Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b"

Transcriptie

1 Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan /k

2 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen of onbekenden x 1,..., x n is van de vorm a 1 x a n x n = b a j is de coëfficiënt van x j b heet de constante van de vergelijking VOORBEELD: x 1 x 2 + 5x 3 = 7

3 Stelsel lineaire vergelijkingen 3/64 DEFINITIE: Een stelsel lineaire vergelijkingen in de variabelen x 1,..., x n is van de vorm a 11 x a 1n x n = b 1.. a i1 x a in x n = b i.. a m1 x a mn x n = b m a ij is de coëfficiënt van x j in de i-e vergelijking b i is de constante van de i-e vergelijking

4 Oplossing van stelsel vergelijkingen 4/64 DEFINITIE: Een oplossing van een stelsel is een toekenning van speciale waarden x 1 = s 1,..., x n = s n aan de onbekenden die aan de vergelijkingen voldoet. VOORBEELD: x 1 = 7, x 2 = 5, x 3 = 1 is een oplossing van x 1 x 2 + 5x 3 = 7

5 Stelsels lineaire vergelijkingen 5/64 DEFINITIE: Een stelsel heet homogeen indien b i = 0 voor alle i. DEFINITIE: Een oplossing heet triviaal indien de toekenning x i = 0 voor alle i een oplossing is. STELLING: Een stelsel is homogeen dan en slecht dan als het een triviale oplossing heeft.

6 Stelsels lineaire vergelijkingen 6/64 DEFINITIE: Twee stelsels lineaire vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a m1 x a mn x n = b m en /k c 11 x c 1n x n = d 1.. c l1 x c ln x n = d l in hetzelfde aantal variabelen heten equivalent indien ze precies dezelfde oplossingen hebben.

7 Stelsels lineaire vergelijkingen 7/64 VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 3x 1 + 4x 2 = 7 heeft x 1 = 1, x 2 = 1 als enige oplossing. 4x 1 + 6x 2 = 10 6x 1 + 8x 2 = 14 x 1 + x 2 = 2 heeft x 1 = 1, x 2 = 1 als enige oplossing. CONCLUSIE: beide stelsels zijn equivalent.

8 Consistent stelsel vergelijkingen 8/64 DEFINITIE: Een stelsel heet consistent als het een oplossing heeft. Een stelsel heet strijdig of inconsistent indien er geen oplossing is. VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 4 heeft geen oplossing, anders is 6 = 4.

9 Stelsels lineaire vergelijkingen 9/64 STELLING: Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden: (a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent) (b) precies één oplossing (consistent) (c) oneindig veel oplossingen (consistent) VOORBEELD: (a) twee evenwijdige lijnen (b) twee lijnen snijden in één punt (c) twee samenvallende lijnen

10 Afhankelijk stelsel vergelijkingen 10/64 DEFINITIE: Een stelsel heet afhankelijk indien een vergelijking het gevolg is van de overige vergelijkingen. VOORBEELD: { x1 + 2x 2 = 3 2x 1 + 4x 2 = 6

11 Elementaire rij operaties 11/64 STELLING: Twee stelsels zijn equivalent indien de een uit de ander verkregen kan worden door de volgende drie elementaire rij operaties: 1. verwisselen van rijen 2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul 3. een rij bij een andere rij optellen OPMERKING: De omkering zal ook blijken te gelden. /k

12 De uitgebreide matrix 12/64 Neem weer het voorbeeld: 1 x 1 + ( 1) x x 3 = 0 4 x x x 3 = 8 0 x x x 3 = 9 Laat de variabelen, plussen en gelijktekens weg Zet coëffieciënten en constanten in een uitgebreide matrix:

13 Vegen van een matrix 13/64 x 1 x 2 + x 3 = 0 4x 1 + 2x = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 2 + 4x 3 = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 3 = x 2 + 5x 3 =

14 Vegen van een matrix 14/64 x 1 x 2 + x 3 = x 3 = x 2 + 5x 3 = 9 x 1 x 2 + x 3 = x 2 + 5x 3 = x 3 = 1 x 1 x = x = x 3 =

15 Vegen van een matrix 15/64 x 1 x = x = x 3 = 1 x 1 x = x = x 3 = 1 x = x = x 3 = 1 Dus x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 1 is de unieke oplossing

16 Vegen van een matrix 16/64 Voortaan wordt een stelsel lineaire vergelijkingen direct omgezet in de uitgebreide matrix en met deze matrix wordt geveegd. De vergelijkingen worden verder weggelaten

