De stelling van Borsuk. Auteurs: Michiel Tel en Merlijn Koek

Transcriptie

1 De stelling van Borsuk Auteurs: Michiel Tel en Merlijn Koek 18 juni 2011

2 1 Inleiding (Wat is het vermoeden van Borsuk?) De Poolse wiskundige Karol Borsuk stelde in de jaren dertig de volgende vraag; Hierna te noemen Borsuk s Vermoeden; Kan elke begrensde deelverzameling A van de R n worden opgedeeld in n + 1 niet-lege, onderling disjuncte deelverzamelingen zo dat de vereniging ervan gelijk is aan A en de diameter van elke deelverzameling strikt kleiner is dan de diameter van A? Waarbij de diameter van A als volgt is gedefinieerd diameter(a) = sup{d(a, b) a, b A} (1) We zullen in dit dictaat een beginnetje maken met de belegering van Borsuk s Vermoeden. Hiervoor zullen we wat notatie en alvast een aantal definities invoeren waardoor het geheel leesbaarder wordt. Een partitie op A is een verzameling niet-lege, onderling disjuncte deelverzamelingen zo dat de vereniging ervan gelijk is aan A. Let op, volgens deze definitie is een partitie dus een verzameling verzamelingen is. Dit kan verwarrend zijn. Het Borsuk-getal van A is het minimale aantal elementen van een partitie P op A zodat de elementen van P kleinere diameter hebben dan A. Voor het geval n = 1 is deze stelling niet zo lastig te bewijzen, zoals we ook zullen laten zien. In de R 2 zal de stelling al iets lastiger blijken en in de R 3 ronduit moeilijk. Het antwoord op de algemenere vraag van Borsuk bleef dan ook meer dan zestig jaar onbeantwoord totdat Jeff Kahn en Gil Kalai een tegenvoorbeeld vonden. 2 Het Vermoeden in R 1 Het is niet moeilijk te zien dat van Borsuk s Vermoeden klopt voor het geval n = 1 Een simpel, doch rigoureus bewijs is hieronder gegeven. Beschouw een willekeurige begrensde verzameling A R, noem de diameter van deze verzameling d. De enige partitie op A bestaande uit 1 verzameling is A zelf en heeft geen kleinere diameter dan A het Borsuk-getal van A is dus groter dan 1. Beschouw nu het kleinste interval [a, b] waar de hele verzameling in bevat is. Omdat a gelijk is aan het infimum en b gelijk aan het supremum van A, moet gelden dat a b gelijk is aan diameter(a). Neem nu het midden m van het interval [a, b] en beschouw de volgende partitie P op [a, b]; A 1 = [a, m] en A 2 =]m, b]. Dit omdat het supremum en het infimum van A limietpunten zijn van A. (A is begrensd en deelverzameling van R) De afstand van het infimum en het supremum tot A is dus willekeurig klein. 1

3 Figuur 1: De verzameling A is hier in het rood weergegeven. Omdat A een deelverzameling is van [a, b], impliceert deze partitie P op [a, b] een partitie op A. Deze partitie heeft kleinere diameter dan A wegens de driehoeksongelijkheid. 3 Simplices Het is ook gemakkelijk aan te tonen dat n+1 een ondergrens is voor het Borsukgetal van een willekeurige verzameling in de R n. Dit doen we met behulp van regelmatige n-simplices Definitie: Een regelmatige n-simplex is een verzameling n + 1 punten in de R n zo dat de afstand tussen elk paar punten gelijk is aan 1. Het is belangrijk op te merken hier dat een regelmatige n-simplex altijd bestaat. De regelmatige 1-simplex is een lijn met lengte 1. We kunnen, zij n een gegeven geheel getal, een regelmatige n-simplex construeren door de regelmatige (n 1)- simplex uit te breiden met een punt dat gelijke afstand heeft tot alle punten uit de regelmatige (n 1)-simplex. Dit punt is één van de twee snijpunten van de bollen met straal 1 rondom de n 1 punten, uiteraard voldoen beide snijpunten. Echter, een zeer elegante manier om een regelmatige n-simplex te construeren is om hem in de R n+1 te beschrijven. De regelmatige 2-simplex in de R 3 laten 2, 0), (0, 0, 1 2 2)}. Het we bestaan uit de volgende punten: {( 2 1 2, 0, 0), (0, 1 2 is eenvoudig in te zien dat de afstand tussen elke twee punten gelijk is aan 1 en dat dit inderdaad een gelijkzijdige driehoek geeft. Ook is het gemakkelijk om dit uit te breiden naar hogere dimensies. Voor de volledigheid moeten we nog wel bewijzen dat deze punten deelverzameling zijn van een n dimensionale deelruimte van R (n+1). Verschuif het figuur volgens een isometrie zodat een van de punten in de oorsprong ligt. De overige punten beschouwen we nu als vectoren zodat de regelmatige n-simplex deelverzameling is van het spansel van n onafhankelijke vectoren. We geven hier een bewijs dat n + 1 inderdaad een ondergrens is; Zij n een gegeven natuurlijk getal. Kies A R n zodat A de regelmatige n- simplex is. Zij P een partitie op A zodat de diameter van elk element strikt kleiner is dan 1. Dan moet gelden dat elk element van P niet meer dan 1 element 2

4 bevat, omdat elk paar punten in A afstand 1 heeft tot elkaar. Dit impliceert dat het Borsuk-getal van A groter of gelijk is aan n Het Vermoeden in R 2 Claim 1: Elke begrensde verzameling A in de R 2 is een deelverzameling van een regelmatige zeshoek in R 2 waarbij de afstand tussen elk paar parallelle zijden in de zeshoek gelijk is aan de diameter van A. Bewijs Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat A gesloten is. Omdat A (nu) gesloten is, kunnen we een raaklijn aan A construeren, noem deze k 1. Er bestaat nu een lijn k 2, parallel aan k 1, met afstand diameter(a) zodat A tussen k 1 en k 2 ligt. We kiezen deze twee lijnen zo, dat het allebei raaklijnen aan A zijn, dit kan altijd. Construeer nu een raaklijn l 1 aan A zodat l 1 lijn k 1 snijdt onder een hoek van 60 graden. Nu bestaat er op een lijn l 2, parallel aan l 1, met afstand diameter(a); Construeer deze. Noem nu de snijpunten tussen de vier lijnen: P, Q, R en S, zodat Q en S tegenover elkaar staan en zodat hoek P QR 120 graden is. We hebben nu een parallellogram pqrs geconstrueerd die A insluit. Figuur 2: In het rood is een willekeurige verzameling A, het is duidelijk wat de diameter van deze verzameling is. Beschouw nu twee lijnen m 1 en m 2, parallel aan elkaar, die k 1 snijden onder 3

5 een hoek van 120 graden. Construeer deze twee lijnen zodanig dat m 1 en m 2 raaklijnen aan A zijn. De zes geconstrueerde lijnen sluiten nu A in en impliceren een zeshoek. Het idee van het bewijs is om nu aan te tonen dat we deze lijnen zo kunnen construeren dat deze zeshoek regelmatig is. Figuur 3: A ingesloten in een onregelmatige zeshoek. De bissectrices van hoek QRS en van hoek SP Q snijden m 1 en m 2 in de punten M en N respectievelijk. Als geldt dat MP en NR gelijk aan elkaar zijn, is de zeshoek regelmatig. Stel nu dat MP ongelijk is aan NR, zonder verlies van algemeenheid kunnen we stellen dat MP < NR. Beschouw nu MP NR als functie van een bepaalde hoek α. We draaien nu lijn k 1 rond A, zodat k 1 een raaklijn blijft van A. De overige lijnen draaien mee volgens de constructie. Beschouw nu MP NR als functie van de hoek α. Deze hoek α is de hoek die de nieuwe lijn k 1 maakt met de niet-gedraaide oorspronkelijke k 1. Deze functie is continu, omdat alle benodigde functies om MP NR uit te rekenen met de kennis van α continu zijn. We draaien de lijn k 1 nu 180 graden rond, zodat na de draaiing de constructie is omgedraaid. Wegens symmetrie geldt na draaiing dat MP > NR. Hierdoor geldt met de middelwaardestelling dat er een hoek α bestaat waarbij MP = NR. Claim 2: Claim 1 impliceert dat Borsuk s Vermoeden correct is voor het ge- 4

6 val n = 2. Bewijs Zij A R 2 en begrensd. Met Claim 1 kunnen we een regelmatige zeshoek Z construeren zodat A Z en zodat de paren parallelle zijden van Z een afstand hebben die gelijk is aan diameter(a). We hernoemen de hoekpunten van Z voor het overzicht zodat Z een regelmatige zeshoek P QRST U is. Een partitie P op Z zodat elk element van P strikt kleinere diameter heeft dan A is de volgende; We delen Z zodanig dat er drie gelijke stukken onstaan zoals in het plaatje hieronder. Figuur 4: Partitie op de zeshoek. V, W, X zijn middens van zijden. Hierbij heeft elk element van P = {A 1, A 2, A 3 } vier zijden en het midden van Z is element van slechts één van de drie stukken. Hierdoor geldt dat de verzameling van deze drie stukken een partitie op Z is. We hoeven nu enkel te bewijzen dat de diameter van elk stuk strikt kleiner is dan diameter(a). Als dit zo is, impliceert deze partitie P op Z een partitie op A zodat het bewijs compleet is. 5

7 We zien in het plaatje dat de enige afstand die we hoeven te bekijken de afstand tussen de punten V en W is. We zien dat deze afstand gelijk is aan de lengte x van de lange zijde van een driehoek met twee gelijke zijden van lengte diameter(a) 2 en een ingesloten hoek van 120 graden. Met de cosinusregel vinden we dat x = diameter(a) , welke kleiner is dan diameter(a). Kunnen we voor elke dimensie dan niet een soortgelijk constructiebewijs vinden en daarmee Borsuk bewijzen? 5 Borsuk in hogere dimensies Helaas kan niet voor elke willekeurige verzameling A R n zo n constructiebewijs gevonden worden. Stel dat A R 3. Volgens de stelling van Borsuk kunnen we deze verzameling in vier delen partitioneren, zodat elk deel een kleinere diameter heeft als A. We kunnen een constructiebewijs vinden, maar zoals we zien in de afbeeldingen is het al een stuk moeilijker als in R 2. Figuur 5: De octaëder en de vier delen van de partitie. Wat we gedaan hebben is verzameling A insluiten in een afgeknotte octaëder en deze octaëder als in de afbeeldingen in vieren verdeeld. Dit is gedaan zodat A ook in vieren is verdeeld op zo n manier dat de stelling van Borsuk houdt. We zullen hier geen bewijs van geven. Als we een verzameling A R n bekijken waarbij n > 3, dan kunnen we vaak geen constructiebewijs vinden. Er is dus geen standaard manier om een verzameling A R n op te delen zodat de stelling van Borsuk houdt. In 1993 is voor het eerst een tegenvoorbeeld gevonden voor de stelling van Borsuk doorjeff Kahn en Gil Kalai. Dit tegenvoorbeeld beschouwt een verzameling in R Dit tegenvoorbeeld gebruikt de Frankl-Wilson stelling op een lastige 6

8 manier. We zullen er dan ook niet verder op ingaan. Later hebben dezelfde twee wiskundigen ook aangetoond dat het vermoeden van Borsuk niet houdt in R n voor alle n > De best bekende grens die we kennen laat zien dat de stelling van Borsuk niet houdt voor elke n > 298. Huidig onderzoek gebeurt niet alleen naar deze grens, maar ook naar het aantal delen dat wel nodig is. Hiermee bedoelen we het aantal delen waarin we een willekeurige verzameling A R n moeten partitioneren zodat de diameter van elk deel wl kleiner is dan die van A. Tot op heden is hier nog geen antwoord op gevonden. 6 Grafentheorie en kleuringsgetallen In dit hoofdstuk zullen we zien dat Borsuk s Vermoeden niet slechts een interessante stelling is, maar ook gerelateerd aan andere wiskunde. We nemen een toeristische route door de grafentheorie en koppelen kleuringsproblemen zoals het wereldberoemde vierkleurenprobleem en sudoku s aan Borsuk. Hiervoor is het handig wat definities te geven aan verscheidene basistermen uit de grafentheorie voor het geval de lezer onbekend is met deze notaties. Indien de lezer een beetje bekend is met grafentheorie, is het aan te raden dit stuk over te slaan en eventueel te gebruiken als naslagwerk. In dit dictaat beschouwen we enkel simpele grafen; Daar waar graaf staat, bedoelen we een simpele graaf. Een graaf G is een geordend paar van een knopenverzameling V en een zijdenverzameling E, genoteerd als G = (V, E). De verzameling V bestaat uit een aantal elementen die de knopen in de graaf voorstellen en de verzameling E bestaat uit ongeordende paren elementen uit V. Een graaf heet simpel elk knopenpaar maximaal eenmaal voorkomt in E. Een wandeling W van a naar b in G met a, b V is een geordende verzameling knopen met als eerste element a en als laatste element b, zodat voor elk element x uit de verzameling W er een zijde in E is, die bestaat uit het paar x en het volgende element in W. Anders genoteerd: W = (x 0, x 1, x 2,..., x n ), zodat {x i, x i+1 } E. Voor alle i = 1, 2,..., n 1. Hierin kunnen we x 0 beschouwen als a en x n als b. In een wandeling W van a naar b noemen we a het beginpunt en b het eindpunt. Een graaf G heet samenhangend als voor elke knoop a en voor elke knoop b uit V een wandeling bestaat van a naar b. Een pad P van a naar b in G met a, b V is een wandeling waarbij elke knoop slechts één keer voorkomt. Een cykel C in G is een wandeling zodat het beginpunt gelijk is aan het eindpunt en alle andere knopen in de wandeling slechts één keer voorkomen. En als laatste; De graad van een knoop a in V is het aantal elementen uit E De zijdenverzameling E is een verzameling, dus volgens sommige definities van een verzameling komen dubbele zijden formeel niet voor. In de grafentheorie is het echter zo dat dubbele zijden wel degelijk kunnen voorkomen. 7

9 waar a een deelverzameling van is. Een interessante definitie in grafentheorie is het kleuringsgetal van een graaf G. Deze is gedefinierd als volgt; het kleuringsgetal van G, genoteerd als χ(g), is het kleinste natuurlijke getal n zodat alle knopen, uit een selectie van n kleuren, een kleur toegewezen kunnen krijgen, waarbij elke twee elementen van elk element in E verschillende kleuren toegewezen hebben gekregen. Een kleuring is een functie f : V N zodat voor elk paar elementen a, b V dat element is van E geldt f(a) f(b). Om de laatste twee definities te verduidelijken, stel e E. Dan e = {a, b} met a, b V. Een kleuring kan als volgt opgevat worden; bij een kleuring moet gelden dat voor elke e E geldt dat a en b verschillende kleuren hebben. Een makkelijk voorbeeld is de graaf G 1 = ({a, b, c}, {{a, b}, {a, c}, {b, c}}), het kleuringsgetal van deze graaf is drie. Om dit aan te tonen, beschouwen we de knoop a en geven deze een kleur, laten we zeggen rood, dan mag b niet rood zijn en c ook niet, want {a, b} en {a, c} komen voor in E. Omdat {b, c} ook voorkomt in E moet b en c ook verschillend gekleurd zijn. Het kleuringsgetal van G 1 is dus 3. Figuur 6: Een kleuring op de graaf G 1. Het is interessant op te merken dat het oplossen van een sudoku het completeren van een kleuring op V is. Hierbij geldt dat V de knopenverzameling is bestaande uit 81 elementen die de punten uit het 9x9-raster voorstellen en E bestaat uit 8

10 alle paren van punten in het 9x9-raster die ofwel in hetzelfde 3x3-hokje zitten, ofwel in dezelfde rij of kolom zitten. Het vierkleuringsprobleem wordt geponeerd door de stelling dat het kleuringsgetal van elke landkaart-graaf kleiner of gelijk is aan vier. Met een landkaart-graaf bedoelen we hier een graaf die we als volgt verkrijgen door middel van het beschouwen van een landkaart. Elk land stelt een knoop voor en elk paar landen dat aan elkaar grenst vormt een zijde. Hierbij mogen er op de landkaart geen enclaves voorkomen. Het is aangetoond dat het vinden van het kleuringsgetal van een graaf NPcompleet is. Kort door de bocht betekent dit dat het vinden van het kleuringsgetal moeilijk is voor grote grafen. We zullen nu Borsuk s Vermoeden koppelen aan het vinden van het kleuringsgetal. Daarvoor hebben we eerst nog enkele definities nodig; Een Borsuk-inbedding van een graaf G = (V, E) in een metrische ruimte (X, d) is een injectieve afbeelding van V naar X zodat d(f(u), f(v)) = 1 als u, v E en max{d(f(u), f(v)) u, v V } 1 Dit leidt tot de volgende definitie; De Borsuk-dimensie van een graaf G, afgekort B-dim(G), is gelijk aan het kleinste natuurlijk getal n zodat er een Borsuk-inbedding bestaat van G naar de E n. Stelling; Claim I impliceert Claim II. I. Voor alle grafen G geldt χ(g) B-dim(G) + 1. II. Voor begrensde en eindige deelverzamelingen van de R n Borsuk-getal kleiner of gelijk is aan n + 1 geldt dat het Bewijs: Laten we eerst opmerken dat een eindige verzameling A in de R n een eindig aantal paren van elementen heeft zodat de afstand tussen die paren gelijk is aan de diameter van A. We definiëren de geïnduceerde Borsukgraaf van een eindige deelverzameling A van de R n als een graaf waarbij V = A en E bestaat uit alle paren elementen {a, b} met a, b A waarvoor geldt dat de afstand tussen a en b gelijk is aan diameter(a). Andersom kunnen we ook altijd een eindige verzameling A 1 bedenken bij een willekeurige graaf G zodat de geïnduceerde Borsukgraaf van A 1 weer G geeft. Deze verzameling A 1 noemen we een geïnduceerde Borsuk-verzameling van G. Merk nu op dat elke graaf te schrijven is als geïnduceerde Borsukgraaf van een deelverzameling van de R n voor een bepaalde n en dat, zij n een natuurlijk getal, elke deelverzameling van de R n geschreven kan worden als geïnduceerde Om precies te zijn, moet de geïnduceerde Borsukgraaf isomorf aan G zijn. Nota bene: De geïnduceerde Borsuk-verzameling is absoluut niet uniek! 9

11 Borsuk-verzameling van een graaf. Een kleuring op de geïnduceerde Borsukgraaf van A is op te vatten als partitie op A waarbij alle elementen uit A = V die dezelfde kleur hebben, bevat zijn in hetzelfde element uit de partitie. Vice versa: een partitie op A is te zien als een kleuring op de geïnduceerde deelgraaf van A. Dit betekent dat het kleuringsgetal van de geïnduceerde Borsukgraaf van A gelijk is aan het Borsukgetal van A. Elke graaf heeft een Borsuk-inbedding in de R n voor een bepaalde n. Dit is simpel te bewijzen met inductie; Een graaf bestaande uit slechts één knoop heeft een Borsuk-inbedding in de R 0. Zij G 1 een graaf die een Borsuk-inbedding f heeft in de R n. Indien we een knoop en eventueel zijden waar deze knoop een deelverzameling van is toevoegen aan G 1 kunnen we de functie f uitbreiden door als codomein de R (n+1) te nemen en het beeld van de extra knoop zo te kiezen dat het lineair onafhankelijk is van alle andere punten. Zo heeft de nieuwe graaf ook een Borsuk-inbedding, dit keer in de R (n+1). Merk op dat hierdoor de Borsuk-dimensie van een graaf altijd bestaat. Zij G = (V, E) een graaf. Dan is de Borsuk-dimensie van G kleiner of gelijk aan elk natuurlijke getal n zodat er een geïnduceerde Borsukverzameling van G in de R n bestaat. Dit volgt uit de definities. De Borsuk-dimensie van G is in feite het kleinste natuurlijk getal zodat er een geïnduceerde Borsukverzameling in de R n bestaat. Dit betekent dat als voor alle grafen G geldt χ(g) B-dim(G) + 1 dan geldt voor alle eindige A R n dat het Borsuk-getal kleiner of gelijk is aan n + 1. Voor elke eindige A R n bestaat er namelijk een geïnduceerde Borsukgraaf. Omdat het kleuringsgetal van de geïnduceerde Borsukgraaf G 1 van A gelijk is aan het Borsuk s getal van A en omdat de Borsuk-dimensie van G 1 kleiner of gelijk is aan n, moet dus de gevraagde implicatie gelden. 6.1 Een nieuw perspectief op een oude stelling Wat we nu gaan doen is bewijzen dat Borsuk s Vermoeden voor eindige deelverzamelingen geldt in het geval n = 2. Ook al hebben we deze stelling al bewezen in een eerder hoofdstuk, is dit absoluut geen zinloze bedoening. Elk nieuw perspectief dat we verkrijgen in de wiskunde is een gereedschap waar we wellicht de open vragen mee kunnen beantwoorden. De structuur van het bewijs bestaat eruit dat we eerst Borsuk s Vermoeden voor eindige deelverzamelingen voor het geval n = 2 gaan koppelen aan de stelling dat voor alle grafen G geldt χ(g) B-dim(G) + 1. Vervolgens gaan we bepalen welke grafen precies Borsuk-dimensie 2 hebben en wat het maximale kleuringsgetal is van al die grafen. Stelling

12 Stelling I impliceert stelling II. I. Voor alle grafen met Borsuk-dimensie 2 geldt dat het kleuringsgetal kleiner of gelijk is aan 3 is. II. Het Borsuk-getal voor alle eindige deelverzamelingen van R 2 is kleiner of gelijk aan 3. Bewijs. Stel dat stelling I geldt. Zij A een eindige deelverzameling van R 2, dan heeft de geïnduceerde Borsukgraaf G 1 van A Borsuk-dimensie kleiner of gelijk aan 2. Dit omdat A het beeld is van de knopenverzameling van G 1 onder een bepaalde afbeelding. Omdat het kleuringsgetal van G 1 kleiner of gelijk is aan 3 volgens de aanname is het Borsuk-getal van A kleiner of gelijk aan 3. Stelling 1.1 Zij G een samenhangende graaf. Dan geldt dat de Borsuk-dimensie van G gelijk is aan 2 dan en slechts dan als G behoort tot een van de volgende categorieën grafen. I. Een graaf bestaande uit 1 knoop. II. Een graaf waarbij er een pad bestaat zodat alle knopen in het pad zitten. III. Een graaf waarbij er een cykel bestaat zodat alle knopen in de cykel zitten en het aantal knopen oneven is. Anders gezegd, een cykel van oneven lengte. Waarbij G gedefinieerd is als G met daaruit weggelaten: Alle knopen van graad één. Alle zijden die grenzen aan een knoop van graad één. Bewijs. Zonder verlies van algemeenheid nemen we aan dat, zij G = (V, E) een samenhangende graaf, G = (V, E ) een cykel van oneven lengte is. Beschouw nu de volgende constructie; Definieer f 1 als functie van V naar R n zodat het beeld van f 1 de vorm van een regelmatige sterveelhoek met oneven aantal hoekpunten heeft. Om precies te zijn beeldt f 1 alle elementen van V af op de hoekpunten van de regelmatige sterveelhoek. Nu tonen we aan dat f 1 een Borsuk-inbedding van G is. Laat f 1 zo gedefinieerd zijn dat de afstand tussen twee knopen in G die verbonden zijn door een zijde gelijk is aan 1. Merk op dat deze functie bestaat. Een knoop is een cykel van oneven lengte en elk pad is uit te breiden naar een cykel van oneven lengte door toevoeging van een zijde. Het toevoegen van een zijde kan de Borsukdimensie niet verkleinen. voorbeelden hiervan zijn de gelijkzijdige driehoek, pentagram, heptagram, enneagram etc. 11

13 De diameter van het beeld van f 1 is nu gelijk aan 1, dus f 1 is een Borsukinbedding van G. Nu breiden we f 1 uit naar f 2 zodat f 2 een Borsuk-inbedding van G is. Alle knopen die niet in G maar wel in G zitten, komen slechts eenmaal voor als element van een zijde in E. Zij k 1 zo n knoop en zij k 2 de andere knoop zodat {k 1, k 2 } E dan kiezen we het beeld van k 1 onder f 2 zo dat de afstand van dat punt tot het beeld van k 2 gelijk is aan 1, zoals in het plaatje. Figuur 7: Borsuk inbedding van een cykel van lengte 5, met twee knopen van graad 1. a, b, c, d, e G, k 1, k 2 / G f 2 is nu een Borsuk-inbedding van G in R 2, dus de Borsuk-dimensie is kleiner of gelijk aan 2. Stel nu dat de Borsuk-dimensie van G gelijk is aan 1, dan bestaat er een afbeelding h die V afbeeldt op R zodat h een Borsuk-inbedding is. E Bevat nu hoogstens één zijde omdat h anders geen Borsuk-inbedding is. Omdat E slechts een zijde heeft, behoort G niet tot een van de categorieën I,II of III. We hebben nu aangetoond dat als G tot categorie I, II of III behoort, G Borsuk-dimensie 2 heeft. Het bewijs van de andere implicatie die we moeten bewijzen, is wat lastiger. De geïnteresseerde lezer zouden we graag willen verwijzen naar The Borsuk dimension of a graph and Borsuk s Partition Conjecture for finite sets, geschreven door Philip L. Bowers. Stelling 1.2 Elke graaf met Borsuk-dimensie 2 heeft kleuringsgetal kleiner of gelijk aan 3. Bewijs. 12

14 Kies zonder verlies van algemeenheid G zodat G een cykel van oneven lengte is. We kunnen nu G inkleuren met 3 kleuren, noem deze kleuring c. We breiden c nu uit naar een kleuring op G met drie kleuren door de knopen niet in G maar wel in G zitten een andere kleur te geven dan de knoop waar ze aan grenzen. 7 Huiswerkopgaven 7.1 Vraag 1 Bepaal de Borsuk-dimensie van de geïnduceerde Borsukgraaf van de volgende deelverzameling van de E 5 ; A = {(1, 2, 0, 0, 3), (1, 1, 1, 0, 3), (1, 0, 0, 0, 3), (1, 0, 2, 0, 3)} 7.2 Vraag 2: Bonusvraag Teken de bijbehorende graaf en bepaal een kleuring met 4 of minder kleuren. Figuur 8: Microsudoku 7.3 Wedstrijdje! We hebben de volgende uitdaging voor jullie bedacht. Zij A de eenheidshyperkubus in R 4 zodat A een cartesisch product is als volgt [0, 1] [0, 1] [0, 1] [0, 1]. Jullie taak is om een partitie P op A te vinden, zodat de diameter van elk element uit P kleiner is dan de diameter van A. De moelijkheid zit hem erin dit zo te doen zodat op de eerste plaats het aantal elementen in P minimaal is. Als twee deelnemers beide een partitie hebben gevonden met hetzelfde aantal elementen, zal gekeken worden naar de grootste diameter van een element uit P. Deze grootste diameter moet zo klein mogelijk zijn natuurlijk. 13

15 Inzendingen worden uiteraard alleen beoordeeld als men zelf op een duidelijke manier de grootste diameter van de elementen uit de partitie uitrekent. Het geven van een bepaalde partitie is dus niet voldoende. 8 Bronvermelding Results and problems in combinatorial geometry, geschreven door V. Boltjanski en I. Gohberg geschreven door S. Watson The Borsuk dimension of a graph and Borsuk s Partition Conjecture for finite sets, geschreven door P.L. Bowers 14