SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester"

Transcriptie

1 SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken in het vlak of in de ruimte, en we doen dit op een wiskundige manier. Dat betekent dat we ook gebruik zullen maken van wiskundige taal waaronder enkele eenvoudige formules. Er is geen voorkennis vereist; we zullen alles helemaal vanaf het begin opbouwen. Het is van het grootste belang om de opgaven echt zelf te maken, want alleen door het maken van opgaven kun je controleren of je de stof echt begrepen hebt. Het lezen van een wiskundige tekst kost tijd; vaak is er bijna per regel wat denkwerk nodig om precies te begrijpen wat er nu eigenlijk staat. Stel je hier op in, en bespreek de stof met andere studenten om te zien of je het werkelijk begrijpt. De tekst globaal doornemen is meestal niet voldoende. Symmetrieën Om een idee te krijgen van de vragen die we hier aan de orde willen stellen beginnen we met een voorbeeld; zie Figuur. (Negeer voorlopig de getallen die tussen de haakjes staan in de figuur.) Linksboven in Figuur is een driehoek getekend waarvan we de hoekpunten hebben aangegeven met, en. De afstand tussen hoekpunt en is gelijk aan, terwijl de afstand tussen en en en gelijk is aan. Stel je nu voor dat we de driehoek gaan spiegelen in de horizontale lijn die door hoekpunt loopt. Dit betekent dat we de driehoek als het ware laten omklappen om deze lijn. Het resultaat is dat hoekpunt gewoon op zijn plaats blijft, terwijl de hoekpunten

2 ()()() ( )() ( )() ()( ) ( ) ( ) Figuur : Een driehoek met alle mogelijke nummeringen van de hoekpunten. en van plaats verwisselen; zie de driehoek midden boven. De driehoek is dus symmetrisch ten opzichte van de horizontale lijn die door hoekpunt loopt. Het omklappen van de driehoek kunnen we opvatten als een hernummering van de hoekpunten; de nummers en worden omgedraaid. Er zijn natuurlijk meer mogelijkheden om de hoekpunten te hernummeren. Als je er even over nadenkt, dan zie je dat er in totaal 6 mogelijke nummeringen van hoekpunten zijn, als we tenminste de oorspronkelijke nummering ook meetellen. Alle mogelijkheden zijn weergegeven in Figuur. Zoals je ook uit Figuur kunt aflezen, zijn er maar twee nummeringen van de hoekpunten die alle oorspronkelijke afstanden tussen de nummers in stand houden (inclusief de oorspronkelijke nummering). Een dergelijke nummering van hoekpunten wordt een symmetrie van de figuur genoemd: Definitie.. Stel we hebben een figuur in het platte vlak of de drie-dimensionale ruimte met genummerde hoekpunten. Een symmetrie is een (her)nummering van de hoekpunten waarbij alle onderlinge afstanden tussen de nummers bewaard blijven. Waarom noemen we dit een eigenlijk een symmetrie? Een goede manier om hier over na te denken is om je voor te stellen dat we een ruimtelijke figuur door draaiingen en spiegelingen weer op zichzelf laten uitkomen, waarbij de hoekpunten wel met elkaar verwisseld kunnen zijn. Eén voorbeeld daarvan heb je al

3 z 5 x y 6 Figuur : De octahedron met hoekpunten (,,0), (,-,0), (-,,0), (-,-,0), (0,0,) en (0,0,-). gezien: het omklappen van de driehoek in Figuur. Bij een dergelijke draaiing of spiegeling blijven alle onderlinge afstanden tussen de hoekpunten natuurlijk behouden. Aangezien een formele definitie in termen van draaiingen of spiegelingen lastig is, is het eenvoudiger en helderder om een symmetrie te definiëren op de manier zoals we hebben gedaan: simpelweg als een hernummering van de hoekpunten. Bij de driehoek uit Figuur is het niet zo moeilijk om na te gaan dat we maar symmetrieën hebben, namelijk de oorspronkelijke figuur, en de figuur die ontstaat door de nummers en te verwisselen. Maar bij andere, meer gecompliceerde, figuren is het aantal symmetrieën helemaal niet zo makkelijk te bepalen. Als je bijvoorbeeld de octahedron (het achtvlak) in Figuur bekijkt, dan kan ik me zo voorstellen dat het aantal symmetrieën bepaald niet op voorhand duidelijk is. Je kunt natuurlijk bij elke figuur opnieuw gaan tellen om alle symmetrieën te vinden, maar behalve dat dit een langdurige klus kan zijn, is het ook lastig

4 om zeker te weten dat je ze allemaal gehad hebt. In de wiskunde proberen we slimmere manieren te vinden om de symmetrieën van ruimtelijke figuren te tellen, en in dit inleidende college zal ik laten zien hoe dat in zijn werk kan gaan. Ons doel is dus om een manier te vinden om het aantal symmetrieën van een figuur te bepalen, zonder dat het nodig is om ze allemaal uit te schrijven. Opgave.. Bepaal alle symmetrieën van een gelijkzijdige driehoek. Permutaties. Het aantal mogelijke permutaties Je hebt al gezien dat een symmetrie van een ruimtelijk figuur met genummerde hoekpunten niets anders is dan een hernummering van de hoekpunten waarbij de onderlinge afstanden tussen de hoekpunten bewaard blijven. Het is dus waarschijnlijk verstandig om eerst te gaan kijken naar hernummeringen van hoekpunten in het algemeen, zonder ons eerst druk te maken over de afstanden. Stel je dus eens voor dat we een figuur hebben met n hoekpunten, waarbij n een willekeurig geheel getal voorstelt dat minstens is. Bij een driehoek is n =, bij een vierkant is n = terwijl de octahedron uit Figuur n = 6 heeft. Op hoeveel manieren kunnen we de hoekpunten nummeren met de getallen,,..., n? Om deze vraag te beantwoorden helpt het om goede notatie in te voeren. Laten we hiertoe nog eens naar het eerste voorbeeld kijken, waarbij de hoekpunten en van de driehoek met elkaar werden verwisseld terwijl hoekpunt op zijn plaats bleef. Deze hernummering kunnen we als volgt schematisch weergeven: De eerste rij geeft aan dat hoekpunt na hernummering nummer krijgt, de

