Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
|
|
- Greta Merel van der Ven
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
2 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale ruimte. We volgen daarbij de aanpak van de analytische meetkunde, waarbij punten in de ruimte worden voorgesteld door coördinaten t.o.v. een assenstelsel. We hebben het verband tussen punten in de ruimte en coördinaten t.o.v. een assenstelsel reeds besproken in de module over lineaire algebra. We hebben gezien hoe punten in de ruimte kunnen geassocieerd worden met vectoren, en dat rechten en vlakken door de oorsprong van het assenstelsel overeenkomen met deelruimten van een driedimensionale vectorruimte. Alhoewel de theorie van rechten en vlakken op veel verschillende manieren kan opgebouwd worden, volgen we hier een manier die zoveel mogelijk voortbouwt op wat we gezien hebben in de module over lineaire algebra. 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong In de module over lineaire algebra hebben we gezien dat vectoren (a, b, c) R 3 kunnen voorgesteld worden als punten in een driedimensionale ruimte waarin een assenstelsel werd gekozen. In plaats van gewoon een punt aan te duiden wordt de vector ook voorgesteld door een pijl van de oorsprong van het assenstelsel (d.i. het punt (0, 0, 0)) naar dit punt. We werken in deze module altijd met een orthonormaal assenstelsel, (d.w.z. met onderling loodrechte assen en gelijke meeteenheden op alle assen). Op de volgende figuur wordt de vector (of het punt) (4, 5, 3) voorgesteld. z 3 (4, 5, 3) o 5 y x 4 De veelvouden van een vector vormen een rechte door de oorsprong. De volgende figuur toont (een stuk van) de rechte die bestaat uit de veelvouden van (4, 5, 3).
3 1. Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 3 z 3 (4, 5, 3) 4 o 5 y x De veelvouden van een punt (a, b, c) zijn vectoren k(a, b, c) (of (ka, kb, kc)) met k een willekeurig reëel getal. De vergelijking of (x, y, z) = k(a, b, c) met k R x = ka y = kb z = kc met k R wordt de parametervergelijking (eigenlijk een parametervergelijking) van de rechte door de oorsprong en (a, b, c) genoemd. Dit is een beschrijving die aangeeft hoe alle punten van de rechte kunnen gevonden worden door willekeurige waarden voor k te kiezen. De veranderlijke k wordt de parameter van de vergelijking genoemd. Merk op dat de parameterverglijking niet uniek is. Zo beschrijven en (x, y, z) = k(4, 5, 3) met k R (x, y, z) = k(8, 10, 6) met k R dezelfde rechte. Wel is het zo dat bijvoorbeeld het punt (12, 15, 9) in de eerste beschrijving gevonden wordt door k = 3 te kiezen en in de tweede beschrijving door k = 3/2 te kiezen. Als we alle reële waarden van k beschouwen leveren beide beschrijvingen precies dezelfde rechte. In de plaats van veelvouden van een vector (a, b, c) kunnen we ook lineaire combinaties van twee vectoren (a, b, c) en (d, e, f) beschouwen. Een lineaire combinatie van (a, b, c) en (d, e, f) is een som van een veelvoud van (a, b, c) en een veelvoud van (d, e, f). Deze lineaire combinaties hebben de vorm k(a, b, c) + l(d, e, f) (of (ka + ld, kb + le, kc + lf)) met k en l willekeurige reële getallen. Al deze vectoren samen vormen een vlak door p = (a, b, c), q = (d, e, f) en de oorsprong, zoals weergegeven op de volgende figuur.
4 4 Rechten en vlakken z kp + lq o q lq p kp y x Merk op dat we geen oneindig vlak kunnen tekenen. Het getekende parallellogram is een eindig stuk van het oneindige vlak door o, p en q. De parametervergelijking van dit vlak wordt gegeven door (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R of x = ka + ld y = kb + le z = kc + lf met k, l R Merk op dat de parametervergelijking opnieuw niet uniek is. De rol van (a, b, c) en (d, e, f) kan ook gespeeld worden door twee andere vectoren van het vlak, die lineair onafhankelijk zijn (zie de module over lineaire algebra). Omdat het gaat over twee vectoren, betekent lineaire onafhankelijkheid hier gewoon dat het gaat om van nul verschillende vectoren die geen veelvoud zijn van elkaar. Beschouw bijvoorbeeld het vlak door de oorsprong met parametervergelijking (x, y, z) = k(1, 0, 1) + l(0, 1, 1) met k, l R. Dit vlak bevat ook de punten (1, 2, 3) (kies k = 1 en l = 2) en (1, 1, 0) (kies k = 2 en l = 1). De vergelijking (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(1, 1, 0) met k, l R beschrijft precies hetzelfde vlak. Neem bijvoorbeeld het punt (2, 1, 3) in dit vlak. In de eerste beschrijving wordt dit bekomen door k = 2 en l = 1 te kiezen en in de tweede beschrijving door k = 1 en l = 1 te kiezen.
5 2. Cartesiaanse vergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 5 2 Cartesiaanse vergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong Er is nog een andere manier om rechten en vlakken door de oosprong te beschrijven. In de module over lineaire algebra hebben we immers gezien dat de oplossingenverzameling van lineaire stelsels de vorm aannemen van de hierboven beschreven parametervergelijkingen. Zo wordt bijvoorbeeld de oplossingenverzameling van het stelsel x +z = 0 y +z = 0 beschreven door of x = k y = k z = k met k, l R (x, y, z) = k( 1, 1, 1) met k R. Dit is een rechte door de oorsprong. Ter herinnering: Als we het stelsel oplossen met de methode van Gauss vinden we dat er twee hoofdonbekenden en één nevenonbekende zijn. Bij het neerschrijven van de oplossing kunnen we daarom één onbekende vrij kiezen. Deze komt overeen met de vrij te kiezen parameter k. Als we een stelsel van slechts één vergelijking met rechter lid 0 neerschrijven (en niet alle coëfficiënten gelijk aan 0), zijn er twee nevenonbekenden en kunnen we twee onbekenden vrij kiezen. Zo word de oplossingenverzameling van x + y + z = 0 beschreven door of x = k l y = k z = l met k, l R, (x, y, z) = k( 1, 1, 0) + l( 1, 0, 1) met k, l R. De beschrijvingen van rechten en vlakken door de oorsprong met behulp van lineaire vergelijkingen worden cartesiaanse vergelijkingen van rechten en vlakken genoemd. In het algemeen geldt dat een vlak kan beschreven worden door een vergelijking van de vorm px + qy + rz = 0, waarbij p, q en r niet tegelijk 0 zijn.
6 6 Rechten en vlakken Een rechte wordt beschreven door een stelsel van de vorm px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 De vergelijkingen px+qy+rz = 0 en sx+ty+uz = 0 moeten lineair onafhankelijk zijn. Dit betekent dat de vectoren (p, q, r) en (s, t, u) lineair onafhankelijk moeten zijn. Of ook (omdat het om twee vergelijkingen gaat), dat (p, q, r) en (s, t, u) moeten verschillen van (0, 0, 0) en geen veelvoud mogen zijn van elkaar. Dat voor een rechte twee vergelijkingen nodig zijn mag niet verrassen. We kunnen beide vergelijkingen (omdat (p, q, r) (0, 0, 0) en (s, t, u) (0, 0, 0)) interpreteren als een vergelijking van een vlak. Een punt ligt op de rechte als het op beide vlakken ligt. De rechte vormt dus de snijlijn van de twee vlakken. Dat (p, q, r) en (s, t, u) geen veelvoud van elkaar mogen zijn betekent dat het moet gaan om twee verschillende vlakken. Daar waar een parametervergelijking een snelle manier biedt om punten van een rechte of een vlak te produceren (door een willekeurige waarde voor de parameter(s) in te vullen), biedt een cartesiaanse vergelijking een snelle manier om van een willekeurig punt (x, y, z) in de ruimte te testen of het op het vlak of de rechte gelegen is. Om bijvoorbeeld te testen of het punt (1, 2, 3) op de rechte met vegelijking 2x y = 0 x +y +z = 0 ligt, berekenen we = = 6 0 Het punt voldoet slechts aan één van beide vergelijkingen en ligt dus niet op de rechte. 3 Omzetten van cartesiaanse vorm in parametervorm Uit de bovenstaande theorie is onmiddellijk duidelijk hoe we een cartesiaanse vergelijking van een vlak of rechte moeten omzetten in een parametervergelijking. Het volstaat het gegeven stelsel vergelijkingen op te lossen en de oplossingenverzameling in de vorm van een parametervergelijking weer te geven. Merk op dat we ons voorlopig nog steeds toeleggen op rechten en vlakken door de oorsprong. Omdat we in deze module nog herhaaldelijk stelsels van één of twee homogene vergelijkingen (d.w.z. met rechterlid 0) in drie onbekenden zullen moeten oplossen, gaan we hier even dieper op in. Eerder dan de methode van Gauss te gebruiken voor het oplossen van stelsels, zullen we in de context van rechten en vlakken vaak gebruik maken van directe formules voor dergelijke eenvoudige stelsels.
7 3. Omzetten van cartesiaanse vorm in parametervorm 7 Indien p 0 kunnen we op zicht twee lineair onafhankelijke oplossingen neerschrijven van de vergelijking px + qy + rz = 0, namelijk (q, p, 0) en (r, 0, p). Dit zijn dus twee punten van het vlak met vergelijking px + qy + rz = 0. Omdat p 0 zijn (q, p, 0) en (r, 0, p) bovendien geen veelvoud van mekaar. Voor de parametervergelijking vinden we dan (x, y, z) = k(q, p, 0) + l(r, 0, p) met k, l R. Indien p = 0, is q 0 of r 0 en kunnen we analoog te werk gaan. Bijvoorbeeld als q 0 schrijven we (x, y, z) = k( q, p, 0) + l(0, r, q) met k, l R. We herinneren er nog even aan dat parametervergelijkingen niet uniek zijn en dat andere vormen mogelijk zijn. Ook voor een homogeen stelsel van twee lineair onafhankelijke vergelijkingen in drie onbekenden, bestaan formules voor de oplossing: Het stelsel px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 met (p, q, r) en (s, t, u) verschillend van (0, 0, 0) en geen veelvoud van elkaar, heeft als oplossingen (x, y, z) = k(qu rt, rs pu, pt qs) met k R. Dit is meteen ook de parametervergelijking van de rechte die bovenstaand stelsel als cartesiaanse vergelijking heeft. De vector (qu rt, rs pu, pt qs) wordt ook het vectorieel product van de vectoren (p, q, r) en (s, t, u) genoemd en genoteerd als (p, q, r) (s, t, u) of als (p, q, r) (s, t, u). Je kan gemakkelijk nagaan dat deze vector inderdaad aan beide vergelijkingen voldoet: p(qu rt) + q(rs pu) + r(pt qs) =... = 0 s(qu rt) + t(rs pu) + u(pt qs) =... = 0 Voor de rechte met cartesiaanse vergelijking x +2y +z = 0 2x +z = 0 vinden we (1, 2, 1) ( 2, 0, 1) = (2, 3, 4). Dit is een punt van de rechte en we vinden als parametervergelijking. (x, y, z) = k(2, 3, 4) met k R.
8 8 Rechten en vlakken Wanneer (p, q, r) en (s, t, u) lineair afhankelijk zijn is het vectorieel product (0, 0, 0). Let wel op dat je in dit geval niet mag besluiten dat de oplossing van het stelsel alleen uit de nulvector bestaat. Het stelsel vormt in dat geval ook niet de vergelijking van een rechte. Vectoriële producten worden meestal in verband gebracht met loodrechte stand van vectoren. Daar gaan we in de paragrafen 4 en 5 op in. Het vectorieel product kan ook uitgedrukt worden met determinanten: ( ) q r (p, q, r) (s, t, u) = t u, r p u s, p q s t. Met een beetje misbruik van notatie (met vectoren op de eerste rij waar normaal getallen staan), wordt het vectorieel product ook kort genoteerd in de volgende vorm die gemakkelijk te onthouden is: (a, b, c) (d, e, f) = e x e y e z a b c d e f waarbij e x = (1, 0, 0), e y = (0, 1, 0) en e z = (0, 0, 1). Uitwerken van deze 3 3 determinant levert opnieuw dezelfde formule. Voor iets meer hierover verwijzen we naar de module over lineaire algebra. 4 Loodrichtingen De cartesiaanse vergelijkingen van rechten en vlakken door de oorsprong zijn stelsels van één of twee homogene vergelijkingen in drie onbekenden. In de module over lineaire algebra, zagen we hoe homogene vergelijkingen kunnen geïnterpreteerd worden in termen van loodrechte stand. De vergelijking kan ook geschreven worden als px + qy + rz = 0 (p, q, r) (x, y, z) = 0, waarbij het inwendig product noteert. De vergelijking eist dus dat het inwendig product van (x, y, z) met (p, q, r) gelijk is aan 0, en dus dat (x, y, z) loodrecht staat op (p, q, r) (zie module over lineaire algebra). Het vlak beschreven door de vergelijking px + qy + rz = 0, bestaat dus uit alle vectoren die loodrecht staan op (p, q, r). Omgekeerd vormen de veelvouden van (p, q, r) alle vectoren die loodrecht staan op het vlak. De vector (p, q, r), of één van zijn veelvouden, geeft de loodrichting op het vlak aan.
9 5. Omzetten van parametervorm in cartesiaanse vorm 9 De rechte beschreven door px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 (met (p, q, r) en (s, t, u) lineair onafhankelijk), bestaat uit alle vectoren die loodrecht staan op (p, q, r) en op (s, t, u). Omgekeerd vormen (p, q, r) en (s, t, u) en al hun lineaire combinaties de verzameling van vectoren die loodrecht staan op de gegeven rechte. De vectoren (p, q, r) en (s, t, u) geven een lineair onafhankelijk stel loodrichtingen op de rechte aan. De volgende figuur toont de rechte door de oorsprong en (4, 5, 3) en twee lineair onafhankelijke loodrichtingen (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1). z 3 (4, 5, 3) x 4 o (1, 1, 3) 5 ( 1, 2, 2) y 5 Omzetten van parametervorm in cartesiaanse vorm We zagen reeds hoe een cartesiaanse vergelijking van een vlak of een rechte door de oorsprong kan worden omgezet in een parametervergelijking. We moesten daartoe homogene stelsels van één of twee vergelijkingen in drie veranderlijken oplossen en zagen daartoe enkele formules in paragraaf 3. Het hierboven beschreven beeld van de loodrichtingen geeft een eenvoudig visualiseerbare manier aan om het omgekeerde probleem aan te pakken. En dezelfde formules voor het oplossen van stelsels zullen opnieuw hun nut bewijzen. Om voor de rechte met parametervergelijking (x, y, z) = k(a, b, c) met k R een cartesiaanse vergelijking te vinden, zoeken we een vergelijking van de vorm px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0
10 10 Rechten en vlakken met de veelvouden van (a, b, c) als oplossing. In de vorige paragraaf zagen we dat dit betekent dat (p, q, r) en (s, t, u) twee richtingen aangeven die loodrecht staan op (a, b, c) en lineair onafhankelijk zijn van mekaar. De vectoren (p, q, r) en (s, t, u) moeten dus twee lineair onafhankelijke oplossingen van het stelsel ax + by + cz = 0 zijn. Volgens de theorie van paragraaf 3 kunnen we hiervoor de vectoren (b, a, 0) en (c, 0, a) nemen, indien a 0 (of een analoge oplossing indien b 0 of c 0). Dit geeft (voor a 0) de vergelijking bx ay = 0 cx az = 0 We herinneren er nog eens aan dat deze cartesiaanse vergelijking niet uniek is. Andere vergelijkingen zijn mogelijk. Om voor het vlak met parametervergelijking een cartesiaanse vergelijking (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R px + qy + rz = 0 te vinden, moeten we volgens de theorie van paragraaf 3 een vector (p, q, r) vinden die loodrecht staat op (a, b, c) en (d, e, f). D.w.z. een vector die oplossing is van ax +by +cz = 0 dx +ey +fz = 0 Deze wordt gegeven door het vectorieel product (a, b, c) (d, e, f) = (bf ce, cd af, ae bd). De cartesiaanse vergelijking van het vlak wordt dus (bf ce)x + (cd af)y + (ae bd)z = 0. Bijvoorbeeld, voor het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = k(1, 2, 1) + l( 2, 0, 1) met k, l R vinden we, met (1, 2, 1) ( 2, 0, 1) = (2, 3, 4), als cartesiaanse vergelijking. 2x 3y + 4z = 0
11 6. Algemene rechten en vlakken 11 We vatten de laatste drie paragrafen nog eens samen op een voorbeeld: De vector (4, 5, 3) staat loodrecht op de vectoren (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) (zie ook de figuur hierboven). De rechte door de oorsprong en (4, 5, 3) heeft als parametervergelijking (x, y, z) = k(4, 5, 3) met k R en als cartesiaanse vergelijking x +y 3z = 0 2x +y +z = 0 Het vlak door de oorsprong en door (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) heeft als parametervergelijking en als cartesiaanse vergelijking (x, y, z) = k(1, 1, 3) + l( 2, 1, 1) met k, l R 4x + 5y + 3z = 0. We benadrukken nog eens dat dit niet de enig mogelijke vergelijkingen zijn. De vectoren (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) zijn oplossingen van het stelsel 4x + 5y + 3z = 0 Elk stel van twee oplossingen van dit stelsel, die van (0, 0, 0) verschillen en geen veelvoud zijn van elkaar, kan de rol van (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) hierboven spelen. De vector (4, 5, 3) is een oplossing van het stelsel x +y 3z = 0 2x +y +z = 0 De oplossingen van dit stelsel zijn de veelvouden van (1, 1, 3) ( 2, 1, 1) = (4, 5, 3). Elke van (0, 0, 0) verschillende oplossing kan de rol van (4, 5, 3) hierboven spelen. 6 Algemene rechten en vlakken Hierboven hebben we alleen rechten en vlakken door de oorsprong van een gegeven assenstelsel beschouwd. In termen van lineaire algebra zijn deze rechten en vlakken één- en tweedimensionale deelruimten van R 3. Rechten en vlakken die niet door de oorsprong gaan zijn geen deelruimten. Toch vraagt het niet veel werk om de hierboven beschreven theorie uit te breiden tot algemene rechten en vlakken die niet noodzakelijk door de oorsprong gaan. We kunnen een willekeurige rechte of vlak immers bekomen door een rechte of vlak door de oorsprong te verschuiven.
12 12 Rechten en vlakken Voor parametervergelijkingen betekent dit het volgende. We zagen hierboven dat een parametervergelijking van de veelvouden van (a, b, c) gegeven wordt door (x, y, z) = k(a, b, c) met k R. Als we willekeurige waarden voor k nemen vinden we alle punten van de rechte. Als we nu bij al die punten een vaste vector (g, h, i) optellen verschuiven we de gehele rechte volgens de vector (g, h, i). De volgende figuur toont een voorbeeld met (a, b, c) = (4, 5, 3) en (g, h, i) = (0, 0, 2). z 3 (4, 5, 3) 4 o (4, 5, 1) 5 y x (0, 0, 2) We bekomen een rechte die evenwijdig is aan de oorspronkelijke rechte en door het punt (g, h, i) gaat. De parametervergelijking van deze rechte is (x, y, z) = (g, h, i) + k(a, b, c) met k R. We zeggen dat (g, h, i) een punt van de rechte is en (a, b, c) een richting. Voor een vlak kunnen we iets analoogs doen: Beschouw eerst een vlak door de oorsprong (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R. Als we dit vlak verschuiven volgens de vector (g, h, i) vinden we (x, y, z) = (g, h, i) + k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R. We noemen (g, h, i) een punt van het vlak en (a, b, c) en (d, e, f) richtingen. Voor de cartesiaanse vergelijkingen van algemene rechten en vlakken doen we weer een beroep op de lineaire algebra. We zagen hierboven dat rechten en vlakken door de oorsprong bekomen worden als de oplossingenverzameling van een homogeen stelsel van één of twee vergelijkingen in drie onbekenden. Dit zijn de cartesiaanse vergelijkingen. We herinneren eraan dat homogeen betekent dat alle rechter leden van de vergelijkingen
13 6. Algemene rechten en vlakken 13 0 zijn. In de module over lineaire algebra hebben we gezien dat als we de rechter leden veranderen we een oplossingenverzameling vinden die bekomen wordt door de oorspronkelijke oplossingenverzameling te verschuiven. Dit is precies wat we zoeken. Als px + qy + rz = 0 sx + ty + uz = 0 de vergelijking is van een rechte door de oorsprong, dan is px + qy + rz = v sx + ty + uz = w de vergelijking van een rechte die daar evenwijdig aan is. Als we bijvoorbeeld willen dat deze rechte door het punt (g, h, i) gaat, dan bepalen we v en w zodat (g, h, i) aan de vergelijking voldoet. D.w.z. v = pg + qh + ri en w = sg + th + ui. De rechte evenwijdig aan x +2y +z = 0 2x +z = 0 door het punt (1, 2, 3) is x +2y +z = 8 2x +z = 1 Deze vergelijking wordt ook soms genoteerd als (x 1) +2(y 2) +(z 3) = 0 2(x 1) +(z 3) = 0 Merk op dat de rechterleden 0 zijn maar dat dit geen homogeen stelsel is omdat het linker lid constante termen bevat. Op analoge manier vinden we vertrekkend van een vlak door de oorsprong met vergelijking ax + by + cz = 0, de vergelijking van het evenwijdige vlak door het punt (g, h, i) als ax + by + cz = ag + bh + ci of als a(x g) + b(y h) + c(z i) = 0. Het omzetten van een cartesiaanse vergelijking van een algemene rechte of vlak in een parametervergelijking komt net zoals bij rechten en vlakken door de oorsprong neer op het oplossen van een stelsel. Deze keer gaat het echter niet om een homogeen stelsel. We kunnen hierbij gebruik maken van de methode van Gauss (zie module over lineaire algebra). Voor het omzetten van een parametervergelijking in een cartesiaanse vergelijking kunnen we een methode volgen die nauw aansluit bij die van paragraaf 5 over rechten
14 14 Rechten en vlakken en vlakken door de oorsprong. We bepalen dan eerst de cartesiaanse vergelijking van het evenwijdige vlak of de evenwijdige rechte door de oorsprong volgens de formules van paragraaf 5. Om het juiste vlak te bekomen moeten we enkel nog verschuiven. Daartoe hebben we een punt van het vlak nodig. Maar aangezien we beschikken over een parametervergelijking kunnen we eenvoudig een punt aflezen, door bijvoorbeeld k (en l) gelijk aan 0 tekiezen. Bijvoorbeeld voor het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(1, 2, 1) + l( 2, 0, 1) met k, l R bepalen we eerst het overeenkomstige vlak door de oorsprong: (x, y, z) = k(1, 2, 1) + l( 2, 0, 1) met k, l R. Voor dit vlak vinden we, met (1, 2, 1) ( 2, 0, 1) = (2, 3, 4), 2x 3y + 4z = 0 als cartesiaanse vergelijking. Het vlak dat we willen beschrijven is evenwijdig met dit vlak en gaat door (1, 1, 1) en heeft dus de cartesiaanse vergelijking 2x 3y + 4z = 3. De methodes hierboven om vergelijkingen van rechten en vlakken af te leiden zijn vooral geschikt indien de rechte bepaald is door een punt en een richting of het vlak door een punt en twee richtingen. Ze kunnen ook gemakkelijk aangepast worden wanneer loodrichtingen gegeven zijn op basis van de theorie van paragrafen 4 en 5. Zo wordt de cartesiaanse vergelijking van het vlak met loodrichting (1, 2, 3) en door het punt (4, 5, 6) gegeven door (x 4) + 2(y 5) + 3(x 6) = 0. Vaak zijn geen richtingen gegeven maar enkel punten, bijvoorbeeld twee punten voor een rechte of drie punten voor een vlak. Maar elk stel van twee punten kan gemakkelijk omgezet worden in een richting door het verschil van de twee punten te berekenen. Zo kan de rechte door de punten (1, 2, 3) en (4, 5, 6) eenvoudig gevonden worden als de rechte door het punt (1, 2, 3) en met richting (4, 5, 6) (1, 2, 3) = (3, 3, 3). Een parametervergelijking is dan (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(3, 3, 3) met k R. In de oefeningen worden verschillende variaties besproken. 7 Doorsneden van rechten en vlakken In deze paragraaf berekenen we doorsneden van rechten en/of vlakken. We bespreken niet alle gevallen rechte/rechte, rechte/vlak, vlak/vlak, gegeven door parameterof cartesiaanse vergelijkingen, en snijdend, kruisend, omvattend, evenwijdig,... maar geven op basis van enkele voorbeelden de belangrijkste principes aan.
15 7. Doorsneden van rechten en vlakken Twee cartesiaanse vergelijkingen Als we twee cartesiaanse vergelijkingen gegeven hebben is de situatie het eenvoudigste. Cartesiaanse vergelijkingen bieden een manier om te testen of een willekeurig punt op een rechte of vlak gelegen is. Als we moeten testen of een punt op de doorsnede van twee rechten gelegen is, d.w.z. op de ene én op de andere, dan moeten we gewoon de vergelijkingen van beide rechten samenvoegen. Voor twee rechten vinden we zo een stelsel van 4 vergelijkingen. Bijvoorbeeld voor de rechten x +2y +z = 4 2x +z = 1 en x +y = 2 x z = 0 wordt de doorsnede bepaald door het stelsel x +2y +z = 4 2x +z = 1 x +y = 2 x z = 0 De rest van het verhaal is lineaire algebra. Een stelsel van 4 vergelijkingen in 3 onbekenden kan strijdig zijn. We besluiten dan dat de rechten geen punten gemeen hebben. Het kan dan gaan om evenwijdige of kruisende rechten. (Het onderscheid tussen deze twee gevallen kan gemaakt worden door de richting van beide rechten te vergelijken). Er kan ook een unieke oplossing zijn. De doorsnede bevat één punt en we spreken van snijdende rechten. Dit is het geval voor het voorbeeld hierboven. Het snijpunt is (1, 1, 1). Het kan ook zijn dat beide rechten samenvallen. In dat geval vinden we heel de rechte terug als doorsnede. Voor de doorsnede van een vlak en een rechte bekomen we een stelsel van drie vergelijkingen. Voor de doorsnede van twee vlakken bekomen we een stelsel van twee vergelijkingen (dat voor twee snijdende vlakken onmiddellijk de cartesiaanse vergelijking van de snijlijn levert). Werk zelf uit. 7.2 Een cartesiaanse en een parametervergelijking Indien een cartesiaanse vergelijking van een rechte of vlak en een parametervergelijking van een andere rechte of vlak gegeven is, gaan we als volgt te werk. Parametervergelijkingen bieden een manier om willekeurige punten van een rechte of vlak te vinden door willekeurige waarden voor de parameters te kiezen. Cartesiaanse vergelijkingen bieden een manier om te testen of een gegeven punt op een rechte of vlak gelegen is. Om de doorsnede te bepalen, nemen we daarom een willekeurig punt van de verzameling die beschreven is door een parametervergelijking, en testen of dat punt ook in de
16 16 Rechten en vlakken andere verzameling ligt, die gegeven wordt door een cartesiaanse vergelijking. Voor de doorsnede van het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, 1, 1) + l(1, 0, 1) met k, l R en de rechte met cartesiaanse vergelijking x +2y +z = 10 2x +z = 0 gaan we dus na of het punt (1 + k + l, 2 + k, 3 + k + l) dat op de rechte ligt, ook in het vlak ligt, of (1 + k + l) +2(2 + k) +(3 + k + l) = 10 2(1 + k + l) +(3 + k + l) = 0 Na wat herschrijven komt dit neer op 4k +2l = 2 k l = 1 Dit stelsel heeft als unieke oplossing (k, l) = (0, 1). Het willekeurig punt (1 + k + l, 2 + k, 3 + k + l) van de rechte ligt dus enkel in het vlak als k = 0 en l = 1. Het gaat dan om het punt (2, 2, 4). 7.3 Twee parametervergelijkingen Indien de gegeven verzamelingen beschreven worden door twee parametervergelijkingen is het vaak het eenvoudigste om minstens één van beide eerst om te zetten in een cartesiaanse vergelijking. We beschouwen toch een eenvoudig voorbeeld van twee snijdende rechten. Om het snijpunt van de rechte met parametervergelijking en de rechte met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, 0, 1) met k R (x, y, z) = (2, 2, 1) + k( 2, 0, 1) met k R te bepalen, gaan we op zoek naar een punt van de vorm (1 + k, 2, 3 + k) dat ook te schrijven is in de vorm (2 2k, 2, 1 + k ). We lossen daartoe het stelsel 1 + k = 2 2k 2 = k = 1 + k op. We vinden als unieke oplossing k = 1 en k = 1. Dit komt overeen met het punt (0, 2, 2).
17 9. Oefeningen 17 8 Nog enkele formules De theorie van rechten en vlakken kan op veel verschillende manieren belicht worden. We kozen hier voor een aanpak die zo dicht mogelijk aansluit bij de theorie van stelsels lineaire vergelijkingen. Toch zijn er nog enkele formules die we je niet willen onthouden. Voor de cartesiaanse vergelijking van een rechte met een gegeven richting (a, b, c) en een punt (g, h, i) kan onmiddellijk de volgende formule neergeschreven worden: (x g)/a = (y h)/b = (z i)/c. Deze formule kan geïnterpreteerd worden als de voorwaarde dat de verschilvector tussen een punt (x, y, z) en een gegeven punt (g, h, i) een veelvoud moet zijn van de richting (a, b, c) opdat (x, y, z) op de rechte zou liggen. De formule is uiteraard alleen geldig in de gegeven vorm wanneer a, b en c verschillen van 0. De formule kan ook geïnterpreteerd worden als twee vergelijkingen, bijvoorbeeld (x g)/a = (z i)/c en (y h)/a = (z i)/c. Na wat herschrijven vind je dezelfde vergelijkingen terug als hierboven. Voor de cartesiaanse vergelijking van een vlak met gegeven richtingen (a, b, c) en (d, e, f) en een punt (g, h, i) kan een formule met een determinant neergeschreven worden: x g y h z i a b c d e f = 0. Deze formule kan geïnterpreteerd worden als de voorwaarde dat de verschilvector tussen een punt (x, y, z) en een gegeven punt (g, h, i) een lineaire combinatie moet zijn van de richtingen (a, b, c) en (d, e, f) opdat (x, y, z) in het vlak zou liggen. De formule kan alleen gebruikt worden indien (a, b, c) en (d, e, f) lineair onafhankelijk zijn. Door de determinant uit te werken vind je dezelfde formules als hierboven. 9 Oefeningen Oefening 9.1 Bepaal een parametervergelijking van de volgende verzamelingen: a) De rechte door (0, 0, 0) en (1, 2, 4). b) De rechte door (0, 0, 0) en (1, 0, 1). c) Het vlak door (0, 0, 0), (1, 2, 3) en (1, 1, 2) d) Het vlak door (0, 0, 0), (0, 0, 1) en (0, 1, 0). Oefening 9.2 Bepaal een parametervergelijking voor de verzamelingen met de volgende cartesiaanse vergelijkingen:
18 18 Rechten en vlakken a) x + 2y 4z = 0 b) y 3z = 0 3x 2z = 0 c) x +y z = 0 x +2y +3z = 0 d) 2x +4y z = 0 Oefening 9.3 Bepaal cartesiaanse vergelijkingen van de rechten en vlakken uit oefening 9.1. Oefening 9.4 Bepaal een cartesiaanse vergelijking voor de verzamelingen met de volgende parametervergelijkingen en maak een vergelijking met oefening 9.2. a) (x, y, z) = k(1, 2, 4) met k R b) (x, y, z) = k(0, 1, 3) met k R c) (x, y, z) = k(3, 0, 2) + l(1, 1, 1) met k, l R d) (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(2, 4, 1) met k, l R Oefening 9.5 Bepaal een parametervergelijking van a) De rechte door (1, 1, 1) met richting (2, 1, 3). b) Het vlak door (1, 0, 2) met richtingen (2, 3, 1) en (1, 2, 2). Oefening 9.6 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van a) Het vlak door (1, 3, 1), evenwijdig aan het vlak met vergelijking 2x y + 3z = 0. b) De rechte door (1, 2, 0), evenwijdig met de rechte met vergelijking 2x y = 0 4x +z = 0 Oefening 9.7 Bepaal een parametervergelijking van de verzamelingen met de volgende cartesiaanse vergelijkingen: a) 2x-y+3z=3 x y = 0 b) x +y +z = 4 Oefening 9.8 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van de verzamelingen met de volgende parametervergelijkingen. Vertrek van oefening 9.3. a) De rechte door (1, 2, 1) met richting (1, 2, 4). b) Het vlak door (1, 0, 2) met richtingen (1, 2, 3) en (1, 1, 2). Oefening 9.9 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van a) Het vlak door (1, 0, 3), (1, 2, 1) en (0, 1, 3). b) De rechte door (1, 2, 2) en (2, 1, 4).
19 10. Oplossingen van de oefeningen 19 Oefening 9.10 Bepaal de doorsnede van volgende verzamelingen: a) De rechte met vergelijking 2x y = 4 4x z = 3 en de rechte met vergelijking 2x +y z = 1 y = 2 b) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (1, 0, 1) + k( 1, 2, 2) met k R en het vlak met vergelijking x y z = 1. c) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (1, 0, 1) + k( 1, 2, 2) met k R en het vlak met vergelijking y + z = 2. d) Het vlak met vergelijking (x, y, z) = (2, 2, 2) + k(1, 2, 1) + l(0, 0, 1) en het vlak met vergelijking 2x y + z = 2. (Geef de parametervergelijking). 10 Oplossingen van de oefeningen Opmerking: Omdat vergelijkingen van rechten en vlakken niet uniek zijn gaat het meestal niet om de enige oplossing maar om een mogelijke oplossing. 9.1 a) (x, y, z) = k(1, 2, 4) met k R, of x = k y = 2k met k R. z = 4k b) (x, y, z) = k(1, 0, 1) met k R, of x = k y = 0 met k R. z = k c) (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(1, 1, 2) met k, l R, of x = k + l y = 2k l met k, l R. z = 3k + 2l d) (x, y, z) = k(0, 0, 1) + l(0, 1, 0) met k, l R, of x = 0 y = l met k, l R. z = k
20 20 Rechten en vlakken 9.2 a) (x, y, z) = k(2, 1, 0) + l(4, 0, 1) met k, l R b) (x, y, z) = k(1, 0, 0) + l(0, 3, 1) met k, l R c) (x, y, z) = k(2, 1, 3) met k R d) (x, y, z) = k(2, 1, 0) met k R 2x y = a) 4x z = 0 y = 0 b) x +z = 0 c) 7x + y - 3z=0 d) x=0 2x y = a) 4x +z = 0 x = 0 b) 3y +z = 0 c) 2x + y + 3z = 0 d) 2x y = a) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(2, 1, 3) met k R b) (x, y, z) = (1, 0, 2) + k(2, 3, 1) + l(1, 2, 2) met k, l R 9.6 a) 2x y + 3z = 4 2x y = 0 b) 4x +z = a) (x, y, z) = (0, 0, 1) + k(1, 2, 0) + l(3, 0, 2) met k, l R b) (x, y, z) = (2, 2, 0) + k(1, 1, 2) met k R 9.8 a) 2x y = 4 4x z = 3 b) 7x + y - 3z=1 9.9 a) x+y+z=4 3x +y = 5 b) 2x +z = a) Het punt (1, 2, 1) b) Het punt (2, 2, 3) c) De doorsnede is ledig. d) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (2, 2, 0) + k(1, 2, 0) met k R
Zomercursus Wiskunde. Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 14 Rechten en vlakken (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 1 2 Cartesiaanse vergelijking
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som
Nadere informatieOPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010
OPLOSSINGEN PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 18 november 2010 1. Zij V een vectorruimte en A = {v 1,..., v m } een deelverzameling van m vectoren uit V die voortbrengend is voor V, m.a.w. V = A.
Nadere informatieRuimtewiskunde. college 3 Lijnen, vlakken en oppervlakken in de ruimte. Vandaag
college 3 Lijnen, vlakken en in de collegejaar : 16-17 college : 3 build : 6 juni 2017 slides : 37 Vandaag 1 Lijnen 2 Vlakken 3 4 Toepassing: perspectivische.16-17[3] 1 vandaag Lijnen in het platte vlak
Nadere informatieDossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra
Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus
Nadere informatieEliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra
Eliminatie van parameters en substitutie met computeralgebra Guido Herweyers, KHBO Campus Oostende Dirk Janssens, K.U.Leuven 1. Inleiding Uitgaande van parametervergelijkingen van rechten en vlakken illustreren
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieHet opstellen van een lineaire formule.
Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire
Nadere informatieLineaire algebra I (wiskundigen)
Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 16 Lineaire algebra B (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n en matrices 1 2 Lineaire stelsels 11 21 Formulering en interpretatie
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieHoofdstuk 1 : Vectoren (A5D)
1 Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Hoofdstuk 1 : Vectoren (A5D) Les 1 : Stelsels en Echelon vorm DOEL : WE GAAN EEN AANTAL VERGELIJKINGEN MET EEN AANTAL VARIABELEN PROBEREN OP TE LOSSEN. Definities Stelsel
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatie1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste
Nadere informatieLineaire algebra en kegelsneden. Cursus voor de vrije ruimte
Lineaire algebra en kegelsneden Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk Reële vectorruimten. De reële vectorruimte van de reële n-tallen Definitie Een reëel
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieImaginary - van bol naar kubus
Imaginary - van bol naar kubus Gommaar Maes en Tania Van Damme SLO Wiskunde - Universiteit Gent en Atheneum Mariakerke Inleiding: coördinaat en vergelijking. Vlak Coördinaat Als we werken binnen een orthonormaal
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 4.b.1 Orthogonaliteit en de meetkunde van lineaire systemen Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl 2015-2016 Lijn in het vlak 2/37 Een lijn in het vlak wordt
Nadere informatieToepassingen in de natuurkunde: snelheden, versnellingen, krachten.
WIS8 8 Vectoren 8. Vectoren Vectoren Een vector met dimensie is een kolom bestaande uit twee reële getallen, bijvoorbeeld [ We kunnen deze meetkundig interpreteren als een pijl in het platte vlak van de
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieMore points, lines, and planes
More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieRuimtemeetkunde. (
Ruimtemeetkunde (http://wwwboredpandacom/3d-lines-notepad-drawings-5-years-old-joao-carvalho/) ) Herhaling a) Grondbegrippen en notaties In de ruimtemeetkunde zijn de bouwstenen punten, rechten en vlakken
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieExamen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatie(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.
Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatieDe n-dimensionale ruimte Arjen Stolk
De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatiePascal en de negenpuntskegelsnede
Pascal en de negenpuntskegelsnede De zijden van driehoek ABC hierboven vatten we op als lijnen en niet als lijnstukken. De middens van de lijnstukken AB, BC en CA zijn D, E en F. De middens van de lijnstukken
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieStelsels van vergelijkingen
Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatie1. Vectoren in R n. y-as
1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatie1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Nadere informatieDefinitie van raaklijn aan cirkel: Stelling van raaklijn aan cirkel:
13.0 Voorkennis Op de cirkel liggen alle punten met een Gelijke afstand tot het middelpunt van de cirkel. Voor een punt p op de cirkel geldt d(p, M) = r Definitie van raaklijn aan cirkel: Een raaklijn
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatie8.0 Voorkennis. a De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren.
8.0 Voorkennis De pijlen van O(0, 0) naar A(4, 2) en van A(4, 2) naar B(2, 3) zijn vectoren. 4 OA a 2 en AB 2 1 Het bovenste kengetal geeft aan hoeveel de vector naar links of rechts gaat. Het onderste
Nadere informatieEXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen
Nadere informatieAlgebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieMeetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieTypes differentiaal vergelijkingen
1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking
Nadere informatieWerkbladen vergelijking van een rechte
In deze werktekst proberen wij de vergelijkingen op te stellen van rechten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Wij onderscheiden volgende gevallen: 1. Vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieComplexe getallen: oefeningen
Complexe getallen: oefeningen Hoofdstuk 2 Praktisch rekenen met complexe getallen 2.1 Optelling en aftrekking (modeloplossing) 1. Gegeven zijn de complexe getallen z 1 = 2 + i en z 2 = 2 3i. Bereken de
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten
Nadere informatieOpgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC.
Opgave 1: bewijs zelf op algebraïsche wijze dat de lengte van DE gelijk is aan de helft van de lengte van BC. Antwoord: de lengteverhouding vertaalt als: (x 3 x 1 ) + (x 4 x ) = (u 5 u 3 ) + (u 6 u 4 )
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatieOF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0
Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieVector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen
Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieNumerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.
Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieLeerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.
Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling
Nadere informatieWanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde
Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de
Nadere informatieVlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde
Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde
Nadere informatieLineair voor CT College 2a. Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul
Lineair voor CT College 2a Echelon vorm 1.2 Duncan van der Heul Speciale vormen van een matrix Een stelsel oplossen komt overeen met door elementaire rijopera-es bepalen van de gereduceerde echelon vorm
Nadere informatieuuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur
4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatieAffiene ruimten. Oefeningen op hoofdstuk Basistellingen
Oefeningen op hoofdstuk Affiene ruimten. Basistellingen Oefening.. Er zijn maar een eindig aantal lineaire afbeeldingen op een eindigdimensionale vectorruimte F n q over een eindig veld F q. Tel het aantal
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieHoofdstuk 2: Grafieken en formules
Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde
Nadere informatie