Determinanten. Definities en eigenschappen

Transcriptie

1 Determinanten Definities en eigenschappen

2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2

3 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix: det a a a a a a a a a a a a a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a31 a32 a33 A a a a S. Mettepenningen Determinanten 3

4 Definities (korte herhaling) Determinant van hogere orde: Gebruik de regel van Laplace ontwikkelen naar een rij of kolom Nood aan twee nieuwe begrippen: - minor - cofactor S. Mettepenningen Determinanten 4

5 Definities (korte herhaling) Minor De minor m ij van een element a ij van een vierkante matrix A is de determinant van wat overblijft als we de i-de rij en de j-de kolom van die matrix schrappen. S. Mettepenningen Determinanten 5

6 Definities (korte herhaling) Cofactor De cofactor A ij van een element a ij van een vierkante matrix A is de determinant van wat overblijft als we de i-de rij en de j-de kolom van die matrix schrappen (dus de minor) vermenigvuldigd met de factor 1 i+j. S. Mettepenningen Determinanten 6

7 Definities (korte herhaling) Determinant van een n n-matrix (n 2): n det A aik. A k 1 n det A akj. A k 1 ik kj (ontwikkeling naar de i-de rij) (ontwikkeling naar de j-de kolom) S. Mettepenningen Determinanten 7

8 Determinant van een getransponeerde matrix: nn A : det A det A T S. Mettepenningen Determinanten 8

9 Determinant van een getransponeerde matrix: Bewijs (voor een 3x3-matrix): det det a a a a a a a a a a a a a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a31 a32 a33 A a a a a a a a a a a a a a a a T A a12 a22 a32 a31a22a13 a11a32a23 a21a12a33 a13 a23 a33 S. Mettepenningen Determinanten 9

10 Als we twee rijen of kolommen van een vierkante matrix verwisselen, dan verandert de determinant van teken. S. Mettepenningen Determinanten 10

11 Bewijs (voor kolom 1 en 2 van een 3x3-matrix): det A a a a a a a a a a a a a a21 a22 a23 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a31 a32 a33 det A' a a a a a a a a a a a a a22 a21 a23 a13a21a32 a12a23a31 a11a22a33 a32 a31 a33 S. Mettepenningen Determinanten 11

12 Onmiddellijk gevolg: De determinant van een matrix met twee gelijke rijen (of kolommen) is nul. S. Mettepenningen Determinanten 12

13 Gevolg: De determinant van een matrix met twee gelijke rijen (of kolommen) is nul. Bewijs: stel dat matrix A twee gelijke rijen of kolommen heeft en dat matrix A de matrix is die we krijgen door die twee rijen of kolommen van plaats te wisselen. Dan geldt dus: det A det A' det A det A 0 S. Mettepenningen Determinanten 13

14 Gevolg: de som van de producten van alle elementen uit een rij (of kolom) van een matrix met de cofactoren van een andere rij (of kolom) is nul. S. Mettepenningen Determinanten 14

15 Bewijs (voor de elementen van kolom 1 en de cofactoren kolom 3 een 3x3-matrix): a. A a. A a. A a a a a a a a. a. a a31 a32 a31 a32 a21 a22 a a a a a a a a a S. Mettepenningen Determinanten 15

16 De formules van Kronecker: (uit de vorige eigenschap en de definitie van determinant volgen onmiddellijk deze twee formules:) n k 1 a ik. A jk 0 det i j A i j n k 1 a ki. A kj 0 det i j A i j S. Mettepenningen Determinanten 16

17 Als in een determinant een rij of een kolom met een constante wordt vermenigvuldigd, dan wordt ook de determinant met dat getal vermenigvuldigd. S. Mettepenningen Determinanten 17

18 Bewijs: stel dat in de eerste rij van matrix A alle elementen met c worden vermenigvuldigd, en je zo matrix B krijgt. Dan geldt voor de determinant van B: n n n det B b. B c. a. A c. a. A c.det A 1k 1k 1k 1k 1k 1k k 1 k 1 k 1 Het bewijs verloopt analoog voor andere rijen of kolommen (ontwikkel dan naar die rij of kolom). S. Mettepenningen Determinanten 18

19 Gevolg: De determinant van een matrix waar twee rijen of kolommen evenredig zijn is nul. Bewijs: Zet de evenredigheidsfactor voorop. Je krijgt dan een determinant waarvan twee rijen of kolommen gelijk zijn. Die is gelijk aan nul. S. Mettepenningen Determinanten 19

20 Als twee vierkante matrices op één rij (of kolom) na gelijk zijn dan is de som van hun determinanten gelijk aan de determinant van de matrix die je bekomt door de gelijke rijen (of kolommen) te behouden en de verschillende rijen (of kolommen) bij elkaar op te tellen. We noemen deze eigenschap de optelregel. S. Mettepenningen Determinanten 20

21 Bewijs (voor 2 2-matrices): x11 a12 x11 b12 x11 a12 b12 A, B, C x a x b x a b Dan geldt dus: det det x a A x11a22 x21a12 x21 a22 x b B x11b22 x21b12 x21 b22 S. Mettepenningen Determinanten 21

22 en: det det C x a b Eigenschappen C x11 a22 b22 x21 a12 b12 x21 a22 b x a x a x b x b det A det B S. Mettepenningen Determinanten 22

23 Als we bij een rij of kolom van een vierkante matrix een veelvoud van een andere rij of kolom optellen, dan blijft de determinant onveranderd. S. Mettepenningen Determinanten 23

24 Als we bij een rij of kolom van een vierkante matrix een veelvoud van een andere rij of kolom optellen, dan blijft de determinant onveranderd. Bewijs: Gebruik de vorige stelling waarbij je splitst in de oorspronkelijke determinant en een determinant waarvan een rij of kolom evenredig is met een andere rij of kolom. S. Mettepenningen Determinanten 24

25 De determinant van het product van twee vierkante matrices van gelijke orde is gelijk aan het product van hun determinanten. M, M : det M M det M. det M nn S. Mettepenningen Determinanten 25

26 Bewijs (voor 2 2-matrices): stel M M Dan is: a b en M a b c1 d1 c2 d2 a a b c a b b d M2 c1a2 d1c2 c1b 2 d1d 2 S. Mettepenningen Determinanten 26

27 det M M 1 2 a a b c. c b d d a b b d. c a d c a a c b a1a2d1d 2 b1c 2c1b 2 b1c 2d1d2 a1b 2c1a2 a1b 2d1c2 b1d 2c1a2 b1d 2d1c2 a d a d b c b c a d b c b c a d a d b c a d b c det M.det M S. Mettepenningen Determinanten 27