Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)"

Transcriptie

1 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

2 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale ruimte. We volgen daarbij de aanpak van de analytische meetkunde, waarbij punten in de ruimte worden voorgesteld door coördinaten t.o.v. een assenstelsel. We hebben het verband tussen punten in de ruimte en coördinaten t.o.v. een assenstelsel reeds besproken in de module over lineaire algebra. We hebben gezien hoe punten in de ruimte kunnen geassocieerd worden met vectoren, en dat rechten en vlakken door de oorsprong van het assenstelsel overeenkomen met deelruimten van een driedimensionale vectorruimte. Alhoewel de theorie van rechten en vlakken op veel verschillende manieren kan opgebouwd worden, volgen we hier een manier die zoveel mogelijk voortbouwt op wat we gezien hebben in de module over lineaire algebra. 1 Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong In de module over lineaire algebra hebben we gezien dat vectoren (a, b, c) R 3 kunnen voorgesteld worden als punten in een driedimensionale ruimte waarin een assenstelsel werd gekozen. In plaats van gewoon een punt aan te duiden wordt de vector ook voorgesteld door een pijl van de oorsprong van het assenstelsel (d.i. het punt (0, 0, 0)) naar dit punt. We werken in deze module altijd met een orthonormaal assenstelsel, (d.w.z. met onderling loodrechte assen en gelijke meeteenheden op alle assen). Op de volgende figuur wordt de vector (of het punt) (4, 5, 3) voorgesteld. z 3 (4, 5, 3) o 5 y x 4 De veelvouden van een vector vormen een rechte door de oorsprong. De volgende figuur toont (een stuk van) de rechte die bestaat uit de veelvouden van (4, 5, 3).

3 1. Parametervergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 3 z 3 (4, 5, 3) 4 o 5 y x De veelvouden van een punt (a, b, c) zijn vectoren k(a, b, c) (of (ka, kb, kc)) met k een willekeurig reëel getal. De vergelijking of (x, y, z) = k(a, b, c) met k R x = ka y = kb z = kc met k R wordt de parametervergelijking (eigenlijk een parametervergelijking) van de rechte door de oorsprong en (a, b, c) genoemd. Dit is een beschrijving die aangeeft hoe alle punten van de rechte kunnen gevonden worden door willekeurige waarden voor k te kiezen. De veranderlijke k wordt de parameter van de vergelijking genoemd. Merk op dat de parameterverglijking niet uniek is. Zo beschrijven en (x, y, z) = k(4, 5, 3) met k R (x, y, z) = k(8, 10, 6) met k R dezelfde rechte. Wel is het zo dat bijvoorbeeld het punt (12, 15, 9) in de eerste beschrijving gevonden wordt door k = 3 te kiezen en in de tweede beschrijving door k = 3/2 te kiezen. Als we alle reële waarden van k beschouwen leveren beide beschrijvingen precies dezelfde rechte. In de plaats van veelvouden van een vector (a, b, c) kunnen we ook lineaire combinaties van twee vectoren (a, b, c) en (d, e, f) beschouwen. Een lineaire combinatie van (a, b, c) en (d, e, f) is een som van een veelvoud van (a, b, c) en een veelvoud van (d, e, f). Deze lineaire combinaties hebben de vorm k(a, b, c) + l(d, e, f) (of (ka + ld, kb + le, kc + lf)) met k en l willekeurige reële getallen. Al deze vectoren samen vormen een vlak door p = (a, b, c), q = (d, e, f) en de oorsprong, zoals weergegeven op de volgende figuur.

4 4 Rechten en vlakken z kp + lq o q lq p kp y x Merk op dat we geen oneindig vlak kunnen tekenen. Het getekende parallellogram is een eindig stuk van het oneindige vlak door o, p en q. De parametervergelijking van dit vlak wordt gegeven door (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R of x = ka + ld y = kb + le z = kc + lf met k, l R Merk op dat de parametervergelijking opnieuw niet uniek is. De rol van (a, b, c) en (d, e, f) kan ook gespeeld worden door twee andere vectoren van het vlak, die lineair onafhankelijk zijn (zie de module over lineaire algebra). Omdat het gaat over twee vectoren, betekent lineaire onafhankelijkheid hier gewoon dat het gaat om van nul verschillende vectoren die geen veelvoud zijn van elkaar. Beschouw bijvoorbeeld het vlak door de oorsprong met parametervergelijking (x, y, z) = k(1, 0, 1) + l(0, 1, 1) met k, l R. Dit vlak bevat ook de punten (1, 2, 3) (kies k = 1 en l = 2) en (1, 1, 0) (kies k = 2 en l = 1). De vergelijking (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(1, 1, 0) met k, l R beschrijft precies hetzelfde vlak. Neem bijvoorbeeld het punt (2, 1, 3) in dit vlak. In de eerste beschrijving wordt dit bekomen door k = 2 en l = 1 te kiezen en in de tweede beschrijving door k = 1 en l = 1 te kiezen.

5 2. Cartesiaanse vergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong 5 2 Cartesiaanse vergelijking van rechten en vlakken door de oorsprong Er is nog een andere manier om rechten en vlakken door de oosprong te beschrijven. In de module over lineaire algebra hebben we immers gezien dat de oplossingenverzameling van lineaire stelsels de vorm aannemen van de hierboven beschreven parametervergelijkingen. Zo wordt bijvoorbeeld de oplossingenverzameling van het stelsel x +z = 0 y +z = 0 beschreven door of x = k y = k z = k met k, l R (x, y, z) = k( 1, 1, 1) met k R. Dit is een rechte door de oorsprong. Ter herinnering: Als we het stelsel oplossen met de methode van Gauss vinden we dat er twee hoofdonbekenden en één nevenonbekende zijn. Bij het neerschrijven van de oplossing kunnen we daarom één onbekende vrij kiezen. Deze komt overeen met de vrij te kiezen parameter k. Als we een stelsel van slechts één vergelijking met rechter lid 0 neerschrijven (en niet alle coëfficiënten gelijk aan 0), zijn er twee nevenonbekenden en kunnen we twee onbekenden vrij kiezen. Zo word de oplossingenverzameling van x + y + z = 0 beschreven door of x = k l y = k z = l met k, l R, (x, y, z) = k( 1, 1, 0) + l( 1, 0, 1) met k, l R. De beschrijvingen van rechten en vlakken door de oorsprong met behulp van lineaire vergelijkingen worden cartesiaanse vergelijkingen van rechten en vlakken genoemd. In het algemeen geldt dat een vlak kan beschreven worden door een vergelijking van de vorm px + qy + rz = 0, waarbij p, q en r niet tegelijk 0 zijn.

6 6 Rechten en vlakken Een rechte wordt beschreven door een stelsel van de vorm px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 De vergelijkingen px+qy+rz = 0 en sx+ty+uz = 0 moeten lineair onafhankelijk zijn. Dit betekent dat de vectoren (p, q, r) en (s, t, u) lineair onafhankelijk moeten zijn. Of ook (omdat het om twee vergelijkingen gaat), dat (p, q, r) en (s, t, u) moeten verschillen van (0, 0, 0) en geen veelvoud mogen zijn van elkaar. Dat voor een rechte twee vergelijkingen nodig zijn mag niet verrassen. We kunnen beide vergelijkingen (omdat (p, q, r) (0, 0, 0) en (s, t, u) (0, 0, 0)) interpreteren als een vergelijking van een vlak. Een punt ligt op de rechte als het op beide vlakken ligt. De rechte vormt dus de snijlijn van de twee vlakken. Dat (p, q, r) en (s, t, u) geen veelvoud van elkaar mogen zijn betekent dat het moet gaan om twee verschillende vlakken. Daar waar een parametervergelijking een snelle manier biedt om punten van een rechte of een vlak te produceren (door een willekeurige waarde voor de parameter(s) in te vullen), biedt een cartesiaanse vergelijking een snelle manier om van een willekeurig punt (x, y, z) in de ruimte te testen of het op het vlak of de rechte gelegen is. Om bijvoorbeeld te testen of het punt (1, 2, 3) op de rechte met vegelijking 2x y = 0 x +y +z = 0 ligt, berekenen we = = 6 0 Het punt voldoet slechts aan één van beide vergelijkingen en ligt dus niet op de rechte. 3 Omzetten van cartesiaanse vorm in parametervorm Uit de bovenstaande theorie is onmiddellijk duidelijk hoe we een cartesiaanse vergelijking van een vlak of rechte moeten omzetten in een parametervergelijking. Het volstaat het gegeven stelsel vergelijkingen op te lossen en de oplossingenverzameling in de vorm van een parametervergelijking weer te geven. Merk op dat we ons voorlopig nog steeds toeleggen op rechten en vlakken door de oorsprong. Omdat we in deze module nog herhaaldelijk stelsels van één of twee homogene vergelijkingen (d.w.z. met rechterlid 0) in drie onbekenden zullen moeten oplossen, gaan we hier even dieper op in. Eerder dan de methode van Gauss te gebruiken voor het oplossen van stelsels, zullen we in de context van rechten en vlakken vaak gebruik maken van directe formules voor dergelijke eenvoudige stelsels.

7 3. Omzetten van cartesiaanse vorm in parametervorm 7 Indien p 0 kunnen we op zicht twee lineair onafhankelijke oplossingen neerschrijven van de vergelijking px + qy + rz = 0, namelijk (q, p, 0) en (r, 0, p). Dit zijn dus twee punten van het vlak met vergelijking px + qy + rz = 0. Omdat p 0 zijn (q, p, 0) en (r, 0, p) bovendien geen veelvoud van mekaar. Voor de parametervergelijking vinden we dan (x, y, z) = k(q, p, 0) + l(r, 0, p) met k, l R. Indien p = 0, is q 0 of r 0 en kunnen we analoog te werk gaan. Bijvoorbeeld als q 0 schrijven we (x, y, z) = k( q, p, 0) + l(0, r, q) met k, l R. We herinneren er nog even aan dat parametervergelijkingen niet uniek zijn en dat andere vormen mogelijk zijn. Ook voor een homogeen stelsel van twee lineair onafhankelijke vergelijkingen in drie onbekenden, bestaan formules voor de oplossing: Het stelsel px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 met (p, q, r) en (s, t, u) verschillend van (0, 0, 0) en geen veelvoud van elkaar, heeft als oplossingen (x, y, z) = k(qu rt, rs pu, pt qs) met k R. Dit is meteen ook de parametervergelijking van de rechte die bovenstaand stelsel als cartesiaanse vergelijking heeft. De vector (qu rt, rs pu, pt qs) wordt ook het vectorieel product van de vectoren (p, q, r) en (s, t, u) genoemd en genoteerd als (p, q, r) (s, t, u) of als (p, q, r) (s, t, u). Je kan gemakkelijk nagaan dat deze vector inderdaad aan beide vergelijkingen voldoet: p(qu rt) + q(rs pu) + r(pt qs) =... = 0 s(qu rt) + t(rs pu) + u(pt qs) =... = 0 Voor de rechte met cartesiaanse vergelijking x +2y +z = 0 2x +z = 0 vinden we (1, 2, 1) ( 2, 0, 1) = (2, 3, 4). Dit is een punt van de rechte en we vinden als parametervergelijking. (x, y, z) = k(2, 3, 4) met k R.

8 8 Rechten en vlakken Wanneer (p, q, r) en (s, t, u) lineair afhankelijk zijn is het vectorieel product (0, 0, 0). Let wel op dat je in dit geval niet mag besluiten dat de oplossing van het stelsel alleen uit de nulvector bestaat. Het stelsel vormt in dat geval ook niet de vergelijking van een rechte. Vectoriële producten worden meestal in verband gebracht met loodrechte stand van vectoren. Daar gaan we in de paragrafen 4 en 5 op in. Het vectorieel product kan ook uitgedrukt worden met determinanten: ( ) q r (p, q, r) (s, t, u) = t u, r p u s, p q s t. Met een beetje misbruik van notatie (met vectoren op de eerste rij waar normaal getallen staan), wordt het vectorieel product ook kort genoteerd in de volgende vorm die gemakkelijk te onthouden is: (a, b, c) (d, e, f) = e x e y e z a b c d e f waarbij e x = (1, 0, 0), e y = (0, 1, 0) en e z = (0, 0, 1). Uitwerken van deze 3 3 determinant levert opnieuw dezelfde formule. Voor iets meer hierover verwijzen we naar de module over lineaire algebra. 4 Loodrichtingen De cartesiaanse vergelijkingen van rechten en vlakken door de oorsprong zijn stelsels van één of twee homogene vergelijkingen in drie onbekenden. In de module over lineaire algebra, zagen we hoe homogene vergelijkingen kunnen geïnterpreteerd worden in termen van loodrechte stand. De vergelijking kan ook geschreven worden als px + qy + rz = 0 (p, q, r) (x, y, z) = 0, waarbij het inwendig product noteert. De vergelijking eist dus dat het inwendig product van (x, y, z) met (p, q, r) gelijk is aan 0, en dus dat (x, y, z) loodrecht staat op (p, q, r) (zie module over lineaire algebra). Het vlak beschreven door de vergelijking px + qy + rz = 0, bestaat dus uit alle vectoren die loodrecht staan op (p, q, r). Omgekeerd vormen de veelvouden van (p, q, r) alle vectoren die loodrecht staan op het vlak. De vector (p, q, r), of één van zijn veelvouden, geeft de loodrichting op het vlak aan.

9 5. Omzetten van parametervorm in cartesiaanse vorm 9 De rechte beschreven door px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0 (met (p, q, r) en (s, t, u) lineair onafhankelijk), bestaat uit alle vectoren die loodrecht staan op (p, q, r) en op (s, t, u). Omgekeerd vormen (p, q, r) en (s, t, u) en al hun lineaire combinaties de verzameling van vectoren die loodrecht staan op de gegeven rechte. De vectoren (p, q, r) en (s, t, u) geven een lineair onafhankelijk stel loodrichtingen op de rechte aan. De volgende figuur toont de rechte door de oorsprong en (4, 5, 3) en twee lineair onafhankelijke loodrichtingen (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1). z 3 (4, 5, 3) x 4 o (1, 1, 3) 5 ( 1, 2, 2) y 5 Omzetten van parametervorm in cartesiaanse vorm We zagen reeds hoe een cartesiaanse vergelijking van een vlak of een rechte door de oorsprong kan worden omgezet in een parametervergelijking. We moesten daartoe homogene stelsels van één of twee vergelijkingen in drie veranderlijken oplossen en zagen daartoe enkele formules in paragraaf 3. Het hierboven beschreven beeld van de loodrichtingen geeft een eenvoudig visualiseerbare manier aan om het omgekeerde probleem aan te pakken. En dezelfde formules voor het oplossen van stelsels zullen opnieuw hun nut bewijzen. Om voor de rechte met parametervergelijking (x, y, z) = k(a, b, c) met k R een cartesiaanse vergelijking te vinden, zoeken we een vergelijking van de vorm px +qy +rz = 0 sx +ty +uz = 0

10 10 Rechten en vlakken met de veelvouden van (a, b, c) als oplossing. In de vorige paragraaf zagen we dat dit betekent dat (p, q, r) en (s, t, u) twee richtingen aangeven die loodrecht staan op (a, b, c) en lineair onafhankelijk zijn van mekaar. De vectoren (p, q, r) en (s, t, u) moeten dus twee lineair onafhankelijke oplossingen van het stelsel ax + by + cz = 0 zijn. Volgens de theorie van paragraaf 3 kunnen we hiervoor de vectoren (b, a, 0) en (c, 0, a) nemen, indien a 0 (of een analoge oplossing indien b 0 of c 0). Dit geeft (voor a 0) de vergelijking bx ay = 0 cx az = 0 We herinneren er nog eens aan dat deze cartesiaanse vergelijking niet uniek is. Andere vergelijkingen zijn mogelijk. Om voor het vlak met parametervergelijking een cartesiaanse vergelijking (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R px + qy + rz = 0 te vinden, moeten we volgens de theorie van paragraaf 3 een vector (p, q, r) vinden die loodrecht staat op (a, b, c) en (d, e, f). D.w.z. een vector die oplossing is van ax +by +cz = 0 dx +ey +fz = 0 Deze wordt gegeven door het vectorieel product (a, b, c) (d, e, f) = (bf ce, cd af, ae bd). De cartesiaanse vergelijking van het vlak wordt dus (bf ce)x + (cd af)y + (ae bd)z = 0. Bijvoorbeeld, voor het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = k(1, 2, 1) + l( 2, 0, 1) met k, l R vinden we, met (1, 2, 1) ( 2, 0, 1) = (2, 3, 4), als cartesiaanse vergelijking. 2x 3y + 4z = 0

11 6. Algemene rechten en vlakken 11 We vatten de laatste drie paragrafen nog eens samen op een voorbeeld: De vector (4, 5, 3) staat loodrecht op de vectoren (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) (zie ook de figuur hierboven). De rechte door de oorsprong en (4, 5, 3) heeft als parametervergelijking (x, y, z) = k(4, 5, 3) met k R en als cartesiaanse vergelijking x +y 3z = 0 2x +y +z = 0 Het vlak door de oorsprong en door (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) heeft als parametervergelijking en als cartesiaanse vergelijking (x, y, z) = k(1, 1, 3) + l( 2, 1, 1) met k, l R 4x + 5y + 3z = 0. We benadrukken nog eens dat dit niet de enig mogelijke vergelijkingen zijn. De vectoren (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) zijn oplossingen van het stelsel 4x + 5y + 3z = 0 Elk stel van twee oplossingen van dit stelsel, die van (0, 0, 0) verschillen en geen veelvoud zijn van elkaar, kan de rol van (1, 1, 3) en ( 2, 1, 1) hierboven spelen. De vector (4, 5, 3) is een oplossing van het stelsel x +y 3z = 0 2x +y +z = 0 De oplossingen van dit stelsel zijn de veelvouden van (1, 1, 3) ( 2, 1, 1) = (4, 5, 3). Elke van (0, 0, 0) verschillende oplossing kan de rol van (4, 5, 3) hierboven spelen. 6 Algemene rechten en vlakken Hierboven hebben we alleen rechten en vlakken door de oorsprong van een gegeven assenstelsel beschouwd. In termen van lineaire algebra zijn deze rechten en vlakken één- en tweedimensionale deelruimten van R 3. Rechten en vlakken die niet door de oorsprong gaan zijn geen deelruimten. Toch vraagt het niet veel werk om de hierboven beschreven theorie uit te breiden tot algemene rechten en vlakken die niet noodzakelijk door de oorsprong gaan. We kunnen een willekeurige rechte of vlak immers bekomen door een rechte of vlak door de oorsprong te verschuiven.

12 12 Rechten en vlakken Voor parametervergelijkingen betekent dit het volgende. We zagen hierboven dat een parametervergelijking van de veelvouden van (a, b, c) gegeven wordt door (x, y, z) = k(a, b, c) met k R. Als we willekeurige waarden voor k nemen vinden we alle punten van de rechte. Als we nu bij al die punten een vaste vector (g, h, i) optellen verschuiven we de gehele rechte volgens de vector (g, h, i). De volgende figuur toont een voorbeeld met (a, b, c) = (4, 5, 3) en (g, h, i) = (0, 0, 2). z 3 (4, 5, 3) 4 o (4, 5, 1) 5 y x (0, 0, 2) We bekomen een rechte die evenwijdig is aan de oorspronkelijke rechte en door het punt (g, h, i) gaat. De parametervergelijking van deze rechte is (x, y, z) = (g, h, i) + k(a, b, c) met k R. We zeggen dat (g, h, i) een punt van de rechte is en (a, b, c) een richting. Voor een vlak kunnen we iets analoogs doen: Beschouw eerst een vlak door de oorsprong (x, y, z) = k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R. Als we dit vlak verschuiven volgens de vector (g, h, i) vinden we (x, y, z) = (g, h, i) + k(a, b, c) + l(d, e, f) met k, l R. We noemen (g, h, i) een punt van het vlak en (a, b, c) en (d, e, f) richtingen. Voor de cartesiaanse vergelijkingen van algemene rechten en vlakken doen we weer een beroep op de lineaire algebra. We zagen hierboven dat rechten en vlakken door de oorsprong bekomen worden als de oplossingenverzameling van een homogeen stelsel van één of twee vergelijkingen in drie onbekenden. Dit zijn de cartesiaanse vergelijkingen. We herinneren eraan dat homogeen betekent dat alle rechter leden van de vergelijkingen

13 6. Algemene rechten en vlakken 13 0 zijn. In de module over lineaire algebra hebben we gezien dat als we de rechter leden veranderen we een oplossingenverzameling vinden die bekomen wordt door de oorspronkelijke oplossingenverzameling te verschuiven. Dit is precies wat we zoeken. Als px + qy + rz = 0 sx + ty + uz = 0 de vergelijking is van een rechte door de oorsprong, dan is px + qy + rz = v sx + ty + uz = w de vergelijking van een rechte die daar evenwijdig aan is. Als we bijvoorbeeld willen dat deze rechte door het punt (g, h, i) gaat, dan bepalen we v en w zodat (g, h, i) aan de vergelijking voldoet. D.w.z. v = pg + qh + ri en w = sg + th + ui. De rechte evenwijdig aan x +2y +z = 0 2x +z = 0 door het punt (1, 2, 3) is x +2y +z = 8 2x +z = 1 Deze vergelijking wordt ook soms genoteerd als (x 1) +2(y 2) +(z 3) = 0 2(x 1) +(z 3) = 0 Merk op dat de rechterleden 0 zijn maar dat dit geen homogeen stelsel is omdat het linker lid constante termen bevat. Op analoge manier vinden we vertrekkend van een vlak door de oorsprong met vergelijking ax + by + cz = 0, de vergelijking van het evenwijdige vlak door het punt (g, h, i) als ax + by + cz = ag + bh + ci of als a(x g) + b(y h) + c(z i) = 0. Het omzetten van een cartesiaanse vergelijking van een algemene rechte of vlak in een parametervergelijking komt net zoals bij rechten en vlakken door de oorsprong neer op het oplossen van een stelsel. Deze keer gaat het echter niet om een homogeen stelsel. We kunnen hierbij gebruik maken van de methode van Gauss (zie module over lineaire algebra). Voor het omzetten van een parametervergelijking in een cartesiaanse vergelijking kunnen we een methode volgen die nauw aansluit bij die van paragraaf 5 over rechten

14 14 Rechten en vlakken en vlakken door de oorsprong. We bepalen dan eerst de cartesiaanse vergelijking van het evenwijdige vlak of de evenwijdige rechte door de oorsprong volgens de formules van paragraaf 5. Om het juiste vlak te bekomen moeten we enkel nog verschuiven. Daartoe hebben we een punt van het vlak nodig. Maar aangezien we beschikken over een parametervergelijking kunnen we eenvoudig een punt aflezen, door bijvoorbeeld k (en l) gelijk aan 0 tekiezen. Bijvoorbeeld voor het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(1, 2, 1) + l( 2, 0, 1) met k, l R bepalen we eerst het overeenkomstige vlak door de oorsprong: (x, y, z) = k(1, 2, 1) + l( 2, 0, 1) met k, l R. Voor dit vlak vinden we, met (1, 2, 1) ( 2, 0, 1) = (2, 3, 4), 2x 3y + 4z = 0 als cartesiaanse vergelijking. Het vlak dat we willen beschrijven is evenwijdig met dit vlak en gaat door (1, 1, 1) en heeft dus de cartesiaanse vergelijking 2x 3y + 4z = 3. De methodes hierboven om vergelijkingen van rechten en vlakken af te leiden zijn vooral geschikt indien de rechte bepaald is door een punt en een richting of het vlak door een punt en twee richtingen. Ze kunnen ook gemakkelijk aangepast worden wanneer loodrichtingen gegeven zijn op basis van de theorie van paragrafen 4 en 5. Zo wordt de cartesiaanse vergelijking van het vlak met loodrichting (1, 2, 3) en door het punt (4, 5, 6) gegeven door (x 4) + 2(y 5) + 3(x 6) = 0. Vaak zijn geen richtingen gegeven maar enkel punten, bijvoorbeeld twee punten voor een rechte of drie punten voor een vlak. Maar elk stel van twee punten kan gemakkelijk omgezet worden in een richting door het verschil van de twee punten te berekenen. Zo kan de rechte door de punten (1, 2, 3) en (4, 5, 6) eenvoudig gevonden worden als de rechte door het punt (1, 2, 3) en met richting (4, 5, 6) (1, 2, 3) = (3, 3, 3). Een parametervergelijking is dan (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(3, 3, 3) met k R. In de oefeningen worden verschillende variaties besproken. 7 Doorsneden van rechten en vlakken In deze paragraaf berekenen we doorsneden van rechten en/of vlakken. We bespreken niet alle gevallen rechte/rechte, rechte/vlak, vlak/vlak, gegeven door parameterof cartesiaanse vergelijkingen, en snijdend, kruisend, omvattend, evenwijdig,... maar geven op basis van enkele voorbeelden de belangrijkste principes aan.

15 7. Doorsneden van rechten en vlakken Twee cartesiaanse vergelijkingen Als we twee cartesiaanse vergelijkingen gegeven hebben is de situatie het eenvoudigste. Cartesiaanse vergelijkingen bieden een manier om te testen of een willekeurig punt op een rechte of vlak gelegen is. Als we moeten testen of een punt op de doorsnede van twee rechten gelegen is, d.w.z. op de ene én op de andere, dan moeten we gewoon de vergelijkingen van beide rechten samenvoegen. Voor twee rechten vinden we zo een stelsel van 4 vergelijkingen. Bijvoorbeeld voor de rechten x +2y +z = 4 2x +z = 1 en x +y = 2 x z = 0 wordt de doorsnede bepaald door het stelsel x +2y +z = 4 2x +z = 1 x +y = 2 x z = 0 De rest van het verhaal is lineaire algebra. Een stelsel van 4 vergelijkingen in 3 onbekenden kan strijdig zijn. We besluiten dan dat de rechten geen punten gemeen hebben. Het kan dan gaan om evenwijdige of kruisende rechten. (Het onderscheid tussen deze twee gevallen kan gemaakt worden door de richting van beide rechten te vergelijken). Er kan ook een unieke oplossing zijn. De doorsnede bevat één punt en we spreken van snijdende rechten. Dit is het geval voor het voorbeeld hierboven. Het snijpunt is (1, 1, 1). Het kan ook zijn dat beide rechten samenvallen. In dat geval vinden we heel de rechte terug als doorsnede. Voor de doorsnede van een vlak en een rechte bekomen we een stelsel van drie vergelijkingen. Voor de doorsnede van twee vlakken bekomen we een stelsel van twee vergelijkingen (dat voor twee snijdende vlakken onmiddellijk de cartesiaanse vergelijking van de snijlijn levert). Werk zelf uit. 7.2 Een cartesiaanse en een parametervergelijking Indien een cartesiaanse vergelijking van een rechte of vlak en een parametervergelijking van een andere rechte of vlak gegeven is, gaan we als volgt te werk. Parametervergelijkingen bieden een manier om willekeurige punten van een rechte of vlak te vinden door willekeurige waarden voor de parameters te kiezen. Cartesiaanse vergelijkingen bieden een manier om te testen of een gegeven punt op een rechte of vlak gelegen is. Om de doorsnede te bepalen, nemen we daarom een willekeurig punt van de verzameling die beschreven is door een parametervergelijking, en testen of dat punt ook in de

16 16 Rechten en vlakken andere verzameling ligt, die gegeven wordt door een cartesiaanse vergelijking. Voor de doorsnede van het vlak met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, 1, 1) + l(1, 0, 1) met k, l R en de rechte met cartesiaanse vergelijking x +2y +z = 10 2x +z = 0 gaan we dus na of het punt (1 + k + l, 2 + k, 3 + k + l) dat op de rechte ligt, ook in het vlak ligt, of (1 + k + l) +2(2 + k) +(3 + k + l) = 10 2(1 + k + l) +(3 + k + l) = 0 Na wat herschrijven komt dit neer op 4k +2l = 2 k l = 1 Dit stelsel heeft als unieke oplossing (k, l) = (0, 1). Het willekeurig punt (1 + k + l, 2 + k, 3 + k + l) van de rechte ligt dus enkel in het vlak als k = 0 en l = 1. Het gaat dan om het punt (2, 2, 4). 7.3 Twee parametervergelijkingen Indien de gegeven verzamelingen beschreven worden door twee parametervergelijkingen is het vaak het eenvoudigste om minstens één van beide eerst om te zetten in een cartesiaanse vergelijking. We beschouwen toch een eenvoudig voorbeeld van twee snijdende rechten. Om het snijpunt van de rechte met parametervergelijking en de rechte met parametervergelijking (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, 0, 1) met k R (x, y, z) = (2, 2, 1) + k( 2, 0, 1) met k R te bepalen, gaan we op zoek naar een punt van de vorm (1 + k, 2, 3 + k) dat ook te schrijven is in de vorm (2 2k, 2, 1 + k ). We lossen daartoe het stelsel 1 + k = 2 2k 2 = k = 1 + k op. We vinden als unieke oplossing k = 1 en k = 1. Dit komt overeen met het punt (0, 2, 2).

17 9. Oefeningen 17 8 Nog enkele formules De theorie van rechten en vlakken kan op veel verschillende manieren belicht worden. We kozen hier voor een aanpak die zo dicht mogelijk aansluit bij de theorie van stelsels lineaire vergelijkingen. Toch zijn er nog enkele formules die we je niet willen onthouden. Voor de cartesiaanse vergelijking van een rechte met een gegeven richting (a, b, c) en een punt (g, h, i) kan onmiddellijk de volgende formule neergeschreven worden: (x g)/a = (y h)/b = (z i)/c. Deze formule kan geïnterpreteerd worden als de voorwaarde dat de verschilvector tussen een punt (x, y, z) en een gegeven punt (g, h, i) een veelvoud moet zijn van de richting (a, b, c) opdat (x, y, z) op de rechte zou liggen. De formule is uiteraard alleen geldig in de gegeven vorm wanneer a, b en c verschillen van 0. De formule kan ook geïnterpreteerd worden als twee vergelijkingen, bijvoorbeeld (x g)/a = (z i)/c en (y h)/a = (z i)/c. Na wat herschrijven vind je dezelfde vergelijkingen terug als hierboven. Voor de cartesiaanse vergelijking van een vlak met gegeven richtingen (a, b, c) en (d, e, f) en een punt (g, h, i) kan een formule met een determinant neergeschreven worden: x g y h z i a b c d e f = 0. Deze formule kan geïnterpreteerd worden als de voorwaarde dat de verschilvector tussen een punt (x, y, z) en een gegeven punt (g, h, i) een lineaire combinatie moet zijn van de richtingen (a, b, c) en (d, e, f) opdat (x, y, z) in het vlak zou liggen. De formule kan alleen gebruikt worden indien (a, b, c) en (d, e, f) lineair onafhankelijk zijn. Door de determinant uit te werken vind je dezelfde formules als hierboven. 9 Oefeningen Oefening 9.1 Bepaal een parametervergelijking van de volgende verzamelingen: a) De rechte door (0, 0, 0) en (1, 2, 4). b) De rechte door (0, 0, 0) en (1, 0, 1). c) Het vlak door (0, 0, 0), (1, 2, 3) en (1, 1, 2) d) Het vlak door (0, 0, 0), (0, 0, 1) en (0, 1, 0). Oefening 9.2 Bepaal een parametervergelijking voor de verzamelingen met de volgende cartesiaanse vergelijkingen:

18 18 Rechten en vlakken a) x + 2y 4z = 0 b) y 3z = 0 3x 2z = 0 c) x +y z = 0 x +2y +3z = 0 d) 2x +4y z = 0 Oefening 9.3 Bepaal cartesiaanse vergelijkingen van de rechten en vlakken uit oefening 9.1. Oefening 9.4 Bepaal een cartesiaanse vergelijking voor de verzamelingen met de volgende parametervergelijkingen en maak een vergelijking met oefening 9.2. a) (x, y, z) = k(1, 2, 4) met k R b) (x, y, z) = k(0, 1, 3) met k R c) (x, y, z) = k(3, 0, 2) + l(1, 1, 1) met k, l R d) (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(2, 4, 1) met k, l R Oefening 9.5 Bepaal een parametervergelijking van a) De rechte door (1, 1, 1) met richting (2, 1, 3). b) Het vlak door (1, 0, 2) met richtingen (2, 3, 1) en (1, 2, 2). Oefening 9.6 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van a) Het vlak door (1, 3, 1), evenwijdig aan het vlak met vergelijking 2x y + 3z = 0. b) De rechte door (1, 2, 0), evenwijdig met de rechte met vergelijking 2x y = 0 4x +z = 0 Oefening 9.7 Bepaal een parametervergelijking van de verzamelingen met de volgende cartesiaanse vergelijkingen: a) 2x-y+3z=3 x y = 0 b) x +y +z = 4 Oefening 9.8 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van de verzamelingen met de volgende parametervergelijkingen. Vertrek van oefening 9.3. a) De rechte door (1, 2, 1) met richting (1, 2, 4). b) Het vlak door (1, 0, 2) met richtingen (1, 2, 3) en (1, 1, 2). Oefening 9.9 Bepaal een cartesiaanse vergelijking van a) Het vlak door (1, 0, 3), (1, 2, 1) en (0, 1, 3). b) De rechte door (1, 2, 2) en (2, 1, 4).

19 10. Oplossingen van de oefeningen 19 Oefening 9.10 Bepaal de doorsnede van volgende verzamelingen: a) De rechte met vergelijking 2x y = 4 4x z = 3 en de rechte met vergelijking 2x +y z = 1 y = 2 b) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (1, 0, 1) + k( 1, 2, 2) met k R en het vlak met vergelijking x y z = 1. c) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (1, 0, 1) + k( 1, 2, 2) met k R en het vlak met vergelijking y + z = 2. d) Het vlak met vergelijking (x, y, z) = (2, 2, 2) + k(1, 2, 1) + l(0, 0, 1) en het vlak met vergelijking 2x y + z = 2. (Geef de parametervergelijking). 10 Oplossingen van de oefeningen Opmerking: Omdat vergelijkingen van rechten en vlakken niet uniek zijn gaat het meestal niet om de enige oplossing maar om een mogelijke oplossing. 9.1 a) (x, y, z) = k(1, 2, 4) met k R, of x = k y = 2k met k R. z = 4k b) (x, y, z) = k(1, 0, 1) met k R, of x = k y = 0 met k R. z = k c) (x, y, z) = k(1, 2, 3) + l(1, 1, 2) met k, l R, of x = k + l y = 2k l met k, l R. z = 3k + 2l d) (x, y, z) = k(0, 0, 1) + l(0, 1, 0) met k, l R, of x = 0 y = l met k, l R. z = k

20 20 Rechten en vlakken 9.2 a) (x, y, z) = k(2, 1, 0) + l(4, 0, 1) met k, l R b) (x, y, z) = k(1, 0, 0) + l(0, 3, 1) met k, l R c) (x, y, z) = k(2, 1, 3) met k R d) (x, y, z) = k(2, 1, 0) met k R 2x y = a) 4x z = 0 y = 0 b) x +z = 0 c) 7x + y - 3z=0 d) x=0 2x y = a) 4x +z = 0 x = 0 b) 3y +z = 0 c) 2x + y + 3z = 0 d) 2x y = a) (x, y, z) = (1, 1, 1) + k(2, 1, 3) met k R b) (x, y, z) = (1, 0, 2) + k(2, 3, 1) + l(1, 2, 2) met k, l R 9.6 a) 2x y + 3z = 4 2x y = 0 b) 4x +z = a) (x, y, z) = (0, 0, 1) + k(1, 2, 0) + l(3, 0, 2) met k, l R b) (x, y, z) = (2, 2, 0) + k(1, 1, 2) met k R 9.8 a) 2x y = 4 4x z = 3 b) 7x + y - 3z=1 9.9 a) x+y+z=4 3x +y = 5 b) 2x +z = a) Het punt (1, 2, 1) b) Het punt (2, 2, 3) c) De doorsnede is ledig. d) De rechte met vergelijking (x, y, z) = (2, 2, 0) + k(1, 2, 0) met k R

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 3 Lineaire algebra A (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Vectoren in R n 1 2 Lineaire combinaties 2 3 Matrices 7 31 Het begrip matrix 7 32 Som

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008)

Zomercursus Wiskunde. Lineaire algebra (versie 15 september 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Lineaire algebra (versie 15 september 2008) 2 Lineaire algebra Deze module wordt zowel gegeven in het A-programma als in het B-programma van de zomercursus

Nadere informatie

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde

Analytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014

Lineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014 Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Het opstellen van een lineaire formule.

Het opstellen van een lineaire formule. Het opstellen van een lineaire formule. Gegeven is onderstaande lineaire grafiek (lijn b). Van deze grafiek willen wij de lineaire formule weten. Met deze formule kunnen we gaan rekenen. Je kan geen lineaire

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde

Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints

Nadere informatie

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie.

1 Inleiding. Zomercursus Wiskunde. Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Poolcoördinaten (versie 27 juni 2008) Inleiding Y y p o θ r X fig In fig worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p Een eerste

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Imaginary - van bol naar kubus

Imaginary - van bol naar kubus Imaginary - van bol naar kubus Gommaar Maes en Tania Van Damme SLO Wiskunde - Universiteit Gent en Atheneum Mariakerke Inleiding: coördinaat en vergelijking. Vlak Coördinaat Als we werken binnen een orthonormaal

Nadere informatie

Types differentiaal vergelijkingen

Types differentiaal vergelijkingen 1ste Bachelor Wiskunde/Natuurkunde Types differentiaal vergelijkingen Dit semester hebben we veel types differentiaalvergelijkingen gezien. In de WPO sessies was de rode draad: herken de type differentiaalvergelijking

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

1. Vectoren in R n. y-as

1. Vectoren in R n. y-as 1. Vectoren in R n Vectoren en hun meetkundige voorstelling. Een vector in R n is een rijtje (a 1, a 2,..., a n ) van reële getallen. De getallen a i heten de coördinaten van de vector. In het speciale

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Werkbladen vergelijking van een rechte

Werkbladen vergelijking van een rechte In deze werktekst proberen wij de vergelijkingen op te stellen van rechten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Wij onderscheiden volgende gevallen: 1. Vergelijking van een rechte gaande door de oorsprong

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde

Vlakke Meetkunde Ruimtemeetkunde. Meetkunde. 1 december 2012. Meetkunde Vlakke Ruimtemeetkunde 1 december 2012 Vlakke Ruimtemeetkunde 1 Vlakke Vectoren Vergelijking van een rechte 2 Ruimtemeetkunde Vectoren Vergelijking van een vlak Vergelijkingen van een rechte Vlakke Ruimtemeetkunde

Nadere informatie

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport

IJkingstoets september 2015: statistisch rapport IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat. Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken

Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Hoofdstuk 8 Meetkunde met coördinaten (V5 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 8.1 : Lijnen en Hoeken Les 1 Lijnen Definities Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven : (1) RC - manier

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Vectormeetkunde in R 3

Vectormeetkunde in R 3 Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 2 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur

uuur , DF en DB met kentallen. b) Laat zien door twee keer de stelling van Pythagoras in een rechthoekige uuur 4 Van D naar 3D Verkennen Van D naar 3D Inleiding Verkennen Bekijk de applet. Met de rechter muisknop kun je het assenstelsel om de oorsprong draaien en de fig van alle kanten bekijken. Beantwoord nu de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.

3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Een korte beschrijving van de inhoud

Een korte beschrijving van de inhoud Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 7 Poolcoördinaten (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Poolcoördinaten 1 2 Poolvergelijkingen 3 21 Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks 4 - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 5 september 204 - reeks - p. IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 204: algemene feedback In totaal namen 286 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B 1 Analytische meetkunde Inhoud 1.1. Coördinaten in het vlak 1.2. Vergelijkingen van lijnen 1.3. Vergelijkingen van cirkels 1.4. Snijden 1.5. Overzicht In opdracht van: Commissie

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008

Driehoeken. Enkele speciale topics. Arne Smeets. Trainingsweekend Februari 2008 Driehoeken Enkele speciale topics Arne Smeets Trainingsweekend Februari 2008 Trilineaire en barycentrische coördinaten Definitie van trilineaire coördinaten Beschouw (in het vlak) een driehoek ABC en een

Nadere informatie

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0

OF (vermits y = dy. dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Algemeen kunnen we een eerste orde differentiaalvergelijking schrijven als: y = Φ(x, y) OF (vermits y = dy dx ) P (x, y) dy + Q(x, y) dx = 0 Indien we dan P (x, y) en Q(x, y) kunnen schrijven als P (x,

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand

Boldriehoeken op een wereldkaart. 1. Op zoek naar de kortste afstand Boldriehoeken op een wereldkaart 1. Op zoek naar de kortste afstand Een boldriehoek op een wereldbol kun je je makkelijk inbeelden. Je kiest drie steden, en op het aardoppervlak en je verbindt ze met drie

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B,

Nadere informatie

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β.

2. Waar of vals: Als een rechte a evenwijdig is met een vlak α en dat vlak staat loodrecht op een vlak β dan staat a loodrecht op β. 1 Synthetische RM 1. (a) Geef de definitie van de loodrechte stand van twee vlakken. (b) Geen stellingen die voorwaarden uitdrukken opdat twee vlakken orthogonaal zijn. (c) Steun op 1a of 1b om te bewijzen

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN

SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN SOM- en PRODUCTGRAFIEK van twee RECHTEN 1. SOMGRAFIEK Walter De Volder Breng onder Y 1 en Y 2 de vergelijking van een rechte in. Stel Y 3 = Y 1 + Y 2. Construeer de drie grafieken. Onderzoek verschillende

Nadere informatie

De Stelling van Pascal Inhoud

De Stelling van Pascal Inhoud De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

IJkingstoets Bio-ingenieur 29 juni Resultaten

IJkingstoets Bio-ingenieur 29 juni Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 9 juni 6 Resultaten IJkingstoets Bio-ingenieur 9 juni 6 - reeks - p. / Aan de KU Leuven en Universiteit Antwerpen namen in totaal 74 aspirant-studenten deel aan de ijkingstoets

Nadere informatie

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen

IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 2015 Oplossingen IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 1 juli 15 Oplossingen IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 1 juli 15 - p. 1/1 Oefening 1 Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag zonder score, wel

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5

Opgave 1 Bestudeer de Uitleg, pagina 1. Laat zien dat ook voor punten buiten lijnstuk AB maar wel op lijn AB geldt: x + 3y = 5 2 Vergelijkingen Verkennen Meetkunde Vergelijkingen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg Meetkunde Vergelijkingen Uitleg Opgave Bestudeer de Uitleg, pagina. Laat zien dat ook

Nadere informatie

2 Vergelijkingen van lijnen

2 Vergelijkingen van lijnen 2 Vergelijkingen van lijnen Verkennen Meetkunde Lijnen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Gebruik de applet! Uitleg Meetkunde Lijnen Uitleg Opgave 1 Bestudeer de Uitleg. Laat zien

Nadere informatie

7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte

7 Hoeken. Kern 3 Hoeken. 1 Tekenen in roosters. Kern 2 Hoeken meten Kern 3 Hoeken tekenen Kern 4 Kijkhoeken. Kern 1 Tegelvloeren. Kern 3 Oppervlakte 1 Tekenen in roosters Kern 1 Tegelvloeren Kern 2 Oppervlakte Kern 3 Het assenstelsel Kern 4 Rechthoeken 2 Rekenen Kern 1 De rekenmachine Kern 2 Voorrangsregels Kern 3 Afronden Kern 4 Afronden 3 Grafieken

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

Bogen op kegelsneden in Cabri

Bogen op kegelsneden in Cabri Bogen op kegelsneden in Cabri DICK KLINGENS (e-mailadres: dklingens@pandd.nl) Krimpenerwaard College, Krimpen ad IJssel april 2008 Het tekenen van een ellipsboog Zomaar een vraag van een Cabri-gebruiker

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10

FORMULARIUM. www.basiswiskunde.be. Inhoudsopgave. 1 Algebra 2. 2 Lineaire algebra 4. 3 Vlakke meetkunde 5. 4 Goniometrie 7. 5 Ruimtemeetkunde 10 FORMULARIUM wwwbasiswiskundebe Inhoudsopgave Algebra 2 2 Lineaire algebra 4 3 Vlakke meetkunde 5 4 Goniometrie 7 5 Ruimtemeetkunde 0 6 Reële functies 2 7 Analyse 3 8 Logica en verzamelingen 6 9 Kansrekening

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde

Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Het SET-spel, een toepassing op eindige meetkunde Luc Van den Broeck 1 1 EDUGO campus De Toren, Oostakker ABSTRACT Het kaartspel SET, dat gespeeld wordt met 81 kaarten waarop verschillende geometrische

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Grafieken van functies en krommen (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 8 Grafieken van functies en krommen (versie 4 augustus 8) Grafieken van functies en krommen Inleiding In deze module bestuderen we grafieken van functies van reële

Nadere informatie

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud

Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Meetkunde en Algebra Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3

F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 F3 Formules: Formule rechte lijn opstellen 1/3 Inleiding Bij Module F1 heb je geleerd dat Formule, Verhaal, Tabel, Grafiek en Vergelijking altijd bij elkaar horen. Bij Module F2 heb je geleerd wat een

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ²

Dan is de afstand A B = lengte van lijnstuk [A B]: AB = x x )² + ( y ² 1 Herhaling 1.1 Het vlak, punten, afstand, midden Opdracht: Teken in het vlak de punten: A ( 1, 2) B(3,6) C( 5,7) Bepaal de coördinaat van het midden van (lijnstuk) [A B]: M [B C ]: N Bepaal de afstand

Nadere informatie