Lineaire Algebra voor W 2Y650

Transcriptie

1 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: , 1

2 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen de vectorruimte V op als iedere vector u V te schrijven is als een lineaire combinatie van de vectoren v 1,..., v k. Notatie: span{v 1,..., v k } = V. 2

3 Herhaling: lineaire onafhankelijkheid De vectoren v 1,..., v k V zijn lineair onafhankelijk indien uit a 1 v 1 + a 2 v a k v k = 0 volgt dat a 1 = a 2 = = a k = 0. Indien de vectoren v 1,..., v k niet lineair onafhankelijk zijn, dan noemen we ze lineair afhankelijk. 3

4 Herhaling: basis De vectoren v 1,..., v k vormen een basis voor de vectorruimte V als (1) v 1,..., v k spannen V op, (2) v 1,..., v k zijn lineair onafhankelijk. Iedere basis van V heeft hetzelfde aantal elementen. Dit aantal heet de dimensie van vectorruimte V, notatie dim V. 4

5 Coördinaten: Zij S = {v 1,..., v n } een geordende basis van de n-dimensionale vectorruimte V. Dan kan iedere vector v V op unieke wijze geschreven worden als lineaire combinatie van v 1,..., v n : v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n. Dan heet [v] S = a 1 a 2.. a n de coördinatenvector van v ten opzichte van de geordende basis S. 5

6 Basisovergang en transitiematrices Beschouw twee geordende bases van de n-dimensionale vectorruimte V : S = {v 1,..., v n }, T = {w 1,..., w n }. Zij v V. Wat is dan het verband tussen de coördinaten vectoren [v] S en [v] T? 6

7 Zij v = c 1 w 1 + c 2 w c n w n, dat wil zeggen Dan geldt [v] T = (c 1, c 2,..., c n ) T. [v] S = [c 1 w 1 + c 2 w c n w n ] S = [c 1 w 1 ] S + [c 2 w 2 ] S + + [c n w n ] S = c 1 [w 1 ] S + c 2 [w 2 ] S + + c n [w n ] S. c 1. = ([w 1 ] S [w 2 ] S [w n ] S ).. c n 7

8 Druk nu iedere vector van de basis T uit in coördinaten ten opzichte van S: [w j ] S = Dit betekent: a 1j a 2j.. a nj. w j = a 1j v 1 + a 2j v a nj v n. 8

9 De overgangsmatrix van de basis T naar de basis S, notatie P S T, is de n n matrix, waarvan (voor j = 1,..., n) kolom j gelijk is aan [w j ] S. Dan geldt voor iedere vector v V : [v] S = P S T [v] T. Eigenschappen Een overgangsmatrix P S T is inverteerbaar. P 1 S T = P T S. Immers, als [v] S = P S T [v] T voor iedere v V, dan [v] T = P 1 S T [v] S voor alle v V, en dus volgt uit de definitie van P T S dat P 1 S T = P T S. 9

10 Zij E = {e 1,..., e n } de standaardbasis van R n (dus e j = (0,..., 0, 1, 0,..., 0) T, met de 1 op de j-de positie). Beschouw ook de geordende bases van R n : S = {v 1,..., v n }, T = {w 1,..., w n }. Dan is de j-de kolom van de matrix M T = P E T gelijk aan w j. Evenzo is de i-de kolom van de matrix M S = P E S gelijk aan v i. Er volgt: P S T = P S E P E T = M 1 S M T. 10

11 Inproductruimten Een inproductruimte V is een reële vectorruimte waarop een functie is gedefinieerd, die aan ieder paar vectoren u, v V een reëel getal (u, v) koppelt, het zogenaamde inproduct, met de volgende eigenschappen: (a) (u, u) 0 en (u, u) = 0 dan en slechts dan als u = 0, (b) (u, v) = (v, u) voor alle u, v V, (c) (u + v, w) = (u, w) + (v, w) voor alle u, v, w V, (d) (cu, v) = c(u, v) voor alle u, v V en c R. 11

12 Voorbeeld: Vectorruimte R n. a = a 1 a 2.., b = b 1 b 2... a n b n Inproduct: (a, b) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n = a T b. 12

13 Lengte van een vector v: v = (v, v). Afstand tussen vectoren u en v: u v. Twee vectoren u, v zijn orthogonaal (staan loodrecht op elkaar) als (u, v) = 0. Een eindig-dimensionale inproductruimte wordt een Euclidische ruimte genoemd. 13

14 Orthogonale en orthonormale stelsels Een verzameling vectoren S heet een orthogonaal stelsel als ieder tweetal vectoren uit S orthogonaal zijn. Als bovendien alle vectoren uit S lengte 1 hebben, dan heet het stelsel orthonormaal. Voorbeeld: de standaardbasis in R n is een orthonormaal stelsel. Stelling: Zij S = {v 1, v 2,... v k } een orthogonaal stelsel van vectoren ongelijk aan 0. Dan is S lineair onafhankelijk. 14

15 Zij S = {u 1, u 2,..., u n } een orthonormale basis van de Euclidische ruimte V. Dan geldt voor iedere vector v V : v = (u 1, v)u 1 + (u 2, v)u (u n, v)u n. Anders gezegd: met v = c 1 u 1 + c 2 u c n u n, c i = (u i, v). 15

16 Stelling: Zij S = {u 1, u 2,..., u n } een orthonormale basis van de Euclidische ruimte V. Zij Dan geldt v = a 1 u 1 + a 2 u a n u n, w = b 1 u 1 + b 2 u b n u n. (v, w) = a 1 b 1 + a 2 b a n b n. 16

17 Loodrechte projectie: Stelling: Zij S = {u 1, u 2,..., u n } een orthonormale basis van de Euclidische ruimte V. Zij v = a 1 u 1 + a 2 u a n u n, V. Dan wordt de loodrechte projectie van v op de deelruimte span({u 1,..., u k }) gegeven door P v = a 1 u 1 + a 2 u a k u k. P v is de vector in span({u 1,..., u k }) met de kleinst mogelijke afstand tot v. 17

18 Orthogonale matrices Zij S = {u 1, u 2,..., u n } een orthonormale basis van de Euclidische ruimte V. Dan geldt u T 1 als i = j i u j = 0 als i j Definieer U = (u 1 u 2 u n ). Dan geldt U T U = UU T = I, oftewel U is inverteerbaar en U 1 = U T. Een matrix U met de eigenschap dat U 1 = U T wordt een orthogonale matrix genoemd. 18

19 Herhaling: projectie op kolommenruimte Zij A een n k matrix, met rang(a) = k, en zij b R n. Dan is het stelsel Ax = b wellicht niet oplosbaar. Zoek nu ˆx R k zó dat Aˆx b R(A). Normaalvergelijking A T Aˆx = A T b Projectie van b op R(A): P b = Aˆx = A(A T A) 1 A T b. De projectiematrix op R(A) wordt gegeven door P = A(A T A) 1 A T. 19

20 Eigenschappen projectiematrix P : P 2 = P, P T = P. 20

21 Projectie bij orthonormale stelsels Zij {u 1, u 2,..., u k } een orthonormaal stelsel in de n-dimensionale Euclidische ruimte V. Zij W = span{u 1, u 2,..., u k }. Gevraagd: loodrechte projectie op W. A = (u 1 u 2 u k ), A T A = I k Zij nu b V. Dan geldt: P b = A I k A T b = A u T 1 b. u T k b = (u 1, b)u 1 + (u 2, b)u (u k, b)u k. 21

22 Projectie bij orthogonale stelsels Zij {v 1, v 2,..., v k } een orthogonaal stelsel in de n-dimensionale Euclidische ruimte, en zij W de deelruimte van V opgespannen door v 1, v 2,..., v k. De loodrechte projectie van b V op de deelruimte W wordt gegeven door P b = (v 1, b) (v 1, v 1 ) v 1 + (v 2, b) (v 2, v 2 ) v (v k, b) (v k, v k ) v k. 22

23 Gramm-Schmidt orthogonalisatie Veronderstel dat {v 1, v 2,..., v k } een basis van de deelruimte W van de Euclidische ruimte V. Hoe maak je dan een orthonormale basis van W? (1) u 1 = v 1 v 1. (2) Projecteer v 2 op span{u 1 }. Dit geeft (u 1, v 2 )u 1. Daaruit volgt w 2 = v 2 (u 1, v 2 )u 1 u 1. Kies u 2 = w 2 w 2. 23

24 (3) Projecteer v 3 op span{u 1, u 2 }. Dit geeft (u 1, v 3 )u 1 + (u 2, v 3 )u 2. Daaruit volgt w 3 = v 3 (u 1, v 3 )u 1 (u 2, v 3 )u 2 u 1, u 2. Kies u 3 = w 3 w 3. (4) Ga zo door; na k stappen is een orthonormale basis van W geconstrueerd. 24

25 Gramm-Schmidt orthogonalisatie; alternatief (1) w 1 = v 1. (2) w 2 = v 2 (w 1, v 2 ) (w 1, w 1 ) w 1. (3) w 3 = v 3 (w 1, v 3 ) (w 1, w 1 ) w 1 (w 2, v 3 ) (w 2, w 2 ) w 2. (4) Ga zo door tot en met w k. (5) Kies u i = w i, voor i = 1,..., k. w i 25

26 Orthogonale complement Zij W een deelruimte van de inproductruimte V. Dan is het orthogonale complement (orthoplement) W gedefinieerd door Voorbeeld: W = {x V (x, w) = 0 voor alle w W } W = W = { x y z (lijn door oorsprong) R3 3x y+2z = 0} (vlak door oorsprong loodrecht op W ) 26

27 Eigenschappen: (a) W is een deelruimte van V. (b) W W = {0}. (c) (W ) = W. (d) W W = V. Eigenschap (d) betekent dat iedere vector v V op unieke wijze te schrijven is als de som van een vector w uit W en een vector y uit W : v = w + y. 27