De inverse van een matrix

Transcriptie

1 De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties [ C n I n ] waarmee de matrixvergelijking C X = I n is opgelost met oplossing X = A. Er geldt dus: A C = I n C A = I n September 28,

2 De inverse van een matrix Conclusie Laat A een n n matrix zijn. Als er een matrix C bestaat zodat A C = I n dan geldt ook C A = I n. September 28,

3 De inverse van een matrix Eigenschappen Laten A enb inverteerbare n n matrices zijn en c 0 een scalar. dan geldt: a. A 1 is een inverteerbare matrix en (A 1 ) 1 = A b. c A is een inverteerbare matrix en(c A) 1 = 1 c A 1 c. A B is een inverteerbare matrix en (AB) 1 = B 1 A 1 September 28,

4 De inverse van een matrix Gevolg c. Als A 1, A 2,, A k inverteerbare n n matrices zijn dan is A 1 A 2 A k een inverteerbare matrix en (A 1, A 2 A k ) 1 = A 1 k A 1 2 A 1 1. Als A inverteerbare matrix is dan is A k een inverteerbare matrix en (A k ) 1 = (A 1 ) k. Notatie (A k ) 1 wordt genoteerd als A k. September 28,

5 De inverse van een matrix Definitie Een elementaire matrix is een matrix die bij voorvermenigvuldiging precies één rijoperatie uitvoert. September 28,

6 De inverse van een matrix Voorbeeld Veronderstel dat we in een n r matrix A rij k met een factor α (α 0) willen vermenigvuldigen. Laat E de n n matrix zijn met: 1 als i = j i k e i,j = α als (i, j) = (k, k) 0 anders en B = EA dan B = A 1 A n. αa k. (1 i, j n) September 28,

7 De inverse van een matrix Voorbeeld Veronderstel dat we in een n r matrix A de rijen k en l willen verwisselen. Laat E de n n matrix zijn met: 1 als (i, j) = (k, l) 1 als (i, j) = (l, k) e i,j = 1 als i = j i k en l 0 anders en B = EA dan (1 i, j n) September 28,

8 De inverse van een matrix Voorbeeld, vervolg B = A 1. A l. A k. l de rij k de rij A n September 28,

9 De inverse van een matrix Voorbeeld Veronderstel dat we in een n r matrix A α maal rij k bij rij l willen optellen. Laat E de n n matrix zijn met: 1 als i = j e i,j = α als (i, j) = (l, k) (1 i, j n) 0 anders A 1. en B = EA dan B = A l + αa k. A n September 28,

10 De inverse van een matrix Stelling Een elementaire matrix is inverteerbaar en de inverse is een matrix van dezelfde vorm. Laat E een elementaire n n matrix zijn en A een n r matrix. We bekijken in het volgende steeds E A. Verwisselt E twee rijen van A dan E 1 = E. September 28,

11 De inverse van een matrix Stelling Een elementaire matrix is inverteerbaar en de inverse is een matrix van dezelfde vorm. Laat E een elementaire n n matrix zijn en A een n r matrix. We bekijken in het volgende steeds E A. Verwisselt E twee rijen van A dan E 1 = E. Vermenigvuldigt E een rij van A met α (α 0) en F is dezelfde matrix als E waarbij α wordt vervangen door α 1 dan E 1 = F. Telt E, α maal een rij van A bij een andere rij op en F is dezelfde matrix als E waarbij α wordt vervangen door α dan E 1 = F. September 28,

12 De Fundamentele stelling over inverteerbare matrices Stelling Laat A een n n matrix zijn. Dan zijn de volgende beweringen equivalent. a. A is inverteerbaar. b. De matrixvergelijking A x = b heeft precies één oplossing voor elke b R n. c. De matrixvergelijking A x = 0 heeft alleen de triviale oplossing. d. De gereduceerde echelonvorm van A is I n. e. A is het product van elementaire matrices. September 28,

13 De Fundamentele stelling over inverteerbare matrices Stelling, vervolg f. rank(a) = n. g. dim(null(a)) = 0. h. De kolomvectoren van A zijn lineair onafhankelijk. i. De kolomvectoren van A spannen R n op. j. De kolomvectoren van A vormen een basis voor R n. k. De rijvectoren van A zijn lineair onafhankelijk. l. De rijvectoren van A spannen R n op. m. De rijvectoren van A vormen een basis voor R n. September 28,

14 Determinanten De determinant van een n n matrix is een getal dat ongelijk is aan 0 als de matrix inverteerbaar is en gelijk aan 0 als dit niet het geval is. Opmerking Op zich is het een bijzonder verschijnsel dat één getal bepaald of een n n matrix inverteerbaar is. Voorbeeld [ a b Als A = c d ] a, b, c, d scalairen dan is A alleen inverteerbaar als ad bc 0. De determinant van A wordt gedefinieerd door ad bc. October 1,

15 Determinanten Notatie det(a) of A Definitie Laat A = Dan a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det(a) = a 11 a 22 a 23 a 32 a 33.. a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 October 1,

16 Determinanten Definitie Als A een n n matrix dan heet de matrix die wordt verkregen door de i-de rij en j-de kolom (1 i, j n) van A te schrappen, de minor van a ij. Notatie A ij Dit heeft gevolg dat nu voor de determinant van een 3 3 matrix geschreven kan worden: det(a) = a 11 det(a 11 ) a 12 det(a 12 ) + a 13 det(a 13 ) 3 = ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ). j=1 October 1,

17 Determinanten Definitie Laat A een n n matrix zijn met n 2. Dan is de determinant van A gelijk aan: det(a) = a 11 det(a 11 ) a 12 det(a 12 ) + + ( 1) n a 1n det(a 1n ) n = ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ). j=1 October 1,

18 Determinanten Definitie Als A een n n matrix is dan heet C ij = ( 1) i+j det(a ij ) de (i, j) cofactor van A. Met deze definitie kan det(a) dus geschreven worden als: det(a) = a 11 C 11 + a 12 C a 1n C 1n n = a 1j C 1j. j=1 October 1,

19 Determinanten De cofactorstelling Laat A een n n matrix zijn met n 2. Dan kan det(a) op de volgende tee manieren worden berekend. det(a) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in n en = a ij C ij. det(a) Gevolg j=1 = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj n. = a ij C ij. i=1 Als A een n n matrix is dan det(a T ) = det(a). October 1,

20 Determinanten Definitie Een n n matrix A heet een bovendriehoeksmatrix als a ij = 0 voor 1 j < i n en een onderdriehoeksmatrix als a ij = 0 voor 1 i < j n. Stelling De determinant van een onder-of bovendriehoeksmatrix is het product van de elementen op de hoofddiagonaal. Als A een n n matrix is dan det(a) = a 11 a 22 a nn. October 1,

21 Determinanten Stelling Laat A een n n matrices zijn. Dan geldt: a. Als A een nulrij heeft dan det(a) = 0. b. Als de matrix B wordt verkregen door twee rijen van A te verwisselen dan det(b) = det(a). c. Als A twee gelijke rijen heeft dan det(a) = 0. d. Als de matrix B wordt verkregen door een rij van A met een factor k te vermenigvuldigen dan det(b) = k det(a). e. Als B en C de matrices zijn zodat C j = B j = A j (1 j n, j i) en C i = A i + B i dan det(c) = det(a) + det(b). October 1,

22 Determinanten Stelling, vervolg Laat A een n n matrices zijn. Dan geldt: f. Als de matrix B wordt verkregen door een veelvoud van één rij bij een andere rij op te tellen dan det(b) = det(a). Opmerking Als in deze stelling rijen door kolommen worden vervangen dan blijft zij geldig. Dit is een gevolg van het feit dat det(a T ) = det(a). October 1,

23 Determinanten Stelling Laat E een elementaire matrix zijn. a. Als E twee rijen van I n verwisselt dan det(e) = 1. b. Als E een rij van I n met een factor k vermenigvuldigt dan det(e) = k. c. Als E een veelvoud van één rij van I n bij een andere rij optelt dat det(e) = 1. Stelling Als A een n n matrix is en E is een n n elementaire matrix dan det(e A) = det(e) det(a). October 1,

24 Determinanten Gevolg Als E 1, E 2,, E k elementaire n n matrices zijn dan det(e 1 E 2 E k ) = det(e 1 ) det(e 2 ) det(e k ). Stelling Een n n matrix A is inverteerbaar dan en slechts dan als det(a) 0. Stelling Als A een n n matrix is dan det(k A) = k n det(a). Stelling Als A en B n n matrices zijn dan det(a B) = det(a) det(b). October 1,

25 Determinanten Stelling Als A een inverteerbare n n matrix is dan det(a 1 1 ) = det(a). October 1,