3.2 Vectoren and matrices

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "3.2 Vectoren and matrices"

Transcriptie

1 we c = 6 c 2 = c 3 = c 4 = c 5 = c 6 = Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden, niet strijdig is De volgende secties geven een samenvatting van de theorie van stelsels lineaire vergelijkingen 32 Vectoren and matrices Het stelsel vergelijkingen ( is een voorbeeld van een algemeen stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden: ( a c + a 2 c a n c n = b a 2 c + a 22 c a 2n c n = b 2 a n c + a n2 c a nn c n = b n De coëfficiënten a ij van dit stelsel kunnen verzameld worden in een vierkante tabel die we een matrix noemen: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a n a n2 a nn De matrix heeft n rijen and n kolommen De onbekende coëfficiënten c j en de gegeven getallen b k zetten we ook in matrices met één kolom: c b c 2 c = en b = b 2 c n b n Men spreekt dan van een n n matrix A en van n matrices c en b Matrices met slechts één kolom worden vaak vectoren genoemd; vectoren met n elementen worden veelal aangeduid als n-vectoren Een n m matrix heeft n rijen and m kolommen De getallen in de matrix noemen we elementen; het element in de i-de rij en in de j-de kolom duiden we aan met a ij Elementen met gelijk rij- en kolomnummer (dat wil zeggen op de diagonaal van linksboven naar rechtsonder noemt men de diagonaalelementen Als alle elementen beneden de diagonaalelementen gelijk aan nul zijn, heet de matrix een bovendriehoeksmatrix Als alle elementen boven de diagonalelementen gelijk aan nul zijn, heet de matrix een benedendriehoeksmatrix Elementen van een vector heten ook componenten We willen ( als één vergelijking herschrijven, namelijk ( Ac = b 49

2 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Definitie 3 Het produkt Ax van een n n matrix A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn met een n-vector x x 2 x = x n is een n-vector y = zo dat y i = y y 2 y n a ij x j, i =, 2,,n j= Met deze definitie is de vergelijking ( gelijkwaardig met het stelsel vergelijkingen ( ; Ax = y is de korte vorm van a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a n a n2 a nn Voorbeeld = x x 2 x n = Bijvoorbeeld het tweede element in de rechtervector (32 volgt uit de vermenigvuldiging van de tweede rij van de matrix met de linkervector: = y y 2 y n 5 {}} { =32

3 33 Het matrixprodukt Door het vermenigvuldigen met een andere matrix van het matrix-vector produkt, ontstaat er het begrip van een produkt van twee matrices Sectie 33 HET MATRIXPRODUKT Definitie 32 Het produkt van twee n n matrices A en B is een n n matrix C, zo dat Cx = A(Bx voor alle n-vectoren x Notatie: C = AB Stelling 33 Zijn a ij de elementen van een n n matrix A en b ij de elementen van een n n matrix B, dan zijn de elementen van het matrixprodukt C = AB gegeven door c ik = a ij b jk, i,k =, 2,,n j= Om deze formule te onthouden, merken we op dat het element c ik van de produktmatrix C ontstaat als het produkt van de i-de rij van A met de k-de kolom van B Bijvoorbeeld, om c te vinden moeten we de elementen in de eerste rij van A met de corresponderende elementen in de eerste kolom van B vermenigvuldigen en dan de resultaten optellen: a a 2 a n b b 2 b n = c Merk op dat we in de definitie 3 ook de produkten maken van de rijen van A met de één-kolomsmatrix (vector b Voorbeeld 33 ( ( = ( Bewijs van stelling 33 Zij y = Bx Wegens definitie 3, hebben we y j = b jk x k, j =, 2,,n k= 2 Als z = Ay, dan geeft dezelfde definitie: z i = a ij y j, i =, 2,,n j= 3 Substitueren van regel in regel 2, geeft z i = a ij b jk x k k= j= 4 Dus z i = c ik x k, k= 5

4 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Kader 32: EEN KETEN VAN MATRICES VERMENIGVULDIGEN Matrixvermenigvuldiging is niet commutatief (de regel A B = B A geldt niet, maar wel associatief: (A B C = A (B C A (B (C D A ((B C D (A B (C D ((A B C D (A (B C D Dit betekent, dat je een product als A B C D op vijf manieren kunt uitrekenen (tabel; de uitkomst van de vijf berekeningen is gelijk, maar de kosten van het uitvoeren niet! Wanneer je namelijk een k l matrix en een l m matrix vermenigvuldigt, kost dat klm vermenigvuldigingen en het resultaat is een k m matrix Is nu bijvoorbeeld A een 3 matrix, B een 5 matrix en C een 5 2 matrix, dan kost A (B C je 6 vermenigvuldigingen (ga na! en (A B C kost 45 vermenigvuldigingen Het is een lastige, maar leerzame en interessante probleemstelling om bij een gegeven rij matrices de meest efficiënte volgorde van vermenigvuldigen te vinden Zie T Cormen, C Leiserson, R, Rivest, Introduction to Algorithms, MIT Press, 99 (Hoofdstuk 6 waarin c ik = a ij b jk j= Hiermee is de stelling bewezen Als n >, dan is in het algemeen AB BA Dus de volgorde in het vermenigvuldigen van de matrices is belangrijk Voorbeeld 34 Neem twee matrices: ( ( 2 A =, B = 2 Dan geldt AB = ( Het is evident dat AB BA ( 5 3, BA = 34 Inverse matrix Definitie 34 Een n n matrix B heet de inverse matrix van de n n matrix A, als B(Ax =x voor iedere n-vector x Notatie: B = A Als A bestaat, heet de matrix A inverteerbaar 52 Definitie 35 De n n matrix E = heet de eenheidsmatrix

5 Merk op, dat alle elementen van E behalve de diagonaalelementen gelijk aan nul zijn De diagonaalelementen zijn gelijk aan E heeft de volgende eigenschappen: E = E, AE = EA = A, voor iedere matrix A, en A A = E voor iedere inverteerbare matrix A Wanneer A inverteerbaar is, kunnen we de oplossing van het lineaire stelsel Ac = b door het vermenigvuldigen van beide zijden met A schrijven als c = A b voor iedere n-vector b Dit volgt uit: AC = b A AC = A b EC = A b C = A b Sectie 34 INVERSE MATRIX Anderzijds, bestaat de oplossing c voor ieder rechterlid b, dan is à = A de enige matrix waarvoor c = Ãb Anders gezegd, zijn de coëfficiënten ã ij voor b j in de formule c i = ã ij b j, i =, 2,,n, j= gelijk aan de elementen van de matrix A Voorbeeld 35 Iedere bovendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul u u 2 u 3 u n u 22 u 23 u 2n U = u nn is inverteerbaar De componenten x i van de oplossing x van het bijbehorende lineaire stelsel Ux = y kunnen berekend worden voor iedere y met de formules x n = u nn y n, x n = u (y n u (n (n (n n x n, x = u (y u 2 x 2 u 3 x 3 u n x n, waarin alleen reeds bekende x i zijn gebruikt in iedere volgende formule Als we de substituties maken en de coëfficiënt voor y j in de vergelijking voor x i verzamelen, krijgen we het ij-de element van U Doe dit zelf voor n =2 en 3 Merk op dat in de formule voor x alle y,y 2,,y n voorkomen, in de formule voor x 2 komen y 2,,y n voor (maar geen y, in de formule voor x 3 komen y 3,,y n voor (maar geen y of y 2, enz Uiteindelijk hangt x n alleen maar van y n af Dit betekent dat U ook een bovendriehoeksmatrix is Op dezelfde manier bewijzen we dat iedere benedendriehoeksmatrix L met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul inverteerbaar is, en dat L ook een benedendriehoeksmatrix is 53

6 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Stelling 36 Zijn A en B n n boven-/benedendriehoeksmatrices met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul, dan zijn ook A en C = AB boven- /benedendriehoeksmatrices met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul Bewijs Het feit dat A een bovendriehoeksmatrix is, als A een bovendriehoeksmatrix is, volgt uit voorbeeld 35 2 Als we de rijen van een bovendriehoeksmatrix A met de kolommen van een andere bovendriehoeksmatrix B vermenigvuldigen (zie stelling 33, krijgen we slechts nullen onder de diagonaalelementen van C en c ii = a ii b ii voor zijn diagonaalelementen 3 Benedendriehoeksmatrices gaan analoog 35 Getransponeerde matrix Definitie 37 De getransponeerde matrix, notatie A T, van de matrix A is de matrix waarvan de kolommen worden gevormd door de rijen van A Voorbeeld 36 Als ( 2 3 A = dan is A T = Voorbeeld 37 Als A = ( dan is A T = Als A afmetingen m n heeft, dan heeft A T afmetingen n m en element a ij van matrix A is element a T ji van AT Voor symmetrische matrices geldt daarom A T = A Zonder bewijs vermelden we de volgende rekenregels: (A T T = A (A + B T = A T + B T (AB T = B T A T 54 (A T =(A T

7 36 Optelling en scalaire vermenigvuldiging van matrices Definitie 38 Zij λ een reëel getal Dan is het produkt van λ met een n-vector x gedefinieerd door λx λx 2 λx = λx n Zijn x en y twee n-vectoren, dan is de som van x en y gedefinieerd door x + y x 2 + y 2 x + y = x n + y n Sectie 36 OPTELLING EN SCALAIRE VERMENIGVULDIGING VAN MATRICES Optelling en scalaire vermenigvuldiging gaan dus componentgewijs Uit het produkt van een n-vector met λ =, krijgen we de zogenaamde nulvector: = In aanvulling op de definities 32 and 34, kunnen we λa and A + B introduceren Definitie 39 Het produkt van een reëel getal λ met een n n matrix A is een n n matrix λa, zo dat (λax = λ(ax voor alle n-vectoren x De som van n n matrices A en B is een n n matrix A + B, zo dat (A + Bx = Ax + Bx voor alle n-vectoren x Uit deze definitie blijkt dat de matrix λa ontstaat door het vermenigvuldigen van de overeenkomstige elementen van A met λ, terwijl de matrix A + B ontstaat door de overeenkomstige elementen van A en B bij elkaar op te tellen Optelling en scalaire vermenigvuldiging van matrices gaan dus elementsgewijs Voorbeeld 38 ( ( ( ( ( = = In de context van matrices en vectoren wordt een dergelijk getal meestal een scalar genoemd 55

8 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN Noem O de nulmatrix: O = Ten aanzien van de optelling en vermenigvuldiging gedraagt de verzameling van alle n n matrices zich in veel opzichten zoals de reële getallen De nulmatrix O en de eenheidsmatrix E spelen de rol van en, respectievelijk De matrixoperaties hebben de volgende eigenschappen: Stelling 3 ( A + B = B + A; (2 (A + B+C = A +(B + C; (3 (ABC = A(BC; (4 A(B + C =AB + AC; (5 A + O = A; (6 OA = AO = O; (7 Voor iedere A is er één matrix B waarvoor A + B = O; (8 AE = EA = A, waarin E de eenheidsmatrix is Ga de uitspraken ( (7 zelf na! Toch is er een groot verschil tussen de matrices en de reële getallen: In het algemeen geldt AB BA (zie voorbeeld 34! Ook heeft niet elke n n matrix A O een inverse 37 Gausseliminatie en matrices Een systematische methode om een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen is Gausseliminatie Voorbeeld 39 Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen c c 2 + c 3 c 4 = 3, c =, c + c 2 + c 3 + c 4 =, c + 2c 2 + 4c 3 + 8c 4 = 3 Trek de eerste vergelijking van de tweede, derde en vierde vergelijking af We krijgen zo een stelsel dat gelijkwaardig (equivalent is met het oorspronkelijke stelsel vergelijkingen: c c 2 + c 3 c 4 = 3, c 2 c 3 + c 4 = 2, 2c 2 + 2c 4 = 4, 3c 2 + 3c 3 + 9c 4 = 6, 56 waarin de eerste onbekende c verwijderd is uit alle vergelijkingen behalve de eerste

9 Door de tweede vergelijking in het nieuwe stelsel twee keer van de derde vergelijking en drie keer van de vierde af te trekken krijgen we c c 2 + c 3 c 4 = 3, c 2 c 3 + c 4 = 2, 2c 3 =, 6c 3 + 6c 4 = Sectie 37 GAUSSELIMINATIE EN MATRICES Trek de derde vergelijkig drie keer van de vierde vergelijking af Dit geeft het stelsel met de bovendriehoeksmatrix: c c 2 + c 3 c 4 = 3, c 2 c 3 + c 4 = 2, 2c 3 =, 6c 4 = Uit de laatste twee vergelijkingen blijkt dat c 4 = c 3 = Dan implicieert de tweede vergelijking c 2 = 2+c 3 c 4 = 2 Tenslotte geeft de eerste vergelijking c =3+c 2 c 3 + c 4 =3 2= Dus alle onbekende variabelen c i zijn gevonden Het bovenstaande is een voorbeeld van Gausseliminatie, een proces waarbij successievelijk variablen uit vergelijkingen worden geëlimineerd tot een bovendriehoeksvorm overblijft Vanuit deze vorm kan door substitutie snel de oplossing van het oorspronkelijke stelsel worden gevonden Het is interessant om naar Gausseliminatie te kijken vanuit de invalshoek van matrices Beschouw een algemeen stelsel van n lineaire vergelijkingen: (X a c + a 2 c a n c n = b a 2 c + a 22 c a 2n c n = b 2 a n c + a n2 c a nn c n = b n en veronderstel dat a (verwissel anders de eerste vergelijking met een vergelijking waarin de coëfficiënt voor x niet gelijk aan nul is Laat de eerste vergelijking onveranderd, maar vermenigvuldig hem nu in gedachten (of op een kladblaadje met m 2 = a 2 a en trek het resultaat van de tweede vergelijking af, vermenigvuldig de eerste vergelijking met m 3 = a 3 a en trek het resultaat van de derde vergelijking af, enz Vermenigvuldig tenslotte de eerste vergelijking met m n = a n a 57

10 Hoofdstuk 3 STELSELS VAN LINEAIRE VERGELIJKINGEN en trek het resultaat van de laatste vergelijking af Zo krijgen we een gelijkwaardig stelsel A c = b : a c +a 2 c a n c n = b a 22c a 2nc n = b (X 2 a n2c a nnc n = b n, waarin a ij = a ij m i a j,b i = b i m i b, i,j =2, 3,,n Het blijkt dat de matrices van de lineaire stelsels (X en (X voldoen aan de vergelijking A = MA, waarin M een benedendriehoeksmatrix is met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul: m 2 M = m n Het is duidelijk dat b = Mb Dus ontstaat het stelsel A c = b uit het stelsel Ac = b door het produkt met de benedendriehoeksmatrix M Merk op dat alle diagonaalelementen van M gelijk aan zijn Als a 22, kan de eliminatie herhaald worden met behulp van de tweede vergelijking in (X Dit is equivalent met de vermenigvuldiging van A c = b met een andere benedendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul: M m 32 =, m n2 waarin m i2 = a i2 a, i =3, 4,,n 22 Dus het oorspronkelijk stelsel Ac = b is equivalent met A c = b waarin A = M MA en b = M Mb Met Stelling 36, is M M weer een benedendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul (alle gelijk aan Als alle bijbehorende noemers niet gelijk aan nul zijn, zien we uiteindelijk dat het stelsel Ac = b equivalent is met het stelsel LAc = Lb, 58 waarin L = M M een benedendriehoeksmatrix is met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul

11 De matrix U = LA van dit stelsel is een bovendriehoeksmatrix met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul Dus bestaat U en het produkt U x kan gemakkelijk berekend worden voor iedere n-vector x als in voorbeeld 35 (zonder het expliciete berekenen van de elementen van U Sectie 38 VRAAGSTUKKEN Stelling 36 impliceert dat L ook een benedendriehoeksmatrix is met alle diagonaalelementen niet gelijk aan nul Nu kunnen we LA = U herschrijven als A = L U, die de LU-decompositie van A wordt genoemed In dit geval is de matrix A herschreven als het produkt van een benedendriehoeksmatrix B = L en een bovendriehoeksmatrix U Dus is de eenvoudige Gausseliminatie equivalent met de LU-decompositie van de matrix van het stelsel Natuurlijk kan bijvoorbeeld a 22 gelijk aan nul zijn In dit geval verwisselen we twee van de laatste n vergelijkingen in (X zodat de eliminatie verder kan gaan, enz Men noemt deze Gausseliminatie met rijverwisseling de LUP -decompositie, waarin P permutatie betekent (of pivot Het kan gebeuren dat er geen diagonaalelementen meer bestaan In dit geval stopt de eliminatie als de laatste rijen in de matrix alleen maar nullen bevatten Opmerking Het gebruik van matrixnotatie bij Gausseliminatie (en bij andere formuleringen die stelsels van vergelijkingen bevatten in plaats van het volledig uitschrijven van het stelsel maakt het geheel vaak overzichtelijker Voorbeeld 39 aan het begin van deze sectie ziet er bijvoorbeeld als volgt uit: c c 2 c 3 c 4 = 2 c c 2 c 3 c 4 = c c 2 c 3 c 4 c c 2 c 3 c 4 c c 2 c 3 c 4 = = = Vraagstukken vr3 Gegeven zijn de 2 2 matrices A en B en de 2-vectoren x en y, ( ( ( ( 2 3 A =,B=,x=,y=

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

a a 1n a m1... a mn

a a 1n a m1... a mn Hoofdstuk Matrices Inleiding In het vorige hoofdstuk behandelden we de Gauss-eliminatie methode waarmee we stelsels lineaire vergelijkingen leerden oplossen We telden vergelijkingen bij anderen op enz

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Matrices, determinanten en stelsels lineaire vergelijkingen

Matrices, determinanten en stelsels lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 2 Matrices, determinanten en stelsels lineaire vergelijkingen 2.1 Matrix : definitie en bijzondere gevallen R DEFINITIE 2.1 m n matrix Een reële (resp. complexe) m n matrix, of matrix van de

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden 12.1 Grafen [1] Een spoorwegkaart is een voorbeeld van een graaf; Een graaf bestaat uit punten; De punten worden door wegen met elkaar verbonden; De plaats van de punten en de vorm van de wegen is van

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

(alleen het startkapitaal brengt winst op) Samengestelde Na een periode van n jaar is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde:

(alleen het startkapitaal brengt winst op) Samengestelde Na een periode van n jaar is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde: Wiskunde Semester 2 Theorie Hoofdstuk 1 Getallenrijen Bewijzen: pag. 3 + 5 + 10 + 11 1.1 Getallenrijen Getallenrij Constante getallenrij Partieelsom Reekssom Een geordende (oneindige) verzameling van getallen.

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in

Nadere informatie

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)!

Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Wiskunde Module! Basisprogramma Psychologische Methodenleer! Alexander Ly (en Raoul Grasman)! Inhoudsopgave! Wiskunde en psychologie! Doelstelling van de module! Opzet van de module! Algebra: reken regels!

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (WB33B Bernd Souvignier voorjaar 24 Deel I Lineaire Algebra Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassingen op matrices - Opgave Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding

POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding 2/59 POD1 - Hoofdstuk 1: Inleiding Stijn Lievens (Stijn.Lievens@hogent.be) Noemie Slaats (Noemie.Slaats@hogent.be) Lieven Smits (Lieven.Smits@hogent.be) Martine Van Der Weeen

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Hoofdstuk 4 Eigenwaarden en eigenvectoren 4.1 Inleiding Tot nu toe zijn al onze vectoren en matrices reëel geweest d.w.z. de theorie voor stelsels lineaire vergelijkingen en de theorie der matrices en

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Matrices en Stelsels. Deel I. 1. Matrices. 1. Begrippen. Wat wordt er van jou verwacht?

Matrices en Stelsels. Deel I. 1. Matrices. 1. Begrippen. Wat wordt er van jou verwacht? 1 Deel I Matrices en Stelsels 1. Matrices 1. Begrippen Wat wordt er van jou verwacht? 1. Weten wat men met de volgende begrippen bedoelt en deze begrippen ook zelf kunnen gebruiken: matrix, rijen, kolommen,

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Algebra Determinanten en stelsels. Cursus voor de vrije ruimte

Algebra Determinanten en stelsels. Cursus voor de vrije ruimte Algebra Determinanten en stelsels Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Determinanten 1.1 Determinant van de orde twee We gaan na wat de voorwaarde is waaraan

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16 dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Inhoudsopgave Voorwoord 2 1 Vectoren en scalairen 3 1.1 Notatie.....................................

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN

NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN II NATUURLIJKE, GEHELE EN RATIONALE GETALLEN Iedereen ent getallen: de natuurlije getallen, N = {0,1,2,3,...}, gebruien we om te tellen, om getallen van elaar af te unnen treen hebben we de gehele getallen,

Nadere informatie

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

1 Inleidende begrippen 5 1.1 Velden... 6 1.2 Veeltermen... 13 1.3 Matrices... 17 1.4 Stelsels van lineaire vergelijkingen... 22

1 Inleidende begrippen 5 1.1 Velden... 6 1.2 Veeltermen... 13 1.3 Matrices... 17 1.4 Stelsels van lineaire vergelijkingen... 22 Inhoudsopgave Inhoudsopgave iii 0 Inleiding: De vectorruimte R n 1 1 Inleidende begrippen 5 1.1 Velden............................... 6 1.2 Veeltermen............................ 13 1.3 Matrices..............................

Nadere informatie

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester

SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN. Prof. dr. Ronald Meester SYMMETRIEËN VAN RUIMTELIJKE FIGUREN Prof. dr. Ronald Meester Inleiding In dit college onderzoeken we symmetrie-eigenschappen van ruimtelijke figuren zoals driehoeken, vierkanten, kubussen en andere veelvlakken

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie