1 De permanent van een matrix
|
|
- Rosa Groen
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De permanent van een matrix Schrijf S n voor de symmetrische groep, met als elementen alle permutaties σ van de getallen {,..., n}. De permanent van een n n matrix A = (a ij ) is een getal dat formeel als volgt is gedefinieerd, per(a) = σ S n a σ() a 2σ(2)... a nσ(n). () Deze sommatie gaat dus over producten van entries uit de rijen tot en met n, waarbij de kolommen waaruit deze entries worden genomen telkens een andere permutatie van de getallen tot en met n vormen. Zo is per(a) = a a 22 + a 2 a 2 voor 2 2 matrices A, en per(a) = a a 22 a 33 + a a 23 a 32 + a 2 a 2 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 + a 3 a 22 a 3 (2) voor 3 3 matrices A. Wat dat betreft lijkt de permanent dus sterk op de determinant: het zijn beide voorbeelden van Schurfuncties. Dat zijn de matrixfuncties van de vorm σ S n f(σ)a σ() a 2σ(2)... a nσ(n), (3) waarbij f : S n C een groepshomomorfisme is. Dit homomorfisme is voor de permanent het triviale homomorfisme σ en voor de determinant is het σ sign(σ). De permanent werd geïntroduceerd door Augustin-Louis Cauchy, alhoewel het concept pas na de formulering van het Vermoeden van Van der Waerden echt uitvoerig werd bestudeerd. Augustin-Louis Cauchy ( ), Bartel Leendert van der Waerden ( ), Herbert John Ryser ( ), en Henryk Minc (99-203) Eén van de ontwikkelingen was het algoritme van Ryser, tot op heden één van de snelste manieren om de permanent van een matrix te berekenen. Het naslagwerk Permanents van Henryk Minc is een beroemd boek dat vrijwel uitsluitend over de permanent gaat.. Enkele voorbeelden van toepassingen van de permanent Schrijf e = e e n voor de all-ones vector, dan is eenvoudig na te gaan dat per(ee ) = n! (4) Immers, ieder van de producten in de som () is gelijk aan één en dus telt de som op tot het aantal elementen van S n. Ook is in te zien dat per(ee I) gelijk is aan het aantal derangementen van,..., n, oftewel, de permutaties σ S n met de eigenschap dat σ(j) j
2 voor alle j {,..., n}. Een permutatie σ waarvoor σ(j) = j zal namelijk een bijdrage nul geven aan de som omdat a jσ(j) = 0, terwijl de overige permutaties allemaal een bijdrage één geven. Het aantal derangementen van n noteren we met!n en er geldt dat!n = per(ee I) = [ n! e, (5) met [x de integer het dichtst bij x. Voor bovenstaande breuk is die altijd goed gedefinieerd. Daar waar de determinant laat zien wanneer een matrix inverteerbaar is, laat de permanent iets zien over het patroon van in de matrix aanwezige nullen. Stelling (Frobenius-König) De permanent van een niet-negatieve n n matrix A is nul als en alleen als er indexverzamelingen {i,..., i k } en {j,..., j l } bestaan met k + l = n + en a ij = 0 voor alle i {i,..., i k } en j {j,..., j l }. (6) Bewijs. Zie bijvoorbeeld het boek Permanents van Henryk Minc. De intuïtie is, dat als A zoveel nullen heeft, iedere diagonaal wel een nul moet bevatten. Dus is ieder diagonaalproduct nul, en zo ook hun som, de permanent. Voorbeeld: Van de volgende 3 3 matrix met een 2 2 blok met nullen, A = (7) is de permanent per(a) = 0 omdat ieder van de termen uit (2) een nul bevat..2 Ontwikkeling van de permanent naar rijen of kolommen Net als de determinant kan de permanent berekend worden middels ontwikkeling naar een rij of een kolom. Zonder bewijs geven we hier een voorbeeld. Laat 0 4 A = 2 (8) 3 2 dan geldt dat per(a) = per [ 2 maar bijvoorbeeld ook dat [ per(a) = per 2 [ per 3 [ per 2 [ per 3 2 [ per = = 3, (9) = = 3. (0) Zowel de determinant als de permanent zijn te berekenen middels volledige ontwikkeling naar rijen en kolommen, dus tot de determinant of permanent van matrices wordt geëvalueerd. Dit zijn er echter n!, en dus voor grotere n is deze manier af te raden. Een aanzienlijke verbetering bij de berekening van de determinant volgde uit het feit dat elementaire rij-operaties de determinant van een matrix op een goed begrepen manier veranderen. Dus de te volgen strategie om een determinant uit te rekenen is om middels rij-operaties de matrix op echelonvorm te brengen, waarna de determinant eenvoudig bepaald van worden. 2
3 .3 Een miljoen dollar voor permanentberekening in polynomiale tijd Net als voor de determinant geldt dat de permanent lineair is in ieder van de rijen en kolommen. In tegenstelling tot de determinant blijft de permanent onveranderd als je twee rijen of kolommen met elkaar verwisselt. In het bijzonder vertelt de permanent je niets over het al dan niet inverteerbaar zijn van een matrix, immers, per [ [ = 2 en per = 0, () terwijl de linkermatrix niet inverteerbaar is en de rechtermatrix wel. De elementaire rijoperatie die ten grondslag ligt aan het eenvoudig kunnen bepalen van de determinant middels rij-operaties is, dat als je een veelvoud van een rij van de matrix optelt bij een andere rij, de determinant niet verandert. Voor de permanent is dit in het geheel niet het geval. Zie [ [ [ (2) en merk op hoe de permanent bij de eerste elementaire rijoperatie met een factor 3/2 toeneemt (en dus nul blijft) maar in de tweede stap ineens gelijk wordt aan 36. Uitdaging. Het is onbekend wat de snelste manier is om de permanent van een matrix uit te rekenen. Als je er in slaagt om een manier te vinden die polynomiaal is in n dan heb je een probleem opgelost dat het beroemde P=NP probleem uit de zeven Millenium Prize Problems impliceert, waarvan de oplossing een miljoen dollar waard is. Met polynomiaal in n bedoelen we grofweg dat het aantal rekenkundige operaties zoals optellingen en vermenigvuldigingen dat nodig is om een uitkomst te berekenen begrensd wordt door een polynoom in n. Voor de determinant is dit een derdegraadspolynoom in n..4 Het algoritme van Ryser: illustratie In 963 vond Herbert William Ryser een methode om de complexiteit van de berekening van de permanent terug te brengen van O(n!) voor de naieve methode tot O(2 n n). We illustreren het idee achter deze methode voor n = 3. Bekijk als voorbeeld de matrix Met (2) vinden we dat (3) per(a) = = 450. (4) Deze zes producten vormen een bepaalde deelverzameling van de in totaal 27 producten van de entries van de matrix die je krijgt als je de haakjes wegwerkt in het product P (A) van de rijsommen van A, gedefinieerd als P (A) = ( )( )( ). Deze 27 producten zijn
4 Ryser bedacht een manier om de ongewenste 2 producten hier op efficiënte wijze uit te verwijderen. Deze niet helemaal triviale manier is, er eerst 24 uit te verwijderen, en de drie die er teveel uit zijn verwijderd, daarna toch weer aan toe te voegen. Hoe deed hij dit? Schrijf A j voor de 3 2 matrix die uit A ontstaat door de j-de kolom te verwijderen, A = 5 6, A 2 = 4 6, A 3 = Voor iedere j {, 2, 3} bestaat het product P (A j ) van de rijsommen van A j uit acht termen, P (A ) = (2+3)(5+6)(8+9) = , P (A 2 ) = (+3)(4+6)(7+9) = , P (A 2 ) = (+2)(4+5)(7+8) = Merk op dat ieder van deze 24 producten bestaat uit drie getallen die uit twee van de drie kolommen van A komen, en dus geen deel uitmaken van de zes termen van per(a) in (2), waarvan de drie getallen immers uit verschillende kolommen van A komen. Merk vervolgens op dat drie van de bovenstaande 24 producten twee keer voorkomen, namelijk, precies de producten van drie getallen uit dezelfde kolom. Dit leidt tot de conclusie dat per(a) = P (A) (P (A ) + P (A 2 ) + P (A 3 )) + P (A,2 ) + P (A 2,3 ) + P (A,3 ), (5) waarbij A i,j de matrix is die je krijgt door kolommen i en j uit A te verwijderen. Voor de gegeven matrix A vinden we daarom dat per(a) = 260 ( ) = 450. Dit komt dus precies