Lineaire Algebra (2DD12)

Transcriptie

1 Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 1 / 60

2 Inhoud 1 Motivatie 2 Stelsels lineaire vergelijkingen 3 De eliminatiemethode 4 Matrices 5 Rij-equivalentie 6 Echelon vormen (trapvormen) 7 Gauss-eliminatie 8 Gauss-Jordan reductie 9 Homogene stelsels 10 Matrixoperaties en rekenregels J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 2 / 60

3 Reactievergelijkingen kloppend maken Oxidatie van ammonia tot stikstofoxide en water: Behoud van massa (atomen): (x 1 )NH 3 + (x 2 )O 2 (x 3 )NO + (x 4 )H 2 O atoom N: x 1 = x 3, atoom H: 3x 1 = 2x 4, atoom O: 2x 2 = x 3 + x 4. Dit geeft een stelsel lineaire vergelijkingen in vier onbekenden: x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 Hoe los je zo n stelsel op? Antwoord: met de eliminatiemethode J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 3 / 60

4 x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 Trek de eerste vergelijking drie maal van de tweede af om x 1 te elimineren uit de tweede vergelijking: x 1 x 3 = 0 3x 3 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 Verwissel de tweede en derde vergelijking: x 1 x 3 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 3x 3 2x 4 = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 4 / 60

5 x 1 x 3 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 3x 3 2x 4 = 0 Deel de tweede vergelijking door 2 en de derde door 3: x 1 x 3 = 0 x x x 4 = 0 x x 4 = 0 Tel de derde vergelijking een half maal op bij de tweede en één maal bij de eerste: x x 4 = 0 x x 4 = 0 x x 4 = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 5 / 60

6 x x 4 = 0 x x 4 = 0 x x 4 = 0 Het stelsel was onderbepaald: er is geen unieke oplossing. Er zijn oneindig veel oplossingen die als volgt kunnen worden gevonden. Als x 4 vrij gekozen wordt, zeg x 4 = t R, dan liggen x 1, x 2 en x 3 vast. De algemene oplossing van dit stelsel is: x 1 = 2 3 t, x 2 = 5 6 t, x 3 = 2 3 t, x 4 = t R. Voor t = 6 krijg je gehele getallen x 1, x 2, x 3, x 4 : 4NH 3 + 5O 2 4NO + 6H 2 O J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 6 / 60

7 Definitie Een lineaire vergelijking in n onbekenden is een vergelijking van de vorm a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, met variabelen x 1,... x n, coëfficiënten a 1,..., a n R, en rechterlid b R. Een oplossing van deze vergelijking is een rij getallen s 1, s 2,... s n R zodat a 1 s 1 + a 2 s a n s n = b, Voorbeeld Een oplossing van de vergelijking in n = 3 variabelen is 1, 4, 1, ofwel x 1 = 1, x 2 = 4, x 3 = 1 3x 1 + 5x 2 8x 3 = 15 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 7 / 60

8 Definitie Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden x 1,..., x n (kortweg lineair stelsel) is een verzameling bestaande uit m vergelijkingen, elk in de n variabelen x 1,..., x n. Een oplossing van het stelsel is een oplossing van elk van de m vergelijkingen van het stelsel. Voorbeeld Gegeven is het volgende stelsel van twee vergelijkingen in drie onbekenden 4x 1 x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 + x 2 + 9x 3 = 4 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 is een oplossing van dit stelsel. x 1 = 1, x 2 = 8, x 3 = 1 is geen oplossing, want voldoet niet aan de tweede vergelijking. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 8 / 60

9 In het algemeen ziet een stelsel van m lineaire vergelijkingen in n onbekenden er als volgt uit: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m waarbij de a ij, 1 i m, 1 j n en de b i, 1 i m gegeven constanten (parameters) in R zijn. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 9 / 60

10 Er zijn drie mogelijkheden voor een lineair stelsel: 1. Het stelsel is strijdig of inconsistent (heeft geen oplossingen) x + y = 4 2x + 2y = 6 y y=4 x y=3 x O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 10 / 60

11 Een inconsistent stelsel herkent men gemakkelijk door systematisch toepassen van de eliminatiemethode. x + y = 4 2x + 2y = 6 Elimineren van x uit de tweede vergelijking geeft: x + y = 4 0 = 2 Vermenigvuldigen van de laatste vergelijking met 1 2 geeft: x + y = 4 0 = 1 Uit een inconsistent stelsel is met de eliminatiemethode altijd de onoplosbare vergelijking 0 = 1 af te leiden. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 11 / 60

12 2. Het stelsel is consistent en heeft precies één oplossing x + y = 4 x + 2y = 6 y y=4 x 2y=6 x O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 12 / 60

13 De eliminatiemethode vindt deze unieke oplossing als volgt. x + y = 4 x + 2y = 6 Elimineren van x uit de tweede vergelijking geeft: x + y = 4 y = 2 Elimineren van y uit de eerste vergelijking geeft: x = 2 y = 2 Dit is de unieke oplossing van het stelsel. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 13 / 60

14 3. Het stelsel is consistent en heeft oneindig veel oplossingen x + y = 4 2x + 2y = 8 y 2y=8 2x y=4 x O x J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 14 / 60

15 De eliminatiemethode geeft een manier om de oneindig vele oplossingen te beschrijven. x + y = 4 2x + 2y = 8 Elimineren van x uit de tweede vergelijking geeft: ofwel x + y = 4 0 = 0 x + y = 4 Kies y vrij in R, daarmee ligt x vast. Een parametervoorstelling (met parameter t) van de algemene oplossing van dit stelsel is dus x = 4 t y = t, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 15 / 60

16 Twee stelsels lineaire vergelijkingen heten equivalent als zij precies dezelfde oplossingen hebben. Voorbeeld De enige oplossing van het stelsel x 3y = 7 2x + y = 7 is x = 2, y = 3. Dit is ook de enige oplossing van en van het stelsel 8x 3y = 7 3x 2y = 0 10x 2y = 14 x = 2 y = 3 Alledrie de stelsels zijn dus equivalent. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 16 / 60

17 De eliminatiemethode x 3y = 7 2x + y = 7 Vervang de tweede vergelijking door de tweede min 2 maal de eerste (elimineer x): x 3y = 7 7y = 21 Deel de tweede vergelijking door 7 (oftewel vermenigvuldig deze met 1 7 ): x 3y = 7 y = 3 Vervang de eerste vergelijking door de eerste plus 3 maal de tweede (elimineer y): x = 2 y = 3 Telkens gaat het stelsel over in een equivalent stelsel. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 17 / 60

18 Om een stelsel te vervangen door een equivalent stelsel dat eenvoudiger op te lossen is kunnen we de volgende drie soorten operaties toepassen 1. Verwissel twee vergelijkingen van plaats. 2. Vermenigvuldig een vergelijking met een constante ongelijk aan nul. 3. Vervang een vergelijking door de som van zichzelf en een veelvoud van een andere vergelijking. NB: Elk van deze operaties is omkeerbaar. NB: Elk van deze operaties behoudt de oplossingsverzameling van het stelsel. De eliminatiemethode past deze drie soorten operaties herhaaldelijk toe om zoveel mogelijk variabelen te elimineren (dwz verwijderen uit alle behalve één vergelijking) en zo een lineair stelsel op te lossen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 18 / 60

19 Het stelsel x 3y = 7 2x + y = 7 kan compact worden weergegeven door de matrix [ ] of de gepartitioneerde matrix [ ] Dit is de uitgebreide matrix van het stelsel. Zonder de rechterleden krijgen we de coëfficiëntenmatrix van het stelsel: [ 1 ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 19 / 60

20 De drie soorten operaties op stelsels lineaire vergelijkingen corresponderen met elementaire rij-operaties op matrices 1. Verwissel twee rijen van de matrix. 2. Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk aan nul. 3. Vervang een rij van de matrix door de som van zichzelf en een veelvoud van een andere rij. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 20 / 60

21 [ Vervang de tweede rij door de tweede min 2 maal de eerste: [ 1 3 ] Deel de tweede rij door 7: [ Vervang de eerste rij door de eerste plus 3 maal de tweede: [ 1 0 ] Telkens gaat de matrix over in de uitgebreide matrix van een equivalent stelsel. Uit de laatste uitgebreide matrix lezen we gemakkelijk de (unieke) oplossing af: x = 2, y = 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 21 / 60 ] ]

22 Voorbeeld Eliminatiemethode geeft: [ [ x + 2y 3z = 4 2x + y 3z = 4 ] [ ] [ De algemene oplossing is eenvoudig af te lezen uit de laatste matrix: x = t + 4 y = t 4 z = t, t R ] ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 22 / 60

23 Rij-equivalentie De drie soorten elementaire rij-operaties op matrices zijn Definitie 1. Verwissel twee rijen van de matrix 2. Vermenigvuldig een rij met een constante ongelijk aan nul 3. Tel een veelvoud van een rij bij een andere rij op Een matrix A heet rij-equivalent met een matrix B (notatie: A B ) als A overgaat in B na het toepassen van een eindige reeks elementaire rij-operaties. NB: Als A en B uitgebreide matrices zijn van lineaire stelsels en A B, dan hebben de stelsels dezelfde oplossingsverzameling (de stelsels zijn equivalent). J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 23 / 60

24 Een stelsel in rij echelon vorm (trapvorm) Als de matrix in trapvorm is, kan men de oplossing van het bijbehorende stelsel direct aflezen De oplossing volgt uit zogenaamde achterwaartse substitutie: x 3 = 1 x 2 = 2 x 3 = = 3 x 1 = 3 2x 2 2x 3 = = 1 Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in trapvorm waaruit de oplossing van het bijbehorende stelsel makkelijk kan worden afgelezen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 24 / 60

25 Trapvorm en gereduceerde trapvorm Definitie Een matrix is in rij echelon vorm (trapvorm) als aan de volgende voorwaarden voldaan is 1. Eventuele nulrijen staan allemaal onderin de matrix 2. Als een rij geen nulrij is, dan is het eerste niet-nul element van de rij een 1 (de leidende 1 van de rij). 3. In elke niet-nul rij staat de leidende 1 rechts van en onder leidende enen in voorgaande rijen. Een matrix is in gereduceerde rij echelon vorm (gereduceerde trapvorm) als bovendien nog aan de volgende voorwaarde voldaan is 4. Als in een kolom een leidende 1 staat, dan zijn alle andere elementen in die kolom gelijk aan 0. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 25 / 60

26 Voorbeeld en zijn in trapvorm, maar niet in gereduceerde trapvorm, terwijl en in gereduceerde trapvorm zijn. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 26 / 60

27 Stelling Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in trapvorm. Eliminatiemethode (Gauss-eliminatie) : Als A = O dan klaar. Anders: Stap 1. Vind de meest linkse kolom j die een niet-nul element bevat (de pivot kolom ) en kies een niet-nul element in deze kolom: de pivot of spil a ij Stap 2. Verwissel de rij van de pivot met de eerste rij: je krijgt matrix B met pivot b 1j J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 27 / 60

28 Stap 3. Deel de eerste rij van B door b 1j : je krijgt matrix C met pivot c 1j = Stap 4. Tel rij 1 een geschikt aantal malen bij de overige rijen op: je krijgt je een matrix D met d 1j = 1 en d hj = 0 voor alle h Stap 5. Laat de eerste rij van D weg en herhaal de procedure voor de matrix A 1 die je overhoudt J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 28 / 60

29 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 29 / 60

30 Stap 6. De matrix is nu in trapvorm. Om een gereduceerde trapvorm te krijgen (Gauss-Jordan reductie ), doen we het volgende: Vind de laatste niet-nul rij en tel deze een geschikt aantal maal op bij de rijen erboven om nullen te introduceren boven de leidende 1 van deze rij Ga nu één rij omhoog en herhaal, totdat alle kolommen met een leidende 1 erin schoongeveegd zijn J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 30 / 60

31 De Gauss-Jordan reductie methode geeft de volgende stelling: Stelling Elke matrix is rij-equivalent met een matrix in gereduceerde trapvorm. NB: de matrix in gereduceerde trapvorm is uniek (geen bewijs). MATLAB: rref(a) geeft je in één keer de unieke matrix in gereduceerde trapvorm (reduced row echelon form) die rij-equivalent is met A. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 31 / 60

32 Gauss-eliminatie: achterwaartse substitutie Voor het oplossen van een lineair stelsel Ax = b met behulp van Gauss-eliminatie transformeren we de uitgebreide matrix [A b] naar een rij-equivalente gepartitioneerde matrix [C d] in trapvorm, en lossen we het equivalente stelsel C x = d op door middel van achterwaartse substitutie : Voorbeeld [unieke oplossing] [C d] = x 3 = 3 x 2 = 2 x 3 = 2 3 = 1 x 1 = 9 2x 2 3x 3 = = 2 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 32 / 60

33 Voorbeeld [oneindig veel oplossingen] [C d] = x 5 = r x 4 = 9 2x 5 = 9 2r x 3 = 7 2x 4 = 7 2(9 x 5 ) 3x 5 = 11 + r x 2 = 7 2x 3 3x 4 + x 5 = 2 + 5r x 1 = 6 2x 2 3x 3 4x 4 5x 5 = 1 10r met r R NB: Kolommen zonder leidende 1 corresponderen met vrije variabelen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 33 / 60

34 Voorbeeld [geen oplossing] [C d] = laatste rij: 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 1 ofwel 0 = 1 NB: Als een stelsel inconsistent is dan ontstaat er bij Gauss-eliminatie altijd een rij van de vorm [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 34 / 60

35 Voorbeeld [nulrijen weglaten] [C d] = het bijbehorende stelsel is equivalent met het stelsel behorend bij [ ] dus parametervoorstelling van de oplossing: x 3 = r x 2 = 2 2r x 1 = 0 3x 2 = 6 + 6r met r R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 35 / 60

36 Voor het oplossen van een lineair stelsel Ax = b met behulp van Gauss-Jordan reductie transformeren we de uitgebreide matrix [A b] naar een rij-equivalente gepartitioneerde matrix [C d] in gereduceerde trapvorm, en lossen we het equivalente stelsel Cx = d eenvoudig op (zonder achterwaartse substitutie): Voorbeeld [C d] = x 1 = 5 x 2 = 6 x 3 = 7 x 4 = 8 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 36 / 60

37 Voorbeeld [C d] = Druk variabelen corresponderend met leidende enen (gebonden variabelen) uit in de overige (vrije) variabelen: x 1 = 2 3 x 2 2x x 5 x 4 = x 5 Dus parametervoorstelling van de algemene oplossing: x 1 = 2 3 r 2s t x 2 = r x 3 = s x 4 = t x 5 = t met r, s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 37 / 60

38 Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op: x 1 + 3x 2 2x 3 + 2x 5 = 0 2x 1 + 6x 2 5x 3 2x 4 + 4x 5 3x 6 = 1 5x x 4 15x 6 = 5 2x 1 + 6x 2 + 8x 4 + 4x x 6 = 6 Breng de uitgebreide matrix in gereduceerde trapvorm met Gauss-Jordan reductie: J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 37 / 60

39 Oplossing: x 1 = 3r 4s 2t, x 2 = r, x 3 = 2s, x 4 = s, x 5 = t, x 6 = 1 3, met r, s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 38 / 60

40 Homogene stelsels Definitie Een stelsel waarvan elke vergelijking rechterlid 0 heeft heet homogeen. Een homogeen stelsel is nooit strijdig, want x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0 is een oplossing. Deze oplossing heet de triviale oplossing van het homogene stelsel. Elke andere oplossing heet een niet-triviale oplossing van het homogene stelsel. Voorbeeld Het volgende homogene stelsel in de variabelen x en y heeft alleen de triviale oplossing. x + y = 0 x + 2y = 0 geeft [ ] [ ] dus x = 0 y = 0 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 39 / 60

41 Voorbeeld x + 3y 2z = 0 4x 6y + z = 0 m = 2 < 3 = n. Dit homogene stelsel heeft niet-triviale oplossingen, want twee vlakken door de oorsprong hebben minstens een snijlijn gemeen. Stelling Laat Ax = 0 een homogeen stelsel zijn van m vergelijkingen in n onbekenden. Als m < n (er zijn meer variabelen dan vergelijkingen), dan heeft het stelsel een niet-triviale oplossing (zelfs oneindig veel). Bewijs: Trapvorm [B 0] van [A 0] heeft hoogstens m leidende enen (gebonden variabelen), dus minstens n m > 0 vrije variabelen. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 40 / 60

42 Voorbeeld in gereduceerde trapvorm gebracht: x 1 = s t x 2 = s x 3 = t x 4 = 0 x 5 = t, met s, t R J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 41 / 60

43 Een (m n) matrix A = [a ij ] is een rechthoekig getallenschema a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n..... a ij. a m1 a m2 a mn bestaande uit m rijen en n kolommen. De i-de rij (1 i m) van A = [a ij ] is de 1 n (sub)matrix [ ai1 a i2 ] a in De j-de kolom (a j n) van A = [a ij ] is de m 1 (sub)matrix a 1j a 2j a j =. a mj Het i, j-de element van A = [a ij ] is a ij. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 42 / 60

44 Definitie Als m = n dan heet A een vierkante matrix. Een n 1 matrix heet ook wel een n-vector of kortweg een vector. Een 1 n matrix heet ook wel een n-rijvector. Twee m n matrices A = [a ij ] en B = [b ij ] zijn gelijk als a ij = b ij voor alle i = 1,... m en alle j = 1,... n. Voorbeeld 2 u = 3 is een 3-vector. v = [ ] is een 3-rijvector. 1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 43 / 60

45 Definitie De getransponeerde A T van een m n matrix A = [a ij ] is de n m matrix C = [c ij ] gedefinieerd door c ij = a ji (dus aij T = a ji, rijen en kolommen zijn verwisseld). Een reële matrix heet symmetrisch als A = A T Voorbeeld A = [ Een symmetrische matrix: B = ] NB: een symmetrische matrix is vierkant A T = = B T J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 44 / 60

46 Definitie De som A + B van twee m n matrices A = [a ij ] en B = [b ij ] is de matrix C = [c ij ] gedefinieerd door c ij = a ij + b ij, i = 1,... m, j = 1,... n. Het scalaire product ra van een reëel getal r en een m n matrix A is de m n matrix C = [c ij ] gedefinieerd door c ij = ra ij. Het verschil A B van twee m n matrices A en B is gedefiniëerd als de som van A en ( 1)B Voorbeeld [ ] [ ] A = 3A = [ ] [ ] B = A + B = [ ] A B = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 45 / 60

47 Inproduct van vectoren Definitie Het inproduct van twee n-vectoren a 2 a =. en b = a n is gedefiniëerd als a 1 b 1 b 2. b n n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b a n b n i=1 Notatie: a b J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 46 / 60

48 Voorbeeld Het inproduct van de 4-vectoren 1 2 u = 2 3 en v = 3 2 is 4 1 u v = ( 2) ( 2) = = 6 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 47 / 60

49 Matrix-vector product Het product Au van een m n matrix A = [a ij ] en een n-vector u is de m-vector gedefinieerd door Au = a T 1 u a T 2 u a T m u, waarbij a i de i-de rij van A voorstelt. Dwz het i-de element van het product Au is gelijk aan het inproduct van de i-de rij van A (getransponeerd) met de vector u. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 48 / 60

50 Voorbeeld A = Au = u = = NB: het product Au is alleen gedefinieerd als het aantal kolommen van A hetzelfde is als de afmeting van u (A is een m n matrix en u is een n-vector) J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 49 / 60

51 Lineair stelsel als matrix-vector product Het stelsel a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m kan geschreven worden als Ax = b voor A = [a ij ] de coëfficiëntenmatrix van het stelsel, x de n-vector en b de m-vector van rechterleden b 1 b 2. b m J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 50 / 60. x 1 x 2. x n

52 Voorbeeld x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 kan geschreven worden als Ax = b met A = x = x 1 x 2 x 3 x 4 b = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 51 / 60

53 Motivatie matrixproduct: substitutie x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 0 2x 1 + 6x 2 = 0 Substitutie in Ax = 0 van x 1 y 1 + y 2 x = x 2 x 3 = y 1 y 2 y 1 + 2y 2 A = = By B = geeft het stelsel A(By) = 0 ofwel Cy = 0 in y-variabelen: [ (y 1 + y 2 ) + 2(y 1 y 2 ) + 4(y 1 + 2y 2 ) = 0 2(y 1 + y 2 ) + 6(y 1 y 2 ) + 0(y 1 + 2y 2 ) = 0 ] ofwel 7y 1 + 7y 2 = 0 8y 1 + 4y 2 = 0 C = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 52 / 60

54 Matrixproduct Definitie Het product AB van een m p matrix A = [a ij ] en een p n matrix B = [b ij ] is de m n matrix gedefinieerd door AB = [ Ab 1 Ab 2 Ab n ], waarbij b j de j-de kolom van B voorstelt. NB: de j-de kolom van de matrix AB is het product van A en de j-de kolom van B. NB: het ij-de element van de matrix AB is dus het inproduct van de i-de rij van A (getransponeerd) en de j-de kolom van B. NB: het product AB is alleen gedefinieerd als het aantal kolommen van A hetzelfde is als het aantal rijen van B. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 53 / 60

55 Voorbeeld A = [ ] AB = B = [ ] Noem AB = [c ij ], dan bijvoorbeeld c 23 = = = 26 NB: BA is niet gedefinieerd want B is 3 4 en A is 2 3. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 54 / 60

56 Inproduct als matrixproduct Als u en v twee n-vectoren zijn, dan is hun inproduct u v gelijk aan het matrixproduct u T v. Voorbeeld u = v = u T v = [ ] = = 6 = u v J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 55 / 60

57 Definitie Een lineaire combinatie van de m n matrices A 1, A 2,..., A k is een uitdrukking van de vorm c 1 A 1 + c 2 A c k A k waarbij c 1, c 2,..., c k coëfficiënten genoemd worden. Een compactere schrijfwijze voor bovenstaande lineaire combinatie is k c i A i i=1 J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 56 / 60

58 Matrix-vector product als lineaire combinatie Als A een m n matrix is en a j de j-de kolom van A (een m-vector), dan geldt voor het matrixproduct van A met de n-vector c 1 c 2 c =. dat dit de volgende lineaire combinatie is van de kolommen van A: n Ac = c 1 a 1 + c 2 a c n a n = c j a j Voorbeeld c n j= = = J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 57 / 60

59 Evenzo, als A een m n matrix is en r i de i-de rij van A (een n-rijvector), dan geldt voor het matrixproduct van de m-rijvector c = [ c 1 c 2 c m ] met A dat dit de volgende lineaire combinatie is van de rijen van A: ca = c 1 r 1 + c 2 r c m r m = m c i r i i=1 Voorbeeld [ 2 1 ] = 2 [ ] 1 [ ] +3 [ ] = [ ] J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 58 / 60

60 Lineair stelsel als lineaire combinatie met onbekende coëfficiënten Het stelsel Ax = b kan geschreven worden als x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b, waarbij a j de j-de kolom van A voorstelt. NB: er bestaat dus een oplossing x voor het stelsel Ax = b dan en slechts dan als b een lineaire combinatie is van de kolommen van A. J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 59 / 60

61 Voorbeeld kan geschreven worden als 1 0 x x x 1 x 3 = 0 3x 1 2x 4 = 0 2x 2 x 3 x 4 = 0 + x x = De oplossing x 1 = 4, x 2 = 5, x 3 = 4, x 4 = 6 van het stelsel correspondeert met de lineaire combinatie die de nulvector oplevert J.Keijsper (TUE) Lineaire Algebra (2DD12) college 1 60 / 60