Inleiding in de lineaire algebra

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Inleiding in de lineaire algebra"

Transcriptie

1 Inleiding in de lineaire algebra (SV.9) W.Oele P.J. den Brok 6 maart 4

2 Inleiding De cursus lineaire algebra bestaat uit een aantal colleges in de matrix- en de vectorrekening. De colleges over en de oefenopdrachten uit de matrixrekening zijn bedoeld als voorbereiding voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen die bijvoorbeeld optreden bij optimalisatieproblemen. De vectorrekening is vooral bedoeld als voorbereiding op het vak computer graphics. Een optimalisatieprobleem met vectoren. Aan de student wordt uitdrukkelijk het advies gegeven tijdens het bestuderen van de stof wekelijks de opgaven te maken van de behandelde stof. De ervaring leert, dat de volgende hoofdstukken alleen begrepen worden als de vorige hoofdstukken geoefend zijn. Studenten die te laat beginnen met oefenen bouwen al snel een moeilijk te overbruggen achterstand op. W. Oele en P.J. den Brok (Rotterdam, februari 4)

3 Inhoudsopgave Matrix- en vectorrekening 5. Elementaire bewerkingen Optellen en aftrekken Het product van een scalair en een matrix Nulmatrices, nulvectoren, negatieve matrices en rekenregels Het inproduct van twee vectoren Het vectorproduct Het matrixproduct Het transponeren van een matrix De symmetrische matrix De identiteitsmatrix Opgaven Stelsels van lineaire vergelijkingen 6. Het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen Lineaire stelsels van het type Ax = c De coëfficiëntenmatrix De toegevoegde matrix Een matrix in echelonvorm De rijcanonieke matrix De veegmethodes De veegmethode van Gauss Het oplossen van een lineair stelsel uit de echelonvorm De veegmethode van Gauss/Jordan

4 ..4 Overzicht van de veegmethodes De oplosbaarheid Het lineair onafhankelijke stelsel Het lineair tegenstrijdige stelsel Het lineair afhankelijke stelsel Overzicht oplosbaarheid De inverse matrix Lineaire stelsels oplossen met de inverse matrix De determinant: eigenschappen en gebruik De determinant van een matrix De determinant van strijdige D-vergelijkingen De determinant van afhankelijke D-vergelijkingen De determinant van oplosbare D-vergelijkingen De determinant van een matrix De determinant recursief berekenen De regel van Cramer Bijzondere lineaire stelsels Lineaire stelsels van het type Ax = o Lineaire stelsels van het type Ax = λx Opgaven Vectormeetkunde 5. De vectorruimte De affiene ruimte De affiene D-ruimte Lijnen in de affiene D-ruimte De affiene D-ruimte Een lijn in de affiene D-ruimte Een vlak in de affiene D ruimte De Euclidische ruimte Het inproduct v w in de Euclidische ruimte Het uitproduct v w in de Euclidische D-ruimte

5 .. De normaalvergelijking van een vlak De normaalvergelijking van een lijn Het tripleproduct u (v w) in de Euclidische D-ruimte Opgaven Transformaties Affiene transformaties Translatie van een punt Rotatie om de oorsprong Schaalverandering Shearing Het toepassen van affiene transformaties Homogene coördinaten Transformaties van homogene coördinaten Samengestelde homogene transformaties Homogene D en D transformaties Opgaven A Hoeken, cirkels en goniometrie 9 B Enkele veel voorkomende waarden in de goniometrie 95 C Afleiding van de regel van Cramer voor twee onbekenden 96 D Het Euclidische in- en uitproduct 97 E Algemene richtlijnen voor het practicum 4

6 Hoofdstuk Matrix- en vectorrekening Een matrix is een schema van elementen in rijen en kolommen. De rijen leest men horizontaal, de kolommen verticaal. Het aantal rijen en kolommen van een matrix wordt de afmeting van een matrix genoemd. In volgende voorbeeld zien we een matrix met de afmeting 4 bestaande uit rijen en 4 kolommen: Een rijvector met n elementen is vergelijkbaar met een n matrix. Een kolomvector met m elementen is vergelijkbaar met een m matrix. Een n m matrix is te beschouwen als één kolom van n rijvectoren met m elementen of één rij van m kolomvectoren met n elementen. De elementen van een matrix of vector zijn meestal scalair van aard. Scalairen zijn gewone constanten, variabelen of functies met een reële waarde, aangegeven met normale letters en cijfers. Anders dan scalairen worden matrices met vetgedrukte hoofdletters en vectoren met vetgedrukte kleine letters genoteerd: k =. r = (... ) A = Wanneer we een specifiek element in de e rij en e kolom van de matrix A bedoelen, dan geven we dat aan als a,. De matrix A uit het vorige voorbeeld heeft bijvoorbeeld de elementen a, = en a, = 4. Als r n en k m dan is het element a r,k zonder meer te adresseren in een n m matrix: a, a, a,... a,m a, a, a,... a,m A = a n, a n, a n,... a n,m 5

7 Een vierkante matrix is een matrix, waarvan het aantal rijen gelijk is aan het aantal kolommen ( ) ( 5 ) De hoofddiagonaal van een matrix is een denkbeeldige lijn die begint bij element, en schuin naar beneden loopt. In de volgende matrices loopt de hoofddiagonaal langs de elementen met de waarde : ( 7 Alleen een vierkante matrix wordt door de hoofddiagonaal in een gelijkvormige linker benedenhelft en een rechter bovenhelft gesplitst. In de volgende vierkante matrix wordt de hoofddiagonaal gevormd door de elementen, 5, -4 en : x ). Elementaire bewerkingen.. Optellen en aftrekken Twee matrices kunnen bij elkaar worden opgeteld en van elkaar worden afgetrokken als zij dezelfde afmetingen hebben. Dit betekent dat het aantal rijen van de ene matrix gelijk moet zijn aan het aantal rijen van de andere. Voor de kolommen geldt hetzelfde. Een n m matrix mag dus alleen worden opgeteld bij een andere n m matrix. Voorbeeld =

8 .. Het product van een scalair en een matrix Het product van een scalair en een matrix is de vermenigvuldiging van alle elementen in een matrix met een getal, de scalair, waarbij het resultaat ook de matrixvorm heeft: ( ) ( ) 5 5 A = 5A = Nulmatrices, nulvectoren, negatieve matrices en rekenregels Een aparte groep zijn de nulmatrices O, matrices waarvan alle elementen gelijk zijn aan. Nulmatrices O spelen bij het optellen en aftrekken van matrices een vergelijkbare rol als het getal bij van gewone getallen. Een n m nulmatrix ontstaat door het product van de scalaire nul en een n m matrix. Merk op dat in A = O de scalaire en de nulmatrix O verschillend genoteerd worden. O = O = Een bijzondere groep nulmatrices zijn de nulvectoren, vectoren waarvan alle elementen zijn. Een nulvector wordt symbolisch genoteerd als o: o = o = ( ) Een negatieve matrix A ontstaat als het product A = A. Een voorbeeld van een negatieve matrix: ( ) ( ) A = A = Het aftrekken van matrix komt overeen met het optellen met een negatieve matrix: A B = A + ( B) = A + ( B) De rekenregels voor het optellen van matrices en producten van scalairen met matrices zijn: ) (A + B) + C = A + (B + C) 5) α(a + B) = αa + αb ) A + O = A 6) (α + β)a = αa + βa ) A A = O 7) (αβ)a = α(βa) 4) A + B = B + A 8) αa = Aα 7

9 ..4 Het inproduct van twee vectoren Het inproduct tussen twee vectoren a en b wordt genoteerd als a b. Deze notatie mag niet verward worden met het product van twee scalairen α β. a b = a b + a b a n b n Het resultaat van het inproduct is een scalaire waarde, de som van de paarsgewijs vermenigvuldigde overeenkomstige elementen uit beide vectoren. Het inproduct is dus alleen mogelijk als het aantal elementen van beide vectoren gelijk is. Het is wel commutatief, de volgorde in het inproduct mag omgekeerd worden: a b = b a Een inproduct van een vector met zichzelf is zonder meer mogelijk: a a = a + a a n Voorbeeld. a = b = ( ) a b = + + = b a = + + = 7 a a = + + = 4 b b = + + =..5 Het vectorproduct Het vectorproduct ab heeft een andere notatie dan het inproduct a b. Hoewel het vectorproduct gebruik maakt van het inproduct is het niet-commutatief, de regel ab = ba geldt dus niet. Ook is het vectorproduct alleen mogelijk met een n rijvector en een n kolomvector of met een n kolomvector en een n rijvector. In het geval van een vectorproduct van een n rijvector a met een n kolomvector b is het resultaat van ab een scalair, het inproduct tussen beide vectoren: ab = (a a... a n ) b b... b n = a b + a b k a n b n = a b Daarentegen geeft het vectorproduct van een kolomvector b met n elementen (één kolom met n rijvectoren van één element) en een rijvector a met n elementen (één rij met n 8

10 kolomvectoren van één element), een vierkante n n matrix. In de resulterende matrix zijn de scalaire elementen de inproducten van overeenkomstige rij- en kolomvectoren met elk één element: ba = b b... b n (a a... a n ) = b a b a... b a n b a b a... b a n b n a b n a... b n a n In tegenstelling tot het inproduct is het vectorproduct van twee rijvectoren of van twee kolomvectoren niet mogelijk, ook al hebben ze een gelijk aantal elementen. Het vectorproduct komt daarmee overeen met het matrixproduct dat een soortgelijke beperking heeft...6 Het matrixproduct Het matrixproduct van vierkante en niet-vierkante matrices kunnen we verklaren aan de hand van de vectorproducten van de rij- en kolomvectoren die matrices vormen. De n m matrix A en de m p matrix B, geven bij AB = C de n p matrix C. Om deze vermenigvuldiging toe te lichten worden de matrices in een schema geplaatst zodanig dat de horizontale lijnen door de rijen uit de A matrix snijden met de verticale lijnen door de kolommen van de B-matrix. Op de snijpunten bevinden zich de elementen van de C- matrix: a, a,... a,m a, a,... a,m a n, a n,... a n,m b, b,... b,p b, b,... b,p b m, b m,... b m,p c, c,... c,p c, c,... c,p c n, c n,... c n,p Elk snijpunt element c r,k is het vectorproduct tussen rijvector r in de A-matrix en kolomvector k in de B-matrix. In dit geval mogen we het inproduct gebruiken om het resulterende element c r,k te berekenen: c r,k = ( ) a r, a r,... a r,m b,k b,k... b m,k = a r, b,k + a r, b,k a r,m b m,k 9

11 Het voordeel van het plaatsen van de twee matrices in zo n schema met snijpunten, is dat men snel kan zien welke afmeting de productmatrix C heeft. Bovendien kan men per snijpunt het vectorproduct systematisch berekenen met behulp van denkbeeldige horizontale en verticale hulplijnen. Voorbeeld. De matrices A en B in het schema voor het matrixproduct: c, c, c, c, c, c, Dit levert de volgende berekeningen op: Samenvattend: c, = = 5 c, = = 4 c, = = 78 c, = = 6 c, = = 4 c, = = Nog een voorbeeld: ( x a x y Reken bovenstaand voorbeeld na. Probeer nu te berekenen en stel vast dat dit onmogelijk is. ) = ( 5 4 x a = x + a 9 + 4x 6 + 4a 5x + 4y x + y x + xy x + ya ) 4 x y

12 Het vectorproduct dus is een bijzonder geval van het matrixproduct. Mits zij voldoet aan de afmetingsvoorwaarde van het matrixproduct, is product van een vector en een matrix mogelijk. Het product van een n rijvector met een n m matrix geeft als resultaat een m rijvector. Het product van n m matrix met een m kolomvector geeft als resultaat een n kolomvector. Resumerend gelden voor alle vector- en matrixproducten de volgende regels: Regel Een a b matrix kan alleen vermenigvuldigd worden met een b c matrix. In dat geval ontstaat een a c matrix. Twee matrices kunnen dus alleen met elkaar vermenigvuldigd worden wanneer het aantal kolommen van de eerste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede matrix; Regel De commutatieve eigenschap van het vermenigvuldigen van gewone getallen (ab = ba) geldt niet voor matrices en vectoren, de regels ab = ba en AB = BA en ab = Ba zijn ongeldig; De rekenregels voor het vermenigvuldigen van matrices (en vectoren) zijn: ) (AB)C = A(BC) ) A(B + C) = AB + AC ) (B + C)A = BA + CA 4) α(ab) = (αa)b = A(αB)..7 Het transponeren van een matrix De getransponeerde matrix A T ontstaat uit matrix A door met behoud van volgorde, alle rijvectoren in kolomvectoren of alle kolomvectoren in rijvectoren te veranderen. Deze verwisseling spiegelt de posities van de elementen ten opzichte van de hoofddiagonaal. A = A T = Het transponeren van een a b matrix resulteert in een b a matrix. M.a.w. de afmeting van een matrix worden bij het transponeren verwisseld. A = A T = ( ) Wanneer men een rijvector transponeert, verkrijgt men een kolomvector en vice versa:

13 b = ( 4 ) b T = 4 b TT = ( 4 ) Bij het transponeren verwisselen de elementen alleen van positie (e r,k e k,r ). Elk element e r=k,k=r op de hoofddiagonaal blijft op dezelfde plaats. Voor het transponeren gelden de volgende rekenregels: ) (A + B) T = A T + B T ) (αa) T = αa T ) (A T ) T = A 4) (AB) T = B T A T 5) α T = α..8 De symmetrische matrix Een symmetrische matrix is een vierkante matrix waarvoor A = A T geldt, zoals: A = A T = De identiteitsmatrix Een matrix die we nog vaak zullen tegenkomen is de zogenaamde identiteitsmatrix. Een identiteitsmatrix is een vierkante matrix, waarvan alle elementen gelijk zijn aan, behalve de elementen op de hoofddiagonaal. De hoofddiagonaal is gevuld met -en. ( De identiteitsmatrix is zo belangrijk dat men de letter I ervoor heeft gereserveerd. Merk op dat de identiteitsmatrix symmetrisch is en dat I = I T geldt. We merken nu op dat wanneer we een identiteitsmatrix vermenigvuldigen met een rijvector, het resultaat dezelfde vector is. ( 4 ) ) = ( 4 )

14 Het vermenigvuldigen van een identiteitsmatrix met een rijvector heeft dus geen effect. Voor vermenigvuldiging van de identiteitsmatrix met een kolomvector geldt hetzelfde: 5 = Voor het product van een n n identiteitsmatrix I met een n (rij)vector r geldt: 5 ri = r Ir T = r T Voor het product van een n n identiteitsmatrix I met een n (kolom)vector k geldt: Ik = k k T I = k T Voor het product van een n n identiteitsmatrix I met een n n matrix M geldt: MI = IM = M M T I = IM T = M T

15 . Opgaven. Gegeven: A = 4 B = 4 Gevraagd: (a) Noteer de elementen die in de matrices A en B de hoofddiagonaal vormen. (b) Bereken AB en BA en A T B en AB T. (c) Bereken (AB) T en B T A T. (d) Bereken (A) en (A) en ( AB). (e) Wat concludeert u uit de vorige resultaten?. Gegeven: K = L = Gevraagd: (a) Bereken KL. (b) Bereken LK. (c) Bereken L T L. (d) Bereken LL T.. Gegeven: a = ( ) I = c = 7 8 Gevraagd: (a) Bereken Ic en c T I en Ic T en ci. (b) Bereken ac en (ac) T en a T c T en a T c en ac T. 4

16 (c) Bereken ca en (ca) T en c T a T en ca T en c T a. (d) Bereken cc T en c T c en cc en c T c T. (e) Wat concludeert u uit deze resultaten? 4. Gegeven: A = 4 e = Gevraagd: (a) Bereken Ae en e T A. (b) Wat concludeert u uit deze resultaten? 5. Gegeven: A = ( ) B = ( ) C = Gevraagd: (a) Bereken ((A + B)C) T. (b) Bereken (C(AB T )) T. 5

17 Hoofdstuk Stelsels van lineaire vergelijkingen Een lineaire vergelijking bestaat uit termen met constanten en producten van constanten en onbekenden. Het = teken scheidt de termen van de lineaire vergelijking in twee kanten. Een lineaire vergelijking is voor de onbekenden opgelost als deze kanten gelijkwaardig zijn. Een eenvoudig voorbeeld met de coëfficiënten en, de onbekenden x en y en de constante term is: x + y = Hoewel in vergelijkingen vaak de onbekenden x en y worden gebruikt, kunnen ook onbekenden met andere namen optreden: a + b = p + q = Bij lineaire vergelijkingen met veel onbekenden, zoals in dit hoofdstuk, worden meestal geïndexeerde namen gebruikt: 6x + x + x 5x 4 = De twee kanten van een lineaire vergelijking zijn te beschouwen als twee schalen van een weegschaal, die in een bepaalde stand staat (niet perse in evenwicht). Zoals de stand van een weegschaal niet verandert bij het plaatsen of verwijderen van gelijke gewichten op beide schalen, zo blijft een vergelijking hetzelfde als ze herschreven wordt door beide kanten: met dezelfde term (bijv. 4) te verhogen : x + x = x + x + 4 = 6 6

18 met dezelfde term (bijv. -) te verlagen: x + x = x + x = met dezelfde factor (bijv. 5) te vermenigvuldigen: x + x = x + 5x = 6 door dezelfde factor ongelijk aan, (bijv. ) te delen: x + x = x + x = 4 Naar analogie van de weegschaal blijft een vergelijking ook hetzelfde als de termen aan dezelfde kant in een andere volgorde herschreven worden: x + x = x + x = Hoewel de herschreven vergelijkingen hetzelfde zijn als de originele vergelijking, wordt alleen bij bepaalde gewichtswaarden van de onbekenden x en x een vergelijking in evenwicht gebracht. Deze waarden worden de oplossingen genoemd van de vergelijking. Omdat een lineaire vergelijking op diverse manieren kan worden herschreven, wordt bij voorkeur een notatie gekozen waarin de termen met de onbekenden gescheiden zijn van de termen zonder onbekenden. Bovendien wordt bij het gebruik van geïndexeerde variabelen rekening gehouden met de volgorde van de indices: Gegeven de lineaire vergelijking: a x + a x + + a n x n = c x + x = We gaan nu de oplossingen zoeken voor deze vergelijking, de waarden voor x en x die de weegschaal in een horizontaal evenwicht brengen. Wanneer we na wat proberen voor x de waarde en voor x de waarde invullen, dan is een situatie ontstaan waarin de vergelijking in evenwicht is: + = Het tweetal x = en x = vormen samen een oplossing van de vergelijking x +x =. Daarentegen is het tweetal x = en x = geen oplossing. Controleren of een 7

19 oplossing voldoet, is eenvoudig het vervangen van de onbekenden door de waarden van de oplossing en het verschil in waarden tussen beide kanten bepalen. Een tweetal waarden kan op een systematische manier als oplossing gevonden worden door een willekeurige waarde voor één van de onbekenden te kiezen, bijvoorbeeld x =. Door de vergelijking met de gekozen waarde in een vereenvoudigde vorm te herschrijven, is de waarde voor de andere onbekende x gemakkelijk te bepalen: + x = 6 + x = x = 6 x = Deze oplossing, het tweetal x = en x =, is volledig door de keuze van x bepaald, een andere keuze geeft een ander tweetal. Uit de keuze van x = volgt x met nog minder stappen: + x = x = x = De oplossing is het tweetal x = en x = 4. We kunnen ook voor de andere onbekende een waarde kiezen, bijvoorbeeld x = : x + = x = x = 6 De oplossing is nu het tweetal x = 6 en x =. Er zijn blijkbaar meer oplossingen mogelijk voor deze vergelijking, in principe oneindig veel tweetallen. Kenmerkend voor deze oneindige verzameling tweetallen is de meetkundige relatie die ze met elkaar hebben. Ze liggen op één lijn in het xy-vlak. Dat kan men zien als de oplossingen worden uitgezet in een assenstelsel. De vergelijking x + x = heeft twee variabelen: x en x. Dit betekent dat we twee assen nodig hebben, waarin we de oplossingen als tweetallen aangeven, de x -as en de x -as. We kiezen er nu voor de x -as horizontaal te tekenen en de x -as verticaal. (Dit kan overigens ook andersom. In dat geval verandert de tekening, maar blijft deze wel de oplossingen van vergelijking weergeven.) Vervolgens gaan we de snijpunten van de vergelijking met de x - en x -as berekenen: Voor alle coördinaten op de x -as geldt dat de waarde van x gelijk is aan. Wanneer we in de vergelijking x + x = de x variabele gelijk stellen aan verkrijgen we: x + ( ) = x = x = 6 Het snijpunt met de x -as ligt dus op het punt (6, ). Het snijpunt met de x -as ligt op het punt (, 4). Met deze gegevens kunnen we een grafiek tekenen, zoals weergegeven in figuur.. 8

20 X X Figuur.: De lineaire vergelijking x + x =, grafisch weergegeven als lijn. Het punt met de x = en x = ligt dus ook op deze lijn. Alle punten op de lijn in de figuur. zijn oplossingen van de vergelijking x + x =. Beschouw nu het volgende voorbeeld van een lineaire vergelijking: x + x + 4x = (.) Ook deze vergelijking heeft oneindig veel oplossingen (verzin er zelf enkele). we hebben nu echter wel te maken met een vergelijking, waarin zich variabelen bevinden. Als we alle oplossingen van deze vergelijking willen tekenen, dienen we een assenstelsel met assen te gebruiken. De tekening wordt -dimensionaal en alle oplossingen van vergelijking (.) liggen op het vlak dat wordt weergegeven door de vergelijking x + x + 4x =. Dit is te zien in figuur.. x x x Figuur.: Lineaire vergelijkingen met variabelen vormen een vlak. Beschouw nu de volgende lineaire vergelijking: x + x + 6x + x 4 = 4 (.) Deze vergelijking heeft oneindig veel oplossingen. Het weergeven van deze oplossingen in een tekening is echter onmogelijk. We hebben in vergelijking (.) te maken met 4 9

21 variabelen, hetgeen betekent dat we een 4-dimensionale tekening zouden moeten maken. Aangezien dat niet kan, kunnen bewerkingen en berekeningen op dit soort vergelijkingen alleen worden uitgevoerd met algebra.. Het oplossen van stelsels van lineaire vergelijkingen Lineaire vergelijkingen vormen een stelsel als de oplossingen voor de onbekenden in alle vergelijkingen van dat stelsel moeten gelden. Stelsels lineaire vergelijkingen bestaan uit minstens twee lineaire vergelijkingen, bijvoorbeeld de twee vergelijkingen met twee onbekenden: x + x = 4x + x = 6 De eerste vergelijking is een rechte lijn. De x -as wordt gesneden in het punt (6, ) en de x -as wordt gesneden in het punt (, 4). Voor de tweede vergelijking geldt dat deze de x -as snijdt in het punt (4, ) en dat de x -as wordt gesneden in het punt (, 8). Een oplossing van dit stelsel lineaire vergelijkingen vinden we door waarden voor x en x te zoeken, zodanig dat beide vergelijkingen kloppen wanneer we deze waarden invullen. Simpelweg de oneindig lange rijtjes oplossingen van beide vergelijkingen doorzoeken in de hoop dat we een oplossing tegenkomen die in beide rijtjes voorkomt, is niet erg efficiënt. De oplossing wordt sneller gevonden wanneer we beide vergelijkingen gaan manipuleren. We doen dit als volgt: Vermenigvuldig eerste vergelijking met : x + x = 4x + 6x = 4 4x + x = 6 4x + x = 6 Trek de tweede vergelijking van de nieuwe vergelijking af: 4x + 6x = 4 4x + x = 6 4x = 8 Uit de vergelijking 4x = 8 is eenvoudig af te leiden dat x =. Nu we weten dat de waarde van x gelijk is aan, kunnen we ook de waarde van x gaan berekenen. We doen dit door de waarde van x in te vullen in de één van beide vergelijkingen: x + x = x = } x + 6 = x = 6 x =

22 De oplossing van dit lineaire stelsel is dus: (, ). Deze oplossing brengt beide vergelijkingen in evenwicht: + = 4 + = 6 Wanneer we het lineaire stelsel gaan tekenen, zien we in figuur. dat beide lijnen elkaar snijden in het punt (, ). X X Figuur.: Het snijpunt als oplossing.. Lineaire stelsels van het type Ax = c Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen: x + x + x + 4x 4 = 8 x + x + x + 6x 4 = 4 4x + x + 6x + x 4 = 6 x + x + 5x + x 4 = (.) Het oplossen van dit stelsel is geen eenvoudige opgave. Gelukkig zijn er methodes ontwikkeld, waarmee op gestructureerde wijze stelsels lineaire vergelijkingen kunnen worden opgelost. Deze, zogenaamde, veegmethodes maken gebruik van matrices en zijn bedacht door de wiskundigen Gauss en Jordan. Alvorens we de veegmethodes gaan bekijken, wordt eerst ingegaan op het omzetten van een lineair stelsel in een matrix. Ook worden nog enkele bijzondere matrices geïntroduceerd die we bij het bestuderen van de veegmethodes zullen tegenkomen.

23 .. De coëfficiëntenmatrix Alvorens een veegmethode kan worden gebruikt voor het oplossen van een lineair stelsel, moet dit stelsel worden afgebeeld in een matrix die het stelsel representeert: Lees iedere vergelijking in de voorkeursnotatie van links naar rechts en maak van elke coëfficiënt een element. Wanneer we dat doen ontstaat voor het lineaire stelsel uit (.): x + x + x + 4x 4 = 8 x + x + x + 6x 4 = 4 4x + x + 6x + x 4 = 6 x + x + 5x + x 4 = De ontstane matrix noemen we een coëfficiëntenmatrix. Het moge duidelijk zijn dat wanneer we het stelsel lineaire vergelijkingen in een andere volgorde hadden opgeschreven, de daaruit ontstane coëfficiëntenmatrix er anders zou hebben uitgezien: x + x + x + 6x 4 = 4 x + x + x + 4x 4 = 8 x + x + 5x + x 4 = 4x + x + 6x + x 4 = Voor de verschillende veegmethodes maakt het echter niet uit in welke volgorde de vergelijkingen onder elkaar staan. Wel is het van belang om de volgorde, waarin x, x... x n in de vergelijkingen voorkomen, gelijk te houden... De toegevoegde matrix Aan de coëfficiëntenmatrix kunnen de constante termen aan de rechterkant van de vergelijkingen uit (.) (de getallen 8, 4, 6 en ) worden toegevoegd als extra kolom. Hierdoor ontstaat: Teneinde de coëfficiënten te scheiden van de constante termen, plaatsen we een verticale streep in de matrix. Deze matrix wordt de toegevoegde matrix genoemd.

24 .. Een matrix in echelonvorm Zonder in te gaan op de betekenis of het gebruik van een matrix in echelonvorm, definieren we nu eerst wat er onder een echelonmatrix wordt verstaan: Een matrix is in echelonvorm wanneer: we te maken hebben met een toegevoegde matrix. alle elementen onder de hoofddiagonaal gelijk zijn aan. De volgende voorbeelden zijn matrices in echelonvorm: Merk op dat ook boven de hoofddiagonaal nullen kunnen voorkomen...4 De rijcanonieke matrix Naast de echelonmatrix bestaat ook de zogenaamde rijcanonieke matrix. Een matrix wordt rijcanoniek genoemd wanneer: we te maken hebben met een toegevoegde matrix. alle elementen recht boven de hoofddiagonaal gelijk zijn aan. alle elementen recht onder de hoofddiagonaal gelijk zijn aan. alle elementen die de hoofddiagonaal vormen, gelijk zijn aan. De volgende matrices zijn voorbeelden van rijcanonieke matrices: ( 5 )

25 . De veegmethodes Gegeven het stelsel vergelijkingen (.) dat is omgezet naar de matrix representatie: x + x + x + 4x 4 = 8 x + x + x + 6x 4 = 4 4x + x + 6x + x 4 = 6 x + x + 5x + x 4 = Nu het lineaire stelsel is omgezet in een matrix, kan begonnen worden met het toepassen van een veegmethode. Er bestaan diverse veegmethodes, maar in deze cursus beperken we ons tot: de methode van Gauss. de methode van Gauss/Jordan. De veegmethode van Gauss is erop gericht een toegevoegde matrix in echelonvorm te brengen. D.w.z. middels de veegmethode van Gauss worden bewerkingen op de toegevoegde matrix uitgevoerd, zodanig dat daaruit een echelonmatrix ontstaat. Schematisch weergegeven: Gauss?????????????? De veegmethode van Gauss/Jordan kan beschouwd worden als een uitbreiding van de methode van Gauss en is erop gericht een toegevoegde matrix in rijcanonieke vorm te brengen. Schematisch weergegeven: Gauss/Jordan???? 4

26 .. De veegmethode van Gauss Zoals eerder beschreven, heeft de veegmethode van Gauss tot doel een toegevoegde matrix via een aantal bewerkingen om te zetten in een echelonmatrix. Deze omzetting voeren we niet in één keer uit, maar in een aantal losse stappen. Het aantal stappen dat nodig is, hangt af van de dimensies van de matrix. Hoe meer elementen zich in de matrix bevinden, hoe groter het aantal stappen dat nodig is om de matrix in echelonvorm te brengen. De eerste stap in de veegmethode van Gauss, vormt het aanwijzen van een veegelement. We noteren dit door in de matrix een kader om dat element te plaatsen, zodat duidelijk is met welk element geveegd gaat worden. Bij de eerste serie veegoperaties, wordt altijd element als veegelement aangewezen: De bedoeling is nu om element middels een (nog uit te leggen) bewerking gelijk te maken aan. Dat gaat als volgt: We vermenigvuldigen het veegelement met een getal dat we zelf kiezen. De uitkomst van deze vermenigvuldiging dient zodanig te zijn dat wanneer we deze uitkomst optellen bij element, hier de waarde uitkomt. Wiskundig uitgedrukt: (element zelfgekozen getal) + element = Deze vergelijking is gemakkelijk op te lossen: Dus: Voor deze matrix wordt dit: (element zelfgekozen getal) = element zelfgekozen getal = element element zelfgekozen getal = = Het zelf te kiezen getal dient de waarde - te krijgen, immers: ( ) + = Nu gaan we daadwerkelijk vegen. We nemen element, vermenigvuldigen dit met - en tellen het op bij element. Met alle overige elementen uit de eerste rij doen we hetzelfde: Vermenigvuldigen met - en optellen bij de overeenkomstige elementen uit de tweede rij. 5

27 We verkrijgen: Reken dit zelf na. Nu gaan we de procedure herhalen. D.w.z. we nemen wederom element als veegelement, maar nu gebruiken we het om van element een maken: ( zelf te kiezen getal) + 4 = Het zelf te kiezen getal dient de waarde -4 te krijgen. Wanneer we alle elementen uit de eerste rij vermenigvuldigen met -4 en optellen bij de overeenkomstige elementen uit de derde rij, ontstaat: We gaan verder: Wederom gebruiken we element als veegelement, maar deze keer vegen we rij 4 schoon. Controleer zelf dat we het veegelement moeten vermenigvuldigen met het getal en dat het vegen naar rij 4 oplevert: Nu zijn alle elementen in de kolom onder het veegelement gereduceerd tot. We herhalen nu de totale procedure, echter: het veegelement wordt nu element en we vegen van rij naar rij : We vervolgen door te vegen van rij naar rij 4: 6

28 Weer zijn alle elementen onder het veegelement gereduceerd tot en kunnen we het volgende element op de hoofddiagonaal aanwijzen als veegelement. We houden deze procedure net zo lang vol, totdat de echelonvorm is bereikt. In ons voorbeeld wijzen we nu element aan als veegelement en vegen we van rij naar rij 4: Hiermee hebben we de echelonvorm bereikt: alle elementen onder de hoofddiagonaal zijn gereduceerd tot... Het oplossen van een lineair stelsel uit de echelonvorm Na het toepassen van de veegmethode van Gauss hebben we een matrix verkregen die in de echelonvorm staat. Kijk nu eens naar de laatste rij uit deze matrix. Daar staat: Dit betekent: Oftewel: 4 x 4 = 4 x + x + x 4 x 4 = x 4 = 6 x 4 = We hebben nu de waarde van x 4 gevonden. Kennelijk is x 4 gelijk aan. Met deze wetenschap kunnen we verder rekenen en wel door te kijken naar rij uit de matrix. Daar staat: x + x + 4x x 4 = 46 4x x 4 = 46 Aangezien we weten dat de waarde van x 4 gelijk is aan kunnen we deze waarde gaan invullen in de vergelijking: 7

29 4x x 4 = 46 x 4 = } 4x = 46 4x = 48 x = Nu hebben we al twee van de vier variabelen uit het lineair stelsel uitgerekend. We vervolgen door de waarden van x 4 en x in te vullen in de tweede rij uit de matrix: x 5x x 4 = x = x 4 = x 4 = x = Tenslotte vullen we de waarden van de variabelen x 4, x en x in de eerste rij van de matrix: x + x + x + 4x 4 = 8 x = x = x 4 = x + = 8 x = Hiermee hebben we het stelsel lineaire vergelijkingen opgelost. De oplossing luidt: x = x = x = x 4 = Men kan dit controleren door de gevonden waarden in te vullen in één van de oorspronkelijke vergelijkingen... De veegmethode van Gauss/Jordan We hebben gezien dat de veegmethode van Gauss een elegante methode vormt voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen. Na toepassing van de veegmethode is een matrix in echelonvorm ontstaan, waaruit de oplossing van het stelsel kan worden berekend. Er bestaat echter een uitbreiding van de veegmethode van Gauss die ervoor zorgt dat het terugrekenen van het lineaire stelsel niet meer nodig is. Deze uitbreiding is ontwikkeld door de wiskundige Jordan. De door hem ontwikkelde uitbreiding wordt tegenwoordig de veegmethode van Gauss/Jordan genoemd. De methode komt erop neer dat na het bereiken van de echelonvorm, doorgegaan wordt met vegen. Er wordt nu niet met element begonnen, maar met het laatste element van 8

30 de hoofddiagonaal. De methode is erop gericht alle elementen boven de hoofddiagonaal weg te vegen. Beschouw, ter illustratie, het volgende stelsel lineaire vergelijkingen: x + x + x = 4 x + x + x = 6 x + x + 6x = We zetten het stelsel om naar een matrixnotatie: x + x + x = 4 x + x + x = 6 x + x + 6x = Volgens de veegmethode van Gauss, vegen we alle elementen onder de hoofddiagonaal weg en verkrijgen we de echelonvorm: Ga dit na. Nu gaan we verder met de veegmethode van Gauss/Jordan. Het veegelement wordt het laatste element van de hoofddiagonaal: Nu gaan we alle elementen boven het veegelement tot reduceren. We vermenigvuldigen alle elementen uit rij met en tellen deze op bij de overeenkomstige elementen uit rij : We vervolgen met rij : We vermenigvuldigen alle elementen uit rij met - 5 deze op bij de overeenkomstige elementen uit rij : en tellen

31 Tenslotte maken we van element het veegelement, opdat we element tot kunnen reduceren: Als laatste stap gaan we, indien nodig, ieder element op de hoofddiagonaal vermenigvuldigen met een zelfgekozen getal, opdat alle elementen op de hoofddiagonaal de waarde krijgen. In ons voorbeeld betekent dit dat we de elementen uit rij vermenigvuldigen met - en dat we de elementen uit rij vermenigvuldigen met 5 : Hiermee eindigt de veegmethode van Gauss/Jordan. We hebben de matrix in de rijcanonieke vorm gebracht. De oplossing van het lineaire stelsel is zonder verder rekenwerk af te lezen uit de matrix: x = 7 x = x = Merk op dat het coëfficiëntengedeelte van de verkregen matrix een identiteitsmatrix vormt...4 Overzicht van de veegmethodes Een schematische samenvatting van de veegmethodes van Gauss en Gauss/Jordan is weergegeven in figuur.4..4 De oplosbaarheid Bij de introductie van de veegmethodes van Gauss/Jordan zijn lineaire stelsels gebruikt die precies één oplossing hebben. Lineaire stelsels hebben echter niet altijd een oplossing. In dit hoofdstuk worden verschillende soorten stelsels geïntroduceerd en zal bekeken worden wat hun eigenschappen zijn. Ook bekijken we wat voor gevolgen deze eigenschappen hebben voor de veegmethodes van Gauss/Jordan. In totaal onderscheiden we drie verschillende soorten lineaire stelsels:

32 lineair stelsel toegevoegde matrix vegen volgens Gauss matrix in echelonvorm terugrekenen vegen volgens Gauss/Jordan matrix in rijcanonieke vorm oplossing Figuur.4: De veegmethodes van Gauss en Gauss/Jordan. Lineair onafhankelijke stelsels: Een lineair onafhankelijk stelsel is een stelsel dat precies één oplossing heeft. Deze oplossing is te berekenen door het stelsel om te zetten in een toegevoegde matrix en daarop de veegmethodes van Gauss/Jordan toe te passen. Lineair strijdige stelsels: Lineair strijdige stelsels hebben geen oplossing. Wanneer we middels Gauss/Jordan een poging doen zo n stelsel op te lossen, stuiten we op problemen. Lineair afhankelijke stelsels: Een lineair afhankelijk stelsel heeft oneindig veel oplossingen hetgeen tijdens het vegen zal blijken..4. Het lineair onafhankelijke stelsel Lineair onafhankelijke stelsels zijn besproken in de eerdere hoofdstukken en behoeven geen verdere introductie. Men dient slechts te onthouden dat een lineair onafhankelijk stelsel precies één oplossing heeft en dat deze gevonden kan worden door de veegmethodes van Gauss/Jordan correct toe te passen..4. Het lineair tegenstrijdige stelsel Een lineair tegenstrijdig stelsel is een stelsel dat geen oplossing heeft. Een voorbeeld van zo n stelsel is stelsel.4

33 x + x + x = 8 x + x + x = 4 x + 4x + 6x = 6 (.4) Laten we stelsel.4 eens proberen op te lossen middels Gauss/Jordan: x + x + x = 8 x + x + x = 4 x + 4x + 6x = (.5) in de laatste regel van matrix.5 is iets vreemds te zien. In feite staat daar: x + x + x = Het moge duidelijk zijn dat dit niet kan: kan niet gelijk zijn aan. We zijn nu op een tegenstrijdigheid gestuit. Hieruit kunnen we twee dingen afleiden: Verder vegen met Gauss/Jordan heeft geen zin. Stelsel.4 heeft geen oplossing. D.w.z. we kunnen geen waarden voor x,x en x vinden, zodanig dat alle vergelijkingen kloppen wanneer we deze waarden zouden invullen. Hoewel het mogelijk is de strijdigheid van een lineair stelsel aan te tonen m.b.v. de veegmethodes van Gauss/Jordan, is in voorbeeld.4 eenvoudig in te zien dat we met een tegenstrijdig stelsel te maken hebben. We kunnen zien dat we met een tegenstrijdig stelsel te maken hebben wanneer we de eerste en derde vergelijking uit stelsel.4 eens wat beter bekijken: x + x + x = 8 x + 4x + 6x = 6 Wanneer we de onderste vergelijking links en rechts van het = teken door delen (ja, dat is toegestaan), is te zien dat beide vergelijkingen veel op elkaar lijken:

34 x + x + x = 8 x + 4x + 6x = 6 x + x + x = 8 x + x + x = Nu is duidelijk waarom stelsel.4 tegenstrijdig is: als we de eerste en derde vergelijking uit stelsel.4 grafisch weergeven, zien we twee vlakken die evenwijdig zijn aan elkaar. Dit is weergegeven in figuur.5. x x x Figuur.5: Twee evenwijdige vlakken vormen een lineair tegenstrijdig stelsel. Daar twee evenwijdige vlakken elkaar nooit zullen snijden, kan een oplossing voor een dergelijk stelsel niet gevonden worden..4. Het lineair afhankelijke stelsel Een lineair afhankelijk stelsel is eens stelsel vergelijkingen dat oneindig veel oplossingen heeft. Een voorbeeld van een dergelijk stelsel is stelsel.6: x + x + x = x + x + x = 6 x + 4x + 6x = (.6) Ook nu gaan we proberen stelsel.6 op te lossen middels de veegmethode van Gauss/Jordan:

35 In de onderste regel is te lezen: =. Daar schieten we niet zoveel mee op. Het lijkt erop dat de onderste regel net zo goed had kunnen worden weggelaten. Wat in stelsel.6 aan de hand is, wordt duidelijk wanneer we de bovenste vergelijking en de onderste eens wat beter bekijken: x + x + x = x + 4x + 6x = Wanneer we de bovenste vergelijking met vermenigvuldigen, ontstaat: x + x + x = x + 4x + 6x = x + 4x + 6x = x + 4x + 6x = Nu is duidelijk te zien dat in stelsel.6 twee maal dezelfde vergelijking staat, zij het dat ze net iets anders zijn opgeschreven, waardoor niet meteen opvalt dat ze hetzelfde zijn. Wanneer we stelsel.6 weergeven in een grafiek, moeten we twee vlakken tekenen die precies op elkaar liggen. Beide vlakken snijden elkaar op oneindig veel punten. Daarom heeft dit stelsel oneindig veel oplossingen..4.4 Overzicht oplosbaarheid Een schematische samenvatting van de oplosbaarheid is weergegeven in figuur.6. onafhankelijk stelsel strijdig stelsel afhankelijk stelsel Gauss/Jordan Gauss/Jordan Gauss/Jordan Oplossing: x =... x = =... x n = x Figuur.6: Soorten stelsels en hun gevolgen voor de veegmethodes van Gauss/Jordan..5 De inverse matrix In eerder werd uitgelegd dat lineaire stelsels kunnen worden opgelost m.b.v. de veegmethodes van Gauss/Jordan. Ook is uitgelegd dat de veegmethodes van Gauss/Jordan alleen 4

36 slagen wanneer men ze toepast op een lineair onafhankelijk stelsel. Nu wordt een tweede methode beschreven voor het oplossen van lineaire stelsels. Deze methode maakt gebruik van de zogenaamde inverse matrix. Eerst zullen enkele eigenschappen van de inverse matrix worden beschreven. Daarna wordt uitgelegd hoe men een inverse matrix berekent. Tenslotte wordt uitgelegd hoe men m.b.v. de inverse matrix een lineair stelsel kan oplossen. Eigenschappen van de inverse matrix: Voor een n n matrix A en zijn inverse n n matrix A geldt: AA = A A = I Niet alle vierkante matrices hebben een inverse. Een bekend voorbeeld is de vierkante nulmatrix O. Voor alle n n matrices A en O geldt: OA = AO = O I De vierkante identiteitsmatrix I is de inverse van zichzelf: I I = I I = I Voor het product van twee vierkante matrices A en B geldt, mits A en B bestaan: (AB)(B A ) = A(BB )A = AIA = AA = I (AB) = (B A ) Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen: x + x + x = 4 x + 4x + x = x + x + 4x = 8 We zetten stelsel.7 om in een coëfficiëntenmatrix: 4 4 (.7) Vervolgens creëren we een identiteitsmatrix met dezelfde dimensies als de coëfficiëntenmatrix: 5

37 Nu voegen we de coëfficiëntenmatrix en de identiteitsmatrix samen: 4 4 (.8) We kunnen nu beginnen met het berekenen van de inverse matrix. Dit geschiedt door op matrix.8 de veegmethodes van Gauss/Jordan toe te passen. Voorwaarde voor het kunnen berekenen van de inverse matrix is dat de veegmethodes van Gauss/Jordan slagen. Voor matrix.8 betekent dit dat we na toepassing van de veegmethodes van Gauss/Jordan een matrix verkrijgen die de volgende vorm heeft: We voeren nu de veegmethode van Gauss/Jordan uit: Met het eindigen van de veegmethode van Gauss/Jordan zien we dat aan de linkerkant van de verticale streep een identiteitsmatrix is ontstaan. We splitsen de matrix in het linker gedeelte (de identiteitsmatrix die verder niet interessant is) en het rechter gedeelte: De nu ontstane matrix noemt men de inverse matrix. Wanneer we de originele coëfficiëntenmatrix hadden toegekend aan de variabele A, dan kunnen we voor de inverse matrix A noteren: A = A =

38 We kunnen controleren of we in het berekenen van de inverse matrix geen fouten gemaakt hebben. Zoals eerder beschreven geldt voor een matrix en zijn inverse de regel: AA = I. In ons voorbeeld zou dus moeten gelden: Controle eerste kolom: Controle tweede kolom: Controle derde kolom: = = = = = = = + + = = = Controleer nu zelf dat ook geldt: A A = I, oftewel: Tenslotte nog enkele opmerkingen: = Een inverse matrix kan alleen worden berekend wanneer de originele matrix een coëfficiënten matrix representeert van een lineair onafhankelijk stelsel. Indien we de inverse matrix willen berekenen van een coëfficiëntenmatrix die gebaseerd is op een strijdig of afhankelijk stelsel, zal op zeker moment de veegmethode van Gauss/Jordan falen..6 Lineaire stelsels oplossen met de inverse matrix We keren terug naar het lineaire stelsel aan het begin van dit hoofdstuk: x + x + x = 4 x + 4x + x = x + x + 4x = 8 7

39 Eerder is beschreven dat we dit stelsel kunnen representeren met een matrix door het stelsel om te zetten in een toegevoegde matrix. Er bestaat echter ook een andere manier, waarop we stelsel.7 met vectoren en een matrix kunnen weergeven. Deze manier staat bekend als de matrix-vector representatie en zit als volgt in elkaar: We maken van stelsel.7 een coëfficiëntenmatrix: 4 4 Vervolgens vermenigvuldigen we de coëfficiëntenmatrix met een kolomvector, waarin we de variabelen x, x,..., x n plaatsen: 4 4 Deze vermenigvuldiging moeten de oplossingen van de onbekenden van het lineaire stelsel opleveren. Deze oplossingen plaatsen we eveneens in een kolomvector: x x x 4 4 x x x = 4 8 (.9) Reken zelf na dat deze vergelijking een correcte manier vormt voor het weergeven van een lineair stelsel. Welnu: De coëfficiëntenmatrix noemen we A. De kolomvector met geïndexeerde variabelen (x, x,..., x n ) noemen we x. De kolomvector met de constante termen noemen we c. Vergelijking.9 kan dus als volgt worden weergegeven: Ax = c (.) Het oplossen van lineair stelsel.7 geschiedt door vergelijking. aan beide kanten met de inverse matrix te vermenigvuldigen: Ax = c AA x = A c 8

40 Op basis van de regel AA = I verkrijgen we: Ix = A c We herinneren ons dat het vermenigvuldigen van een rij- of kolomvector met een identiteitsmatrix geen effect had. Daarom verkrijgen we: Ix = A c x = A c We kunnen de oplossing van lineair stelsel.7 dus berekenen door de vector met de constante termen te vermenigvuldigen met de inverse van de coëfficiëntenmatrix. Daar we de inverse matrix reeds eerder in dit hoofdstuk hadden berekend, zou dus moeten gelden: Berekening x : x x x = = 7 Berekening x : Berekening x : Voer nu zelf de volgende controle uit: = = = 4 8 9

41 .7 De determinant: eigenschappen en gebruik Van een lineair stelsel kan men de zogenaamde determinant berekenen. De determinant wordt berekent door op de coëfficiëntenmatrix A van een lineair stelsel een specifieke procedure uit te voeren. Deze procedure levert één specifiek getal op. Dit getal, de determinant, vertelt ons of we te maken hebben met een lineair onafhankelijk stelsel of niet. Het getal vertelt ons dus of het gegeven stelsel lineaire vergelijkingen precies één oplossing heeft of niet. De determinant heeft de volgende eigenschappen: De determinant det(a) van een n n matrix A is een scalair; Als det(a) = dan heeft de matrix A geen inverse matrix A ; Als de determinant wordt berekend uit de coëfficiëntenmatrix A van een lineair stelsel en det(a) = dan is het lineaire stelsel afhankelijk of strijdig. Als det(a) dan is het lineaire stelsel onafhankelijk en niet strijdig; Voor het berekenen van een determinant bestaan verschillende methodes..7. De determinant van een matrix In zijn algemeenheid wordt de determinant van een matrix als volgt berekend: ( a b A = c d ) det(a) = a c b d = a d b c Voorbeeld met getallen: 7 5 = 5 ( 7) = 9.7. De determinant van strijdige D-vergelijkingen De lijnen ax + by = c en ax + by = c lopen evenwijdig als c c. Zij hebben geen gemeenschappelijke punten dus ook geen gemeenschappelijke oplossingen. De determinant van de coëfficiënten is: a a b b = ab ba = 4

42 .7. De determinant van afhankelijke D-vergelijkingen De lijnen ax+by = c en α(ax+by) = αc zijn afhankelijk van elkaar en hebben alle punten gemeenschappelijk en oneindig veel oplossingen. De determinant van de coëfficiënten is; a αa b αb = aαb bαa =.7.4 De determinant van oplosbare D-vergelijkingen Als de determinant van de coëfficiënten ongelijk is, dan snijden de lijnen ax + by = c en dx + ey = f elkaar: a d b e = ae bd Opmerking: De waarden < c < + en < f < + zijn geen criteria voor het bestaan van een snijpunt..7.5 De determinant van een matrix De procedure om van een matrix de determinant te berekenen, is op het eerste gezicht niet erg duidelijk. Een handige manier om het berekenen van de determinant gemakkelijker te onthouden is de som van de producten van diagonaalelementen: A = a, a, a, a, a, a, a, a, a, det(a) = a, a, a, a, a, a, a, a, a, = +a, a, a, a, a, a, +a, a, a, a, a, a, +a, a, a, a, a, a, = +a, (a, a, a, a, ) a, (a, a, a, a, ) +a, (a, a, a, a, ) Als we dit stap voor stap uitleggen:. De twee eerste kolomvectoren uit de coëfficiëntenmatrix worden rechts naast deze matrix erbij geplaatst: a a a a a a a a a a a a a a a 4

43 . Vermenigvuldig nu alle elementen op de hoofddiagonaal (deze zijn voor de duidelijkheid omkaderd): a a a a a a a a a a a a a (a a a ) a a. Schuif (in gedachten) de volledige hoofddiagonaal één plaats op naar rechts en vermenigvuldig wederom de elementen op die denkbeeldige diagonaal: a a a a a a a a a a a a a (a a a ) a a 4. Schuif de denkbeeldige diagonaal nogmaals één plaats op naar rechts en vermenigvuldig nogmaals alle elementen op die diagonaal: a a a a a a a a a a a a a (a a a ) a a 5. Tel de uitkomsten van alle vermenigvuldigingen bij elkaar op: (a a a ) + (a a a ) + (a a a ) 6. Hiermee hebben we de positieve diagonalen gehad. De negatieve diagonalen berekenen we door weer een diagonaal in gedachten te nemen. Deze diagonaal begint rechts bovenaan en loopt schuin naar links. Vermenigvuldig alle elementen op deze denkbeeldige diagonaal: a a a a a a a a a a a a a (a a a ) a a 7. Schuif de diagonaal één plaats naar links en vermenigvuldig alle elementen op de diagonaal: a a a a a a a a a a a a a (a a a ) a a 4

44 8. En nogmaals opschuiven en vermenigvuldigen: a a a a a a a a a a a a a (a a a ) a a 9. Tel alle uitkomsten van de vermenigvuldigingen bij elkaar op: (a a a ) + (a a a ) + (a a a ). Nu hebben we de producten van de elementen in de negatieve diagonalen uitgerekend. Ons rest nog slechts de positieve en de negatieve diagnaalproducten van elkaar af te trekken: det(a) = (a a a )+ (a a a )+ (a a a ) } {{ } positieve diagonalen (a a a )+ (a a a )+ (a a a ) } {{ } negatieve diagonalen Het resultaat van het optellen van alle vermenigvuldigingen van diagonaalelementen in dezelfde richting en het aftrekken van alle vermenigvuldigingen van diagonaalelementen in de andere richting, blijft hetzelfde als alle elementen getransponeerd worden. Daarom geldt det(a) = det(a T ). Voorbeeld: det(a) = a b c d = ad cb = ad bc = a c b d = det(a T ) Dit geldt ook voor de determinant een n n matrix en de getransponeerde daarvan, bijvoorbeeld de determinant: det(a) = = (a a a )+ (a a a )+ (a a a ) (a a a )+ (a a a )+ (a a a ) (a a a )+ (a a a )+ (a a a ) (a a a )+ (a a a )+ (a a a ) Voorbeeld. Beschouw het volgende stelsel lineaire vergelijkingen: = det(a T ) { x + x = 8 4x + 5x = 6 (.) 4

45 Teneinde de determinant van stelsel. te kunnen berekenen, bepalen we van stelsel. de coëfficiëntenmatrix: A = De determinant wordt als volgt berekend: det(a) = 4 5 ( 4 5 ) = ( 5) ( 4) = De determinant is niet gelijk aan, derhalve hebben we te maken met een lineair onafhankelijk stelsel. Stelsel. heeft dus precies één oplossing. Voorbeeld. Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen: x + x + 4x = 4 x + 4x + x = 5 x + x + 4x = 8 (.) Wederom bepalen we ter berekening van de determinant eerst de coëfficiëntenmatrix van stelsel.: De determinant van deze matrix wordt met het product van de diagonaal elementen, als volgt berekend: A = det(a) = = (( 4 4) + ( ) + (4 )) ((4 4 ) + ( 4) + ( )) det(a) = ( ) ( ) = 4 De determinant is weer niet gelijk aan, daarom heeft ook dit stelsel precies één oplossing. 44

46 .7.6 De determinant recursief berekenen De methode waarbij een determinant wordt berekend als de som van producten van diagonaalelementen is ook een recursieve wijze voor te stellen. Zonder daarvoor de elementen a r,k = a,, a,, a, (de eerste rijvector) af uit de determinant: Opmerkingen: det(a) = a, a, a, a, a, a, a, a, a, det(a) = +a, a, a, a, a, = a, +a, (a, a, a, a, ) a, (a, a, a, a, ) +a, (a, a, a, a, ) a, a, a, a, + a, a, a, a, a,. Als van het keuze-element +a r,k de som r + k even is, neem dan +a r,k, anders a r,k, zoals +a, a, + a, ;. De recursieve rekenmethode werkt voor alle n n determinanten met < n. De determinant van element is gelijk aan dit element;. De eigen kolommen en rijen van de n keuze-elementen doen niet mee om de n kleine determinanten te bepalen; 4. Elke kolom of rij mag gebruikt worden om de n keuze-elementen te leveren. De keuze-elementen komen wel uit dezelfde kolom of rij; 5. De rekentijd T(n) om een n n determinant met n kleinere (n ) (n ) determinanten of met de eerder behandelde diagonaalmethode te bepalen, neemt toe met n!: T() = T(n) = n T(n ) T(n) = O(n!) Voorbeeld. De telefoonmatrix : Bereken de determinant met een rij: = Of met een kolom: = = + 9 = = + 4 = 45

47 .7.7 De regel van Cramer Een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = c kan worden opgelost met behulp van determinanten, zonder dat een inverse matrix A of een veegprocedure noodzakelijk is. De oplossing voor x i wordt berekend met de regel van Cramer: x i = det(a i) det(a) det(a) De determinant det(a i ) ontstaat door de i-de kolom van det(a) te vervangen door de kolom in c. Het stelsel is echter alleen oplosbaar als A een inverse A heeft, dus als det(a). Voorbeeld: ax + cx = e bx + dx = f ( a c A = b d ) ( e c = f ) Van de coëfficiëntenmatrix A wordt de determinant bepaald: det(a) = a c b d = ad cb Voor het vinden van de oplossingen x en x moeten we eerst det(a ) en det(a ) berekenen: det(a ) = e c f d = ed c f det(a ) = a e b f = a f eb Als det(a) dan zijn de oplossingen van de onbekenden x en x : x i = det(a i) det(a) x = ed c f ad cb x = a f eb ad cb Hoewel de regel van Cramer het vinden van een oplossing heeft teruggebracht tot een eenvoudig rekenschema, is het berekenen van determinanten van een n n matrix inefficiënter naarmate n groter is (O(n!)). Een veegmethode geeft bij grote n sneller de oplossing (O(n,77 )). De regel van Cramer wordt daarom vooral gebruikt bij kleine stelsels met à onbekenden met functies van andere variabelen als coëfficiënten, zoals het volgende stelsel: x cos φ y sin φ = a x sin φ + y cos φ = b det(a) = + cos φ sin φ + sin φ + cos φ De coëfficiëntendeterminant det(a) = cos φ + sin φ = is voor elke waarde van de variabele φ ongelijk aan. Dit betekent dat voor elke hoek φ een oplossing is te vinden voor x en y. Deze oplossingen volgen direct uit de regel van Cramer: x = a cos φ + b sin φ en y = a sin φ + b cos φ. 46

48 .8 Bijzondere lineaire stelsels Zoals in paragraaf.4 is opgemerkt, geven niet alle stelsels lineaire vergelijkingen normale oplossingen. De tegenstrijdige stelsels geven geen oplossingen, afhankelijke stelsels geven oneindig veel oplossingen..8. Lineaire stelsels van het type Ax = o Een stelsel lineaire vergelijkingen van het type Ax = o waarbij o de nulvector is, wordt homogeen stelsel genoemd. Elk homogeen stelsel waarvoor det(a), heeft uitsluitend de triviale oplossing Ao = o. Voorbeeld.4 x + x + x = x + 4x + x = x + x + 4x = det(a) = 4 4 = 4 Dit stelsel is oplosbaar en heeft de nulvector o als triviale oplossing, zie de Gauss/Jordan geveegde toegevoegde matrix: 4 4 Als det(a) = dan kan het homogene stelsel alleen een afhankelijk stelsel zijn (strijdigheid is onmogelijk). Een afhankelijk stelsel is oplosbaar en heeft naast de triviale o oplossing ook oneindig veel niet-triviale oplossingen (snijlijnen of vlakken in D). Voorbeeld.5 x + x + x = x + 4x + x = 4x + 6x + x = det(a) = = De Gauss/Jordan geveegde toegevoegde matrix is: Het overeenkomstige afhankelijke stelsel is: { x x = x + x = De resulterende vergelijkingen zijn twee vlakken in de oorsprong die een snijlijn hebben. 47

49 De niet-triviale oplossing van een D-homogeen stelsel is een vlak of een snijlijn van vlakken..8. Lineaire stelsels van het type Ax = λx Een stelsel lineaire vergelijkingen van het type Ax = λx waarbij x de vector is die een veelvoud van zijn eigen waarden λx als oplossing heeft, wordt op de volgende wijze opgelost: Ax = λx Ax = λix Ax λix = o (A λi)x = o Het homogene stelsel (A λi)x = o heeft altijd de triviale oplossing x = o en als det(a λi) = extra niet-triviale oplossingen. Voorbeeld.6 Gegeven het stelsel lineaire vergelijkingen: { 4x 5x = λx x x = λx Bepaal de waarden λ waarbij det(a λi) = : det(a λi) = 4 λ 5 λ = (4 λ)( λ) + = λ λ = De vergelijking λ λ = (λ + )(λ ) = wordt de karakteristieke vergelijking van matrix A genoemd. De oplossingen zijn de eigenwaarden van de vergelijking λ = en λ =. Per eigenwaarde worden nu de niet-triviale oplossingen van de vectoren berekend met de formule (A λi)x = o. De oplossingen in vectorvorm worden de eigenvectoren genoemd: { (4 + )x 5x = x ( + )x = { (4 )x 5x = x ( )x = ( ) ( 5 De eigenvectoren van A zijn x = en x = Ax = λ x en Ax = λ x. ( ) ( ) ( ) ( 4 5 = = ( ) x = voor λ = ( ) 5 x = voor λ = ) ( 4 5 ), zij voldoen aan de vergelijkingen ) ( 5 ) ( 5 = ) ( ) = 4 48

50 .9 Opgaven. Bepaal met Gauss-Jordan de oplossing van het volgende stelsel vergelijkingen: x + x x = x + x x = 4x + 9x 8x = 5. Bepaal met Gauss-Jordan de oplossing van het volgende stelsel vergelijkingen: x x + x = x + x + x = 4x + x + 4x =. Bepaal met Gauss-Jordan de oplossing van het volgende stelsel vergelijkingen: x x + x = x + x + x = 4x + x + 4x = 4. Bepaal met Gauss-Jordan de oplossing van het volgende stelsel vergelijkingen: x x + x = x + x + 4x = 4x + x + 4x = 5. Gegeven: A = ( ) e + +e ( c = ) Bereken de determinant det(a) en vindt de oplossing voor x in stelsel Ax = c. 6. Gegeven: A = ( 7 9 ) Bereken: de eigenwaarden λ en λ. 49

51 Hoofdstuk Vectormeetkunde Omdat in dit hoofdstuk meer de nadruk ligt op de meetkundige aspecten van vectoren dan op de stelsels lineaire vergelijkingen, worden de namen van de elementen v v en v van een vector v geïndexeerd met de namen van de basisvectoren van de vectorruimte, zoals v x, v y en v z. Bij voorkeur wordt een vector als een kolomvector geschreven, de samenstellende componenten zijn dan gemakkelijk te herkennen. Incidenteel worden rijvectoren gebruikt. Scalaire constanten en variabelen worden aangegeven met dun gedrukte cijfers, Latijnse of Griekse letters. Vectoren worden met vetgedrukte kleine letters aangegeven, matrices met vetgedrukte hoofdletters.. De vectorruimte De vectorruimte bevat twee soorten elementen: vectoren en scalairen. Een scalair is een reële constante of variabele waarde. Een vector v is voor te stellen als een pijl met een oriëntatie en een lengte v. De oriëntatie van een vector is vergelijkbaar met een stand van een kompasnaald of een klokwijzer, niet te verwarren met het begrip richting. Evenwijdige lijnen hebben dezelfde richting, de oriëntatie is dan niet relevant. Het product van een reële scalair α en een vector v resulteert altijd in een vector αv. Zelfs het product v resulteert in de nulvector o, de vector zonder lengte o =, oriëntatie of richting. Elke vector αv met α heeft dezelfde richting als v. Als < α is de lengte van de vector αv groter dan de vector v. Als < α < is de lengte kleiner dan de lengte van de originele vector. Bij < α heeft de resulterende vector dezelfde oriëntatie als de originele vector. Bij α < krijgt de resulterende vector een omgekeerde oriëntatie. Voor de vector v en de scalairen α en β geldt: 5

52 v v,5w w w Figuur.: Het product in de vectorruimte. Voor de som van vectoren geldt: αv = vα α(βv) = (αβ)v = αβv (α + β)v = αv + βv v = o v + w = w + v v + (w + r) = (v + w) + r = v + w + r o + v = v Een negatieve vector heeft dezelfde richting maar een omgekeerde oriëntatie als de positieve vector. Een negatieve vector kan gewoon opgeteld worden: v w = v + ( w) De som van twee vectoren kan meetkundig geconstrueerd worden met behulp van een parallellogram (zie figuur.). v v w v+w w v w w Figuur.: Optellen van vectoren v en w. Het is ook mogelijk een som van vectoren te maken door ze met behoud van oriëntatie en lengte achter elkaar te plaatsen (zie figuur.). In de vectorruimte zijn vectoren te construeren als een samenstelling van één of meer vectorsommen. Het minimum aantal vectoren dat voldoende is om een willekeurige vector met een gewenste richting en lengte te construeren, wordt de dimensie van de vectorruimte genoemd. Dit stelsel minimum aantal vectoren, de basisvectoren, mogen wel in 5

53 v w w v w v w v+w v Figuur.: Rechtstreeks optellen van v en w. w v lengte verschillen maar geen nulvector zijn. Zij moeten bovendien lineair onafhankelijk van elkaar zijn. Basisvectoren zijn lineair onafhankelijk van elkaar als elke basisvector scalair met nul vermenigvuldigd moet worden om de nulvector te verkrijgen. In de tweedimensionale (D) vectorruimte geldt voor lineair onafhankelijke basisvectoren: αu + βv = o α = β = Indien dat niet zo is, dan is zijn u en v afhankelijk van elkaar en hebben in de Dvectorruimte dezelfde richting: αu + βv = o α u = β α v Als twee lineaire onafhankelijke vectoren u en v de basis van een D-vectorruimte vormen, dan kan elke vector p in deze D-vectorruimte geconstrueerd worden uit de basisvectoren u en v: p = αu + βv u p,5v p,6u u v Figuur.4: De constructie van p =, 6u, 5v. v Lineaire onafhankelijkheid in de D-vectorruimte betekent dat de basisvectoren niet in één gemeenschappelijk vlak mogen liggen. Voor grotere n-dimensionale vectorruimtes zijn dit soort verboden moeilijk meetkundig voor te stellen, maar ook daar geldt voor de n lineair onafhankelijke basisvectoren de volgende relatie: β b + β b β n b n = o β = β =... = β n = 5

54 . De affiene ruimte De affiene ruimte is een uitbreiding van de vectorruimte met het begrip positie of punt. Men kan de affiene ruimte voorstellen als de vectorruimte met een vast referentiepunt, de oorsprong o. Deze oorsprong heeft de nulvector als waarde. u v o Figuur.5: Een affien D-stelsel met de basisvectoren u en v... De affiene D-ruimte Een vector p in de affiene D-ruimte wordt uitgedrukt in de twee onafhankelijke basisvectoren met de volgende vectorvergelijking: p = o + p u u + p v v Hierbij vormen de scalairen p u en p v de kentallen van de vector p. Omdat een vector verschoven mag worden met behoud van lengte en oriëntatie, mag zijn aangrijpingspunt in de oorsprong o geplaatst worden. Hierdoor zijn twee gelijkwaardige beschrijvingen van een vector mogelijk: Meetkundig: De vector als pijl met een oriëntatie en een lengte, is geschikt om constructies grafisch weer te geven om meer inzicht te verkrijgen; Rekenkundig: De kentallen, de coördinaten van het eindpunt van de vector vanuit de oorsprong, zijn handig om producten van vectoren met scalairen en optellingen van vectoren te berekenen. Een punt p met de coördinaten (p u, p v ) wordt in deze reader meestal als kolomvector en soms als rijvector genoteerd: p = ( pu p v ) p = (p u p v ) Het product van de scalair α met de vector p met de kentallen: ( ) ( ) pu αpu αp = α = p v αp v 5

55 De som van de vector p en vector q met kentallen: p + q = ( pu ) + p v ( qu ) = q v ( ) pu + q u p v + q v p p q p q q o Figuur.6: Het vectorverschil. Als in figuur.6 de vectoren p en q de kentallen ( ) pu q verschil p q de kentallen u. p v q v ( pu ) en p v ( qu ) hebben, dan heeft het q v Voorbeeld. ( ) ( ) 6 = ( ) ( ) ( 4 + = ( ) ( ) ( 4 6 = ) ).. Lijnen in de affiene D-ruimte In de affiene D-ruimte kunnen punten met vaste vectoren en lijnen met variabele vectoren worden aangegeven. Een lijn door de oorsprong wordt volledig bepaald door zijn richting. Deze richting wordt bepaald door een richtingsvector r. De lijn door de oorsprong o (figuur.7a) heeft de vectorvergelijking: ( ) ( ) ru αru lijn = αr = α = r v αr v Door de variabele vector lijn met een reële waarde van de parameter in het waardebereik < α < vast te leggen, kan elk punt op de lijn aangegeven worden. In de grafische programmatuur noteert men bij voorkeur de variabele vector lijn als functie van het 54

56 p q o r p r q A p+r o B o Figuur.7: Lijnen als variabele vectoren. p C type vector met de formele reële parameter α. De definitie van deze vectorfunctie is dan lijn[α] = αr. Het aanroepen van deze vectorfunctie met actuele waarden voor α zijn dan punten op de lijn, zoals lijn[] en lijn[ 5, 66]. Een lijn die niet door de oorsprong gaat (figuur.7b), maar wel door p in de richting van r heeft de vectorvergelijking: lijn = p + αr = ( pu p v ) ( ) ( ) ru pu + αr + α = u r v p v + αr v Als twee punten p en q op een lijn bekend zijn (zie figuur.7c), dan heeft de richtingsvector r dezelfde richting als de verschilvectoren p q en q p. Als we de richtingsvector vervangen door een van de verschilvectoren r = p q, dan is de vectorvergelijking van de lijn door p en q: lijn = p + α(p q) = ( pu p v ) ( ) ( pu q + α u pu + α(p = u q u ) p v q v p v + α(p v q v ) ).. De affiene D-ruimte Een vector p in de affiene D-ruimte wordt uitgedrukt in de drie onafhankelijke basisvectoren met de volgende vectorvergelijking: p = o + p u u + p v v + p w w Hierbij vormen de scalairen p u, p v en p w de coördinaten of vertex (p u, p v, p w ) van het punt p. De vector p van het punt p met de scalairen (p u, p v, p w ) wordt als kolomvector of als rijvector genoteerd: p = p u p v p w p = (p u p v p w ) 55

57 ..4 Een lijn in de affiene D-ruimte In de affiene D-ruimte worden lijnen op dezelfde manier geconstrueerd als lijnen in de D-ruimte. Alleen wordt er gebruik wordt gemaakt van D-vectoren in plaats van Dvectoren: lijn = p + αr Als twee verschillende punten p en q op de lijn bekend zijn, dan kan de richtingsvector r vervangen worden door één van de verschilvectoren p q en q p. De parametrische vectorvergelijking van de lijn is: lijn = p + α(p q) = p u p v p w + α p u q u p v q v p w q w = p u + α(p u q u ) p v + α(p v q v ) p w + α(p w q w )..5 Een vlak in de affiene D ruimte In de D-ruimte is maar één vlak, het vlak waarin alle vectoren liggen. In de D-ruimte zijn oneindig veel vlakken. Al deze vlakken hebben de eigenschap dat ze evenwijdig zijn met een vlak door de oorsprong. De parametrische voorstelling van zo n vlak v door de oorsprong o wordt bepaald door twee onafhankelijke vectoren r en s is: v = λr + γs = λ r u r v r w + γ s u s v s w = λr u + γs u λr v + γs v λr w + γs w Beide vectoren r en s liggen in het vlak, zij worden daarom opspannende vectoren van het vlak genoemd (zie figuur.8). De scalairen λ en γ mogen elke reële waarde aannemen, elk punt op het vlak is bepaald door een waarde van λ en van γ. w s r o u v Figuur.8: Een vlak door de oorsprong. Als we dit vlak evenwijdig verplaatsen met de vector p, dan is de vergelijking van een vlak v dat een punt p omvat (zie figuur.9): 56

58 v = p + λr + γs = p u p v p w + λ r u r v r w + γ s u s v s w = p u + λr u + γs u p v + λr v + γs v p w + λr w + γs w w r p o u v s Figuur.9: Een evenwijdig verplaatst vlak.. De Euclidische ruimte Als alle basisvectoren een loodrechte hoek ten opzichte van elkaar maken, dan wordt zo n stelsel een orthogonaal coördinatenstelsel genoemd. Als de basisvectoren ook nog even lang zijn en de eenheidsafstand hebben, dan wordt het een orthonormaal coördinatenstelsel of Euclidische ruimte genoemd. De namen en kentallen van de orthonormale D-basisvectoren zijn: ( ) x = ( ) y = De namen en kentallen van de orthonormale D-basisvectoren zijn: x = y = z = Hoewel in het affiene stelsel al sprake is van rudimentaire coördinaten, zijn afstanden en de hoeken nog niet echt kwantificeerbaar omdat de basisvectoren ongelijke lengtes kunnen hebben en scheef op elkaar kunnen staan. In de Euclidische ruimte met orthonormale basisvectoren zijn kwantificeerbare afstanden en hoeken wel mogelijk. De afstand tussen twee punten is gedefinieerd als de lengte van het lijnstuk tussen de twee punten uitgedrukt in de eenheidslengte. Hoeken tussen lijnen worden uitgedrukt in graden of radialen. Enkele toepassingen in de Euclidische ruimten: 57

59 o a b m o a m b a b /(a b) Figuur.: Het midden van een lijnstuk. Het midden van een lijnstuk tussen de punten a en b: De verschilvector a b heeft dezelfde lengte en richting als het lijnstuk. De halve lengte is (a b), het punt m in het midden van het lijnstuk is: m = b + (a b) = (a + b) Voorbeeld: a = b = 5 4 m = (a + b) = Het zwaartepunt m van de driehoek met de hoekpunten a, b en c (zonder bewijs): m = (a + b + c) Voorbeeld: a = b = 5 4 b = 4 (m) = (a + b + c) = Voor n punten kan deze formule worden uitgebreid tot: m = n (p + p p n ) Zwaartepunten zijn belangrijk bij bewegende objecten. Het zwaartepunt volgt exact de baan waarmee een object zich verplaatst door de Euclidische ruimte. Het is ook het middelpunt van een roterend object. 58

60 .. Het inproduct v w in de Euclidische ruimte Om gemakkelijk met afstanden en hoeken te kunnen werken, is het eerder besproken (paragraaf..4) inproduct van vectoren goed bruikbaar. Het inproduct van twee vectoren v en w wordt genoteerd als v w. Het resultaat van het inproduct is een scalaire waarde. Voor de vectoren u, v, w, de nulvector o en de scalair α gelden de volgende rekenregels: v w = w v u (v + w) = u v + u w o v = α(v w) = αv w = v αw = (v w)α Hoewel het inproduct al gedefinieerd is in de affiene ruimte, krijgt het een extra meetkundige betekenis in de Euclidische ruimte. Het geeft de relatie tussen de hoek θ en de lengte v en w van twee vectoren aan: v w = v w cos θ Het inproduct komt meetkundig overeen met het oppervlakte van de rechthoek in figuur.. v θ w v cos θ oppervlakte= v w cos θ w Figuur.: Het inproduct als oppervlakte van de rechthoek. Het inproduct heeft een bijzondere betekenis als v w =. In dat geval staan de vectoren v en w loodrecht op elkaar omdat cos 9 =. Als de kentallen t.o.v. de basisvectoren bekend zijn, dan kan het inproduct ook in kentallen worden berekend van D-vectoren: en van D-vectoren: v w = v x w x + v y w y en van n-dimensionale vectoren: v w = v x w x + v y w y + v z w z 59

61 v w = v w + v w v n w n Het inproduct heeft enkele belangrijke toepassingen: De mogelijkheid om de lengte van een vector te bepalen: v v = v v cos = v Daaruit volgt de lengte zoals die in de Euclidische ruimte met de stelling van Pythagoras gedefinieerd is: v = v v = v x + v y De vector n die loodrecht op de vector r staat, noemen we de normaalvector van r. In de D-ruimte is met het inproduct n r = gemakkelijk zo n normaalvector te vinden: ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b r = n = = ab ba = b a b a ( r = ) ( n = ) Omdat in de D-ruimte een vector n oneindig veel loodrechte vectoren in verschillende richtingen heeft, geeft de vergelijking v n = geen vector, maar een vlak v dat loodrecht op n staat en door de oorsprong o gaat. In dit geval is n de normaalvector van dat vlak v. Om in de D-ruimte de loodlijn te vinden die loodrecht op een lijn = p + λr in punt p staat, bepalen we eerst de richtingsvector r van de lijn. Met n r = vinden we n. Hieruit volgt de vectorvergelijking voor de loodlijn door de oorsprong: loodlijn = µn. De loodlijn door punt p wordt: loodlijn = p + µn. Uit de algemene vergelijking van een D-cirkel c = (x, y) met het middelpunt m = (m x, m y ) en een straal r volgt: (x m x ) + (y m y ) = (c m) (c m) = c m = r c m = r De vectorvoorstelling van een D-cirkel c met middelpunt m en straal r is dus: c m = r 6

62 r m c c m o Figuur.: De cirkel c met middelpunt m en straal r. Een eenheidsvector is een vector v e met de lengte v e =. Uit elke niet-nulvector v kan een eenheidsvector v e in dezelfde oriëntatie geconstrueerd worden door deze scalair te delen door zijn lengte: Van de vector v = v x v y v z v e = v v = v v v is de lengte v = v x + v y + v z. Daaruit volgt: v e = v x + v y + v z De hoek θ tussen een vector v en een andere vector w kan uitgedrukt worden in de lengte en het inproduct van beide vectoren: cos θ = v w v w v x v y v z θ = arccos ( ) v w v w In de D-ruimte is de hoek tussen v en w in het vlak waarin beide vectoren liggen. Het inproduct wordt ook gebruikt om vectoren op elkaar te projecteren. In figuur. is de lengte van de projectie van vector v op vector w gelijk aan: projectielengte = v cos φ = v w e cos φ = v w w Omdat cos φ negatief kan zijn en de lengte van een lijnstuk altijd groter of gelijk aan nul is, is de absolute waarde van v cos φ genomen. 6

63 v φ w e w v cos φ Figuur.: De projectie van v op w. w θ v Figuur.4: De hoek θ tussen v en w. ( Voorbeeld. De hoek θ tussen de vectoren v = ) ( en w = ) in figuur.4: cos θ = v w v w = 5 =, θ = ± arccos(cos θ) = ± arccos(, 94868) = ±, 8 in radialen = ±8 6 in graden Omdat cos θ = cos θ is de polariteit van de oriëntatie ± niet belangrijk voor het inproduct. Daarom wordt de positieve hoek gekozen: θ = 8 6. Opmerking: Omdat het inproduct van twee vectoren een scalair resultaat geeft, wordt het soms het scalairproduct genoemd. Deze naam wordt in deze reader niet gebruikt omdat het vaak verwarring schept met het product van een scalair en een vector... Het uitproduct v w in de Euclidische D-ruimte De Euclidische D-ruimte kent het uitproduct n = v w van twee onafhankelijke vectoren v en w, resulterend in een normaalvector n loodrecht op het vlak van v en w, zie figuur.5. 6

64 n n w θ v v θ w Figuur.5: Het uitproduct. In andere dimensies is het uitproduct ongedefinieerd. Voor het niet-commutatieve uitproduct gelden de volgende rekenregels: v w = w v u (v + w) = u v + u w v v = o α(v w) = αv w = v αw = (v w)α Het resultaat van een uitproduct van twee afhankelijke vectoren zoals v αv is altijd de D-nulvector o, de vector zonder oriëntatie en lengte. Als een kurkentrekker rechtsom een kurk wordt ingedraaid, dan gaat de beweging de kurk in (zie figuur.6). De oriëntatie van de resulterende vector v w is het gevolg van de draaiing van de eerste vector v naar tweede vector w. Als dit rechtsom is, dan volgt de oriëntatie van de loodrechte vector op het vlak de oriëntatie volgens de kurkentrekkerregel. v x w v Figuur.6: De kurkentrekkerregel. w De lengte n van de normaalvector n = v w kan men meetkundig voorstellen als het oppervlakte van het parallellogram dat gemaakt wordt door v en w (zie figuur.7). Met n e = v w v w is de eenheidsnormaal bepaald, een vector die loodrecht op het vlak staat met de lengte van. Als men het hoekverschil tussen twee vectoren relatief ten opzichte van een basiseenheidsvector wil uitrekenen, dan is de polariteit van de oriëntatie voor het hoekverschil wel relevant. Bijvoorbeeld in figuur.8 is v w = 8 6 = 4 4 en w v =

65 n = v x w w w sin θ v Figuur.7: Meetkundige voorstelling van n = v w = v w sin θ. w θ v Y w v O X Figuur.8: Het hoekverschil θ = v w In een orthonormaalstelsel is het hoekverschil θ = v w < 6 ten opzichte van de basisoriëntatie X met behulp van cos θ = v w en sin θ = v w te bepalen: v w v w θ = { + arccos(cos θ) als sin θ arccos(cos θ) als sin θ < Als de kentallen bekend zijn, dan wordt het uitproduct van twee vectoren v en w uitgedrukt in de basisvectoren van de Euclidische D-ruimte: x = met behulp van de determinant: y = z = n = v w = x v x w x y v y w y z v z w z n x n y n z = + v y v z w y w z v x v z w x w z + v x v y w x w y = +v y w z v z w y v x w z + v z w x +v x w y v y w x Voorbeelden: 64

66 x y z = x y z = x y z = Enkele toepassingen van het uitproduct: Het bepalen van de eenheidsnormaalvector op de driehoek op met hoekpunten: a = b = c = Dit is het uitproduct van de verschilvectoren (b a) en (c a), gedeeld door de lengte van de normaal (b a) (c a) : x (b a) (c a) = x y z = y z = Het resultaat is in dit geval de basisvector z die ook een eenheidsvector is omdat z = + + =. Het bepalen van een vlak door de oorsprong met een normaalvector. Een vlak door de oorsprong is een verzameling punten die voldoet aan de vectorvergelijking v = λr + γs, waarbij r en s de opspannende vectoren worden genoemd. De scalairen λ en γ mogen elke reële waarde aannemen, elk punt op het vlak is bepaald door een waarde van λ en γ. De normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht op dit vlak staat. Om de normaalvector n te bepalen nemen we het uitproduct van de opspannende vectoren q en r: n = r s Als n o dan is de hoek tussen de normaalvector en het vlak loodrecht. De vector n staat dus ook loodrecht op de opspannende vectoren r en s, daarom zijn de volgende inproducten dus : n r = n s = n (λr + γs) = Uit de vergelijking van het vlak v = p + λr + γs volgt λr + γs = v p. Als dit gecombineerd wordt met het vorige resultaat, dan volgt de normaalvergelijking van een vlak: n (λr + γs) = n (v p) = 65

67 De oppervlakte van een driehoek tussen de hoekpunten a = (a x, a y, a z ), b = (b x, b y, b z ) en c = (c x, c y, c z ) kan worden uitgedrukt als het halve oppervlakte van het parallellogram b a c a sin θ van het uitproduct (b a) (c a) : opp( ) = (b a) (c a) +(b x c y b x a y c x b y + c x a y a x c y + a x b y ) = +(a x c z + b x a z + c x b z c x a z b x c z a x b z ) +(b y c z b y a z a y c z b z c y + b z a y + a z c y ) De kortste afstand d van een punt q tot de lijn = p + λr, zie figuur.9: q d p q θ r p O lijn Figuur.9: Kortste afstand d van punt q tot lijn d = p q sin θ = r e (p q) = r (p q) r De kortste afstand d tussen twee kruisende lijnen lijn = p + λr en lijn = q + γs is de projectie van p q op de eenheidsnormaal van het vlak door o dat door beide lijnen bepaald wordt: d = (r s) (p q) r s Het lijnstuk met de kortste afstand tussen twee lijnen staat loodrecht op beide lijnen, de normaal r s van het gecombineerde vlak heeft dezelfde richting... De normaalvergelijking van een vlak Een willekeurig vlak v = p + λr + γs kan met behulp van een normaalvergelijking beschreven worden. Om deze normaalvergelijking te bepalen wordt eerst het uitproduct van de twee opspannende vectoren r en s de normaalvector bepaald: r s. Het evenwijdige vlak door de oorsprong heeft nu de vergelijking (r s) v =. Verplaats dit evenwijdige vlak met vector p. Het verplaatste vlak v heeft de vergelijking (r s) (v p) =. Een alternatieve zienswijze is dat elke verschilvector v p die in het vlak v ligt, een hoek van 9 maakt met de normaalvector van dat vlak, dus (r s) (v p) =. 66

68 Voorbeeld. Een vlak v is opgespannen door de vectoren r = gedragen door vector p =. Bepaal de normaalvergelijking van het vlak v. en s = Eerst bepalen we de normaalvergelijking van het vlak evenwijdig aan v dat door de oorsprong o gaat: r s = 4 = x y z 4 = 8 7 8x 7y + z =. Het is gebruikelijk om in normaalvergelijkingen voor de variabele vector v, de symbolische kentallen x,y en z te gebruiken in plaats van v x,v y en v z. De normaalvergelijking van het vlak v door punt p wordt nu: (r s) (v p) = 8 7 x y z 4 en = 8x 4 7y+4+z = 8x 7y+z = Enkele eigenschappen van de normaalvergelijking van een vlak: De normaalvergelijking ax + by + cz = van een vlak door o is gemakkelijk te af te leiden uit de kentallen van de normaal op dit vlak en omgekeerd: Voorbeeld: n = a b c ax + by + cz = 6x 4y + 4z = 8x 7y + z = n = Elk vlak door de oorsprong is één-éénduidig bepaald door de richting loodrecht op dat vlak. Een normaalvector n o in deze richting bepaalt dus het vlak door de oorsprong, de lengte en oriëntatie daarvan zijn irrelevant. De kortste afstand d van een vlak v = p + λr + γs tot de oorsprong is de lengte van de vector van een punt p op dit vlak geprojecteerd op de eenheidsnormaal van dit vlak: d = (r s) (p) r s

69 De kortste afstand d tussen een punt q en een vlak v = p + λr + γs is de projectie van p q op de eenheidsnormaal van dat vlak: d = (r s) (p q) r s Het lijnstuk met de kortste afstand tussen een punt en een vlak staat loodrecht op het vlak, de normaal r s van het vlak heeft dezelfde richting. Het tekenen van een vlak met een normaalvergelijking ax+by+cz = d is eenvoudig: Het snijpunt met de x-as wordt gevonden door y = z = te stellen en de vergelijking op te lossen voor x met als oplossing x = d/a. Dit werkt op dezelfde manier voor de snijpunten van het vlak met de y-as (y = d/b) en z-as (z = d/c), zie figuur.: z=d/c x=d/a y=d/b Figuur.: Snijpunten met de assen van vlak ax + by + cz = d Met een snijpunt op een as als vector en twee verschilvectoren tussen de snijpunten onderling, kan men uit de normaalvergelijking ax + by + cz = d een vectorvergelijking vinden voor dat vlak: v = d/a + λ d/a d/b + γ d/a d/c..4 De normaalvergelijking van een lijn In de D-ruimte heeft een lijn oneindig veel snijdende loodlijnen in verschillende richtingen, daarom is een normaalvergelijking onmogelijk, zie figuur.a. In de D-ruimte kan een lijn wel als een snijlijn tussen twee vlakken worden gegeven. Een D-lijn is een lineair stelsel van twee vlakvergelijkingen. Een D-lijn in vectornotatie lijn = p + λr is wel mogelijk. In de Euclidische D-ruimte is een normaalvergelijking van een lijn wel mogelijk, alle loodlijnen op de lijn hebben dezelfde richting als de normaalvector van die lijn: Net zoals bij evenwijdige D-vlakken staat de normaalvector van een D-lijn loodrecht op alle evenwijdige lijnen daaraan (zie figuur.b). 68

70 z y c / b n a x + b y = c O y c / a x x A B c< c= c> c Figuur.: Een D-lijn en D-lijnen ( Voor lijn = p + λr met r = b a ) ( ) ( a geldt n r = b Daaruit volgt de normaalvergelijking voor de lijnen door o: ( ) a n = ax + by = b b a ) =. De verschilvectoren lijn p staan loodrecht op de normaal: n (lijn p) Dit is de gezochte normaalvergelijking. ( a b ) ( ) x px = y p y Voorbeeld.4 ( lijn = ) ( 4 + λ ) ( 4 ) ( ) x = x + 4y = y..5 Het tripleproduct u (v w) in de Euclidische D-ruimte De inhoud van het parallellepipedum van figuur. is het product van de hoogte u cos δ = u n e en de oppervlakte van het parallellogram v w sin θ = v w. Uit n e = v w v w en de eigenschap van het inproduct dat (u n e )α = (u n e α) volgt: Inhoud = (u n e ) v w = (u (v w) ) v w = u (v w) v w Dit scalaire resultaat u (v w) wordt het tripleproduct genoemd. Uitgedrukt in de kentallen van de vectoren u, v en w (of de D-coördinaten van de hoekpunten) is het tripleproduct de determinant: 69

71 hoogte= u cos δ u ne δ θ w w sin θ v opp= w v sin θ Figuur.: De inhoud van het parallellepipedum als product van de oppervlakte van het basisvlak en de hoogte. u (v w) = Enkele toepassingen van het tripleproduct: u x u y u z v x v y v z w x w y w z De punten a, b en c liggen op één lijn als het tripleproduct van de drie vectoren a, b en c (alle ongelijk aan de nulvector) nul is. In dat geval is de inhoud van het parallellepipedum met de hoekpunten (,, ), (a x, a y, a z ), (b x, b y, b z ) en (c x, c y, c z ) gelijk aan. Dus de punten a, b en c liggen op één lijn als: a (b c) = a x a y a z b x b y b z c x c y c z = Als drie punten in de D-ruimte op één lijn liggen dan geldt: a (b c) = a x a y b x b y c x c y = Deze determinant ontstaat door het D-vlak met de punten a, b en c op het Dvlak z = af te beelden. Opmerking: Als drie punten op één lijn liggen dan worden zij collineair genoemd (zie figuur.). 7

72 O V a b c Figuur.: Collineaire punten..4 Opgaven ( ) (. (a) Bepaal het inproduct van de vectoren en 5 (b) Bepaal het inproduct van de vectoren en ( ) ( ). (a) Bepaal de lengte van de vectoren en ; 5 (b) Bepaal de lengte van de vectoren en 5. ( ) (. (a) Bepaal de hoek tussen de vectoren en 5 (b) Bepaal de hoek tussen de vectoren en 4. Gegeven de punten p en q: ) ; 5 ) ; 5.. p = q = 5 Bepaal de parametrische vergelijking van de lijn[λ]. (a) door het punt o en punt p. (b) door het punt p in dezelfde richting als vector q. (c) door de punten p en q. 7

73 (d) Bepaal de vectorvergelijking van de vector m die loodrecht op de eerste lijn staat. (e) Bepaal de vectorvergelijking van de vector n die loodrecht op de tweede lijn staat. 5. Bepaal de normaalvergelijking van het vlak opgespannen door de vectoren q = en r = 5 en gedragen door vector p =. 6. (a) Welke ruimte wordt aangegeven in figuur.4? y o x Figuur.4: (b) Gegeven een variabele vector v, en een constante vector p en een scalair < ρ. Welk figuur v ontstaat in de Euclidische D-ruimte als oplossingen van de vergelijking (p v) (p v) = ρ? (c) De affiene D-ruimte kan men voorstellen als een oneindige lijn van eendimensionale punten v = (x) en een nulpunt (oorsprong) o = (). De affiene D-ruimte kan men ( ) voorstellen als een oneindig ( ) vlak van tweedimensionale punten v = en een oorsprong o =. x y De affiene D-ruimte kan men voorstellen als een oneindig iets (een oneindige kubus?) van driedimensionale punten v = y en een oorsprong x z o =. 7

74 Wat zou de parametrische vectorvoorstelling van zo n oneindig iets zijn in de 4D-ruimte? 7

75 Hoofdstuk 4 Transformaties De grafische computertechnieken zijn niet echt te begrijpen zonder inzicht in de transformaties van coördinaatstelsels. Hiervoor is wel enige kennis van de goniometrie nodig (zie bijlage). 4. Affiene transformaties In figuur 4. vormen de vectoren x en y met de oorsprong o het wereldcoördinatenstelsel. De vectoren x, y en o hebben een afwijkende positie en hoek van het wereldcoördinatenstelsel, zij vormen een lokaal coördinatenstelsel met de oorsprong o. Vanuit het wereldcoördinatenstelsel is o het referentiepunt van het lokale stelsel. Y Y O X O X B Figuur 4.: Lokale- en wereldcoördinaten Het referentiepunt is meestal is het zwaartepunt van het bewegend object. Met transformaties is het mogelijk affiene coördinatenstelsels op elkaar af te beelden. Zo n coördinaattransformatie T moet dan wel aan de volgende eisen voldoen: 74

76 I referentiepunten moeten op elkaar afgebeeld worden: T(o a ) = o b, II transformaties moeten lineair zijn: T(αv + βw) = αt(v) + βt(w) α, β R, III punten moeten punten blijven, IV lijnen moeten lijnen blijven, V parallelle lijnen moeten parallel blijven, VI verhoudingen moeten ongewijzigd blijven. Deze eisen verbieden niet dat posities, hoeken en afmetingen veranderen. Behalve aan de eis dat referentiepunten op elkaar afgebeeld moeten zijn, voldoen de volgende affiene transformaties wel aan alle andere eisen. de translatie of verplaatsing, de rotatie of draaiing, de schaalverandering of vergroten of verkleinen, 4 de shearing of proportioneel verschuiven. Als een referentiepunt bij een coördinaattransformatie betrokken is, dan kan dat tot extra transformaties leiden. Stel bijvoorbeeld dat het object in figuur 4. gedraaid moet worden rond het lokale referentiepunt o binnen het kader van het wereldcoördinatenstelsel met de oorsprong o. Dan is het noodzakelijk om eerst het object met behoud van richting en lengte te verplaatsen naar o en vervolgens te draaien en tenslotte met de nieuwe richting en ongewijzigde afmeting terug te schuiven naar de positie o. 4.. Translatie van een punt Translatie is het verschuiven van een coördinatenstelsel over een vaste afstand in een gegeven richting en oriëntatie. Met vectoren zijn translaties gemakkelijk voor te stellen. ( ) px Bij een translatie, een lineaire verplaatsing van een afbeelding, wordt elk punt p = p ( ) y p naar een punt p = x p geplaatst door een transformatie (met t x als verplaatsing in de y ( ) tx x richting en t y als verplaatsing in de y-richting) t =. De translatie kan geschreven t y worden als p = p + t. ( ) ( ) Voorbeeld 4. In figuur 4. is de translatie van punt p = met verplaatsing t = ( ) naar punt p = aangegeven. 4.. Rotatie om de oorsprong De standaard rotatie is gedefinieerd als een verdraaiing rond de oorsprong. Een punt p met de coördinaten (p x, p y ) wordt over een hoek φ geroteerd rond de oorsprong naar punt 75

77 y y P P P t 4 x 4 x 4 4 Figuur 4.: Translatie p met de coördinaten (p x, p y), zie figuur 4.. p y P p y φ P p x px Figuur 4.: Rotatie rond de oorsprong. Figuur 4. kunnen we ook als twee assenstelsels tekenen met een gemeenschappelijke oorsprong en waarbij het punt p en p elkaar overdekken, zie 4.4. De rotatie geeft het volgende stelsel: x = x cos φ y sin φ y = x sin φ + y cos φ ( ) px In vectornotatie van een rotatie wordt de afbeelding van een punt p = op een punt p ( ) y p p = x gegeven door een transformatie (met θ als de hoek waarover gedraaid wordt): p y ( ) cos θ sin θ R = sin θ cos θ 76

78 y y φ φ x x cos φ y sin φ y cos φ φ x x sin φ Figuur 4.4: Rotatie van het assenstelsel. De rotatie wordt beschreven als p = Rp of als functie van de hoek φ als p = R[φ]p. ( ) Voorbeeld 4. In figuur 4.5 is de rotatie van punt p = over een hoek θ = π/ met ( ) ( ) ( ) cos π/ sin π/ als affiene transformatie R = = naar punt p sin π/ cos π/ = aangegeven. y y P P P 4 x 4 x 4 4 Figuur 4.5: Rotatie van 9. Afmetingen van lijnstukken en hoeken tussen lijnen blijven hetzelfde bij rotaties en translaties. Omdat de vorm van een figuur (de onderlinge hoeken en afmetingen) ongewijzigd blijft, worden translaties en rotaties rigide transformaties genoemd. 77

79 4.. Schaalverandering Een schaalverandering ( is ) de vergroting of verkleining ( ) van de afbeelding. De afbeelding px p van een punt p = op een punt p p = x y p wordt gegeven door een transformatie x ( ) sx (met schaalfactor s x in de x-richting en schaalfactor s y in de y-richting) S = en s y kan geschreven worden als p = Sp. Voorbeeld( 4.) In figuur 4.6 is de schaalverandering op een groep ( punten ) ( aangegeven. ) sx, 5 Punt p = van deze groep wordt met de schaalfactor S = = s y, 5 ( ), 5 naar punt p = getransformeerd. y y p p 4 x 4 x 4 4 Figuur 4.6: Schaalverandering Indien de schaalfactoren negatief zijn, dan is er sprake van een spiegeling rond één of meer coördinaatassen. Een spiegeling rond de y-as vindt plaats als s x = en een spiegeling rond de x-as vindt plaats als s y =. Een spiegeling is geen rotatie. De afdruk van de linkerschoen kan nooit door rotatie overgaan in een afdruk van de rechterschoen. Een spiegeling kan men wel voorstellen als een rotatie met θ = π door een andere dimensie, in dit geval het vlak dat de loodrecht staat op het afbeeldingsvlak. De snijlijn tussen de twee vlakken is de spiegellijn (zie figuur 4.7). Voorbeeld 4.4( In figuur ) 4.8 is een spiegeling rond de y-as op een groep ( punten ) aangegeven. Punt p = van deze groep wordt met de schaalfactor S = naar punt ( ) p = getransformeerd. Voorbeeld 4.5( In figuur ) 4.9 is een spiegeling rond de x-as op een groep ( punten ) aangegeven. Punt p = van deze groep wordt met de schaalfactor S = naar punt 78

80 y x z Figuur 4.7: D-spiegeling als een D-rotatie y y p p 4 x 4 x 4 4 Figuur 4.8: Spiegeling rond de y-as ( p = ) getransformeerd. y y p 4 x 4 x p 4 4 Figuur 4.9: Spiegeling rond de x-as ( ) sx Een spiegeling door de oorsprong is mogelijk met de schaalfactor S = = s ( ) y. Spiegeling door de oorsprong bestaat uit een spiegeling rond de x-as en een spiegeling rond de y-as. Een spiegeling rond de oorsprong kan wel worden voorgesteld door een rotatie met θ = π. 79

81 Voorbeeld 4.6 In figuur ( 4.9) is een spiegeling rond de oorsprong op een groep ( punten) aangegeven. Punt p = van deze groep wordt met de schaalfactor S = ( ) naar punt p = getransformeerd. y y p 4 x 4 x 4 p 4 Figuur 4.: Spiegeling rond de oorsprong 4..4 Shearing Bij shearing of proportioneel verschuiven ( langs ) een coördinaatas, ( bijvoorbeeld ) de x-as, px p wordt de afbeelding van een punt p = op een punt p p = x y p gegeven door een y ( ) a transformatie (met a als de verschuivingsfactor langs de x-as) H x =. Shearing langs de x-as kan geschreven ( worden ) als p = H x p. Voor ( shearing ) langs de y-as wordt de px p afbeelding van een punt p = op een punt p p = x y p gegeven door een transformatie (met b als de verschuivingsfactor langs de y-as) H y =. Shearing langs de x ( ) b y-as kan geschreven worden als p = H y p. Voorbeeld 4.7 In( figuur ) 4. is de shearing langs de x-as op een groep ( punten ) ( aangegeven. Punt p = van deze groep wordt met de shearing H ) a x = = ( ) naar het punt p = getransformeerd Het toepassen van affiene transformaties Tot nu toe zijn transformaties van een punt p naar punt p gedemonstreerd, figuren bestaan echter uit meer punten. Dit lossen we op door de kolomvectoren van de punten uit een 8

82 y y p p 4 x 4 x 4 4 Figuur 4.: Shearing figuur combineren tot een picturematrix P. De getransformeerde figuur P in matrixvorm (een rij van kolomvectoren) ontstaat als matrixproduct met een transformatie matrix. De resulterende matrix is een rij van kolomvectoren van de getransformeerde punten. Voorbeeld 4.8 De punten van figuur 4. worden met shearingmatrix H x getransformeerd. De punten van de originele figuur zijn: De transformatie: (( ) ( ) ( ) ( ) ( )) P = = H x P = ( ) ( ) = ( ( ) = P ) De matrix P bevat de getransformeerde punten: (( ) ( ) ( ) ( ) ( )) Voorbeeld 4.9 Het transleren van een totale figuur P als ( matrixsom ) P = P + T, waarbij T bestaat uit een rij van gelijke translatievectoren t = : P = P + T = ( ) + ( ) = ( 4 Ook met geparametriseerde vector- en matrixfuncties zijn complete figuren te transformeren: ) 8

83 Voorbeeld 4. De punten van de originele figuur, een lijn p[t] in geparametriseerde vectorvorm: p[t] = ( αt + γ βt + δ wordt met behoud van afstand tot oorsprong met hoek θ geroteerd rond de oorsprong: ( cos θ sin θ R[θ]p = sin θ cos θ ) ( αt + γ βt + δ ) = ) ( (αt + γ) cos θ + (βt + δ) sin θ (αt + γ) sin θ (βt + δ) cos θ ) = p [θ, t] Hoewel in dit voorbeeld alleen t en θ als parameters gebruikt zijn, mogen ook andere parameters gekozen worden zoals α,β,γ en δ. De eigenschap dat punten en lijnen na affiene transformaties punten en lijnen blijven, is er verantwoordelijk voor dat twee opeenvolgende affiene transformaties vervangen kunnen worden door één affiene transformatie, die dezelfde afbeelding geeft. Omgekeerd kan één affiene transformatie opgesplitst worden in meerdere affiene transformaties, die na elkaar uitgevoerd dezelfde afbeelding geven. Bijvoorbeeld de samengestelde transformatie M bestaande uit het product van de transformaties HSR toegepast op de picturematrix P geeft als resultaat P : MP = (HSR)P = P De inverse transformatie transformeert P terug naar M P = P. De inverse transformatiematrix M is gemakkelijk uit het product van de samenstellende transformatiematrices af te leiden met: M = (HSR) = R S H Een affiene transformatie heeft altijd een basisvorm p = Mp + t of p = M p + t, waarbij M een samenstelling van één of meer elementaire transformaties (inclusief de inversen daarvan) is en zowel t als t samenstellingen zijn van nul of meer elementaire translaties: De identiteitstransformatie heeft de basisvorm: p = Ip + o; De elementaire translatie heeft de basisvorm: p = Ip + t; De elementaire rotatie (en shearing en spiegeling): p = Rp + o; De affiene transformatie als een zuiver product van matrices: p = Mp + o; 8

84 Samenstellingen van elementaire affiene transformaties zoals de rotatie van een punt p om een referentiepunt d. Deze samengestelde affiene transformatie zal als eerste een translatie naar de oorsprong uitvoeren, vervolgens een rotatie om de oorsprong en tenslotte een translatie terug naar de oorspronkelijke positie. In deze samengestelde affiene transformatie is de basisvorm p = Mp + t duidelijk te herkennen: p = R(p d) + d = Rp }{{}} Rd {{ + } d Mp +t De basisvorm p = M p + t is ook in de inverse transformatie aanwezig: Opmerkingen: p = R (p d) + d = R p }{{} R } {{ d + } d M p +t De basisvorm p = Mp + t is inefficiënt door de translatieterm t. Als deze term ontbreekt dan kunnen alle transformaties en hun inversen als matrixproducten gemakkelijker samengesteld en (her)gebruikt worden; Affiene transformaties en coördinaten worden gebruikt bij D- en D-tekenen van lijnen, hoeken en figuren met behoud van de exacte afmetingen zoals bij CADsoftware; Het weergeven realistische afbeeldingen met perspectieven, projecties en schaduwen lichteffecten is met affiene transformaties en coördinaten minder goed mogelijk. Daarvoor is de projectieve D-ruimte noodzakelijk en het gebruik van homogene coördinaten. 4. Homogene coördinaten Om een D-afbeelding vanuit een perspectief te zien, is het handig deze afbeelding te vast te leggen op het vlak z = in de D-ruimte. Voor het waarnemingspunt wordt de oorsprong o van de D-ruimte gekozen, zoals in figuur 4. met een afbeelding van één punt op het z = vlak. De D-lijn door de oorsprong o en het punt p, de projectielijn, heeft de richting van de D-vector p. In principe maakt een willekeurige lengte groter dan nul van de D-vector p niets uit voor de richting van deze projectielijn. Het vertalen van de beeldpunten in de D-ruimte naar de D-ruimte, geschiedt door het D-punt p af te beelden op het z = vlak als p in de D-ruimte zoals in figuur 4. is aangegeven. 8

85 Z p z= vlak px o p y Y X lijn Figuur 4.: De plaatsing van een punt op het z = vlak p = ( px p y ) p = p x p y ( p = ) p = De kentallen van het punt p worden de homogene coördinaat van dat punt op het vlak z = genoemd. Een homogene coördinaat is in de D-ruimte te beschouwen als de plaatsen een richtingsvector van p vanuit de oorsprong o. In de D-ruimte zijn ook andere punten. De relatie tussen deze punten en de punten op het z = vlak is een projectieve relatie. Voor een projectieve relatie is een projectielijn nodig die de punten o, p en p met elkaar verbindt. Als z dan geldt voor punt p en het punt p op het z = vlak de projectieve relatie: p = p x p y p z p = p x /p z p y /p z z p = 6 4 p = 84

86 In principe hebben alle punten op de projectielijn een projectieve relatie met hetzelfde snijpunt p op het z = vlak. Projectievectoren in de D-oorsprong zijn te vergelijken met de lichtstralen uit een projector die een beeld (het z = vlak) op het projectievlak v projecteren (zie figuur 4.). o z x y p V p"= λ p p z= vlak Figuur 4.: Projecteren van de punten op het z = vlak op een projectievlak v Het snijpunt van p = λ p p op het projectievlak n (v d) = met de projectielijn tussen o en p wordt gevonden door de vergelijking n (λp d) = op te lossen voor de onbekende λ = λ p. 4.. Transformaties van homogene coördinaten Alle affiene D-transformaties zoals de translatie, rotatie, schaalverandering en shearing zijn met projectievectoren voor te stellen als rotaties van de projectievectoren vanuit het D-zichtpunt. Als de projectievectoren genormaliseerd zijn tot eenheidsvectoren, dan zijn de geroteerde projectievectoren ook eenheidsvectoren. Een tweedimensionaal punt (x, y) wordt in homogene coördinaten weergegeven door een αx driedimensionaal punt αy waarbij α niet gelijk aan nul mag zijn. Omdat een translatie α een rotatie van D projectievectoren is vanuit het D-zichtpunt o, is een D translatie op het projectievlak nu matrixproduct i.p.v. een optelling. ( ) px Als α = genomen wordt, kan een translatie T[t x, t y ] van p = op een punt p p = ( ) y p x weergegeven worden door: p y p = T[t x, t y ]p ofwel p x p y = t x t y p x p y Op dezelfde wijze kunnen rotatie, schaalverandering en shearing weergegeven worden: 85

87 p = R[θ]p met R[θ] = cos θ sin θ sin θ cos θ p = S[s x, s y ]p met S[s x, s y ] = s x s y p = H x [a]p met H x [a] = a p = H y [b]p met H y [b] = b 4.. Samengestelde homogene transformaties Door het invoeren van homogene transformaties kan een samenstelling van verschillende affiene transformaties worden teruggebracht tot één productmatrix, wat erg veel rekentijd bespaart. Het transformeren van een punt p naar een punt p met een samengestelde homogene transformatie M heeft altijd de eenvoudige basisvorm: p = Mp Als een homogene transformatie M uitgevoerd kan worden, dan wordt met een inverse homogene transformatie M de verandering ongedaan gemaakt. p = Mp M p = M Mp M p = p De inverse matrix van een matrixproduct M = RST is het product van de inverse matrices in omgekeerde volgorde M = T S R. Als gebruik wordt gemaakt van de transformatieparameters is het tamelijk eenvoudig om de inverse matrices van de elementaire transformaties, translatie, rotatie, schaalverandering en shearing te vinden. In het geval van schaalverandering met de beperking dat de schaalfactor niet gelijk aan nul mag zijn. 86

88 T [t x, t y ] = T[ t x, t y ] R [θ] = R[ θ] S [s x, s y ] = S[ s x, s y ] H x [a] = H x [ a] H y [b] = H y [ b] Voorbeeld 4. Als voorbeeld van het uitvoeren van een complexe transformatie, opgebouwd uit een aantal transformaties, wordt hier de rotatie over hoek θ rond een punt p buiten de oorsprong o genomen. Om deze rotatie uit te voeren kunnen bijvoorbeeld de volgende transformaties gebruikt worden: transleer het rotatiepunt p naar de oorsprong (zie figuur 4.4A en 4.4B), roteer over hoek θ rond de oorsprong o (zie figuur 4.4C), transleer van de oorsprong naar het rotatiepunt p (zie figuur 4.4D). P P O A O B P P O O C D Figuur 4.4: Rotatie rond een punt p buiten de oorsprong o. Als p de coördinaten (x, y ) heeft, dan levert de bovengenoemde samenstelling de transformatiematrix M op die een punt p in een punt p over doet gaan: p = T RTp ofwel p = Mp 87

89 waarbij M = T RT De totale transformatie waarmee een figuur rond een punt (p x, p y ) een hoek θ geroteerd kan worden, is de matrix M[x, y, θ]: M[x, y, θ] = T[x, y]r(θ)t[ x, y] = = x y cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ sin θ x( cos θ) + y sin θ sin θ cos θ y( cos θ) x sin θ x y 4.. Homogene D en D transformaties Het afbeelden van realistische D-voorwerpen op een D-projectievlak is ingewikkelder dan de projectie van de D-voorwerpen op een projectievlak. Figuur 4.5: Projectie van een D-ruimte Door de extra dimensie is het projecteren van D-voorwerpen veel rekenintensiever dan het projecteren van D-voorwerpen, er worden zware eisen aan de rekensnelheid van de soft- en hardware gesteld. Bovendien zijn extra bewerkingen nodig, zoals het wegsnijden van de niet-zichtbare delen van ondoorzichtige voorwerpen, het bepalen van oppervlakte structuren, kleur-, transparantie-, reflectie- en schaduweffecten. Bij het werken in een driedimensionale ruimte kan de z-as twee verschillende oriëntaties ten opzichte van het xy-assenstelsel hebben. Meestal wordt gekozen voor de richting die een kurkentrekker maakt als de x-as rechtsom naar de y-as wordt gedraaid (zie paragraaf..). 88

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij.

4.0 Voorkennis [1] Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 3x4 y26 4x y3 4.0 Voorkennis [1] Voorbeeld 1 (Elimineren door substitutie): Los op: Stap 1: Maak bij een van de vergelijkingen een variabele vrij. 4x y = 3 y = 4x 3 Stap 2: Vul de vrijgemaakte variabele

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Matrix- en vectorrekening

Matrix- en vectorrekening Hogeschool Rotterdam / CMI Matrix- en vectorrekening (matrices, vergelijkingen, determinanten, vectoren en transformaties) TIRLIN01 Aantal studiepunten: 2 ects Modulebeheerder: P.J. den Brok (tijdelijk)

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Matrices en Grafen (wi1110ee)

Matrices en Grafen (wi1110ee) Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek

Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college

Nadere informatie

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)

Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) 1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel

Nadere informatie

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1.

Blokmatrices. , I 21 = ( 0 0 ) en I 22 = 1. Blokmatrices Soms kan het handig zijn een matrix in zogenaamde blokken op te delen, vooral als sommige van deze blokken uit louter nullen bestaan Berekeningen kunnen hierdoor soms aanzienlijk worden vereenvoudigd

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.

Ruimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen. college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 2

Tentamen Lineaire Algebra 2 Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n).

compact weer te geven (ken ook een waarde toe aan n). 1 HOVO: Gravitatie en kosmologie OPGAVEN WEEK 2 - Oplossingen Opgave 1: Er geldt n 3 en we hebben de compacte uitdrukking y i a r i x r, waarbij we gebruik maken van de Einsteinsommatieconventie. a Schrijf

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Lineaire algebra toegepast

Lineaire algebra toegepast Lineaire algebra toegepast voor wiskunde D ( 5 VWO) H. van Gendt R.A.C. Dames Versie 4, november 008 Deze module is ontwikkeld in opdracht van ctwo. Copyright 008 R.Dames en H. van Gendt Inhoudsopgave

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven In het vak Meetkunde voor Bouwkunde kom je stelsels lineaire vergelijkingen tegen en matrices tegen.

Nadere informatie

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul

Lineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm

Nadere informatie

Lights Out. 1 Inleiding

Lights Out. 1 Inleiding Lights Out 1 Inleiding Het spel Lights Out is een elektronisch spel dat gelanceerd werd in 1995 door Tiger Electronics. Het originele spel heeft een bord met 25 lampjes in een rooster van 5 rijen en 5

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 1 2 Cartesiaanse vergelijking

Nadere informatie

xxii Handleiding Maple 10

xxii Handleiding Maple 10 xxii Handleiding Maple 10 dat geval kun je van de vectorvergelijking een stelsel vergelijkingen maken in de vorm van een verzameling of een lijst naar keuze en dit stelsel te lijf gaan met solve of andere

Nadere informatie

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en

Nadere informatie

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.

Kwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat. 1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden

Wiskunde - MBO Niveau 4. Eerste- en tweedegraads verbanden Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en tweedegraads verbanden OPLEIDING: Noorderpoort MBO Niveau 4 DOCENT: H.J. Riksen LEERJAAR: Leerjaar 1 - Periode 2 UITGAVE: 2018/2019 Wiskunde - MBO Niveau 4 Eerste- en

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is.

Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Bekijk wat een vectorvoorstelling van een lijn is. 3 Lijnen en hoeken Verkennen Lijnen en hoeken Inleiding Verkennen Bekijk de applet en zie hoe de plaatsvector v ur van elk punt A op de lijn kan ur r ontstaan als som van twee vectoren: p + t r. Beantwoord

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding

V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,

Nadere informatie

Pascal en de negenpuntskegelsnede

Pascal en de negenpuntskegelsnede Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie