CTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1

Transcriptie

1 CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1

2 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8

3 Verschillende notaties De uitgebreide matrix a 1 a a n b van een stelsel lineaire vergelijkingen heeft dezelfde oplossing set als de vector vergelijking x 1 a 1 + x a + + x n a n = b en de matrix vergelijking Ax = b. 3

4 Inhomogeen & homogeen stelsel Een homogeen stelsel kan geschreven worden als Ax = 0 en heeft altijd de triviale oplossing x = 0. De homogene vergelijking Ax = 0 heeft alleen een niet-triviale oplossing als de vergelijking minstens één vrije variabele heeft. Een oplossing van een stelsel kan worden beschreven door een parametrische vectornotatie zoals x = p + su + tv. De oplossing van een inhomogeen stelsel Ax = b kan geschreven worden in de vorm w = p + v h waarbij p een oplossing is van Ax = b en v h een oplossing is van Ax = 0. 4

5 Lineaire (on)afhankelijkheid Het homogene stelsel Ax = 0 kan ook geschreven worden als x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0. 5

6 Lineaire (on)afhankelijkheid Het homogene stelsel Ax = 0 kan ook geschreven worden als x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0. Vectoren a 1, a,., a n zijn lineair onafhankelijk als de vergelijking x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0 alleen de triviale oplossing x 1 = x = = x n = 0 heeft. 6

7 Lineaire (on)afhankelijkheid Het homogene stelsel Ax = 0 kan ook geschreven worden als x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0. Vectoren a 1, a,., a n zijn lineair onafhankelijk als de vergelijking x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0 alleen de triviale oplossing x 1 = x = = x n = 0 heeft. Vectoren a 1, a,., a n zijn lineair afhankelijk als de vergelijking x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0 een oplossing heeft met minstens één constante van x 1, x,, x n ongelijk aan 0. 7

8 Lineaire (on)afhankelijkheid Het homogene stelsel Ax = 0 kan ook geschreven worden als x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0. Vectoren a 1, a,., a n zijn lineair onafhankelijk als de vergelijking x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0 alleen de triviale oplossing x 1 = x = = x n = 0 heeft. De kolommen van matrix A zijn lineair onafhankelijk dan en slechts dan als de matrix vergelijking Ax = 0 alleen de triviale oplossing heeft. 8

9 Eén vector Wanneer is een enkele vector lineair onafhankelijk? x 1 v = 0 9

10 Eén vector Wanneer is een enkele vector lineair onafhankelijk? x 1 v = 0 heeft alleen de triviale oplossing x 1 = 0 als v 0. x 1 v = 0 heeft oneindig veel oplossingen als v = 0. 10

11 Eén vector Wanneer is een enkele vector lineair onafhankelijk? x 1 v = 0 heeft alleen de triviale oplossing x 1 = 0 als v 0. x 1 v = 0 heeft oneindig veel oplossingen als v = 0. Dus, een enkele vector v is lineair onafhankelijk als v 0. 11

12 Twee vectoren Wanneer zijn twee vectoren lineair onafhankelijk? x 1 v 1 + x v = 0 1

13 Twee vectoren Wanneer zijn twee vectoren lineair onafhankelijk? x 1 v 1 + x v = 0 x 1 v 1 = x v v 1 = x x 1 v 13

14 Twee vectoren Wanneer zijn twee vectoren lineair onafhankelijk? x 1 v 1 + x v = 0 x 1 v 1 = x v v 1 = x x 1 v Twee vectoren zijn lineair afhankelijk als de ene vector een veelvoud van de andere vector is. Twee vectoren lineair onafhankelijk dan en slechts dan als de ene vector niet een veelvoud van de andere vector is. 14

15 Set van twee of meer vectoren Stelling Een set S = v 1,, v n is lineair afhankelijk dan en slechts dan als tenminste één van de vectoren in S een lineaire combinatie is van de andere vectoren in S. In feite, als set S lineair afhankelijk is en v 1 0, dan is er een vector v j (j > 1) welke een lineaire combinatie is van de voorgaande vectoren v 1,, v j 1. 15

16 Speciale gevallen Stelling Als een set meer vectoren bevat dan het aantal elementen van elke vector, dan is de set lineair afhankelijk. Oftewel, een set v 1,, v p in R n is lineair afhankelijk als p > n. 16

17 Speciale gevallen Stelling Als een set S = v 1,, v p in R n de nul-vector bevat, dan is de set lineair afhankelijk. 17

18 Speciale gevallen Stelling Als een set S = v 1,, v p in R n de nul-vector bevat, dan is de set lineair afhankelijk. Bewijs Herschik de vectoren zodat v 1 = 0. De vergelijking 1 v v + 0 v p = 0 laat zien dat de vectoren lineair afhankelijk zijn. 18

19 Lineair on(afhankelijk)? Voorbeeld 3 4, 1 5, 0 1,

20 Lineair on(afhankelijk)? Voorbeeld 3 4, 1 5, 0 1, 3 5 Lineair afhankelijk want het aantal elementen per kolom is kleiner dan het aantal vectoren. 0

21 Lineair on(afhankelijk)? Voorbeeld 3 4, 0 0 0, 3 5 1

22 Lineair on(afhankelijk)? Voorbeeld 3 4, 0 0 0, 3 5 Lineair afhankelijk want de set vectoren bevat de nul-vector.

23 Lineair on(afhankelijk)? Voorbeeld 1 4, 4 5 3

24 Lineair on(afhankelijk)? Voorbeeld 1 4, 4 5 Lineair onafhankelijk want de tweede vector is geen veelvoud van de eerste. 4

25 Samenvatting Vectoren a 1, a,., a n zijn lineair onafhankelijk als de vergelijking x 1 a 1 + x a + + x n a n = 0 alleen de triviale oplossing x 1 = x = = x n = 0 heeft. Anders zijn de vectoren a 1, a,., a n zijn lineair afhankelijk. Een set S = v 1,, v n is alleen lineair afhankelijk als tenminste één van de vectoren in S een lineaire combinatie is van de andere vectoren in S. 5

26 Opgaven maken Hoofdstuk 1.7 Opgaven: 1,, 3, 5, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 3, 6 6

27 Transformatie Door vermenigvuldiging met matrix A wordt vector x getransformeerd tot vector b. x vermenigvuldig met A b 7

28 Transformatie Door vermenigvuldiging met matrix A wordt vector x getransformeerd tot vector b. x vermenigvuldig met A b Het oplossen van de vergelijking Ax = b is gelijk aan de vectoren x vinden die door vermenigvuldiging met A transformeren tot b. 8

29 Transformatie Een transformatie T van R n naar R m is een regel die elke vector x R n transformeert naar een vector T(x) R m. 9

30 Transformatie Een transformatie T van R n naar R m is een regel die elke vector x R n transformeert naar een vector T(x) R m. R n is het domein van T en R m is het codomein van T. We noteren dit als T: R n R m. 30

31 Transformatie Een transformatie T van R n naar R m is een regel die elke vector x R n transformeert naar een vector T(x) R m. R n is het domein van T en R m is het codomein van T. We noteren dit als T: R n R m. De vector T(x) is het beeld van x. De set van alle beelden T(x) is het bereik van T. 31

32 Matrix transformaties Matrix transformatie: T(x) wordt gegeven door Ax. Het domein van T is R n en het codomein van T is R m als A een m n matrix is. Het bereik van T is de set van alle lineaire combinaties van de kolommen van A. 3

33 Matrix transformaties Voorbeeld A = en de transformatie T: R R 3 is T x Als x = 1, dan T x = Ax = = 5 1. = Ax. 33

34 Matrix transformaties Voorbeeld T x = Ax = = 5 1. x 3 x x x 1 x 1 34

35 Matrix transformaties Voorbeeld A = , b = 10 en c = 3 0. Definieer transformatie T: R 3 R door T x = Ax. a) Vind een x in R 3 met beeld b onder T. b) Is er meer dan één x met beeld b onder T? c) Bepaal of c in het bereik van T zit. 35

36 Matrix transformaties Voorbeeld De transformatie T: R R 1 door T x = Ax met A = heet een projectie, want x 1 x x 1 x = x

37 Matrix transformaties Voorbeeld De transformatie T: R R door T x = Ax met A = heet een shear transformatie. x x x 1 x 1 37

38 Samenvatting Een transformatie T van R n naar R m is een regel die elke vector x R n transformeert naar een vector T(x) R m. R n is het domein van T en R m is het codomein van T. We noteren dit als T: R n R m. De vector T(x) is het beeld van x. De set van alle beelden T(x) is het bereik van T. 38

39 Opgaven maken Hoofdstuk 1.7 Opgaven: 1,, 3, 5, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 3, 6 Hoofdstuk 1.8 Opgaven: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 39