overeen met de middels de definitie gevonden waarde in (4)..5 Het algoritme van Ryser in iets meer abstractie In het voorgaande bekeken we voor een 3 3 matrix A het product van de rijsommen P (A) = (a + a 2 + a 3 )(a 2 + a 22 + a 23 )(a 3 + a 32 + a 33 ). (6) Als we de dit product uitvermenigvuldigen, ontstaat er een som van 27 producten van drie getallen, die de eigenschap hebben dat ze uit drie verschillende rijen van A komen. Dus, P (A) = a f() a 2f(2) a 3f(3) (7) f:{,2,3} {,2,3} waarbij gesommeerd wordt over de verzameling S van alle 27 verschillende functies van {, 2, 3} naar zichzelf. De permanent van A is precies gelijk aan de som over de deelverzameling S van bijectieve functies van {, 2, 3} naar zichzelf. Deze bijectieve functies zijn natuurlijk precies de permutaties van {, 2, 3}. De methode van Ryser is nu gebaseerd op de volgende observatie. Laat S j de verzameling zijn van functies van {, 2, 3} naar {, 2, 3} \ {j}. Dan behoort iedere niet-bijectieve f S 4
5 tot één of meerdere van de verzamelingen S, S 2, S 3. En dus kan de som over S geschreven worden als = + + +, (8) S S S S 2 S 3 S S 2 S 2 S 3 S S 3 S S 2 S 3 waarbij aangetekend dient te worden dat de doorsnede S S 2 S 3 in dit geval leeg is. Opmerking. Formule (8) heet het principe van inclusie en exclusie, en kan worden gegeneraliseerd naar n n matrices, met hierbij horende matrices die ontstaan door uit A één, twee, tot en met n kolommen weg te laten. We bekijken dit in de volgende sectie..6 De formule van Ryser (963) Schrijf [n = {,..., n}. Het product P (A) van de rijsommen van A bestaat uit de n n producten van n entries van A, waarbij ieder van deze n entries afkomstig zijn uit de n verschillende rijen van A. Met andere woorden, (a a n )... (a n a nn ) = P (A) = a f() a 2f(2)... a nf(n) (9) f:[n [n waarbij gesommeerd wordt over alle mogelijke n n functies f : [n [n. Hiervan willen we de n! producten overhouden waarvan de n getallen die het product vormen, uit verschillende kolommen van A afkomstig zijn: oftewel, sommeren over alle bijectieve functies f : [n [n. De algemene formule van Ryser laat zich als volgt opschrijven. Schrijf Σ j (A) voor de verzameling van alle n (n k) matrices die ontstaan door op alle mogelijke verschillende manieren k kolommen uit A te verwijderen. Dan is dus Laat vervolgens Σ 0 (A) = {A}, Σ (A) = {A,..., A n }, en Σ n (A) = {Ae,..., Ae n }. (20) S k = X Σ k (A) P (X), (2) waarbij P (X) staat voor het product van de rijsommen van X. Dan geldt dat per(a) = S 0 S + S 2 S ( ) n S n. (22) Merk op dat S 0 = P (A) en S = P (A ) + + P (A n ) en S n = P (Ae ) + + P (Ae n ) en dat we voor n = 3 hiermee inderdaad de eerder gegeven formule (5) terugvinden..7 De formule van Glynn (200) In 200 ontwikkelde David G. Glynn van de Flinders University of South Australia in Adelaide een familie van alternatieve formules om de permanent van een n n matrix A = (a ij ) te berekenen in zijn artikel The permanent of a square matrix, European Journal of Combinatorics 3(7): De eenvoudigste van deze formules is de volgende: per(a) = 2 n n n n a ij v j. (23) v B n v j i= 5
6 Hierbij loopt de eerste som over de verzameling B n = {v = (v,..., v n ) {, } n v = }, (24) die dus uit 2 n vectoren bestaat. We zullen deze formule hier niet bewijzen..8 Dubbelstochastische matrices Een dubbelstochastische matrix S is een niet-negatieve matrix met de eigenschap dat zowel de rijen als de kolommen optellen tot één, oftewel, S 0, Se = e, en e S = e. (25) De eenvoudigste voorbeelden van dubbelstochastische n n matrices zijn de n! permutatiematrices. Dit zijn precies de matrices M,..., M n! met n enen en n 2 n nullen, waarbij in iedere rij en iedere kolom precies één staat. Voor n = 3 zijn het bijvoorbeeld M = M 4 =, M 2 =, M 5 =, M 3 =, M 6 = Het is niet moeilijk na te gaan dat de matrix M gedefinieerd door M = µ j M j, waarbij µ j 0 en,. (26) µ j = (27) ook dubbelstochastisch is. Het is immers duidelijk dat M 0, en bovendien geldt dat Me = µ j M j e = µ j e = e en e M = e µ j M j = µ j e M j = µ j e = e. De omgekeerde implicatie is een redelijk pittige stelling. Stelling (Birkhof-Von Neumann) Zij M een dubbelstochastische n n matrix. bestaan er µ,..., µ n! 0 met µ µ n! = zodanig dat Dan M = µ j M j. (28) Oftewel, iedere dubbelstochastische matrix is een convexe combinatie van permutatiematrices. Garrett Birkhoff (9-996) and John von Neumann ( ) 6
7 De convexe deelverzameling in de vectorruimte van n n matrices bestaande uit alle dubbelstochastische matrices wordt ook wel het Birkhoff-polytoop genoemd. Om de stelling van Birkhoff-Von Neumann te bewijzen is het volgende resultaat erg nuttig. Lemma. Zij M R n n dubbelstochastisch. Dan is per(m) > 0. Bewijs. Veronderstel dat per(m) = 0. Volgens de stelling van Frobenius-König bestaan er dan verzamelingen {i,..., i k } en {j,..., j l } met k + l = n + en m ij = 0 voor alle i {i,..., i k } en j {j,..., j l }. (29) Na toepassen van geschikte permutaties van de rijen en kolommen van M ontstaat dan een matrix van de vorm [ A B Π MΠ 2 = 0 D waarbij de nulmatrix afmetingen k l heeft. Omdat k + l = n + is zijn de matrices A en D geen van beide vierkant. Hieruit volgt dat D meer rijen dan kolommen heeft. Deze rijen tellen echter alle op tot. Dus is er een kolom van D die optelt tot meer dan, en omdat M 0 zo ook de corresponderende kolom van M, wat in tegenspraak is met het feit dat M dubbelstochastisch is. Gevolg: Als M dubbelstochastisch is, heeft M een positieve diagonaal. Bewijs. Omdat per(m) de som is van de diagonaalproducten, en M niet-negatief is met per(m) > 0, is tenminste één van de diagonaalproducten positief. Bewijsschets: Een schets van het bewijs van de Stelling van Birkhoff-Von Neumann is nu als volgt. Laat M dubbelstochastisch zijn. Omdat M een positieve diagonaal heeft bestaat er een permutatiematrix Π zo, dat de entries van M positief zijn daar waar Π entries gelijk aan heeft. Laat µ het minimum zijn van deze positieve entries van M. Dan geldt dat het aantal nullen van de matrix M = M µ Π 0 tenminste één groter is dan het aantal nullen van M. Daarnaast is de matrix ( µ ) M dubbelstochastisch, en heeft dus een positieve diagonaal. Het proces kan nu worden herhaald, totdat wat overblijft een positief veelvoud van een permutatiematrix is. Dit geeft duidelijk de gewenste decompositie als convexe combinatie van permutatiematrices. De volgende stelling was gedurende ruim een halve eeuw een open probleem, dat de concepten van permanent en dubbelstochastische matrix onlosmakelijk met elkaar heeft verbonden. Stelling. Laat M de n n dubbelstochastische matrix zijn waarvan alle entries gelijk zijn aan n. Dan geldt per(m ) < per(m) (30) voor alle overige dubbelstochastische matrices M. Opmerking: De stelling maakte faam als het vermoeden van Van der Waerden, geformuleerd in 926. De zoektocht naar een bewijs resulteerde in een ware opleving in de bestudering van de permanent. Een bewijs werd uiteindelijk in 980 gevonden door B. Gyires, en onafhankelijk daarvan in 98 door G. P. Egorychev and D. I. Falikman. 7
Permanenten. Hanneke van der Beek. 19 november Bachelorscriptie. Begeleiding: Dr. J.H. Brandts
Permanenten Hanneke van der Beek 19 november 2014 Bachelorscriptie Begeleiding: Dr. J.H. Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatie3 De duale vectorruimte
3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire
Nadere informatie4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieDeterminanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Nadere informatie4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.
3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatie2 De Jordannormaalvorm van een lineaire transformatie
2 De Jordannormaalvorm van een lineaire transformatie We zagen dat iedere lineaire transformatie L : V V van een vectorruimte (V, K) over een algebraïsch afgesloten lichaam K op bovendriehoeksvorm kan
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieJordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Nadere informatieLights Out. 1 Inleiding
Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatie2 De Jordannormaalvorm voor lineaire transformaties
2 De Jordannormaalvorm voor lineaire transformaties We zagen dat iedere lineaire transformatie L : V V van een vectorruimte (V, K) over een algebraïsch afgesloten lichaam K op bovendriehoeksvorm kan worden
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieBilineaire Vormen. Hoofdstuk 9
Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieDe partitieformule van Euler
De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieHoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatieCombinatoriek groep 1 & 2: Recursie
Combinatoriek groep 1 & : Recursie Trainingsweek juni 008 Inleiding Bij een recursieve definitie van een rij wordt elke volgende term berekend uit de vorige. Een voorbeeld van zo n recursieve definitie
Nadere informatieLineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieEnkele valkuilen om te vermijden
Enkele valkuilen om te vermijden Dit document is bedoeld om per onderwerp enkele nuttige strategieën voor opgaven te geven. Ook wordt er op een aantal veelgemaakte fouten gewezen. Het is géén volledige
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieSudoku s en Wiskunde
Non impeditus ab ulla scientia Sudoku s en Wiskunde K. P. Hart 3 februari, 2006 Programma Tellen Makkelijk, medium, moeilijk Hoeveel zaadjes? Een miljoen dollar verdienen? Puzzels Tellen Vooralsnog onbegonnen
Nadere informatie3. Structuren in de taal
3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we
Nadere informatieLineaire vergelijkingen II: Pivotering
1/25 Lineaire vergelijkingen II: Pivotering VU Numeriek Programmeren 2.5 Charles Bos Vrije Universiteit Amsterdam c.s.bos@vu.nl, 1A40 15 april 2013 2/25 Overzicht Pivotering: Methodes Norm en conditionering
Nadere informatieCombinatoriek groep 2
Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatie1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12
Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatie4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]
4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLinalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!
Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieAntwoorden. Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8
Antwoorden Magische vierkanten Vierkant voor Wiskunde Doeboek 8 1 6 1 8 7 5 3 2 9 4 2 De getallen 1 tot en met 9. 3 15. 15 en 15. De som van de getallen van elke rij is 15. 4 15. De som van de getallen
Nadere informatieInwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n
Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T
Nadere informatieDiscrete Wiskunde, College 7. Han Hoogeveen, Utrecht University
Discrete Wiskunde, College 7 Han Hoogeveen, Utrecht University Sommatiefactor methode (niet in boek) Doel: oplossen van RBs als Basisidee: f n a n = g n a n 1 + c n ; 1 Vermenigvuldig de RB met een factor
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieTweede college complexiteit. 12 februari Wiskundige achtergrond
College 2 Tweede college complexiteit 12 februari 2019 Wiskundige achtergrond 1 Agenda vanmiddag Floor, Ceiling Rekenregels logaritmen Tellen Formele definitie O, Ω, Θ met voorbeelden Stellingen over faculteiten
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieCombinatoriek groep 1
Combinatoriek groep 1 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Getallenrijen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een directe formule geeft a n in
Nadere informatieCTB1002 deel 1 - Lineaire algebra 1
CTB100 deel 1 - Lineaire algebra 1 College 5 5 februari 014 1 Opbouw college Vandaag behandelen we hoofdstuk 1.7 en deel van 1.8 Voor de pauze: hoofdstuk 1.7 Na de pauze: hoofdstuk 1.8 Verschillende notaties
Nadere informatieFLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j
FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Nadere informatieElementaire rekenvaardigheden
Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.
Nadere informatieOpgaven Matlab - Week 2, sessie 2: De Singulierewaardendecompositie
Opgaven Matla - Week 2, sessie 2: De Singulierewaardendecompositie Laat A R n k. Dan etaan er unitaire matrices V R k k en U R n n zodanig, dat AV = UΣ, (1) waarij Σ R n k een niet-negatieve diagonaalmatrix
Nadere informatieProjectieve Vlakken en Codes
Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatieLineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieNetwerkstroming. Algoritmiek
Netwerkstroming Vandaag Netwerkstroming: definitie en toepassing Het rest-netwerk Verbeterende paden Ford-Fulkerson algoritme Minimum Snede Maximum Stroming Stelling Variant: Edmonds-Karp Toepassing: koppelingen
Nadere informatieToepassingen op differentievergelijkingen
Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij
Nadere informatie1 Rekenen met gehele getallen
1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatie