Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Transcriptie

1 college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : juni van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag

2 van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc. Je kunt van iedere vierkante matrix de determinant berekenen. We geven geen formele definitie, maar volstaan met een aantal eigenschappen en rekenregels, waarmee je iedere determinant kunt bepalen. Eigenschappen 3.. van een vierkante matrix is een getal. 2. Een vierkante matrix A is inverteerbaar dan en slechts dan als det A..6-7[6] 2 det. Eigenschappen - vervolg Voor alle n n matrices A en B geldt det(ab) = det A det(b). 4. Voor iedere vierkante matrix A geldt: det A T = det A. 5. Voor iedere driehoeksmatrix D geldt: de determinant van D is gelijk aan het product van de diagonaalelementen. 6. Elementaire operaties hebben het volgende effect op de determinant van een matrix: Vervanging: een rij vermenigvuldigen en bij een andere rij optellen verandert de waarde van de determinant niet. Verwisseling: vermenigvuldig de determinant met. Schaling: vermenigvuldig de determinant met α als je een rij met α vermenigvuldigt..6-7[6] 3 det.2

3 Notatie van de determinant van A noteer je als det A. Voor grote matrices kun je ook vertikale strepen gebruiken: = det Schrijf nooit A als je det A bedoelt..6-7[6] 4 det.3 Voorbeeld Voorbeeld = /2 5 5 = = = 2 = 2 ( 3) = [6] 5 det.4

4 terminant en inverteerbare matrices inverteerbare matrix stelling 3.3 Een vierkante matrix A is inverteerbaar dan en slechts dan als det A. Voor 2 2-matrices is dit stelling Voor grotere matrices is deze stelling lastig te bewijzen, en valt buiten het kader van dit vak..6-7[6] 6 det.5 regel van Sarrus 3.4 Kruismethode a a 2 a 3 a a 2 a 2 a 22 a 23 a 2 a 22 a 3 a 32 a 33 a 3 a 32 det A = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 32 a 23 a a 33 a 2 a Stermethode a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 det A = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a 32 a 23 a a 33 a 2 a [6] 7 det.6

5 regel van Sarrus Voorbeeld blz det A = ( 2) 4 ( 2) = = 6.6-7[6] 8 det.7.a Let op! a a 2 a 3 a 4 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 24 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a 34 a 3 a 32 a 33 a 4 a 42 a 43 a 44 a 4 a 42 a 43 Waarschuwing Bij het berekenen van de determinant van een n n matrix met n 4 mag je niet gebruik maken van de regel van Sarrus. van een 4 4 matrix heeft 24 termen!.6-7[6] 9 det.7.b

6 Hoofdstuk 3 finitie Stel D en C zijn verzamelingen. Een functie of afbeelding van D naar C is een voorschrift dat aan ieder element x D precies één element y C toewijst. Verzameling D is het definitiegebied of domein van f. Verzameling C is het waardenbereik of codomein van f. We schrijven: f : D C. Als x D en f wijst aan x het element y C toe, dan noteren we dit als y = f (x), of x f (x). Symbolisch: x f f (x) Afbeeldingen van R n naar R m worden met hoofdletters genoteerd, en we laten vaak de haakjes weg: Fx = F(x)..6-7[6] la. Een afbeelding F van R n naar R m beeldt een vector af op een andere vector: Voorbeeld: x = (x,.., x n ) F y = (y,.., y m ) F(x, x 2 ) = ( x 2 x 2 2, x x 2 ). () finitie Een afbeelding van R n naar R m is lineair als. F(u + v) = Fu + Fv voor alle u en v in R n, 2. F(αu) = αfu voor alle u in R n en voor alle α R. afbeelding () is niet lineair: F(2, 2) = (, 4), maar 2F(, ) = 2(, ) = (, 2) F ( 2(, ) )..6-7[6] la.2

7 Voorbeeld Voorbeeld 3.6 Toon aan dat de afbeelding F : R 2 R 2 gegeven door F(x, y) = ( y, x) voor alle x, y R lineair is. Stel u = (u, u 2 ) en v = (v, v 2 ), dan F(u + v) = F ( (u, u 2 ) + (v, v 2 ) ) terwijl = F(u + v, u 2 + v 2 ) = ( (u 2 + v 2 ), u + v ) = ( u 2 v 2, u + v ), Fu + Fv = F(u, u 2 ) + F(v, v 2 ) = ( u 2, u ) + ( v 2, v ) = ( u 2 v 2, u + v ) = F(u + v). Op soortgelijke wijze toon je aan dat F(αu) = αfu..6-7[6] 2 la.3 Matrix finitie finitie 3.7 Stel A is een m n-matrix. matrixafbeelding T A van A is de afbeelding T A : R n R m die aan iedere u R n de vector T A u toevoegt volgens het voorschrift T A u = Au. u T A Au Als m = n dan is T A een matrixtransformatie. Voor iedere m n-matrix A geldt dat de matrixafbeelding T A : R n R m een lineaire afbeelding is. Het bewijs volgt uit stelling [6] 3 la.4

8 Matrix Voorbeeld Voorbeeld 3.8 finieer A = voorbeeld 3.6: [ ]. Beschouw de afbeelding F van F(x, x 2 ) = ( x 2, x ) voor alle x, x 2 R. Toon aan dat F = T A. Stel x = (x, x 2 ), dan x x2 T A x = =. Schrijf met vectoren: x 2 T A x = T A (x, x 2 ) = ( x 2, x ) = F(x, x 2 ) = F(x). Dit geldt voor alle x in R 2, dus T A = F. x.6-7[6] 4 la.5 finitie finitie 3. j-de standaard basisvector in R n is de vector e j R n die op de j-de positie een heeft en op de overige posities nullen. In Thomas Calculus worden deze basisvectoren voor R 2 en R 3 aangegeven met i en j respectievelijk i, j en k: R 2 : i=e =, j=e 2 =, R 3 : i=e =, j=e 2 =, k=e 3 =..6-7[6] 5 sm.

9 Lemma Lemma 3. Stel x is een vector in R n, dan geldt x = x e + x 2 e x n e n. Bewijs x = x. x n = x x n = x. + + x n. = x e + + x n e n..6-7[6] 6 sm.2 Lemma Stel F : R n R m is een lineaire afbeelding. Voor iedere vector x = (x, x 2,..., x n ) in R n geldt F(x) = x F(e ) + x 2 F(e 2 ) + + x n F(e n ). Dit is een direct gevolg van lemma 3. en de lineariteit van F. Om F(x) te berekenen hoef je slechts te weten wat het F-beeld is van de standaard basisvectoren e j. finitie finitie 3.2 Stel F : R n R m is een lineaire afbeelding. van F is de m n matrix [F] waarvan de j-de kolom gelijk is aan F(e j ) (met j =,..., n)..6-7[6] 7 sm.3

10 Voor iedere lineaire afbeelding F : R n R m geldt: F(x) = [F]x voor iedere x R n. Bewijs Gebruik stelling 2.: F(x) = x (Fe ) + x 2 (Fe 2 ) + + x n (Fe n ) x x 2 = Fe Fe 2... Fe n. = [F]x. x n.6-7[6] 8 sm.4 Voorbeeld Zie ook voorbeelden 3.6 Beaal de van de lineaire afbeelding F gedefinieerd door: F(x, y) = ( y, x) voor alle x, y R. kolommen van [F] worden gevormd door Fe en Fe 2 : Fe = F(, ) = (, ) = en Fe 2 = F(, ) = (, ) =. van F is [F] = Fe Fe 2 =. Uit voorbeeld 3.8 volgt: T [F] = F..6-7[6] 9 sm.5

11 en de matrixafbeelding [ ] F lineaire [ A matrices ] T matrixafbeelding van de van F is gelijk aan F: F [F] F. van de matrixafbeelding van A is gelijk aan A: A T A A..6-7[6] 2 sm.6 Zelfstudie Voorbeeld Voorbeeld 3.3 Van een lineaire transformatie F op R 2 is gegeven dat F(, 3) = (, ) en F(, 2) = (, ). Bepaal [F]. Stel X = [F], dan: X = 3 Hieruit volgt [ X = X 3 2 Stel A = en B = 3 2 en X [ X 3 2 = 2 ] ] [ [F] = X = XAA = BA 2 = = 3 ] =, dan [6] 2 sm.7

12 Oppervlakte en volume Toepassing (herhaling) y v u + v u x finitie Stel u en v zijn vectoren in R 2. Het parallellogram opgespannen door u en v is het parallellogram met hoekpunten, u, v en u + v. Het parallellogram opgespannen door u en v is gelijk aan {su + tv s en t }..6-7[6] 22 ov. Oppervlakte van een parallellogram Toepassing (herhaling) Hoofdstuk 3, stelling 3.26 Stel A is een 2 2 matrix. Dan is de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de kolommen van A gelijk aan det A. y d c (b, d) b P a (a, c) a b Stel A =, dan is de oppervlakte van het c d parallellogram P opgespannen door de kolommen van A gelijk aan opp P = ad bc. x.6-7[6] 23 ov.2

13 Parallellepipedums Toepassing (herhaling) w v u finitie Een parallellepipedum is een zesvlak van R 3 begrensd door paarsgewijs evenwijdige parallellogrammen. finitie Stel u, v en w zijn vectoren in R 3. Het parallellepipedum opgespannen door u, v en w is {ru + sv + tw r, s en t }..6-7[6] 24 ov.3 Volume van een parallellepipedum Toepassing (herhaling) Section 2.4, blz Stel A is een 3 3 matrix met kolommen u, v en w. Dan is de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door u, v en w gelijk aan (u v) w. Section 2.4, blz Stel A is een 3 3 matrix met kolommen u, v en w. Dan geldt det A = (u v) w = (v w) u = (w u) v. Hoofdstuk 3, stelling 3.26 Stel A is een 3 3 matrix. Dan is de inhoud van het parallellepipedum opgespannen door de kolommen van A gelijk aan det A..6-7[6] 25 ov.4

14 Parallellogrammen en lineaire transformaties Toepassing y v P(u, v) u u + v F x F y Fv F(u + v) P(Fu, Fv) x Fu Stel F is een lineaire transformatie van R 2 en stel P = P(u, v) is het parallellogram opgespannen door de vectoren u, v R 2. Dan is het beeld van P onder F het parallellogram opgespannen door F(u) en F(v). Gevolg 3.22 Het beeld van het eenheidsvierkant is het parallellogram opgespannen door de kolommen van [F]..6-7[6] 26 ov.5 Parallellogrammen en lineaire transformaties Toepassing Stel F is een lineaire transformatie van R 2 en stel P = P(u, v) is het parallellogram opgespannen door de vectoren u, v R 2. oppervlakte van het beeld van P is gelijk aan det[f] opp P. Bewijs Er geldt: F(P) = P(Fu, Fv), dus opp F(P) = opp P(Fu, Fv) = = ( [ det [F] u = det[f] opp P(u, v) = det[f] opp P. det Fu Fv ]) det[f] v = det u v.6-7[6] 27 v.6

15 lineaire transformaties Toepassing y F y x x 3.27 Zij F een transformatie van R 2. Stel S is een figuur in R 2 met oppervlakte ongelijk, dan geldt opp(f S) opp S = det[f]..6-7[6] 28 ov.7 Parallellepipedums en lineaire transformaties z v + w y w u + w e 3 P(u, v, w) v u O u + v + w u + v e 2 x O z e Toepassing x finitie Stel u, v en w zijn drie vectoren in R 3. Het parallellepipedum opgespannen door u, v en w is het veelvlak met hoekpunten, u, v en w, v + w, u + w, u + v en u + v + w. Het parallellepipedum opgespannen door u, v en w wordt genoteerd als P(u, v, w)..6-7[6] 29 ov.8

16 Parallellepipedums en lineaire transformaties Toepassing 3.26 Het volume van van P(u, v, w) is gelijk aan det(a), waarbij A de matrix is met kolommen u, v en w Zij F een transformatie van R 3. Stel S is een figuur in R 3 met volume ongelijk, dan geldt vol(f S) vol S = det[f]..6-7[6] 3 ov.9