Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b"

Transcriptie

1 Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan /k

2 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen of onbekenden x 1,..., x n is van de vorm a 1 x a n x n = b a j is de coëfficiënt van x j b heet de constante van de vergelijking VOORBEELD: x 1 x 2 + 5x 3 = 7

3 Stelsel lineaire vergelijkingen 3/64 DEFINITIE: Een stelsel lineaire vergelijkingen in de variabelen x 1,..., x n is van de vorm a 11 x a 1n x n = b 1.. a i1 x a in x n = b i.. a m1 x a mn x n = b m a ij is de coëfficiënt van x j in de i-e vergelijking b i is de constante van de i-e vergelijking

4 Oplossing van stelsel vergelijkingen 4/64 DEFINITIE: Een oplossing van een stelsel is een toekenning van speciale waarden x 1 = s 1,..., x n = s n aan de onbekenden die aan de vergelijkingen voldoet. VOORBEELD: x 1 = 7, x 2 = 5, x 3 = 1 is een oplossing van x 1 x 2 + 5x 3 = 7

5 Stelsels lineaire vergelijkingen 5/64 DEFINITIE: Een stelsel heet homogeen indien b i = 0 voor alle i. DEFINITIE: Een oplossing heet triviaal indien de toekenning x i = 0 voor alle i een oplossing is. STELLING: Een stelsel is homogeen dan en slecht dan als het een triviale oplossing heeft.

6 Stelsels lineaire vergelijkingen 6/64 DEFINITIE: Twee stelsels lineaire vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a m1 x a mn x n = b m en /k c 11 x c 1n x n = d 1.. c l1 x c ln x n = d l in hetzelfde aantal variabelen heten equivalent indien ze precies dezelfde oplossingen hebben.

7 Stelsels lineaire vergelijkingen 7/64 VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 3x 1 + 4x 2 = 7 heeft x 1 = 1, x 2 = 1 als enige oplossing. 4x 1 + 6x 2 = 10 6x 1 + 8x 2 = 14 x 1 + x 2 = 2 heeft x 1 = 1, x 2 = 1 als enige oplossing. CONCLUSIE: beide stelsels zijn equivalent.

8 Consistent stelsel vergelijkingen 8/64 DEFINITIE: Een stelsel heet consistent als het een oplossing heeft. Een stelsel heet strijdig of inconsistent indien er geen oplossing is. VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 4 heeft geen oplossing, anders is 6 = 4.

9 Stelsels lineaire vergelijkingen 9/64 STELLING: Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden: (a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent) (b) precies één oplossing (consistent) (c) oneindig veel oplossingen (consistent) VOORBEELD: (a) twee evenwijdige lijnen (b) twee lijnen snijden in één punt (c) twee samenvallende lijnen

10 Afhankelijk stelsel vergelijkingen 10/64 DEFINITIE: Een stelsel heet afhankelijk indien een vergelijking het gevolg is van de overige vergelijkingen. VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 6

11 Elementaire rij operaties 11/64 STELLING: Twee stelsels zijn equivalent indien de een uit de ander verkregen kan worden door de volgende drie elementaire rij operaties: 1. verwisselen van rijen 2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul 3. een rij bij een andere rij optellen OPMERKING: De omkering zal ook blijken te gelden. /k

12 De uitgebreide matrix 12/64 Neem weer het voorbeeld: 1 x 1 + ( 1) x x 3 = 0 4 x x x 3 = 8 0 x x x 3 = 9 Laat de variabelen, plussen en gelijktekens weg Zet coëffieciënten en constanten in een uitgebreide matrix:

13 Vegen van een matrix 13/64 x 1 x 2 + x 3 = 0 4x 1 + 2x = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 2 + 4x 3 = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 3 = x 2 + 5x 3 =

14 Vegen van een matrix 14/64 x 1 x 2 + x 3 = x 3 = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 2 + 5x 3 = x 3 = 1 x 1 x = x = x 3 =

15 Vegen van een matrix 15/64 x 1 x = x = x 3 = 1 x 1 x = x = x 3 = 1 x = x = x 3 = 1 Dus x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 is de unieke oplossing

16 Vegen van een matrix 16/64 Voortaan wordt een stelsel lineaire vergelijkingen direct omgezet in de uitgebreide matrix en met deze matrix wordt geveegd. De vergelijkingen worden verder weggelaten

17 Elementaire rij operaties 17/64 STELLING: Twee stelsels zijn equivalent dan en slechts dan als de een uit de ander verkregen kan worden door de volgende drie elementaire rij operaties: 1. verwisselen van rijen 2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul 3. een rij bij een andere rij optellen OPMERKING: Dezelfde operaties kunnen ook op kolommen worden uitgevoerd maar dan zijn de vergelijkingen niet meer equivalent! /k

18 Gauss eliminatie en vegen van een matrix 18/64 Gauss eliminatie of vegen van een matrix het element 1 wordt een spil genoemd tel de eerste rij bij de tweede op trek de eerste rij van de derde af /k met een spil wordt de kolom schoon geveegd verwissel de tweede en derde rij

19 Vegen van een matrix 19/ De matrix is in echelon of trap vorm. vermenigvulig tweede rij met 1/2 vermenigvulig derde rij met 1/

20 Terugwaardse substitutie 20/64 /k Het bijbehorende stelsel is: x 1 + 3x 2 6x 3 = 9 x 2 x 3 = 1 x 3 = 2 Dus x 3 = 2. Terugwaardse substitutie in de tweede rij geeft x = 1, ofwel x 2 = 3. Terugwaardse substitutie in de eerste rij geeft x = 9, ofwel x 1 = 6.

21 Gauss-Jordan eliminatie 21/64 Gauss-Jordan eliminatie trek 3 maal de tweede rij af van de eerste het element 1 is nu de nieuwe spil het element 0 is al nul

22 Gauss-Jordan eliminatie 22/ tel 3 maal de derde rij bij de eerste op tel de derde rij bij de tweede op het element 1 is nu de nieuwe spil dit is de gereduceerde rij trap vorm ofwel de reduced row echelon form

23 Gereduceerde rij trap vorm 23/64 DEFINITIE: Een matrix is in row echelon form ofwel in rij trap vorm als geldt: alle nulrijen zitten onderaan de spillen vormen een trap in elke rij is het eerste element ongelijk 0 gelijk aan 1, dit is de kopterm of spil De matrix is in reduced row echelon form ofwel in gereduceerde rij trap vorm als bovendien geldt: in de kolom van een spil staan verder alleen nullen /k

24 Gereduceerde rij trap vorm 24/

25 Voorbeeld 25/ is in gereduceerde rij trap vorm is wel in rij trap vorm, maar is niet gereduceerd /k

26 Voorbeeld 26/ is niet in rij trap vorm

27 Elementaire operaties en rref 27/64 STELLING: 1) Iedere matrix A is door middel van de drie elementaire operaties over te brengen in een matrix in gereduceerde rij trap vorm (rref). Dit proces heet vegen. 2) Voor gegeven A is op heel veel verschillende manieren een matrix in rref te verkrijgen, maar het eindresultaat is uniek en wordt genoteerd door rref(a).

28 Matrix vergelijking 28/64 Het stelsel vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a m1 x a mn x n = b m wordt ook weergegeven door de matrix vergelijking AX = B: a a 1n x 1 b =. a m1... a mn x n b m

29 Uitgebreide matrix 29/64 De matrix vergelijking AX = B: a a 1n... a m1... a mn x 1. x n = wordt ook genoteerd door de uitgebreide matrix [A B] a a 1n b 1 [A B] =.... a m1... a mn b m b 1. b m

30 Voorbeeld 30/64 x 1 + 3x 2 6x 3 = 9 x 1 3x 2 + 4x 3 = 5 x 1 + 5x 2 8x 3 = x 1 x 2 x 3 = stelsel vergelijkingen matrix vergelijking uitgebreide matrix

31 Voorbeeld 31/ We hebben gezien dat door vegen bovenstaande matrix overgaat in Dus x 1 = 6, x 2 = 3 en x 3 = 2.

32 Equivalente stelsels vergelijkingen 32/64 STELLING: Beschouw de volgende stelsels lineaire vergelijkingen: AX = B en CX = D Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (in matrix notatie) 1) de stelsels hebben dezelfde oplossingen 2) de matrices [A B] en [C D] zijn rij equivalent 3) door elementaire rij operaties zijn ze in elkaar over te voeren 4) rref [A B] = rref [C D] met weglating van de nulrijen

33 Homogeen stelsel 33/64 Herinner: DEFINITIE: Een stelsel vergelijkingen AX = B heet homogeen als B = 0. VOORBEELD: Beschouw het stelsel vergelijkingen: met /k x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 = als uitgebreide matrix

34 Homogeen stelsel 34/64 Het vegen van deze matrix geeft verwissel eerste en tweede rij het element 1 is nu de nieuwe spil trek de eerste rij af van de tweede trek de eerste rij af van de derde het element 1 is nu de nieuwe spil trek de 2 maal de tweede rij af van de derde

35 Homogeen stelsel 35/ vermenigvuldig derde rij met -1 trek de derde rij af van de tweede het element 1 is nu de nieuwe spil de matrix is nu in rref

36 Vrije en gebonden variabelen 36/ de spillen corresponderen met de gebonden variabelen x 1, x 2, x 3 de vierde kolom correspondeert met de vrije variabele x 4 x 1 + x 4 = 0 x 2 x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0 ofwel x 1 = x 4 x 2 = x 4 x 3 = x 4

37 Parameter voorstelling 37/64 X = x 1 x 2 x 3 x 4 = x 4 x 4 x 4 x 4 Parametervoorstelling van de oplossing: x 1 X = x 2 x 3 = r x 4 hierin is r een willekeurig te kiezen getal = r r r r /k

38 Homogeen stelsel 38/64 STELLING: 1) Een homogeen stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen heeft een oplossing, n.l. de nuloplossing. 2) Als bovendien m < n, dan is er een oplossing ongelijk aan 0. BEWIJS: Het aantal spillen van rref(a) is hoogstens m < n. Deze spillen corresponderen met gebonden variabelen. Er zijn dus minstens n m > 0 vrije variabelen. Er is dus een oplossing ongelijk aan 0.

39 Particuliere oplossing 39/64 DEFINITIE: Stel AX = B is een stelsel vergelijkingen. Dan heet AX = 0 het bijbehorende homogene stelsel. X p heet een particuliere oplossing als AX p = B. X h heet een homogene oplossing als AX h = 0.

40 Particuliere oplossing 40/64 STELLING: Stel X p is een gegeven particuliere oplossing van AX = B. Voor elke andere oplossing X is er een homogene oplossing X h zodanig dat BEWIJS: Stel AX = B, dan is /k X = X p + X h. A(X X p ) = AX AX p = B B = 0. Dus X h = X X p is een homogene oplossing, en X = X p + X h.

41 Equivalente beweringen 41/64 STELLING: Stel A is een n n matrix. Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (1) A is inverteerbaar. (2) AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing. (3) De gereduceerde rij trap vorm is de n n eenheidsmatrix. (4) rref(a) = I n.

42 Het vinden van A 1 42/64 OPMERKING: Stel A is een inverteerbare n n matrix. Dan is er een B zodanig dat AB = I n. Dus B is een oplossing van de matrix vergelijking AX = I n. Dus rref [A I n ] = [I n B]. CONCLUSIE: Door het vegen van [A I n ] in rref weten we of A inverteerbaar is en wat de inverse is.

43 Het vinden van A 1 43/64 VOORBEELD: Is de volgende matrix A = inverteerbaar? Zo ja, dan heeft de matrix vergelijking AX = I 3, ofwel heeft x 11 x 12 x x 21 x 22 x 23 = x 31 x 32 x een oplossing?

44 Het vinden van A 1 44/64 De bijbehorende uitgebreide matrix is [A I 3 ] = het element 1 is nu de nieuwe spil trek de eerste rij af van de tweede trek 5 maal de eerste rij af van de derde trek 3 maal de tweede rij af van de derde /k Dit geeft een strijdig stelsel De matrix heeft dus geen inverse

45 Het vinden van A 1 45/64 VOORBEELD: Is de volgende matrix A = [ ] inverteerbaar? Zo ja, dan heeft de matrix vergelijking AX = I 2 een oplossing De bijbehorende uitgebreide matrix is [A I 2 ] = [ ] 0 het element 1 is nu de nieuwe spil trek 3 maal de eerste rij af van de tweede [ ] vermenigvulidg de tweede rij met -1

46 Het vinden van A 1 46/64 [ ] [ het element 1 is nu de nieuwe spil trek 2 maal de tweede rij af van de eerste ] A 1 = dus A is inverteerbaar en [ ]

47 Inverse matrix en unieke oplossing 47/64 STELLING: Stel A is een inverteerbare n n matrix, en B = [b 1,..., b n ] T. Dan heeft het stelsel vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a n1 x a nn x n = b n de unieke oplossing X = [x 1,..., x n ] T met X = A 1 B.

48 Inverse matrix 48/64 BEWIJS: Het oplossen van het stelsel vergelijkingen is equivalent met het oplossen van de matrix vergelijking AX = B A 1 B is een oplossing, want A(A 1 B) = (AA 1 )B = I n B = B. De oplossing is uniek, want uit AX = B volgt X = I n X = (A 1 A)X = A 1 (AX) = A 1 B, want A is inverteerbaar. /k

49 Aantal oplossingen 49/64 STELLING: Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden: (a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent) (b) precies één oplossing (consistent) (c) oneindig veel oplossingen (consistent)

50 Aantal oplossingen 50/64 BEWIJS: Het stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen kan weergegeven worden door de matrix vergelijking AX = B. Stel er is meer dan één oplossing, zeg X 1 en X 2. Dan is AX 1 = B en AX 2 = B. Stel X 0 = X 1 X 2. Dan is AX 0 = A(X 1 X 2 ) = AX 1 AX 2 = B B = 0. Stel c is een willekeurig getal. Dan is A(X 1 + cx 0 ) = AX 1 + cax 0 = B + 0 = B. Dus er zijn oneindig veel oplossingen.

51 Equivalente beweringen 51/64 STELLING: Stel A is een n n matrix. Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (1) A is inverteerbaar. (2) AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing. (3) De gereduceerde rij trap vorm is de n n eenheidsmatrix. (4) rref(a) = I n. (5) AX = B heeft een oplossing voor elke B. (6) AX = B heeft precies één oplossing voor elke B.

52 Bovendriehoeksmatrix 52/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan is A een bovendriehoeksmatrix als alle elementen onder de diagonaal nul zijn. Dat wil zeggen a ij = 0 voor alle i > j. VOORBEELD: A =

53 Benedendriehoeksmatrix 53/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan is A een benedendriehoeksmatrix als alle elementen boven de diagonaal nul zijn. Dat wil zeggen a ij = 0 voor alle i < j. VOORBEELD: A =

54 Boven- en benedendriehoeksmatrix 54/64 EIGENSCHAP: A is een bovendriehoeksmatrix dan en slechts dan als A T is een benedendriehoeksmatrix.

55 Diagonaalmatrix 55/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan heet A een diagonaalmatrix als buiten de hoofddiagonaal van A alleen maar nullen staan. Dus A is een bovendriehoeksmatrix is en een benedendriehoeksmatrix.

56 product van driehoeksmatrices 56/64 EIGENSCHAP: Het product van bovendriehoeksmatrices is weer een bovendriehoeksmatrix. Evenzo geldt: Het product van benedendriehoeksmatrices is weer een benedendriehoeksmatrix.

57 Inverteerbare bovendriehoeksmatrix 57/64 EIGENSCHAP: Een boven- of benedendriehoeksmatrix is inverteerbaar dan en slechts dan als alle elementen op de hoofddiagonaal zijn ongelijk nul

58 Symmetrisch 58/64 DEFINITIE: Een matrix A heet symmetrisch als In het bijzonder is A dan vierkant. A T = A. VOORBEELD: A =

59 Symmetrisch 59/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is B = A + A T symmetrisch. Want B T = (A + A T ) T = A T + (A T ) T = A T + A = B.

60 Anti-symmetrisch 60/64 DEFINITIE: Een matrix A heet anti-symmetrisch of scheef-symmetrisch als In het bijzonder is A dan vierkant. A T = A. VOORBEELD: A =

61 Anti-symmetrisch 61/64 EIGENSCHAP: Op de diagonaal van een anti-symmetrische matrix staan alleen maar nullen. BEWIJS: Stel A is anti-symmetrisch. Dan is A T = A. a ii = a T ii = a ii Dus a ii = 0.

62 Anti-symmetrisch 62/64 VOORBEELD: De matrix A = is niet anti-symmetrisch en ook niet symmetrisch.

63 Anti-symmetrisch 63/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is C = A A T anti-symmetrisch. Want C T = (A A T ) T = A T (A T ) T = A T A = C.

64 symmetrisch + anti-symmetrisch 64/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is A te schrijven als som A = B + C met B symmetrische en C anti-symmetrisch. Deze schrijfwijze is uniek met: BEWIJS: /k B = 1 2 (A + A T ) en C = 1 2 (A A T ). 1 2 (A + A T ) (A A T ) = A Stel A = B + C met B symmetrische en C anti-symmetrisch. Dan is A T = (B + C) T = B T + C T = B C. Dus A + A T = 2B en A A T = 2C.

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Lineaire programmering

Lineaire programmering Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec. LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden 12.1 Grafen [1] Een spoorwegkaart is een voorbeeld van een graaf; Een graaf bestaat uit punten; De punten worden door wegen met elkaar verbonden; De plaats van de punten en de vorm van de wegen is van

Nadere informatie

a a 1n a m1... a mn

a a 1n a m1... a mn Hoofdstuk Matrices Inleiding In het vorige hoofdstuk behandelden we de Gauss-eliminatie methode waarmee we stelsels lineaire vergelijkingen leerden oplossen We telden vergelijkingen bij anderen op enz

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

xxii Handleiding Maple 10

xxii Handleiding Maple 10 xxii Handleiding Maple 10 dat geval kun je van de vectorvergelijking een stelsel vergelijkingen maken in de vorm van een verzameling of een lijst naar keuze en dit stelsel te lijf gaan met solve of andere

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (WB33B Bernd Souvignier voorjaar 24 Deel I Lineaire Algebra Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier

Nadere informatie

(alleen het startkapitaal brengt winst op) Samengestelde Na een periode van n jaar is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde:

(alleen het startkapitaal brengt winst op) Samengestelde Na een periode van n jaar is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde: Wiskunde Semester 2 Theorie Hoofdstuk 1 Getallenrijen Bewijzen: pag. 3 + 5 + 10 + 11 1.1 Getallenrijen Getallenrij Constante getallenrij Partieelsom Reekssom Een geordende (oneindige) verzameling van getallen.

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Bernd Souvignier voorjaar 2003 Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Algebra Determinanten en stelsels. Cursus voor de vrije ruimte

Algebra Determinanten en stelsels. Cursus voor de vrije ruimte Algebra Determinanten en stelsels Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Determinanten 1.1 Determinant van de orde twee We gaan na wat de voorwaarde is waaraan

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept Emiel van Elderen April 8, 28 Inleiding In dit document zullen we ons bezig houden met het systematisch oplossen van stelsels

Nadere informatie

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je

Nadere informatie

(door ing. P.H. Stikker)

(door ing. P.H. Stikker) MAGISCHE VIERKANTEN TYPEN EN VOORBEELDEN (door ing. P.H. Stikker) Versie: 11-02-03 1 Voorwoord Dit document is opgesteld om een overzicht te krijgen van alle type magische vierkanten. Hopelijk is de lijst

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Matrices, determinanten en stelsels lineaire vergelijkingen

Matrices, determinanten en stelsels lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 2 Matrices, determinanten en stelsels lineaire vergelijkingen 2.1 Matrix : definitie en bijzondere gevallen R DEFINITIE 2.1 m n matrix Een reële (resp. complexe) m n matrix, of matrix van de

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

REKENEN MET TABELLEN 1 )

REKENEN MET TABELLEN 1 ) OVERDRUK UIT 66ste JAARGANG No 3 HET LANDBOUWKUNDIG TIJDSCHRIFT MAART 954 REKENEN MET TABELLEN ) G. HAMMING Rijksinstituut voor Rassenonderzoek te Wageningen Table" algebra Summary see p. 65 MOTIVERING

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011 Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het

Nadere informatie

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit

Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A.

In het internationale eenhedenstelsel, ook wel SI, staan er negen basisgrootheden met bijbehorende grondeenheden. Dit is BINAS tabel 3A. Grootheden en eenheden Kwalitatieve en kwantitatieve waarnemingen Een kwalitatieve waarneming is wanneer je meet zonder bijvoorbeeld een meetlat. Je ziet dat een paard hoger is dan een muis. Een kwantitatieve

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Matrices en Stelsels. Deel I. 1. Matrices. 1. Begrippen. Wat wordt er van jou verwacht?

Matrices en Stelsels. Deel I. 1. Matrices. 1. Begrippen. Wat wordt er van jou verwacht? 1 Deel I Matrices en Stelsels 1. Matrices 1. Begrippen Wat wordt er van jou verwacht? 1. Weten wat men met de volgende begrippen bedoelt en deze begrippen ook zelf kunnen gebruiken: matrix, rijen, kolommen,

Nadere informatie