17 Elementaire rij operaties 17/64 STELLING: Twee stelsels zijn equivalent dan en slechts dan als de een uit de ander verkregen kan worden door de volgende drie elementaire rij operaties: 1. verwisselen van rijen 2. een rij vermenigvuldigen met een getal ongelijk nul 3. een rij bij een andere rij optellen OPMERKING: Dezelfde operaties kunnen ook op kolommen worden uitgevoerd maar dan zijn de vergelijkingen niet meer equivalent! /k

18 Gauss eliminatie en vegen van een matrix 18/64 Gauss eliminatie of vegen van een matrix het element 1 wordt een spil genoemd tel de eerste rij bij de tweede op trek de eerste rij van de derde af /k met een spil wordt de kolom schoon geveegd verwissel de tweede en derde rij

19 Vegen van een matrix 19/ De matrix is in echelon of trap vorm. vermenigvulig tweede rij met 1/2 vermenigvulig derde rij met 1/

20 Terugwaardse substitutie 20/64 /k Het bijbehorende stelsel is: x 1 + 3x 2 6x 3 = 9 x 2 x 3 = 1 x 3 = 2 Dus x 3 = 2. Terugwaardse substitutie in de tweede rij geeft x = 1, ofwel x 2 = 3. Terugwaardse substitutie in de eerste rij geeft x = 9, ofwel x 1 = 6.

21 Gauss-Jordan eliminatie 21/64 Gauss-Jordan eliminatie trek 3 maal de tweede rij af van de eerste het element 1 is nu de nieuwe spil het element 0 is al nul

22 Gauss-Jordan eliminatie 22/ tel 3 maal de derde rij bij de eerste op tel de derde rij bij de tweede op het element 1 is nu de nieuwe spil dit is de gereduceerde rij trap vorm ofwel de reduced row echelon form

23 Gereduceerde rij trap vorm 23/64 DEFINITIE: Een matrix is in row echelon form ofwel in rij trap vorm als geldt: alle nulrijen zitten onderaan de spillen vormen een trap in elke rij is het eerste element ongelijk 0 gelijk aan 1, dit is de kopterm of spil De matrix is in reduced row echelon form ofwel in gereduceerde rij trap vorm als bovendien geldt: in de kolom van een spil staan verder alleen nullen /k

24 Gereduceerde rij trap vorm 24/

25 Voorbeeld 25/ is in gereduceerde rij trap vorm is wel in rij trap vorm, maar is niet gereduceerd /k

26 Voorbeeld 26/ is niet in rij trap vorm

27 Elementaire operaties en rref 27/64 STELLING: 1) Iedere matrix A is door middel van de drie elementaire operaties over te brengen in een matrix in gereduceerde rij trap vorm (rref). Dit proces heet vegen. 2) Voor gegeven A is op heel veel verschillende manieren een matrix in rref te verkrijgen, maar het eindresultaat is uniek en wordt genoteerd door rref(a).

28 Matrix vergelijking 28/64 Het stelsel vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a m1 x a mn x n = b m wordt ook weergegeven door de matrix vergelijking AX = B: a a 1n x 1 b =. a m1... a mn x n b m

29 Uitgebreide matrix 29/64 De matrix vergelijking AX = B: a a 1n... a m1... a mn x 1. x n = wordt ook genoteerd door de uitgebreide matrix [A B] a a 1n b 1 [A B] =.... a m1... a mn b m b 1. b m

30 Voorbeeld 30/64 x 1 + 3x 2 6x 3 = 9 x 1 3x 2 + 4x 3 = 5 x 1 + 5x 2 8x 3 = x 1 x 2 x 3 = stelsel vergelijkingen matrix vergelijking uitgebreide matrix

31 Voorbeeld 31/ We hebben gezien dat door vegen bovenstaande matrix overgaat in Dus x 1 = 6, x 2 = 3 en x 3 = 2.

32 Equivalente stelsels vergelijkingen 32/64 STELLING: Beschouw de volgende stelsels lineaire vergelijkingen: AX = B en CX = D Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (in matrix notatie) 1) de stelsels hebben dezelfde oplossingen 2) de matrices [A B] en [C D] zijn rij equivalent 3) door elementaire rij operaties zijn ze in elkaar over te voeren 4) rref [A B] = rref [C D] met weglating van de nulrijen

33 Homogeen stelsel 33/64 Herinner: DEFINITIE: Een stelsel vergelijkingen AX = B heet homogeen als B = 0. VOORBEELD: Beschouw het stelsel vergelijkingen: met /k x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 = als uitgebreide matrix

34 Homogeen stelsel 34/64 Het vegen van deze matrix geeft verwissel eerste en tweede rij het element 1 is nu de nieuwe spil trek de eerste rij af van de tweede trek de eerste rij af van de derde het element 1 is nu de nieuwe spil trek de 2 maal de tweede rij af van de derde

35 Homogeen stelsel 35/ vermenigvuldig derde rij met -1 trek de derde rij af van de tweede het element 1 is nu de nieuwe spil de matrix is nu in rref

36 Vrije en gebonden variabelen 36/ de spillen corresponderen met de gebonden variabelen x 1, x 2, x 3 de vierde kolom correspondeert met de vrije variabele x 4 x 1 + x 4 = 0 x 2 x 4 = 0 x 3 + x 4 = 0 ofwel x 1 = x 4 x 2 = x 4 x 3 = x 4

37 Parameter voorstelling 37/64 X = x 1 x 2 x 3 x 4 = x 4 x 4 x 4 x 4 Parametervoorstelling van de oplossing: x 1 X = x 2 x 3 = r x 4 hierin is r een willekeurig te kiezen getal = r r r r /k

38 Homogeen stelsel 38/64 STELLING: 1) Een homogeen stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen heeft een oplossing, n.l. de nuloplossing. 2) Als bovendien m < n, dan is er een oplossing ongelijk aan 0. BEWIJS: Het aantal spillen van rref(a) is hoogstens m < n. Deze spillen corresponderen met gebonden variabelen. Er zijn dus minstens n m > 0 vrije variabelen. Er is dus een oplossing ongelijk aan 0.

39 Particuliere oplossing 39/64 DEFINITIE: Stel AX = B is een stelsel vergelijkingen. Dan heet AX = 0 het bijbehorende homogene stelsel. X p heet een particuliere oplossing als AX p = B. X h heet een homogene oplossing als AX h = 0.

40 Particuliere oplossing 40/64 STELLING: Stel X p is een gegeven particuliere oplossing van AX = B. Voor elke andere oplossing X is er een homogene oplossing X h zodanig dat BEWIJS: Stel AX = B, dan is /k X = X p + X h. A(X X p ) = AX AX p = B B = 0. Dus X h = X X p is een homogene oplossing, en X = X p + X h.

41 Equivalente beweringen 41/64 STELLING: Stel A is een n n matrix. Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (1) A is inverteerbaar. (2) AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing. (3) De gereduceerde rij trap vorm is de n n eenheidsmatrix. (4) rref(a) = I n.

42 Het vinden van A 1 42/64 OPMERKING: Stel A is een inverteerbare n n matrix. Dan is er een B zodanig dat AB = I n. Dus B is een oplossing van de matrix vergelijking AX = I n. Dus rref [A I n ] = [I n B]. CONCLUSIE: Door het vegen van [A I n ] in rref weten we of A inverteerbaar is en wat de inverse is.

43 Het vinden van A 1 43/64 VOORBEELD: Is de volgende matrix A = inverteerbaar? Zo ja, dan heeft de matrix vergelijking AX = I 3, ofwel heeft x 11 x 12 x x 21 x 22 x 23 = x 31 x 32 x een oplossing?

44 Het vinden van A 1 44/64 De bijbehorende uitgebreide matrix is [A I 3 ] = het element 1 is nu de nieuwe spil trek de eerste rij af van de tweede trek 5 maal de eerste rij af van de derde trek 3 maal de tweede rij af van de derde /k Dit geeft een strijdig stelsel De matrix heeft dus geen inverse

45 Het vinden van A 1 45/64 VOORBEELD: Is de volgende matrix A = [ ] inverteerbaar? Zo ja, dan heeft de matrix vergelijking AX = I 2 een oplossing De bijbehorende uitgebreide matrix is [A I 2 ] = [ ] 0 het element 1 is nu de nieuwe spil trek 3 maal de eerste rij af van de tweede [ ] vermenigvulidg de tweede rij met -1

46 Het vinden van A 1 46/64 [ ] [ het element 1 is nu de nieuwe spil trek 2 maal de tweede rij af van de eerste ] A 1 = dus A is inverteerbaar en [ ]

47 Inverse matrix en unieke oplossing 47/64 STELLING: Stel A is een inverteerbare n n matrix, en B = [b 1,..., b n ] T. Dan heeft het stelsel vergelijkingen a 11 x a 1n x n = b 1.. a n1 x a nn x n = b n de unieke oplossing X = [x 1,..., x n ] T met X = A 1 B.

48 Inverse matrix 48/64 BEWIJS: Het oplossen van het stelsel vergelijkingen is equivalent met het oplossen van de matrix vergelijking AX = B A 1 B is een oplossing, want A(A 1 B) = (AA 1 )B = I n B = B. De oplossing is uniek, want uit AX = B volgt X = I n X = (A 1 A)X = A 1 (AX) = A 1 B, want A is inverteerbaar. /k

49 Aantal oplossingen 49/64 STELLING: Een stelsel lineaire vergelijkingen heeft de volgende drie mogelijkheden: (a) geen oplossingen (strijdig=inconsistent) (b) precies één oplossing (consistent) (c) oneindig veel oplossingen (consistent)

50 Aantal oplossingen 50/64 BEWIJS: Het stelsel van m lineaire vergelijkingen in n variabelen kan weergegeven worden door de matrix vergelijking AX = B. Stel er is meer dan één oplossing, zeg X 1 en X 2. Dan is AX 1 = B en AX 2 = B. Stel X 0 = X 1 X 2. Dan is AX 0 = A(X 1 X 2 ) = AX 1 AX 2 = B B = 0. Stel c is een willekeurig getal. Dan is A(X 1 + cx 0 ) = AX 1 + cax 0 = B + 0 = B. Dus er zijn oneindig veel oplossingen.

51 Equivalente beweringen 51/64 STELLING: Stel A is een n n matrix. Dan zijn de volgende beweringen equivalent: (1) A is inverteerbaar. (2) AX = 0 heeft alleen de triviale oplossing. (3) De gereduceerde rij trap vorm is de n n eenheidsmatrix. (4) rref(a) = I n. (5) AX = B heeft een oplossing voor elke B. (6) AX = B heeft precies één oplossing voor elke B.

52 Bovendriehoeksmatrix 52/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan is A een bovendriehoeksmatrix als alle elementen onder de diagonaal nul zijn. Dat wil zeggen a ij = 0 voor alle i > j. VOORBEELD: A =

53 Benedendriehoeksmatrix 53/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan is A een benedendriehoeksmatrix als alle elementen boven de diagonaal nul zijn. Dat wil zeggen a ij = 0 voor alle i < j. VOORBEELD: A =

54 Boven- en benedendriehoeksmatrix 54/64 EIGENSCHAP: A is een bovendriehoeksmatrix dan en slechts dan als A T is een benedendriehoeksmatrix.

55 Diagonaalmatrix 55/64 DEFINITIE: Stel A is een n n matrix. Dan heet A een diagonaalmatrix als buiten de hoofddiagonaal van A alleen maar nullen staan. Dus A is een bovendriehoeksmatrix is en een benedendriehoeksmatrix.

56 product van driehoeksmatrices 56/64 EIGENSCHAP: Het product van bovendriehoeksmatrices is weer een bovendriehoeksmatrix. Evenzo geldt: Het product van benedendriehoeksmatrices is weer een benedendriehoeksmatrix.

57 Inverteerbare bovendriehoeksmatrix 57/64 EIGENSCHAP: Een boven- of benedendriehoeksmatrix is inverteerbaar dan en slechts dan als alle elementen op de hoofddiagonaal zijn ongelijk nul

58 Symmetrisch 58/64 DEFINITIE: Een matrix A heet symmetrisch als In het bijzonder is A dan vierkant. A T = A. VOORBEELD: A =

59 Symmetrisch 59/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is B = A + A T symmetrisch. Want B T = (A + A T ) T = A T + (A T ) T = A T + A = B.

60 Anti-symmetrisch 60/64 DEFINITIE: Een matrix A heet anti-symmetrisch of scheef-symmetrisch als In het bijzonder is A dan vierkant. A T = A. VOORBEELD: A =

61 Anti-symmetrisch 61/64 EIGENSCHAP: Op de diagonaal van een anti-symmetrische matrix staan alleen maar nullen. BEWIJS: Stel A is anti-symmetrisch. Dan is A T = A. a ii = a T ii = a ii Dus a ii = 0.

62 Anti-symmetrisch 62/64 VOORBEELD: De matrix A = is niet anti-symmetrisch en ook niet symmetrisch.

63 Anti-symmetrisch 63/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is C = A A T anti-symmetrisch. Want C T = (A A T ) T = A T (A T ) T = A T A = C.

64 symmetrisch + anti-symmetrisch 64/64 Stel is een A een n n matrix. Dan is A te schrijven als som A = B + C met B symmetrische en C anti-symmetrisch. Deze schrijfwijze is uniek met: BEWIJS: /k B = 1 2 (A + A T ) en C = 1 2 (A A T ). 1 2 (A + A T ) (A A T ) = A Stel A = B + C met B symmetrische en C anti-symmetrisch. Dan is A T = (B + C) T = B T + C T = B C. Dus A + A T = 2B en A A T = 2C.

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je

Nadere informatie

(door ing. P.H. Stikker)

(door ing. P.H. Stikker) MAGISCHE VIERKANTEN TYPEN EN VOORBEELDEN (door ing. P.H. Stikker) Versie: 11-02-03 1 Voorwoord Dit document is opgesteld om een overzicht te krijgen van alle type magische vierkanten. Hopelijk is de lijst

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Matrices en Stelsels. Deel I. 1. Matrices. 1. Begrippen. Wat wordt er van jou verwacht?

Matrices en Stelsels. Deel I. 1. Matrices. 1. Begrippen. Wat wordt er van jou verwacht? 1 Deel I Matrices en Stelsels 1. Matrices 1. Begrippen Wat wordt er van jou verwacht? 1. Weten wat men met de volgende begrippen bedoelt en deze begrippen ook zelf kunnen gebruiken: matrix, rijen, kolommen,

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk 4 Eigenwaarden en eigenvectoren 4.1 Inleiding Tot nu toe zijn al onze vectoren en matrices reëel geweest d.w.z. de theorie voor stelsels lineaire vergelijkingen en de theorie der matrices en

Nadere informatie

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes

Wiskunde D vwo Lineaire algebra. Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 19 november 2015 Harm Houwing en John Romkes Wiskunde D vwo Lineaire algebra Presentatie Noordhoff wiskunde Tweede Fase congres 9 november 205 Harm Houwing en John Romkes Vwo D Lineaire algebra Harm Houwing John Romkes Hoofdstuk 4 Onderwerpen Rekenen

Nadere informatie

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassingen op matrices - Opgave Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale

Nadere informatie

Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen

Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen Stelsels van eerstegraadsvergelijkingen Wilfried Van Hirtum Versie 1.08-13 november 2015 39 euro 34 euro 26 euro 3 2 1 39 2 3 1 34 1 2 3 26 Copyright 2015 Wilfried Van Hirtum Dit werk wordt vrij gegeven

Nadere informatie

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in

Nadere informatie

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015 Matrixrekenen Wilfried Van Hirtum Versie 1.11 2015 2 Even opfrissen Het algemeen principe bij een matrixvermenigvuldiging is: ri j kolom. Voorbeeld: A 1 2 3 4 1 0 2 3 0 2 3 2 B 10 5 20 6 30 7 40 8 A B

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen

Hoofdstuk 6 Matrices toepassen Hoofdstuk Matries toepassen Moderne wiskunde e editie vwo D deel Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton

De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton De wortel uit min één, Cardano, Kepler en Newton Van de middelbare school kent iedereen wel de a, b, c-formule (hier en daar ook wel het kanon genoemd) voor de oplossingen van de vierkantsvergelijking

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

Vergelijkingen en hun oplossingen

Vergelijkingen en hun oplossingen Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele

Nadere informatie

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)

Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve

Nadere informatie

Het duivenhokprincipe

Het duivenhokprincipe Tijdens de sneeuwstormen van 5 november j.l. hebben duizenden leerlingen zich gebogen over de opdracht in het kader van de wiskunde B-dag. Op het Jac P Thijsse College worden de werkstukken beoordeeld

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde

Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde Mogelijke Onderwerpen Projectwerk Bachelor 3 Wiskunde E. Jespers Departement of Mathematics Vrije Universiteit Brussel 2 Voorbeelden van algebra s van kleine dimensie Een theorie steunt steeds op het goed

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur

Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Deeltentamen I, Ringen en Galoistheorie, 16-4-2009, 9-12 uur Geef een goede onderbouwing van je antwoorden. Succes! 1. (a) (10 pt) Ontbindt het polynoom X 3 3X+3 in irreducibele factoren in Q[X] en in

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Symmetrische sudoku s

Symmetrische sudoku s Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Symmetrische sudoku s Bachelor Project II Lobke Van Impe Promotor: Geertrui Van de Voorde Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Gerechte designs

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen

3.2 Kritieke punten van functies van meerdere variabelen Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 007/008 Als in een kritiek punt x 0 ook de tweede afgeleide f (x 0 ) = 0 is, kunnen we nog steeds niet beslissen of de functie een minimum, maximum of een zadelpunt

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Getallen tellen. 1.1 Gehele getallen. 1.2 Recursieve definities. 1.3 Het induktieprincipe

Hoofdstuk 1. Getallen tellen. 1.1 Gehele getallen. 1.2 Recursieve definities. 1.3 Het induktieprincipe Hoofdstuk 1 Getallen tellen 1.1 Gehele getallen 1.1.1 Inleiding 1.1.2 De optelling en de vermeningvuldiging 1.1.3 De ordening van de gehele getallen 1.1.4 Het axioma van de goede ordening 1.2 Recursieve

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Meetkunde I [B-KUL-G0N31B]

Meetkunde I [B-KUL-G0N31B] KU Leuven Meetkunde I [B-KUL-G0N31B] Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 24 september 2014 Gecompileerd 18 januari 2016 Docent: Prof. Wendy Goemans Inhoudsopgave 1 Affiene meetkunde 4 1.1 Affiene ruimte.......................................

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss

7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss 7 College 01/12: Electrische velden, Wet van Gauss Berekening van electrische flux Alleen de component van het veld loodrecht op het oppervlak draagt bij aan de netto flux. We definieren de electrische

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Algebra and discrete wiskunde

Algebra and discrete wiskunde Algebra and discrete wiskunde dr. G.R. Pellikaan Studiewijzer voor het studiejaar 2015/2016 College 2WF50 Contents 1 Algemeen 2 2 Inhoud van het vak 2 3 Leerdoelen 3 4 Berekening tijdsplanning 3 5 Onderwijs-

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Perfecte getallen en Leinster groepen

Perfecte getallen en Leinster groepen Faculteit Wetenschappen Departement Wiskunde Perfecte getallen en Leinster groepen Bachelorproef 1 Lukas Boelens Promotor: Dr. Andreas Bächle 29 januari 2015 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Perfecte getallen

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES

II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES II. ZELFGEDEFINIEERDE FUNCTIES In Excel bestaat reeds een uitgebreide reeks van functies zoals SOM, GEMIDDELDE, AFRONDEN, NU enz. Het is de bedoeling om functies aan deze lijst toe te voegen door in Visual

Nadere informatie

De Chinese reststelling

De Chinese reststelling De Chinese reststelling 1 Inleiding 1. De Chinese reststelling is een stelling binnen de getaltheorie. De stelling werd voor het eerst beschreven in de vierde eeuw na Chr. door de Chinese wiskundige Sunzi

Nadere informatie

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking

5. Vergelijkingen. 5.1. Vergelijkingen met één variabele. 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking 5. Vergelijkingen 5.1. Vergelijkingen met één variabele 5.1.1. Oplossen van een lineaire vergelijking Probleem : We willen x oplossen uit de lineaire vergelijking p x+q=r met p. Maxima biedt daartoe in

Nadere informatie

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600.

START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. START WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2007 Je hebt 60 minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 600. Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 580 punten) Vier bij vier. In een schema van vier maal

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

Combinatoriek. Oefeningen op hoofdstuk 3. 3.1 Het duivenhokprincipe. 3.2 Dubbele telling

Combinatoriek. Oefeningen op hoofdstuk 3. 3.1 Het duivenhokprincipe. 3.2 Dubbele telling Oefeningen op hoofdstuk 3 Combinatoriek 3.1 Het duivenhokprincipe Oefening 3.1. Geraldine heeft twaalf roze kousen, zes appelblauwzeegroene en tien gele allemaal door elkaar in haar lade. Het is pikdonker

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2006 Antwoorden 1 V 1 8 en 12 V 2 7 en 11 V 3 6 en 10 V 4 5 en 9 2 5040 opstellingen 3 De zijde is 37 4 α = 100 5 10, 2 liter 6 De volgorde is 2, 5, 3, 4, 1 7 30 euro 8 De straal

Nadere informatie