5 tweede regel geeft aan dat hoekpunt na hernummering hoekpunt wordt, en de laatste regel geeft aan dat hoekpunt gewoon hoekpunt blijft. Een dergelijke hernummering wordt in de wiskunde meestal een permutatie genoemd. Om ambivalentie te voorkomen, moeten we duidelijke afspraken maken over de manier waarover we over permutaties spreken. In bovenstaande permutatie zullen we zeggen dat nummer wordt vervangen door nummer. Stelling.. Er zijn n(n )(n ) verschillende permutaties van de getallen,,..., n. Bewijs: Het getal kan na de permutatie op n verschillende plekken terecht komen. Zodra nummer een plaatsje heeft gevonden zijn er nog maar n plekken voor het getal, etcetera. Het getal n(n )(n ) wordt wel aangegeven met het symbool n!, en uitgesproken als n faculteit. Dus bijvoorbeeld! = 6, en! =. Je ziet dat er 6 permutaties van de hoekpunten, en van de driehoek in Figuur mogelijk zijn, waarbij we de permutatie dat er niets verandert ook meetellen. (Deze permutatie waarbij niets verandert wordt ook wel de identiteit genoemd.) Van deze 6 permutaties zijn er dus maar die de onderlinge afstanden intact houden en die daarmee dus een symmetrie van de driehoek zijn, namelijk de indentiteit en de permutatie waarbij en verwisseld worden. Maar we zien nu wel al direct dat het aantal symmetrieën van een figuur met n hoekpunten nooit groter kan zijn dan n!. Opgave.. Om te zien hoe snel n! groeit als n groter wordt is het aardig om bijvoorbeeld 0! en 5! eens uit te rekenen. 5

6 . Een andere notatie: cykels Laten we nog eens iets gedetailleerder naar permutaties kijken, bijvoorbeeld naar de volgende permutatie van de getallen,,..., 6: Deze tabelvorm om een permutatie te noteren is omslachtig, en daarom heeft men een betere en kortere notatie bedacht, de zogenaamde cykelnotatie. Deze notatie kan ik het beste uitleggen aan de hand van het voorbeeld: de net genoemde permutatie wordt als volgt genoteerd: ()()(56). We beginnen bij en kijken welk nummer dit hoekpunt krijgt na hernummering, in dit geval nummer. We schrijven en gaan kijken wat het nieuwe nummer van wordt. In dit geval en we schrijven. Nu krijgt een nummer dat we al gehad hadden, namelijk, en daarom sluiten we deze eerste cykel af en schrijven haakjes om de cykel heen: (). Deze cykel heeft lengte : de lengte is gewoon het aantal betrokken punten. Vervolgens kijken we naar het laagste getal dat we nog niet hebben gehad, in dit geval, en we zien dat zijn eigen nummer houdt, een cykel van lengte dus, genoteerd als (). Tenslotte zien we dat 5 na hernummering 6 wordt en dat 6 na hernummering een 5 wordt: dit is een cykel (56). De volledige permutie wordt dan weergegeven door alle cykels achter elkaar te schrijven: ()()(56). De permutatie uit ons eerste voorbeeld wordt in deze notatie geschreven als ()(). Nu kunnen we ook de getallen tussen haakjes begrijpen in Figuur : deze geven in cykelnotatie de juiste permutatie aan, ga maar na! Opgave.. Hoeveel permutaties van,, en zijn er die uit slechts cykel bestaan? Hoeveel die uit cykels bestaan? 6

7 . Twee permutaties na elkaar; de volgorde maakt uit! Stel nu dat we twee permutaties van de getallen, en hebben, bijvoorbeeld ()() en ()(). Deze twee permutaties willen we nu na elkaar gaan uitvoeren. Om te zien wat ik daarmee bedoel is het handig om de getallen weer even als hoekpunten van een driehoek te zien, zoals in Figuur. De eerste permutatie ()() betekent dat de nummers en van plaats verwisselen, terwijl nummer op zijn plaats blijft. Hierna zegt de tweede permutatie dat de nummers en van plaats ruilen, terwijl nummer niet meer verandert. Na deze twee permutaties staat er dus een op de plaats waar in het begin een stond, een waar in het begin een stond, en een waar in het begin een stond. M.a.w., dit komt overeen met de permutatie (). Zorg dat je dit goed begrijpt! We kunnen het na elkaar uitvoeren van deze twee permutaties ook schematisch weergeven als volgt: Maar wat zou er nu gebeuren wanneer we de volgorde van de permutaties omdraaien? Dus, we gaan onderzoeken wat er gebeurt wanneer we eerst ()() uitvoeren, en daarna ()(). Welnu, blijft eerst op zijn plaats en verwisselt daarna plaats met. Waar eerst een stond staat uiteindelijk een. Verder wordt eerst een welke vervolgens op zijn plaats blijft, en tenslotte gaat nummer via naar. Dit levert dus de permutatie () op, en dat is een andere permutatie dan () die we eerst vonden. Het maakt dus wel degelijk uit in welke volgorde we een permutatie uitvoeren! Om het na elkaar uitvoeren van twee of meer permutaties aan te geven heeft In de wiskunde zeggen we dat permuteren daarom niet commutatief is. Optellen en vermenigvuldigen zijn wel commutatief, want a + b = b + a en ab = ba. Delen is bijvoorbeeld weer niet commutatief. 7

8 men een speciaal symbool bedacht: als p en q twee permutaties zijn, dan betekent p q dat we eerst q en daarna p uitvoeren, en we spreken dit uit als p na q. Het is misschien een beetje verwarrend dat de laatstgenoemde permutatie (q in dit geval) als eerste uitgevoerd wordt, maar aan die notatie zul je vast wel kunnen wennen. Opgave.. Stel p is de permutatie (), en q is de permutatie ()(). Bepaal p q en q p. Geef het na elkaar uitvoeren van deze permutaties ook schematisch weer.. Het ongedaan maken van een permutatie; inverse permutatie Stel dat we een permutatie hebben uitgevoerd, en dat we die weer ongedaan willen maken. Dat kan altijd, zoals aan de hand van een aantal voorbeelden duidelijk kan worden. Neem eerst de permutatie uit ons eerste voorbeeld: ()(). Om die weer ongedaan te maken moeten we en nogmaals met elkaar verwisselen, en op zijn plek laten. De permutatie die ()() ongedaan maakt is dus gewoon weer ()() zelf. Welke permutatie maakt nu () ongedaan? Welnu, als je er even over nadenkt dan zie je dat dit () is, probeer het maar! Bij elke permutatie p bestaat er precies permutatie die p ongedaan maakt. Deze laatste permutatie wordt ook wel de inverse van p genoemd, en soms genoteerd als p. Dus () = () en ()() = ()(). Het feit dat p de permutatie p weer ongedaan maakt betekent dat p p = id, 8

9 Figuur : Het vierkant met een nummering van de hoekpunten. waarbij id de permutatie voorstelt waarbij niets verandert. Opgave.5. Bepaal () en ()(). Opgave.6. Laat zien dat (p ) = p. In woorden: de inverse van de inverse van p is weer gewoon p zelf. Opgave.7. Laat zien dat p p = id. Kennelijk commuteren p en p dus wel. Symmetrieën van enkele eenvoudige figuren We bekijken eerst het vierkant en de regelmatige vijfhoek, allebei ruimtelijke figuren in het platte vlak. We beginnen met het vierkant, waarvan we de hoekpunten nummeren zoals in Figuur. Alle symmetrieën van het vierkant zijn aangegeven in Figuur. Het is instructief om te zien hoe de verschillende symmetrieën verkregen worden; hetzij door een spiegeling in de stippellijn, hetzij door een draaiing over de hoek die door een pijl aangegeven wordt. Aangezien het totaal aantal permutaties van vier hoekpunten gelijk is aan!=, is het in dit geval niet al te moeilijk om te zien dat dit echt alle symmetrieën van het vierkant zijn; dat is gewoon een kwestie van ze allemaal langslopen. Naarmate er meer hoekpunten zijn wordt dit echter lastiger en tijdrovender. Voor de regelmatige vijfhoek kunnen we dit ook nog wel doen. In Figuur 5 en 6 geven id is een afkorting van het woord identiteit, een begrip in de wiskunde waarmee we een operatie uitdrukken die eigenlijk niets doet. 9

10 ()()()() ( )()() ()( )() ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Figuur : Alle symmetrieën van het vierkant draaiing 0/5 draaiing /5 draaiing /5 draaiing /5 draaiing /5 Figuur 5: De regelmatige vijfhoek met alle draai symmetrieën. we een plaatje van de regelmatige vijfhoek, samen met alle symmetrieën die er zijn, totaal 0 stuks, als we de oorspronkelijke figuur tenminste meetellen. Elk van deze symmetrieën wordt verkregen door een draaiing of door een spiegeling in de stippellijn; ga dit voor jezelf na. Ter afsluiting van deze sectie bekijken we het regelmatige viervlak in de ruimte; zie Figuur 7. Dit is een heel eenvoudige figuur wat betreft symmetrieën, want alle onderlinge afstanden tussen de verschillende hoekpunten zijn gelijk. Dat betekent dat elke permutatie van de hoekpunten een symmetrie is, en daar zijn er!= van. Opgave.. Welke van deze symmetrieën corresponderen met een draaiing, en welke met een spiegeling? 0

11 spiegel spiegel 5 spiegel 5 spiegel spiegel 5 Figuur 6: De regelmatige vijfhoek met alle spiegel symmetrieën. draaiing ( )( ) draaiing ()( ) Figuur 7: Het regelmatig viervlak. Opgave.. Bepaal alle symmetrieën van de ruit, parallelogram, rechthoek en vierkant (zie Figuur 8). Opgave.. Geef bij elke symmetrie van de vijfhoek (Figuur 5 en Figuur 6) de cykelnotatie. Opgave.. Zijn alle symmetrieën van het regelmatig viervlak in Figuur 7 te verkrijgen door een van de twee typen draaiingen zoals aangegeven? Motiveer je antwoord. ruit parallellogram rechthoek Figuur 8: De ruit, parallellogram, rechthoek en het vierkant. vierkant

12 5 De baanformule en haar toepassingen Je snapt wel dat bij grotere figuren het steeds lastiger wordt om alle symmetrieën te bepalen, en dit is de aanleiding om te onderzoeken of we slimmere manieren kunnen bedenken om het aantal symmetrieën te bepalen. Daarover gaat deze sectie. Neem een ruimtelijk figuur F met n hoekpunten, genummerd van t/m n, waarvan we alle symmetrieën willen bepalen. Kies een hoekpunt met een bepaald nummer i (met i ten hoogste gelijk aan n natuurlijk). Definitie 5.. De baan van i bestaat uit die hoekpunten die door een symmetrie van F nummer i kunnen krijgen. Het aantal hoekpunten in de baan van i noemen we B(i). (De B staat voor Baan.) Als eerste voorbeeld kunnen we kijken naar de driehoek uit Figuur. De baan van bestaat uit de hoekpunten en, want de symmetrie ()() geeft nummer aan hoekpunt. We zien dus dat B() =. De baan van bestaat daarentegen slechts uit hoekpunt zelf, dus B() =. Bij het vierkant bestaat de baan van elk hoekpunt uit alle vier de hoekpunten, zoals je eenvoudig kunt nagaan door het vierkant te draaien. Definitie 5.. De stabilisator van i bestaat uit alle symmetrieën van F die nummer i op zijn plaats laten. Het aantal van dergelijke symmetrieën noemen we S(i). (De S staat voor Stabilisator ) Als we weer naar Figuur kijken, dan bestaat de stabilisator van uit maar symmetrie namelijk ()()(), dus S() =. De stabilisator van bestaat uit allebei de symmetrieën, dus we vinden dat S() =. Bij het vierkant bestaat de stabilisator van bijvoorbeeld hoekpunt uit ()()()() en ()()(), hetgeen betekent dat S() =. We zien dus dat de baan een collectie hoekpunten is, terwijl de stabilisator een collectie symmetrieën is. De belangrijkste reden voor ons om naar de baan

13 en de stabilisator van een hoekpunt te kijken is de volgende stelling: Stelling 5.. (De baanformule) Neem een ruimtelijk figuur F met n hoekpunten, genummerd van t/m n. Het product B(i) S(i) is hetzelfde voor alle nummers i, voor i =,,..., n. Bovendien is dit product gelijk aan het aantal symmetrieën van F. De baanformule zegt dus dat we het aantal symmetrieën van een figuur kunnen bepalen door van een willekeurig hoekpunt de baan en de stabilisator te bepalen. De stelling zegt niet dat B(i) hetzelfde is voor alle i, of dat S(i) hetzelfde is voor alle i. Nee, de formule zegt dat het product van B(i) en S(i) niet van i afhangt. Dit is al mooi te zien in Figuur, de driehoek. Zoals we net al zagen geldt dat B() =, en S() =, hetgeen volgens de baanformule leidt tot een totaal van twee symmetrieën (en dat klopt). Als we naar hoekpunt kijken, dan zien we dat B() = en S() =, net andersom dus, maar het product is weer gewoon. De baanformule geeft ook het juiste aantal symmetrieën bij het vierkant. We zagen al dat de baan van elk hoekpunt uit elementen bestond, en de stabilisator uit, hetgeen volgens de baanformule leidt tot 8 symmetrieën, en dat klopt ook weer. Wellicht denk je nu dat de baanformule nooit echt nieuwe antwoorden kan geven; immers bij bovenstaande voorbeelden hebben we de baanformule alleen maar gecontroleerd in gevallen waarin we het aantal symmetrieën al kenden. De vraag is: als we het aantal symmetrieën niet makkelijk rechtsstreeks kunnen tellen, kunnen we dan wel de baan en stabilisator van een bepaald hoekpunt bepalen? Ik zal nu drie voorbeelden geven waarin we de baanformule gebruiken om het aantal symmetrieën te bepalen in een situatie waarin we van tevoren niet wisten hoeveel symmetrieën er zouden zijn. De octahedron uit Figuur. De hoekpunten,, en leggen een vierkant in het xy-vlak met zijden van lengte en diagonalen van lengte vast. Deze

14 lengte kun je vaststellen met de bekende stelling van Pythagoras. (Ga dit voor jezelf na.) De laatste twee punten liggen op een afstand van de eerste vier. De baan van de top (hoekpunt 5) bestaat dus uit de hoekpunten met nummer 5 en 6. De stabilisator van 5 bestaat uit symmetrieën die ook de tegenvoeter 6 vasthouden. Deze symmetrieën komen dus overeen met de symmetrieën van het vierkant, waarvan er 8 zijn zoals we al weten. De baanformule zegt dan dat het aantal symmetrieën van de octahedron gelijk is aan 8 = 6. De octahedron uit Figuur 9. De eerste vier punten vormen in het xy-vlak een vierkant met zijden van lengte en diagonalen van lengte. De laatste twee punten liggen op een afstand van de eerste vier. Merk op dat de situatie voor de overstaande toppen 5 en 6 nu dezelfde is als voor de puntenparen, en,. De baan van 5 bestaat ditmaal uit heel F. De stabilisator van 5 bestaat uit symmetrieën die ook de tegenvoeter 6 vasthouden. Deze symmetrieën komen dus overeen met de symmetrieën van het vierkant, waarvan er 8 zijn. De baanformule zegt dan dat het aantal symmetrieën van deze octahedron gelijk is 6 8 = 8. De kubus in Figuur 0. Een kubus heeft 8 hoekpunten. We kiezen één van deze hoekpunten, bijvoorbeeld 7. De baan van dit hoekpunt bestaat uit alle 8 de hoekpunten, zoals je eenvoudig na kunt gaan door draaiingen. Vervolgens moeten we de stabilisator van 7 bepalen. Er zijn drie buurpunten met de kortste afstand tot 7, namelijk de punten, 6 en 8. Elke symmetrie uit de stabilisator van 7 moet deze drie dus onder elkaar permuteren en bovendien het verste punt vasthouden. Bovendien geldt dat twee verschillende buurpunten van 7 nog één ander gemeenschappelijk buurpunt hebben. Die moet na de symmetrie nog steeds het andere gemeenschappelijke buurpunt zijn. Dit alles betekent dat elke permutatie van de buurpunten, 6 en 8 van 7 ten hoogste symmetrie uit de stabilisator van 7 oplevert. Als je nu bijvoorbeeld de permutatie (6)(8) neemt waarbij en 6 van plaats verwisselen, dan kunnen we hier een symmetrie uit de stabilisator van 7 van

15 z 5 y x 6 Figuur 9: De octahedron met hoekpunten (,0,0), (-,0,0), (0,,0), (0,-,0), (0,0,) en (0,0,-). maken door ook en 5 net elkaar te verwisselen. Op deze manier kun je dan nagaan dat elke permutatie van, 6 en 8 een symmetrie uit de stabilisator van 7 oplevert, waarbij dus aangetoond is dat deze stabilisator uit 6 elementen bestaat. De baanformule zegt nu dat de kubus in totaal 8 6 = 8 symmetrieën heeft. Opgave 5.. Laat zien dat het aantal symmetrieën van een regelmatige n-hoek in het platte vlak gelijk is aan n. Opgave 5.5. Bepaal het aantal symmetrieën van een blok in drie dimensies met afmetingen l b h wanneer (a) l = b = h; (b) l = b h; (c) l, b en h zijn allemaal verschillend. Opgave 5.6. Bepaal het aantal symmetrieën van een regelmatig 0-vlak, een parallellopipedum, en een trapezium. 5

16 z 6 7 x y 5 8 Figuur 0: De kubus in drie dimensies. 6 Het bewijs van de baanformule Eigenlijk is het bewijs van de baanformule niet zo heel ingewikkeld. Het bestaat uit een aantal deelstappen, zoals bijna elk wiskundig bewijs.. Neem een hoekpunt v van de figuur, en stel voor het gemak eerst dat v nummer heeft. Laat de baan van bestaan uit de hoekpunten v, v,..., v k, waarvij v = v; dus B() = k. Voor iedere v i in de baan van kiezen we nu een symmetrie p i zodanig dat v i na p i nummer krijgt. Voor p kiezen we de indentiteit id, de permutatie die alle nummers op hun plaats laat.. Aangezien de baan van v gegeven wordt door v, v,..., v k moet elke symmetrie p als het ware meedoen met een van de v i s in de zin dat na het toepassen van p, één welbepaalde v i nummer krijgt. Dit geeft een natuurlijke indeling in hokjes van alle symmetrieën van de figuur: we geven de hokjes aan met H, H,..., H k waarbij H i uit precies die symmetrieën bestaan waarvan het toepassen v i nummer geeft. Aangezien de symmetrieën uit H juist v op zijn plek laten, is H precies de stabilisator van. 6

17 . Als de symmetrie p in H zit, dan zit p i p in H i ; immers, als we eerst p toepassen, dan blijft v op zijn plek, en als we daarna dan p i toepassen dan krijgt v i nummer, want zo hadden we p i gekozen. Bovendien geldt dat wanneer p en q verschillende symmetrieën in H zijn, dan zijn p i p en p i q verschillende symmetrieën in H i (zie Opgave 7.). Dit betekent dat het aantal symmetrieën in H i minstens even groot is als het aantal symmetrieën in H.. Alle hokjes H,..., H k bevatten evenveel symmetrieën! Immers, dat H i minstens zo veel elementen bevat als H werd uit het voorgaande punt duidelijk. Maar we kunnen dezelfde redenering ook omdraaien: elke symmetrie p uit H i correspondeert met de symmetrie p i p, en deze laatste symmetrie zit in H. Immers, na het toepassen van p heeft v i nummer, waarna p i de symmetrie die nummer van v naar v i brengt, weer ongedaan maakt. Na afloop heeft v dus gewoon weer nummer. 5. De conclusie is dat het totaal aantal symmetrieën gelijk is aan het aantal hokjes (en dat zijn er k, de baangrootte van v) maal de grootte van hokje H (en dat is precies de grootte van de stabilisator van v). Ditzelfde verhaal kunnen we voor elk ander nummer i herhalen. Elke keer zal dan S(i) B(i) gelijk zijn aan het totaal aantal symmetrieën. Hiermee is de stelling bewezen. 7 Ten slotte Ik sluit af met enkele opmerkingen.. Het bewaren van de onderlinge afstanden tussen de punten is eigenlijk slechts één van de mogelijke criteria. Andere criteria betreffen bijvoorbeeld verschillende soorten hoekpunten, zoals relevant is wanneer we verschillende atomen in een molecuul hebben. We zijn in dat soort gevallen niet 7

18 geïnteresseerd in permutaties die onderlinge afstanden bewaren, maar in permutaties die de soort van een hoekpunt bewaren. De baanformule is heel algemeen en werkt in dat soort gevallen ook. Hierover zullen de wiskundestudenten meer leren bij de college s algebra.. De verzameling van symmetrieën van een ruimtelijke figuur heeft bepaalde eigenschappen, zoals bijvoorbeeld de existentie van id, de symmetrie die niets doet, en het feit dat elke symmetrie een inverse heeft. In de wiskunde is het niet ongebruikelijk om dit soort verzameling abstract te bestuderen. In het onderhavige geval leidt dat uiteindelijk tot het begrip groep, en de theorie die daar bij hoort heet groepentheorie. In deze groepentheorie worden, globaal gesproken, algemene eigenschappen bewezen, die we vervolgens kunnen toepassen op concrete situaties. Deze groepentheorie is niet alleen belangrijk in de wiskunde, ook in de theoretische natuurkunde speelt ze een grote rol. Opgave 7.. Bepaal de hokjesverdeling uit het bewijs voor de octahedron uit Figuur en voor de vijfhoek uit Figuur 5 en Figuur 6. Opgave 7.. Laat zien dat wanneer p en q verschillende symmetrieën in H zijn, dat dan p i p en p i q verschillende symmetrieën in H i zijn. 8 Oude tentamenopgaven Opgave 8.. (a) Hoeveel permutaties zijn er van de getallen,,..., 6? (b) Bepaal de inverse van p = ()(6)(5). (c) Als p de permutatie in (b) voorstelt, en q de permutatie (5)(6), bepaal dan p q en q p. Bekijk de figuur; dit stelt een figuur in de ruimte voor met 6 hoekpunten. 8

19 b c a c c b c b a Het grondvlak van de figuur vormt een rechthoek met zijden ter lengte a en b; de twee zijvlakken met zijden ter lengte b en c vormen zijn ook rechthoekig. (d) Nummer de hoekpunten, en bepaal de symmetrie die hoort bij spiegeling in het vlak dat de bovenste lijn van de figuur bevat, en dat loodrecht op het ondervlak staat. (e) Gebruik de baanformule om het aantal symmetrieën van deze figuur te bepalen in de volgende drie gevallen:. a, b en c zijn allemaal verschillend;. a = b, maar c is verschillend van a en b;. a = b = c. Opgave 8.. (a) Hoeveel permutaties zijn er van de getallen,,...,? (b) Bepaal de inverse van p = ()(6)(5)(789, 0,, ). (Opmerking: om verwarring te voorkomen heb ik getallen die uit twee cijfers bestaan, gescheiden door komma s.) (c) Als p de permutatie in (b) voorstelt, en q de permutatie (5)(6)(78, 0)(9,, ), bepaal dan p q en q p. Bekijk de figuur; dit stelt een figuur in het platte vlak voor met hoekpunten. 9

20 (d) Nummer de hoekpunten, en bepaal alle symmetrieën die door draaiing verkregen kunnen worden. (e) Bepaal alle symmetrieën die door spiegeling in een lijn verkregen kunnen worden. (f) Gebruik de baanformule om het totaal aantal symmetrieën van de figuur te bepalen. 0

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312

Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Tentamen algebra 1 Woensdag 24 juni 2015, 10:00 13:00 Snelliusgebouw B1 (extra tijd), B2, B3, 312 Je mag de syllabus en aantekeningen gebruiken, maar geen rekenmachine. Je mag opgaven 2.46, 2.49 en 8.13

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4

Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 4 4.4.1 Basis Lijnen en hoeken 1 Het assenstelsel met genoemde lijnen ziet er als volgt uit: 4 3 2 1 l k -4-3 -2-1 0 1 2 3 4-1 -2-3 n m -4 - Hieruit volgt: a Lijn k en

Nadere informatie

Werkwinkel Permutatiepuzzels

Werkwinkel Permutatiepuzzels Werkwinkel Permutatiepuzzels Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 6 november 2013 1 / 33 Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http:

Nadere informatie

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012

Polyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................

Nadere informatie

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder.

Hieronder zie je hoe dat gaat. Opgave 3. Tel het aantal routes in de volgende onvolledige roosters van linksboven naar rechtsonder. Groepsopdracht 1: Volledige en onvolledige roosters Voor een volledig rooster kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te weten te komen hoeveel routes er van A naar B zijn. Bij onvolledige roosters

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw

de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw SAMENSTELLING: H. de Leuw 1. VEELHOEKEN. Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken. Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet. Een veelhoek

Nadere informatie

Samenvatting van. door Maarten Solleveld

Samenvatting van. door Maarten Solleveld Samenvatting van Periodic cyclic homology of affine Hecke algebras door Maarten Solleveld De afgelopen jaren is mij vaak gevraagd wat ik nou eigenlijk onderzoek. Op deze vraag heb ik inmiddels een voorraadje

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

Inleiding tot groepentheorie

Inleiding tot groepentheorie Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur

Tentamen Discrete Wiskunde 1 10 april 2012, 14:00 17:00 uur Tentamen Discrete Wiskunde 0 april 0, :00 7:00 uur Schrijf je naam op ieder blad dat je inlevert. Onderbouw je antwoorden, met een goede argumentatie zijn ook punten te verdienen. Veel succes! Opgave.

