1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3.

Transcriptie

1 1. Het aantal optimale oplossingen van een LP probleem is 0, 1, of oneindig. 2. De vereniging van twee konvexe verzamelingen is niet convex. 3. Een LP probleem heeft n>2 variabelen en n+2 constraints. Het toegelaten gebied heeft minder dan 2n 2 hoekpunten. 4. Het toegelaten gebied van een LP probleem is niet begrensd. Dan is ook de doelfunctie niet begrensd. 5. Een LP probleem heeft een optimale oplossing. Dan is er ook een CPF (Corner Point Feasible) oplossing. 6. De doelfunctie max(x 1, x 2, x 3 ) is niet-lineair. 7. De standaardvorm van een LP probleem garandeert dat er een optimale oplossing is. 8. De verzameling {(x 1, x 2,, x n ) x x nx n 2n 0} is niet convex. 9. Een LP probleem in twee dimensies met drie constraints en een begrensd toegelaten gebied. Het mogelijke aantal CPF oplossingen is 0, 1, 2 of In een LP probleem (minimalisering) geldt dat de doelwaarde in een bepaalde CPF oplossing niet groter is dan de waarde in alle naburige CPF oplossingen. Deze CPF oplossing is dan optimaal.

2 Voorbeeld simplexmethode Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x x 1 + x 2-2x 3 8 en x 1, x 2, x 3 0 Voer slackvariabelen (x 4, x 5 ) in: Max Z = 3x 1 + 2x 2 0.5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 10 3x 1 + x 2-2x 3 + x 5 = 8 en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Basisoplossing: x 1 = x 2 = x 3 = 0 x 4 = 10, x 5 = 8 Basisoplossing: (0, 0, 0, 10, 8) Doelwaarde: Z = 0 Basisvariabelen: x 4, x 5. Niet-basisvariabelen: x 1, x 2, x 3. Welke van x 1, x 2, x 3 positief maken? Sterkste stijging voor x 1 (coëfficiënt in Z). Hoe groot kan x 1 worden? x 2 = x 3 = 0 dus 4x 1 + x 4 = 10 4x 1 = 10 - x 4 10 x 1 2,5 3x 1 + x 5 = 8 3x 1 = 8 - x 5 8 x 1 2,666 x 1 kan maximaal 2,5 worden als x 4 = 0. x 4 verlaat de basis. x 1 komt in de basis.

3 Basisoplossing: (2,5, 0, 0, 0, 0,5) Doelwaarde: Z = 7,5 Basisvariabelen: x 1, x 5. Niet-basisvariabelen: x 2, x 3, x 4. Max Z = 3x 1 + 2x 2 0,5x 3 z.d.d. 4x 1 + 3x 2 + x 3 + x 4 = 10 3x 1 + x 2-2x 3 + x 5 = 8 en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Nieuwe basisvorm: x 1 en x 5 mogen niet in de Z vergelijking en in de andere vergelijkingen met één 1, rest 0. Krijg je door vegen: Max Z = - 0,25x 2 1,25x 3 0,75x 4 + 7,5 z.d.d. x 1 + 0,75x 2 + 0,25x 3 + 0,25x 4 = 2,5-1,25x 2 2,75x 3 0,75x 4 + x 5 = 0,5 en x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Basisoplossing: (2,5, 0, 0, 0, 0,5) Z = 7,5 Oplossing is al optimaal (want alle coëfficiënten in de Z vergelijking zijn negatief). Optimale oplossing: x 1 = 2,5, x 2 = 0, x 3 = 0, Z = 7,5

4 Opgave. Max Z = 3x 1 + 5x 2 z.d.d. x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 en x 1, x 2 0 a. Teken alle hoekpunten. b. Teken het toegelaten gebied. c. Teken alle CPF oplossingen. d. Los het probleem op met de grafische methode. e. Vervang de doelfunctie door Z = 3x 1 + ax 2. Voor welke waarden van a is de optimale oplossing niet uniek? f. Los het probleem op met de simplexmethode

5 Opgave Hoeveel lineaire constraints zijn nodig om een n- dimensionale kubus te definiëren? Antwoord: 2n Hoeveel hoekpunten heeft een n-dimensionale kubus? Antwoord: 2 n Wat is het minimale aantal constraints waarmee je in n dimensies een begrensd gebied met niet-leeg inwendige kunt definiëren? Antwoord: n+1 Hoeveel hoekpunten heeft een n-dimensionale simplex? Antwoord: n+1

6 Koop voor aandelen Vilyps, Dikstaal en Multilever fonds prijs/aandeel dividend/aandeel Vilyps 50 7 Dikstaal 20 6 Multilever 75 9 Minimaal 30% is in Vilyps belegd. Minstens driemaal zoveel geld in Multilever belegd als in Dikstaal. Maximaliseer de verwachte opbrengst. Formuleer eerst het LP model: Max Z = 7v + 6d + 9m z.d.d. 50v + 20d + 75m = v m 60d v, d, m 0 Vereenvoudig: Max Z = 7v + 6d + 9m z.d.d. 10v + 4d + 15m = v m 4d 0 v, d, m 0

7 Max Z = 7v + 6d + 9m z.d.d. 10v + 4d + 15m = v m 4d 0 v, d, m 0 Elimineer d door substitutie van de =-constraint : d = ,5v 3,75m Max Z = v 13,5m z.d.d. v v + 20m ,5v 3,75m v, m 0 Vereenvoudig: Max Z = v 13,5m z.d.d. v 6000 v + 2m v 7m v, m 0 Vervang v = v 6000, ofwel v = v : Max Z = v 13,5m z.d.d. v + 2m v 7m v, m 0

8 Los op met de simplexmethode! Max Z = v 13,5m z.d.d. v + 2m v + 15m v, m 0 Surplusvariabele n 1, slackvariabele n 2 : Max Z = v 13,5m z.d.d. v + 2m n 1 = v + 15m + n 2 = v, m, n 1, n 2 0 Oorsprong is geen oplossing (n 1 = < 0)! Hulpvariabele p: Max Z = v 13,5m Mp z.d.d. v + 2m n 1 + p = v + 15m + n 2 = v, m, n 1, n 2, p 0 Extra term Mp in doelfunctie zorgt dat (uiteindelijk) p = 0 wordt. (M is heel groot) Hoekpunt: v = m = n 1 = 0. Basisvariabelen: p, n 2

9 Max Z = v 13,5m Mp z.d.d. v + 2m n 1 + p = v + 15m + n 2 = v, m, n 1, n 2, p 0 Elimineer p uit Z: Max Z = M+(M-8)v +(2M 13,5)m Mn 1 z.d.d. v + 2m n 1 + p = v + 15m + n 2 = v, m, n 1, n 2, p 0 Grootste stijging door m. Vergroot m, dan stijgt Z Vergroot m tot 7000, dan wordt p = 0. Vegen met m: Max Z = ,25v 6,75n 1 (M 6,75)p z.d.d. 0,5v + m 0,5n 1 + 0,5p = ,5v + 7,5n 1 + n 2-7,5p = v, m, n 1, n 2, p 0 Geen verbetering mogelijk door vergroten van v, n 1 of p. Optimaal! v = n 1 = p = 0 Oplossing: v = 6000, m = 7000, d = 8750, Z =

10 Standaardvorm voor een LP probleem: Max Z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n z.d.d. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m en x 1, x 2, x n 0 Hierin zijn alle b j 0. Reden voor de standaardvorm: x 1 = x 2 = = x n = 0 is een toegelaten hoekpunt en kan worden gebruikt als startpunt voor de simplexmethode.

11 Afwijkingen van de standaardvorm: 1. Minimalisering: Min Z = (Max Z) 2. Geen niet-negativiteitseis voor x j (x j 0) 2a. x j 10. Ga over op x j = x j 10, dan is x j 0. 2b. x j -7. Ga over op x j = 7 x j, dan is x j 0. 2c. Geen ongelijkheid voor x j. Schrijf x j = x + j - x - j, dan is x + - j, x j Negatief rechterlid: 3x 2 7x 4 4 3x 2 + 7x i.p.v. in constraint: surplusvariabele, i.p.v. slackvariabele + behandelen als gelijkheid! 3x 2 + 7x 4 4 3x 2 + 7x 4 x 5 = 4 3x 2 + 7x 4 x 5 + x 6 = 4 (en x 5, x 6 0, extra term Mx 6 in doelfunctie) 5. = i.p.v. in constraint: Voer kunstmatige variabele + x in én extra term Mx in doelfunctie

12 Voorbeeld omzetten naar standaardvorm Max Z = x 1 + x 2 + x 4 z.d.d. x 1 + 2x 2 5 2x 1 x 2 + x 3 4 x 2 2x 3 + x 4 = 3 en x 1 0, x 2 5, x 3 0 x 2 5 klopt niet. Nieuwe variabele x 2 := 5 x 2 0. Vervang x 2 door 5 x 2 : Max Z = x 1 x 2 + x z.d.d. x 1 2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 1 x 2 2x 3 + x 4 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0 Vervang x 2 2x 3 + x 4 = 2 door x 2 + 2x 3 x 4 = 2 Geen constraint voor x 4. Vervang x 4 = x x 4 -, x 4 +, x 4-0: Max Z = x 1 x 2 + x + 4 x z.d.d. x 1 2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 1 x 2 + 2x 3 x x 4 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x Vervang Z door Z = Z 5.

13 Max Z = x 1 x 2 + x x 4 z.d.d. x 1 2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 1 x 2 + 2x 3 x x 4 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x Vervang x 1 2x 2 5 door x 1 + 2x 2 5 Voer slack x 5 en hulpvariabele x 6 in Max Z = x 1 x 2 + x + 4 x - 4 Mx 6 z.d.d. x 1 + 2x 2 5 2x 1 + x 2 + x 3 + x 5 = 1 x 2 + 2x 3 x x 4 + x 6 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x - 4, x 5, x 6 0 Max Z = x 1 x 2 + x + 4 x - 4 Mx 6 Mx 8 z.d.d. x 1 + 2x 2 x 7 + x 8 = 5 2x 1 + x 2 + x 3 + x 5 = 1 x 2 + 2x 3 x x 4 + x 6 = 2 en x 1 0, x 2 0, x 3 0, x + 4, x - 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0 Optimale oplossing: (x 1, 5-x 2, x 3, x + 4 x - 4 ) Optimale waarde: Z = Z + 5 Het probleem heeft overigens geen toelaatbare oplossingen

14 Alternatieve aanpak voor de gelijkheid: x 2 + 2x 3 x x 4 - = 2 vervang door twee ongelijkheden: Dit wordt x 2 + 2x 3 x x 4-2 x 2 + 2x 3 x x 4-2 x 2 + 2x 3 x x x 6 = 2 x 2 + 2x 3 x x x 9 + x 10 = 2 Dit geeft 3 extra variabelen in plaats van 1: x 2 + 2x 3 x x 4 - +x 6 = 2 Niet slim dus