechterlid Veranderingen in het rechterlid hebben geen invloed op de niet-negativiteit van u N, echter wel op die van x B = B b. Ook nu kunnen we voor iedere coëfficiënt b i van het rechterlid onder- en bovengrenzen bepalen waarvoor de huidige basis nog steeds een optimale basis is, met wel andere waarden voor de basisvariabelen. Stel b j wordt vervangen door b j + λ, d.w.z. in plaats van de vector b hebben we de vector b met b i = { bi als i j b j + λ als i = j. Als i I, dan beschouwen we y i als de bij de i-de gelijkheid behorende variabele; als i I I 3, dan is z i de bijbehorende variabele. Indien i I, dan is het rechterlid -b i. We onderscheiden weer de volgende twee gevallen: a. De bij de j-de gelijkheid behorende variabele is een basisvariabele, zeg op plaats k: Dan is B k = e j, zodat geldt: B b = B {b + λe j } = B b + λb B k = B b + λe k. Voor de niet-negativiteit moet dus gelden: λ {B b} k, d.w.z. de huidige oplossing blijft optimaal voor b j b j (x B ) k. b. De bij de j-de gelijkheid behorende variabele is een niet-basisvariabele, zeg op plaats k: Dan is N k = e j, zodat geldt: B b = B {b + λe j } = B b + λb N k. B b is dus de oude vector plus λ maal de k-de kolom van het tableau. Hiervoor moet de niet-negativiteit gelden, waaruit het bereik van λ volgt..3.3 Veranderingen in meer coëfficiënten van het rechterlid (of doelfunctie) Veronderstel dat het rechterlid van b verandert in b = b + b. Ook deze verandering heeft geen invloed op de niet-negativiteit van u N, echter wel op die van B b. Laat x 0 de optimale oplossing van het oorspronkelijke probleem zijn en x i een optimale oplossing voor het probleem met b vervangen door b + max i e i, waarbij max i de maximale waarde (als ( b) i 0) of de minimale waarde (als ( b) i < 0) van λ is, zoals die volgens de methode van de vorige paragraaf gevonden kan worden. Omdat B in alle gevallen de bijbehorende basismatrix is, geldt Bx i = b + max i e i, i m. Veronderstel dat ( b) i = λ i max i met λ i 0, i m en m i= λ i. Laat λ 0 = m i= λ i, max 0 = 0 en beschouw x = m i=0 λ ix i. Dan geldt: x 0 en Bx = m i=0 λ ibx i = m i=0 λ i(b + max i e i ) = b + m i= λ i( max i e i ) = b + b = b.

22 4 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) B blijft dus een optimale basismatrix. Deze regel, dat de basis optimaal blijft voor veranderingen die (maximaal) convexe combinaties zijn van de maximale veranderingen van de componenten b i, heet de 00%-regel. Opmerking Op analoge wijze is af te leiden dat de huidige oplossing optimaal blijf voor veranderingen in de doelfunctie die (maximaal) convexe combinaties zijn van de maximale veranderingen van de componenten p j. Vraag.4 a. Los met de simplex methode het volgende probleem op: { x + x 3 8; max x + x + 3x 3 x + x + x 3 = 8; x, x, x 3 0 }. b. Voer de gevoeligheidsanalyse uit op: - de coëfficiënten van x en x uit de doelfunctie; - de beide coëfficiënten van het rechterlid..3.4 Veranderingen in een kolom van een niet-basisvariabele Veronderstel dat een kolom van A verandert in de vector a en dat deze kolom behoort bij de k-de niet-basisvariabele (x N ) k. Dit heeft - voor de controle op toelaatbaarheid en optimaliteit - alleen gevolgen voor de waarde van (u N ) k (ga dit zelf na). Uit het simplex tableau volgt dat de nieuwe waarde, zeg (u N ) k, voldoet aan (u N ) k = p T B B a (p N ) k. Er geldt dat p T B B = u T, immers (analoog aan wat we hebben gedaan bij verandering in één coëfficiënt van het rechterlid): als de bij de j-de gelijkheid behorende variabele een basisvariabele is, zeg op plaats k, d.w.z. B k = e j, ofwel e k = B j, dan geldt: u j = (u B ) k = 0 en ook {p T BB } j = p T BB j = p T Be k = (p B ) k = 0; als de bij de j-de gelijkheid behorende variabele een niet-basisvariabele is, zeg op plaats k, d.w.z. N k = e j, dan geldt: u j = (u N ) k = p T BB N k (p N ) k = p T BB e j 0 = {p T BB } j. We kunnen dus schrijven: (u N ) k = u T a (p N ) k, waaruit volgt dat de waarde (u N ) k eenvoudig te berekenen is. Indien (u N ) k 0, dan is de huidige oplossing nog steeds optimaal; indien (u N ) k < 0, dan moet deze kolom als pivotkolom worden gekozen en moet er verder worden geïtereerd. In het tableau moet dan de oude k-de kolom worden vervangen door B a. Om deze nieuwe kolom te berekenen moeten we dus B kennen. De matrix B kan uit het simplex tableau worden afgelezen en wel als volgt:

23 .3. GEVOELIGHEIDSANALYSE 5 a. Als de variabele bij de i-de beperking (y i als i I, anders z i ) een niet-basisvariabele is en hoort bij de k-de kolom van het tableau, dan geldt N k = e i, dus B N k = B e i = {B } i, d.w.z. de i-de kolom van B is de k-de kolom van het tableau. b. Als de variabele bij de i-de beperking een basisvariabele is en hoort bij het k-de element van de basis, dan geldt B k = e i, dus B B k = B e i, dus e k is de i-de kolom van B..3.5 Toevoegen van een nieuwe activiteit/variabele Het toevoegen van een nieuwe activiteit met kolom a en coëfficiënt p in de doelfunctie kan op dezelfde wijze worden ingepast in de methode als het veranderen van een kolom van een niet-basisvariabele: beschouw de variabele van deze activiteit in het huidige probleem als een niet-basisvariabele met in de kolom incl. de onderste rij allemaal nullen, en vervang deze door B a resp. u T a p. Voorbeeld.3 Beschouw het volgende LP-probleem: x + x 3 5; x 0 max x + x + x 3 x + x 3 ; x 0 x x + 3x 3 = ; x 3 0. Het optimale simplex tableau van dit probleem is: x z z 3 y y x 0-3 x x We zullen de volgende veranderingen bekijken:. de coëfficiënten van de variabelen x en x in de doelfunctie;. de coëfficiënten b en b van het rechterlid; 3. een nieuwe kolom voor de variabele x.. De coëfficiënten van de x en x in de doelfunctie: p : λ : de huidige oplossing blijft optimaal voor p + = 3. p : (, 5 ) + λ(, 3 ) 0, d.w.z. λ : de huidige oplossing blijft optimaal voor p = 0.. De coëfficiënten van b en b in de doelfunctie: b : (, 3, 5) + λ(, 3, ) 0, d.w.z. λ : de huidige oplossing blijft optimaal voor b 5 = 4. b : (, 3, 5) + λ(, 0, 0) 0, d.w.z. λ : de huidige oplossing blijft optimaal voor b + = 3 (merk op dat de tweede beperking in de standaardschrijfwijze luidt: x x 3 y + z = ). 3. Veronderstel vervolgens dat de kolom van x wordt veranderd in a = (0, 0, ). Dan geldt: (u N ) = u T a (p N ) = ( 5, 0, )(0, 0, )T =, dus het tableau is niet meer optimaal. Uit het tableau volgt B :

24 6 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) B = Het nieuwe tableau wordt:, dus B a = =. 0 y 3 x x z z 3 y 0 3 x x y z z 3 y x - - x 6-0 x x De optimale oplossing is: x =, x = 6, x 3 = 5 met waarde. De duale oplossing is: u = 3, u =, u 3 =..3.6 Parametrische programmering Bij parametrische programmering beschouwen we i.p.v. een vaste vector, zoals de vector p in de doelfunctie, een vector die de som is van een vaste vector en een parameter, zeg λ, maal een andere vaste vector. Doen we dit voor de doelfunctie, dan wordt het parametrisch LP-probleem: max{(p + λq) T x Ax b; x 0} (.7) Als we het rechterlid parametriseren, dan beschouwen we het probleem max{p T x Ax b + λc; x 0} (.8) Parametrische programmering van de doelfunctie We beschouwen probleem (.7) en we gaan uit van een optimaal tableau voor de oorspronkelijke doelfunctie p T x met bijbehorende optimale basis B. Dan is x B = B b onveranderd, dus nog steeds een toelaatbare oplossing. Voor de gewijzigde u N, zeg u N is de gewijzigde, geldt: u N = (p B + λq B ) T B N (p N + λq N ) T = u N + λ(qbb T N qn). T Om in te zien of de huidige oplossing ook optimaal is, moeten we nagaan voor welke waarden van λ de vector u N 0 is. Daartoe nemen we vanaf het eerste simplex tableau naast pt x ook q T x als rij mee in de simplex tableaus. In het tableau van basis B is nu eenvoudig na te gaan tot welke waarde, vanaf 0, λ kan stijgen zonder de optimaliteit in gevaar te brengen. Voor zekere waarde van λ en voor een zekere niet-basisvariabele, zeg (x N ) j, zal (u N ) j + λ(qbb T N qn) T j gelijk aan 0 zijn en bij verdere stijging negatief worden. Zo n kolom j wordt dan pivotkolom, waarna we een pivotoperatie uitvoeren en nagaan hoever λ verder kan stijgen, etc. Op analoge manier kunnen we vanuit λ = 0 de parameter λ laten dalen, steeds negatiever maken en telkens de optimaliteit onderzoeken. We zullen dit demonstreren in onderstaand voorbeeld.

25 .3. GEVOELIGHEIDSANALYSE 7 Voorbeeld.4 { max ( λ)x + ( λ)x + ( 3 + λ)x 3 x + x + x 3 5; x, x 0 x + x 3x 3 ; x 3 0 }. Het optimale tableau voor λ = 0 staat hieronder (de kolom van de z is weggelaten, want deze doet niet meer ter zake). De rij bij p T x noemen we u(p) en de rij bij q T x heet u(q). De optimale waarde van de parametrische functie noemen we z(λ). y x x 3 y 3 * 3 - x 5 u(p) u(q) Dit tableau is optimaal voor λ met bijbehorende oplossing: x = 5, x = x 3 = 0 en z(λ) = 0 5λ. y x x 3 y x - - *3 u(p) u(q) - -4 Dit tableau is optimaal voor λ 9 4 met bijbehorende oplossing: x =, x = x 3 = 0 en z(λ) = 4 λ. y y x x x u(p) u(q) Dit tableau is optimaal voor 9 4 λ 3 met bijbehorende oplossing: x = x = 0, x 3 = 3 en z(λ) = + 3 λ. 4 3 y x x y x 3 5 u(p) u(q) 5 3 Dit tableau is optimaal voor λ 3 met bijbehorende oplossing: x = x = 0, x 3 = 5 en z(λ) = 5 + 5λ. Stelling. z(λ) is een stuksgewijze lineaire, convexe functie van λ. Bewijs Uit bovenstaande methode volgt dat z(λ) op intervallen een lineaire functie is. We zullen nu de convexiteit aantonen. Kies λ en λ, en laat λ = αλ + ( α)λ, waarbij α [0, ]. Veronderstel dat x en x optimale oplossingen zijn bij λ, resp. λ, en laat x een optimale oplossing bij λ zijn. We moeten bewijzen dat z(λ) αz(λ ) + ( α)z(λ ). αz(λ ) + ( α)z(λ ) = α(p + λ q) T x + ( α)(p + λ q) T x α(p + λ q) T x + ( α)(p + λ q) T x = { p + {αλ + ( α)λ }q } T x = (p + λq) T x = z(λ).

26 8 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ) Parametrische programmering van het rechterlid We beschouwen nu probleem (.8) en we gaan weer uit van een optimaal tableau voor het oorspronkelijke rechterlid b met bijbehorende optimale basis B. Dan is u T N = pt B B N p T N onveranderd, dus nog steeds een duaal toelaatbare oplossing. Voor de gewijzigde primale oplossing, zeg x B, geldt x B = B (b + λc) = B b + λb c. Om in te zien of de huidige oplossing ook toelaatbaar is, moeten we nagaan voor welke waarden van λ de vector B b+λb c 0 is. Daartoe nemen we vanaf het eerste simplex tableau naast b ook c als kolom mee in de simplex tableaus. In het tableau van basis B is nu eenvoudig na te gaan tot welke waarde, vanaf 0, λ kan stijgen zonder de toelaatbaarheid in gevaar te brengen. Voor zekere waarde van λ en voor een zekere basisvariabele, zeg (x B ) i, zal B b + λb c 0 gelijk aan 0 zijn en bij verdere stijging negatief worden. Zo n rij i wordt dan pivotrij, waarna we een pivotoperatie uitvoeren en nagaan hoever λ verder kan stijgen, etc. Hiervoor gebruiken we een andere versie van de simplex methode, de zogenaamde duale simplex methode. De duale simplex methode is in feite de gewone simplex methode, maar dan toegepast op het duale probleem. Deze zal later in sectie.4 worden behandeld, maar we vermelden nu reeds zonder bewijs hoe een iteratie verloopt. Algoritme. Een iteratiestap van de duale simplex methode Invoer: Een duaal toelaatbaar tableau met elementen b en d voor het getransformeerde rechterlid resp. de getransformeerde doelfunctie en met A voor de elementen in het inwendige. Uitvoer: Een duaal toelaatbaar tableau met elementen b, d en A, verkregen door transformatie uit het vorige tableau; of de conclusie dat de huidige oplossing optimaal is; of de conclusie dat het probleem ontoelaatbaar is.. Als b i 0 voor alle i: ga naar stap 7.. Kies als pivotrij een rij r, behorende bij een basisvariabele met b r < Als de pivotrij geen negatieve elementen bevat: het LP-probleem is ontoelaatbaar (STOP). { } d 4. Bepaal de pivotkolom k zdd. d k a = min j j rk a rj a rj < Voer een pivotoperatie uit: Verwissel de variabelen (x B ) r en (x N ) k. b r := b r a ; b i rk a rj := a rj a rk 6. Ga naar stap. := b i b ra ik a, i r; d k := d k rk a ; d j rk, j k; a ik := a ik, i r; a ij := a ij a rj a ik a rk := d j a rj d k a, j k. rk a rk, j k, i r; a rk := a. rk 7. De optimale oplossing is gevonden: de basisvariabelen krijgen de waarde van de corresponderende b i s, de overige variabelen hebben de waarde 0; de waarde van het optimum is gelijk aan b m+. De duale oplossing is op de bekende wijze af te leiden uit de onderste rij.

27 .3. GEVOELIGHEIDSANALYSE 9 Op analoge manier kunnen we vanuit λ = 0 de parameter λ laten dalen, steeds negatiever maken en telkens de optimaliteit onderzoeken. We zullen dit demonstreren in onderstaand voorbeeld. Voorbeeld.5 { max x + 3x x + x 6 λ; x 0 x + x 6 + λ; x 0 }. Het optimale tableau voor λ = 0 staat hieronder (voor het rechterlid hebben we nu twee kolommen: de getransformeerde b en c ). b c y y x - 3 x x De optimale oplossing van dit tableau luidt: x = λ, x = 4 met waarde 4 λ. Dit tableau is optimaal voor λ. Voor λ > wordt het rechterlid in de eerste rij negatief: de eerste rij wordt pivotrij en de kolom van y de pivotkolom. b c y x y x 6 - x Optimaal tableau voor λ > met oplossing: x = 0, x = 6 λ en waarde 8 3λ. Voor λ > 6 wordt het rechterlid in de tweede rij negatief. Omdat er in de tweede rij geen negatief element staat, is er geen pivotkolom: voor λ > 6 is het probleem ontoelaatbaar. Stelling. De doelfunctie z(λ) is een stuksgewijze lineaire, concave functie van λ. Bewijs Uit bovenstaande methode volgt dat z(λ) op intervallen een lineaire functie is. We zullen nu de concaviteit aantonen. Kies λ en λ, en laat λ = αλ + ( α)λ, waarbij α [0, ]. We moeten bewijzen dat z(λ) αz(λ ) + ( α)z(λ ) en doen dat via het duale probleem. Veronderstel dat u en u optimale oplossingen van het duale probleem zijn bij λ, resp. λ, en laat u een optimale oplossing bij λ zijn. αz(λ ) + ( α)z(λ ) = α(b + λ c) T u + ( α)(b + λ c) T u α(b + λ c) T u + ( α)(b + λ c) T u = { b + {αλ + ( α)λ }c } T u = (b + λc) T u = z(λ). Vraag.5 Bepaal voor alle waarden van λ de optimale oplossing van het LP-probleem max { ( λ)x + (3 λ)x x + x 6; x 0 x + x 6; x 0 }.

28 0 HOOFDSTUK. LINEAIRE OPTIMALISERING (DEEL ).3.7 Opgaven Opgave.3 Beschouw het volgende LP-probleem: max 4x x 3x 3 x x + x 3 4; x 0 x + x x 3 = ; x 0 x x + x 3 ; x 3 0. a. Bepaal een optimale oplossing met de simplex methode. b. Wat is de optimale oplossing als een variabele x 4 wordt toegvoegd met in de doelfunctie de coëfficiënt - en in de drie beperkingen resp. de coëfficiënten -, 0 en. Beantwoord deze vraag zonder het nieuwe probleem van vooraf aan op te lossen, maar vanuit het in onderdeel a verkregen optimale tableau. Opgave.4 Beschouw het volgende LP-probleem: max x + 5x x 4; x 0 x 3; x 0 x + x 6;. a. Bepaal een optimale oplossing met de simplex methode. b. Bepaal, uitgaande van het in onderdeel a gevonden optimale tableau, een optimale oplossing van hetzelfde probleem met daaraan toegevoegd een derde variabele: x + 3x 3 4; x 0 max x + 5x + 9x 3 x + x 3 3; x 0 x + x + x 3 6; x 3 0 c. Los voor alle waarden van λ het volgende parametrisch LP-probleem op: x 4; x 0 max ( + λ)x + 5x x 3; x 0. x + x 6; d. Los voor alle waarden van λ het volgende parametrisch LP-probleem op: x 4; x 0 max x + 5x x 3 + λ; x 0. x + x 6; Opgave.5 Beschouw het toevoegen van een rij aan een reeds opgelost LP-probleem, waarin B de optimale basismatrix is. Veronderstel dat de extra rij van de vorm a T m+ x b m+ is, en dat als de.

29 .4. DE DUALE EN DE PRIMALE-DUALE SIMPLEX METHODE kolom ( van de verschilvariabele ) y m+ aan de basis matrix wordt toegevoegd deze de gedaante B 0 B = heeft. a m+ ( ) a. Toon aan dat B B 0 = is. a m+ B b. Beschouw het volgende LP-probleem: x + x ; x 0 max x + 3x x 4x 5; x 0. x + x 3; x + x 6; Los dit probleem op en bepaal vanuit deze oplossing de optimale oplossing van het probleem waaraan als extra beperking is toegevoegd: x + 3x 5. Gebruik voor extra pivot stappen de duale simplex methode..4 De duale en de primale-duale simplex methode.4. De duale simplex methode In de simplex methode hebben we (in fase II) steeds een toelaatbaar hoekpunt van het LPprobleem. Zodra de bijbehorende duale oplossing toelaatbaar is, zijn beide oplossingen optimaal. De duale simplex methode doet iets omgekeerds: we hebben steeds een toelaatbaar hoekpunt van het duale LP-probleem en zodra de bijbehorende oplossing van het oorspronkelijke probleem toelaatbaar is, zijn beide oplossingen optimaal. Deze omgekeerde aanpak is in de volgende gevallen zinvol:. Als er niet eenvoudig een toelaatbaar hoekpunt van (.) is te vinden, maar wel van (.4). Dit laatste is bijvoorbeeld het geval als p 0 (zie verder).. Bij parametrische programmering van het rechterlid (zie vorige paragraaf) of als - nadat een LP-probleem is opgelost, zeg met de gewone simplex methode - het rechterlid b wordt vervangen door b, waarbij we hopen dat het nieuwe optimum niet ver van het oude is verwijderd. We vervangen dan in het optimale tableau bij basismatrix B de eerste kolom door B b. Als B b 0, dan is de huidige oplossing reeds optimaal, en anders voeren we enkele stappen van de duale simplex methode uit om de nieuwe optimale oplossing te vinden. 3. Als, nadat het LP-probleem is opgelost, er extra voorwaarden worden gesteld waar de optimale LP-oplossing niet aan voldoet (zie Opgave.5). Dit wordt ook gebruikt bij bepaalde methoden om geheeltallige lineaire optimaliseringsproblemen op te lossen (zie het volgende hoofdstuk). De duale simplex methode is in 954 ontwikkeld door Beale en Lemke, onafhankelijk van elkaar. Zie resp. E.M.L. Beale, An alternative method for linear programming, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 50 (954) en C.E. Lemke, The dual method for solving the linear programming problem, Naval Research Logistics Quarterly (954)

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015

Optimalisering. Hoorcollege 4. Leo van Iersel. Technische Universiteit Delft. 23 september 2015 Optimalisering Hoorcollege 4 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 september 2015 Leo van Iersel (TUD) Optimalisering 23 september 2015 1 / 19 Mededelingen Maandag 28 september: deadline huiswerk

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

INHOUDSOPGAVE LEERGANG BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

INHOUDSOPGAVE LEERGANG BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN INHOUDSOPGAVE LEERGANG BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN TEN GELEIDE Deze Leergang Besliskunde bevat de dictaten die ik heb geschreven voor de diverse besliskundecolleges die door mij

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Convexe functies op R (niet in het boek)

Convexe functies op R (niet in het boek) Convee uncties op R (niet in het boe Een unctie : R R heet conve, als voor alle, R en ele λ [0,] geldt dat (λ + (-λ λ( + (-λ(. Voor een unctie op R beteent dit dat als je twee willeeurige punten op de

Nadere informatie

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003

Tentamen Inleiding Speltheorie 29-10-2003 entamen Inleiding Speltheorie 9-0-003 Dit tentamen telt 5 opgaven die in 3 uur moeten worden opgelost. Het maximaal te behalen punten is 0, uitgesplitst naar de verschillende opgaven. Voor het tentamencijfer

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Uitwerkingen oefenopdrachten or

Uitwerkingen oefenopdrachten or Uitwerkingen oefenopdrachten or Marc Bremer August 10, 2009 Uitwerkingen bijeenkomst 1 Contact Dit document is samengesteld door onderwijsbureau Bijles en Training. Wij zijn DE expert op het gebied van

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Een objectief Ranglijst Systeem. ontworpen door. Martien Maas

Een objectief Ranglijst Systeem. ontworpen door. Martien Maas Een objectief Ranglijst Systeem ontworpen door Martien Maas Nijmegen, Nederland, Augustus 2014 1 Eigenschappen van het Ranglijst Systeem: Het Maas Ranglijst Systeem is objectief: op geen enkele manier

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

Optimalisering WI 2608

Optimalisering WI 2608 Optimalisering WI 2608 Docent: Hans Melissen, EWI kamer 7.080 e-mail: j.b.m.melissen@ewi.tudelft.nl tel: 015-2782547 Studiemateriaal op : http://www.isa.ewi.tudelft.nl/~melissen (kijk bij onderwijs WI

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002

WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2. maar en hoe nu verder? 29 november 2002 - 0 - WISKUNDE B -DAG 2002 1+ 1 = 2 maar en hoe nu verder? 29 november 2002 De Wiskunde B-dag wordt gesponsord door Texas Instruments - 1 - Inleiding Snel machtverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen.

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

9. Strategieën en oplossingsmethoden

9. Strategieën en oplossingsmethoden 9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015

Optimalisering/Besliskunde 1. College 1 2 september, 2015 Optimalisering/Besliskunde 1 College 1 2 september, 2015 Algemene informatie College: woensdag 13:45-15:30: Leiden C1 en C2: Gorlaeus gebouw Zaal DS: De Sitterzaal, Oort gebouw Werkcollege: vrijdag: Leiden

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014 Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST

Twaalfde college complexiteit. 11 mei 2012. Overzicht, MST College 12 Twaalfde college complexiteit 11 mei 2012 Overzicht, MST 1 Agenda voor vandaag Minimum Opspannende Boom (minimum spanning tree) als voorbeeld van greedy algoritmen Overzicht: wat voor technieken

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem

Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Voorbeeld van herschrijven als transportprobleem Het water van 3 rivieren moet worden verdeeld over 4 steden. Daar zijn kosten aan verbonden per eenheid water (zie tabel). De steden hebben minimumbehoeften

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk 4 Eigenwaarden en eigenvectoren 4.1 Inleiding Tot nu toe zijn al onze vectoren en matrices reëel geweest d.w.z. de theorie voor stelsels lineaire vergelijkingen en de theorie der matrices en

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c

start -> id (k (f c s) (g s c)) -> k (f c s) (g s c) -> f c s -> s c Een Minimaal Formalisme om te Programmeren We hebben gezien dat Turing machines beschouwd kunnen worden als universele computers. D.w.z. dat iedere berekening met natuurlijke getallen die met een computer

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN

VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: Logaritmen en getal e. 23 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: Logaritmen en getal e 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I)

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) Stochastic Operations Research I (2014/2015) Selection of exercises from book and previous exams. Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) 1.1 Book pp 179 185 These are useful exercises to learn

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen!! "#$ #!%!& " %'!& " #!' " # ( # )' * # ' #*" # + '!#*" ' ' + + ' '!, %' &% &%& % -&. = / +. = / + * 0 #!*" 0 $! 1 = ' + 1 = - 0 " "!$ *# 2 1 = # '2 = ' + 2

Nadere informatie

Over polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering

Over polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering Over polaire kegels, stelsels lineaire ongelijkheden en hun toepassingen in de financiering Erik J. Balder, Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht 1 Polaire kegels Ik geef een stukje lineaire algebra

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek

Enkele basismodellen uit operationeel onderzoek Enkele baimodellen uit operationeel onderzoek Roel Leu Roel.Leu@econ.kuleuven.be Studiedag Wikunde e graad ASO 6 mei Inleiding Operationeel onderzoek (O.O.) = het gebruik van wikundige technieken voor

Nadere informatie

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6

OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 OEFENINGEN PYTHON REEKS 6 1. A) Schrijf een functie die een getal x en een getal y meekrijgt. De functie geeft de uitkomst van volgende bewerking als returnwaarde terug: x y x als x y x y y als x < y B)

Nadere informatie

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1

Oefeningen voor de oefeningenles. Oefening 1 Oefeningen voor de oefeningenles Oefening 1 Gegeven een arbitraire binaire zoekboom T met n toppen en een (andere of gelijke) binaire zoekboom T die ook n sleutels bevat. Beschrijf een algoritme dat in

Nadere informatie

Uitwerking Basisopgaven

Uitwerking Basisopgaven Uitwerking Basisopgaven Opgave 1 a. Gevraagd wordt om y = 3x 2 te tekenen. Een manier om dit te doen is het berekenen van snijpunten met x-as en y-as: - Snijpunt y-as: x = 0 invullen geeft y = 3.0 2 =

Nadere informatie

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms Stochastische Modellen in Operations Management (153088) R1 S0 240 ms Ack Internet R2 L1 R3 L2 10 ms 1 10 ms D1 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219 http://wwwhome.math.utwente.nl/~boucherierj/onderwijs/153088/153088.html

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De Laplace-transformatie

De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening

Nadere informatie

Inleiding Digitale Techniek

Inleiding Digitale Techniek Inleiding Digitale Techniek Week 4 Binaire optellers, tellen, vermenigvuldigen, delen Jesse op den Brouw INLDIG/25-26 Optellen Optellen is één van meest gebruikte rekenkundige operatie in digitale systemen.

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO

Correctievoorschrift HAVO Correctievoorschrift HAVO 007 tijdvak wiskunde A, Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie