Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!"

Transcriptie

1 Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie In dit Mathematica notebook behandelen we elementaire berekeningen uit de lineaire algebra zoals: - basis van vectorruimte en de som en doorsnede van vectorruimten - inproduct en uitproduct van vectoren - optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffen van matrices - rang, kern, rijruimte en kolomruimte van matrices Å Telkens opnieuw beginnen met In[]:= Clear "ë" Å Vectorruimten Definiëren van vectoren Een vector wordt in Mathematica gerepresenteerd als een lijst (coëfficiënten tussen accolades). Bijvoorbeeld: In[4]:= 4,, 5 Out[4]= 4,, 5 Deze vector kan in kolomnotatie op het scherm afgedrukt worden. Twee manieren zijn: In[5]:= MatrixForm % Out[5]//MatrixForm= 4 5

2 Linalg.nb In[6]:= ColumnForm %% Out[6]= 4 5 Let op: deze opdrachten zijn er alleen om een vector in mooie gedaante op het scherm te krijgen. Je kunt met de uitvoernotatie niet rekenen zoals onderstaande opdracht aantoont: In[7]:= % + % Out[7]= 4 5 Het is vervelend om bij een grote vector alle componenten zelf in te toetsen. Meestal kan je met behulp van het Mathematica commando Table een vector wel op een slimmere manier definiëren. Drie voorbeelden van vectoren met steeds componenten illustreren dit: - Een vector random gevuld met gehele getallen tussen en 5: In[8]:= Table Random Integer, 5, Out[8]=,,, 5, 5,,,,,,, 5,,,,,, 4,,, 4,,, 4,,,,,,,,,, 4,,, 5,,,,,, 4,, 4, 4, 4, 5,,,,,,, 4,,,,,,,, 5,, 4,, 5,,,,,, 4,, 4, 4,,,, 5,,,,, 4,, 4, 4,,, 5, 4,, 5,, 5,, 4, 5, - Een nulvector In[9]:= Table, Out[9]=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, - Een vector met als i-de component i : In[]:= Table i ^, i, Out[]=, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8,,, 44, 69, 96, 5, 56, 89, 4, 6, 4, 44, 484, 59, 576, 65, 676, 79, 784, 84, 9, 96, 4, 89, 56, 5, 96, 69, 444, 5, 6, 68, 764, 849, 96, 5, 6, 9, 4, 4, 5, 6, 74, 89, 96, 5, 6, 49, 64, 48, 6, 7, 844, 969, 496, 45, 456, 4489, 464, 476, 49, 54, 584, 59, 5476, 565, 5776, 599, 684, 64, 64, 656, 674, 6889, 756, 75, 796, 7569, 7744, 79, 8, 88, 8464, 8649, 886, 95, 96, 949, 964, 98, Elementaire bewerkingen Het resultaat van optelling van vectoren en van scalaire vermenigvuldiging wordt gewoonweg uitgerekend: In[]:= 4,, 5 +,, Out[]= 6, 4, 8

3 Linalg.nb In[]:= * 4,, 5 Out[]= 8, 6, Maar let op: Mathematica houdt niet altijd zelf bij of symbolen voor een vector, matrix of iets anders staan. Dit verklaart resultaten zoals In[]:= 4,, 5 + v Out[]= 4 + v, + v, 5 + v Gebruik het commando Dot of de operator. om het inproduct tussen twee vectoren uit te rekenen. In[4]:= Dot x, x, x, y, y, y Out[4]= In[5]:= Out[5]= x y + x y + x y a, b, c. x, y, z a x + b y + c z Het uitproduct van twee vectoren kan als volgt berekend worden: In[6]:= Cross x, x, x, y, y, y Out[6]= -x y + x y, x y - x y, -x y + x y Om een component van een vector te kiezen gebruik je dubbele rechte haken. Een voorbeeld maakt dit duidelijk: In[7]:= v = a, b, c, d ; v Out[7]= c Basis, som en doorsnede van vectorruimten We bekijken de volgende vier vectoren: In[8]:= u =, -,, ; u =, -4,, ; w =, -,, ; w = 5, -4,, ; Maak een matrix met de vectoren u en u als rijvectoren: In[4]:= u, u Out[4]=, -,,,, -4,, In[4]:= MatrixForm % Out[4]//MatrixForm= - -4 Bereken de kern van deze matrix:

4 Linalg.nb 4 In[44]:= NullSpace %% Out[44]= -, -,,, 4,,, Dit betekent dat het opspansel van u en u de oplossingsverzameling is van het stelsel - x - x + x 4 =, 4 x + x + x = is. Het uitrekenen van een basis voor de som van twee vectorruimten is eenvoudig. Zet voortbrengers van de vectorruimten als rijvectoren in een matrix.veeg met rijen tot kanonieke vorm. De niet-nulrijen vormen een basis van de somruimte. Als voorbeeld berekenen we een basis van het opspansel van u, u, w en w. In[45]:= u, u, w, w Out[45]=, -,,,, -4,,,, -,,, 5, -4,, In[46]:= MatrixForm % Out[46]//MatrixForm= Vegen met rijen levert een basis op: In[47]:= RowReduce %% Out[47]=,,,,,,,,,,, -,,,, In[48]:= MatrixForm % Out[48]//MatrixForm= þþþ - þþþ De somruimte is -dimensionaal met basis Of voor wie niet van breuken houdt:,, en - en. -. Het uitrekenen van de doorsnede van twee vectorruimten is ingewikkelder. Als voorbeeld nemen we de doorsnede van de vectorruimten opgespannen door u, u en door w, w. In[49]:= NullSpace u, u Out[49]= -, -,,, 4,,, In[5]:= NullSpace w, w Out[5]= -, -,,, 4, 5,,

5 Linalg.nb 5 In[5]:= Join %%, % Out[5]= -, -,,, 4,,,, -, -,,, 4, 5,, In[5]:= NullSpace % Out[5]=,, -4, In[5]:= MatrixForm % Out[5]//MatrixForm= -4 De doorsnede is -dimensionaal en wordt opgespannen door de vector -4.. Vectorruimte In 5 beschouwen we twee deelvectorruimten V en V. V is de oplossingsruimte van het stelsel vergelijkingen x - x + x + x 4 - x 5 =, x + 5 x - 5 x - 5 x 4 - x 5 =, -x - x + x + x 4 + x 5 = V is het opspansel van v, v, v en v 4 gegeven door v =, v = -, v = en v 4 = - Bereken een basis van V, V, V + V en V V. Ga in dit voorbeeld na dat de dimensiestelling klopt. Å Matrices Definiëren van matrices In[54]:= Clear "ë" Een matrix wordt in Mathematica gerepresenteerd als een lijst van lijsten. Bijvoorbeeld: In[55]:=,, 5,, 4, Out[55]=,, 5,, 4, In traditionele matrixnotatie komt dit overeen met:

6 Linalg.nb 6 In[56]:= MatrixForm % Out[56]//MatrixForm= 5 4 Let op: MatrixForm is alleen bedoeld voor mooie matrixnotatie, niet om mee te rekenen. Kijk maar: In[57]:= A = MatrixForm,,, 4 Out[57]//MatrixForm= 4 In[58]:= A + A Out[58]= 4 Met behulp van het Mathematica commando s Table en Outer kun je een matrix soms op een slimmere manier definiëren. Enkele voorbeelden: In[59]:= Table x^i * y^j, i, 4, j, 4 Out[59]= x y, x y, x y, x y 4, x y, x y, x y, x y 4, x y, x y, x y, x y 4, x 4 y, x 4 y, x 4 y, x 4 y 4 In[6]:= MatrixForm % Out[6]//MatrixForm= x y x y x y x y 4 x y x y x y x y 4 x y x y x y x y 4 x 4 y x 4 y x 4 y x 4 y 4 In[6]:= Table, 5, 5 Out[6]=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, In[6]:= MatrixForm % Out[6]//MatrixForm= Een matrixcoëfficient kun je kiezen met dubbele rechte haken. Je kunt ook een hele rij aanwijzen. Een voorbeeld maakt dit duidelijk: In[6]:= A =,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ; MatrixForm A Out[6]//MatrixForm=

7 Linalg.nb 7 In[64]:= A, Out[64]= 6 In[65]:= A Out[65]= 4, 5, 6 Elementaire bewerkingen Het resultaat van optelling en vermenigvuldiging van matrices en van scalaire vermenigvuldiging wordt gewoonweg uitgerekend: In[66]:= A =,,, 4 ; MatrixForm A Out[66]//MatrixForm= 4 In[67]:= B = a,, b, ; MatrixForm B Out[67]//MatrixForm= a b In[68]:= A + B Out[68]= + a, 4, + b, 7 In[69]:= MatrixForm % Out[69]//MatrixForm= + a 4 + b 7 In[7]:= c * A Out[7]= c, c, c, 4 c In[7]:= MatrixForm % Out[7]//MatrixForm= c c c 4 c Maar let op: Mathematica houdt niet altijd zelf bij of symbolen voor een vector, matrix of voor iets anders staan. Dit verklaart resultaten zoals In[7]:=,,, 4 + M Out[7]= + M, + M, + M, 4 + M Gebruik het commando Dot of de operator. om het product tussen twee matrices of het matrix-vector product uit te rekenen.

8 Linalg.nb 8 In[7]:= A =,,, 4, 5, 6 ; MatrixForm A Out[7]//MatrixForm= In[74]:= B = a,, b,, c, 4 ; MatrixForm B Out[74]//MatrixForm= a b c 4 In[75]:= A.B Out[75]= a + b + c,, 4 a + 5 b + 6 c, 47 In[76]:= MatrixForm % Out[76]//MatrixForm= a + b + c 4 a + 5 b + 6 c 47 In[77]:= B.A Out[77]= 8 + a, + a, + a, + b, 5 + b, 8 + b, 6 + c, + c, 4 + c In[78]:= MatrixForm % Out[78]//MatrixForm= 8 + a + a + a + b 5 + b 8 + b 6 + c + c 4 + c In[79]:= v = 7, 8, 9 ; MatrixForm v Out[79]//MatrixForm= In[8]:= A. v Out[8]= 5, In[8]:= MatrixForm % Out[8]//MatrixForm= 5 In[8]:= %%. A Out[8]= 58, 7, 88 In[8]:= MatrixForm % Out[8]//MatrixForm=

9 Linalg.nb 9 Nogmaals: het symbool * is voor scalaire vermenigvuldiging en voor elementsgewijze vermenigvuldiging en niet voor matrix-vermenigvuldiging of voor matrix-vector-rmenigvuldiging. In[84]:=,,, 4 * a, b, c, d Out[84]= a, b, c, 4 d Net zo: Het symbool ^ is bedoeld voor elementsgewijs machtsverheffen en niet voor machtsverheffen van vierkante matrices. Hiervoor moet je het commando MatrixPower gebruiken. In[85]:= A =,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Out[85]=,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 In[86]:= A ^ Out[86]=, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8 In[87]:= MatrixPower A, Out[87]=, 6, 4, 66, 8, 96,, 6, 5 In[88]:= A. A Out[88]=, 6, 4, 66, 8, 96,, 6, 5 In[89]:= MatrixPower A, Out[89]= , , , 59646, , , , , Basisopdrachten We bekijken de volgende matrix In[9]:= A = 5, -,, ; MatrixForm A Out[9]//MatrixForm= 5 - De getransponeerde van A, genoteerd als A t, bereken je met het commando Transpose. Dit stelt je in staat om matrixoperaties met kolommen te herschrijven in termen van rij-operaties en vice versa. In[9]:= Transpose A Out[9]= 5,, -, In[9]:= MatrixForm % Out[9]//MatrixForm= 5 - De inverse bereken je als volgt:

10 Linalg.nb In[9]:= Out[9]= Inverse A 8, 8, - 8, 5 8 In[94]:= MatrixForm % Out[94]//MatrixForm= þþþ þþþ þþþ 8 5 þþþ 8 In[95]:= MatrixPower A, - Out[95]= 8, 8, - 8, 5 8 En niet d.m.v. In[96]:= A ^ - Out[96]= 5, -,, We bekijken nu de volgende matrix: In[97]:= M =,,,,,, -,, 5 ; MatrixForm M Out[97]//MatrixForm= - 5 De kern en een basis van de rijruimte van de matrix worden berekend met de commando s NullSpace en RowReduce. In[98]:= NullSpace M Out[98]=, -, In[99]:= RowReduce M Out[99]=,, -,,,,,, De (rij)rang van M lees je af en is gelijk aan. Er zijn geen ingebouwde commando s om een basis van de kolomruimte van M te bereken. Maar dit kun je eenvoudig zelf doen d.m.v. rijreductie van de getransponeerde matrix M t. In[]:= MatrixForm M Out[]//MatrixForm= - 5 In[]:= Transpose M Out[]=,, -,,,,,, 5

11 Linalg.nb In[]:= RowReduce % Out[]=,, 5,,, -8,,, In[]:= Transpose % Out[]=,,,,,, 5, -8, In[4]:= MatrixForm % Out[4]//MatrixForm= 5-8 Het is gemakkelijk om zelf een procedure kolomreductie te introduceren: In[5]:= kolomreductie a_ := Transpose RowReduce Transpose a In[6]:= kolomreductie M Out[6]=,,,,,, 5, -8, Waarschuwing: waar je wel op moet letten is dat Mathematica geen speciale gevallen onderscheidt. Stel dat we in de matrix M het element op plaats (,) vervangen door een onbepaalde, zeg x. In[7]:= M, = x; MatrixForm M Out[7]//MatrixForm= - x Als we nu om een basis van de rijruimte vragen, dan krijgen we basisvectoren! Dit antwoord is correct voor alle waarden van x behalve voor x= 5. In[8]:= RowReduce M Out[8]=,,,,,,,, Mathematica lost dus alleen het algemene geval op en laat speciale gevallen buiten beschouwing. Kortom, wanneer een matrix behalve getallen ook symbolen bevat, dan moet je heel erg goed op je tellen passen. Je kunt natuurlijk wel zelf het veegproces aansturen en Mathematica alleen als rekenhulp gebruiken. In ons voorbeeld: begin met vegen m.b.v. eerste rij in M. We werken in een kopie, zeg m.

12 Linalg.nb In[9]:= m = M; MatrixForm m m = m, * m - m, * m ; MatrixForm m m = m, * m - m, * m ; MatrixForm m Out[]//MatrixForm= - x Out[]//MatrixForm= x Out[4]//MatrixForm= x Ga nu door met vegen m.b.v. de tweede rij: In[5]:= m = m, * m - m, * m ; MatrixForm m m = m, * m - m, * m ; MatrixForm m Out[6]//MatrixForm= x Out[8]//MatrixForm= x Nu zie je een nulrij ontstaan als 5 - x =, oftwel als x = 5.. Matrixrekening Neem de volgende vijf matrices: 9 A =, B = - 7 4, C = , D = en E = (i) Bereken A -, AB, A 5 - A, B t A.

13 Linalg.nb (ii) Bereken M, M, M 4 en M 5 voor M = C, M = D en M = E. Geef een formule voor M n, voor een willekeurig gekozen natuurlijk getal n. Å Stelsels van lineaire vergelijkingen Mathematica kent commando s waarmee je een stelsel vergelijkingen kunt omzetten in matrix- en in vectorvorm. We beginnen met een schone lei en introduceren vergelijkingen in onbekenden: In[9]:= Clear "ë" ; v = * x + * y + z ç 9; v = * x + * y + z ç 4; v = x + * y + * z ç 6; Met het volgende commando maken we een matrix m en een vector b uit het gegeven stelsel vergelijkingen. Eerst laden we nog het nodige pakket: In[]:= << LinearAlgebra ; m, b = LinearEquationsToMatrices v, v, v, x, y, z Out[4]=,,,,,,,,, 9, 4, 6 Je kunt nu met m en b verder werken: In[5]:= MatrixForm m Out[5]//MatrixForm= In[6]:= MatrixForm b Out[6]//MatrixForm= We maken een vector w voor de onbekenden: In[7]:= w = x, y, z ; Het stelsel vergelijkingen is nu als volgt te schrijven met behulp van matrixvermenigvuldiging (punt!): In[8]:= m.w ç b Out[8]= x + y + z, x + y + z, x + y + z == 9, 4, 6 Je ziet hier drie vergelijkingen in n. Het is een vergelijking in vectorvorm. Het resultaat zou je zelf waarschijnlijk als volgt noteren: In[9]:= Map MatrixForm, % Out[9]= x + y + z x + y + z x + y + z == 9 4 6

14 Linalg.nb 4 We kunnen deze vergelijking in vectorvorm nog steeds oplossen. In[]:= Solve %%, x, y, z Out[]= x 7 þþþ 4, y 7 þþþ 4, z þþþ 4. Stelsel van lineaire vergelijkingen Veronderstel dat het volgende stelsel van vergelijkingen in x, y en z oplosbaar is. Bepaal a en de oplossingsverzameling hiervoor. x - 5 y + 7 z = 4 x - 6 y + 8 z = 5 x - 8 y + z = a 6 x - 9 y + z = 8 Å Lineaire afbeeldingen In[]:= Clear "ë" Mathematica is handig in het gebruik om rij- en kolom-operaties op matrices uit te voeren. Dus ook om lineaire afbeeldingen te bestuderen. Ter illustratie nemen we de lineaire afbeelding van 4 naar met de volgende matrix: In[]:= A =,,,,,,, -,, -, -, ; MatrixForm A Out[]//MatrixForm= Dit is het voorbeeld uit hoofdstuk, paragraaf 4 van het dictaat Lineaire algebra A, dat de dimensieformule voor lineaire afbeeldingen behandelt. We bepalen een basis voor de kern en het beeld van de afbeelding op een manier zoals beschreven in het dictaat. Er zijn twee verschillen: ) In Mathematica werekn we bij voorkeur met rijoperaties i.p.v. met kolomoperaties: we zullen dus steeds naar getransformeerde matrices kijken. ) We voegen de identiteitsmatrix niet aan de bovenkant van de gegeven matrix toe, maar aan de onderkant omdat de rijreductie in Mathematica alleen van boven naar beneden werkt en niet zoals in het dictaat op een deelmatrix slaat. Eerst voegen we aan deze matrix met het commando Join aan de onderkant een identieke matrix toe.

15 Linalg.nb 5 In[4]:= a = Join A, IdentityMatrix 4 ; MatrixForm a Out[4]//MatrixForm= We transponeren de matrix en gaan dan met rijen vegen: In[5]:= a = RowReduce Transpose a ; MatrixForm a Out[5]//MatrixForm= þþþ - þþþ 5 - þþþ 5 - þþþ þþþ - þþþ 4 - þþþ - þþþ We transponeren opnieuw. In[6]:= a = Transpose a ; MatrixForm a Out[6]//MatrixForm= - þþþ þþþ þþþ - þþþ 5 - þþþ 4 - þþþ 5 - þþþ - þþþ Wat we gedaan hebben kun je ook zien als kolom-operaties losgelaten op a. De eerste drie rijen vormen de kolom-gereduceerde matrix van A. Een basis van Im(A) is dus controle:, -. Ter In[7]:= Transpose RowReduce Transpose A Out[7]=,,,,,,,,, -,, In[8]:= MatrixForm % Out[8]//MatrixForm= - De kolommen van de onderste 4 4 submatrix vormen een basis van 4 en worden door de lineaire transformatie afgebeeld op de kolommen erboven. Dus is een basis van ker(a) gevonden: 5-4 -, 5 - -

16 Linalg.nb 6 of voor wie niet van breuken houdt: -5-4, -5 - We controleren dat deze vectoren inderdaad op worden afgebeeld: In[9]:= A.,, -5, -4 Out[9]=,,. In[4]:= A.,, -5, - Out[4]=,, 4. Lineaire afbeelding De lineaire afbeelding L : 4 is gedefinieerd door: L x x x x 4 = x + x - x x + x - x 4 x + x + x - x 4 (i) Bepaal bases van beeld en kern van L (ii) Wat is de matrix van L wanneer je kiest - - als basis in 4 :,,, en als basis in : - -, - - en

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Lineaire Algebra C 2WF09

Lineaire Algebra C 2WF09 Lineaire Algebra C 2WF09 College: Instructie: L. Habets HG 8.09, Tel. 4230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl H. Wilbrink HG 9.49, Tel. 2783, E-mail: h.a.wilbrink@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2wf09

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B

Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Korte handleiding Maple bij de cursus Meetkunde voor B Deze handleiding sluit aan op en is gedeeltelijk gelijk aan de handleidingen die gebruikt worden bij de cursussen Wiskunde 2 en 3 voor B. Er zijn

Nadere informatie

Module 10 Lineaire Algebra

Module 10 Lineaire Algebra L Vak 57.5 Les 36. Module Lineaire Algebra Afbeeldingen (vervolg (b)) In deze les worden de eigenwaarden en eigenvectoren van lineaire afbeeldingen behandeld. Inhoud van de leskern Basistransformatie *:;*

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie (WB033B) Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie (WB33B Bernd Souvignier voorjaar 24 Deel I Lineaire Algebra Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier

Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie. Bernd Souvignier Wiskunde voor kunstmatige intelligentie Bernd Souvignier voorjaar 2003 Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar

Nadere informatie

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):

Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Deel C Lineaire Algebra Aanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen): Seymour Lipschutz, Marc L. Lipson: (Schaum s Outline of Theory and Problems of) Linear Algebra. McGraw-Hill Companies,

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Beeldcompressie. VWO Masterclass 08. 21 oktober 2008

Beeldcompressie. VWO Masterclass 08. 21 oktober 2008 Beeldcompressie VWO Masterclass 08 21 oktober 2008 1 Voorbereiding In dit practicum doen we hetzelfde als in het hoorcollege (Fourier-transformatie op geluid), maar dan voor plaatjes. Jullie werken in

Nadere informatie

Voorbeeld theorie examen

Voorbeeld theorie examen Vooreeld theorie examen Het schriftelijk examen over de theorie en de oefeningen heeft plaats op 27 juni van 8u3 t/m 13u. 1 uur en 3 minuten zijn voorzien voor het theorie examen. De vragen zijn gericht

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec.

1. Lineaire Vergelijkingen in Lineaire Algebra 2. Matrix Algebra 3. Determinanten 4. Vectorruimten 5. Eigenwaarden en Eigenvec. LINEAIRE ALGEBRA Eric Jespers Vrije Universiteit Brussel Referentie: David C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Fourth edition, Pearson International Edition, 2012, ISBN: 9781408287859 verplicht

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden

Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak

Nadere informatie

Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben

Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model. Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben Mengen van scheikundige stoffen en het oplossen van scheikundige reacties, een wiskundig model Wiskens&co Yoeri Dijkstra en Loes Knoben oktober 9 Inleiding In dit rapport zal gekeken worden naar verschillende

Nadere informatie

Enkele voorbeelden volstaan. Zie verder de Help-file van Matlab.

Enkele voorbeelden volstaan. Zie verder de Help-file van Matlab. 1 Inleiding Bij Stochastische Operations Research (2DD21 + SOR-deel van 2DD18) wordt software gebruikt: routines en procedures uit het pakket Matlab en uit een toolbox met Matlab-m-files die hoort bij

Nadere informatie

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics

Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics Introductie Lineaire Algebra Voor Computer Graphics John Val th October Inleiding In deze cursus staat tekenen op het computerscherm en animaties van die tekeningen centraal. We willen bereiken dat je

Nadere informatie

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht

Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16. dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Vectorrekening voor Wiskundige Technieken I & II 2015-16 dr. S. A. Wepster Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Inhoudsopgave Voorwoord 2 1 Vectoren en scalairen 3 1.1 Notatie.....................................

Nadere informatie

Inhoudsopgave. I Theorie 1

Inhoudsopgave. I Theorie 1 Inhoudsopgave I Theorie 1 1 Verzamelingen 3 1.1 Inleiding........................................ 3 1.2 Bewerkingen met verzamelingen........................... 6 1.2.1 Vereniging (unie) van twee verzamelingen.................

Nadere informatie

Lineaire algebra. v + w. s x (v) s x (λv) = λs x (v) s x (w) s x (v + w) = s x (v) + s x (w) Paul Igodt & Wim Veys

Lineaire algebra. v + w. s x (v) s x (λv) = λs x (v) s x (w) s x (v + w) = s x (v) + s x (w) Paul Igodt & Wim Veys Lineaire algebra auteursrechtelijk beschermd materiaal y v + w w v λv Paul Igodt & Wim Veys s x (v) x s x (λv) = λs x (v) s x (w) s x (v + w) = s x (v) + s x (w) Voorwoord Met dit handboek kunnen studenten

Nadere informatie

b + b c + c d + d a + a

b + b c + c d + d a + a Voorwoord De wiskundige vorming die in de wiskundig sterke richtingen van het Vlaamse secundair onderwijs wordt aangeboden, vormt een zeer degelijke basis voor hogere studies in wetenschappelijke, technologische

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

1 Inleidende begrippen 5 1.1 Velden... 6 1.2 Veeltermen... 13 1.3 Matrices... 17 1.4 Stelsels van lineaire vergelijkingen... 22

1 Inleidende begrippen 5 1.1 Velden... 6 1.2 Veeltermen... 13 1.3 Matrices... 17 1.4 Stelsels van lineaire vergelijkingen... 22 Inhoudsopgave Inhoudsopgave iii 0 Inleiding: De vectorruimte R n 1 1 Inleidende begrippen 5 1.1 Velden............................... 6 1.2 Veeltermen............................ 13 1.3 Matrices..............................

Nadere informatie

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in

College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in

Nadere informatie

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassingen op matrices - Opgave Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

(alleen het startkapitaal brengt winst op) Samengestelde Na een periode van n jaar is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde:

(alleen het startkapitaal brengt winst op) Samengestelde Na een periode van n jaar is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde: Wiskunde Semester 2 Theorie Hoofdstuk 1 Getallenrijen Bewijzen: pag. 3 + 5 + 10 + 11 1.1 Getallenrijen Getallenrij Constante getallenrij Partieelsom Reekssom Een geordende (oneindige) verzameling van getallen.

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

3 - Babylonische Wiskunde (C-1)

3 - Babylonische Wiskunde (C-1) 3 - Babylonische Wiskunde (C-1) De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: C1 - Maak uit de hoofdstukken 0 t/m 6 van het Zebra-boekje Babylonische Wiskunde 15 van de 62 opgaven.

Nadere informatie

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter 1 van 1 Rekenen met de GRM De grafische rekenmachine (voortaan afgekort met GRM) ga je bij hoofdstuk 1 voornamelijk als gewone rekenmachine gebruiken. De onderste zes rijen toetsen zijn vergelijkbaar met

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen. Overzicht bestaande content. Deliverable 3.6. Hans Cuypers. ONBETWIST Deliverable 3. Overzicht bestaande content Deliverable 3.6 Hans Cuypers Inleiding Binnen het ONBETWIST project worden toetsen en items voor verschillende deelgebieden van de wiskunde gemaakt. In voorgaande projecten,

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Illustratie 2

Hoofdstuk 1. Illustratie 2 Hoofdstuk 1 Numerical Methods College 2 A. Floating-point representatie (Hoofdstuk 1) B. Matlab A.A.N. Ridder Twee belangrijke onderwerpen die moeten leiden tot een beter begrip van de numerieke problematiek:

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

Introductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps

Introductie in R. http://www.math.montana.edu/stat/tutorials/r-intro.pdf http://www.math.montana.edu/stat/docs/splus_notes.ps Introductie in R R is een programmeer taal met een groot aantal voorgeprogrammeerde statistische functies. Het is de open source versie van S-plus. Wij gebruiken R dan ook omdat het gratis is. Documentatie

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria

Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Onderwerpskeuzes Lineaire Algebra en kwaliteitscriteria Deliverable 3.5 J. Brandts, F. Beukers, H. Cuypers, H. de Graaf Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de lineaire algebra de

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Modulewijzer InfPbs00DT

Modulewijzer InfPbs00DT Modulewijzer InfPbs00DT W. Oele 0 juli 008 Inhoudsopgave Inleiding 3 Waarom wiskunde? 3. Efficiëntie van computerprogramma s............... 3. 3D-engines en vectoranalyse................... 3.3 Bewijsvoering

Nadere informatie

Meetkunde I [B-KUL-G0N31B]

Meetkunde I [B-KUL-G0N31B] KU Leuven Meetkunde I [B-KUL-G0N31B] Notities Tom Sydney Kerckhove Gestart 24 september 2014 Gecompileerd 18 januari 2016 Docent: Prof. Wendy Goemans Inhoudsopgave 1 Affiene meetkunde 4 1.1 Affiene ruimte.......................................

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept. Emiel van Elderen Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen voor studenten IO, concept Emiel van Elderen April 8, 28 Inleiding In dit document zullen we ons bezig houden met het systematisch oplossen van stelsels

Nadere informatie

5 FORMULES EN FUNCTIES

5 FORMULES EN FUNCTIES 72 5 FORMULES EN FUNCTIES Dit hoofdstuk behandelt één van de belangrijkste aspecten van spreadsheet programma s: het rekenen met formules en functies. 5.1 Formules invoeren Bij dit onderwerp gebruikt u

Nadere informatie

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban

Opgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra 2. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra 2 Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2012-2013 ii Syllabus in wording bij Lineaire Algebra 2 (2WF30 Inhoudsopgave 1 Lineaire afbeeldingen 1 11 Lineaire

Nadere informatie

Inleiding tot groepentheorie

Inleiding tot groepentheorie Hoofdstuk Inleiding tot groepentheorie 1 Basisdefinities Een algebraïsche structuur bestaat meestal uit een verzameling waarop één of meerdere bewerkingen gedefinieerd zijn. Definitie Een inwendige bewerking

Nadere informatie

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C

WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie

Nadere informatie

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel.

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel. Excel Inleiding Het woord computer betekent zoiets als rekenmachine. Daarmee is is eigenlijk aangegeven wat een computer doet. Het is een ingewikkelde rekenmachine. Zelf voor tekstverwerken moet hij rekenen.

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie