INLEIDING TOT DE HOGERE WISKUNDE

Transcriptie

1 INLEIING TOT E HOGERE WISKUNE EEL 2: Analyse van reële functies van meerdere reële veranderlijken Arno KUIJLAARS Stefaan POETS epartement Wiskunde, Katholieke Universiteit Leuven, Celestijnenlaan 2 B, 3 Heverlee

2 Voorwoord We hebben in deel de analyse van reële functies van één reële veranderlijke besproken. We hebben ook gezien dat heel wat problemen na wiskundige vertaling zo n functie van één reële veranderlijke opleveren. Vervolgens hebben we in deel een aantal wiskundige technieken ingevoerd die kunnen aangewend worden om het probleem verder op te lossen: bv. integratie, afleiding, reeksontwikkeling... Er zijn echter ook heel wat problemen in de moderne samenleving waarin meerdere veranderlijken voorkomen. e wiskundige modelering van dergelijke problemen leidt tot functies van meerdere reële veranderlijken. Stel bv. dat x i de hoeveelheid van een product i voorstelt en P i de prijs per eenheid van datzelfde product. e kostprijs van een goederenpakket dat samengesteld is uit de goederen, 2,..., n kan dan voorgesteld worden door de lineaire kostenfunctie: f : A R n R : x P x + P 2 x P n x n = P x. it is een eenvoudig voorbeeld van een functie van n reële veranderlijken. Er bestaan natuurlijk ook complexere kostenfuncties waarbij de prijs bv. afhangt van de hoeveelheid en de samenstelling van het aangekochte goederenpakket. Zo n functies van meerdere veranderlijken komen ook voor in beursmodellen, klimaatmodellen, productieprocessen, enz. ergelijke functies worden besproken in dit tweede deel van de cursus Inleiding tot de Hogere Wiskunde. We zullen in dit tweede deel van de cursus methoden afleiden en toepassen om optimalisatieproblemen op te lossen waarin reële functies van meerdere reële veranderlijken voorkomen; optimalisatieproblemen op te lossen met meerdere veranderlijken en één of meerdere nevenvoorwaarden; volumes te bepalen van lichamen die begrensd worden door willekeurige oppervlakken; We zullen hiertoe een aantal begrippen, eigenschappen en technieken van reële functies van één reële veranderlijke veralgemenen of uitbreiden naar reële functies van meerdere reële veranderlijken. Stellingen van deel worden algemener geformuleerd maar niet altijd bewezen. Nieuwe eigenschappen, specifiek voor functies van meerdere veranderlijken, worden vaak enkel bewezen voor functies van twee veranderlijken. Ook in dit deel van de cursus worden eigenschappen en definities uitvoerig geïllusteerd met uitgewerkte voorbeelden en vele figuren. ank gaat ook voor dit deel uit naar collega Stefaan Poedts voor het ter beschikking stellen van zijn cursus wiskunde voor de ste Kan. Bio-ingenieurs, waarop deze tekst gebaseerd is. Arno Kuijlaars Heverlee, 6 augustus 24

3 Inhoudsopgave efinities en Inleidende Begrippen. e n-dimensionale ruimte R n Rechten en vlakken Parametervergelijking Cartesische vergelijking Omzetting Ligging van rechten en vlakken in R Vlakkenbundels in R Projectie Afstanden in R Hoeken in R Cilindercoördinaten en bolcoördinaten Cilindercoördinaten Bolcoördinaten Reële functies van n reële veranderlijken efinitie en voorbeelden Grafische voorstelling Niveaukrommen en niveau-oppervlakken Continuïteit en limieten Uitbreiding van het begrip continuïteit Uitbreiding van het begrip limiet Krommen in R n Vectorfuncties en geparameteriseerde krommen in R n Afgeleide vectorfunctie, vectoriële snelheid Lengte van een geparameteriseerde kromme Herparameterisatie van krommen Oefeningen ifferentiaalrekening Partiële afgeleiden Voorbeelden en definitie Partiële afgeleiden van hogere orde Gradiënt en afleidbaarheid Kettingregel en richtingsafgeleide Afgeleide van een functie langs een kromme K Richtingsafgeleide Raakvlak aan het niveau-oppervlak Raakvlak aan de grafiek Oefeningen i

4 ii Inhoudsopgave 3 Extrema van functies van meerdere veranderlijken Extrema Maximum en minimum Kritieke punten Tweede afgeleide test Extrema van functies van 2 veranderlijken Optimalisatieproblemen met nevenvoorwaarden Substitutiemethode Lagrange-techniek Algemene formulering van de Lagrange-techniek Extremum met 2 nevenvoorwaarden van functies van 3 veranderlijken Extremum van een functie van n reële veranderlijken met m nevenvoorwaarden Kleinste kwadraten benadering Kleinste kwadraten oplossing atafitting met kleinste kwadraten Lineaire regressie atafitting met veeltermen Oefeningen Integraalrekening Bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken Riemann-integraal van een functie van twee veranderlijken Meetkundige interpretatie Eigenschappen Herhaalde integralen Toepassingen van bepaalde integralen van reële functies van twee veranderlijken Berekening van de oppervlakte van een gebied in het xy-vlak Berekening van volumes Transformatie van coördinaten Transformatie van coördinaten voor twee veranderlijken Overgang van Cartesische coördinaten naar poolcoördinaten Voorbeelden Toepassing: e Gaussische integraal Bepaalde integralen van reële functies van drie veranderlijken rievoudige herhaalde integralen Transformatie van coördinaten Oefeningen Index 35

5 Hoofdstuk efinities en Inleidende Begrippen it tweede deel van de cursus Inleiding tot de Hogere Wiskunde handelt over reële functies van meerdere reële veranderlijken. Het gaat hierbij voornamelijk om functies f van R n naar R f : R n R : x = (x, x 2,..., x n ) f( x) = f(x, x 2,..., x n ). In dit eerste hoofdstuk bespreken we de n dimensionale ruimte R n met bijzondere nadruk op n = 2 en n = 3. Vervolgens behandelen we de definitie, de grafische voorstelling en de continuïteit van reële functies van meerdere veranderlijken. We zullen bij de studie van reële functies van meerdere veranderlijken regelmatig reeds gekende resultaten van reële functies van één veranderlijke gebruiken en uitbreiden.. e n-dimensionale ruimte R n e verzameling R n bestaat uit n-tallen (x, x 2,..., x n ) met reële getallen x j R, j =,..., n. Een element (x, x 2,..., x n ) van R n noemen we ook wel een punt van R n. e getallen x, x 2,..., x n zijn de coördinaten van (x, x 2,..., x n ). Twee elementen (x, x 2,..., x n ) en (y, y 2,..., y n ) van R n kunnen we optellen (x, x 2,..., x n ) + (y, y 2,..., y n ) = (x + y, x 2 + y 2,..., x n + y n ) (.) en een element (x, x 2,..., x n ) van R n kunnen we met een scalar α R vermenigvuldigen α(x, x 2,..., x n ) = (αx, αx 2,..., αx n ). (.2) e bewerkingen (.) en (.2) worden coördinaatsgewijs uigevoerd. Zoals bekend uit de lineaire algebra is R n met de bewerkingen (.) en (.2) een vectorruimte. Elementen van R n zullen we ook vectoren noemen. e notatie die we zullen hanteren voor punten van R n is x = (x, x 2,..., x n ) R n. (.3) oor het pijltje wordt benadrukt dat we te maken hebben met een vector. e vectorruimte R n is n-dimensionaal. at houdt in dat elke basis van R n uit n elementen bestaat. e standaardbasis van R n bestaat uit de vectoren e, e 2,..., e n met e k = (,,...,,,,..., ), k =, 2,..., n. } {{ } k nullen

6 2 Hoofdstuk Het nulelement van R n (ook wel nulvector) is = (,,..., ) (n nullen). noemen we ook wel de oorsprong van R n. Soms zullen we de coördinaten van een vector niet als een rij x = (x, x 2,..., x n ) maar als een kolom x x 2 x = (.4). x n willen noteren. In dit verband spreken we dan van (.4) als een kolomvector en van (.3) als een rijvector. Standaard zien we vectoren als rijvectoren. e twee-dimensionale vectorruimte R 2 identificeren we met het platte vlak. In plaats van x = (x, x 2 ) schrijven we meestal x = (x, y). e drie-dimensionale vectorruimte R 3 identificeren we met de drie-dimensionale ruimte. In plaats van x = (x, x 2, x 3 ) R 3 schrijven we meestal x = (x, y, z). e lengte, of norm, van een vector x = (x, x 2,..., x n ) R n is x = ( ( x 2 + x ) n /2 /2 x2 n = xk) 2. (.5) e norm x heeft de volgende eigenschappen. () x. (2) x = als en slechts als x =. (3) α x = α x voor α R. (4) x + y x + y. Eigenschap (4) heet de driehoeksongelijkheid. Een vector x met norm wordt wel een eenheidsvector genoemd. e standaard-basisvectoren e, e 2,..., e n zijn eenheidsvectoren. Met elke vector x verschillend van de nulvector kunnen we een eenheidsvector x verbinden door x = x x. x is de eenheidsvector in de richting van x. e norm van de verschilvector x y is de Euclidische afstand tussen de vectoren x en y ( n ) /2 d( x, y) = x y = (x k y k ) 2. (.6) k= Uit de driehoeksongelijkheid voor de norm volgt dat k= d( x, z) d( x, y) + d( y, z).

7 efinities en Inleidende Begrippen 3 Ook deze eigenschap heet wel de driehoeksongelijkheid. Het scalair product op R n is de afbeelding : R n R n R : ( x, y) x y die aan de vectoren x = (x, x 2,..., x n ) en y = (y, y 2,..., y n ) het reëel getal x y = x y + x 2 y x n y n = n x k y k (.7) toevoegt. Het scalair product heet ook wel inwendig product of inproduct. Voor het scalair product x y wordt ook wel de notatie x, y gebruikt. Het scalair product is symmetrisch en lineair in beide argumenten x y = y x k= (α x + α 2 x 2 ) y = α ( x y) + α 2 ( x 2 y), x (β y + β 2 y 2 ) = β ( x y ) + β 2 ( x y 2 ). e norm van een vector x hangt samen met het scalair product omdat Stelling.: x = x x. Ongelijkheid van Cauchy Schwarz: Voor elk tweetal vectoren x, y R n geldt x y x y (.8) Bewijs: Voor elk willekeurig reëel getal t R geldt vanwege de symmetrie en de lineariteit van het scalair product t x + y 2 = (t x + y) (t x + y) = t 2 x x + 2t( x y) + y y = t 2 x 2 + 2t ( x y) + y 2. Voor elke t R is dus e kwadratische functie t 2 x 2 + 2t ( x y) + y 2. t t 2 x 2 + 2t ( x y) + y 2 verandert dus niet van teken en heeft bijgevolg een discriminant die negatief is of nul: = [2 ( x y)] 2 4 x 2 y 2. it betekent ( x y) 2 x 2 y 2

8 4 Hoofdstuk en dus x y x y, hetgeen te bewijzen was. Uit de ongelijkheid van Cauchy Schwarz volgt dat voor niet-nulvectoren x en y geldt x y x y. e hoek tussen x en y wordt gedefinieerd als de hoek θ [, π] waarvoor an is dus cos θ = x y x y. (.9) x y = x y cos θ. Twee niet-nulvectoren x, y R n staan in dezelfde richting als de hoek θ tussen x en y gelijk is aan. In dat geval is x = α y voor zekere α >. e vectoren staan in tegengestelde richting als de hoek θ gelijk is aan π. an is x = α y met α <. e twee niet-nulvectoren x en y staan loodrecht of orthogonaal en we noteren x y indien θ gelijk is aan π/2. an is cos θ =, zodat x y =. e standaard-basisvectoren e k staan onderling loodrecht, want voor j k geldt e j e k =..2 Rechten en vlakken.2. Parametervergelijking Een rechte in R n is een deelverzameling L van R n die geschreven kan worden als L = { p + t r t R} met p en r twee vaste vectoren uit R n. Bovendien is r. e vector r is een richtvector van L en p een steunvector. e vector p behoort tot L. Als p = (p, p 2,..., p n ) en r = (r, r 2,..., r n ) dan bevat L alle vectoren x van de vorm x = p + t r = p p 2. p n + t r r 2. r n. (.) (.) is een parametervergelijking van de rechte L. In (.) zijn we overgegaan op de schrijfwijze met kolomvectoren. Als p = dan bevat de rechte de oorsprong, en L is dan een deelruimte van R n van dimensie. Elke -dimensionale deelruimte kan op deze manier bekomen worden.

9 efinities en Inleidende Begrippen 5 Het is belangrijk op te merken dat de parametervergelijking (.) voor de rechte L niet uniek bepaald is. e steunvector en richtvector van L liggen dus ook niet eenduidig vast. Indien q L en α R dan bepaalt de parametervergelijking x = q + t(α r) dezelfde rechte L. Bij de keuze van steunvector hebben we dus de vrijheid om een willekeurig punt van L te nemen. e richtvector van L is bepaald op een scalair veelvoud (ongelijk aan ) na. Een vlak in R n is een deelverzameling V die geschreven kan worden als V = { p + t r + t 2 r 2 t, t 2 R} waarin p, r, r 2 vectoren zijn in R n. Bovendien moeten de vectoren r en r 2 lineair onafhankelijk zijn. e vectoren r en r 2 zijn richtvectoren van het vlak V en de vector p is een steunvector. Als p = (p, p 2,..., p n ), r = (r, r 2,..., r n ) en r 2 = (r 2, r 22,..., r n2 ), dan bevat L alle vectoren x van de vorm x = p + t r + t 2 r 2 = p p 2. p n + t r r 2. r n + t 2 r 2 r 22. r n2 (.) met t, t 2 R. (.) is een parametervergelijking van het vlak V. Als p = dan bevat het vlak de oorsprong, en V is dan een 2-dimensionale deelruimte van R n met basis r, r 2. Elke 2-dimensionale deelruimte van R n kan op deze manier bekomen worden. e parametervergelijking (.) voor V is niet uniek bepaald. In plaats van p zouden we een willekeurig ander punt van V kunnen nemen als steunvector. Bij de keuze van richtvectoren hebben we de vrijheid om over te gaan op s en s 2 wanneer s en s 2 dezelfde deelruimte van R n opspannen als r en r 2. Elke niet-nul vector van deze deelruimte wordt dan ook wel een richtvector van V genoemd. Alle richtvectoren van een vlak V vormen, samen met de nulvector, een 2-dimensionale deelruimte van R n. Meer algemeen kan men voor elke k =, 2,..., n een k-vlak in R n definiëren als een deelverzameling van de vorm { p + k t j r j t,..., t k R} j= waarbij r, r 2,..., r k lineair onafhankelijke vectoren zijn in R n en p R n. Met deze definitie is een rechte een -vlak, en een vlak een 2-vlak. Een n-vlak is gelijk aan de hele ruimte R n. We zullen ons in het vervolg voornamelijk bezighouden met rechten en vlakken in R 3. Een rechte is vaak niet bepaald door een richtvector en een steunvector, maar door twee punten op de rechte. Elk tweetal vectoren p en q met p q bepaalt een unieke rechte L. Als richtvector van L kunnen we nemen q p en een parametervergelijking van L is L : x = p + t( q p).

10 6 Hoofdstuk Voorbeeld.: e rechte in R 3 door de punten p = (, 2, ) en q = (2,, 3) heeft parametervergelijking x = p + t( q p) = 2 + t 2. 4 Elk drietal punten p, p, p 2 R n die niet op een rechte liggen bepaalt een uniek vlak V waar ze alle drie toe behoren. Als steunvector kunnen we p nemen, en als richtvectoren Een parametervergelijking van V is dan r = p p, r 2 = p 2 p. V : x = p + t ( p p ) + t 2 ( p 2 p ). Voorbeeld.2: Het vlak in R 3 bepaald door de punten (2, 2, 2), (, 2, ) en (,, ) heeft als parametervergelijking x = Cartesische vergelijking + t 2 + t 2 Rechten en vlakken kunnen ook met Cartesische vergelijkingen beschreven worden in plaats van met parametervergelijkingen. We beperken ons tot rechten en vlakken in R efinitie: Een vector n is een normaal van een vlak V in R 3 indien n loodrecht staat op elke richtvector van V. We zeggen dan dat n loodrecht staat op V. Als n = dan is n een eenheidsnormaal van V. Neem een vast punt p V. Voor elke x V is de verschilvector x p een richtvector van V. Een normaal n van V staat loodrecht op deze richtvector, zodat ofwel n ( x p) n ( x p) =. (.2) Omgekeerd behoort elke vector x die aan (.2) voldoet tot het vlak door p met normaal n. Het vlak V is dus volledig vastgelegd door de normaal en één punt van V. e vergelijking (.2) is een Cartesische vergelijking van V. Als dan komt (.2) overeen met ofwel als d = ax + by + cz, n = (a, b, c), p = (x, y, z ) en x = (x, y, z) a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) =, ax + by + cz = d (.3) met (a, b, c) (,, ). it is de standaardvorm voor een Cartesische vergelijking van een vlak in R 3. In (.3) zien we de normaal n = (a, b, c) terug.

11 efinities en Inleidende Begrippen 7 efinitie: Een vector n staat loodrecht op een rechte L in R 3 als n loodrecht staat op de richtvector van L. Zij L een rechte in R 3 met richtvector r en steunvector p. Als n loodrecht op L staat dan is n r zodat n r =. Elke x L kunnen we schrijven als x = p + t r voor zekere t R, zodat x p een veelvoud is van r. an is ook n ( x p) =. (.4) (.4) is de Cartesische vergelijking van een vlak waartoe L behoort. Er zijn vele vectoren n die loodrecht op L staan. We kunnen twee lineair onafhankelijke vectoren n en n 2 vinden die loodrecht op L staan. eze twee vectoren bepalen twee vlakken en V : n ( x p) =, (.5) V 2 : n 2 ( x p) =. (.6) e rechte L is de doorsnede van deze twee vlakken. L is dus voor te stellen met twee Cartesische vergelijkingen { n ( x p) =, L : (.7) n 2 ( x p) =. Als x = (x, y, z), n = (a, b, c ), n 2 = (a 2, b 2, c 2 ), n p = d en n 2 p = d 2, dan wordt (.7) L : { a x + b y + c z = d, a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2. (.8) it is de standaard voorstelling van een rechte met Cartesische vergelijkingen..2.3 Omzetting We hebben twee manieren gezien om rechten en vlakken voor te stellen: met parametervergelijkingen of met Cartesische vergelijkingen. We onderzoeken hier hoe we van de ene voorstelling naar de andere overgaan. Van belang hierbij is het vectorproduct tussen twee vectoren in R 3 dat we nu eerst behandelen. Het vectorproduct efinitie: Het vectorproduct x x 2 van de vectoren x = (x, y, z ) en x 2 = (x 2, y 2, z 2 ) uit R 3 is de vector x x 2 = (y z 2 z y 2, z x 2 x z 2, x y 2 y x 2 ) R 3. Het vectorproduct heet ook wel uitwendig product of uitproduct. We merken op dat het vectorproduct kenmerkend voor R 3. In andere dimensies is er geen vectorproduct. Met de kolomnotatie voor vectoren hebben we x x 2 = x y z x 2 y 2 z 2 = y z 2 z y 2 z x 2 x z 2 x y 2 y x 2. (.9)

12 8 Hoofdstuk Het is duidelijk dat het vectorproduct anti-symmetrisch is: Het is ook duidelijk dat x x 2 = x 2 x. x x =. Het vectorproduct van een vector met zichzelf levert altijd de nulvector op. Het belang van het vectorproduct bestaat erin dat x x 2 loodrecht staat op zowel x als x 2. Er geldt namelijk x ( x x 2 ) = (.2) en x 2 ( x x 2 ) =. (.2) e relaties (.2) en (.2) zijn door directe berekening eenvoudig na te gaan. Hulpstelling.2: e vectoren x en x 2 zijn lineair afhankelijk als en slechts als x x 2 =. (.22) Bewijs: Indien x =, dan is het duidelijk dat de vectoren lineair afhankelijk zijn en dat (.22) geldt. We mogen dus verder aannemen dat x. Neem aan dat x en x 2 lineair afhankelijk zijn. Omdat x volgt daaruit dat er een t R is met x 2 = t x. an geldt x x 2 = t( x x ) = t =. us (.22) geldt. Neem nu omgekeerd aan dat (.22) geldt. Uit (.9) volgen dan de drie gelijkheden: y z 2 = z y 2, z x 2 = x z 2 en x y 2 = y x 2 voor de coördinaten van x en x 2. Omdat x is minstens één van de coördinaten van x ongelijk aan nul. Neem aan dat x ; de andere gevallen verlopen analoog. efinieer Uit x y 2 = y x 2 volgt dan dat en uit z x 2 = x z 2 dat us t = x 2 x zodat x 2 = tx. y 2 = y x 2 x = ty z 2 = z x 2 x = tz. x 2 = (x 2, y 2, z 2 ) = t(x, y, z ) = t x zodat de vectoren x en x 2 lineair afhankelijk zijn. Uit de hulpstelling volgt dat voor lineair onafhankelijke vectoren x en x 2 het vectorproduct x x 2 ongelijk is aan de nulvector. Vanwege (.2) en (.2) is het vectorproduct dan een niet-nulvector die loodrecht staat op zowel x als x 2.

13 efinities en Inleidende Begrippen 9 Omzetting van parametervergelijking van een vlak naar een Cartesische vergelijking Indien een vlak V gegeven is door de parametervergelijking V : x = p + t r + t 2 r 2 met een steunvector p en twee lineair onafhankelijke richtvectoren r en r 2 dan nemen we n = r r 2. e vector n is dan een niet-nulvector die loodrecht staat op beide richtvectoren. Een Cartesische vergelijking van V is dan V : n ( x p) =. Omzetting van parametervergelijking van een rechte naar Cartesische vergelijkingen Indien een rechte L gegeven is door de parametervergelijking L : x = p + t r met p = (p, p 2, p 3 ) en r = (r, r 2, r 3 ), dan hebben we x = p + tr, y = p 2 + tr 2 en z = p 3 + tr 3. e Cartesische vergelijkingen vinden we door t te elimineren. gebeuren. Als bijvoorbeeld r, dan is it kan op vele manieren en vervolgens t = x p r y = p 2 + x p r r 2 en z = p 3 + x p r r 3. it geeft de Cartesische vergelijkingen { r2 x + r L : y = p 2 p r 2 r 3 x + r z = p 3 p r 3 Als r = dan is r 2 of r 3 en kunnen we op gelijkaardige wijze te werk gaan. Omzetting van Cartesische vergelijking van een vlak naar een parametervergelijking Indien het vlak V gegeven is door een Cartesische vergelijking V : ax + by + cz = d met (a, b, c) (,, ) dan is n = (a, b, c) een normaal van het vlak. Men vindt eenvoudig twee lineair onafhankelijke vectoren r en r 2 die loodrecht staan op n. Als bijvoorbeeld a, dan kunnen we nemen r = b/a en r 2 = c/a.

14 Hoofdstuk eze vectoren kunnen we nemen als richtvectoren van het vlak. Een steunvector p is ook eenvoudig uit de Cartesische vergelijking te vinden. Als wederom bijvoorbeeld a dan kunnen we nemen d/a p =. e parametervergelijking van V is dan V : x = p + t r + t 2 r 2. Omzetting van Cartesische vergelijkingen van een rechte naar een parametervergelijking Indien de rechte L gegeven is door de Cartesische vergelijkingen { a x + b L : y + c z = d a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 dan zijn n = (a, b, c ) en n 2 = (a 2, b 2, c 2 ) lineair onafhankelijke vectoren. Immers, als ze lineair afhankelijk zouden zijn, dan zouden de normalen van de twee vlakken V : a x + b y + c z = d V 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 dezelfde richting hebben, en V en V 2 zouden dan ofwel samenvallen ofwel evenwijdig zijn met lege doorsnede. In beide gevallen is de doorsnede niet gelijk aan een rechte. Omdat n en n 2 lineair onafhankelijk zijn is het vectorproduct r = n n 2 niet de nulvector. We kunnen r dan nemen als richtvector van L. Een steunvector vinden we als particuliere oplossing van het stelsel Cartesische vergelijkingen. Een parametervergelijking is L : x = p + t r..2.4 Ligging van rechten en vlakken in R 3 Ligging van twee vlakken We zeggen dat twee vlakken evenwijdig zijn indien de normalen lineair afhankelijk zijn. In R 3 kunnen we de volgende gevallen onderscheiden voor de ligging van twee vlakken V en V 2 ten opzichte van elkaar. Er geldt één van de volgende gevallen () V en V 2 vallen samen. (2) V en V 2 zijn evenwijdig met lege doorsnede. (3) V en V 2 snijden elkaar in een rechte. We kunnen onderzoeken hoe twee vlakken ten opzichte van elkaar liggen door naar de Cartesische vergelijkingen te kijken. Neem aan dat V : a x + b y + c z = d, V 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2. e normalen zijn respectievelijk n = (a, b, c ) en n 2 = (a 2, b 2, c 2 ). Als de normalen lineair onafhankelijk zijn, dan is de doorsnede van V met V 2 een rechte. Als ze afhankelijk zijn, zeg n 2 = t n, dan vallen de vlakken samen als d 2 = td en zijn ze evenwijdig met lege doorsnede als d 2 td.

15 efinities en Inleidende Begrippen Ligging van twee rechten Twee rechten zijn evenwijdig als de richtvectoren lineair afhankelijk zijn. Voor twee rechten L en L 2 in R 3 zijn er de volgende mogelijkheden. () L en L 2 vallen samen. (2) L en L 2 snijden elkaar in één punt. (3) L en L 2 zijn evenwijdig met lege doorsnede. (4) L en L 2 zijn niet evenwijdig en hebben lege doorsnede. (We zeggen dan dat ze kruisen.) Neem aan dat L en L 2 gegeven zijn door parametervergelijkingen L : x = p + t r, L 2 : x = p 2 + t r 2. Indien r en r 2 lineair afhankelijk zijn dan zijn de rechten evenwijdig en hebben we mogelijkheid () of (3). Als de verschilvector p 2 p ook lineair afhankelijk is met r en r 2 dan vallen de rechten samen, anders zijn ze evenwijdig met lege doorsnede. Indien r en r 2 lineair onafhankelijk zijn, dan spannen r en r 2 een vlak V op. Als de verschilvector p 2 p behoort tot dit vlak, dan zijn er scalairen t en t 2 zodanig dat ofwel Het punt p 2 p = t r + t 2 r 2 p + t r = p 2 t 2 r 2. x = p + t r = p 2 t 2 r 2 behoort dan zowel tot L als tot L 2. e doorsnede van L met L 2 is dan dit ene punt. Als de verschilvector p 2 p niet behoort tot het vlak V dan kruisen de twee rechten. Ligging van rechte en vlak Voor de ligging van een rechte L ten opzichte van een vlak V zijn de volgende mogelijkheden: () L is bevat in V. (2) L snijdt V in precies één punt. (3) L en V hebben lege doorsnede. Om de ligging te onderzoeken nemen we een parametervergelijking van L en een Cartesische vergelijking van V L : x = p + t r V : ax + by + cz = d met normaal n = (a, b, c). Zij x = p + t r een punt van L. Het punt behoort ook tot het vlak V als n x = d.

16 2 Hoofdstuk it betekent ofwel d = n ( p + t r) = n p + t( n r), t( n r) = d n p. (.23) We zien hieruit het volgende: Wanneer n r dan is er juist een waarde van t waarvoor (.23) geldt, namelijk t = d n p. n r Er is dan precies één snijpunt van L met V. Wanneer n r = en d n p dan voldoet geen enkele t aan (.23). e rechte en het vlak hebben dan een lege doorsnede. Wanneer n r = en ook d n p = dan voldoet elke waarde van t aan (.23). Bijgevolg ligt elk punt van L ook in V en L is bevat in V..2.5 Vlakkenbundels in R 3 Neem aan dat twee vlakken V en V 2 in Cartesische coördinaten gegeven zijn door hetgeen we afkorten tot respectievelijk V : a x + b y + c z d =, V 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z d 2 =, v = en v 2 =. e vlakkenbundel bepaald door V en V 2 is de verzameling van alle vlakken van de vorm V : λ v + λ 2 v 2 = met (λ, λ 2 ) (, ). (.24) Wanneer de vlakken V en V 2 elkaar snijden in een rechte L dan bevat elk vlak uit de vlakkenbundel (.24) de rechte L, en omgekeerd, elk vlak dat de rechte L bevat behoort tot de vlakkenbundel. Wanneer de vlakken V en V 2 evenwijdig zijn met lege doorsnede, dan bestaat de vlakkenbundel (.24) uit alle vlakken die evenwijdig zijn met V en V 2. Wanneer tenslotte V en V 2 samenvallen dan bevat de vlakkenbundel enkel het vlak V. Een vlak uit de vlakkenbundel (.24) met λ kan ook geschreven worden als V : v + λv 2 = (.25) waarin λ = λ 2 /λ. Met λ = correspondeert het vlak V 2. We kunnen concluderen dat de vlakkenbundel (.24) bestaat uit alle vlakken van de vorm (.25) samen met het vlak V 2. Toepassing: vlak door L evenwijdig met L 2 We gebruiken vlakkenbundels om het vlak te construeren door een rechte dat evenwijdig is met een andere rechte.

17 efinities en Inleidende Begrippen 3 Voorbeeld.3: Gegeven zijn de rechten L : { 3x + 2y + 2 = x + z = en L 2 : { 2x + y + z = x z + 2 = Gevraagd is het vlak door L dat evenwijdig is met L 2. Elk vlak door L, behalve x + z =, heeft de vorm met λ R. e normaal van dit vlak is 3x + 2y λ(x + z) = n = (3 + λ, 2, λ). it vlak is evenwijdig met L 2 als en slechts als de normaal n loodrecht staat op de richtvector r van L 2. We berekenen daarom de richtvector van L 2 door het vectorproduct r = 2 = 3. Omdat n r = (3 + λ) + 6 λ = 2λ + 3, zien we dat n loodrecht op r staat als en slechts als 2λ + 3 =, oftewel λ = 3 2. Het gezochte vlak is ofwel (3 + 3/2)x + 2y + (3/2)z + 2 = 9x + 4y + 3z + 4 =..2.6 Projectie Schuine projectie e projectie van een punt p op het vlak V evenwijdig aan de richting r verkrijgen we als snijpunt van V met de rechte x = p + t r. e projectie is alleen zinvol als de richting r geen richting van het vlak is. e projectie van een rechte L op een vlak V evenwijdig aan de richting r is per definitie gelijk aan de verzameling van alle projecties van de punten van L op V evenwijdig aan r. Om de projectie te vinden van een rechte L op een vlak V evenwijdig met de richting r gaan we als volgt te werk: () Bepaal het vlak V door L evenwijdig met r. (2) e gevraagde projectie is dan V V.

18 4 Hoofdstuk Voorbeeld.4: Gegeven zijn de rechte en het vlak L : { 2x + y + z = x + z + 2 = V : 3x + 2y + z + =. Gevraagd is de projectie van L op V evenwijdig met de richting (,, ). e vlakkenbundel door L bestaat uit de vlakken 2x + y + z + λ(x + z + 2) = samen met het vlak x + z + 2. We zoeken een vlak in de vlakkenbundel die evenwijdig is met (,, ). an moet (,, ) loodrecht staan op de normaal van het vlak. Er moet dus gelden it betekent (2 + λ,, + λ) (,, ) =. 2 + λ λ = 4 + 2λ =. us λ = 2 en het vlak V door L evenwijdig met (,, ) is e projectie van L is de rechte Loodrechte projectie V : y z 4 =. { 3x + 2y + z + = y z 4 =. Onder loodrechte projectie op een vlak V verstaan we projectie evenwijdig met de normaal van V. Voorbeeld.5: We berekenen de loodrechte projectie van de rechte L op het vlak V waarbij { 2x + y + z = L : en V : 3x + 2y z + =. x + z + 2 = e vlakkenbundel door L bestaat uit de vlakken 2x + y + z + λ(x + z + 2) = samen met het vlak x + z + 2 =. e normaal van V is (3, 2, ) en we zoeken dus het vlak V in de vlakkenbundel dat evenwijdig is met (3, 2, ). an moet gelden it betekent us λ = 7/2 en V is (2 + λ,, + λ) (3, 2, ) =. 3(2 + λ) + 2 λ = 7 + λ =. V : 3x + 2y 5z 4 =. e gezochte projectie is de rechte { 3x + 2y z + = 3x + 2y 5z 4 =

19 efinities en Inleidende Begrippen Afstanden in R 3 e afstand tussen twee punten x = (x, y, z ) en x 2 = (x 2, y 2, z 2 ) in R 3 is zoals we reeds gezien hebben in (.6) gelijk aan d( x, x 2 ) = x x 2 = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2. efinitie: e afstand tussen een punt p R 3 en een deelverzameling A van R 3 is gelijk aan d( p, A) = inf{d( p, a) a A}. e afstand tussen twee deelverzamelingen A en B van R 3 is gelijk aan d(a, B) = inf{d( a, b) a A, b B}. We gaan de afstand uitrekenen voor de gevallen dat A en B rechten of vlakken zijn. Afstand van een punt tot een vlak e afstand van een punt p tot een vlak V is gelijk aan de afstand tussen p en zijn loodrechte projectie op V. Zij p = (x, y, z ) en V : ax + by + cz = d. e rechte door p loodrecht op V heeft parametervergelijking Het punt x van L ligt in het vlak V als it wil zeggen dat en dus e projectie van p op V is daarmee L : x = p + t(a, b, c) = (x + ta, y + tb, z + tc). a(x + ta) + b(y + tb) + c(z + tc) = d. t(a 2 + b 2 + c 2 ) = d ax by cz, t = d ax by cz a 2 + b 2 + c 2. x = p + t(a, b, c) met t als hierboven en de gevraagde afstand is d( p, V) = p ( p + t(a, b, c)) = t(a, b, c) = t (a, b, c) = d ax by cz a 2 + b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = ax + by + cz d a 2 + b 2 + c 2.

20 6 Hoofdstuk Afstand tussen twee kruisende rechten Om de afstand tussen twee kruisende rechten L en L 2 te bepalen gaat men als volgt te werk: () Construeer het vlak V door L dat evenwijdig is met L 2. (2) Neem een willekeurig punt p van L 2. e afstand tussen L en L 2 is gelijk aan de afstand tussen p en V. Voorbeeld.6: Beschouw de rechten { 3x + 2y + 2 = L : x + z = en L 2 : { 2x + y + z = x z + 2 = Het vlak V door L dat evenwijdig is met L 2 is reeds in een Voorbeeld.3 bepaald. Het is V : 9x + 4y + 3z + 4 =. We nemen nu een willekeurig punt p van L 2. Bijvoorbeeld e afstand van p tot V is en dit is ook de afstand tussen L en L Hoeken in R 3 p = (, 2, 2) L 2. d( p, V) = = 2 6 In (.9) hebben we gezien dat de hoek θ tussen twee niet-nulvectoren x en y voldoet aan cos θ = x y x y. We nemen θ [, π] zodat ( ) x y θ = bgcos x y Hoek tussen twee rechten We zouden de hoek tussen twee rechten L : x = p + t r en L 2 : x = p 2 + t r 2 willen definiëren als de hoek θ tussen de richtvectoren r en r 2 : cos θ = r r 2 r r 2. (.26) it is echter alleen een bevredigende definitie als de rechterkant van (.26) niet afhangt van de gekozen richtvectoren van L en L 2. Willekeurige richtvectoren zijn α r en α 2 r 2 met α en α 2. Als we deze richtvectoren in (.26) gebruiken volgt cos θ = (α r ) (α 2 r 2 ) α r α 2 r 2 = α α 2 ( r r 2 ) α α 2 r r 2 = ± r r 2 r r 2

21 efinities en Inleidende Begrippen 7 e cosinus van θ wordt dus door (.26) bepaald op een teken na. We zullen afspreken dat we de hoek θ tussen twee rechten altijd in [, π/2] zullen nemen. In dat geval is cos θ en geldt cos θ = r r 2 r r 2. (.27) e uitdrukking (.27) hangt niet af van de gekozen richtvectoren van L en L 2. Hoek tussen rechte en vlak e hoek tussen een rechte L en een vlak V is gelijk aan de hoek tussen L en de loodrechte projectie van L op V. Als de loodrechte projectie een punt zou zijn, dan staat L loodrecht op V en is de hoek gelijk aan π/2. In het algemeen is de loodrechte projectie van L op V een rechte. e hoek θ tussen een rechte L en een vlak V is het complement van de hoek tussen L en een normaal n van V. Als dus r een richtvector is van L dan geldt cos(π/2 θ) = r n r n, ofwel sin θ = r n r n (.28) met θ [, π/2]. Merk op dat (.28) niet afhangt van de gekozen richtvector van L en de gekozen normaal van V. Voorbeeld.7: Bereken de hoek tussen de rechte L door (, 2, ) en (,, ) en het vlak V : 2x y 2z = 3. Een richtvector van L is (,, ) en een normaal van V is (2,, 2). e hoek θ tussen L en V vindt men uit r n sin θ = r n = = us ( ) θ = bgsin 3. 3 Hoek tussen twee vlakken e hoek θ tussen twee vlakken V en V 2 met respectievellijke normalen n en n 2 definiëren we als cos θ = n n 2 (.29) n n 2 met θ [, π/2]. e uitdrukking (.29) hangt niet af van de gekozen normalen van V en V 2.

22 8 Hoofdstuk z P(x,y,z) P( ρ, θ,z) θ ρ y x Figuur.: Cilindercoördinaten..3 Cilindercoördinaten en bolcoördinaten In het vlak R 2 is het soms eenvoudiger te werken met poolcoördinaten (r, θ) die samenhangen met de Cartesische coördinaten (x, y) volgens x = r cos θ en y = r sin θ. Zie hiervoor deel van de cursus. Net zo is het in R 3 soms eenvoudiger om met een ander coördinatenstelsel te werken. We kennen in R 3 in het bijzonder de cilindercoördinaten en de bolcoördinaten..3. Cilindercoördinaten Bij cilindercoördinaten geeft men een punt met Cartesische coördinaten (x, y, z) weer met (ρ, θ, z) waarin x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z met ρ en θ [, 2π[ (of θ ] π, π]). it betekent in feite dat (ρ, θ) de poolcoördinaten van het punt (x, y) in R 2 zijn en dat de z-coördinaat overgenomen wordt..3.2 Bolcoördinaten Bij bolcoördinaten geeft men een punt met Cartesische coördinaten (x, y, z) weer door middel van (r, θ, φ) waarin x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ met r, θ [, π] en φ [, 2π[ (of φ ] π, π]). Hierin is r de afstand van (x, y, z) tot de oorsprong. e hoek φ is de hoek tussen de positieve x-as en het punt (x, y, ). e hoek θ is de hoek tussen de positieve z-as en het lijnstuk vanuit de oorsprong naar het punt (x, y, z).

23 efinities en Inleidende Begrippen 9 z θ r P(x,y,z) P(r, θ, ϕ ) y ϕ x Figuur.2: Bolcoördinaten..4 Reële functies van n reële veranderlijken.4. efinitie en voorbeelden efinitie: Een reële functie f van n reële veranderlijken is een relatie van een deelverzameling U van R n naar R die met elk element x van U juist één element van R laat overeenstemmen: f : U R : x = (x, x 2,..., x n ) f( x) = f(x, x 2,..., x n ). Het getal f( x) is de waarde van de functie f voor het element x. Het domein van f (notatie dom f) is een deelverzameling van R n, het beeld of bereik van f (notatie bld f) is een deelverzameling van R. Zoals voor functies van reële veranderlijke maken we ook hier geen onderscheid tussen functie en afbeelding. We kiezen het domein van f zodanig dat elk element van het domein voorkomt als argument van f. Voorbeeld.8: Beschouw de functie f : U R : x = (x, y) f(x, y) = 5 met domein de deelverzameling U van R 2 waarvoor geldt dat x2 9 y2 9 x2 9 y2 9. it betekent x 2 + y 2 9. Het domein van f is de verzameling van punten van het vlak binnen en op de cirkel met de oorsprong als middelpunt en met straal R = 3. Het bereik is het interval [, 5]. Het domein en bereik van f zijn aangegeven in Figuur.3.

24 2 Hoofdstuk y c= c=2.5 c=5 x Figuur.3: Een functie van 2 reële veranderlijken. Voorbeeld.9: Beschouw de functie f : U R : x = (x, y, z) f(x, y, z) = 5 x2 9 y2 9 z2 9. Het domein van f is de deelverzameling U van R 3 waarvoor geldt dat x2 9 y2 9 z2 9. it betekent x 2 + y 2 + z 2 9. Het definitiegebied van f is de verzameling van de punten van R 3 binnen en op de bol met de oorsprong als middelpunt en met straal R = 3. z c=2.5 c= c=5 y x Figuur.4: Een functie van 3 reële veranderlijken. Het bereik is het interval [, 5]. Figuur.4. Het domein en het bereik van f zijn aangegeven in

25 efinities en Inleidende Begrippen Grafische voorstelling efinitie: e grafiek van een reële functie f van n veranderlijken f : U R, notatie graf f, wordt gedefinieerd als de verzameling van de punten van R n+, (x, x 2,..., x n, x n+ ), waarvoor geldt dat (x, x 2,..., x n ) U en x n+ = f(x, x 2,..., x n ). Bijgevolg is graf f = { (x, x 2,..., x n, x n+ ) R n+ x n+ = f(x, x 2,..., x n ) }. (.3) eze definitie is consistent met de definitie van de grafiek van f die we in deel hebben gegeven voor reële functies van één veranderlijke. Voor reële functies van één reële veranderlijke is de grafiek een kromme in het geijkte vlak, voor reële functies van twee veranderlijken is de grafiek een oppervlak in R 3. Wanneer n 3 is de grafiek een deel van R n+ waarvoor geen concrete voorstelling kan gemaakt worden. Voorbeeld.: e grafiek van de functie f (zie Voorbeeld.8) is graf f = = { f(x, y) = 5 (x, y, z) R 3 z = 5 {(x, y, z) R 3 x 2 x2 9 y2 9 x2 9 y2 9 } 9 + y2 9 + z2 25 =, z e grafiek van f is het gedeelte van de omwentelingsellipsoïde met halve assen 3, 3 en 5 dat boven het xy-vlak ligt. Graf f is aangegeven in Figuur Niveaukrommen en niveau-oppervlakken Reële functies van meerdere veranderlijken kunnen grafisch worden voorgesteld met behulp van niveau-oppervlakken. }. efinitie: Het niveau-oppervlak van een reële functie f van n veranderlijken f : U R dat behoort bij het reële getal c is de verzameling van de punten x = (x, x 2,..., x n ) U waarvoor f( x) = c. Het niveau-oppervlak van een functie f bij een reëel getal c is de verzameling van de punten van het domein van f die door f op dezelfde waarde c worden afgebeeld. Als c niet behoort tot bld f dan is het niveau-oppervlak gelijk aan de lege verzameling. Merk op dat niveau-oppervlakken van f niet behoren tot de grafiek van f maar tot het domein van f. Het niveau-oppervlak voor een functie van twee veranderlijken f : (x, y) f(x, y) bij het reële getal c is de kromme van het platte vlak {(x, y) f(x, y) = c} en wordt om deze reden een niveaukromme van f genoemd. eze kromme kan ook worden bekomen als de snijding van de grafiek van f met het vlak z = c.

26 22 Hoofdstuk 5 4 z y x 2 3 Figuur.5: Graf f is een deel van een omwentelingsellipsoïde. Het niveau-oppervlak voor een functie f van drie veranderlijken f : (x, y, z) f(x, y, z) bij het reële getal c is het oppervlak van R 3 { (x, y, z) R 3 f(x, y, z) = c }. e niveau-oppervlakken van functies van n veranderlijken met n 4 kunnen niet concreet worden voorgesteld. Voorbeeld.: e niveaukromme bij c [, 5] van de reële functie f van twee veranderlijken gegeven door f(x, y) = 5 (zie Voorbeeld.8) wordt gegeven door { (x, y) R 2 5 x2 9 y2 9, } x2 9 y2 9 = c en dus { )} (x, y) R 2 x 2 + y 2 = 9 ( c2. 25 aar c 5 is 9( c2 c2 25 ) en we stellen 9( 25 ) = r2 met r 3. e niveau-kromme die behoort bij c is dan { (x, y) R 2 x 2 + y 2 = r 2 }. e niveau-krommen zijn concentrische cirkels met de oorsprong als middelpunt en met r als straal. e niveau-krommen behorend bij c = 5, c = 5 2 en c = zijn aangegeven in Figuur.3.

27 efinities en Inleidende Begrippen 23 Voorbeeld.2: Het niveau-oppervlak bij c [, 5] van de reële functie f van drie veranderlijken gegeven door f(x, y, z) = 5 x2 9 y2 9 z2 9, (zie Voorbeeld.9) is de verzameling { } (x, y, z) R 3 5 x2 9 y2 9 z2 9 = c, of { )} (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 9 ( c2. 25 ( ) aar c 5 en c2 25 stellen we 9 c2 25 = r 2 met r 3. Het niveau-oppervlak is dan de verzameling { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } e niveau-oppervlakken zijn concentrische boloppervlakken met de oorsprong als middelpunt en r als straal. e niveau-oppervlakken die behoren bij c = 5, c = 5 2 en c = zijn aangegeven in Figuur.4..5 Continuïteit en limieten.5. Uitbreiding van het begrip continuïteit We hebben in deel het begrip continuïteit gedefinieerd voor een reële functie van één reële veranderlijke. We hebben intuïtief gezegd dat de functie f f : A R R : x f(x) continu is in x wanneer graf f ononderbroken verloopt in het punt (x, f(x )). e wiskundige formulering van deze uitspraak is: f is continu in x als en slechts als ε > : δ > : x dom f : x x < δ = f(x) f(x ) < ε. (.3) eze definitie drukt uit dat de afstand tussen de functiewaarden f(x) en f(x ) kleiner is dan een willekeurig (maar vast) te kiezen positief getal ɛ > wanneer de afstand tussen de argumenten x en x kleiner is dan δ >. We veralgemenen nu deze definitie (.3) tot reële functies van meerdere veranderlijken. Het enige punt waar we moeten op letten is dat voor een functie van één reële veranderlijke de argumenten reële getallen zijn en dat de afstand tussen twee reële getallen gelijk is aan de absolute waarde van hun verschil. Voor een functie van n reële veranderlijken zijn de argumenten vectoren x en x uit R n. e afstand tussen deze vectoren wordt gegeven door de norm van de verschilvector: x x. Voor een reële functie f van meerdere veranderlijken f : U R n R : x f( x). moeten we daarom in definitie (.3) x x vervangen door x x. efinitie: e functie f is continu in x U als ε > : δ > : x dom f : x x < δ = f( x) f( x ) < ε. (.32)

28 24 Hoofdstuk We moeten x dom f toevoegen in de definitie (.32) daar we slechts voor x dom f de functie f( x) kunnen vormen. We hebben in deel x dom f meestal weggelaten daar we veronderstelden dat dom f een open interval ]c, d[ bevat waartoe x behoort en dat δ in (.3) voldoende klein genomen wordt zodat ]x δ, x + δ[ ]c, d[ dom f. Het open interval ]x δ, x + δ[ wordt een δ-omgeving van x genoemd en het interval ]c, d[ wordt een omgeving van x genoemd. Analoge topologische begrippen bestaan in R n. eze zullen we nu kort bespreken. Topologische begrippen in R n efinitie: Stel x R n en r R. e deelverzameling van R n gedefinieerd als B( x, r) = { x R n x x < r}, wordt de open bol met middelpunt x en straal r in R n genoemd. Wanneer n = geldt (met x = x, x = x) B(x, r) = {x R x x < r} = ]x r, x + r[ R. Voor n = is B(x, r) de r-omgeving van x. Voor n = 2 (met x = (x, y ), x = (x, y)) is B( x, r) = { x R 2 x x < r } = { (x, y) R 2 } (x x ) 2 + (y y ) 2 < r = { (x, y) R 2 (x x ) 2 + (y y ) 2 < r 2}. r r x x B( x, r) is het gedeelte van het platte vlak gelegen binnen de cirkel met middelpunt (x, y ) en straal r. Voor n = 3 (met x = (x, y, z ), x = (x, y, z)) is Figuur.6: Een open (boven) en een gesloten bol (onder) voor n = 2. B( x, r) = { (x, y, z) R 3 (x x ) 2 + (y y ) 2 + (z z ) 2 < r 2}. B( x, r) is het deel van de ruimte R 3 (x, y, z ) en straal r. dat ligt binnen het boloppervlak met middelpunt efinitie: e deelverzameling van R n gedefinieerd als B( x, r) = { x R n x x r}, wordt de gesloten bol met middelpunt x en straal r in R n genoemd. efinitie: Het punt p S is een inwendig punt van de deelverzameling S van R n indien een open bol met middelpunt p bestaat die tot S behoort. us p is een inwendig punt van S δ > : B( p, δ) S.

29 efinities en Inleidende Begrippen 25 q p U S p q Figuur.7: Een open (links) en een gesloten (rechts) deel van R 2 met inwendig punt p en randpunt q. efinitie: Een punt q is een randpunt van S indien elke open bol met middelpunt q tenminste één punt van S en ook tenminste één punt dat niet tot S behoort bevat. Let op dat een randpunt van S niet noodzakelijk een element van S hoeft te zijn. efinitie: Een deelverzameling S van R n is gesloten indien S alle randpunten bevat. e verzameling S is open indien S de randpunten niet bevat. We zullen in wat volgt vaak veronderstellen dat het definitiegebied van een reële functie van meerdere veranderlijken een open deel van R n is. We kunnen dan bij de definitie (.32) van continuïteit x dom f weglaten, daar we steeds het getal δ > zo klein kunnen kiezen dat { x R n x x < δ} = B( x, δ) U = dom f. efinitie: Een deelverzameling S van R n is begrensd indien een reëel getal M > bestaat zodat x S : x M. We vermelden nu zonder bewijs een belangrijke stelling over continue functies. Stelling.3: Hoofdeigenschap van reële continue functies: Als f een reële continue functie is op een niet-leeg, gesloten en begrensd deel S van R n dan is f(s) een gesloten en begrensde deelverzameling van R. Tevens zijn er elementen p, q S zodanig dat x S : f( p) f( x) f( q). Uit de hoofdeigenschap van continue functies volgt dat een continue functie op een gesloten en begrensde verzameling haar infimum en supremum aanneemt. Immers als p en q de elementen van S zijn, zoals gegeven in de stelling, dan geldt f( p) = inf f(s), f( q) = sup f(s).

30 26 Hoofdstuk z P z=f(x,y) y x Figuur.8: -dimensionale beperking van een functie van twee veranderlijken tot rechten evenwijdig met de coördinatenassen. -dimensionale beperking van een functie We zullen met een reële functie f van meerdere veranderlijken f : U R n R : x = (x, x 2,..., x n ) f( x) = f(x, x 2,..., x n ) dikwijls een reële functie van één veranderlijke verbinden en de gekende resultaten van reële functies van één veranderlijke gebruiken. Een eenvoudige manier om met de reële functie f van meerdere veranderlijken een reële functie van één veranderlijke te verbinden is aan alle coördinaten x, x 2,..., x k, x k+,..., x n behalve één coördinaat, x k, vaste waarden p, p 2,..., p k, p k+,..., p n toe te kennen. We bekomen op deze manier de reële functie g k van één reële veranderlijke x k g k : I k R : x k g(x k ) = f(p, p 2,..., p k, x k, p k+,..., p n ). (.33) We moeten het interval I k zo kiezen dat x k I k = (p, p 2,..., p k, x k, p k+,..., p n ) dom f. Het interval I k zal afhangen van de gekozen waarden p,..., p k, p k+,..., p n. e functie g k is de -dimensionale beperking van de functie f tot de rechte door het punt p = (p, p 2,..., p k, p k, p k+,..., p n ) dom f en evenwijdig met de k-de coördinatenas.

31 efinities en Inleidende Begrippen 27 Continuïteit van f en van de -dimensionale beperking We nemen aan dat de reële functie f van n veranderlijken continu is in het punt p = (p, p 2,..., p k,..., p n ) dom f. Volgens (.32) geldt dan dat ε > : δ > : x p < δ = f( x) f( p) < ε. (.34) We kiezen nu x als an is en x = (p, p 2,..., p k, x k, p k+,..., p n ). x p = x k p k, f( x) f( p) = f(p,..., p k, x k, p k+,..., p n ) f(p,..., p k, p k, p k+,..., p n ) = g k (x k ) g k (p k ). (.34) kan dan herschreven worden als ε > : δ > : x k p k < δ = g k (x k ) g k (p k ) < ε. (.35) e functie g k is bijgevolg continu in p k, of anders gezegd: wanneer een reële functie f van meerdere veranderlijken continu is, dan is f continu ten opzichte van elk van de coördinaten. Let op dat het omgekeerde niet waar is. Het is mogelijk dat de beperkingen g k continu zijn in p k, terwijl f niet continu is in p = (p,..., p n )..5.2 Uitbreiding van het begrip limiet We hebben in deel lim f(x), x x gedefinieerd als de functiewaarde van de continue uitbreiding van f in x. Bijgevolg betekent lim x x f(x) = L, dat efinitie: Als ε > : δ > : < x x < δ = f(x) L < ε. f : U R : x f( x), en x R n, dan zeggen we dat de limiet lim x x f( x) bestaat als er een getal L R is zo dat ε > : δ > : < x x < δ = f( x) L < ε. (.36) In dat geval is lim x x f( x) = L.

32 28 Hoofdstuk.6 Krommen in R n We hebben in de vorige paragraaf reeds vermeld dat een reële functie van meerdere veranderlijken kan worden beperkt tot een rechte evenwijdig met een coördinatenas. We verbinden zo met de reële functie van meerdere veranderlijken een reële functie van één veranderlijke. Een rechte in R n is een bijzondere deelverzameling van R n die we kunnen beschrijven met één parameter. In feite kunnen we elke deelverzameling van R n die we kunnen beschrijven met één parameter gebruiken als definitiegebied van een -dimensionale beperking van de oorspronkelijke functie van meerdere veranderlijken. We bespreken om deze reden krommen in R n..6. Vectorfuncties en geparameteriseerde krommen in R n efinitie: Zij I R een interval. e functie c c : I R n : t c(t) = (c (t), c 2 (t),..., c n (t)), (.37) die met elk reëel getal t I juist één element van R n laat overeenstemmen wordt een vectorfunctie genoemd. e vectorfunctie c(t) wordt vastgelegd door de n coördinatenfuncties c (t), c 2 (t),..., c n (t) die elk reële functies van één veranderlijke zijn: c i : I R : t c i (t). (.38) y c(t) a t b a b x Figuur.9: Voorbeeld van een vectorfunctie. Geparameteriseerde krommen in R n We verbinden met behulp van de vectorfunctie c(t) met elk reëel getal t een element van R n met coördinaten (c (t), c 2 (t),..., c n (t)). Wanneer de parameter t het interval I doorloopt, beschrijft het punt c(t) R n in R n een kromme K. e grafische voorstelling van de vectorfunctie is de geparameteriseerde kromme K (zie Figuur.9). We zijn voornamelijk geïnteresseerd in krommen als deelverzamelingen van R n die beschreven worden met parameter. We zullen in wat volgt veelal geen onderscheid maken tussen de vectorfunctie en haar grafische voorstelling. We hebben in deel reeds geparameteriseerde krommen in R 2 beschouwd. e vectorfunctie c : I R 2 : t c(t) = (c (t), c 2 (t)),