Nadere informatie

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is.

1 Wiskunde, zeker. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. duimstok Timmerman Hoe lang iets is. 1 2 1 Wiskunde, zeker duimstok Timmerman Hoe lang iets is. Blokhaak: Timmerman Of een hoek haaks is. 1, 2, 3, 5, 6, 7. 8, 10, 11, 12 en 13 eurocent. Zeven munten: een van 1-eurocent, twee van 2-eurocent,

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE 2012 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Optellen De som van twee getallen van twee cijfers is een getal van drie cijfers (geen van deze

Nadere informatie

Magidoku s en verborgen symmetrieën

Magidoku s en verborgen symmetrieën Uitwerking Puzzel 92-6 Magidoku s en verborgen symmetrieën Wobien Doyer Lieke de Rooij Een Latijns vierkant van orde n, is een vierkante matrix, gevuld met n verschillende symbolen waarvan elk precies

Nadere informatie

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN

BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN BRUGPAKKET 8: VLAKKE FIGUREN Brugpakket 8: Vlakke figuren 1 Vlakke figuren 1.1 Vlakke figuren: Veelhoeken en niet-veelhoeken Een veelhoek is enkel begrensd door rechte lijnen. OEFENING Zet een kruisje

Nadere informatie

Platonische transformatiegroepen

Platonische transformatiegroepen Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO

Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN 1.0 INTRO Hoofdstuk 1 KENNISMAKEN c 1.0 INTRO 1 a Door een kael te spannen en daar langs te rijden. Met een kael van de juiste lengte die je evestigt aan een punt in de grond (het middelpunt) c Met twee latten die

Nadere informatie

Uitwerkingen Sum of Us

Uitwerkingen Sum of Us Instant Insanity Uitwerkingen Sum of Us Opgave A: - Opgave B: Voor elk van de vier kubussen kun je een graaf maken die correspondeert met de desbetreffende kubus. Elk van deze grafen bevat drie lijnen.

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen

Morenaments Ornamenten met symmetrie. Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Morenaments Ornamenten met symmetrie Fien Aelter, Liesje Knaepen en Kristien Vanhuyse, studenten SLO wiskunde KU Leuven Werkblad vooraf met begeleidende tekst en oplossingen Dit werklad is een voorbereiding

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties

Hoofdstuk 1. Afspraken en notaties Hoofdstuk 1 Afspraken en notaties In deze tekst onderzoeken we een eenvoudig dobbelspel: twee spelers hebben een dobbelsteen, gooien deze, en wie het hoogst aantal ogen gooit wint. Er blijken setjes dobbelstenen

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren.

Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren. Rubik s Kubus, Invarianten en bijna commuteren. Rubik s Kubus ziet er in de winkel uit als een kubus die verdeeld is in 27 kleine kubusjes waar gekleurde plakkertjes op zitten en wel zo dat de negen plakkertjes

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven

Sudoku s. Annelies Veen Noud Aldenhoven Sudoku s Annelies Veen Noud Aldenhoven Vierkant voor Wiskunde Zomerkamp A 2010 Voorwoord Het plaatje op de voorkant is een erg bijzondere puzzel, een soort sudoku. Sudoku s zijn puzzeltjes met hun eigen

Nadere informatie

Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus.

Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Uitwerkingen van geselecteerde opgaven (laatste update 4 Januari 2018) Zebra 50. De Wiskunde van Rubik s Kubus. Opgave 1. Niet alle mogelijke posities zijn door middel van draaien te bereiken. Het is bijvoorbeeld

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Wat is het aantal donkere tegels?

Wat is het aantal donkere tegels? Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) De tegelvloer. Hieronder zie je een stukje van een tegelvloer. De hele vloer heeft dit patroon en is een regelmatige zeshoek, met tien witte tegels aan iedere

Nadere informatie

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting

Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting Ruimtelijke oriëntatie: plaats en richting 1 Lijnen en rechten Hoe kunnen lijnen zijn? gebogen of krom gebroken recht We onthouden: Een rechte is een rechte lijn. c a b Een rechte heeft geen begin- en

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen

Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen Herhalingsles 5 Meetkunde Weeroefeningen HB1.5 1 Teken de vierhoek die aan de opgesomde eigenschappen voldoet. Geef de best passende naam. eigenschappen teken best passende naam vier gelijke vier rechte

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN

Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.

Nadere informatie

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules.

I.3 Functies. I.3.2 Voorbeeld. De afbeeldingen f: R R, x x 2 en g: R R, x x 2 zijn dus gelijk, ook al zijn ze gegeven door verschillende formules. I.3 Functies Iedereen is ongetwijfeld in veel situaties het begrip functie tegengekomen; vaak als een voorschrift dat aan elk getal een ander getal toevoegt, bijvoorbeeld de functie fx = x die aan elk

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant D zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100

Inhoud. 1 Ruimtefiguren 8. 4 Lijnen en hoeken 148. 2 Plaats bepalen 60. 5 Negatieve getallen 198. 3 Rekenen 100 1 BK deel 1 Voorkennis 1 Aan de slag met wiskunde 6 1 Ruimtefiguren 8 1.1 Wiskundige ruimte guren 10 1.2 Vlakken, ribben en hoekpunten 14 1.3 Kubus en vierkant 17 1.4 Balk en rechthoek 24 1.5 Cilinder

Nadere informatie

Opgave 1 - Uitwerking

Opgave 1 - Uitwerking Opgave 1 - Uitwerking Om dit probleem op te lossen moeten we een zogenaamd stelsel van vergelijkingen oplossen. We zetten eerst even de tips van de begeleider onder elkaar: 1. De zak snoep weegt precies

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

handleiding passen en meten

handleiding passen en meten handleiding passen en meten inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 Vierhoeken 4 2 Met passer en geodriehoek 5 3 Tegelvloertjes 5 4 Onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen

WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen WISKUNDE-ESTAFETTE RU 2005 Uitwerkingen 1 We proberen alle mogelijkheden van klein naar groot: p = 1 is uitgesloten: dan zou elke dag hetzelfde resultaat geven. p = 2 is uitgesloten: dan zouden dag 1 en

Nadere informatie

V el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt

V el v'akk n kl ure. door Dion Gijswijt door Dion Gijswijt V el v'akk n kl ure Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig?

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a 4 8 + 4 1,80 + 4 0,60 = 32 + 7,20 + 2,40 = 41,60. Ze is 41,60 kwijt. 4 (8 + 1,80 + 0,60) = 4 10,40 = 41,60. Ze krijgt hetzelfde edrag. c 8 + 1,80 + 0,60 4 = 8 + 1,80 + 2,40 = 12,20. Je

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33)

Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) - 1- Hoofdstuk 1 : Hoeken ( Zie ook : boek pag 1 tot en met pag 33) Hoekeenheden (boek pag 1) Hoofdeenheid om hoeken te meten is de grootte van de rechte hoek de graad :...... notatie :... de minuut :...

Nadere informatie

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z Hoofdstuk 3 FORMULES 3.1 PATRONEN EN FORMULES 3 a 10 22 c? d De beweringen a b = b a en a + b = b + a zijn juist. e 15 a 12 a 18 a f a + 8 10 + a a + 14 b zijde vierkant 3 4 5 6 7 aantal gekleurde hokjes

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken

Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Werkblad Cabri Jr. Constructie van bijzondere vierhoeken Doel Het construeren van bijzondere vierhoeken: parallellogram, ruit, vierkant. Constructies 1. Parallellogram (eerste constructie) We herhalen

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8

Antwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides (ca. 300 v.c.), Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.)

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)

Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG) Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Bij een ideaal rooster voor n = 2k 1 teams speelt elk team afwisselend uit en thuis, en dat blijkt ook te kunnen.

Bij een ideaal rooster voor n = 2k 1 teams speelt elk team afwisselend uit en thuis, en dat blijkt ook te kunnen. Uitwerking Puzzel 92-5 Knikken Wobien Doyer Lieke de Rooij Als wiskundige krijg je op school al gauw de taak om te roosteren. Frans van Hoeve nam die taak ook op zich voor het maken van roosters voor een

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

De WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken. Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013

De WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken. Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013 De WrapSlide-puzzel algebraïsch bekeken Dimitri Geelhoed en Lotte Meester 2013 1 Inleiding Al snel nadat we besloten om onderzoek te doen naar een wiskundig vraagstuk, kregen we het idee om een puzzel

Nadere informatie

Toelichting op de werkwijzer

Toelichting op de werkwijzer Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,

Nadere informatie

Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk?

Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? 28-6-2014 Universiteit Utrecht Jeroen Nagtegaal (0441872) 2 INHOUDSOPGAVE 0. INLEIDING... 4 HOE MOET JE DIT BOEKJE LEZEN?...

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven

Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven Uitwerkingen eerste serie inleveropgaven (1) Gegeven het 4 4 grid bestaande uit de 16 punten (i, j) met i, j = 0,..., 3. Bepaal het aantal driehoeken dat je kunt vinden zodanig dat ieder hoekpunt samenvalt

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2

6 A: 6 2 2 1 5 1 4 = 26 m 2 B: 6 2 2 1 4 2 4 = 20 m 2 C: 6 2 1 2 Hoofdstuk 17 PYTHAGORAS HAVO 17.1 INTRO 1 b c 6 A: 6 1 5 1 4 = 6 m B: 6 1 4 4 = 0 m C: 6 1 3 3 4 = 18 m D: 0 m E: 6 m 7 a A:, cm B: 5,0 cm C: 3, cm D: 4,1 cm b Voor elke zijde geldt dat het de schuine

Nadere informatie

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek

handleiding pagina s 434 tot Handleiding 1.2 Huistaken huistaak 12: bladzijde Werkboek week 13 les 5 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 434 tot 443 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina s 374 en 375: vierhoeken pagina 376: eigenschappen van diagonalen in vierhoeken

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 Vier van de volgende figuren zijn het beeld van minstens één andere figuur door een draaiing in het vlak Voor één figuur is dit niet het geval Welke?

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen!

Wat is de som van de getallen binnen een cirkel? Geef alle mogelijke sommen! Estafette-opgave 1 (20 punten, rest 480 punten) Zeven gebieden Drie cirkels omheinen zeven gebieden. We verdelen de getallen 1 tot en met 7 over de zeven gebieden, in elk gebied één getal. De getallen

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

DRIEHOEKSGETALLEN GETALLENRIJEN AFLEVERING 3. som

DRIEHOEKSGETALLEN GETALLENRIJEN AFLEVERING 3. som GETALLENRIJEN AFLEVERING In deze jaargang van Pythagoras staan getallenrijen centraal. Deze aflevering gaat over de rij,, 6, 0,, 2,... Dit zijn de zogeheten driehoeksgetallen. Ze vormen een interessante

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie