Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per ons) en b is het aantal bonbons (, euro per ons).,d is het bedrag aan drop en,b is het bedrag aan bonbons. Het totaalbedrag is dus, d+, b=,., c d = geeft b = =. Er wordt dan alleen ons bonbons gekocht.,, d b = geeft d = =,. Er wordt dan alleen drop gekocht. e d b,,, b 9 d a Die punten zijn bijvoorbeeld (, ), (, ), (, ) en (, ) x 9 b = x+ dus =, x+. c Je vindt de grafiek van opdracht a. a Je moet dan oplossen B = dus dan is B =. Je hebt dan het snijpunt met de verticale as gevonden. b Als je B = invult, krijg je A = dus A = 9 en het snijpunt met die andere as is het punt (9, ) Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

2 bladzijde a De lijn gaat door de punten (, ) en (, ); = x. x 9 b De lijn gaat door de punten (, ) en (, ); = x+ 9 c De lijn gaat door de punten (, ) en (, ). De vergelijking kun je schrijven als = x+. x x. d De lijn gaat door de punten (, ) en (, ); = x+. x Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv 9

3 a x+ = geeft = x+ dus = x+. + = geeft = x+ dus = x+. b Invoer rekenmachine: Y= X+. en Y=.X+.. Window instelling: X min =, X max =, Y min =, Y max =. Gebruik optie (INTERSECT) uit het CALC menu. Je vindt snijpunt: x+ = en =,. c Het snijpunt ligt op beide lijnen, dus of je de x-coördinaat in de ene vergelijking invult of in de andere vergelijking, er moet dezelfde -coördinaat uitkomen. d Het snijpunt vind je door op te lossen x+ = x +. Hieruit volgt x = dus x =. Als je voor x het getal invult, vind je = + = + =. Het snijpunt is (, ). a Je moet oplossen x = x+. Dit geeft x = dus x = en x =. Hieruit volgt = + =. Het snijpunt is het punt (, ) b Je moet oplossen p+ = p +. Dit geeft p + = en dus is p = en p =. Invullen geeft q = + =. Het snijpunt is het punt (, ). c Je moet oplossen x =. Je vindt x = en x = en dus is het snijpunt het punt (, ) a x b De vergelijkingen van de drie lijnen kun je schrijven als =, x+,, = x+ en =, x+,. Je moet steeds twee van de lijnen met elkaar snijden en je moet dus oplossen: (), x+, = x +. Hieruit volgt, x +, = en dus is, x =, en x =. Invullen geeft = + = 9. Het snijpunt is dus (, 9) (), x+, =, x +,. Hieruit volgt, x +, =, en dus is, x =, en x =. Invullen geeft =, +, =. Het snijpunt is dus (, ) () x+ =, x+,. Hieruit volgt, x +, = en dus is, x =, en x =. Invullen geeft = + = 9. Het snijpunt is (, 9) 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

4 bladzijde a Er volgt + ` =, dus (, ) is een oplossing van de ongelijkheid. b Oplossingen zijn de punten (, ), (, ), (, ), (,;,) en (, ) c x d Die punten liggen op of boven de lijn met de vergelijking x+ =. 9a x b Ja, want = <. De oplossingen liggen dus rechts van de lijn. c Zie tekening bij opdracht a. a kopjes thee 9 kopjes koffie c,d b Vermenigvuldig de ongelijkheid met. k 9 9 t Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv 9

5 bladzijde a k 9 t b De lijn gaat door de punten (, ) en (, ). Het punt (, ) voldoet aan de ongelijkheid. Het gebied links van de lijn is het gevraagde halfvlak. k 9 t c De lijn gaat door de punten (, ) en (, ). Het punt (, ) voldoet niet aan de ongelijkheid. Het gebied rechts van de lijn is het gevraagde halfvlak. k 9 t d Door te delen door kun je de ongelijkheid herleiden tot t+ k. De lijn t+ k = gaat door de punten (, ) en (, ) (en (, )) Het punt (, ) voldoet aan de ongelijkheid. Het gebied links van de lijn is het gevraagde halfvlak. k t Je kunt de ongelijkheid herleiden tot k t. De lijn gaat door de Punten (, ) en (, ). Het punt (, ) voldoet niet aan de ongelijkheid, dus het gebied links van de lijn is het gevraagde halfvlak. 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

6 a b c Je arceert het halfvlak links van de verticale lijn x =. De grenslijn hoort ook bij de oplossing. d Je arceert het halfvlak boven de lijn =. De grenslijn zelf hoort ook bij de oplossing. Die punten liggen zowel links van (en op) de lijn x = als boven (en op) de lijn =. (Ofwel de punten die zowel in het geel gekleurde vak als in het groen gekleurde vlak liggen.) a,b 9 9 c Die punten liggen links van de lijn x+ 9= en bovendien rechts van de lijn x =. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv 9

7 d Dat gebied is de donker gekleurde vierhoek in de figuur. x 9 a n+, t b n en t, bovendien zijn n en t gehele getallen. c n, t, n t en t n d Het gaat hier om de roosterpunten binnen het toegestane gebied of op de rand ervan. In de tekening van opdracht c zie je dat er zijn, dus zijn er keuzemogelijkheden. a B = (lijn p), A+ B= (lijn q) en A+ B= (lijn r). b Die hoekpunten zijn de punten (, ), (, ), (, ), (, ) en (, ) Je vindt het punt (, ) door de vergelijking A= A op te losssen. Je krijgt A = dus A =. Invullen geeft: B = =. Het punt (, ) vind je door op te lossen A =. Je vindt A = en B =. Je tekent de lijnen = x, =, x =, = en = x. Het gebied ligt links van de lijnen = x en = x, onder de lijn =, rechts van de -as en boven de x-as. 9 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

8 bladzijde a VW-bus Hundai-bus Totaal Aantal personen Aantal dozen b Omdat er ruimte moet zijn voor minstens personen. c V + H. d 9 e f g h Het gekleurde gebied ligt nu zowel links van de ene lijn als links van de andere lijn. Het gekleurde gebied voldoet niet! Omdat aantallen busjes niet negatieve getallen zijn. Dat kan niet, omdat er dan niet genoeg ruimte is voor alle personen, want + = <. Omdat de aantallen busjes gehele getallen zijn. Er moeten minimaal busjes worden gehuurd, Hundai busjes en VWbusjes. Het punt (, ) is een hoekpunt van het niet gekleurde gebied dat juist wel aan de ongelijkheden voldoet. Bovendien gaat het om een minimaal aantal busjes. Bij andere hoekpunten is het aantal busjes groter. Hangt af van wat je zelf het prettigst vindt, maar je moet natuurlijk wel consequent zijn. Kleur je steeds het gebied dat juist niet aan een voorwaarde voldoet, dan moet je dat bij alle voorwaarden doen! bladzijde 9a T is het aantal ha tarwe en M is het aantal hectare maïs. b Er geldt T + M (vanwege de kostenbeperking) en als je deelt door krijg jet + M. Er moet minstens tweemaal zoveel tarwe als maïs worden verbouwd, dust M. c T, T, M,T + M. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv 9

9 d Die randpunten zijn O(, ), A(, ), B(, ), C(, ) en D(, ) Je vindt punt A door op te lossen M = M. Daaruit volgt M =, dus M = ent =. Je vindt punt B door op te lossen: M = M. Hieruit volgt M = ent = =. Punt C vind je door op te lossen M =. Dan is M = ent =. e Voor de winst W geldt de vergelijking W = T + M. in O is W =, in A is W =, in B is W =, in C is W = en in D is W =. De winst is dus zo groot mogelijk in het randpunt B, namelijk euro. Het advies is dus om ha tarwe en ha maïs te verbouwen. a Je tekent de lijnen p =, q =, p =, p + q =, p + q = en p + q =. 9 b De hoekpunten zijn de punten O(, ), A(, ), B(, 9), C(, ), D(, ) en E(, ) Om het punt B te vinden los je op q = q. Daaruit volgt q = dus q = 9 en p = 9 =. Het punt C vind je door op te lossen p= p. Daaruit volgt p= p en dus is p = en p =. Invullen geeft q =. Punt D vind je door op te lossen + q =, dus q = en q =. Omdat p = is het snijpunt (, ). c Het toegestane gebied is dan het spiegelbeeld van het gebied dat bij opdracht a is getekend wanneer je spiegelt in de lijn = x. d De hoekpunten zijn dan (, ), (, ), (9, ), (, ), (, ) en (, ) a b Het gebied ligt rechts van de grenslijnen = x+ en = x+, links van de grenslijn x = en boven de lijn =. De voorwaarden x en zijn overbodig. a A is het bedrag (in miljoenen euro) dat in aandelen wordt belegd en B is het bedrag (in miljoenen euro) dat in obligaties wordt belegd. De beperkende voorwaarden zijn dan: A, B, A+ B, A+ B en A B. 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

10 b c 9 9 Het hoekpunt van het toegestane gebied, dat de grootste eerste coördinaat heeft, bereken je door de lijnen A+ B= en A= B met elkaar te snijden. Je moet dan de vergelijking B= B oplossen. Je vindt A = en B =. Dus dat bedrag is maximaal miljoen euro. bladzijde a Annemarie heeft gelijk, want de aantallen paren katoenen en wollen sokken liggen al vast. b De beperkende voorwaarden zijn: x+, x+, x,. Het toegestane gebied ligt links van de grenslijnen x+ = en x+ =, boven de x-as en rechts van de -as. De grenslijnen zelf horen er ook bij. c Er zijn x pakketten van euro per stuk (totaal x euro) en pakketten van euro per stuk (samen euro). Dus voor de totale opbrengst geldt TO = x+. d TO = + =. e roosterpunten op de lijn zijn: (, ), (, ) en (, ) f De opbrengst is bij deze aantallen pakketten steeds euro. g Er kan een nog grotere opbrengst worden bereikt, want op een lijn met vergelijking x+ = C, waarbij C een grotere constante is dan, liggen punten uit het toegestane gebied. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv 9

11 h Je moet het snijpunt berekenen van de lijnen x+ = en x+ =. Dit kun je doen door de vergelijking ( ) = op te lossen. Je krijgt dan,, = en daaruit volgt dat, =, dus =. Dit getal vul je in de vergelijking x+ = in en je krijgt x =, dus x =. Er moeten dus sokkenpakketten en sokkenpakketten worden verkocht om een maximale opbrengst te krijgen. bladzijde a,b c d Het toegestane gebied ligt tussen de lijnen b = en b =, tussen de lijnen a+ b= en a+ b= en bovendien rechts van de -as. De grenslijnen horen er zelf ook bij. Door de isolijnen evenwijdig naar rechts te verschuiven, blijkt dat de maximale waarde bereikt wordt in het snijpunt van de lijnen b = en a+ b=. Dit is het punt (, ). Er geldt dan ook dat de maximale waarde gelijk is aan + =. Door de isolijnen naar links te verschuiven blijkt dat het minimum bereikt wordt in het snijpunt van de lijnen a+ b= en b =, dat is in het punt (, ) Het minimum is dus + =. a Zak Doos Winst, euro, euro Maximale productie Inhoud kg, kg b De beslissingsvariabelen zijn: Z (het aantal zakjes) en D (het aantal dozen). De beperkende voorwaarden zijn: Z, D, Z, D, D, Z en Z+, D. Op de lijn met vergelijking D=, Z liggen de punten (, ) en (, ) 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

12 Op de lijn met vergelijking Z+, D= liggen de punten (, ) en (, ) Het toegestane gebied is hieronder getekend, waarbij D langs de horizontale as is uitgezet en Z langs de verticale as. c De doelfunctie is W =, Z+, D. In de tekening van opdracht b zijn een paar isolijnen aangegeven. De maximale winst wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen Z+, D= en D =. Je vindt Z + = dus Z =. Het snijpunt is dus het punt (, ) en de maximale waarde van W is gelijk aan, +, = euro. d De doelfunctie wordt dan W =, Z+, D. De isolijnen hebben als richtingsgetal,. Door de isolijnen evenwijdig naar rechts te verschuiven neemt W toe. De maximale winst wordt bereikt in het punt (, ) en is gelijk aan euro. e Omdat de isowinstlijnen allemaal evenwijdig zijn met de lijn Z+, D= geven alle roosterpunten op die lijn dezelfde maximale winst. a De lijn die bij de vergelijking x+ = hoort, snijdt de -as in het punt (, ) en dat klopt met de grafiek van lijn l. De lijn die bij de vergelijking x+ = hoort snijdt de -as in het punt (, ). Dit komt overeen met de grafiek van lijn m. b Je moet het snijpunt van de lijnen l en m berekenen: Je lost de vergelijking, =,, op en vindt, =, en =,. Het snijpunt is dus (,;,) d e De roosterpunten uit het toegestane gebied liggen in de gekleurde vierhoek die wordt begrensd door de lijnen x =, =, x+ = en x+ =. Het snijpunt van de twee grenslijnen van het toegestane gebied uit opdracht c is geen roosterpunt. Dat punt kun je dus niet gebruiken. Het laatste roosterpunt dat op een iso-lijn ligt als die naar rechts wordt verschoven is het punt (, ), dus in dat punt bereikt D zijn maximale waarde. De maximumwaarde van D is dan 9. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv 99

13 bladzijde a Op de lijn met de vergelijking x+ = liggen de roosterpunten (, ) en (, ) Op de lijn met de vergelijking x+ = liggen de punten (, ) en (, ) Op de lijn met vergelijking x = liggen de punten (, ) en (, ) en op de lijn met vergelijking x = liggen de punten (, ) en (9, ) Het toegestane gebied is hieronder getekend. 9 b D = geeft x =. Daaruit volgt = x +. Op deze isolijn liggen de punten (, ) en (, ) Op dezelfde manier volgt uit D =, dat = x+. Op deze isolijn liggen de punten (, ) en (, ) c D is minimaal als je voor x en de coördinaten invult van het snijpunt van de lijnen x = en x+ =, want als je de isolijnen naar rechts verschuift wordt de waarde van D steeds kleiner. x Je lost de vergelijking x = op. Daaruit volgt door vermenigvuldiging met dat x = x. Je vindt x = dus x = 9, en = 9, =,. Het minimum van D is de waarde 9,, = 9,. d De maximale waarde van D vind je door de isolijnen zo ver naar links te verschuiven dat je nog net in het toegestane gebied blijft. De waarde van D wordt dan steeds groter. De maximumwaarde van D wordt dus bereikt in het snijpunt van de lijnen x+ = en x =. Je lost dan de vergelijking = + op. Je vindt = dus =,. Daaruit volgt x =,. Het snijpunt is dus (,;,) en de maximale waarde is D =, =,. a De punten O(, ), A(, ) en D(, ) zijn hoekpunten van het toegestane gebied. Verder moet je het snijpunt uitrekenen van de lijnen x+ = en x =. Je lost dan op ( ) = +. Daaruit volgt (door met te vermenigvuldigen) dat = + dus = en =. Dan is x = + = dus het snijpunt is C(, ) Tenslotte bereken je het snijpunt van de lijnen x = en x+ =. Je krijgt dan ( ) = en daaruit volgt dat = dus = en = 9. Er geldt dan x = = = dus het snijpunt is het punt B(, 9) De hoekpunten zijn dus O(, ), A(, ), B(, 9), C(, ) en D(, ) b Hoekpunt O A B C D Coördinaten (, ) (, ) (, 9) (, ) (, ) Doelfunctie c In O heeft de doelfunctie maximum. d In B heeft de doelfunctie minimum. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

14 9a De punten A en B komen voor controle in aanmerking, want dan is zo groot mogelijk en x zo klein mogelijk. b Het punt A is het snijpunt van de lijn x = met de -as. Als je voor x het getal invult, krijg je = dus = en A is het punt (, ). De coördinaten van B vind je door de lijnen x = en x = = met elkaar te snijden. Je moet de vergelijking = oplossen. Je vindt = en = 9, dus x = 9 =. Het punt B is dus het punt (, 9) De coördinaten van B invullen in de doelfunctie geeft W = en de coördinaten van A invullen geeft W =. Dus in B heeft de doelfunctie het maximum W =. c De minimale waarde bereikt de doelfunctie in het randpunt D(, ), want dan is x groot en klein. a De doelfunctie heeft in punt C de waarde en in punt D de waarde. Het maximum treedt op in de punten A en B, want daar is de waarde van de doelfunctie gelijk aan. b De helling van de lijn door A en B is en daaruit volgt de vergelijking = x + b. Door de coördinaten van bijvoorbeeld punt A in te vullen volgt er b =. Dus de vergelijking is = x +. c Het maximum van de doelfunctie is + = en wordt ook bereikt in roosterpunten die op het lijnstuk AB liggen dus in de punten (, ), (, 9), (, ), (, ), (9, ) en (, ). a De beslissingsvariabelen zijn M (= het aantal motorfietsen) en B (= het aantal bromfietsen). De beperkende voorwaarden zijn: B, M, M B, M + B 9 en B + M. En bovendien geldt B en M. De doelfunctie is de winstfunctie W = B + M. Op de lijn M + B = 9 liggen de punten (9, ) en (, ). Op de lijn B + M = liggen de punten (, ) en (, ). Op de lijn M = B liggen de punten (, ) en (, ). b Het snijpunt van de lijnen B = en B + M = is het punt B(, ) Het snijpunt van de lijnen M + B = 9 en B + M = vind je door op te lossen 9 M = M. Daaruit volgt M = en B = dus het snijpunt is het punt C(, ). Het snijpunt van de lijnen M = B en M + B = 9 vind je door op te lossen M + M = 9 dus M = = B dus het snijpunt is het punt D(, ) In elk van de punten O, A, B, C en D bepaal je de waarde van W. In O geldt W =, in A is W =, in B is W =, in C is W = en in C is W =. Dus W is maximaal in punt C. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

15 bladzijde a X = het aantal pakken Runner en Y = het aantal pakken Special. X en Y nemen alleen gehele waarden aan. b De doelfunctie is de winstfunctie W = X + Y. c Runner per pak Special per pak Beschikbaar snijden minuten minuten minuten naaien minuten minuten minuten d De beperkende voorwaarden zijn: X + Y, X + Y, X,Y. e De lijn met vergelijking X + Y = snijdt de x-as in het punt (, ) en de -as in het punt (, ) De lijn met vergelijking X + Y = snijdt de x-as in het punt (, ) en de -as in het punt (, ) Het toegestane gebied en de isowinstlijn W = zijn hieronder getekend: f De hoekpunten van het toegestane gebied zijn O(, ), A(, ), D(, ) en het snijpunt van de lijnen X + Y = en X + Y =. Dit snijpunt bereken je door op te lossen Y = Y. Daaruit volgt Y =, Y, dus ( ) ( ) g, Y = eny =. Verder geldt X = =, dus X =. Het snijpunt is dus het punt C(, ) De doelfunctie geeft in O de waarde W =, in A geldt W =, in C geldt W = en in D W =. De maximale winst wordt bereikt in punt D. Dan moeten er pakken van het tpe Special en pakken van het tpe Runner worden gemaakt. bladzijde a De gemiddelde dagopbrengst is dan + = euro. Nee, deze combinatie voldoet niet, want het aantal parkeerplaatsen voor bussen is te klein. Het aantal parkeerplaatsen voor personenauto s is groter dan tien maal het aantal parkeerplaatsen voor bussen ( > = ). b b, a b, a b en a+ b 9. Bovendien geldt a en b. Op de lijn a= b liggen de punten (, ) en (, ) Op de lijn a+ b= 9 liggen de punten (9, ) en (, ) Het toegestane gebied is hieronder getekend: Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

16 c De doelfunctie is de dagopbrengst D= a+ b. d De isolijnen hebben helling,. In de tekening van opdracht b zie je drie isolijnen getekend. Door de isolijnen naar rechts op te schuiven wordt de dagopbrengst D een groter getal. Daaruit volgt dat in het snijpunt van de Lijnen a= b en a+ b= 9 de dagopbrengst maximaal is. Dit snijpunt vind je door op te lossenb+ b= 9. Dit geeft b = 9 dus b = en daaruit volgt dat a =. Het snijpunt is dus (, ). Bij de verdeling met a = en b = is de dagopbrengst dus maximaal. In dat geval geldt D =. a X = het aantal deuren met glas en Y = het aantal deuren zonder glas. De beperkende voorwaarden zijn, behalve X en Y :, X +, Y,, Y,, X +, Y 9 en, X + Y. b De doelfunctie is de winstfunctiew = X +, Y. In de tekening van het toegestane gebied is een isowinstlijn getekend. De waarde van W neemt toe als de isolijnen naar rechts worden opgeschoven. Daaruit volgt dat de maximum waarde van W wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen, X +, Y = 9en, X +, Y =. Dit snijpunt vind je door op te lossen ( 9, ), X = X. Hieruit volgt,, X,, X en dus is (, ),, X ~ 9, en X. (, ) W is dus maximaal als X en Y., De maximale waarde van de doelfunctie is ongeveer euro. c Glas en lak worden niet volledig gebruikt. Er blijft, =, m glas en, =, liter lak over d De beschikbare arbeidstijd wordt dan, = uur. De beperkende voorwaarde die bij de arbeidstijd hoort, wordt dan, X +, Y. Het toegestane gebied (zie onderstaande tekening) verandert. Het hoekpunt waarin de doelfunctie een maximum bereikt is het snijpunt van de lijnen, Y = en de lijn, X +, Y = 9. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

17 Er volgt Y =, en de x-coördinaat van het snijpunt vind je door op, te lossen ( 9, X ) =,,. Hieruit volgt,, X, dus, X, en x,. Omdat alleen roosterpunten van belang zijn bij het bepalen van de maximale winst, wordt de winst maximaal in het punt (, ) In dat punt geldtw = +, = 9,. Dat betekent een procentuele toename van ruim % per week. bladzijde De beslissingsvariabelen zijn B (het aantal bungalows van het tpe B) en C (het aantal bungalows van het tpe C). Er gelden de volgende beperkende voorwaarden: B, C, B+ C, B+ C <. De doelfunctie is de winstfunctiew = B+ C = ( B+ C). Het toegestane gebied met enkele iso-winstlijnen is hieronder getekend: W bereikt de maximale waarde in het snijpunt van de lijnen C = en B+ C =. Als je in de laatste vergelijking invult C =, vind je B = dus B =. Omdat we een roosterpunt zoeken, is het punt met maximale winst het punt (, ). Dit is namelijk het laatste roosterpunt waar de naar rechts opgeschoven isolijn door heen gaat. er moeten dus woningen van het tpe B en van het tpe C worden gebouwd. a tpe N tpe S Totaal afdeling A 9 afdeling B Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

18 b n is het aantal benodigde arbeidsuren op afdeling A om n machines van tpe N te produceren en s is de benodigde arbeidstijd op afdeling A om s machines van tpe S te produceren. Samen is dat n+ s arbeidsuren en dit aantal mag niet meer dan 9 zijn. Dus geldt ern+ s 9. c De beperkende voorwaarden zijn:n+ s 9, n+ s, n+ s (n en s moeten gehele, positieve getallen zijn!) Je kunt deze voorwaarden vereenvoudigen tot: n+ s, n+ s en n+ s 9. Het toegestane gebied is hieronder getekend: d Je berekent het snijpunt met de n-as van de lijn n+ s= door voor s het getal nul in te vullen. Je vindt n =, dus n =. Ook de lijn n+ s= gaat door het punt (, ). De lijn n+ s= 9 snijdt de -as in het punt (, ), want als je voor n het getal invult, krijg je s = 9 dus s =. Als je het snijpunt van de lijnen n+ s= 9 en n+ s= wilt berekenen, dan moet je oplossen 9 s= s. Daaruit volgt s = 9 dus s =. Als Je die waarde in de vergelijking n+ s= 9 invult, krijg je n + = 9 dus s =. Dit geeft het punt (, ). De coördinaten van de randpunten zijn dus (, ), (, ), (, ) en (, ) e In het punt (, ) is W =, in (, ) is W = 9 en in het punt (, ) geldtw =. De maximale winst wordt dus bereikt in het randpunt (, ) en is gelijk aan euro. f Dan wordt de doelfunctiew = n+ s. De winst in het punt (, ) blijft euro, in het punt (, ) wordt de winst euro en in het punt (, ) wordt de winst. De maximale winst is dan dus euro. g Dat komt omdat de isowinstlijnen evenwijdig lopen met de grenslijn n+ s= van het toegestane gebied. Beide hebben hetzelfde hellingsgetal. h Dan moet de isowinstlijn samenvallen met de grenslijn n+ s=. Deze grenslijn heeft als hellingsgetal. Als je de winst op een machine van tpe N gelijk stelt aan a, dan is het hellingsgetal van de isolijnen gelijk aan a en er moet dus gelden dat a >. Hieruit volgt dat a < 9. Dus de winst op een machine van tpe N moet dan minder dan 9 euro zijn. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

19 bladzijde a Er geldt x+ =. Dit vanwege de beperkende voorwaarde voor de twee personeelsleden die timmeren. Dit kun je herleiden tot voorwaarde door te delen door. b Uit de beperkende voorwaarden blijkt dat je links van de lijnen moet blijven die bij de voorwaarden, en horen en bovendien rechts van de -as en boven de x-as. c De opbrengst is 9x+, euro. De materiaalkosten zijn gelijk aan x+ euro. Voor het maken van een poppenhuis is minuten nodig en voor een houten trein minuten dus de arbeidskosten zijn gelijk aan x+ = x+,. Voor de winst W geldt dus W = ( 9x+, ) ( x+ ) ( x+, ) = x+ 9. d De isowinstlijnen hebben hellingsgetal =. De maximale winst wordt dus bereikt in het snijpunt van de lijnen x+ = en x+ =. 9 Om het snijpunt te vinden moet je oplossen, x = x. Daaruit volgt, x = dus x =. Invullen in de vergelijking x+ = geeft 9 + = dus =. De maximale winst wordt dus bereikt in het randpunt (, ) en is gelijk aan 9 euro. e Bij d = valt de grenslijn van voorwaarde net buiten het gebied, maar bij die keuze valt de grenslijn van voorwaarde ( x+ = ) niet buiten het toegestane gebied. Bij de keuze d = valt de grenslijn die bij voorwaarde hoort net buiten het gebied, maar de grenslijn die bij voorwaarde hoort valt niet buiten het gebied. het is dus niet mogelijk. bladzijde T-a 9 x Het gebied ligt tussen de lijnen x = en x =, onder de lijn =, links van de lijn x = en tussen de lijnen x+ = en x+ =. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

20 b De coördinaten van de hoekpunten zijn A(, ), B(, ), C(;,), D(, ), E(;,), F( ;,) Punt A is het snijpunt van de lijnen x = en =. Punt B is het snijpunt van de lijn = met de lijn x+ =. Als je in de laatste vergelijking invult = vind je x + = dus x =. Punt C ligt op de lijn x+ =, maar ook op de lijn x =. Invullen geeft + = dus = en =,. Voor punt D geldt x = en x =.Hieruit volgt = en dus =. Om punt E te vinden los je = + op. Er volgt = en x = =. T-a De ongelijkheden zijn x+, x en x+ en. b x c Het maximum wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen x+ = en x+ =. De eerste vergelijking kun je herleiden tot = x en de tweede vergelijking is te herleiden tot = x. Je moet dus oplossen x = x. Hieruit volgt x = dus x =, en =,. Als je alleen naar roosterpunten kijkt, neemt D de maximale waarde aan in de roosterpunten (, ), (, ), (, ), (, ) en (, ) d De minimale waarde van D wordt aangenomen in het punt (, ) Dan is D =. bladzijde T-a De beslissingsvariabelen zijn x (het aantal cdma-telefoons) en (het aantal gsmtelefoons). b De ongelijkheden zijn (behalve x en ):x+ 9, 9x+, 9x, en x+. Je kunt deze ongelijkheden wel wat vereenvoudigen: x+, x+, x, en x+. Op de lijn met vergelijking x+ = liggen de punten (9, ) en (, ) Op de lijn met vergelijking x+ = liggen de punten (, ) en (, ) Op de lijn x+ = liggen de punten (, ) en (, ) 9 9 Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

21 c Nee, dit kan niet, want + > 9. d Vul bij elke ongelijkheid x = in. Je vindt dan:, en dus kunnen er hoogstens gsm-telefoons worden geproduceerd. W = + 9 = 9 euro. T-a De doelfunctie isw = x+ 9. De isolijnen hebben hellingsgetal. Door de isolijnen naar rechts te verschuiven neemt W toe. De winst is maximaal in het snijpunt van de grenslijnen x+ = 9 en 9x+ =. Dat snijpunt bereken je door op te lossen ( 9 ) ( ) =. Daaruit volgt 9 =, dus 9 = en dus = 9 en =. Deze waarden invullen geeft x + = 9 dus x = en x =. De winst is dus maximaal in het punt (, ) en is dan euro. b Bij de afdeling plaatwerkerij, want als er daar extra arbeidstijd wordt ingezet, betekent dit dat de bijbehorende grenslijn naar boven opschuift evenals het hoekpunt, waarin de maximale winst wordt bereikt. Het gevolg is dan dat ook de isowinstlijn verder naar boven kan worden verschoven voor deze het toegestane gebied verlaat en dus neemt de doelfunctie dan een grotere waarde aan. Het gevolg is dus dat de winst toeneemt. c De beperkende voorwaarde die bij de plaatwerkerij hoort, wordt dan x+. De winst is dan maximaal in het snijpunt van de lijnen 9x+ = en x+ =. Dat snijpunt vind je door op te lossen = ( ) ( ) 9. Deze vergelijking kun je herleiden tot =, zodat = 9. Hieruit volgt = en =. Door invullen vind je x = =. De maximumwinst wordt dus bereikt in het punt (, ) en is dan euro, een toename van euro. T-a x = het aantal grammen GF en = het aantal grammen HF. De beperkende voorwaarden zijn x+, x+ en x+. Bovendien geldt x en. b Het toegestane gebied is een driehoek die wordt begrensd door de lijn x+ = (met daarop de punten (, ) en (, )), de lijn x+ = (met de punten (, ) en (, )) en de lijn x+ = (met de punten (, ) en (,)). Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv

22 c Het hoekpunt van het toegestane gebied met de kleinste x-coördinaat is het snijpunt van de lijnen x+ = en x+ =. Dit snijpunt vind je door op te lossen ( ) ( = ). Deze vergelijking kun je herleiden tot, =,. Daaruit volgt, = en dus =. Door invullen vind je x =, = =. Dus een dieet dat aan alle voorwaarden voldoet, bevat minstens gram GF. T-a miljoen is meer dan % van miljoen en miljoen is minder dan % van miljoen, maar het gemiddelde risico is, +, =, miljoen euro en dat is meer dan % van miljoen euro. b Dan wordt aan alle voorwaarden voldaan: miljoen is meer dan % van miljoen en miljoen is minder dan % van miljoen. Bovendien is het gemiddelde risico, +, =, miljoen euro en dat is minder dan % van miljoen. c p = het bedrag dat aan persoonlijke leningen wordt uitgeleend en h = het bedrag dat aan hpotheken wordt uitgeleend. De beperkende voorwaarden zijn dan: p,, h, h+ p en, h+, p, 9. Die laatste ongelijkheid kun je nog herleiden tot h+ p 9. d De doelfunctie isw =, h+, p. De hoekpunten van het toegestane gebied zijn A(,; ), B(,; ), C(, ), D(, ) en E(9, ). Punt D vind je door de vergelijking h= 9 hop te lossen. Je krijgt h = dus h =. Daaruit volgt dat p =, want h+ p=. In al deze hoekpunten kun je de waarde van de doelfunctie uitrekenen. In A is W =, miljoen, in B is W = 9, miljoen, in C is W =, miljoen, in D is W = miljoen en in E is W =, miljoen. De doelfunctie heeft een maximale waarde in het punt met h = en p =. De bank zal dus miljoen euro aan hpotheken en miljoen euro aan persoonlijke leningen moeten verstrekken. Moderne wiskunde 9e editie vwo A/C deel Noordhoff Uitgevers bv 9

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen

Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen Uitwerkingen bij 1_1 Lineaire vergelijkingen!! "#$ #!%!& " %'!& " #!' " # ( # )' * # ' #*" # + '!#*" ' ' + + ' '!, %' &% &%& % -&. = / +. = / + * 0 #!*" 0 $! 1 = ' + 1 = - 0 " "!$ *# 2 1 = # '2 = ' + 2

Nadere informatie

14 Lineair programmeren

14 Lineair programmeren 9 a q ˆ 5 geeft TK ˆ 23,5 en TO ˆ 30 e winst is dus 30000 23 500 ˆ 6500 euro. b Voerin 1 ˆ 0,1 3 2 6 6 en 2 ˆ 6. e optie intersect geeft 2,909 en 9,307. us bij een productie van 2909 en 9307 teddberen.

Nadere informatie

K.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.

K.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. K.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je

Nadere informatie

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren

Wiskunde D. Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren Wiskunde D Keuzevak beslissen onderdeel: optimaliseren Samenstelling Jan Essers ism Kerngroep Wiskunde D Eindhoven Fontys bewerking van Ferdy van der Werf op 16 juli 2008 voorkennis: lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 30 personen e 50,- 7 3 e 0,- = e 380,-. b n = 0 geeft p = 0 3

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Wortels Hoofdstuk - Wortels Voorkennis V- zijde vierkant in m oppervlakte vierkant in m 9 V- = = = = = 7 = 9 = 7 = 89 = 9 8 = = 9 8 = = 9 = 8 = 9 9 = = 0 = 00 = 0 = 00 V-a = 9 = b 7 = 9 = 9

Nadere informatie

Blok 1 - Vaardigheden

Blok 1 - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Blok - Vaardigheden Etra oefening - Basis B-a h( ) = 000 00 = 00 h( 7 ) = 000 00 7 = 0 h(, ) = 000 00, = 70 000 00t = 00 00t = 00 t = B-a Invullen van geeft f ( ) = + 0 = +, maar de

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Per deelnemer méér gaat er e 0,- van de prijs per persoon af, dus bij 4 personen zal de prijs per persoon e 500,- zijn, bij 0 personen e 50,- 7 e 0,- 5 e 80,-. b n 5 0 geeft p 5 0 0 980

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Blok - Vaardigheden Extra oefening - Basis B-a De formules a = en s= t 8 zijn lineaire formules. Bij tael A hoort een lineair verand omdat de toename in de onderste rij steeds + is. Bij tael B hoort geen

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4

Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 Hoofdstuk 1 boek 1 Formules en grafieken havo b klas 4 1. Lineair verband. 1a. na 1 min 36 cm, na min. 3 cm, daling 4 cm per minuut. b. h = 40 4t h in cm en t per minuut b. k: rc = -3 m: rc = 0.5 p: rc

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

Kern 1 Lineaire functies

Kern 1 Lineaire functies Kern 1 Lineaire functies 1 a V = 10 kw b V = 0,07 100 + = 7 + = 10 c Alle lijnen beginnen bij V =, alleen het hellingsgetal is verschillend. Bij 15 C geldt V = 0,05 I + Bij 1 C geldt V = 0,06 I + Bij C

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).

Nadere informatie

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4

extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 extra oefeningen HOOFDSTUK 4 VMBO 4 1. a. Teken in één assenstelsel de grafieken bij de formules y = 4x - 3 en y = 7 - x b. Bereken de coördinaten van het snijpunt c. Teken in hetzelfde assenstelsel de

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk - Funties en de rekenmahine Voorkennis: Funties ladzijde V-a De formule is T = + 00, d Je moet oplossen + 00, d = dus dan geldt 00, d = en dan is d = : 00, 77 m V-a f( ) = = 0en f( ) = ( ) (

Nadere informatie

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1)

Voorkennis. 66 Noordhoff Uitgevers bv 11 0, en y = = ,33 = y = 4x(x 2) y = 19x(1 2x) y = 3x( x + 5) y = 4x(4x + 1) Hoofdstuk 0 - De abc-formule Hoofdstuk 0 - De abc-formule Voorkennis V-a y = 5 = 8 5 = en y = ( ) 5 = 8 5 = b y = + 8 = 6 = 6 en y = + 8 = 0,6 6 8 c y = + ( ) = + = = 6 en y = ( ) + ( ) = 9 6 = 9 + 8 =

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 - Lineair programmeren Meer dan twee variabelen

Hoofdstuk 10 - Lineair programmeren Meer dan twee variabelen Hoofdstuk 0 - Lineair programmeren Meer dan twee variaelen ladzijde 90 a 8 anken, 8 stoelen en 7 tafels nemen evenveel plaats in als 8 + 8 + 7 = 6+ 8+ = 78 stoelen. Dat is meer dan de maximale opslagcapaciteit

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y y = + 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a g = 7 ( a+ ) a + 7 g = 7 a+ 0 b w= 9n(

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv V-a Hoofdstuk - Transformaties Voorkennis: Standaardfuncties bladzijde 70 f () = g () = sin h() = k () = log p () = m () = n () = b D f = [0, en B f = [0, ; D g = en B g =[, ] ; D h = en B h = 0, ; D k

Nadere informatie

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen

Hoofdstuk 6 - Vergelijkingen Voorkennis V-a Bedrijf A rekent 7 8 + 5 = 6 euro en bedrijf B rekent, 5 8 + 60 = 0 euro. Hij is goedkoper uit bij bedrijf B. b Dat kan met de vergelijking 7a + 5 =, 5a + 60 waarbij a het aantal m zand

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv a a 8 8. Ageleiden bladzijde 5 Uit de ormule voor de omtrek van een cirkel (omtrek r ) volgt dat een volledige cirkel (60 ) overeenkomt met radialen. Een halve cirkel (80 ) komt dus overeen met radialen.

Nadere informatie

Uitwerkingen Functies en grafieken

Uitwerkingen Functies en grafieken Uitwerkingen Functies en grafieken 1 1. d = -10t + 46 ; t in minuten en d in meters. a. t =,5 d = -10.,5 + 46 = 1 b. 1min en 45 seconden t = 1,75 d = -10.1,75 + 46 = -17,5 + 46 = 8,5 meter. c. -10 wil

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Lineaire functies ladzijde V-a meter snoer weegt kg lengte in m gewicht in kg 7 9 c d gewicht in kg lengte in m m weegt kg dus m weegt kg meter e startgetal hellingsgetal V-a y + Dus ( ) y

Nadere informatie

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN

VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN VIDEO 1 VIDEO 2 VIDEO 3 VIDEO 4 4. MODULUSVERGELIJKINGEN De modulus (ook wel absolute waarde) is de afstand van een punt op de getallenlijn tot nul. De modulus van zowel -5 als 5 is dus 5, omdat -5 ook

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 014 tijdvak 1 woensdag 14 mei 1.0-1.0 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden

Hoofdstuk 1: Formules en grafieken. 1.1 Lineaire verbanden Hoofdstuk : Formules en grafieken.. Lineaire verbanden Opgave : in 0 minuten daalt het water 40 cm, dus 4 cm per minuut dus na minuut geldt: h 40 4 6 cm en na minuten geldt: h 40 4 cm b. formule II Opgave

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Formules en grafieken

Hoofdstuk 1 - Formules en grafieken Voprkennis aantal minuten 0 1 2 3 4 5 6 aantal graden Celsius 20 28 36 44 52 60 68 V_y V_y toename +8 +8 +8 +8 +8 +8 b Bij deze tabel hoort een lineaire formule want de toename in de onderste rij van de

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm

Functies. Verdieping. 6N-3p 2013-2014 gghm Functies Verdieping 6N-p 01-014 gghm Standaardfuncties Hieronder is telkens een standaard functie gegeven. Maak steeds een schets van de bijbehorende grafiek. Je mag de GRM hierbij gebruiken. Y f ( x)

Nadere informatie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie

Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Dit is een greep (combinatie) van 3 uit 32. De volgorde is niet van belang omdat de drie Wiskunde 2 september 2008 versie 1-1 - Op hoeveel verschillende manieren kun je drie zwarte pionnen verdelen over de 32 zwarte velden van een schaakbord? (Neem aan dat op elk veld hooguit één pion staat.)

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

5. Lineaire verbanden.

5. Lineaire verbanden. Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 versie 15 5. Lineaire veranden. Opgave 5.1 Recht evenredig lineair verand F (N) 1 9 8 Uitrekking van een veer a = F 9 k = 37,5 x 4 = 7 6 5 4 F 9 N N k = = = 37,5 x 4 cm

Nadere informatie

Om het startgetal te vinden vul je een punt van de lijn in, bijvoorbeeld (2, 8). Dan: 8= dus startgetal 12.

Om het startgetal te vinden vul je een punt van de lijn in, bijvoorbeeld (2, 8). Dan: 8= dus startgetal 12. Blok Vaardigheden bladzijde 8 a l gaat door (0, 8) dus startgetal 8 l gaat door (0, 8) en (8, ), dus 8 naar rechts en omlaag ofwel naar rechts en 0, omlaag. Het hellingsgetal is dan 0, b y- 0, x 8 c Evenwijdig

Nadere informatie

Hoofdstuk 11B - Rekenen met formules

Hoofdstuk 11B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Hoofdstuk B - Rekenen met formules Voorkennis V-a 6 5 9 = 5 + 5 + 5 = 6 5 = 9 5 + 5 + 5 = 55 800 : 5 + 5 7 = d + 78 9 = + 05 = 7 + 9 = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden.

De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een xy-assenstelsel: naar boven, een negatief getal schuift de parabool naar beneden. Samenvatting H29: Parabolen en Hyperbolen De standaard parabool heeft als formule y = x 2 Deze vorm moet je vlot en netjes kunnen tekenen. De onderstaande waarden in de tabel zet je dan netjes uit in een

Nadere informatie

2 Vergelijkingen van lijnen

2 Vergelijkingen van lijnen 2 Vergelijkingen van lijnen Verkennen Meetkunde Lijnen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Gebruik de applet! Uitleg Meetkunde Lijnen Uitleg Opgave 1 Bestudeer de Uitleg. Laat zien

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Het edrijf rekent 35 euro voorrijkosten. 3t+ 35 = k Als de monteur 7 uur ezig is kost het 3 7 + 35 = 75 euro. d 3t + 35 = 7 3t = 3 t = 5, De monteur is,5 uur of uur en kwartier ezig geweest.

Nadere informatie

x -3-2 -1 0 1 2 3 a. y -7-4 -1 2 5 8 11 b. y -3.5-3 -2.5-2 -1.5-1 -0.5 c. y 7 6 5 4 3 2 1

x -3-2 -1 0 1 2 3 a. y -7-4 -1 2 5 8 11 b. y -3.5-3 -2.5-2 -1.5-1 -0.5 c. y 7 6 5 4 3 2 1 Huiswerk bij les 1 1. Teken de grafiek van de volgende functies (maak eerste een tabel en ga dan tekenen): a. y = 3x +2 lineaire functie met startgetal 2 en helling 3 b. y = -2 + ½x lineaire functie met

Nadere informatie

Lineaire modellen Hfdst 3, havo 4.

Lineaire modellen Hfdst 3, havo 4. Lineaire modellen Hfdst 3, havo 4. Paragraaf 1, Lineaire formules. 2a. Omdat je bij x = 5 steeds weer op een heel getal uitkomt voor y. b. x = 4, want 1,25 4 = 5 ook weer een heel getal. c. Je kan de optie

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 20 mei uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1,2 Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk

Extra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening en Oefentoets Helpdesk Etra oefening ij hoofdstuk a π 9 h 000 geeft h 000 9, cm 8π De hoogte van het lik is s ongeveer,9 cm π r h 000 geeft h 000 000 r 8, r π r π c Als de straal heel klein

Nadere informatie

Formules en grafieken Hst. 15

Formules en grafieken Hst. 15 Formules en grafieken Hst. 5. De totale kosten zijn dan : 0,5. 0000 = 0.000 dollar. Dan zijn de kosten per ton, dollar. De prijs is dan :,. 0.000 = 4.000 dollar. 0,50 dollar per ton en 4000 mijl. Aflezen

Nadere informatie

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A . Bereken zonder rekenmachine: + d. + 0 + 6 6 6 Hogeschool Rotterdam Voorbeeldeamen Wiskunde A 6 6 Oplossingen. Bereken zonder rekenmachine: + 6 b. + 6 0 + 9. Bereken zonder rekenmachine: 9 9 d.. Een supermarkt

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 6 Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y = + y 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a r = ( s+ )( s + ) e h= ( + i)( i +

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Rekenen met functies

Hoofdstuk 9 - Rekenen met functies 5 Voorkennis V-a 6 5 9 = 5 + 5 + 5 = 6 5 = 9 5 + 5 + 5 = 55 800 : 5 + 5 7 = d + 78 9 = + 05 = 7 + 9 = V-a (8 ) : 0 = d 0 : 6 = 5 : 0 = 0 : 6 9 = 5 : 0 = 0 5 = 00 : 0 = 0 e 8 + ( ) = 7 + + = 8 + ( 6) =

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1 - Functies en de rekenmachine Hoofdstuk 1 - Funties en de rekenmahine ladzijde 1 V-1a Bij A hoort een kwadratish verand, want de toename van de toename is steeds. Bij B hoort een lineair verand, de toename is steeds 5. Bij C hoort

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

Lineaire verbanden. 4 HAVO wiskunde A getal en ruimte deel 1

Lineaire verbanden. 4 HAVO wiskunde A getal en ruimte deel 1 Lineaire verbanden 4 HAVO wiskunde A getal en ruimte deel 0. voorkennis Letterrekenen Regels: a(b + c ) = a b + ac (a + b )c = a c + bc (a + b )(c + d ) = a c + a d + b c + bd Vergelijkingen oplossen Je

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betales.nl In de wiskunde horen bij grafieken bepaalde formules waarmee deze grafiek getekend kan worden. Lineaire formules zijn formules die in een grafiek een reeks van punten oplevert die op een

Nadere informatie

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] 7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 Vergelijkingen. Kern 1 Numeriek oplossen. Netwerk 4 HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk 4, Vergelijkingen 1

Hoofdstuk 4 Vergelijkingen. Kern 1 Numeriek oplossen. Netwerk 4 HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk 4, Vergelijkingen 1 Netwerk HAVO B uitwerkingen, Hoofdstuk, Vergelijkingen Hoofdstuk Vergelijkingen Kern Numeriek oplossen a Teken Y = + 0.* (X) en Y = + 0.00 * X op WINDOW [0,00] [0, 0]. b X = 6.5 en Y =.78. Dus na 6,5 dag

Nadere informatie

: de diepte wordt 10 m/min minder, dus hij stijgt 10 m/min 46: op t 0 is de diepte 46 m, dus het wrak ligt op 46 m diepte

: de diepte wordt 10 m/min minder, dus hij stijgt 10 m/min 46: op t 0 is de diepte 46 m, dus het wrak ligt op 46 m diepte Hoofdstuk : Functies en grafieken.. Lineaire functies Opgave : a. d b. t, 75 dus d 8, 5 m c. 0 : de diepte wordt 0 m/min minder, dus hij stijgt 0 m/min 46: op t 0 is de diepte 46 m, dus het wrak ligt op

Nadere informatie

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 vrijdag 17 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 201 tijdvak 1 vrijdag 17 mei 1.0-16.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel.

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Hoofdstuk 5 Het Assenstelsel 5.1 Het Assenstelsel INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Dit assenstelsel is een idee van de Franse filosoof en wiskundige René Descartes(1596-1650).

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

2.1 Lineaire functies [1]

2.1 Lineaire functies [1] 2.1 Lineaire functies [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus)

Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus) Toepassingen met de grafische rekenmachine TI-83/84 (plus) Met de grafische rekenmachine kun je diverse wiskundige bewerkingen uitvoeren en grafieken tekenen. We geven per toepassing een voorbeeld en vervolgens

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Hoofdstuk - Meer variaelen ladzijde V-a Omdat het water met onstante snelheid uit de ak stroomt en de ak ilindervormig is, is de afname van de hoogte van de waterstand per tijdseenheid onstant. De hoogte

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 - Wiskunde 0 maart 04 versie - -. a 3 a =. a.. 6.,AppB./ a 4 3. a 3. Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan =. 3 6

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten.

Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. Theorie lineair verband Bij alle verbanden geldt dat je, als je een negatief getal in een formule invult, je altijd haakjes om dat getal moet zetten. In het dagelijks leven wordt vaak gebruik gemaakt van

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I

Eindexamen wiskunde B1-2 havo 2008-I Steeds meer vlees In wordt voor de periode 1960-1996 zowel de graanproductie als de vleesproductie per hoofd van de wereldbevolking weergegeven. Hiervoor worden twee verticale assen gebruikt. De ronde

Nadere informatie

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW

8.0 Voorkennis ,93 NIEUW 8.0 Voorkennis Voorbeeld: In 2014 waren er 12.500 speciaalzaken. Sinds 2012 is het aantal speciaalzaken afgenomen met 7%. Bereken hoeveel speciaalzaken er in 2012 waren. Aantal 2014 = 0,93 Aantal 2012

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1

Examen HAVO. wiskunde B1 wiskunde B1 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit eamen zijn maimaal 83 punten te behalen; het eamen bestaat uit 0 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie