1. Vectoren in R n. y-as

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1. Vectoren in R n. y-as"

Transcriptie

1 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale gevallen n = 2 en kun je zo n vector tekenen als een punt in het platte vlak, nadat je een assenstelsel en een eenheidslengte hebt aangebracht. Je tekent bijvoorbeeld de vector (2, 1) als volgt: O (2, 1) In plaats van het punt (2, 1) tekent men ook wel de pijl van (0, 0) naar (2, 1). In plaats van (0, 0) schrijft men ook wel O (de oorsprong of nulvector). Ik noteer namen van vectoren meestal met vette letters met een pijltje erboven. Gewoonlijk tekent men de eerste coördinaatas (ook wel de x-as of x 1 -as genoemd) horizontaal en de tweede coördinaatas (de y-as of x 2 -as) vertikaal. Vectoren in de R 3 zijn ook nog wel te tekenen. Bijvoorbeeld de vector (2, 3, 4): z-as (2, 3, 4) O x-as Vectoren in de R 4 of (bijvoorbeeld) de R 583 zijn wat lastiger te tekenen, dat doen we dus maar niet. De speciale vector (0,..., 0) noemen we de nulvector, we noteren hem als O y-as Optelling van vectoren. We definiëren de som van twee vectoren in R n door (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) def = (a 1 + b 1,..., a n + b n ) (plaatsgewijze optelling) Op analoge wijze definiëren we het verschil van twee vectoren. Voorbeelden in de R 4 : (2, 1, 3, 2) + (5, 1, 1, 0) = (7, 0, 4, 2) (π, 0, 1, 5 2 ) (0, 2, 7, 3 2 ) = (π, 2, 6, 1) 2

2 In de R 2 en de R 3 komt optelling van vectoren neer op het maken van een parallellogram: x + y x y O Scalaire vermenigvuldiging. Zij λ R en zij x de vector (x 1,..., x n ). We definiëren dan: λ x def = (λx 1,..., λx n ) Zoiets heet scalaire vermenigvuldiging en is dus weer plaatsgewijs. Voorbeeldje: 3 (5, 1, 0, 2) = (15, 3, 0, 6) Opspansel van een vector. Met het opspansel van x bedoelen we de verzameling van alle veelvouden van x. We noteren dit opspansel als [ x]. Formeel gedefinieerd: [ x] def = de verzameling van alle vectoren λ x met λ R In de R 2 en R 3 is [ x] meestal de lijn door de oorsprong en x: [ x] O x Opmerking. Als x de nulvector is, is zijn opspansel géén lijn, maar slechts de piepkleine verzameling die alleen uit O bestaat: [ O] = { O} 3

3 Lineaire combinaties. Een lineaire combinatie van x en y is (per definitie) een vector die je kunt schrijven als λ x + µ y, waarbij λ en µ reële getallen zijn. Voorbeelden: (30, 20, 10, 0) is een lineaire combinatie van (1, 1, 1, 1) en (1, 2, 3, 4) Bewijs: (30, 20, 10, 0) = 40(1, 1, 1, 1) 10(1, 2, 3, 4) (3, 7, 3, 7) is een lineaire combinatie van (1, 0, 1, 0) en (0, 1, 0, 1) Bewijs: (3, 7, 3, 7) = 3(1, 0, 1, 0) + 7(0, 1, 0, 1) Op analoge wijze definiëren we, wat een lineaire combinatie van drie of meer vectoren is. Bijvoorbeeld: een lineaire combinatie van x, y, z is een vector van het type λ x + µ y + ν z Opspansel van twee of meer vectoren. Onder het opspansel [ x, y] van twee vectoren x en y verstaan we de verzameling van alle lineaire combinaties van x en y. Op analoge wijze definiëren we het opspansel van drie of meer vectoren. Voorbeelden: [(1, 3, 5), (37, π, 2)] is het vlak in R 3 door de oorsprong, (1, 3, 5) en (37, π, 2) [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)] is de hele R 3, want je kunt eenvoudig inzien dat iedere vector uit R 3 te schrijven is als lineaire combinatie van (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1). Kijk maar: (α, β, γ) = α(1, 0, 0) + β(0, 1, 0) + γ(0, 0, 1) [(3, 4, 5), (6, 7, 8), (1, 0, 1)] = R 3. Dat kost wat meer rekenwerk. Je kunt algemeen bewijzen: het opspansel van drie vectoren uit R 3 die niet in één vlak door O liggen, is de hele R 3. Als ze wel in één vlak door O liggen is hun opspansel kleiner, bijvoorbeeld [(1, 2, 1), (2, 4, 0), (0, 0, 3)] = [(2, 4, 0), (0, 0, 3)] = [(1, 2, 0), (0, 0, 1)] Lineaire deelruimten. Een lineaire deelruimte van R n is (per definitie) een opspansel van een stel vectoren in R n. Voorbeelden: [(3, 2, 5), (1, 7, 5)] is een lineaire deelruimte van R 3 [(1, 1, 1, 1), (2, 1, 0, 5), (3, 1, 2, 1), ( 1, 2, 2, 4)] is een lineaire deelruimte van R 4 De lineaire deelruimten van R 3 zijn: (1) de nulruimte { O} (2) de lijnen door de oorsprong (3) de vlakken door de oorsprong (4) de hele R 3 Afhankelijk. We noemen een stel vectoren afhankelijk als minstens één van die vectoren een lineaire combinatie is van de andere vectoren. Is dat niet het geval, dan noemen we het stel onafhankelijk. Een paar voorbeelden: Het stel vectoren (1, 0, 0), (0, 1, 0), (7, 5 2, 0) is afhankelijk, want de vector (7, 5 2, 0) is een lineaire combinatie van de twee andere vectoren. Kijk maar: (7, 5 2, 0) = 7(1, 0, 0) (0, 1, 0) Het stel vectoren (3, 7), (1, 2) is onafhankelijk, want geen van deze twee vectoren is een veelvoud van de ander Het stel (3, 7), (1, 2), (2, 9) is afhankelijk. Dat kun je bijvoorbeeld als volgt inzien: } (3, 7) 3(1, 2) = (0, 1) (2, 9) 2(1, 2) = 5((3, 7) 3(1, 2)) (2, 9) = 5(3, 7) 13(1, 2) (2, 9) 2(1, 2) = (0, 5) 4

4 Vegen. De in dit laatste voorbeeldje gevolgde werkwijze wordt ook wel vegen genoemd: de vector (1, 2) werd gebruikt als bezem om de eerste coördinaat van de vectoren (3, 7) en (2, 9) schoon te vegen. We zullen deze methode nu eens loslaten op een iets ingewikkelder probleem: we proberen te achterhalen of het stel vectoren (1, 1, 1, 1), (2, 1, 0, 5), (3, 1, 2, 1), ( 1, 2, 2, 4) afhankelijk is. Allereerst geven we de beestjes een naam, en gebruiken we de vector (1, 1, 1, 1) om de eerste coördinaat schoon te vegen: a = ( 1, 1, 1, 1 ) b = ( 2, 1, 0, 5 ) c = ( 3, 1, 2, 1 ) d = ( 1, 2, 2, 4 ) bezem a a = ( 1, 1, 1, 1 ) b 2 a = ( 0, 1, 2, 3 ) c 3 a = ( 0, 4, 1, 2) d + a = ( 0, 3, 1, 5 ) Vervolgens gebruiken we de vector b 2 a als bezem om de tweede coördinaat van de andere vectoren weg te poetsen: bezem b 2 a a + ( b 2 a) = ( 1, 0, 1, 4 ) b 2 a = ( 0, 1, 2, 3 ) ( c 3 a) 4( b 2 a) = ( 0, 0, 7, 14) ( d + a) + 3( b 2 a) = ( 0, 0, 7, 14) en plotseling zie je met het blote oog een afhankelijkheid opdoemen: ( c 3 a) 4( b 2 a) = (( d + a) + 3( b 2 a)), wat na enig gesjoemel leidt tot d = b c. Blijkbaar is d een lineaire combinatie van de andere vectoren, dus het stel a, b, c, d is afhankelijk Rekenen met opspansels. Soms wil je een opspansel [ x 1,..., x n ] zo eenvoudig mogelijk schrijven. Onder eenvoudig versta ik hier: met veel nullen, en zo kort mogelijk. Je zoekt dan dus een zo klein mogelijk stel zo eenvoudig mogelijke vectoren y 1,..., y m die hetzelfde opspansel hebben als x 1,..., x n. Bij het vereenvoudigen van een opspansel zijn de volgende acties toegestaan: het weglaten van een vector, die lineaire combinatie is van de andere (bijvoorbeeld: [ x 1, x 2, x 3, 7 x x 2 5 x 3 ] = [ x 1, x 2, x 3 ]) het veranderen van de volgorde (bijvoorbeeld: [ x 1, x 2, x 3, x 4 ] = [ x 2, x 4, x 1, x 3 ]) het vermenigvuldigen van een vector met een getal 0 (bijvoorbeeld: [ x 1, x 2, x 3, x 4 ] = [3 x 1, 1 2 x 2, x 3, x 4 ]) veelvouden van één van de vectoren optellen bij andere vectoren (bijvoorbeeld: [ x 1, x 2, x 3, x 4 ] = [ x 1, x 2, x x 2, x 4 3 x 2 ]) (zo n actie noemden we: vegen met x 2 ) Voorbeeld. Je wilt het opspansel [(1, 2, 2, 1), (2, 3, 0, 1), ( 1, 1, 1, 3), (2, 2, 6, 2), (1, 4, 1, 4)] vereenvoudigen. Dat kun je als volgt doen (de bezem is telkens onderstreept): x 1 = ( 1, 2, 2, 1) ( 1, 2, 2, 1) ( 1, 2, 2, 1) x 2 = ( 2, 3, 0, 1) ( 0, 7, 4, 3) ( 0, 1, 3, 2) x 3 = ( 1, 1, 1, 3) ( 0, 1, 3, 2) ( 0, 0, 17, 17) x 4 = ( 2, 2, 6, 2) ( 0, 2, 2, 4) ( 0, 0, 8, 8) x 5 = ( 1, 4, 1, 4) ( 0, 6, 1, 5) ( 0, 0, 17, 17) ( 1, 2, 2, 1) ( 0, 1, 3, 2) ( 0, 0, 1, 1) ( 1, 2, 0, 3) ( 0, 1, 0, 1) ( 0, 0, 1, 1) ( 1, 0, 0, 1) = y 1 ( 0, 1, 0, 1) = y 2 ( 0, 0, 1, 1) = y 3 We hebben nu drie eenvoudige vectoren y 1, y 2, y 3 gevonden waarvoor [ x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ] = [ y 1, y 2, y 3 ] 5

5 Basis en dimensie. We noemen het stel vectoren y 1,..., y n een basis van V als geldt: { V = [ y1,..., y n ] y 1,..., y n is onafhankelijk Een opspansel kan een heleboel verschillende bases hebben, maar het aantal vectoren uit zo n basis ligt vast. We noemen dit aantal de dimensie van V. Notatie: dim(v). Enkele voorbeelden: (1, 0), (0, 1) is een basis van R 2, en de dimensie van R 2 is 2 (3, 5), ( 2, 1) is ook een basis van R 2 de vectoren e 1 = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0),..., e 7 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) vormen de natuurlijke basis van R 7, en dim(r 7 ) = 7 (0, 1, 1), (1, 0, 1) is een basis van het vlak [(0, 1, 1), (1, 0, 1)] (dit is het vlak met vergelijking x 1 + x 2 + x 3 = 0). De dimensie van dit vlak is dus 2 de dimensie van [(1, 2, 2, 1), (2, 3, 0, 1), ( 1, 1, 1, 3), (2, 2, 6, 2), (1, 4, 1, 4)] is 3, want we hebben een paar minuten geleden geconstateerd dat je dit opspansel kunt uitdunnen tot een opspansel van drie onafhankelijke vectoren, namelijk tot [(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)] Norm en inproduct in R n. Voor vectoren x = (x 1,..., x n ) en y = (y 1,..., y n ) definiëren we: x x y x y def = x x2 n (de norm van x) def = x 1 y x n y n (het inproduct van x en y) def = x y = 0 ( x en y zijn orthogonaal) Het inproduct wordt ook wel genoteerd als x y of als y x. Uit de definities volgt: x y = y x ( x + y) z = ( x z) + ( y z) (λ x) y = λ ( x y) x = x x x + y x + y Meetkundige betekenis in R 2 en R 3 : x is de lengte van de vector x x y is de afstand van x tot y x y betekent: x staat loodrecht op y Projectie op een vector. x p y De projectie van x op y is (per definitie) de vector p [ y ] waarvoor geldt: x p x y O p De projectie van x op y is de vector λ y met λ = x y y y. Je kunt dat simpel narekenen: ( x λ y) y, want ( x λ y) y = x y (λ y) y = x y λ( y y) = 0. Dit inzicht levert ons de volgende handige projectieformule: x y de projectie van x op y is y y y 6

6 Voorbeeld 1. Zij x = (4, 2) en y = (2, 3) Bereken de projectie van x op y Oplossing. p = x y 14 y = y y 13 y = (0, 5) ( 28 13, 42 ) 13 p y x ϕ Voorbeeld 2. Welk punt van de lijn [(1, 2)] ligt het dichtst bij (0, 5)? Oplossing. Het gezochte punt is de projectie van (0, 5) op (1, 2), en deze projectie is (0, 5) (1, 2) 10 (1, 2) = (1, 2) = ( 2, 4) (1, 2) (1, 2) 5 (1, 2) Projectie op een lineaire deelruimte. Zij V een lineaire deelruimte van R n, en x een vector uit R n. We definiëren dan: de projectie van x op V def = de vector p V waarvoor x p V (met V bedoelen we: alle vectoren uit V) Als V een vlak in de R 3 is, kun je er een plaatje bij tekenen: x p x O p V Berekening van de projectie. Je kunt de projectie van x op V als volgt berekenen: Stap 1. Zoek een orthogonale basis van V, dat wil zeggen een basis y 1,..., y k waarbij y i y j als i j Stap 2. Bereken de projecties van x op elk van deze basisvectoren Stap 3. Tel de resultaten op 7

7 Voorbeeld. Bereken de projectie van x = (3, 2, 1, 0) op V = [(1, 0, 0, 0), (2, 3, 4, 5)] Oplossing. Stap 1. Helaas zijn (1, 0, 0, 0) en (2, 3, 4, 5) niet orthogonaal, want hun inproduct is 2. We moeten dus eerst een andere basis van V zoeken die wél orthogonaal is. Zo n karweitje kun je altijd heel systematisch aanpakken: projecteer (2, 3, 4, 5) op (1, 0, 0, 0) (dat is simpel, je vindt als resultaat (2, 0, 0, 0)) en neem nu de verschilvector (2, 3, 4, 5) (2, 0, 0, 0). Deze ligt ook in V en is orthogonaal met (1, 0, 0, 0). We hebben nu dus een orthogonale basis van V gevonden: (1, 0, 0, 0), (0, 3, 4, 5) Stap 2. De projectie van x op (1, 0, 0, 0) is (3, 0, 0, 0) en de projectie van x op (0, 3, 4, 5) is (0, 3 5, 4 5, 1) Stap 3. De projectie van x op V is dus (3, 3 5, 4 5, 1) Lineaire variëteiten. Zij V een lineaire deelruimte van R n en a een vector uit R n. Met a + V bedoelen we dan de verzameling van alle vectoren a + x waarbij x V. Zo n verzameling a + V heet een lineaire variëteit. Voorbeelden: (1, 1) + [(2, 1)] is een lineaire variëteit in R 2. Het is de lijn L die door het punt (1, 1) gaat en evenwijdig loopt aan [(2, 1)]: (1, 1) L O [(2, 1)] Het vlak W met vergelijking x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 is een lineaire variëteit in R 3, want je kunt W schrijven als a + [ b, c] door wat te prutsen met deze vergelijking. Dat kan bijvoorbeeld als volgt: stel x 1 = λ en x 2 = µ. Dan x 3 = 4 λ 2µ, dus x 1 = λ x 2 = µ x 3 = 4 λ 2µ dus x 1 x 2 x 3 = Blijkbaar is W het vlak (0, 0, 4) + [(1, 0, 1), (0, 1, 2)] λ µ

8 Opgaven hoofdstuk 1 Opgave 1. a) Is (7, 2, 9) een lineaire combinatie van (3, 3, 1) en ( 1, 1, 3)? b) Is (7, 2, 9) een lineaire combinatie van (3, 3, 1) en ( 1, 1, 2)? Opgave 2. Ga na of R 4 = [(0, 1, 1, 0), (2, 1, 3, 0), (1, 1, 1, 1), ( 1, 2, 1, 1)] Opgave 3. Welke zijn de lineaire deelruimten van R 2? Opgave 4. Opgave 5. Is (1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4, 5), (5, 4, 3, 2, 1) een onafhankelijk stel vectoren? Schrijf [(5, 2, 3), (3, 7, 4), (6, 2, 5)] zo eenvoudig mogelijk Opgave 6. Bepaal een basis van [(1, 2, 3, 4), (5, 6, 7, 8), (9, 10, 11, 12), (13, 14, 15, 16)] Opgave 7. Bepaal de dimensie van [(2, 1, 3), (6, 5, 2), (2, 3, 8)] Opgave 8. Bepaal een basis van de lineaire deelruimte van R 6 die bestaat uit alle vectoren (x 1,..., x 6 ) die voldoen aan x 1 = x 6 x 2 = x 5 x 3 = x 4 Opgave 9. Bepaal een orthogonale basis van [(1, 1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4, 5)] Opgave 10. Zij V de lineaire deelruimte van R 5, die bestaat uit alle vectoren (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) waarvoor x 1 + x 4 = x 3 + x 5 en x 2 = 3x 1. Zoek een basis van V, en bepaal dim(v) Opgave 11. Bereken de projectie van (1, 2, 1, 2, 1, 2) op (0, 1, 0, 1, 0, 1) Opgave 12. Bereken de projectie van (1, 2, 3, 4) op [(1, 0, 0, 0), (3, 4, 0, 0)] Opgave 13. (2, 5, 3) Opgave 14. Bepaal een basis voor het vlak in R 3, dat door O gaat en loodrecht staat op de vector Voor welke vector x uit [(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)] is x (3, 1, 5, 3) minimaal? Opgave 15. a) Bepaal een basis van de lineaire deelruimte V van R 4 die bestaat uit de vectoren (x 1, x 2, x 3, x 4 ) die voldoen aan { x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 0 b) Bepaal een basis van de deelruimte W van R 4 die bestaat uit de vectoren x die voldoen aan x V Opgave 16. Schrijf het vlak met vergelijking x 1 2x 2 + 3x 3 = 5 in de gedaante a + [ b, c] 9

9 Zelfstudiepakketje bij hoofdstuk 1 Opgave 1. Bepaal een basis van [(3, 7, 0, 2), (1, 5, 2, 3), (0, 3, 2, 1), (4, 6, 6, 1)] Opgave 2. Zij V de lineaire deelruimte van R 5, die bestaat uit alle vectoren (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) waarvoor x 1 + 2x 3 = x 4 = x 5 3x 2. Zoek een basis van V, en bepaal dim(v) Opgave 3. (3, 1, 1) Bepaal een basis voor het vlak in R 3, dat door O gaat en loodrecht staat op de vector Opgave 4. Zoek een basis van het vlak V in R 3 met vergelijking 3x 1 + x 2 5x 3 = 0 Opgave 5. Zij x = (4, 2) en y = (2, 3) a) Bereken het inproduct x y b) Bereken x en y c) Bereken de afstand van x tot y y x Opgave 6. Bereken de afstand van het punt (3, 2, 5) tot de lijn [(3, 6, 9)] Opgave 7. Bepaal een orthogonale basis van het vlak in R 3 met vergelijking x 1 + 2x 2 x 3 = 0 Opgave 8. a) Bepaal een basis van de lineaire deelruimte V van R 4 die bestaat uit de vectoren (x 1, x 2, x 3, x 4 ) die voldoen aan { 3x1 x 2 + 5x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 x 3 + 3x 4 = 0 b) Bepaal een basis van de deelruimte W van R 4 die bestaat uit de vectoren x die voldoen aan x V Opgave 9. Bepaal de projectie van (1, 0, 0) op [(1, 2, 0), (0, 1, 1)] Opgave 10. Zij L de lijn met vergelijking 3x 1 7x 2 = 5 a) Is L een lineaire deelruimte van R 2? b) Is L een lineaire variëteit in R 2? Opgave 11. De lijn L met vergelijking 6x 1 5x 2 = 1 is een lineaire variëteit in R 2. Schrijf L in de gedaante a + [ b] 10

10 Opgave 12. Zij a = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) en zij V de lineaire deelruimte van R 10 die bestaat uit alle veelvouden van a a) Bereken de dimensie van V b) Bereken de projectie van ( 2 1, 4 2, 8 3, 16 4, 32 5, 64 6, 128 7, 256 8, 512 9, ) op V 10 ( ) 2 c) Voor welk reëel getal λ is λn 2n minimaal? n n=1 Opgave 13. V V We definiëren lineaire deelruimten V en V van R 5 door def = de verzameling van alle (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) waarvoor x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 def = de verzameling van alle vectoren die V staan a) Bepaal een basis van V b) Bepaal een basis van V c) Bereken de projectie van (1, 2, 3, 4, 5) op V d) Bereken de projectie van (1, 2, 3, 4, 5) op V 11

11 Oplossingen Opgave 1. We gaan wat vegen: (3, 7, 0, 2) (1, 5, 2, 3) (bezem) (0, 3, 2, 1) (4, 6, 6, 1) (0, 8, 6, 11) (1, 5, 2, 3) (0, 3, 2, 1) (bezem) (0, 14, 2, 13) (0, 25, 28, 0) (bezem) (1, 4, 8, 0) (0, 3, 2, 1) (0, 25, 28, 0) (0, 25, 28, 0) (1, 0, 88 25, 0) (0, 0, 34 25, 1) (0, 0, 0, 0) De zo gevonden basis is (0, 25, 28, 0), (25, 0, 88, 0), (0, 0, 34, 25) (0, 25, 28, 0) (25, 0, 88, 0) (0, 0, 34, 25) Opgave 2. Zo n vector voldoet aan x 4 = x 1 + 2x 3 en x 5 = x 1 + 3x 2 + 2x 3, en is dus te schrijven als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (x 1, x 2, x 3, x 1 +2x 3, x 1 +3x 2 +2x 3 ) = x 1 (1, 0, 0, 1, 1)+x 2 (0, 1, 0, 0, 3)+x 3 (0, 0, 1, 2, 2), dus V = [(1, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 3), (0, 0, 1, 2, 2)]. De gevonden basis is (1, 0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 0, 3), (0, 0, 1, 2, 2), en de dimensie is 3 Opgave 3. Dit is het vlak met vergelijking 3x 1 x 2 x 3 = 0. Een basis vind je door zomaar twee onafhankelijke vectoren uit dit vlak te pakken, bijvoorbeeld (0, 1, 1) en (1, 3, 0) Opgave 4. Als (x 1, x 2, x 3 ) V, dan x 2 = 3x 1 + 5x 3, en dus (x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, 3x 1 + 5x 3, x 3 ) = x 1 (1, 3, 0) + x 3 (0, 5, 1). Dus V = [(1, 3, 0), (0, 5, 1)]. Bovendien zijn de vectoren (1, 3, 0) en (0, 5, 1) onafhankelijk (want geen van de twee is een veelvoud van de ander). Dus vormen ze een basis van V Opgave 5. a) x y = (4, 2) (2, 3) = = 14 b) x = (4, 2) = = 2 5 y = (2, 3) = = 13 c) De afstand van x tot y is x y = (2, 1) = 5 Opgave 6. De projectie van (3, 2, 5) op [(3, 6, 9)] is (3, 2, 5) (3, 6, 9) (3, 6, 9) (3, 6, 9) Dus de gevraagde afstand is (3, 2, 5) (1, 2, 3) = (3, 6, 9) = (3, 6, 9) = (1, 2, 3) 126 Opgave 7. We pakken eerst zomaar een basis van het vlak, door simpelweg twee vectoren onafhankelijke vectoren uit dat vlak te kiezen: (1, 0, 1) en (0, 1, 2). Wat een pech! Ze staan niet loodrecht op elkaar. Daarom gaan we als volgt verder: we projecteren (1, 0, 1) op (0, 1, 2) ( ) (1, 0, 1) (0, 1, 2) 2 resultaat: (0, 1, 2) = 0, (0, 1, 2) (0, 1, 2) 5, 4 5 De verschilvector (1, 0, 1) (0, 2 5, 4 5 ) staat nu loodrecht op (0, 1, 2). Daarmee hebben we een orthogonale basis van het vlak gevonden: (0, 1, 2), (1, 2 5, 1 5 ) 12

12 Opgave 8. a) Eerst wat prutsen om de vergelijkingen te vereenvoudigen: Als je de twee vergelijkingen optelt en het resultaat halveert krijg je x 1 = 2x 3 2x 4 Als je (eerste vergelijking) + 3 (tweede vergelijking) neemt en het resultaat halveert krijg je x 2 = x 3 5x 4 Een vector uit V is dus te schrijven als (x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( 2x 3 2x 4, x 3 5x 4, x 3, x 4 ) = x 3 ( 2, 1, 1, 0) + x 4 ( 2, 5, 0, 1) Dus V = [( 2, 1, 1, 0), ( 2, 5, 0, 1)], en de gevonden basis is ( 2, 1, 1, 0), ( 2, 5, 0, 1) b) 3x 1 x 2 + 5x 3 + x 4 = 0 betekent hetzelfde als x (3, 1, 5, 1), en x 1 + x 2 x 3 + 3x 4 = 0 betekent hetzelfde als x ( 1, 1, 1, 3). Dus W = [(3, 1, 5, 1), ( 1, 1, 1, 3)], en (3, 1, 5, 1), ( 1, 1, 1, 3) is een basis van W Opgave 9. Stap 1. We zoeken als volgt een orthogonale basis van [(1, 2, 0), (0, 1, 1)]: de projectie van (1, 2, 0) op (0, 1, 1) is (0, 1, 1), en dus staat de vector (1, 2, 0) (0, 1, 1) loodrecht op (0, 1, 1). Dus is (1, 1, 1), (0, 1, 1) een orthogonale basis Stap 2. De projectie van (1, 0, 0) op (1, 1, 1) is ( 1 3, 1 3, 1 3 ), en de projectie van (1, 0, 0) op (0, 1, 1) is (0, 0, 0) Stap 3. De som van deze twee projecties is ( 1 3, 1 3, 1 3 ) Opgave 10. a) Nee, want L gaat niet door de oorsprong en is dus niet te schrijven als een opspansel b) Ja, want je kunt L schrijven als a + [ b]. Dat doe je als volgt: de vergelijking van L is x 1 = 7 3 x Een punt (x 1, x 2 ) van L is dus te schrijven als ( 7 3 x , x 2). Hier kun je leuk mee knoeien: ( 7 3 x ) ( ) ( ) ( ) ( ) , x 2 = 3, x 2, x 2 = 3, 0 + x 2 3, 1 Als je hierin het getal x 2 laat variëren, ( krijg je) alle punten ( van ) L. Blijkbaar is L de verzameling 5 7 van alle punten die te schrijven zijn als 3, 0 + λ 3, 1 Conclusie: L = ( ) [( ) ] 5 7 3, 0 + 3, 1 Opgave 11. Stel x 1 = λ. Dan 6λ 5x 2 = 1, dus x 2 = λ. Dus (x 1, x 2 ) = (λ, λ) = (0, 1 5 ) + λ(1, 6 5 ). Conclusie: L = (0, 1 5 ) + [(1, 6 5 )] Opgave 12. a) V = [ a], dus dim(v ) = 1 b) Zij b = ( 2 1, 4 2, 8 3, 16 4, 32 5, 64 6, 128 7, 256 8, 512 9, c) De gevraagde projectie is dan a b a a 10 n=1 ) a = a = a ( λn 2n n ) 2 = λ a b 2, en dit is minimaal als λ a de projectie van b op a is, dus als λ =

13 Opgave 13. a) V bestaat uit alle vectoren die te schrijven zijn als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 x 2 x 3 x 4 ) waarbij de x i reële getallen zijn. De rest is simpel rekenwerk: je kunt (x 1, x 2, x 3, x 4, x 1 x 2 x 3 x 4 ) ontbinden tot x 1 (1, 0, 0, 0, 1) + x 2 (0, 1, 0, 0, 1) + x 3 (0, 0, 1, 0, 1) + x 4 (0, 0, 0, 1, 1), en dus is (1, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 1) een basis van V b) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 betekent hetzelfde als (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ), (1, 1, 1, 1, 1) = 0. Dus x V x (1, 1, 1, 1, 1) of, anders gezegd, V = [(1, 1, 1, 1, 1)]. De vector (1, 1, 1, 1, 1) vormt dus in zijn eentje een basis van V c) De projectie van (1, 2, 3, 4, 5) op V is (1, 2, 3, 4, 5) (1, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 1) = 15 5 (1, 1, 1, 1, 1) = (3, 3, 3, 3, 3) d) De projectie van (1, 2, 3, 4, 5) op V is (1, 2, 3, 4, 5) (3, 3, 3, 3, 3) = ( 2, 1, 0, 1, 2). Je kunt dit bedenken via de volgende abstracte tekening: V (3, 3, 3, 3, 3) (1, 2, 3, 4, 5) O p V Mocht je ongelukkigerwijs zo n wiskundige muggenzifter zijn die dit soort prachtige plaatjes wantrouwt, dan kan het volgende formele bewijs van het gevonden resultaat je nachtrust herstellen: ( 2, 1, 0, 1, 2) V, want het is een rijtje met som 0 (1, 2, 3, 4, 5) ( 2, 1, 0, 1, 2) V, want (3, 3, 3, 3, 3) V 14

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...)

Optelling en scalaire vermenigvuldiging zijn weer plaatsgewijs gedefinieerd, bijvoorbeeld: 7 (x 1, x 2, x 3,...) 5. Lineaire ruimten Tot nu toe hebben we ons uitsluitend met de R n bezig gehouden. We gaan de behandelde theorie nu uitbreiden tot verzamelingen die een sterke overeenkomst met een R n vertonen. Een dergelijke

Nadere informatie

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.

Toepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten. WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Lineaire afbeeldingen

Lineaire afbeeldingen Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α

x cos α y sin α . (1) x sin α + y cos α We kunnen dit iets anders opschrijven, namelijk als x x y sin α Lineaire afbeeldingen Rotatie in dimensie 2 Beschouw het platte vlak dat we identificeren met R 2 Kies een punt P in dit vlak met coördinaten (, y) Stel dat we het vlak roteren met de oorsprong (0, 0)

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden

Ruimtewiskunde. college. Het inwendig- en het uitwendig product. Vandaag. Hoeken Orthogonaliteit en projecties. Toepassing: magnetische velden college 2 - en het uitwendig collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 2 30 mei 207 30 2 3 4 5 Hoeken Orthogonaliteit en projecties Toepassing: magnetische velden.6-7[2] vandaag meetkundig Section

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Vectorruimten en deelruimten

Vectorruimten en deelruimten Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 0 juli 008) Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde.

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Uitwerking Basisopgaven

Uitwerking Basisopgaven Uitwerking Basisopgaven Opgave 1 a. Gevraagd wordt om y = 3x 2 te tekenen. Een manier om dit te doen is het berekenen van snijpunten met x-as en y-as: - Snijpunt y-as: x = 0 invullen geeft y = 3.0 2 =

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom

. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom 8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc. College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector

Nadere informatie

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven

Lineaire Algebra A en B. Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven Lineaire Algebra A en B Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven 2010 2011 ii Syllabus bij Lineaire Algebra A (2WF07) en Lineaire Algebra B (2WF08) Inhoudsopgave 0 Vectorrekening

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS

REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS REKENVAARDIGHEID BRUGKLAS Schooljaar 008/009 Inhoud Uitleg bij het boekje Weektaak voor e week: optellen en aftrekken Weektaak voor e week: vermenigvuldigen Weektaak voor e week: delen en de staartdeling

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Vrijdag juli 3. Tijd: 9.. uur. Plaats: AUD 5. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college en scalarelden in R Vandaag collegejaar college build slides : : : : 4-5 7 augustus 4 33 Coördinatenstelsels in R VA andaag Voorkennis Zelf bestuderen uit.,. en.3: ptellen en scalair ermeniguldigen

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B,

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel.

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Hoofdstuk 5 Het Assenstelsel 5.1 Het Assenstelsel INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Dit assenstelsel is een idee van de Franse filosoof en wiskundige René Descartes(1596-1650).

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte

Lineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45

2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 = 45 15 x 3 = 45 2.1 Bewerkingen [1] Video Geschiedenis van het rekenen (http://www.youtube.com/watch?v=cceqwwj6vrs) 15 x 3 is een product. 15 en 3 zijn de factoren van het product. 15 : 3 = 5 15 : 3 is een

Nadere informatie

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5

PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 2015-2015 PG blok 4 werkboek bijeenkomst 4 en 5 Inhoud Kenmerken van deelbaarheid (herhaling)...1 Ontbinden in factoren...1 Priemgetallen (herhaling)...2 Ontbinden in priemfactoren...2 KGV (Kleinste Gemene

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R

Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R - 229 - Hoofdstuk 11: Eerstegraadsfuncties in R Definitie: Een eerstegraadsfunctie in R is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (met a R 0 en b R ) Voorbeeld 1: y = 2x Functiewaardetabel

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

Ruimtemeetkunde deel 1

Ruimtemeetkunde deel 1 Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 1 2 Cartesiaanse vergelijking

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie