Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Overzicht. Inleiding. Modellering. Duaal probleem. αβ-algoritme. Maximale stroom probleem. Voorbeeld. Transportprobleem 1"

Willem Boer
8 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Overzicht Inleiding Modellering Duaal probleem αβ-algoritme Maximale stroom probleem Voorbeeld Transportprobleem 1

2 Inleiding W 1 b 1 a 1 D 1 W 2 b 2 a 2 D 2 a m Dm W n b n depots warenhuizen c ij zijn de kosten om een produkteenheid te vervoeren van depot D i naar warenhuis W j. Als i a i = j b j dan is het transportprobleem gebalanceerd. Een niet gebalanceerd probleem kan gebalanceerd worden door een dummy depot of warenhuis toe te voegen. Transportprobleem 2

Als i a i = j b j dan is het transportprobleem gebalanceerd.

3 Modellering Primaal probleem (P) min o.d.v. m n i=1 j=1 n j=1 m i=1 x ij 0 c ij x ij x ij = a i x ij = b j 1 i m 1 j n 1 i m, 1 j n Duaal probleem (D) max m i=1 α i a i + n j=1 o.d.v. α i + β j c ij α i R β j R β j b j 1 i m, 1 j n 1 i m 1 j n Transportprobleem 3

4 Dualiteitsstelling Zij x een toelaatbare stroom voor P en α, β toelaatbaar voor D. Dan geldt: m n n ( ) c ij x ij αi + β j xij i=1 j=1 m i=1 j=1 = m n α i x ij + n m β j x ij i=1 j=1 j=1 i=1 = m α i a i + n β j b j i=1 j=1 Volgens de dualiteitsstelling geldt: min x m n i=1 j=1 c ij x ij = max (α,β) m i=1 α i a i + n j=1 β j b j Optimaliteit dan en slechts dan als x ij > 0 α i + β j = c ij Transportprobleem 4

j=1 i=1 = m α i a i + n β j b j i=1 j=1 Volgens de dualiteitsstelling geldt: min x m n i=1 j=1 c ij x

5 αβ-algoritme Start met een toelaatbare oplossing (α, β): β j = min c ij 1 j n i ( ) α i = min cij β j 1 i m j Bij deze duale oplossing zoeken we een stroom x die toelaatbaar is voor P en waarvoor geldt: α i + β j < c ij x ij = 0 (1) Als dat lukt zijn we klaar. Meestal zal dit echter niet meteen lukken. Afzwakken van P De voorwaarden in P worden afgezwakt tot: n j=1 m i=1 x ij a i 1 i m x ij b j 1 j n Stroom x met x ij = 0 voldoet aan (1) en (2). (2) Transportprobleem 5

dat lukt zijn we klaar. Meestal zal dit echter niet meteen lukken.

6 Maximale stroom probleem max o.d.v. m n x ij i=1 j=1 n j=1 m i=1 x ij 0 x ij = 0 x ij a i 1 i m x ij b j 1 j n 1 i m, 1 j n α i + β j < c ij Als een stroom x ter waarde i a i = j b j gevonden wordt, dan is deze stroom een oplossing voor het transport probleem. Als de waarde van de maximale stroom kleiner is dan i a i kunnen we de stroom x gebruiken om een betere duale oplossing (α, β ) te construeren. Bij die oplossing wordt een nieuwe x bepaald. Etc. Transportprobleem 6

stroom x ter waarde i a i = j b j gevonden wordt, dan is deze stroom een oplossing voor het transport probleem.

7 Hulpnetwerk Zij E αβ de verzameling takken (i, j) waarvoor geldt: α i + β j = c ij. W 1 a 1 D 1 W 2 b 1 s a 2 D 2 b 2 t a m D m W n b n takken in E αβ Zij x een stroom op dit netwerk. Maak een hulpnetwerk N x : Als (i, j) E αβ en x ij > 0, dan voegen we tak (j, i) toe aan het netwerk. Als x si = a i dan verwijderen we tak (s, i). Als x jt = b j dan verwijderen we tak (j, t). Transportprobleem 7

Maak een hulpnetwerk N x : Als (i, j) E αβ en x ij > 0, dan voegen we tak (j, i) toe aan het

8 Ford & Fulkerson We labellen knoop s met * en vervolgens ook alle knopen die in N x vanuit s te bereiken zijn. Als knoop t op deze wijze een label * krijgt betekent dit dat er een pad bestaat van s naar t in N x. Dit pad bevat één tak (s, i) voor zekere i, één tak (j, t) voor zekere j en een of meer (omgekeerde) takken uit E αβ. De gegeven stroom x kan nu vermeerderd worden door extra stroom over het gevonden pad te sturen. Deze nieuwe stroom x heeft een grotere stroomwaarde dan x. Vervolgens vormen we het bij deze stroom behorende hulpnetwerk N x en onderzoeken of er een doorbraak mogelijk is, etc. Na een eindig aantal iteraties vinden we dus een stroom x waarvoor in N x geen doorbraak mogelijk is. Deze stroom is de oplossing van het maximale stroom probleem. Transportprobleem 8

Dit pad bevat één tak (s, i) voor zekere i, één tak (j, t) voor zekere j en een of meer (omgekeerde) takken uit E αβ.

9 Eind situatie van het labelproces I J s x ij = 0 t I + J + Er zijn geen takken in N x vanuit I + naar J (omdat de knopen in J niet gelabeld zijn). De takken van I naar J + zijn stroomloos (anders zouden de knopen in I ) gelabeld zijn. Verder zijn de takken (s, i) i I en (j, t) j J + verzadigd. Transportprobleem 9

De takken van I naar J + zijn stroomloos (anders zouden de knopen in I )

10 Constructie α, β Zij nu δ > 0 en definieer α, β volgens: α i = { αi δ i I α i i I + β j = { βj + δ j J β j j J + Merk op dat voor elke stroomvoerende tak (i, j) in E αβ geldt: α i + β j = α i + β j = c ij Dus bevat E α β alle takken die bijdragen aan de maximale stroom in het netwerk N behorend bij (α, β). Transportprobleem 10

E αβ geldt: α i + β j = α i + β j = c ij Dus bevat E α β alle takken die

11 Keuze van δ (α, β ) is een duale oplossing als: α i + β j c ij i, j Merk op dat α i + β j c ij i, j. Voorts geldt α i + β j > α i + β j alleen als i I + en j J. Dus (α, β ) is een toelaatbare als: α i + β j + δ c ij De grootst mogelijke keuze voor δ is dus: δ = i I +, j J min i I +,j J c ij α i β j Voor deze waarde van δ geldt α i + β j = c ij voor minstens één tak / E αβ. Omdat E α β alle takken bevat die bijdragen aan de maximale stroom in het netwerk dat bij E αβ behoort, kunnen we uitgaande van deze stroom het betreffende maximale stroom subprobleem van E α β oplossen. Transportprobleem 11

Dus (α, β ) is een toelaatbare als: α i + β j + δ c ij De grootst mogelijke keuze voor δ is dus: δ = i I +, j J min i I +,j J c ij α i β j Voor deze

12 Voorbeeld Een reder heeft 20 even grote tankers, verspreid bij 3 oliedepots, als volgt: Depot # Schepen Olie moet worden vervoerd naar 5 raffinaderijen, met de vraaag: Raffinaderij # Schepen De volgende tabel is een schatting van de kostenmatrix voor reizen tussen de depots en de raffinaderijen: Raffinaderij Depot Probeer zo goedkoop mogelijk aan de vraag te voldoen. Transportprobleem 12

tabel is een schatting van de kostenmatrix voor reizen tussen de depots en de raffinaderijen: Raffinaderij 1 2 3 4 5 1

Vergelijkbare documenten

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,